二次函数综合(与三角形、四边形结合)学案-word文档
九年级数学上册二次函数的复习——与二次函数有关的数形结合专题(教案)
二次函数的复习----之与二次函数有关的数形结合专题（教案）教师:__________班级：__________ 上课时间：___年____月___日课程名称与二次函数有关的数形结合专题教学目标一、知识技能：运用“数形结合”的思想解决二次函数的图象与性质相关问题，以及方程、不等式等相关应用问题.二、过程与方法：1．通过学霸问题质疑一元二次不等式的方法，步入“数形结合”解决问题之路； 2．引导观察二次函数图象,获取“数形结合”解题思路；2．通过例题的讲解，培养学生提升“数形结合”的数学思想能力. 三、情感态度价值观：通过动态演示，提高学生学习数学的兴趣，从而让学生感受学习数学的快乐，理解掌握“数形结合”数学思想方法.学习重点 “数形结合”在二次函数中的运用 学习难点 “数形结合”在二次函数中的运用 情景引入设计意图一、挑战学霸：从小学到初中，陈正娴同学都是大家公认的学霸.他一直都自信满满，直到有一天，他遇到这样一道题：求下列不等式的解集：3232++->+-x x x她冥思苦想了好几天，始终百思不得其解.让我们一起来挑战一下学霸吧！通过设置挑战学霸的机会，增强学生的好奇心，质疑一元二次不等式的解法，提升学生的学习兴趣。
板书部份学生的“结果“，并带着质疑走进本课学习。
问 题 与 情 景设计意图二、与二次函数图象与性质有关的数形结合 已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，问题：从图中你能得到哪些信息？引导学生学会观察、思考、总结并完成思路建设. 从“形”的角度从“数”的角度知识延伸：问 题 与 情 景设计意图二、与二次函数图象与性质有关的数形结合例 1 已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列说法正确的是：_______________. (1)0>abc ； (2)02>+b a ；(3) 方程c bx ax -=+2，有一个正根和一个负根；(4)1>x 时，y 随x 的增大而减小； (5)0>++c b a .根据前面“数形”配对意识，引导学生从：（1）形状；（2）对称轴、顶点、最值；（3）与坐标轴的交点；（4）增减性；（5）特殊值情况下的不等式；五个方面观察理解函数图象，并完成做题。
第12讲：二次函数综合-教案
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
【答案】见解析
【解析】（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得 ，c＝1．
【题干】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
二次函数综合
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与平行四边形
2.二次函数与等腰三角形
3.二次函数与相似三角形
教学目标
1.掌握二次函数综合
2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题
第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。
函数与四边形综合类型题教案(带答案)
3k b b 3
0，
解得：k=
-1，b=3．所以直线
BC
的函数关系式为：
y
x
3
．
当 x=1 时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．当 x m 时， y m 3，
学习必备 欢迎下载
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
y
A
O Cx
M
B
例 4、 解（1）略。
学习必备 欢迎下载
例 5、已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 3 x 6 与 x 轴、 y 轴的交点分 别为 A、B ，将 OBA 对折， 4
使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C. （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D ，在直线 BC 上是否
B
Q
H
1
O1 C
A
x
K
T 图 10
解：（1）点 C 的坐标为 (3,0) .-∵ 点 A、B 的坐标分别为 A(8,0), B(0,6) ， ∴ 可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析
式为 y a(x 3)(x 8) . 将 x 0, y 6 代入抛物线的解析式，得 a 1 . ∴ 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 4
y 1 x2 11 x 6 . 44
（2）可得抛物线的对称轴为 x 11 ，顶点 D 的坐标为 2
(11, 25) ，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G. 2 16
第11讲 二次函数与三角形的综合 1 教案
二次函数与三角形综合训练在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：图1 图2图3 图41.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积． ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC ∆=⋅．例1（湖北随州）已知函数()()()()22113513x xyx x⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3例2（广西崇左）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1.其中正确的项是（）A．①⑤B．①②⑤C．②⑤D．①③④例3在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线22=+-经过点B．y ax ax（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．例4：如图，已知抛物线21y x=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．⑴求A、B、C三点的坐标．⑵过点A作AP CB∥交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．