2012年高考数学二轮复习检测题及答案(三)
2012深圳高三二模理科数学试题及答案
绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积为13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为椎体的高如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为()|P B A ，那么|P AB P A P B A =()()()；一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．集合*{|}n i n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量()21,3X N ，若()()P Xc P X c ≤=>，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．33．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得()lg lg lg a b a b +=+”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种5．设,,,a b c d R ∈，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是A ．2a b cd +≤B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．||2a b cd +≥6．设函数若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是8．如果函数||1y x =-的图象与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．(,1][0,1)-∞-B ．[1,1)-C ．{}1,0-D ．()[1,0]1,-+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在实数范围内，方程|||1|1x x ++=的解集是 ．10．某机器零件的俯视图是直径为24mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______3mm （结果保留π）．11．已知平面向量a ，b 满足条件()()0,1,1,2a b a b +=-=- ，则a b ⋅＝＿＿＿＿＿．12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入5533,2012m n ==，则输出d ＝＿＿＿． （注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若120APB ∠=︒， 则C D A B等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数（1）求()f x 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小． 17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．18．（本小题满分14分）如图 5，已知正方形ABCD 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''A B C D ，其中A 与'A 重合，且'''BB DD CC <<．（1）证明'//AD 平面''BB C C ，并指出四边形'''AB C D 的形状； （2）如果四边形中'''AB C D ’中，，正方形的边长为，求平面ABCD 与平面AB'C'D ’所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分） 已知数列满足：，且（1）求通项公式n a （2）设的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对(),m n ，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点()1,0F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ， 动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）设是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ． ①证明：直线PQ 的斜率为定值；②记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为l ．若点B 在l 上，且点B 到直线PQ 的 距离最大，求点B 的坐标．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x x =-，()()()'g x f x xf a =- ，其中()'f a 表示函数()f x 在x a=处的导数，a 为正常数． （1）求()g x 的单调区间；（2）对任意的正实数12,x x ，且12x x <，证明：()()()()()()21221211''x x f x f x f x x x f x -<-<-（3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACDADB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） 4分所以)(x f 的最大值为3． …………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分） （2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin32sin =．……7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin3cos sin =， ……9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ……11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． …………12分17．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ，…3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ，…5分51)2()(26232====CC P A P ξ．…7分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ0 12P515351ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得 253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==CC C A B P A P B A P ）， ……10分 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． ……11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………12分18．证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ，⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，所以AB E D //'，且AB E D ='，故'ABED 是平行四边形，……4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''， 所以//'AD 平面C C BB ''． ………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'ADD ，所以//'AD 平面C C BB ''．…6分 四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分 解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB ABBB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD ADDD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………8分 连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC ACAC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分 （法1）延长CB ，''B C 相交于点F ， 则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ．连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．所以'CGC ∠是平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． ………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⨯=AFFC A C G C ，在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=G C CC CG ． 所以66''cos cos ==∠=CGG C CGC θ，25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．…………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，C C '为z 轴， 建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，所以)1,2,3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ，取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …14分（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ，所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……14分19．解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ． 所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+．……2分 又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列．……4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………6分 （2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-35-图CD)'(A A B'C 'D 'B yxz)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n nn n n ．…………8分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n nn n 3332111=⨯+≤--n n ．……9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n nn S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……11分 当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C2111421--++≥n n C C 3422+-=n n1)2(22-+-=n n 12->n ． ………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对．…14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）20．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切，所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C 的方程为y x 42=． …………………5分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．16-图M∙'∙F xyOF∙N E在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． ……3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为y x 42=．………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2． 设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………6分 因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点， 所以4200x y =，直线AP 的方程为)(4020x x k x y -=-．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………8分所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．…10分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(200x x A ．又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即02222012214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+．…8分 所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值．……10分 26-图M∙'∙F xyOF∙PQA②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--，20x k PQ -=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--，整理得016422200=-++k x y x x ． ……11分设点)4,(2xx B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--， 所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|2022002222020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x xx x d4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x kx x x x k x x ．…12分当0x x -=时，4216202max +=x kd ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上．