【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之128均值不等式的应用
均值不等式专题附带解析
12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
最新均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学热点问题专题练习——均值不等式知识归纳及典型例题分析
利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q ++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉x ，则要将3x 拆为两个2x ，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
均值不等式及其应用--高考数学【解析版】
专题05 均值不等式及其应用高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 44sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b =，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12B ．14C ．18D ．19【答案】C 【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b +=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．23B ．423+ C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b ==23,23a b =+=. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a =，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t ++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-．所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----． 当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确；对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为2a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以222222422a b a b +≥=>+C 正确； 对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ）A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a， 故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥==当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()20-≤ab ab ，从而得到ln()20-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()220-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以232a -≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为21212a bab a b =+++=，2a b ，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab +＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ） A ．0x <且1y <- B ．m 的最大值为3- C ．n 的最小值为7 D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又111122222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y x y ++++⋅⋅=⋅+≥+=+，当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y-=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228a ab b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##1+3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+ 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】 （1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根， 由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩解得32=-⎧⎨=⎩a b ， 即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式的应用习题答案1
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式应用题
均值不等式应用题在数学中，均值不等式是一种常用的数学工具，常用于证明数学不等式或者解决数学问题。
均值不等式有很多种形式，其中最常见的包括算术平均数和几何平均数的关系、柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等。
本文将通过几个具体的应用题目，来展示均值不等式在解决实际数学问题中的重要性和有效性。
应用题一：设实数a、b、c均大于1，且满足abc=1，求证：a+b+c≥3。
解析：由已知条件abc=1，可得a=1/bc。
则要证明a+b+c≥3，即证明1/bc+b+c≥3。
根据均值不等式，对1/bc，b，c进行取平均数得到：(1/bc+b+c)/3 ≥ (1/bc * b * c)^(1/3) = 1即1/bc+b+c≥3，得证。
应用题二：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，求证：a^2+ b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac。
解析：要证明a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac，即证明(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0。
根据均值不等式，对(a-b)^2，(b-c)^2，(c-a)^2进行取平均数得到：((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/3 ≥ ((a-b)(b-c)(c-a))^(2/3)化简得(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0，得证。
应用题三：已知实数x、y、z均为正数，且满足x^2 + y^2 + z^2 = 1，求证：xy + yz + zx ≤ 1/3。
解析：要证明xy + yz + zx ≤ 1/3，即证明3(xy + yz + zx) ≤ 1。
根据均值不等式，对xy，yz，zx进行取算术平均数得到：(xy + yz + zx)/3 ≤ ((x^2 + y^2 + z^2)/3)^(1/2) = (1/3)^(1/2)即xy + yz + zx ≤ 1/3，得证。
通过以上三个具体的应用题目，我们可以看到均值不等式在解决实际数学问题中的广泛应用和重要性。
