初一 第十二讲 三角形之图形变换
七年级数学三角形的初步知识;图形和变换浙江版知识精讲
七年级数学三角形的初步知识；图形和变换某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形的初步知识；图形和变换（一）三角形的初步知识1. 三角形的初步知识（1）三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；（2）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180 ；（3）三角形按内角的大小进行分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；（4）三角形的外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（5）三角形的三线的概念：三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高线。
2. 全等三角形：（1）全等三角形的概念、对应点、对应边、对应角；（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；（3）全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS。
3. 两个重要的定理：（1）中垂线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
4. 作图：作三角形（二）图形和变换1. 轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念及基本作图；2. 运用四个变换的性质解决一些实际问题。
二. 重点、难点重点：对前两章知识进行回顾复习；难点：知识的综合运用。
【模拟试题】亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！1. 试卷满分120分，答卷时间90分钟；2. 允许使用科学计算器。
一. 选择题（3’×15＝45’）1. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③2. 在5×5方格纸中将图（1）中的图形N平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是图1 图2A. 先向下移动1格，再向左移动1格B. 先向下移动1格，再向左移动2格C. 先向下移动2格，再向左移动1格D. 先向下移动2格，再向左移动2格3. 在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则与∠C相邻的外角的度数是A. 35°B. 45°C. 80°D. 100°4. 如图，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA’B’的理由是A. 边角边B. 角边角C. 边边边D. 角角边5. 如图，△DEF是△ABC经过平移得到的，则平移的方向是A. 射线AC的方向B. 射线BC的方向C. 射线AD的方向D. 无法确定6. 将下列图形绕着一个点旋转120°后，不能与原来的图形重合的是A B C D7. 如图，D在AB上，E在AC上，且AD=AE，则下列条件中，不能判定△ABE≌△ACD 的是A. DC＝BEB. AB＝ACC. ∠B＝∠CD. ∠AEB＝∠ADC8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC＝3，BC＝，则点D到AB的距离是A. 3B. 39. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB为A. 80°B. 72°C. 48°D. 36°10. 三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内的是A. 角平分线、高B. 中线、高C. 角平分线、中线D. 以上都不对11. 如图，将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是A. 这种变换是相似变换B. 对应边扩大到原来的2倍C. 各对应角度数不变D. 面积扩大到原来的2倍12. 有下列6组长度的线段：①3，4，5；②3，7，4；③5，2，2；④4，4，4；⑤1，2，3；⑥a，a＋2，2a＋1（其中a>0）；一定可以首尾相接组成三角形的是A. ①②③④⑤⑥B. ①④⑤C. ①⑤⑥D. ①④⑤⑥13. 下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。
这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。
下面将对这些知识点进行整理和阐述。
一、平移平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。
在平移中，有以下几个关键概念需要注意：1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。
2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。