所以，点B 的坐标是)4,(20x x -． …………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知，若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220， 消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于36-图M∙'∙F xyOF∙PQABl︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('200x x A -． ……11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论， 得42xy =，PQ x x x x k x x y =-=='-=-=22|00．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //．…12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． …14分21．解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=， xa a x a f x f x g lnln ln )()()(=+-='-'='． ……2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ………4分 （2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <， 取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >， 即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <， 即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=， 所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减． 所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛．……6分 A46-图M∙'∙F xyOF∙1P 1Q B 2P 3P 2Q 3Q l由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，得1ln 121212<-x xx x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ． 故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………8分 （3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x xk x kx xx k +++-=+-+=ϕ，显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<， 所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-．所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． …………10分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n n n n nn +++-+-++=nn nn nn ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ……………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ． )1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．所以，nn f nnnln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++．………14分。
2012高三二模数学试题
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（A ）0x ∀∈R ，021x ≠（B ）0x ∀∉R ，021x ≠（C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π （D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï- ïïï+ íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是（A ）1 （B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）22 （6）为了得到函数2log 1y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值422+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得O M N ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形A B C D 内部随机取一点P ，则P A B ∆的面积大于等于14的概率是_________．（10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃ Z 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在A B C ∆中，若120A ? ，5c =，A B C ∆的面积为53，则a = .（12）如图，O 的直径AB 与弦C D 交于点P ，7, 5, 15C P PD A P ===，则D C B Ð＝______.俯视图主视图OPDCBA（13）某同学为研究函数22()11(1)(01)f x x x x=+++-＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形A B C D 和B E F C ，点P 是边B C 上的一个动点，设C P x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式.(16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30C B A ? ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且O M ∥A C ． （Ⅰ）求证：平面M O E ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面P C B ；（Ⅲ）设二面角M B P C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择：(1)投资A 项目一年后获得的利润X 1(万元)的概率分布列如下表所示：M EBOCAPEFAB C DPX 111 12 17P a 0.4 b且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：X (次)0 1 2 X 2(万元)4.1211.7620.40（Ⅰ）求a ,b 的值； （Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点2(1,)2-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716Q A Q B ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++ N 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p = ，且p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）. （Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明；（Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案DADBCAAC二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）12（10）６ （11）61 （12）45°（13）12x =；2 （14）(0,3)±；222, 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a a a ìï-+? ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为0d ¹.因为346S a =+， 所以11323362da a d 创+=++. ① ……………………………………3分因为1413,,a a a 成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①，②可得：13,2a d ==. ……………………………………6分 所以21n a n =+. ……………………………………7分（Ⅱ）由21n a n =+可知：2(321)22n n nS n n ++ ==+.……………………………………9分所以11111()(2)22n S n n n n ==-++. ……………………………………11分所以123111111n nS S S S S -+++++11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++21111135()212124(1)(2)n n n n n n +=+--=++++. 所以数列1{}nS 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++.……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 O E ∥P A . ……………………………………1分因为 P A Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 O E ∥平面PAC . ……………………………………2分因为 O M ∥A C ，因为 A C Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 O M ∥平面PAC . ……………………………………3分因为 O E Ì平面M O E ，O M Ì平面M O E ，OE OM O = ，所以 平面M O E ∥平面PAC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90A C B? ，即B C A C ⊥.因为 PA ^平面ABC ，B C Ì平面ABC ， 所以P A B C ⊥. ……………………………………7分因为 A C Ì平面PAC ，P A Ì平面PAC ，PA AC A = ，所以 B C ^平面PAC .因为 B C Ì平面PBC ，所以 平面PAC ^平面P C B . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，C A 所在的直线为x 轴，C B 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30C B A?，2PA AB ==，所以 2cos 303C B =?，1A C =.延长M O 交C B 于点D . 因为 O M ∥A C ，所以 1313, 1,2222M D C B M D C D C B ^=+===.所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C ，(0,3,0)B ，33(,,0)22M .所以 (1,0,2)C P = ，(0,3,0)C B = . 设平面P C B 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.C P C B ìï?ïíï?ïîm mDzyxME BOCA P所以 (,,)(1,0,2)0,(,,)(0,3,0)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,30.x z y ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面P M B 的一个法向量n ()1,3,1=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n.所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:X 24.1211.7620.40P p (1-p ) p 2+(1-p )2 p (1-p )……………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++. 所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =. 根据椭圆的定义得：22222(11)()22a =--++，即2a =.……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212xy +=. ……………………………………4分（Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716Q A Q B ⋅=- 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)A B -.则 7(2,0)(2,0)16m m -?-=-.解得 54m =. ……………………………………6分当直线l 的斜率不存在时，22(1,),(1,)22A B -.由于52527(1,)(1,)424216+?-?，所以54m ?.下面证明54m =时，716Q A Q B ⋅=- 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716Q A Q B ⋅=- .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=.显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+， 所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216tt tt t =-+++++22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716Q A Q B ⋅=- 恒成立.……………………………………13分(19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x ax a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：x(,0)a(0,1)a +1a +(1,)a ++∞()f x -0 +0 -'()f x极小值极大值所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++ .……………………………………3分当1a =-时，2'()01xf x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+ .……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：x(,1)a a +1a +(1,0)a +0 (0,)+∞()f x -0 +0 -'()f x极小值极大值所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+ .