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错； 对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错； 对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当s t =取等号，成立． 故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（ ）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】 【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−， 当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】 【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭， 当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0， 故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】 【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（ ）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭， 当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立， 故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（ ）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=， 当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列， 所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ， 又数列{}n b 是等差数列， 所以6912,,b b b 成等差数列， 所以61292+=b b b ， 又因为98b a =， 所以313612a a b b +≥+， 故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值． 【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=， 当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（ ）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+， 因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。
均值不等式的应用
均值不等式的应用(习题-标准答案)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根， 故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。
均值不等式的应用(习题-标准答案)
均值不等式应用一.均值不等式1. ⑴若 GbwR,则 a 2+b 2 ≥ Iab (2)若 a 、b w R 、则 a b≤^ + -(当且仅当 a=b 时取)_ 2 2. (1)若 Chbe R ∖ 则 ^JL >(2)若 a.heR ∖ 则 a + b≥2y[Jb (当且仅当 a = b 时取“二”)2 (3)若a.beR ∖则a b≤{-(当且仅当a = b 时取“ = ”)2丿3 •若Λ∙>0,则x + -≥2 (当且仅当X = I 时取“=”)；若xvO,则x + -≤-2 (当且仅当X = -I 时取“二”)X X若X≠O,则X +丄22≡∣]χ+丄≥2或x+丄≤∙2 (当且仅当Ci=b 时取“=”)XA eX3 •若ab>O,则- + ->2 (当且仅当a = b 时取“二”)b U-+ - 22即- + -≥2^- + -≤-2 b a b a b a 4. 若a,bwR,则（出）*“_+，（当且仅当a = b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1） y=3x'+占 （2） y=x+∖.解题技巧： 技巧一：凑项例1:已知x<-.求函数v = 4x-2÷-L-的最大值。
4 4x-5解：因4x-5<0>所以首先要“调整”符号，又（4Λ∙-2）•— 不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,4x-5若ah≠O ,则（当且仅当a = b 时取 (2)当 x>0 时，y = x+-当x<0时,•••值域为 (—8, —2] U [2, ÷∞)=√6 •：值域为9 +8 )-=2=-2(—X —" ) ≤-2-∙-v=^-2+⅛=-(5-4^⅛)+3'-2+3=1 VΛ<-.Λ 5-4x>Ot4当且仅当5-4.v = ----- ,即X = I 时，上式等号成立，故当x = l 时，儿瘁=1。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
均值不等式习题大全
均值不等式习题大全(总3页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--均值不等式题型汇总 杨社锋均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b ++≥2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222b c a a b c a b c++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()a b c a b c+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求112x y +的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
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【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之128均值不等式的应用一、选择题（共40小题；共200分）1. 设 m ，n ，t 都是正数，则 m +4n，n +4t，t +4m三个数 ( )A. 都大于 4B. 都小于 4C. 至少有一个大于 4D. 至少有一个不小于 42. “x >0，y >0”是“yx+xy ≥2”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若 2x +2y =1 ，则 x +y 的取值范围是 ( )A. [0,2]B. [−2,0]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]4. 若 a >0，b >0，a +b =2，则下列不等式中① ab ≤1；② √a +√b ≤√2；③ a 2+b 2≥2；④ 1a+1b≥2．对一切满足条件的 a ，b 恒成立的序号是 ( ) A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④5. 设 a >0，b >0．若 √3 是 3a 与 3b 的等比中项，则 1a+1b的最小值为 ( )A. 8B. 4C. 1D. 146. 已知抛物线 y =ax 2+2x −a −1(a ∈R )，恒过第三象限上一定点 A ，且点 A 在直线 3mx +ny +1=0(m >0,n >0) 上，则 1m +1n 的最小值为 ( )A. 4B. 12C. 24D. 367. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1．若 a x =b y =3，a +b =2√3，则 1x +1y 的最大值为 ( )A. 2B. 32C. 1D. 128. 在矩形 ABCD 中，AB =1，AD =√3，P 为矩形内一点，且 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√32，若 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 λ+√3μ 的最大值为 ( )A. √62B.3+√34C.√6+3√24D. 329. 