即平移后的图形与原图形全等。
3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。
即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。
在旋转中，要注意以下几个关键概念：1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。
旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。
顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。
3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。
对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。
对于逆时针旋转，公式则相反。
三、对称对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。
对称中需要注意以下几个关键概念：1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。
对称轴可以是一条直线、一个点或平面。
2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。
3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理图形变换是初中数学中的重要内容，它涵盖了平移、旋转、翻折和放缩等多个知识点。
了解图形变换的概念和基本原理，对于学好初中数学和几何学有着重要的意义。
本文将对初中数学图形变换的知识点进行整理和总结。
首先，我们来讨论平移。
平移是指在平面内保持大小和形状不变，只改变位置的变换。
通过平移变换，图形在平面内沿着某一方向移动，可以描述为向上、向下、向左或向右平移。
平移的关键是平移向量，它由水平方向和垂直方向的平移量组成。
平移变换可以用向量法来表示，即将平移向量的水平位移和垂直位移分别应用到图形的每一个点上。
接下来是旋转变换。
旋转是指围绕某一点旋转图形的变换。
在旋转变换中，旋转中心是关键点，它决定了旋转的中心和方向。
通过角度来确定旋转的大小，顺时针旋转和逆时针旋转分别由正负角度表示。
旋转变换可以用正弦和余弦函数来表示，通过坐标变换的方式来实现。
对于一个图形中的点，通过将其坐标按照旋转公式进行计算，可以得到旋转后的新坐标。
第三个知识点是翻折变换。
翻折是指关于某条直线对称的变换。
在翻折变换中，直线称为对称轴，它决定了翻折的位置和方向。
通过关于对称轴两侧的点对应，可以得到翻折后的新图形。
对称轴可以是水平线、垂直线或斜线，只要两侧的点位置对应即可。
翻折变换也可以通过坐标变换的方式来实现，通过确定翻折的对称轴和对称中心，将图形上的点按照对称关系进行计算。
最后是放缩变换。
放缩是指改变图形的尺寸大小的变换。
放缩变换可以分为放大和缩小两种情况。
放大是指增加图形的尺寸，缩小是指减小图形的尺寸。
放缩变换可以通过改变图形的横坐标和纵坐标的比例因子来实现。
比例因子大于1时图形放大，小于1时图形缩小。
放缩变换还可以通过矩阵变换的方式来实现，通过对图形的顶点坐标进行矩阵运算，可以得到放缩后的新坐标。
在实际问题中，图形变换常常与应用问题相结合。
例如，在地图上标记某一城市的位置时，可以通过平移变换将城市的位置标记到地图上的正确位置；在建筑设计中，可以使用旋转变换来调整建筑物的朝向；在布艺设计中，可以使用翻折变换来设计出各种不同的花纹；在制作模型时，可以使用放缩变换来控制模型的尺寸大小。
初中数学知识归纳三角恒等变换的基本概念与应用
初中数学知识归纳三角恒等变换的基本概念与应用初中数学知识归纳——三角恒等变换的基本概念与应用三角恒等变换是数学中非常重要的一个概念，并且在初中数学中得到广泛的应用。
它主要通过利用三角函数之间的基本关系，来推导和证明其他与三角函数相关的等式和恒等式。
本文将对三角恒等变换的基本概念和应用进行归纳和总结。
一、三角恒等变换的基本概念在介绍三角恒等变换之前，我们需要了解三角函数的基本性质。
在直角三角形中，我们定义了正弦、余弦和正切等三种基本三角函数。
而对于任意的角度，我们可以通过这三种基本三角函数来进行计算和表示。
而三角恒等变换是基于这些三角函数的性质和基本关系推导得来的。
我们先来了解一下常见的三角恒等式：1. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$2. 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$3. 正切的定义：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$通过以上三个基本定理，我们可以得到许多与三角函数相关的恒等式，更进一步地，我们可以通过这些恒等式进行变换和推导。
二、三角恒等变换的应用1. 恒等式的证明三角恒等变换最常见的应用之一，就是用来证明一些三角恒等式。
通过变换等式的两边，我们可以将一个复杂的三角函数表达式转化为另一种形式。