……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln 21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++ 上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<，所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-，所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++ 上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln542->0.所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-.所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f .证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f mf m f f --?--吵-.又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m -- . *对于*式，分别取m 为n ,,7,6 ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f . 即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(35)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（35）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. (本小题满分14分)设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a b c4,a c ==sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x .2．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．3．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .4．(本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试B A ED C F探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.5．(本小题满分16分)设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数. (1)当43a =时，求()f x 的极值点； (2)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.6. （本小题满分16分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．yP AB CO x1.解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分(3)由已知得33sin(),sin [()]510x C x x C C -+==+-=…………………………14分 2．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q-=-，又.01≠⋅q a ∴()()21221q q qq q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}nb 前n 项和()13.2n n n S -= ∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分3．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分 4.解（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==||2OA ===∴(1,0),(1,0),(0,2B C A -∴1(,24P 依椭圆的定义有：2||||a PB PC =+=97444=+=∴2a =， 又1c =，∴2223b a c =-=BAEDCFG∴椭圆的标准方程为22143x y +=……………………………………………7分（求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分.）椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E，半径r =假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧， 则90MEN ︒∠=，圆心(1,0)E 到直线l的距离1d == 当直线l 斜率不存在时，l 的方程为2x =， 此时圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d =（符合）当直线l 斜率存在时，设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心(1,0)E 到直线l的距离1d ==，无解综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l 方程为2x =…16分5.解：(Ⅰ)当43a =时，2()413xe f x x =+∴()2'22483()4313x e x x f x x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令'()0f x =得1213,x x ==∴()f x 的极大值点是2；极小值点是2(Ⅱ) ()()2'2221()1x e ax ax f x ax -+=+∵()f x 为R 上的单调函数，且a 为正实数∴()2240a a --≤即01a <≤6.解：（1）由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤.容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c r ππππ=⨯+⨯=-+，即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分（2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r =令2,r ==即 4.5c =，（1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r =y 有最小值. ……………16分。
江苏省2012届高三高考信息卷 数学(三)(解析版)
2012 高考数学信息卷三一、填空题 1. 已知2sin(45)(090)10αα︒-=︒<<︒,则cos α=45.提示：依题意得45α︒-(45,45)∈-︒︒，又272cos(45)1sin (45)10αα︒-=-︒-=，则272224cos cos[45(45)]2102105αα=︒-︒-=⨯+⨯=。
2. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=2,122,2)(2x x ax x x f x ，若2((1))3f f a >，则a 的取值范围是（—1,3）。
提示:由题知，2(1)213,((1))(3)36f f f f a =+===+，若2((1))3f f a >,则9+263a a >，即2230aa --<，解得13a -<<。
3. 如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω=4π .提示：依题意得,PM PN PM PN =⊥,所以PMN ∆是等腰直角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN =4, 即该函数的最小正周期的一半为4，所以28πω=，4πω=.4. 已知{na }是等比数列，2512,4aa ==，则12()n n S a a a n N *=+++∈的取值范围是 [4，8) .提示： 因为｛na ｝是等比数列，所以可设11n naa q -=。
因为2512,4a a ==，所以141214a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩。
所以1214[1]12881212nnn n S a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==-⨯ ⎪⎝⎭-。
因为11022n⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以48n S ≤<。
5。
在ABC∆中,D为BC中点，45,30,BAD CAD ∠=︒∠=︒2=AB ,则AD =312+。
高考数学二轮复习专题检测(三)不等式理解析版
专题检测（三） 不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3. 4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝ －a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x－1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0， y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3， 52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n 12，因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512， 当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x ≥1的解集为________．解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x ≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧4x －3x －2≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y2＋2x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x， ∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16yx＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16yx，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(53)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（53）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1、（14分）在△ABC 中，角A,B,C 所对变分别为a,b,c ，且满足1cos , 2.3A AB AC == （1）求△ABC 的面积；（2）若b+c=5,求a 的值。
2、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 交BD 于点O ，PA ⊥面ABCD ，E 是棱PB 的中点。
求证： （1）EO ∥平面PCD ；（2）平面PBO ⊥平面PAC 。
3、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。
已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。
（1）若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y=f(x)的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？A D CB PEO4、如图已知椭圆22221x ya b+=（a>b>0)的离心率为2，且过点A（0,1）。
（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点。
求证：直线MN恒过定点P3 (0,)5-。
5、已知数列{a n}首项a1=2,且对任意n∈N*，都有a n+1=ba n+c,其中b,c是常数。
（1）若数列{a n}是等差数列，且c=2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是等比数列，且|b|<1,当从数列{a n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使{a n}的前n项和S n<341256成立的n取值集合。
6、已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-bx（b为常数）。
（1）函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值；（2）设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；（3）若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|> |g(x1)-g(x2)|成立，求b的取值范围。
2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案
