广东省普宁市华美实验学校14—15学年下学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

正视图 侧视图广东省普宁市华美实验学校14—15学年下学期高二期中考试数学（理）试题试卷满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {l ，2，3}，B={2，5，7}，则集合M ∩（C U B ）= ( )A{1} B{2} C {1，3} D {1，2,3}2、执行如图所示的程序框图，若输入的n 值为5，则输出结果为( ) A 5 8 6 C 11 D 163、下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为： “若1x ≠，则2320x x -+≠”4、已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，则456a a a ++= （ ）A ．45B ．43C ． 40D ．425、已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( ) A ．12 B ．1C ．32D ．36、若双曲线 22221x y a b-=，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB. y=C. y=12x ±D .y=2x ± 7、若△ABC 内角A 满足sin2A=34，则sinA +cosA=( ) A．2±B.2C. 2-D 48、过点(4,0)A -向椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为B 、C ，若ABC∆为正三角形，则当ab 最大时椭圆的方程为（ ）A ．223188x y +=B ．22311616x y +=C ．224199x y +=D ．228199x y += 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．计算积分11e dx x=⎰__________． 10．计算：(1i)(12i)+-= ．（i 为虚数单位）11．设0,0a b >>2a 与2b 的等比中项，则11ab+的最小值为 ．12.已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x >时，()ln xf x e x =+，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是 。

13．如图,在△ABC 中,32=,31=,若AC AB AP μλ+=,则μλ的值为 .14、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=.0ln ,0),ln()(x x x x x f ， 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．C BAPD（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．求取出了4次才停止取出卡片的概率。