⑶在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG x⊥轴于点G，使以A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA∆相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．例5：如图，已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于点A 、B ，交y 轴负半轴于C 点，点B在点A 的右侧，90ACB ∠=︒，112OA OB OC-=． (1)求抛物线的解析式；(2)求ABC ∆的外接圆的面积；(3) 在抛物线2y x px q =++上是否存在点P ，使得PAB ∆的面积为 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由．例6 已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点 (),0A m 、()0,B n ． ⑴ 求这个抛物线的解析式；⑵ 设⑴中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和BCD ∆的面积；⑶ P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH ∆分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．例7、解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点()14C ，,交x 轴于点()30A ，，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求CBA ∆的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）抛物线是否存在一点P ，使98P A B C A B S S ∆∆=，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例8：如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB．（1）求抛物线的函数解析式．（2）若N是直线OB下方的抛物线上一点，当△BON的面积最大时，求点N的坐标及△BON的最大面积．（3）若P是直线OB上方的抛物线上一点，当△BOP的面积与（2）中△BON的最大面积相等时，求点P的坐标．。
二次函数综合复习课教案
二次函数综合复习课一、教学目标：（1）使学生进一步理解二次函数解析式的求法，通过例题讲解，使学生了解二次函数与已学过有关知识之间的联系（2）全面回顾平行四边形，相似形的判定，一元二次方程的解法。
二、重点、难点：几何图形在二次函数中综合运用。
三、教学过程：1、复习（1）、二次函数解析式的三种求法；（2）、平行四边形的判定、矩形的判定；（3）、一元二次方程的解法。
2、例题分析与讲解：﹣，点P，对称轴为直线x=），B（是抛物，）A如图，已知二次函数的图象过点（0，﹣3PC=MPPMON上分别截取，⊥y轴于点N，在四边形PM线上的一动点，过点P分别作⊥x轴于点M，PN NF=NP．，OE=ON，MD=OM（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF 两1CDEF是平行四边形；组对边分别对应相等，所以四边PMO是正方形．这样∽MD，可以证明矩）根据已知条件，利用相似三角PC分别求的交点联立解析式解方程组与坐标象限角平分y=y就是抛物y=+的坐标．符合题意的有四个，在四个坐标象限内各一个P解答：2 +ky=a（x+），（1）解：设抛物线的解析式为：）在抛物线上，B（，∵点A（0，﹣3），，∴k=．解得：a=1，22 3．+xx+）=x﹣∴抛物线的解析式为：y=（FC．DE、EF、）证明：如右图，连接（2CD、，y轴于点N，∵PM⊥x轴于点MPN⊥∴四边形PMON为矩形，，PN=OM．∴PM=ON∵PC=MP，OE=ON，；∴PC=OE OMMD=，NF=NP，∵∴MD=NF，．∴PF=OD 中，PCF在△与△OED），SASOEDPCF∴△≌△（．∴CF=DE FEN≌△，CDM同理可证：△CD=EF∴．，CF=DE ∵CD=EF，∴四边形是平行四边形．CDEF2为矩形．，使四边形）解：假设存在这样的点PCDEF（3n，PF=n．，PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=mMD=设矩形△PCF，∽△MDC若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证22∴，即，化简得：m=n，为正方形．PMON ∴m=n，即矩形2 3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．﹣∴点P为抛物线y=x+x联立，，解得，（﹣；），﹣P∴（，P），21，联立，解得，1）．，P，P∴（﹣33），（﹣143为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐，使四边形CDEF∴抛物线上存在点P）．11（﹣，33（﹣，，﹣（﹣，，（标分别为：P）P）P，）P，4213相似三角形、全等三角形、待定系数法、考查了二次函数的图象与性质、点评：本题是二次函数综合题型，）问的要2解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（（第点是全等三角形的证明，PMON问的要点是判定四边形）3然后列方程组求解．必须是正方形，3：练习：课后作业：22+bx﹣，2），抛物线y=x，BAC=90°A（1，0），B（0如图，在坐标系xOy 中，△ABC是等腰直角三角形，∠C点．的图象过1）求抛物线的解析式；（的面积分为相等的两部分？．当ll移动到何处时，恰好将△ABC（2）平移该抛物线的对称轴所在直线点坐标；若不存P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出（3）点P 在，说明理由．二次函数综合题．如解答图所示：的坐标求出抛物线的解析，求出点C的坐标；然后利用点C△（1）首先构造全等三角形AOB≌△CDA 式；的表达式；根F，则可求出EF与BC、AC交于点E、AC（2）首先求出直线BC与的解析式，设直线l的解析式；=据SS，列出方程求出直线l ABC△△CEF P）首先作出?PACB，然后证明点在抛物线上即可．（3 ．ACD=90°DC作CD⊥x轴于点，则∠CAD+∠1解：（1）如答图所示，过点，CAD=90∠OAB=90°，∠OAB+∠°∵∠OBA+ ，∠ACDOBA=∠CAD．∴∠OAB=∠中，△CDAAOB∵在△与≌△CDA（．ASA）AOB∴△，，∴CD=OA=1AD=OB=2 ，∴OD=OA+AD=34）．