专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x＜0，有x2≤02. (2,3)解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4. [－1,1]解析：集合A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A.5.215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a，a＋45≤10≤a≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b－13≥0，b≤113≤b≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13解析：p：x2＋x－6＜0为真，则不等式的解集为A＝(－3,2)，由q：mx ＋1＞0得m＝0时，解集为B＝R，m＞0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－1m，＋∞，m＜0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m，m＝0时，A B成立；m＞0时，－1m≤－3,0＜m≤13；m＜0时，－1m≥2，－12≤m＜0，综上m∈⎣⎡⎦⎤－12，13.7. 12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的有15－x，只喜爱乒乓球的有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞)解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x＋3x＋1≥02x＋2－(x＋3)x＋1≥0x－1x＋1≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a ＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵B A，∴2a≥1或a ＋1≤－1，∴ a≥12或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.10. 解：若命题p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m2－4＞0，－m＜0m＞2.若命题q为真，Δ＝16(m－2)2－16＜0,1＜m＜3.p或q为真，p且q为假，所以若命题p为真，命题q为假，则m≥3；若命题p 为假，命题q为真，则1＜m≤2，综上，则实数m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x－2)2解析：函数满足f(x)＝f(x＋2)，函数周期为2.则x∈[2,3]，x－2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解： 任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲 基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析： 二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )，∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲 函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立， 即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明： 当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解： 由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲 不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号． 即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18； 当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲 导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析： 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2， －2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5； 当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2， 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲 三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ s inα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲 平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6， 则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要 解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲 数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ， 所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ， 当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ， 此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010， 有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值 极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。
2012年高考数学二轮专题测试 立体几何 理
立体几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2011年济南)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：解法一：∵体积为12，而高为1，故底面积为12，选C.解法二：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．答案：C2．(2011年海南海口模拟)已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2 C.62a 2D.6a 2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．(2011年金考卷原创)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图中阴影部分所示，第六个正方形在编号1到5的某个位置上，则第六个正方形所有可能位置的编号是( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：分别假设第6个正方形在各个位置上，再分别进行还原，可知在②或③位置上时可还原为正方体，在其他位置上时不能还原为正方体，故选A.答案：A4．(2011年福建莆田市高三教学质检)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．4 3B ．8 3C ．12 3D ．24 3解析：该几何体的高h ＝42－22＝12＝23， ∴V ＝13×12×6×2×23＝4 3.故选A.答案：A5．(2011年东北三校联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A ．14 3B ．6＋ 3C ．12＋2 3D ．16＋2 3解析：解此图形为正三棱柱，底面边长为2，高为2，S 全＝S 侧＋2S 底＝3×2×2＋2×12×2×2×32＝12＋23，故选C. 答案：C6．(2011年乐山二诊)已知三棱锥P －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.32π3 B.16π3 C.8π3D.4π3解析：因为PA ＝PB ＝PC ＝2，所以该三棱锥外接球的球心落在PD 上，D 为AB 的中点，设球心为O ，则O 为△PAB 的外心∴R 2－(3－R )2＝1，R 2－3－R 2＋23R ＝1 23R ＝4，R ＝23 S 表＝4πR 2＝4π·43＝16π3，故选B. 答案：B7．(2011年湖北八市3月调考)已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题①若α∥β，则l ⊥m ②若l ⊥m ，则α∥β ③若α∥β，则l ∥m ④若l ∥m ，则α⊥β 其中正确的命题个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为l ⊥α，α∥β，所以l ⊥β ∵m ⊂β，∴l ⊥m 所以①正确，③错误． 因为l ⊥α，l ∥m ，所以m ⊥α ∵m ⊂β，∴α⊥β，所以④正确． 若m ⊂α，l ⊥α，∴l ⊥β，m ⊂β 则α与β相交而不平行，故②错． 答案：B8．一个正方体的展开图如图所示，B ，C ，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为( )A.510B.105C.55D.1010解析：还原正方体如图所示，设AD ＝1，则AB ＝5，AF ＝1，BE ＝EF ＝22，AE ＝3，因为CD ∥BE ，所以CD 与AB 所成的角等于BE 与AB 所成的角，即为∠ABE ，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝5＋8－92×5×22＝1010，选D.答案：D9．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足PA →·PB →＝0，PB →·PC →＝0，PC →·PA →＝0，则三棱锥P －ABC 的侧面积的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．72解析：依题意PA 、PB 、PC 两两垂直，以PA 、PB 、PC 为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，∴PA 2＋PB 2＋PC 2＝4R 2＝36，S 侧＝12(PA ·PB ＋PB ·PC ＋PC ·PA )≤12(PA 2＋PB22＋PB 2＋PC 22＋PC 2＋PA 22)＝18.答案：B11．(2011年黄冈3月质检)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β解析：AB ∥l ，AB ⊄β，∴AB ∥β，C 成立 ∵m ∥α，m ∥β，∴m 平行于α与β的交线l ∴AB ∥m 成立，AC ⊥m 成立 ∵AC 未必在α内，∴AC ⊥β不一定成立，故选D. 答案：D11．(2011年浙江省宁波市高三模拟)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 2⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n解析：由m ⊥l 1，m ⊥l 2，l 1与l 2相交知α⊥β，但α⊥β时不一定有m ⊥l 1，m ⊥l 2.答案：B12．(2011年山东省潍坊市模拟)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行的性质可知①正确，由面面垂直的判定知④正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2012年福州质检)四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图所示，根据图中的信息，在四棱锥P －ABCD 的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为________．解析：互相垂直的异面直线有：PA 与BC ，PA 与CD ，AB 与PD ，AD 与PB ，BD 与PC ，BD 与PA ，共6对．答案：614．已知正三棱锥P －ABC 的底面是边长为1的正三角形，其三条侧棱与底面所成角相等且都等于45°，则这个正三棱锥的体积为________．解析：由于三条侧棱与底面所成角相等，且△ABC 是正三角形，所以点P 在△ABC 上的射影点O 是△ABC 的中心．如图，连接CO ，PO ，则PO ＝OC ＝23×32×1＝33，所以正三棱锥的体积为13×S △ABC ×PO ＝13×34×33＝112.答案：11215．(2011年浙江省台州市高三模拟)如图是某几何体的三视图，其中正视图、侧视图的长均为4，宽分别为2与3，俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体为三棱柱，V ＝12×3×2×4＝12.答案：1216．(2011年江苏省“金太阳”百校大联考)关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； 其中真命题的序号是________． 解析：②③是真命题． 答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDD 1；(2)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；(3)求点B 到平面A 1EC 的距离．解：(1)证明：由已知有D 1D ⊥平面ABCD ，得AC ⊥D 1D ，又由ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ， ∵D 1D 与BD 相交于点D ，∴AC ⊥平面BDD 1. (2)延长DC 至G ，使CG ＝EB ，连接BG 、D 1G ， ∵CG 綊EB ，∴四边形EBGC 是平行四边形． ∴BG ∥EC .∴∠D 1BG 就是异面直线BD 1与CE 所成角． 在△D 1BG 中，D 1B ＝23，BG ＝5，D 1G ＝22＋32＝13. ∴cos ∠D 1BG ＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG＝12＋5－132×23×5＝1515， 异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515. (3)∵△A 1AE ≌△CBE ，∴A 1E ＝CE ＝ 5.又∵A 1C ＝23，∴点E 到A 1C 的距离d ＝5－3＝ 2.∴S △A 1EC ＝12A 1C ·d ＝6，S △A 1EB ＝12EB ·A 1A ＝1.又由VB －A 1EC ＝VC －A 1EB ，设点B 到平面A 1EC 的距离为h ， 则13S △A 1EC ·h ＝13S △A 1EB ·CB ， ∴6·h ＝2，h ＝63. ∴点B 到平面A 1EC 的距离为63. 18．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中联考)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． 解：(1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线 ∴MD ∥AP ∵MD ⊄面APC ，AP ⊂面APC ∴MD ∥面APC(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴AP ⊥面PBC .∵BC ⊂面PBC ∴AP ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥面APC ∵BC ⊂面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC(3)∵MD ⊥面PBC ，∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，且MD ＝5 3 又在直角三角形PCB 中，由PB ＝11，BC ＝4，可得PC ＝221于是S △BCD ＝12S △BCP ＝221，∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13Sh ＝117.19．(2011年江苏省苏北四市模拟)如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1－EF －B ，若M 为线段A 1C 中点，求证：(1)直线FM ∥平面A 1EB ； (2)平面A 1FC ⊥平面A 1BC .证明：(1)取A 1B 中点N ，连接NE ，NM ， 则MN 綊12BC ，EF 綊12BC ，所以MN 綊FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ， 又因为FM ⊄平面A 1EB ，EN ⊂平面A 1EB ， 所以直线FM ∥平面A 1EB .(2)因为E ，F 分别是AB 和AC 的中点，所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C . 同理，EN ⊥A 1B .由(1)知，FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B . 又因为A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC . 又因为FM ⊂平面A 1FC ，所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC .20．(2011年江苏南通第一次调研)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．(1)AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF?(2)设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2，以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AC ＝2，∠ABC ＝90°，所以AB ＝BC ＝ 2.从而B (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(0,0,3)，A 1(2，0,3)，C 1(0，2，3)，D (22，22，3)， 所以CA 1→＝(2，－2，3)． 设AF ＝x ，则F (2，0，x )， CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)， CF →·B 1D →＝2·22＋(－2)·22＋x ·0＝0， 所以CF →⊥B 1D →.要使CF →⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·B 1F →＝0，得⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，2x －2z ＝0，令z ＝1得n ＝(2，322，1)． 所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos 〈n ，n 1〉＝11×2＋92＋1＝3015.21．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D －AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . ∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF . ∵BC ∩BF ＝B ，且BC 、BF ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)∵AE ⊥BE ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝22，S △ADC ＝12×AD ×DC ＝12×BC ×AB ＝12×2×22＝22，V D －AEC ＝V E －ADC ＝13×22×2＝43.(3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ，∴平面用心 爱心 专心 - 11 - MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．22．(2011年山西四校联考)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝ 1.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F －ABCD ，V F －CBE ，求V F －ABCD ∶V F －CBE .解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF .(2)设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ， 则MN 綊AO ，MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .(3)过点F 作FG ⊥AB 于G ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FG ⊥平面ABCD ，∴V F －ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝23FG ， ∵CB ⊥平面ABEF ，∴V F －CBE ＝V C －BFE ＝13S △BFE ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝16FG ， ∴V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.。
2012年高考数学试卷及答案
2012年高考数学试卷及答案试卷概述2012年高考数学试卷是中国教育系统中的重要考试之一。
数学是高考的一门必考科目，对于考生来说，掌握好数学知识对于取得好成绩至关重要。
本文将为您提供2012年高考数学试卷及答案的详细内容和解析，帮助您更好地了解这份试卷，为备考做好准备。
试卷内容2012年高考数学试卷主要包括选择题、填空题、解答题和实际问题等几个部分。
以下是试卷的具体内容：选择题选择题是高考数学试卷中常见的题型，用于考察考生的基础知识和能力。
在2012年高考数学试卷中，选择题占据了相当大的比例。
题目的类型包括单选题和多选题。
填空题是考察考生对数学知识的掌握程度和运用能力的一种题型。
在2012年高考数学试卷中，填空题包括了一系列需要填写数字、表达式或算式等内容的问题。
解答题解答题是高考数学试卷中最复杂的题型之一，它要求考生对所学的数学知识进行综合运用和分析解决问题。
2012年高考数学试卷的解答题包括了多个大题，其中涉及了代数、几何、概率等方面的内容。
实际问题实际问题是高考数学试卷中考查考生应用数学知识解决实际问题的题型。
在2012年高考数学试卷中，实际问题的题目常常与生活、工作、社会等相关，旨在培养考生的实际能力和解决问题的思维方式。
答案解析为了帮助考生更好地理解和掌握试卷的内容，下面为您提供2012年高考数学试卷的一部分答案解析：1.（A）选项的解析: 在这道题中，要求求两个直线的交点，首先需要列方程得到两个直线的解，然后求解方程组得到交点的坐标。
因此，答案为A。
2.（B）选项的解析: 这道题要求求出平面上一点到直线的距离，可以通过点到直线的公式来求解。
将点的坐标代入公式，得到距离的表达式，进而求出具体的数值。
因此，答案为B。
填空题1.解析: 这道题要求求出一个多项式的因式分解式。
首先需要找到它的一个因子，然后将多项式进行除法运算，得到因式分解式。
因此，填空为(x+1)(x−2)。
2.解析: 这道题要求求出一个等差数列的第n项的表达式。
2012年高考数学考点测试题及答案(三)
第3章第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题1．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.425 B ．－425C.325D ．－325解析： ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝－325.答案： D2．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值12和最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值 解析： ∵A ＋B ＝π2，∴B ＝π2－A ，∴sin A sin B ＝sin A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A＝sin A cos A ＝12sin2A . ∵0＜A ＜π2，∴2A ∈(0，π)．∴0＜sin2A ≤1.∴sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案： D3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C ．－79D ．－13解析： 由已知23π－2α＝π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选C.答案： C4．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析： 依题设得：sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314. ∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1314， 又∵cos α＝17，∴sin α＝437.sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， ∴β＝π3，故选D. 答案： D5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．cos(α＋β)＞cos αcos β C ．sin(α＋β)＞sin(α－β)D ．cos(α＋β)＞cos(α－β)解析： ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0， 故sin(α＋β)＞sin(α－β)． 答案： C6.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析： 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70° ＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案： C二、填空题7．(2011·天津模拟)若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 答案： π38．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________.解析： ∵α是第二象限的角， ∴α2可能在第一或第三象限， 又sin α2＜cos α2，∴α2为第三象限的角， ∴cos α2＜0.∵tan α＝－43， ∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案： －559.3tan 12°－3(4cos 2 12°－2)sin 12°＝________.解析： 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案： －4 3 三、解答题10．函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝k ，π4＜α≤π2，把y 表示成k 的函数f (k )．解析： ∵k ＝2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α ＝2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4＜α≤π2，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝1＋k .∴y ＝1＋k －2k ＋1.由于k ＝2sin αcos α＝sin2α，π4＜α≤π2， ∴0≤k ＜1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k ＜1)．11．(2011·潍坊质检)如图，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)的值． 【解析方法代码108001041】 解析： (1)由三角函数的定义得cos α＝－35，sin α＝45， 则原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×45＋⎝⎛⎭⎪⎫－35×35＝725.12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式；(2)问哪几个月能盈利？ 【解析方法代码108001042】 解析： (1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －34π＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．(2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22. 2k π＋34π<π4x <2k π＋94π，k ∈Z ， ∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9， ∴x ＝4,5,6,7,8；k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12.答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．。
新课标2012届高三二轮复习综合验收(3)数学(文)试题.pdf
2011—2012学年度下学期高三二轮复习 数学（文）综合验收试题（3）【新课标】 第Ⅰ卷为选择题，共分；第Ⅱ卷为非选择题共分。
满分100分，考试时间为0分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．的元素个数为（） A．0B．2C．3D．5 2．已知是虚数单位，是纯虚数，则实数等于A．—1B．1C．D．— 的值为 （ ） A．—3B．3C．2D．—2 4．已知角的顶点在坐标原点，始边写轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是 （ ） A． B． C． D． 5．命题，则（ ） A．B． C．D． 6．在样本的频率分布直方图中，一共有m（m≥3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m－1个小矩形面积和的，且样本容量为100，则第3组的频数是 （ ） A．10 B．25 C．20 D．40 7．如图示，已知直线，点A是之间的一个定点，且A到的距离分别为4、3，点B是直线上的动点，若与直线 交于点C，则面积的最小值为 （ ） A．12 B．6 C．3 D．18 8．如图，直三棱柱ABB1DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则ΔAPC1周长的最小值为（ ） A、5+ B．5 C．4+ D．4 9．设，均不为0，则“”是“关于的不等式的解集相同”的 （ ） A．充分必要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．3 11．已知函数f（x）=f（x）=x+aa的取值范围是 （ ） A． B．[0，1] C． D． 12．过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是（ ） A．? B．? C．? D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2012高考数学押题卷全国卷(三)答案
3
3
又−
π 2
<
ϕ
<
π 2
，得 ϕ
=
π 3
.故
f
(x)
=
sin
⎛ ⎜⎝
2x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
，
只需将
y
=
sin
⎛ ⎜⎝
2x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
的图象上的点向右平移
4. D.【解析】排除法. 选项 A、B、C 种的命题均为真命题. 对于选项 D，向量 a ⋅ b < 0 ，
则 a 与 b 的夹角为钝角或平角. 故选 D.
( )3
2
= a2 + c2 − 2ac cos 60
= a2 + c2 − ac = (a + c)2 − 3ac ，
得 (a + c)2 = 9 ， a + c = 3， CΔABC = 3 + 3 .
14.（理）【解析】由数列{an} 为等差数列，且各项均为正整数，则 d 为正整数.
an
−
a1
l2 8p
，即
l2 4
.
故选 D.