比如，要证明$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$这个著名的三角恒等式，我们可以利用正弦和余弦的定义，将左边的式子进行展开和变换，最终将其转化为右边的式子。
2. 解方程和计算三角恒等变换在解三角方程和计算某些数值时也经常被用到。
通过变换等式的形式，我们可以将含有三角函数的方程转化为另一种形式，从而更容易求解。
同时，利用三角恒等式，我们也可以将某些复杂的三角函数表达式简化，得到更为简洁的结果。
3. 三角函数的图像变换利用三角恒等变换，我们还可以对三角函数的图像进行变换和平移。
数学北师大版七年级下册全等三角形的图形变换
❖ 比一比：以小组为单位，请选择以上九种图形中任 意一种，然后自编一道题目，给其他小组解答
【探究学习二】
❖ 如上9个图形中，你还有新的发现吗？（隐含条件）把你的结论和小组 同学分享一下。
❖ 图（1）中隐含了_平__行__线____及_公__共_边____,图（2）中隐含了__平_行__线___ ❖ 图（3）中隐含了_公__共__边___图（4）中隐含了__公_共__边____及__平__行_线___, ❖ 图（5）中隐含了_平__行__线__及_对_顶__角__,图（6）中隐含了平__行__线__及公__共__边__, ❖ 图（7）中隐含了_公__共__边___及_对_顶__角__,图（8）中隐含了_公__共_角____ ❖ 图（9）中隐含了__公__共__角___及_对__顶_角____,
❖ 3.怎样判断两个三角形全等？
❖ 4.在数学的世界里，几何图形是千变万化的，你能用两
个全等的三角形拼出下列这些图形吗？它们分别是两个 完全重合的三角形通过怎样的变化得到的？图12.gsp
【探究学习一】
❖ 如上图2， ❖ ① ABC ECD ，你能得到什么结论？ ❖ ②如果现在知道 AB // EC, AC // ED ，你能判断出 ❖ ABC ECD 吗？为什么？ ❖ ③你能添加一个条件使这两个三角形全等吗？
【例题讲解】
E
D P
MN
A
C
B
ห้องสมุดไป่ตู้ 变式训练
E
C D
A
B
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
初中数学知识归纳三角恒等变换
初中数学知识归纳三角恒等变换初中数学知识归纳——三角恒等变换三角恒等变换是初中数学中的重要内容之一，它是解决三角函数相关题目的基础。
在数学学习中，了解并熟练掌握三角恒等变换对于提高解题效率、拓宽思维方式、加深对三角函数的理解都具有重要作用。
本文将对三角恒等变换进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本概念在开始具体介绍三角恒等变换之前，我们首先需要了解一些基本概念。
三角恒等变换是指通过等式变换的方式，将一个三角函数表达式转化为相等的另一个三角函数表达式。
在这个过程中，我们需要用到一些基本的三角函数关系，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、常见恒等变换下面我们将重点介绍一些常见的三角恒等变换，对于初中数学学习而言，这些恒等变换是必须要熟练掌握的。
这些恒等变换可以帮助我们简化计算、拓宽解题思路、提高解题速度。
1. 余弦函数的恒等变换（1）余弦函数和正弦函数之间的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1（2）余弦函数的偶性：cos(-θ) = cosθ（3）余弦函数的倒数：1/cosθ = secθ2. 正弦函数的恒等变换（1）正弦函数和余弦函数之间的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1（2）正弦函数的奇性：sin(-θ) = -sinθ（3）正弦函数的倒数：1/sinθ = cscθ3. 正切函数的恒等变换（1）正切函数和余切函数之间的关系：tanθ = sinθ/cosθ（2）正切函数的奇性：tan(-θ) = -tanθ（3）正切函数的倒数：1/ta nθ = cotθ4. 其他特殊变换（1）和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB（2）倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)三、应用举例为了更好地理解和应用三角恒等变换，我们可以通过一些具体的例子来加深印象。
第十二章全等三角形12.1全等三角形教案
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们在讨论全等三角形在实际生活中的应用时，思路不够开阔。为此，我计划在下一节课提前准备一些与全等三角形相关的实际问题，引导学生从不同角度去思考和探讨。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过全等三角形的定义、性质及判定方法的探讨，使学生掌握严密的逻辑推理过程，提高几何证明能力。
2.培养学生的空间想象能力：运用全等三角形的知识解决实际问题，激发学生对几何图形的空间想象，增强几何直观感知。
3.提升学生的数据分析能力：在解决实际问题时，指导学生分析数据，运用全等三角形的判定方法，培养学生从几何角度分析问题的能力。
