高一数学下册(春季)-第16讲-等差数列

高一下册（春季）数学辅导教案学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日时 间A /B /C /D /E /F 段主 题等差数列教学内容1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；2. 理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.（以提问的形式回顾）1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.等差数列的主要性质：（1）d k n a a k n )(-+=（2）若p n m 2=+（,,m n p N +∈），则p n m a a a 2=+（3）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+（反之也成立）（其中+∈N q p n m ,,,）如：Λ=+=+=+--23121n n n a a a a a a练习：1. 判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差. （1）数列4，7，10，13，16，…； （2）数列6，4，2，0，-2，-4； （3）数列 1,1,1,1,1；（4）数列 -3，-2，-1，1，2，3.解：（1）是，公差是3； （2）是，公差是-2； （3）是，公差是0； （4）不是.2. 在3与7之间插入一个数A ，使3，A ，7成等差数列，求A 的值.解：因为 3，A ，7 成等差数列， 所以37A A -=-， 237A =+． 解得 5A =． 这部分练习可以设置为抢答题，让学生抢答。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：{}n a 是等差数列.解： 由题设，22n S n n =+当2n ≥时， ()()21121n S n n -=-+-因为()()112311231n n n n n n S S a a a a a a a a a a ----=+++++-++++=L L 所以()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦】例2. 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（1）若5S =5，求6S 及a 1； （2）求d 的取值范围。

解：(1)由题意知S 6=3155-=-S , 8566-=-=s s a ，所以115105,58.a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得a 1=7，所以S 6= -3, a 1=7.(2)方法一：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8. 所以d 2≥8.[ 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥22. 方法二：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0.看成关于1a 的一元二次方程，因为有根，所以222818(101)80d d d ∆=-+=-≥，解得22d ≤-或22d ≥。

试一试：1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A .6 B .7 C .8 D .9 解：选A ，由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .=3332<，又a b >，故A B >，从而00(0,60)B ∈,6cos 3B =. 2. 设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3=3，S 6 =24，则a 9= .解：记首项a 1公差d ,则有.2,124256632233111=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+d a d a d a91(91)18215a a d =+-=-+⨯=.例3. （1）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；（2）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S . 解：（1）11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S ；（2）方法1：令Bn An S n +=2，则n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222. 因为m n ≠，∴1)(-=++B m n A ，∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+；方法2：不妨设n m >m n a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))(( (11321)∴2111-=+=+=++++m n m n n m a a a a a a ，∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++；试一试：1. 设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a 解：12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴填1265. 2.已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8=S 7，则下列说法不正确的是（ ） A ．S 9<S 10 B ．d <0 C ．S 7与S 8均为S n 的最大值 D ．a 8=0 解：选A 由题意知d <0，a 8=0，所以10981091090..a a a S S a S <<=∴=+<（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）（3）由⑴得，当9≤n时，0>na；当9>n时，0<na.∴nnnSSaaaaaaT-=+++-+++=911109212)...(...⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2nnn234253232+-=nn本节课主要知识：证明一个数列是等差数列，等差数列通项公式，前n项和公式及其应用【巩固练习】1. 在等差数列}{na中，12031581=++aaa，则1193aa-的值为（）D A．6 B．12 C．24 D．48解析．由已知有12058=a，248=a，则8881192)3()(33adadaaa=+-+=-2. 在等差数列}{na中，2,365-==aa，则=+++1054aaaΛ_________ -523．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若4518a a=-，则8S=____ 724．已知等差数列}{na中，,0,166473=+-=aaaa求}{na前n项和nS.解：设{}n a的公差为d，则()()11112616350a d a da d a d⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩即22111812164a da da d⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a ad d=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或5. 已知等差数列{}n a中，21920,28a a a=-+=-.（1）求数列{}n a的通项公式；。