9. C【解析】过△ ABC 的外心 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ， OE ⊥ AC 于点 E ，
2
2
( ) AC AB
AO ⋅ BC = AO ⋅ AC − AB = AC ⋅ AO − AB ⋅ AO =
−
2
2
《洞穿高考数学解答题核心考点》配套密押试卷答案 1 / 7
两圆圆心的坐标分别为 C1 (−a, 0) ， C2 (0,b) ， r1 = 2 ， r2 = 1，
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(36)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（36）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．（本小题满分14分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量m＝（sin A ，1），n ＝(1，－，3cos A ），且m ⊥n ． (1)求角A ；（2)若b ＋c ＝3a ，求sin （B ＋错误!)的值．2．(本小题满分14分）如图，在四棱锥O -ABCD 中,AD //BC ，AB ＝AD ＝2BC ，OB ＝OD ，M 是OD 的中点．（1）求证：MC //平面OAB ； （2）求证：BD ⊥OA ．3．(本小题满分14分）某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万OMDA B C（第16题图）元的科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为g(n)＝错误!（k为常数，n∈Z且n≥0）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为f(n）万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．(1)求k的值，并求出f(n）的表达式；（2)问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？4．（本小题满分16分)如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x＝4,右焦点F到它的距离为2．(1)求椭圆的标准方程;（2）设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．（第18题图）5．（本小题满分16分）记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋32．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ；（2）记b n ＝a n －，2,若自然数n 1，n 2，…，n k ，…满足1≤n 1＜n 2＜…＜n k ＜…，并且1n b ，2n b ，…,kn b ，…成等比数列,其中n 1＝1,n 2＝3，求n k （用k 表示)；（3)试问:在数列{a n }中是否存在三项a r ，a s ，a t （r ＜s ＜t ，r ,s ,t ∈N*)恰好成等比数列?若存在，求出此三项;若不存在，请说明理由．6．(本小题满分16分）已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a （a ＞0，a ≠1)．（1）当a ＞1时，求证：函数f （x ）在(0，＋∞）上单调递增； （2）若函数y ＝｜f (x )－t ｜－1有三个零点，求t 的值；（3）若存在x 1，x 2∈[－1，1],使得｜f (x 1）－f （x 2）｜≥e －1，试求a 的取值范围．1．解：（1）因为m⊥n，所以m·n＝0,即sin A－错误!cos A＝0．………………………2分所以sin A＝错误!cos A,得tan A＝，3． (4)分又因为0＜A＜π,所以A＝错误!．………………………………………………………………6分（2）（解法1)因为b＋c＝错误!a，由正弦定理得sin B＋sin C＝错误!sin A ＝错误!．………………8分因为B＋C＝错误!,所以sin B＋sin（错误!－B）＝错误!．………………………………………………10分化简得错误!sin B＋错误!cos B＝……12分从而错误!sin B＋错误!cos B＝错误!，即sin（B＋错误!）＝错误!．……………………………………………14分（解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bc cos A，即b2＋c2－a2＝bc①．……………8分又因为b＋c＝错误!a②，联立①②,消去a得2b2－5bc＋2c2＝0，即b＝2c或c＝2b．……………………………10分若b＝2c，则a＝错误!c，可得B＝错误!；若c＝2b，则a＝错误!b，可得B＝错误!．………………12分所以sin（B＋错误!）＝错误!．…………………………………………………………………………14分2．证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．因为M是OD的中点,所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分又AD//BC,AD＝2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．…………………………………………4分又MC⊄平面OAB，NB⊂平面OAB，所以MC//平面OAB；…………………………………………………………………………7分（2)设H 是BD 的中点，连结AH ,OH ． 因为AB ＝AD ，所以AH ⊥BD ． 又因为OB ＝OD ，所以OH ⊥BD ． (9)分因为AH ⊂平面OAH ，OH ⊂平面OAH ,AH ∩OH ＝H , 所以BD ⊥平面OAH ．………………………………………………………………………12分因为OA⊂平面OAH ,所以BD ⊥OA ．……………………………………………………14分3．解：(1）由题意当n ＝0时，g (0)＝8，可得k ＝8．…………………………………2分 所以n n n n f 100)1810)(10100()(-+-+=，即1)10(801000)(++-=n n n f ，n ∈Z 且n ≥0．……………………………………………7分（2）（解法1）由1)10(801000)(++-=n n n f )191(800001+++-=n n52092800001=⨯-≤， (11)分当且仅当1+n 19+=n ,即n ＝8时取等号,…………………………………………13分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分（解法2)令1)10(801000++-=x x y ，x ≥0，则1)1()8(40++-='x x x y ，令='y ,解得x ＝8．…………………………………………9分当x ∈(0，8)，0>'y ，y 递增；当x ∈（8，＋∞)，0<'y ,y 递减．…………………11分所以当x ＝8时，y 有最大值，即当n ＝8时,f (n )有最大值f (8）＝520．…………………13分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分4．解:（1）设椭圆的标准方程为x 2a2＋错误!＝1（a ＞b ＞0)．由题意可得错误!，………………………………………………………………………2分解得a ＝2错误!,c ＝2．…………………………………………………………………………4分从而b 2＝a 2－c 2＝4． 所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1．……………………………………………………………6分(2）设圆C 的方程为（x －m ）2＋（y －n )2＝r 2，r ＞0．由圆C 经过点F (2，0)，得(2－m )2＋n 2＝r 2，①……………………………7分由圆C 被l 截得的弦长为4,得｜4－m ｜2＋（错误!)2＝r 2,②……………………………8分联立①②,消去r 得:n 2＝16－4m ．………………………………………………………10分所以OC ＝错误!＝错误!＝错误!．……………………………………12分 因为由n 2≥0可得m ≤4， 所以当m ＝2时，OC 长有最小值2错误!．……………………………………………………14分此时n ＝±2错误!,r ＝2错误!，故所求圆C 的方程为(x －2）2＋(y ±2错误!）2＝8．………………16分5．解：（1）因为a 1＝2＋错误!,S 3＝3a 1＋3d ＝12＋错误!，所以d ＝2．…………………2分 所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n ＋错误!， (3)分S n＝错误!＝n 2＋（错误!＋1)n ．………………………………………………………………5分（2）因为b n ＝a n －错误!＝2n ，所以kn b ＝2n ．………………………………………………7分又因为数列｛kn b ｝的首项1n b ＝21=b ,公比313==b b q ，所以132-⋅=k n k b ． (9)分所以2n k132-⋅=k ，即n k 13-=k ．……………………………………………………………10分(3）假设存在三项a r ，a s ,a t 成等比数列,则t r sa a a ⋅=2,即有)22)(22()22(2++=+t r s ,整理得t r s s rt --=-22)(2． (12)分 若02≠-srt ，则222s rt t r s ---=，因为r ，s ，t ∈N *，所以22s rt t r s ---是有理数,这与2为无理数矛盾；………………………………………………………………………………14分若02=-srt ，则02=--t r s ，从而可得r ＝s ＝t ,这与r ＜s ＜t 矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r ,a s ，a t ．……………………………………………16分6．解：（1)()ln 2ln 2(1)ln xx f x aa x a x a a '=+-=+-． (3)分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->,所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．…………………………………………………………5分（2）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解x =．……………………………………………………………所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t =．…………………………10分（3)因为存在12,[1,1]x x∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，maxmin max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-． (11)分由（2）知,()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}minmax (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-． (12)分而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->,因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增．而(1)0g =，故当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <．即当1a >时，(1)(1)f f >-; 当01a <<时，(1)(1)f f <-．……………………………………………………………14分①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥;②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞⎥⎝⎦．…………学必求其心得，业必贵于专精独家精品资源，欢迎下载！！高考资源网Ks5u~~K&S%5#UKs5u～～～K@s%U~~～高考资源网高考资源网高考资源网。
2012届高考数学复习方案配套测试题(附答案)