已知函数 f (x )={x 2−x +3,x ≤1x +2x,x >1，设 a ∈R ，若关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( ) A. [−4716,2] B. [−4716,3916] C. [−2√3,2]D. [−2√3,3916]10. 二次函数 f (x )=ax 2+2x +c (x ∈R ) 的值域为 [0,+∞)，则a+1c+c+1a的最小值为 ( )A. 2B. 2+√2C. 4D. 2+2√211. 下列说法中错误的是 ( )B. 若 x,y ∈R ，则" x =y “是”xy ≥(x+y 2)2 "的充要条件C. 已知命题 p 和 q ，若 p ∨q 为假命题，则 p 与 q 中必一真一假D. 若命题 p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0 ，则 ¬p ： ∀x ∈R ，x 2+x +1≥012. 已知 a ≥0，b ≥0，且 a +b =4，则 ( )A. ab ≤3B. ab ≥5C. a 2+b 2≥8D. a 2+b 2≤1213. 已知向量 a =(x −1,2)，b ⃗ =(4,y )，若 a ⊥b⃗ ，则 9x +3y 的最小值为 ( ) A. 2B. 2√3C. 6D. 914. 已知 a ，b ，c 均为正数，且 (a +c )(b +c )=2，则 a +2b +3c 的最小值为 ( )A. √2B. 2√2C. 4D. 815. 设 正实数 x ，y ，z 满足 x 2−3xy +4y 2−z =0，则当 xy z取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 316. 已知 a >0，b >0，若不等式 3a +1b ≥ma+3b 恒成立，则 m 的最大值为 ( )A. 9B. 12C. 18D. 2417. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为 c(a,b,c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则 2a+13b 的最小值为 ( )A. 323B. 283C. 163D. 418. 已知 x 1>0，x 2>0，x 1+x 2<ex 1x 2（e 为自然对数的底数），则 ( )A. x 1+x 2>1B. x 1+x 2<1C. 1x 1+1x 2<1eD. 1x 1+1x 2>1e19. 若直线 2mx −ny −2=0(m >0,n >0) 过点 (1,−2)，则 1m +2n 的最小值为 ( )A. 2B. 6C. 12D. 3+2√220. 设向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,0)，其中 O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若 A ，B ，C 三点共线，则 1a+2b的最小值为 ( )A. 4B. 6C. 8D. 921. 已知 a >b ，且 ab =1，则a 2+b 2a−b的最小值是 ( )A. 3B. 2+√2C. 2D. 2√222. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a ，b ，c ，三角形的面积 S 可由公式 S =√p (p −a )(p −b )(p −c ) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a +b =12，c =8，则此三角形面积的最大值为 ( )A. 4√5B. 8√5C. 4√15D. 8√1523. 已知直线 l:xa +yb =1(a >0,b >0) 将圆 C:x 2+y 2−2x −4y +4=0 平分，则直线 l 与两坐标A. 8B. 4C. 2D. 124. 已知 x ，y 都是非负实数，且 x +y =2，则 8(x+2)(y+4)的最小值为 ( )A. 14B. 12C. 1D. 225. 已知 x ，y 均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则 x +y 的最小值为 ( )A. 24B. 32C. 20D. 28 26. 已知 x >1，y >1，且 lgx ，2，lgy 成等差数列，则 x +y 有 ( )A. 最小值 20B. 最小值 200C. 最大值 20D. 最大值 20027. 已知 x >1，y >1，且 lgx ，14，lgy 成等比数列，则 xy 有 ( )A. 最小值 10B. 最小值 √10C. 最大值 10D. 最大值 √1028. 已知 f (x )=x 2+33x(x ∈N ∗)，则 f (x ) 在定义域上的最小值为 ( )A. 583B. 232C. √33D. 2√3329. 若正数 a ，b 满足 1a +1b =1，1a−1+9b−1 的最小值为 ( )A. 1B. 6C. 9D. 1630. 若正数 x ，y 满足 1y +3x =1，则 3x +4y 的最小值是 ( )A. 24B. 28C. 25D. 2631. 若函数 f (x )=ax 2x−1(x >1) 有最大值 −4，则 a 的值是 ( )A. 1B. −1C. 4D. −432. 如图，在边长为 1 的正三角形 ABC 中，E ，F 分别为边 AB ，AC 上的动点，且满足 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 m,n ∈(0,1)，m +n =1，M ，N 分别是 EF ，BC 的中点，则 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ( )A. √24B. √33C. √34D. 5333. 如图所示，正三角形 ABC 的边长为 2，其外接圆为圆 O ，点 D 为劣弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、 B 重合），过点 D 与 AB 的中点 P 的直线交圆 O 于另一点 E ，则 23EP +DP 的最小值为( )A. √3B. 53C. √63D. 23√634. 设 x,y 满足约束条件 {3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，若目标函数 z =ax +by (a >0,b >0) 的最大值为 12，则 2a +3b 的最小值为 ( )A. 256 B. 83 C. 113D. 435. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2ccosB =2a +b ，若 △ABC 的面积 S =√312c ，则 ab 的最小值为 ( )A. 12B. 13 C. 16D. 336. 设 M 是 △ABC 内一点，且 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30∘，定义 f (M )=(m,n,p )，其中 m ，n ，p 分别是 △MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若 f (M )=(12,x,y)，则 1x+4y的最小值是 ( )A. 8B. 9C. 16D. 1837. 如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，AB =1，BC =√3，点 M 在棱 CC 1 上，且 MD 1⊥MA ，则当 △MAD 1 的面积最小时，棱 CC 1 的长为 ( )A. 32√2 B.√102C. 2D. √238. 设 m,n ∈R ，若直线 (m +1)x +(n +1)y −2=0 与圆 (x −1)2+(y −1)2=1 相切，则 m +n的取值范围是 ( )A. [1−√3,1+√3]B. (−∞,1−√3]∪[1+√3,+∞)C. [2−2√2,2+2√2]D. (−∞,2−2√2]∪[2+2√2,+∞)39. 已知函数 f (x )={−x 2+2x,x ≤0ln (x +1),x >0，若 ∣f (x )∣≥ax −1 恒成立，则 a 的取值范围是 ( )A. [−2,0]B. [−2,1]C. [−4,0]D. [−4,1]40. 过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为( )A. 2B. 2(3−√2)C. 4(2−√2)D. 4(3−2√2)二、填空题（共40小题；共200分）41. 