16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A( cosx，1)，B(l，- sinx)，X∈R，(I)求| AB |的最小值；(Ⅱ)设，将函数f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图像求函数g(x)的对称中心.17（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A l B1C1中，A l B1= A l C1，D，E分别是棱BC，C C1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(I)平面ADE⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)直线A1F∥平面ADE18.（本小题满分14分）若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点)1n PS +（*n N ∈）在曲线2(1)y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设11n n n b a a +=⋅，n T 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：12n T <.20（本小题满分14分）已知函数x x a ax x f ln )12()(2++-=,∈a R. （Ⅰ） 当1=a 时,求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ） 若关于x 的方程x a ax x f )1(22)(2+-=恰有两个不等的实根,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设1)(--=x e x g x , 当a ≤0时, 若对于任意的),0(1+∞∈x ,∈2x R,不等式)(1x f ≤)(2x g 恒成立,求实数a 的取值范围.答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分） 9、 1 10、 3-i11、 4 12、 1(,)2-∞ 13、 314、 )1,0()1,( --∞三、解答题（共80分） 15. （本小题满分12分）解: (1)记事件A 为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分因为奇数加偶数可得奇数，所以11352815()28C C P A C ⋅==所以所得新数是奇数的概率等于1528． (2) 根据题意得11113521111187651(4).56CC C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅=16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()1sin ,cos 1---=x x ()())4sin(2231sin cos 122π-+=--+-=x x x所以当1)4sin(-=-πx 12223-=-=………………………6分（Ⅱ）)4cos(2sin cos )(π+=-=⋅=x x x OB OA x f由题意得：)421cos(2)(π+=x x g令πππk x +=+2421得：ππk x 22+=所以函数)(x g 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,22ππk )(Z k ∈…………………………12分17.（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC. 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1. …………………………………6分 （Ⅱ）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F.又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD.又AD 在平面ADE 内，A 1F 不在平面ADE 内，所以A 1F ∥平面ADE. …………14分 18.（本小题满分14分） 解:(1)因为点)1n PS +在曲线2(1)y x =+上,所以211)n S +=. …………1分由211)n S +=1=. ……………3分1=所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列 ……………4分1)1n -⨯n =, 即2n S n = ……………5分 当2n ≥时，221(1)n n n a S S n n -=-=--21n =- ……………6分 当1n =时，2111n a =⨯-=也成立 ……………7分 所以*n N ∈， 21n a n =- ……………8分 (2) 因为111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+,所以0n b >, ……………9分1111335(21)(21)n T n n =+++⨯⨯-⋅+ (11111111)=++++233523212121n n n n -------+(1) ……………12分 11=(1)221n -+1122(21)n =-+12< ……………14分19.（本小题满分14分） 略20（本小题满分14分）.（Ⅰ）解:当1=a 时,函数x x x x f ln 3)(2+-=, 则xx x x x x x f )1)(12(132)('2--=+-=. ………………（1 分）令0)('=x f ,得211=x ,12=x , 当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表:∴)(x f 在)2,0(和),1(+∞上单调递增,在)1,2(上单调递减. ……（2 分） 当21=x 时,2ln 45)21()(--==f x f 极大值, 当1=x 时,2)1()(-==f x f 极小值.………………（4 分）（Ⅱ）解:依题意x a ax x x a ax )1(22ln )12(22+-=++-, 即0ln 2=--x x ax . 则2ln xxx a +=. ………………（5 分）令2ln )(x x x x r +=,则2ln 21)(ln 2)11()('x x x x x x x x x x r --=+-+=. …（6 分）当10<<x 时,0)('>x r ,故)(x r 单调递增（如图）,且011)1(2<+-=+-=e e e e er ；当1>x 时,0)('<x r ,故)(x r 单调递减,且0ln 2>+xxx . ∴函数)(x r 在1=x 处取得最大值1)1()(max ==r x r . ………………（8 分） 故要使2ln xxx y +=与a y =恰有两个不同的交点,只需10<<a . ∴实数a 的取值范围是)1,0(. ………………（9 分）对于任意的),0(1+∞∈x ,∈2x R,不等式)(1x f ≤)(2x g 恒成立, 则有)(1x f ≤0)0(=g 恒成立.即不等式)(x f ≤0对于任意的),0(+∞∈x 恒成立. xx ax x x a ax x f )1)(12(1)12(2)('2--=++-=,⑴ 当0=a 时,xxx f -=1)(', 由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. ∵01)1()(max <-==f x f , ∴0=a 符合题意.………………（10分）⑵ 当0<a 时,xx ax x f )1)(12()('--=,由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. 由1)1()(max --==a f x f ≤0,解得1-≤0<a , ∴1-≤0<a 符合题意.………………（12分）⑶ 当0>a 时,x x ax x f )1)(12()('--=,由0)('=x f ,得ax 211=,12=x ,① 当210<<a 时,11>x , 由0)('>x f ,得10<<x 或a x 21>；由0)('<x f ,得ax 211<<, ∴)(x f 在),21(+∞a上是增函数,与)(x f ≤0对于任意),0(+∞∈x 恒成立矛盾.②当21=a 时,x x x f 2)1()('-=≥0,)(x f 在),0(+∞上是增函数,与)(x f ≤0对于任意的),0(+∞∈x 恒成立矛盾. ③ 当21>a 时,101<<x , 由0)('>x f ,得a x 210<<或1>x ；由0)('<x f ,得121<<x a, ∴)(x f 在),1(+∞上是增函数,与)(x f ≤0对于任意),0(+∞∈x 恒成立矛盾. 综上所述,实数a 的取值范围是]0,1[-. ………………（14分）（Ⅲ）解:由1)(--=x e x g x ,得1)('-=x e x g , 由0)('>x g ,得0>x ；由0)('<x g ,得0<x ,∴)(x g 在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是增函数. 故0)0()(min ==g x g .对于任意的),0(1+∞∈x ,∈2x R,不等式)(1x f ≤)(2x g 恒成立, 则有)(1x f ≤0)0(=g 恒成立.即不等式)(x f ≤0对于任意的),0(+∞∈x 恒成立. xx ax x x a ax x f )1)(12(1)12(2)('2--=++-=,⑴ 当0=a 时,xxx f -=1)(', 由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. ∵01)1()(max <-==f x f , ∴0=a 符合题意.………………（10分）⑵ 当0<a 时,xx ax x f )1)(12()('--=,由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. 由1)1()(max --==a f x f ≤0,解得1-≤0<a , ∴1-≤0<a 符合题意.………………（12分）⑶ 当0>a 时,x x ax x f )1)(12()('--=,由0)('=x f ,得ax 211=,12=x ,① 当210<<a 时,11>x , 由0)('>x f ,得10<<x 或a x 21>；由0)('<x f ,得ax 211<<, ∴)(x f 在),21(+∞a上是增函数,与)(x f ≤0对于任意),0(+∞∈x 恒成立矛盾. ②当21=a 时,x x x f 2)1()('-=≥0,)(x f 在),0(+∞上是增函数,与)(x f ≤0对于任意的),0(+∞∈x 恒成立矛盾. ③ 当21>a 时,101<<x , 由0)('>x f ,得a x 210<<或1>x ；由0)('<x f ,得121<<x a, ∴)(x f 在),1(+∞上是增函数,与)(x f ≤0对于任意),0(+∞∈x 恒成立矛盾. 综上所述,实数a 的取值范围是]0,1[-.………………（14分）。