2012届高考数学复习方案配套测试题（附答案）试卷类型：A 2012届高三原创月考试题二数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式建议使用时间：2011年9月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合则（） A. B. C. D.2.（理）[2011•安徽“江南十校”联考]设向量a，b均为单位向量，且|a＋b| ，则a与b夹角为（） A． B． C． D．（文）[2011•安徽“江南十校”联考]设向量a，b均为单位向量，且(a＋b) ，则a与b夹角为（） A． B． C． D． 3．[2011•天津卷] 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．1104．[2011•课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( ) A．－45 B．－35 C.35 D.455．[2011•皖南八校二模]设是公比为q的等比数列，令，若数列的连续四项在集合{―53，―23，19，37，82}中，则q等于( )A． B． C． D． 6．（理）[2011•湖南卷] 由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B．1C.32D.3 （文）已知锐角的面积为，，则角的大小为（）A. 75° B. 60° C. 45° D.30° 7．[2011•山东临沂一检]已知，且，则下列不等式中，正确的是（） A． B． C． D． 8．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（） A. B. C. D. 9．[2011•天津一中月考]已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（） A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 11．[2011•安徽“江南十校”二模]已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则的值（） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 12．[2011•陕西卷] 方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．[2011•青岛模拟]已知向量a、b 的夹角为 ,|a|=2, |b|=3,则|2a－b |= ． 14．若对任意，恒成立，则的取值范围是． 15．[2011•皖南八校二模]若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为． 16．[2011•江西九校联考]下列说法正确的为. ①集合A= ，B={ }，若B A，则-3 a 3；②函数与直线x=l的交点个数为0或l；③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；④ ，+∞）时，函数的值域为R；⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2 -x）. 三、解答题(本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17．（本小题满分12分）[2011•皖南八校二模拟]已知向量 . （1）若且，试求的值；（2）设试求的对称轴方程，对称中心，单调递增区间． 18.（本小题满分12分）[2011•课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和． 19.（本小题满分12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 20.（本小题满分12分）已知函数， . （1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 21.（本小题满分12分）[2011•北京卷] 若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an. (1)写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0； (2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011； (3)在a1＝4的E数列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值．22．（本小题满分14分）（理）[2011•黑龙江鸡西一中三模] 设函数 . （1）写出定义域及的解析式；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. (文) [2011•山东青岛一模]已知函数． (1)若 ,令函数 ,求函数在上的极大值、极小值； (2)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.试卷类型：A 2012届高三原创月考试题二参考答案数学 1、【答案】B 【解析】当x=-1,0,1时集合B的元素y对应取值为：cos（-1），1，cos1，故A∩B= . 2.（理）【答案】C 【解析】设a，b的夹角为θ，(a＋b) ，a•b ，, ∴〈a,b〉，故选C. （文）【答案】C 【解析】a•b ，，〈a,b〉= ，故选C. 3. 【答案】D 【解析】由a27＝a3•a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 4.【答案】B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a, 2a)(a≠0)，则r2＝OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35. 解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35. 5. 【答案】Ｃ【解析】各项减去1得到集合，其中-24,36，-54,81或81，-54,36，-24成等比数列， . 6. （理）【答案】D 【解析】根据定积分的简单应用相关的知识可得到：由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为：，故选D. （文）【答案】B 【解析】由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C= °，选B. 7. 【答案】D 【解析】结合对数函数性质及基本不等式可知选D. 8.【答案】C 【解析】无论a>1还是0<a<1总有，解得a=2. 9. 【答案】D 【解析】函数横坐标缩短为原来变为，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位,函数变为． 11. 【答案】A 【解析】，＞0，＞又＞0，∴ ＞，∴ ＞，∴ ＞0，故选A. 13. 【答案】【解析】． 14.【答案】【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有，即的最大值为，故． 15. 【答案】【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得，它的图象与函数的图象重合，所以（），解得（）.因为，所以 . 16. 【答案】②③⑤ 17．解：（１）．．（2）由题意得．令；令令可得单调递增区间为． 18. 解：(1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19. 由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q ＝1，所以a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝13n. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－＋故1bn＝－＋＝－21n－1n＋1， 1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2 ＝－2nn＋1. 所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1. 19．解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．（2）设该单位每月获利为 , 则，因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损． 20. 解：（１），又，，即，．（２），，且，，即的取值范围是． 21．解：(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1999)，．所以An是首项为12，公差为1的等差数列，所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011，充分性：由于a2000－a1999≤1. a1999－a1998≤1. …… a2－a1≤1. 所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999. 又因为a1＝12，a2000＝2011，所以a2000＝a1＋1999. 故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即E数列An是递增数列．综上，结论得证． (3)对首项为4的E数列An，由于a2≥a1－1＝3，a3≥a2－1≥2，…… a8≥a7－1≥－3，…… 所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2,3，…，8)．所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)＝0，则必有n≥9. 又a1＝4的E数列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S(A9)＝0，所以n的最小值是9. 22．（理）解：（1）的定义域为．（2）①当时，，所以上为增函数；② 当，由，上为增函数，在上是减函数．（3）①当时，由（1）知，对任意，恒有；②当时，由（1）知，上是减函数，在上是增函数，取，则；③当时，对任意，恒有且，得．综上，当且仅当时，若对任意恒有成立．（文）解：(1) ，所以．由得或．所以函数在处取得极小值；在处取得极大值． (２) 因为的对称轴为．①若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；②若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以．综上，实数的取值范围为．。
丰台区2012年高三年级二模理科数学带详细答案
丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（二） 数学（理科） 2012.5第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(A)2 (B)3 (C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) 7- (B) 72-(C) 72(D) 7开始结束0S =，1n =，3a =S S a =+ 2a a =+1n n =+输出S 是 否俯视图7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A +，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2 (B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______． PDC BA12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos (3cos sin )3f x x x x =--． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．ξ 100 80 60 0 P0.05ab0.7（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 的余弦值为63，求PF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列． （Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程； （Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．7411．3，37712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对3分；第14题第一个空答对3分，第二个空答对2分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为()cos (3cos sin )3f x x x x =--＝23cos sin cos 3x x x --=1cos 213()sin 2322x x +-- ＝313cos 2sin 2222x x --＝3cos(2)62x π+-． （Ⅰ）3()cos(2)3362f πππ=⨯+- =33322--=-． ……………………7分 （Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤． 