（3，1∴C2﹣2上，3（，1）在抛物线y=x+bx∵点C．×9+3b﹣2，解得：b=﹣∴1=2．x﹣2∴抛物线的解析式为：y=x﹣，由勾股定理得：AB=．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=22 =．=∴SAB ABC△）（3，1，2BC设直线的解析式为y=kx+b，∵B（0，），C，∴k=﹣，b=2，解得．﹣x+2∴y=的解析式为：同理求得直线ACy=x﹣．如答图1所示，．）=﹣x）﹣（，则分别交于点与设直线lBC、ACE、FEF=（﹣x+2x﹣．x=3CE△CEF中，边上的高h=OD﹣﹣x=SS，由题意得：ABC△△CEF S，h=EF即：?ABC△（）﹣∴（x?3×）﹣x=，2）x=3，﹣3（整理得：x=3+﹣x=3解得或（不合题意，舍去），5 的面积分为相等的两部分．时，恰好将x=3﹣△ABC∴当直线l解析式为）存在．（3 如答图2所示，﹣OG=1．G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB⊥过点C作CGy轴于点PACB为平行四边形．BC，且AP=BC，连接BP，则四边形作过点AAP∥，，则易证△PAH≌△BCG⊥过点P作PHx轴于点H ，∴PH=BG=1，AH=CG=3 OH=AH﹣OA=2，∴1）．P∴（﹣2，2 P在抛物线上．y=1x=x 抛物线解析式为：y=x﹣﹣2，当﹣2时，，即点P，点的坐标为（﹣2，）．1P∴存在符合条件的点点评：是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．6。
期末二次函数复习学案 文档
二次函数复习学案一、基础知识点：1、二次函数的一般形式：y=ax ²+bx+c(a ≠0) 顶点为 ，对称轴是 。
2、如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ .3、y=ax 2, y=ax 2+k, y=a(x-h)2, y=a(x-h)2+k 写出它们的顶点，对称轴。
。
4、y = -2(x -3)²+4的图像的顶点为 ， 其图像是由y= -2x 2向 平移 个单位，再向5 把 y=2x²- 8x+7 配方成 ，其顶点为 ，对称轴为 。
6 、 y=2x 2-x+1 的顶点是______,对称轴是______；当x ______时,y 随x 的增大而减小；当x ______时, y 有最______值是______。
7、二次函数y=2x 2＋x －n 的最小值是2，那么n ＝ 8、y=x 2(1≤ x ≤2)的最小值是 。
9、函数 y=2x ²- 8x+7 的图象是由y=2x ²的图象怎样平移得到的？ 二、知识拓展1、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 。
2、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则a 、b 、c 满足( ).（A ）a ＜0，b ＜0，c ＞0；（B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0； （C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0；（D ）a ＞0，b ＜0，c ＞0。
口诀: 。
.3、 已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、54、比较大小：1、已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 2、已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 3、若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0），此抛物线上121,2x x =-=，对应的y 1 与y 2的大小关系是 。
二次函数综合(动点)问题——四边形面积最值存在问题培优学案(横版)
学习过程一、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形可能对应边成比例进行分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程。
初三数学补充学案—二次函数与三角形(1)
初三数学期末复习学案（6）—二次函数与三角形姓名学习目标1.通过对二次函数中三角形问题的探究学习，渗透数形结合的数学思想，构建“数想形”“形思数”的数学思维方式和意识;2.能根据图象中提供的信息正确地“读解”图象中更多的有效信息.探索活动问题一：已知：如图，二次函数y=x2+(2k–1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B,在抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.练一练：在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90º，AO＝BO，点A的坐标为（－3，1）．（1）求点B的坐标；（2）求过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1，求△AB1B的面积．问题二：如图，在平面直角坐标系中，直线y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)3y ax x c a=-+≠经过A、B、C三点．（1）求过A、B、C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.练一练：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，抛物线y＝x2－2ax＋b2交x轴于两点M、N，交y轴于点P，其中M的坐标是(a＋c，0)．（1）求证：△ABC是直角三角形;（2）若S△MNP＝3S△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．问题三：如图，抛物线254y ax ax=-+经过ABC△的三个顶点，已知BC x∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．练一练：如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABKABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．中考链接1．（10·楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点， 请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．