3.全等三角形的证明：指导学生运用已知条件和全等三角形的判定方法，进行严密的逻辑推理，证明两个三角形全等。
4.实际应用：结合生活实际，让学生运用全等三角形的性质和判定方法解决一些几何问题，提高学生解决问题的能力。
5.练习题：设计具有代表性的练习题，巩固学生对全等三角形知识的掌握，提高学生的几何解题技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠、剪裁等操作，演示全等三角形的基本原理。
五、教学反思
今天在讲授全等三角形这一章节时，我发现学生们对全等三角形的定义和判定方法掌握得还不错，但在实际应用上，他们似乎还有一些困难。我意识到，可能需要在以下几个方面进行改进：
《图形的变换》知识点归纳
《图形的变换》知识点归纳在我们的日常生活和学习中，图形的变换是一个非常重要的概念。
它不仅存在于数学的世界里，还在艺术、设计、工程等多个领域有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解图形变换的相关知识点。
一、平移平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。
平移不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
例如，在方格纸上，将一个三角形向右平移 5 格，那么三角形的每个顶点都要向右移动 5 格，而且三角形的边的长度、角的大小都不会改变。
平移的性质包括：1、平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变。
2、对应点所连的线段平行且相等。
3、对应线段平行且相等，对应角相等。
在解决平移相关的问题时，我们要先确定平移的方向和距离，然后根据这些信息来准确地画出平移后的图形。
二、旋转旋转是指一个图形绕着一个定点，按照一定的方向和角度转动。
比如，钟表的指针围绕钟表的中心旋转，风车的叶片围绕中心轴旋转等。
旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。
旋转中心是图形围绕转动的那个点；旋转方向分为顺时针和逆时针；旋转角度则是图形旋转的度数。
旋转的性质有：1、旋转前后图形的大小和形状不变。
2、对应点到旋转中心的距离相等。
3、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
在进行旋转图形的绘制时，要先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，然后将图形的各个顶点按照要求进行旋转，最后连接各个顶点得到旋转后的图形。
三、轴对称轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如，等腰三角形、正方形、圆形等都是轴对称图形。
轴对称图形的性质：1、对称轴是对称点连线的垂直平分线。
2、对应线段相等，对应角相等。
在判断一个图形是否为轴对称图形时，关键是看能否找到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后能够完全重合。
四、中心对称中心对称是指把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
初中数学图形变换知识点汇总
初中数学图形变换知识点汇总图形变换指的是在平面上对图形进行平移、旋转、翻转和放缩等操作，从而改变图形的位置、形状和大小。
这些操作对于初中数学学习来说非常重要，能够帮助学生更好地理解几何图形的特性和性质。
下面将对初中数学图形变换的知识点进行详细的汇总。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而保持图形的大小和形状不变。
平移变换的关键是确定平移的方向和距离。
1. 平移的基本概念平移是平移向量的长度和方向决定的，平移向量可以表示为 (a, b) 或向量→v(a,b)。
其中，a 表示横向平移的距离，b 表示纵向平移的距离。
2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形的对称性。
（3）平移不改变图形的内角和。
3. 平移的判断方法判断两个图形是否为平移关系，可以通过判断两个图形的对应点是否平移得到。
如果两个图形的对应点都平移相等的距离，则它们之间存在平移关系。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定的角度，从而改变图形的方向和位置。
旋转变换也是基础的图形变换方式之一。
1. 旋转的基本概念旋转是以旋转中心、旋转角度和旋转方向来描述的。
旋转中心是图形旋转的中心点，旋转角度是指图形绕旋转中心旋转的角度，旋转方向决定了图形是否顺时针或逆时针旋转。
2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的大小和形状。
（2）旋转保持图形的对称性。
（3）旋转不改变图形的内角和。
3. 旋转的判断方法判断两个图形是否为旋转关系，可以通过判断两个图形的对应边是否按照一定的角度旋转得到。
如果两个图形的对应边旋转相同的角度，则它们之间存在旋转关系。
三、翻转变换翻转变换是指将一个图形关于一条直线翻转，使得图形在翻转后对称于该直线。