当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． ……………………13分 16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．OBA CD EFP z yxPFEDCAB由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分 17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以45cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515． ……………………9分 （Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -， 在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以 12122212||26cos ,3||||22(2)1()n n n n n n t t⋅<>===⋅--++，解得23t =，或2t =（舍）． 此时5||3PF =． ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+． 因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3n n a n =+． 当n =1时，11314a =+=成立， 所以 3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+， 所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ． 若 22+210n n -+<，则132n +>，即 2n ≥时 1n n b b +<． 又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分 19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p=，2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +． 所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为 四边形AMBN 为菱形， 所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+．……………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--， 所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++= ，那么由（Ⅱ）可得 112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2012年高考数学二轮复习检测题及答案(一)
BADCF E （第16题）2012届高三数学二轮专题训练：解答题（9）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．（本小题满分14分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． （Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求0cos 2x 的值． 2．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ， BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．3．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4．已知平面直角坐标系xOy 中，A (4＋23，2)，B (4,4)，圆C 是△OAB 的外接圆． (1)求圆C 的方程；(2)若过点(2,6)的直线l 被圆C 所截得的弦长为43，求直线l 的方程．5．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。
已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足2(04)4(),()6(4)2xx y mf x f x x x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪>⎪-⎩其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。
（I ）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（II ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值。
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2012届高三数学二轮专题训练：解答题（8）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为错误！嵌入对象无效。
，|OB |=2,设错误！嵌入对象无效。
. （Ⅰ）用错误！嵌入对象无效。
表示点B 的坐标及错误！嵌入对象无效。
； （Ⅱ）若错误！嵌入对象无效。
，求错误！嵌入对象无效。
的值.2．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC ，点D 是BC 的中点。
（1）求证：A 1B//平面ADC 1；（2）如果点E 是B 1C 1的中点，求证：平面1A BE 平面BCC 1B 1。
3．某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?4. (本小题满分15分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P 。
（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线与圆22:(1)2E x y -+=相交于M 、 N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.5．（本小题满分 16分） 已知数列{}n a 满足120,2a a ==，且对任意*,m nN ∈都有22121122()m n m n a a a mn --+-+=+- （Ⅰ）求35,a a ；（Ⅱ）设*2121()n n n b a a n N +-=-∈，证明：{}n b 是等差数列；（Ⅲ）设1*1()(0,)n n n n c a a q q n N -+=-≠∈，求数列{}n c 的前n 项和n S 6（本题满分16分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （1）求函数)(x f 的单调区间。
（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？1（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B 的坐标 为错误！嵌入对象无效。
.在错误！嵌入对象无效。
中，|OB |=2， 错误！嵌入对象无效。
，由正弦定理，得错误！嵌入对象无效。
，即错误！嵌入对象无效。
，所以 错误！嵌入对象无效。
. ---------7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得错误！嵌入对象无效。
，因为错误！嵌入对象无效。
，所以错误！嵌入对象无效。
， ----------------10分又错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，---------------------------12分所以错误！嵌入对象无效。
. --------------14分2．3. （本小题共15分）解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25max ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元.4. (本小题满分15分) 解：（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==||OA===∴(1,0),(1,0),B C A-∴1(2P依椭圆的定义有：2||||a PB PC=+=97444=+=∴2a=，…………………………………………………………………………6分又1c=，∴2223b a c=-=………………………………………………………7分∴椭圆的标准方程为22143x y+=……………………………………………8分（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分。
）（2）椭圆的右顶点1(2,0)A，圆E圆心为(1,0)E，半径r=假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧，则90MEN︒∠=，圆心(1,0)E到直线的距离1d==………………10分当直线斜率不存在时，的方程为2x=，此时圆心(1,0)E到直线的距离1d=（符合）……………………………11分当直线斜率存在时，设的方程为(2)y k x=-，即20kx y k--=，∴圆心(1,0)E到直线的距离1d==，无解……………………………13分综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时方程为2x=…15分。
5.解：(1)由题意，零m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即b n＋1－b n＝8 所以{b n}是公差为8的等差数列………………………………………………5分(3)由(1)(2)解答可知{b n}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2另由已知(令m ＝1)可得a n ＝2112n a a ++-(n －1)2. 那么a n ＋1－a n ＝21212n n a a +-+－2n ＋1＝822n -－2n ＋1＝2n 于是c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1)当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·q n －1. 两边同乘以q ，可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n .上述两式相减得(1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)－2nq n＝2·11n q q --－2nq n ＝2·11(1)1n n n q nq q+-++-所以S n ＝2·12(1)1(1)n n nq n q q +-++- 综上所述，S n ＝12(1)(1)(1)12(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩…………………………16分6.解：（1）由xx a x f )1()('-=知： 当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞； 当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(； 当0=a 时，函数3)(-=x f 是常数函数，无单调区间。
（2）由()212af '=-=2a ⇔=-, ∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x=-. 故3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴2'()3(4)2g x x m x =++-,∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴ 函数)('x g 在区间)3,(t 上总存在零点， 又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g∴ ⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g由4320)('--<⇔<t t m t g ，令=)(t H 432--t t ，则=)('t H 0322<--t，所以)(t H 在[]2,1上单调递减，所以≥)(t H 9)1()(min -==H t H ； 由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得337->m ； 综上得：379.3m -<<- 所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值。