已知x>0，则函数f(x)=x2−5x+4x的最小值为．42. 椭圆x216+y29=1上一点P到两焦点的距离之积是m，当m取最大值时，P点坐标为．43. 设{a n}是等比数列，公比q=√2，S n为{a n}的前n项和．记T n=17S n−S2na n+1,n∈N∗.设T n为数列{T n}的最大项，则n0=．44. 已知x>−1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．45. 函数y=a1−x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0(mn>0)上，则1m +1n的最小值为．46. 己知a>0，b>0，c>1且a+b=1，则(a2+1ab −2)⋅c+√2c−1的最小值为．47. 已知：x，y均为正，x+y=1，则xy +1x的最小值为．48. 已知实数a,b>0，a，b的等差中项为12，设m=a+1a，n=b+1b，则m+n的最小值为．49. 已知a，b，c为正实数，且a+2b≤8c，2a +3b≤2c，则3a+8bc的取值范围为．50. 已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．51. 设a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．52. 函数y=log a(x+3)−1（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则1m +2n的最小值为．53. 若对于∀x>0，x(x+1)2≤a恒成立，则a的取值范围是．54. 已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为．55. 若6x2+4y2+6xy=1，x,y∈R，则x2−y2的最大值为．56. 给出下列命题：①函数f(x)=x3+ax2+ax−a既有极大值又有极小值，则a<0或a>3；②若f(x)=(x2−8)e x，则f(x)的单调递减区间为(−4,2)；③过点A(a,a)可作圆x2+y2−2ax+a2+2a−3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a<−3或a>1；④双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e1，双曲线x2b2−y2a2=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2√2．其中为真命题的序号是．58. 已知 a ，b ，c 分别为 △ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边，a =2，且 (2+b )(sinA −sinB )=(c −b )sinC ，则 △ABC 面积的最大值为 ．59. 已知 A ，B 分别为三角形两个内角，满足 tanA =4tanB ，则 tan (A −B ) 取最大值时tanB = ．60. 若对 x,y ∈[1,2]，xy =2，总有不等式 2−x ≥a 4−y成立，则实数 a 的取值范围是 ．61. 已知 x >0，y >0，lg2x +lg8y =lg2，则 x+yxy 的最小值是 ．62. a =(x −1,y )，b ⃗ =(1,2)，且 a ⊥b ⃗ ，则当 x >0，y >0 时，1x +1y 的最小值为 ．值为63. 已知 x <32，则函数 f (x )=2x +42x−3的值域是 ．64. 已知集合 A ={x ∈R∣ ∣ x +3∣ +∣ x −4∣ ≤9}，B ={x ∈R∣ x =4t +1t−6,t ∈(0,+∞)}，则集合 A ∩B = ． 65. 若 a,b ∈R ，ab >0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为 ．66. 设 m,n ∈R ，若直线 l:mx +ny −1=0 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，且 l 与圆 x 2+y 2=4 相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则 △AOB 面积的最小值为 ． 67. 若正实数 x ，y 满足 x +y =1，则 yx+4y 的最小值是 ．68. 若正实数 a ，b 满足 (2a +b )2=1+6ab ，则ab2a+b+1 的最大值为 ．69. 设 a 是大于 0 的正常数，函数 f (x )=1sin 2x +acos 2x 的最小值是 9，则 a 的值等于 ．70. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．71. 已知 x ，y ，z 均为正数，则 xy+2yz x 2+y 2+z 2 的最大值是 ． 72. 设 a +b =2，b >0，则 12∣a∣+∣a∣b的最小值为 ．73. 若 a ，b 均为非负实数，且 a +b =1，则 1a+2b +42a+b 的最小值为 ． 74. 设实数 x ，y 满足 4x 2−2√3xy +4y 2=13，则 x 2+4y 2 的取值范围是 ． 75. 已知 a ，b 都是正实数，且满足 log 9(9a +b )=log 3√ab ，则 3a +b 的最小值为 ． 76. 若 a >0,b >0，且12a+b+1b+1=1，则 a +2b 的最小值为 ．77. 设 a +b =2，b >0，则当 a = 时，12∣a∣+∣a∣b取得最小值．78. 在三棱锥 P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且 PA =3,PB =2,PC =1，设 M 是底面 ABC内一点．定义 f (M )=(m,n,p )，其中 m,n,p 分别是三棱锥 M −PAB ，三棱锥 M −PBC ，三棱锥 M −PCA 的体积．若 f (M )=(12,x,y)，且 1x+ay≥8 恒成立，则正数 a 的最小值为 ．79. 在 △ABC 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点 M 在 BC 边上，且满足 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 cos∠MAB 的最小值为 ．三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0．（1）求xy的最小值；（2）求x+y的最小值．82. （1）已知x，y∈R+，且4x+y−xy=0，求x+y的最小值；（2）已知x，y∈R+，且4x+y−xy=0，求xy的最小值．83. 某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：元）与日产量x满足函数关系式S={3x+kx−8+5,0<x<614,x≥6，已知每日的利润L=S−C，且当x=2时，L=3．（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．84. （1）已知x,y∈R+，且4x+y−xy=0，求x+y的最小值；（2）已知x,y∈R+，且4x+y−xy=0，求xy的最小值．85. （1）已知log a x+log a y=2(a>0,a≠1)，求1x +1y的最小值．（2）已知2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值．（3）已知x2+4y2=4，求xy的最大值．86. 已知a，b为正常数，且a≠b，x,y∈(0,+∞)．（1）求证：a 2x +b2y≥(a+b)2x+y，并指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数f(x)=2x +91−2x(x∈(0,12))的最小值，并指出取最小值时x的值．87. 已知函数f(x)=x+1+∣3−x∣，x≥−1．（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．88. 已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明：c2a +a2b+b2c≥3．89. 已知函数f(x)=∣x−1∣−2∣x+1∣的最大值a(a∈R)．（1）求a的值；（2）若1m +12n=a(m>0,n>0)，试比较m+2n与2的大小．90. 