翻转变换常见的有关于 x 轴、y 轴和原点的翻转。
1. 翻转的基本概念关于 x 轴的翻转是指将图形的每个点的 x 坐标不变，y 坐标取其相反数。
关于y 轴的翻转是指将图形的每个点的 y 坐标不变，x 坐标取其相反数。
初中数学图形变换技巧整理
初中数学图形变换技巧整理图形变换是初中数学中的一个重要内容，对于学生来说，掌握一些图形变换的技巧是非常必要的。
在初中数学中，图形变换主要包括平移、旋转和翻转三种基本变换。
下面，我将为大家整理一些常见的图形变换技巧，希望对大家的学习有所帮助。
首先，我们来看平移变换。
平移是指在平面内保持图形大小和形状不变的前提下，将图形沿着平行于原有位置的某个方向移动一定距离。
平移变换的关键是确定平移的方向和距离。
在进行平移变换时，可以利用向量的性质来进行计算。
假设平移向量为\(\overrightarrow{v}(a,b)\)，那么图形上的每一个点P(x,y)在平移后的位置为P'(x+a,y+b)。
通过这个规律，我们可以很方便地进行平移变换的计算。
其次，我们来看旋转变换。
旋转是指围绕某一点（旋转中心）将图形按照一定角度旋转的变换。
旋转变换的关键是确定旋转中心和旋转角度。
在进行旋转变换时，可以利用正弦、余弦函数来进行计算。
假设旋转中心为O，旋转角度为θ，那么图形上的每一个点P(x,y)在旋转后的位置为P'，可以通过下列公式计算得到：\[x' = x \cdot \cos\theta - y \cdot \sin\theta\]\[y' = x \cdot \sin\theta + y \cdot \cos\theta\]通过这个规律，我们可以方便地进行旋转变换的计算。
最后，我们来看翻转变换。
翻转是指将图形关于一个直线对称的变换。
在进行翻转变换时，可以利用翻折纸的思想来进行计算。
假设翻转直线为l，图形上的每一个点P到翻转直线的距离为d，那么点P对应的翻转后的点P'，可以通过下列规律计算得到：\[P' = P - 2 \cdot d\]通过这个规律，我们可以很方便地进行翻转变换的计算。
除了上述三种基本的图形变换外，我们还可以进行多种变换的组合，来达到更复杂的效果。
例如，通过先进行平移变换，再进行旋转变换，可以实现图形的平移和旋转同时进行。
七年级图形的变换知识点
七年级图形的变换知识点图形的变换是数学中非常基础的概念，同时也是几何学中非常重要的部分之一。
在七年级的数学学习过程中，学生需要学习各种图形的变换，并在实际中应用。
本文将详细介绍七年级图形的变换知识点。
1. 平移变换平移变换是将图形沿着某个方向移动一段距离，保持图形原有形状和大小不变。
平移变换也称为平移、移动或位移。
图形进行平移变换的方式有两种：一种是通过向量的加法实现平移，另一种是通过指定平移量来实现平移。
当通过向量的加法实现平移时，平移变换的公式为：P’ = P + v其中，P表示图形上任意一点的坐标，v表示平移向量，P’表示平移后图形上对应点的坐标。
当通过指定平移量实现平移时，平移变换的公式为：P’（x’, y’）= P（x + a, y + b）其中，a和b表示平移量，P表示图形上任意一点的原始坐标，P’表示平移后图形上对应点的新坐标。
2. 翻折变换翻折变换又称为对称变换或映射变换，它是指将图形围绕某个轴线翻折后形成的新图形。
轴线称为对称轴。
图形进行翻折变换的方式有两种：一种是按照对称轴上的点对图形进行翻折，另一种是按照对称轴上的中垂线对图形进行翻折。
无论采用哪种方式，进行翻折变换后，被翻折的图形与原始图形的形状和大小保持不变。
在翻折变换中，被翻折的图形的每个顶点都沿着对称轴对称，即对于一个点（x，y），它的对称点为（-x，y）或（x，-y）。
3. 旋转变换旋转变换是将图形绕着某个点或某条线旋转一定角度，从而形成新图形的变换。
在旋转变换过程中，图形的形状和大小不变。
旋转变换的公式为：P’（x’, y’）= （x - a）cosθ - （y - b）sinθ + a, （x - a）sinθ +（y - b）cosθ + b其中，θ表示旋转的角度，（a，b）表示旋转的中心点，P表示图形上的任意一个点的坐标，P’表示旋转后的新坐标。
4. 放缩变换放缩变换是指将图形沿着x轴或y轴等比例缩小或扩大的变换。
第十二讲 全等三角形的常用辅助线作法---完美版(备用版)
第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理】：1、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
2、三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
3、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
【专题精讲】：例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
教你如何应用全等三角形的旋转变换
全等三角形作为初中数学中的一个重要知识点，转变换是其中的一个重要应用。
旋转变换是指将一个图形围绕一个固定点进行旋转后得到另一个图形的变换。
在三角形的旋转变换中，我们常用的是以三角形某一个顶点为旋转中心，将整个三角形围绕该点旋转一定角度，再得到一个全等三角形。
本文将教大家如何应用全等三角形的旋转变换。