2．（10·常德）如图, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与y 轴 交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF//AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标.3．（10·随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a 、b 、c 的值； （2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.x 图①x图②x 图③（10·郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C.（1）求点A 的坐标；4>-时，上述关系还成b ；若不存在，已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．。
二次函数图象和性质综合应用-人教版九年级数学上册教案
二次函数图象和性质综合应用-人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.掌握二次函数的图象及其性质，能在坐标系中画出二次函数的图象，并正确判断二次函数的开口方向、对称轴、零点、极值等；2.能够应用二次函数的图象及其性质，在数学和实际问题中解决与二次函数相关的各种计算和应用问题。
二、教学重点1.理解二次函数的概念及其图象特征；2.掌握二次函数的常用性质：开口方向、顶点坐标、对称轴、零点、极值等；3.能够应用二次函数的图象特征，解决各种计算和应用问题。
三、教学难点1.理解顶点概念，熟练掌握定点公式的使用；2.熟练掌握完全平方公式的使用。
四、教学过程1. 二次函数的概念和图象特征1.教师引入，逐步解释二次函数的概念，将二次函数与一次函数进行比较，并引导学生思考二次函数的图象特征，强调二次函数是一种抛物线的图象；2.结合具体的图象展示，让学生观察二次函数的图象特点，例如确定开口方向、顶点、对称轴等。
2. 二次函数的性质及应用1.介绍二次函数的常用性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴、零点和极值等；2.指导学生用公式计算二次函数的图象特征，并通过实例巩固知识点，讲解如何根据图象求解二次函数的性质和应用问题；3.引导学生结合数学和实际生活问题，运用二次函数的性质计算和解决问题。
3. 拓展与巩固1.引导学生拓展二次函数的应用领域，例如物理、金融、工程等，让学生尝试解决实际问题；2.小组合作，交流和讨论二次函数的图象和性质，互相分享解题思路，并通过课堂竞赛、小组展示等方式巩固学习成果。
五、教学评价1.通过课堂教学，检测学生对二次函数概念、图象、性质、应用的掌握程度，发现和分析学生的问题和困难；2.采用作业、小测验、课堂表现等方式，评估学生的学习情况，对学生在理论和实际应用方面有针对性的提供帮助和指导。
六、教学反思1.在教学过程中，应注意引导学生深入理解二次函数的图象和性质，不能仅停留在公式的运用上；2.需要结合实际生活问题，让学生明确抽象理论与实际应用的联系和意义；3.应发扬学生主体性，注重学生的自主思考和创新能力，引导学生独立完成问题的分析和解决。
【BSD版春季课程初三数学】第12讲：二次函数综合学案(教师版)
【BSD版春季课程初三数学】第12讲：二次函数综合学案（教师版）二次函数综合第12讲适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1.二次函数与平行四边形2.二次函数与等腰三角形3.二次函数与相似三角形教学目标1.掌握二次函数综合2.掌握二次函数中的数学模型教学重点能熟练掌握二次函数综合问题教学难点能熟练掌握二次函数综合问题【教学建议】【教学建议】本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。
在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理.归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难1.二次函数中平行四边形的存在性问题；2.二次函数中等腰三角形的存在性问题；3.二次函数中相似三角形的存在性问题。
【知识导图】【知识导图】二次函数综合二次函数与平行四边形二次函数与等腰三角形二次函数与相似三角形概述教学过程【教学建议】【教学建议】二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。
属于中考数学的必考内容，函数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。
本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地处理这三种类型试题的策略。
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。
常用处理方式有两种1.导边处理（“SAS”法）第一步先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.2.导角处理（“AA”法）第一步先找到一组关键的等角；第二步,另两个内角分两类对应相等.一.导入二.知识讲解知识点1二次函数与平行四边形知识点2二次函数与等腰三角形知识点3二次函数与相似三角形三.例题精析【题干】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x 轴交于A.B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线lykxb与y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k.b用含a 的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A.D.P.Q为顶点的四边形能否成为矩形若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由图1备用图【答案】【答案】见解析【解析】【解析】（1）由yax22ax3aax1x3，得A1,0由CD4AC，得xD4所以D4,5a由A1,0.D4,5a，得直线l的函数表达式为yaxa（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F设Ex,ax22ax3a，Fx,axa，那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF，得ACE的面积的最大值为解方程，得（3）已知A1,0.D4,5a，xP1，以AD为分类标准，分两种情况讨论如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，ADQP，对角线APQD由xDxAxPxQ，得xQ41122EAECEFxxEFxx12CAEFxx21342axaxa21325228axa258a25584 