已知函数f(x)=∣x+3∣+∣x−1∣的最小值为m，且f(a)=m．（1）求m的值以及实数a的取值集合；（2）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q(p+r)≤2．91. 已知直线l:y=x+m与函数f(x)=ln(x+2)的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f(x)的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．92. 已知 x,y ∈(0,+∞)，x 2+y 2=x +y ．（1）求 1x+1y 的最小值；（2）是否存在 x ，y ，满足 (x +1)(y +1)=5?并说明理由．93. 已知实数 a ，b ，c 均大于 0．（1）求证：√ab +√bc +√ca ≤a +b +c ；（2）若 a +b +c =1，求证：2aba+b+2bc b+c+2ac a+c≤1．94. （1）已知 0<x <43，求 x (4−3x ) 的最大值． （2）点 (x,y ) 在直线 x +2y =3 上移动，求 2x +4y 的最小值．95. （1）函数 f (x )=log a (x +3)−1（a >0 且 a ≠1）的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx +ny +1=0 上，其中 mn >0．求 1m+1n 的最小值．（2）已知 x,y ∈(−√3,√3) 且 xy =−1．求 s =33−x 2+1212−y 2的最小值．96. 已知函数 f (x )=12x 2−(a +1a)x +lnx ，其中 a >0．（1）当 a =2 时，求曲线 y =f (x ) 在点 (1,f (1)) 处切线的方程； （2）当 a ≠1 时，求函数 f (x ) 的单调区间； （3）若 a ∈(0,12)，证明对任意 x 1,x 2∈[12,1](x 1≠x 2)，∣f (x 1)−f (x 2)∣x 12−x 22<12恒成立．97. 给定椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，称圆 x 2+y 2=a 2+b 2 为椭圆 C 的“伴随圆”，已知椭圆 C的短轴长为 2，离心率为 √63． （1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，与其“伴随圆”交于 C ，D 两点，当 ∣CD ∣=√13 时，求 △AOB 面积的最大值．98. 已知椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√32，且点 (1,√32) 在椭圆 E 上． （1）求椭圆 E 的方程；（2）直线 l 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0,12)．求 △AOB （ O 为坐标原点）面积的最大值．99. 已知 a,b,c ∈(0,+∞)，且 a +b +c =1，求证：（1）(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）√a +√b +√c ≤√3．100. 设函数 g (x )=3x ，ℎ(x )=9x ．（1）解方程：ℎ(x )−8g (x )−ℎ(1)=0； （2）令 p (x )=g (x )+√3，求 p (12014)+p (22014)+⋯+p (20122014)+p (20132014) 的值； （3）若 f (x )=g (x+1)+a g (x )+b 是实数集 R 上的奇函数，所以 {f (0)=0f (−1)=−f (1)， 且 f (ℎ(x )−1)+f(2−k ⋅g (x ))>0 对任意实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围．答案第一部分 1. D 2. A3. D【解析】因为 1=2x +2y ≥2√2x ⋅2y ，即 2x+y ≤2−2，所以 x +y ≤−2，当且仅当 2x =2y ，即 x =y 时取等号．4. C【解析】a +b ≥2√ab ，所以 ab ≤1， 所以①正确； √a +√b ≤2√a+b 2=2，所以②不正确； a 2+b 2≥(a+b )22=2，所以③正确； 1a +1b ≥4a+b =2， 所以④正确． 5. B【解析】因为 3a ⋅3b =3，所以 a +b =1，于是 1a +1b =(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ba ⋅ab =4，当且仅当 ba =ab 即 a =b =12 时 “ = ” 成立． 6. B 【解析】易得 A (−1,−3)，则 m +n =13，又 1m +1n =3(m+n )m+3(m+n )n =6+3(n m +mn )≥6+6√nm ⋅m n=12，当且仅当 m =n =16时等号成立．（或 1m+1n≥2√1m⋅1n=√mn≥2m+n 2=12.）7. C8. A【解析】因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=(λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，所以 λ2+3μ2=34． 因为 √λ2+3μ22≥λ+√3μ2，所以 λ+√3μ≤√62． 9. A【解析】当 x ≤1 时，关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x 2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，即为 −x 2+x −3≤x 2+a ≤x 2−x +3， 即有 −x 2+12x −3≤a ≤x 2−32x +3， 由 y =−x 2+12x −3 的对称轴为 x =14<1， 可得 x =14 处取得最大值 −4716；由 y =x 2−32x +3 的对称轴为 x =34<1， 可得 x =34 处取得最小值 3916， 则 −4716≤a ≤3916, ⋯⋯①当 x >1 时，关于 x 的不等式 f (x )≥∣∣x 2+a ∣∣ 在 R 上恒成立，即为−(x+2x )≤x2+a≤x+2x，即有−(32x+2x)≤a≤x2+2x，由y=−(32x+2x)≤−2√3x2⋅2x=−2√3（当且仅当x=√3>1）取得最大值−2√3；由y=12x+2x≥2√12x⋅2x=2（当且仅当x=2>1）取得最小值2．则−2√3≤a≤2, ⋯⋯②由①②可得，−4716≤a≤2．10. C【解析】因为f(x)=ax2+2x+c的值域为[0,+∞)，所以a>0，Δ=0，即4−4ac=0，即ac=1，所以a+1c +c+1a=a2+c2+a+cac≥2ac+2√acac=4．11. C 【解析】对于（C），若p∨q为假命题，则p与q均为假命题，所以（C）错误．12. C 13. C 【解析】因为a⊥b⃗，所以(x−1,2)⋅(4,y)=0，化为4(x−1)+2y=0，即2x+y=2．所以9x+3y≥2√32x⋅3y=2√32x+y=2√32=6，当且仅当2x=y=1时取等号．14. C 【解析】a+2b+3c=a+c+2(b+c)≥2√2(a+c)(b+c)=4．15. B【解析】由x2−3xy+4y2−z=0，得z=x2−3xy+4y2．所以xyz =xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤2√xy⋅4yx−3=1，当且仅当xy =4yx，即x=2y时取等号．此时z=2y2，(xy z )max=1⋅2x+1y−2z=22y+1y−2xy=2y(1−1x)=2y(1−12y)≤4(12y+1−12y2)2=1（当且仅当y=1时等号成立）．16. B 【解析】因为3a +1b≥ma+3b，且a>0，b>0，所以m≤(3a+1b)(a+3b)=6+9ba+ab，又9b a +ab≥2√9ba⋅ab=6（当且仅当9ba=ab时等号成立），所以m≤12，故m的最大值为12．17. C 18. A 19. D 【解析】因为直线2mx−ny−2=0(m>0,n>0)过点(1,−2)，所以2m+2n−2=0，即m+n=1，当且仅当 n m =2m n，即 n =√2m 时取等号，所以 1m +2n 的最小值为 3+2√2． 20. C21. D 22. B 【解析】由题意，p =10，S =√10(10−a )(10−b )(10−c )=√20(10−a )(10−b )≤√20⋅10−a+10−b2=8√5,所以此三角形面积的最大值为 8√5． 