一、基本概念在进行旋转变换时，我们首先需要了解几个基本概念，这些概念将帮助我们更好地理解旋转变换。
1.旋转中心：旋转中心是指在旋转变换中被旋转的图形围绕的点。
在三角形旋转变换中，我们通常将三角形的某个顶点作为旋转中心。
2.旋转角度：旋转角度指的是图形围绕旋转中心顺时针或逆时针旋转的角度。
在三角形旋转变换中，我们通常使用角度制来表示旋转角度。
3.旋转方向：旋转方向分为顺时针和逆时针两种，根据具体问题来决定采用哪种旋转方向。
二、旋转变换的规律在进行旋转变换时，我们需要掌握一定的规律，这样才能更加准确地进行计算、解题。
1.旋转后对应的点与原点的距离相等在三角形的旋转变换中，旋转后的三角形中点的位置与原三角形中对应点的位置相同，且距离相等。
因此，我们可以通过计算原三角形中对应点与旋转三角形中对应点之间的距离来确定旋转角度。
2.旋转角度相等在三角形的旋转变换中，旋转角度相等，也就是说，如果我们将一个三角形绕不同的顶点旋转，保持其它条件不变，那么我们得到的三角形是全等的。
这个规律对于解决一些旋转变换问题非常有用。
三、应用全等三角形的旋转变换下面我们将通过一些例题来说明如何应用全等三角形的旋转变换。
例题1已知 AB=AC，P为三角形ABC内部一点，且∠CBP = 30°，∠BCP = 75°。
求∠APB 和∠APC 的度数值。
解析：我们可以通过旋转变换来求解该问题。
具体步骤如下：1.以点B为旋转中心，将△BCP绕B点逆时针旋转105°，得到△B'DP。
2.连接AD，可知△B'DA ≌△BCA 。
初中数学的归纳三角变换与像的性质总结
初中数学的归纳三角变换与像的性质总结在初中数学学习中，归纳三角变换是一个重要的内容。
它不仅可以帮助我们理解三角函数之间的关系，还能够应用于解决各种数学问题。
本文将对初中数学中的归纳三角变换以及像的性质进行总结和归纳。
一、归纳三角变换的概念与方法归纳三角变换是指通过对已知三角函数进行一系列代数运算，得到新的三角函数表达式的过程。
常用的归纳三角变换包括：1. 三角函数的和差化积公式：通过代数运算，将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的积。
例如，sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB。
2. 三角函数的倍角公式：通过代数运算，将一个三角函数的角度加倍表示为另一个三角函数的表达式。
例如，sin2A = 2sinAcosA，cos2A = cos²A - sin²A。
3. 三角函数的半角公式：通过代数运算，将一个三角函数的角度减半表示为另一个三角函数的表达式。
例如，sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]，cos(A/2) = ±√[(1+cosA)/2]。
通过运用以上归纳三角变换公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简洁的形式，从而简化计算和推导过程。
二、像的性质的归纳总结在初中数学中，我们学习了数学中的像的性质。
像是指一个物体通过光在镜面上的反射或折射后形成的虚实像。
在研究像的性质时，我们需要关注以下几点：1. 虚实性：像可以是实像或虚像。
实像是由光线实际交叉并能够投射到屏幕或观察面上形成的像，而虚像是由光线看似交叉但实际上不交叉无法投射到屏幕或观察面上形成的像。
2. 放大缩小性：像可以放大、缩小或不变。
当物体与镜片的距离变化时，像的大小也会相应变化。
当物体与镜片的距离增加时，像会变得更小；当物体与镜片的距离减小时，像会变得更大。
3. 正倒性：像可以是正立的或倒立的。
数学中图形变换的知识点
数学中图形变换的知识点数学中图形变换的知识点上学的时候，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺整理的数学中图形变换的知识点，希望能够帮助到大家。
数学中图形变换的知识点1图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）圆有无数条对称轴。
（3）对称点到对称轴的距离相等。
（4）轴对称图形的特征和性质：①对应点到对称轴的距离相等；②对应点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
（5）对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的`另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数数学中图形变换的知识点21、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二讲 征服三角形之图形变换
【知识精讲】：
1、 轴对称变换的性质：
2、 几种常见几何图形的对称性：
【典例精讲】
※利用对称变换在几何作图中求最值
如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水.水泵站修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
李庄
张村
河岸
例1.已知：如图1，直线a 与a 同侧两点A 、B.求作：点C ，使C 在直线a 上，并且AC+CB 最小.