23. B 24. B 25. C26. B 27. B 【解析】因为 lgx ，14，lgy 成等比数列，所以 (14)2=(lgx )(lgy )，即 (lgx )(lgy )=116，又 x >1，y >1，所以 lgx >0，lgy >0，所以 lgx +lgy ≥2√(lgx )(lgy )=12，当且仅当 lgx =lgy 时，即 x =y 取等号， 所以 lgx +lgy =lg (xy )≥12，则 xy ≥√10，即 xy 有最小值是 √10． 28. B 【解析】由 f (x )=x 2+33x =x +33x，因为 x ∈N ∗>0，所以 x +33x≥2√x ⋅33x=2√33，当且仅当 x =√33 时取等号．但 x ∈N ∗，故 x =5 或 x =6，当 x =5 时，f (x )=585，当 x =6 时，f (x )=232，故得 f (x ) 在定义域上的最小值为 232． 29. B 30. C31. B 32. C 【解析】MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√m 2+n 2+mn =12√(m +n )2−mn =12√1−mn 因为 m +n =1≥2√mn ，所以 mn ≤14，所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√34． 33. D 【解析】由相交弦定理，DP ⋅EP =AP ⋅BP =1．所以 23EP +DP ≥2√23EP ⋅DP =23√6 （当且仅当 23EP =DP 时，等号成立）．34. A 【解析】当直线 ax +by =z (a >0,b >0) 过直线 x −y +2=0 与直线 3x −y −6=0 的交点 (4,6) 时，目标函数 z =ax +by (a >0,b >0) 取得最大值为 12，即 4a +6b =12，亦即 2a +3b =6，故2a +3b =(2a +3b )⋅2a +3b6=136+(b a +ab )≥136+2=256. 当且仅当 a =b 时等号成立． 35. B36. D 【解析】在 △ABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30∘，所以 ∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cos30∘=2√3，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4， 所以 S △ABC =12∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣sin30∘=1，因为 S △ABC 是 △MBC ，△MCA ，△MAB 的面积之和，所以 x +y =12，所以 1x +4y =(1x +4y )(2x +2y )=10+2y x+8x y≥10+2√2y x ⋅8x y=18，当且仅当 2y x =8x y，即 y =2x 时，即 x =16，y =13时取等号．37. A 【解析】设 MC =a ，MC 1=b ，则 DD 1=CC 1=MC +MC 1=a +b .因为 MD 1⊥MA ，根据勾股定理 ： AM 2+MD 12=AD 12 . (a +b )2+3=b 2+1+a 2+4 ，整理得 ab =1 .又S △AMD 1=12√b 2+1⋅√a 2+4=12√a 2b 2+a 2+4b 2+4≥32,当且仅当 a =2b 时等号成立．此时 a =√2 ，所以 a +b =32√2 .38. D 【解析】∵ 直线 (m +1)x +(n +1)y −2=0 与圆 (x −1)2+(y −1)2=1 相切， ∴ 圆心 (1,1) 到直线的距离为d =∣(m +1)+(n +1)−2∣√(m +1)2+(n +1)2=1,所以mn =m +n +1≤(m +n 2)2,设 t =m +n ，则 14t 2≥t +1，解得t ∈(−∞,2−2√2]∪[2+2√2,+∞).39. C 【解析】因为 ∣f (x )∣≥ax −1 恒成立，所以 ax ≤∣f (x )∣+1 恒成立． ①当 x >0 时，a ≤∣ln (x+1)∣+1x恒成立，即 a ≤ln (x+1)+1x恒成立．此时 a ≤0． ②当 x ≤0 时，a ≥∣−x 2+2x∣+1x 恒成立，即 a ≥x 2−2x+1x恒成立，即 a ≥x +1x−2 恒成立．即 a ≥−4．综上，a 的取值范围为 [−4,0]． 40. D【解析】如图，设正方形 ABCD 的边长为 2，O 为正方形 ABCD 的中心．直线 l 与正方形的边 AB 相交于 E ，与正方形的边 CD 交于点 F ，不妨设 CF ≤1．由平面几何知识可知 Rt △FGN 、 Rt △MDN 、 Rt △MHK 、 Rt △EAK 全等．设 CF =x ，DN =y ，则 GN =DN =y ，GF =FC =x ，NF =CD −CF −DN =2−x −y ．在 Rt △FGN 中，由勾股定理可得 NF 2=GN 2+GF 2，所以 (2−x −y )2=x 2+y 2，化简整理得 x +y =1+12xy ，由均值不等式可得 1+12xy ≥2√xy ，又因为 x +y <2，所以 0<√xy ≤2−√2，其中等号当且仅当 x =y =2−√2 时成立，故两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 2xy =12−8√2． 第二部分 41. −142. (0,3) 或 (0,−3) 43. 4 【解析】T n=16−17q n +q 2n(1−q )q n=1−√2[(√2)n−17+(√2)n]≤1−√2√16(√2)n (√2)n −17), 当且仅当 (√2)2n=16，即 n =4 时等号成立．44. 92 45. 4【解析】由题意可知 A (1,1)，因为点 A 在直线 mx +ny −1=0(mn >0) 上，所以 m +n =1． 所以 1m +1n =(m +n )(1m +1n )=nm +m n+2≥4(当且仅当m =n 时"="成立)．46. 4+2√2【解析】因为 a >0，b >0，a +b =1， 所以a 2+1ab=a 2+(a+b )2ab=2a 2+b 2+2ab ab ≥2√2ab+2abab =2√2+2.又c >1， 则(a 2+1ab−2)⋅c +√2c−1≥2√2c +√2c−1=√2[2(c −1)+1c−1+2]≥√2[2√2(c −1)⋅1c−1+2]=4+2√2.其中等号成立的条件：当且仅当 {2a 2=b 2,a +b =1,2(c −1)=1c−1,解得 a =√2−1，b =2−√2，c =1+√22， 所以 (a 2+1ab−2)⋅c +√2c−1 的最小值是 4+2√2．47. 3【解析】因为 x ，y 均为正，x +y =1， 所以 xy +1x =xy +x+y x=x y +y x +1≥2+1=3，当且仅当 x =y =12 时，等号成立．48. 549. [27,30] 50. −4<m <2【解析】若 x +2y >m 2+2m 恒成立，只须 x +2y 的最小值大于 m 2+2m ． x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+xy +4y x≥8．∴ m 2+2m <8，∴ −4<m <2．51. 3√2【解析】设 t =√a +1+√b +3，则 t 2=a +1+b +3+2√(a +1)(b +3)=9+2√(a +1)(b +3)≤9+(a +1)+(b +3)=18，当且仅当 a +1=b +3 时，等号成立，即 a =72，b =32．所以 t 的最大值为 3√2． 52. 8 53. [14,+∞)【解析】由题意 a ≥x x 2+2x+1=1x+1x+2恒成立，(1x+1x+2)max =14，所以 a ≥14． 54. 18【解析】由题意，log 2a +log 2b =log 2(ab)≥1，所以ab ≥2，所以3a +9b =3a +32b ≥2√3a 32b =2√3a+2b ≥2√32√2ab ≥18，当a =2，b =1时取得最小值18． 55. 15【解析】当 x =0 时，x 2−y 2=−y 2=−14；当x≠0时，x2−y2=x2−y21=x2−y26x2+4y2+6xy=1−y2x26+4y2x2+6yx，令t=yx ，则1−y2x26+4y2x2+6yx可化为1−t24t2+6t+6．设z=1−t 24t2+6t+6⇒1−t2=z(4t2+6t+6)⇒(1+4z)t2+6zt+6z−1=0，因为该方程一定有解，故得Δ=−60z2−8z+4≥0⇒15z2+2z−1≤0⇒−13≤z≤15．综上x2−y2的最大值为15．56. ①②④【解析】①正确，令fʹ(x)=3x2+2ax+a=0，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ=4a2−12a>0，解出a<0或a>3；②正确，令fʹ(x)=(x−2)(x+4)e x<0，解出f(x)的单调递减区间为(−4,2)；③错误；由题意可说明点A在圆(x−a)2+y2=3−2a外，点A和圆心之间的距离大于半径，求出1<a<32；④正确，e1+e2=√a2+b2a +√a2+b2b=√a2+b2(a+b)ab，当且仅当a=b时，取最小值为2√2．57. (−∞,−2]【解析】因为1=2x+2y≥2√2x⋅2y，即2x+y≤2−2，所以x+y≤−2，当且仅当2x=2y，即x= y时取等号．58. √3【解析】由正弦定理asinA =bsinB=csinC及(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，得(2+b)(a−b)=(c−b)c．又因为a=2，所以(2+b)(2−b)=c2−bc．所以b2+c2−4=bc．由余弦定理得cosA=b2+c2−42bc =12．因为0<A<π，所以A=π3．由b2+c2−4=bc，得4=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=2时等号成立，即bc≤4．所以S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3=√34bc≤√3．故△ABC面积的最大值为√3．59. 12【解析】tan(A−B)=tanA−tanB1+tanA⋅tanB ，把tanA=4tanB代入得31tanB+4tanB≤34，当1tanB=4tanB，即tanB=12时取得最大值．60. a≤0【解析】因为2−x≥a4−y，即a≤(2−x)(4−y)恒成立．只需a≤[(2−x)(4−y)]min．而(2−x )(4−y )=8−4x −2y +xy=8−(4x +2y )+2=10−(4x +2y )=10−(4x +4x).令 f (x )=10−(4x +4x )，x ∈[1,2]．因为 4x +4x ≥2√4×4=8，当且仅当 x =1 时取等号， 所以 f (x ) 在 [1,2] 上为减函数，所以当 x =2 时，取最小． 所以 [10−(4x +4x )]min=0，所以 a ≤0．61. 2√3+4 62. 3+2√2 63. (−∞,−1]64. {x∣ −2≤x ≤5}【解析】集合 A ={x ∈R∣ ∣ x +3∣ +∣ x −4∣ ≤9}，所以 A ={x∣ −4≤x ≤5}； 集合 B ={x ∈R∣ x =4t +1t −6,t ∈(0,+∞)}， 4t +1t −6≥2√4t ⋅1t −6=−2,t ∈(0,+∞)， 当且仅当 t =12 时取等号，所以 B ={x∣ x ≥−2}，所以 A ∩B ={x∣ −4≤x ≤5}∩{x∣ x ≥−2}={x∣ −2≤x ≤5}． 65. 4【解析】a,b ∈R ，ab >0， 所以a 4+4b 4+1ab≥2√a 4⋅4b 4+1ab=4a 2b 2+1ab =4ab +1ab ≥2√4ab ⋅1ab=4,当且仅当 {a 4=4b 4,4ab =1ab时等号成立，即 {a 2=2b 2,a 2b 2=14,即 a =√24，b =√84或 a =√24，b =√84 时取“=”；所以上式的最小值为 4． 66. 3【解析】根据直线方程，得 A (1m ,0),B (0,1n)．由直线 l 被圆截得的弦长为 2，得圆心 O 到直线 l 的距离为 √3， 即√m 2+n 2=√3，整理得 m 2+n 2=13．因此，根据均值不等式，得 S △AOB =12×1∣m∣⋅∣n∣=12∣mn∣≥1m 2+n 2=3． 当且仅当 ∣m ∣=∣n ∣ 时，S △AOB 取得最小值 3．67. 8【解析】根据题意，x ，y 满足 x +y =1， 则yx+4y =1−xx +4y=1x+4y−1=(x +y )(1x +4y )−1=(1+4+yx +4x y)−1=(yx +4x y)+4≥2√y x ⋅4x y+4=8,即 y x+4y的最小值是 8．68. 16【解析】由题意可得：ab =(2a+b )2−16，故 ab2a+b+1=16⋅(2a+b )2−12a+b+1=16(2a +b −1)，而 ab =(2a+b )2−16≤12(2a+b 2)2，即 (2a +b )2≤4，所以 2a +b 的最大值为 2， 所以ab 2a+b+1的最大值为 16．69. 470. [4,+∞)【解析】由题意，画出函数 y =∣f (x )∣ 的图象，如图所示，又函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且 x 1<x 2<x 3<x 4， 所以 0<a ≤2，且 log 2(−x 1)=−log 2(−x 2)=2−x 3=x 4−2， 所以 x 1x 2=1，x 3+x 4=4， 所以 ax 1x 2=a ，x 3+x 4a=4a ，所以 ax 1x 2+x 3+x 4a =a +4a ≥2√a ⋅4a =4，当且仅当 a =2 时“=”成立； 所以 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 [4,+∞)．71. √52【解析】xy+2yzx2+y2+z2=xy+2yzx2+15y2+45y2+z2≤xy+2yz2√5xy+4√5yz=√52．72. 34【解析】当a>0时，1 2∣a∣+∣a∣b=12a+ab=a+b4a+ab=14+(b4a+ab)≥54;当a<0时，1 2∣a∣+∣a∣b=1−2a+−ab=a+b−4a+−ab=−14+(b−4a+−ab)≥34.综上所述，12∣a∣+∣a∣b的最小值是34．73. 3【解析】设a+2b=m，2a+b=n，则m+n=3，原式变形为：1 m +4n=13(m+n)(1m+4n)=13(5+nm+4mn)≥13(5+2√nm⋅4mn) =3;当且仅当nm =4mn时等号成立．74. [10−4√3,10+4√3]75. 12+6√3【解析】因为log9(9a+b)=log3√ab，所以9a+b=ab，即1a +9b=1，所以，3a+b=(3a+b)⋅1=(3a+b)⋅(1a +9b)=3+9+ba +27ab≥12+2⋅√ba ⋅27ab=12+6√3,当且仅当：a=1+√3，b=3(3+√3)时，取“=”，即3a+b的最小值为：12+6√3．76. 2√3+12【解析】2a +4b +3=(2a +b )+3(b +1)=[(2a +b )+3(b +1)](12a +b +1b +1)=4+3(b +1)2a +b +2a +b b +1≥4+2√3(b +1)2a +b ⋅2a +bb +1=4+2√3,即2a +4b +3≥4+2√3,亦即a +2b ≥12+√3. 当且仅当 2a +b =√3(b +1) 时取等号． 77. −2【解析】12∣a∣+∣a∣b=a+b 4∣a∣+∣a∣b=a 4∣a∣+b 4∣a∣+∣a∣b≥a 4∣a∣+2√b4∣a∣⋅∣a∣b=a 4∣a∣+1.当 a <0，b =2∣a ∣ 时，取得最小值 34．由 a +b =2，b =−2a ，解得 a =−2． 78. 1 79. √32【解析】由题意可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以 cos∠MAB =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )√(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2√(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2√AC+19CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ∣．设 ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣sinθ，∣CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosθ，（0<θ<π2）． 