a
A
B
图1
变式：如图1,在一块三角形区域ABC 中,一只蚂蚁P 停留在AB 边上,它现在从P 点出发,先爬到BC 边上的点M,再从点M 爬到AC 边上的点N,然后再回到P 点,请在图上作出M 、N 点,使得蚂蚁爬行的路程最短.
A B
C
P
※利用中垂线对称性求线段长度与角度问题
例2：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.
变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？
变式2：
如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。
A
E D
C B 图3 B C
A
E
D
图1
[变式练习3]
如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5° 求：AC 的长.
例3: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.
(2) 求∠EAN 的度数.
(3) 判断△AEN 的形状.
[变式练习2]:如图6，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.
(2) 求∠EAN 的度数.
(3) 判断△AEN 的形状.
[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.
[变式练习4]
如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.
求:∠EAN 的度数.
A E D C
B 图4 A B
C
D
E M N 图5 A B C
D E M N
图6
N E M
D
A B
C 图7 N
E
M D
A B
C
图8
※图形变换但本质不变
1.如图（1）：已知A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ．若AB=CD ，
试说明BD 平分EF ．若将△DEC 的边DC 沿AC 方向移动变为图（2）时，•其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
2．如图：已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于
D ，MN B
E ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：（1） ①ADC ∆≌
CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立， 说明理由.
3．如图：已知AB=CD ，AD=BC ．O 为AC 中点，过O 点的直线分别与AD ，BC 相交于点M ，N ．
（1）那么∠1与∠2有什么关系？AM ，CN 有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O 点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？
请说明理由．
① ② ③
4．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，过A 的任一直线AN ，•BD•⊥AN 于D ，CE ⊥于E ，试说明DE=BD-CE ；
（2）将直线AN 绕A 点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC 内部，再作BD ⊥AN 于D ，•CE ⊥AN 于E ，那么DE ，DB ，CE 之间还存在等量关系吗？如存在，请说明理
由．
【B 系列—旋转变换】
6．如图：已知△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=0
120的等腰三角形，以D 为顶点作一个0
60角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．
线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系，并证明你的结论．
若点M 、N 分别是AB 、CA 延长线上的点，其它条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系，并证明你的结论．
7、如图：已知在正方形ABCD 中，作∠EAF=45°，AP ⊥EF ，求证：AP=AB ．
课堂挑战：
1．如图：已知∠MON=0
90，在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A 、C 分别在射线OM 、ON 上，点1B 是ON 上的任意一点，在∠MON 的内部作正方形1111D C B A ．
（1）连结1DD ，求证：∠1ADD =0
90（2）连结1CC ，猜一猜，∠CN C 1的度数是多少？并证
明你的结论．
变式：已知在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBE ，求证：DM=MN ．
A B
C
D
E
M
N
M N
C B D
A
A
C
B
D
C
D E
F
P
Ａ
Ｏ 1
C
1
D
C 1B
Ｍ
Ｄ
Ｎ
1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BD，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延
长线于E，求证：DE=AE+BC．
2、如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P点，PE•⊥AC于E
点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．
3、如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF，
求证：BE+CF>EF．。