所以cos∠MAB=sin2θ+13cos2θ√sin2θ+19cos2θ=1+2sin2θ√1+8sin2θ=1+14(8sin2θ+1)−14√1+8sin2θ=34√1+8sin2θ14√1+8sin2θ≥√3 2,当θ=π6时取“=”．所以cos∠MAB的最小值为√32．80. −2【解析】1 2∣a∣+∣a∣b=a+b4∣a∣+∣a∣b=a4∣a∣+b4∣a∣+∣a∣b≥a4∣a∣+2√b4∣a∣⋅∣a∣b=a4∣a∣+1.当且仅当b4∣a∣=∣a∣b，即b=2∣a∣时取等号．当a<0时，当且仅当b=−2a,a+b=2，即a=−2时，12∣a∣+∣a∣b的最小值为a 4∣a∣+1=−14+1=34;当a>0时，当且仅当b=2a,a+b=2，即a=23时，12∣a∣+∣a∣b的最小值为a 4∣a∣+1=14+1=54.综上，当a=−2时，12∣a∣+∣a∣b的最小值为34．第三部分81. （1）由2x+8y−xy=0，得8x +2y=1．又x>0，y>0，则1=8x +2y≥2√8x⋅2y=√xy，得xy≥64，当且仅当x=16，y=4时，等号成立．所以xy的最小值为64．（2）由2x+8y−xy=0，得8x +2y=1．则x+y=(8x +2y)⋅(x+y)=10+2xy +8yx≥10+2√2xy ⋅8yx=18,当且仅当x=12，y=6时等号成立，所以x+y的最小值为18．82. （1）由已知得1x +4y=1，则x+y=(x+y)(1x +4y)=5+yx+4xy≥5+4=9．因此，x+y的最小值是9，当且仅当yx =4xy即x=3，y=6时取到．（2）由已知得1x +4y=1，因为1x +4y≥2√4xy，所以1≥2√4xy．得xy≥16，所以xy的最小值是16，当且仅当1x =4y，即x=2，y=8时取到．83. （1）由题意可得：L={2x+kx−8+2,0<x<6 11−x,x≥6．因为x=2时，L=3，所以3=2×2+k2−8+2，所以k=18．（2）当0<x<6时，L=2x+18x−8+2，所以L=2(x−8)+18x−8+18=−[2(8−x)+188−x]+18≤−2√2(8−x)⋅188−x+18=6,当且仅当2(8−x)=188−x即x=5时取等号．当x≥6时，L=11−x≤5，所以当x=5时，L取得最大值6，所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6．84. （1）由已知得1x +4y=1，则x+y=(x+y)(1x +4y)=5+yx+4xy≥5+4=9．因此x+y的最小值是9，当且仅当yx =4xy，即x=3，y=6时取到．（2）由已知得1x +4y=1，因为1x +4y≥2√4xy，所以1≥2√4xy，所以xy≥16，故x+y的最小值是16，当且仅当1x =4y，即x=2，y=8时取到．85. （1）由题意可得：x>0,y>0,log a(xy)=2,所以xy=a2,所以1 x +1y≥2√1xy=2a.所以，当且仅当x=y=a时取等号，这时所求的最小值为2a．（2）20=2x+5y≥2√2x⋅5y=2√10xy,所以xy≤10,当且仅当2x=5y=10,即x=5,y=2时取等号，这时lgx+lgy=lg(xy)<lg10=1,所以，最大值为1．（3）4=x2+4y2≥2√x2⋅4y2=4∣xy∣,所以∣xy∣≤1,当且仅当x2=4y2=2,即∣x∣=√2,∣y∣=√22时取等号．即当x=√2,y=√22或x=−√2,y=−√22时,xy有最大值1．86. （1）利用基本不等式，得(a2 x +b2y)(x+y)=a2+b2+a2⋅yx+b2⋅xy≥a2+b2+2√a2⋅yx⋅b2⋅xy=(a+b)2,故a 2x+b 2y≥(a+b )2x+y ，当且仅当 a 2⋅y x=b 2⋅xy，即 a x=by时，上式取等号． （2） 由（1）知 f (x )=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x )=25， 当且仅当22x=31−2x，即 x =15时取等号，即 f (x )min =25．87. （1） 当 −1≤x <3 时，f (x )=4；当 x ≥3 时，f (x )=2x −2．所以不等式 f (x )≤6 等价于 {−1≤x <3,4≤6 或 {x ≥3,2x −2≤6.所以 −1≤x <3，或 3≤x ≤4． 所以 −1≤x ≤4所以原不等式的解集为 {x∣ −1≤x ≤4}．（2） 由（1），得 f (x )={4,−1≤x <32x −2,x ≥3．可知 f (x ) 的最小值为 4． 所以 n =4．所以 8ab =a +2b ，变形得 1b +2a =8． 因为 a >0，b >0， 所以2a +b =18(2a +b )(1b +2a )=18(5+2a b+2b a)≥18(5+2√2ab ⋅2b a)=98.当且仅当 2ab =2ba，即 a =b =38 时，取等号． 所以 2a +b 的最小值为 98． 88. 因为 a ，b ，c 为正实数，所以由基本不等式，得 c 2a +a ≥2c ，a 2b +b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，当且仅当 a =b =c =1 时取等号． 三式相加，得：c 2a +a 2b+b 2c≥a +b +c ．又 a +b +c =3， 所以 c 2a +a 2b+b 2c≥3．89. （1） 函数 f (x )=∣x −1∣−2∣x +1∣={−x −3,x ≥1−3x −1,−1<x <1x +3,x ≤−1，所以 f (x ) 的最大值为 f (−1)=2，所以 a =2． （2） 因为 1m +12n =a =2，且 m >0，n >0，所以m +2n =(m +2n )×12×(1m +12n )=12×(2+m 2n+2n m)≥12×(2+2√m2n ×2n m)=2.当且仅当 m2n =2nm，即 m =1，n =12 时等号成立； 所以 m +2n ≥2．90. （1） 因为 ∣x +3∣+∣x −1∣≥∣(x +3)−(x −1)∣=4，当且仅当 −3≤x ≤1 时，等号成立，所以 f (x ) 的最小值等于 4，即 m =4，f (a )=m ，则实数 a 的取值集合为 {a∣ −3≤a ≤1}． （2） 因为 m =4，所以 p 2+2q 2+r 2=4，所以 (p +r )2+2q 2−2pr =4， 因为 (p −r )2≥0，所以 p 2+r 2≥2pr ，所以 (p +r )2≥4pr ，所以 2pr ≤(p+r )22，当且仅当 p =r 时取等号，所以 (p+r )22+2q 2≤4，又因为(p+r )22+2q 2≥2(p +r )q ，当且仅当 p +r =2q 时取等号，所以 2q (p +r )≤(p+r )22+2q 2≤4，所以 q (p +r )≤2，当且仅当 p =q =r =1 或 p =q =r =−1 时取等号， 综上所述，结果是：q (p +r )≤2．91. （1） 设切点为 P (x 0,x 0+m )，则 fʹ(x 0)=1， 由 fʹ(x )=1x+2，有 1=1x0+2，解得 x 0=−1，于是 m −1=0，得 m =1．（2） 构造函数 g (x )=x +1−ln (x +2)，其导数 gʹ(x )=1−1x+2=x+1x+2， 当 x ∈(−2,−1) 时，gʹ(x )<0；当 x ∈(−1,+∞) 时，gʹ(x )>0， 所以 g (x ) 在区间 (−2,−1) 单调递减，在区间 (−1,+∞) 单调递增， 所以 g (x )>g (−1)=0，因此对于 x ∈(−2,−1)∪(−1,+∞)，总有 x +1>ln (x +2)， 即除切点 (−1,0) 外，直线 l 总在函数 f (x ) 的图象的上方． （3） 因为 a ，b ，c 是两两不相等的正实数， 所以 a +c >2√ac ，又因为 a ，b ，c 成等比数列， 所以 b 2=ac ，于是 a +c >2√ac =2b ，而 f (a )+f (c )=ln [(a +2)(c +2)]=ln [ac +2(a +c )+4]， 2f (b )=2ln (b +2)=ln (b 2+4b +4)，由于 ac +2(a +c )+4=b 2+2(a +c )+4>b 2+4b +4，且函数 f (x )=ln (x +2) 是增函数， 因此 ln [ac +2(a +c )+4]>ln (b 2+4b +4)， 故 f (a )+f (c )>2f (b )． 92. （1） 1x +1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2，。