a25a例题1当x4时，yax1x321a所以Q4,21a由yDyAyPyQ，得yP26a所以P1,26a由AP2QD2，得2226a28216a2整理，得7a21所以此时P如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等由xDxAxPxQ，得xQ2所以Q2,3a由yDyAyPyQ，得yP8a 所以P1,8a由AD2PQ2，得525a21211a2整理，得4a21所以此时P 图1图2图3【题干】【题干】如图1，抛物线yax2bxc（a.b.c是常数，a0）的对称轴为y 轴，且经过0,0和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A0,2（1）求a.b.c的值；（2）求证在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于Mx1,0.Nx2,0两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标77a26717，12a14，1,16a例题2图1【答案】【答案】见解析【解析】【解析】（1）已知抛物线的顶点为0,0，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去了负值）（2）抛物线的解析式为，设点P 的坐标为已知A0,2，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA 圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH 中，，，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2图3如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM21,16a2116a14a214yx21,4xx22241124416PAxxx214x214x224141 6PMPAx22411416PHxx3此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，点P的纵坐标为也为图4图5【题干】【题干】如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点A2,m（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点Bn,2，过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C，联结AB.AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A.C.E所组成的三角形与ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1【答案】【答案】见解析【解析】【解析】（1）将点A2,m代入yx2，得m4所以点A的坐标为2,4将点A2,4代入，得k832222112323142344x423kyx例题3（2）将点Bn,2，代入，得n4所以点B的坐标为4,2设直线BC为yxb，代入点B4,2，得b2所以点C的坐标为0,2由A2,4.B4,2.C0,2，可知A.B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B.C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB，BC，ABC90所以SABC8（3）由A2,4.D0,2.C0,2，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE与ACD相似，分两种情况如图3，当时，CEAD此时ACDCAE，相似比为1如图4，当时，解得CE 此时C.E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E10,8图2图3图4【教学建议】【教学建议】8yx224212BABC12242222210CEADCAAC22CEACCAAD21021022CE1 02四.课堂运用在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生做针对性的练习。
《二次函数与几何图形的综合问题》教学设计
《二次函数与几何图形的综合问题》教学设计一、学情分析认知基础：大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺。
活动经验基础：通过以前的学习，学生已初步掌握数形结合的数学思想，能结合实际问题情境观察、分析图象得出有用的信息。
二、教学目标知识目标：能利用二次函数的图像和性质解决综合数学问题。
能力目标：（1）通过研究抛物线y=ax2 +bx+c（a≠0）的数形关系，进一步理解二次函数的性质；（2）经历探究利用函数式的模型表示线段长（或面积）等的过程，了解和体验特殊与一般互相联系和转化以及数形结合等数学思想方法的具体体现和运用。
情感与价值观目标：（1）通过探究，互相讨论、发表意见等学习活动，培养合作精神和认真倾听的习惯；（2）经历探究面积的最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。
三、教学重点、难点重点：利用二次函数图象、性质找点。
难点：通过二次函数图象、性质的探究，发展学生数形结合和数学转化思想意识。
四、教学方法与手段在教师的引导下，以小组合作交流的形式展开教学活动，给学生提供探索的空间，引导学生积极探索，培养学生的创新意识和创新能力，让数形结合思想渗透整个数学教学的过程，适当的时候教师作必要的引导和语言铺垫。
五、教学过程六、教学设计教学步骤预计时间教学内容教师活动学生活动设计意图头脑热身活动5分钟1、已知二次函数y =x2 +bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值，如下表：（1）你能从表中得到哪些信息？（2）在下面网格中画出该二次函数的图象，并观察图象，说出该函数的性质.（3）求该二次函数的关系式.（4）若M(m，y1 )，N(m+1，y2 )两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.引导学生通过观察思考，尽可能多发现图象所隐藏的信息，并说说问什么。
【参考答案】（3）y =x2 - 4x + 5（4）当m < 1 时，y1 >y2 ；当m > 2 时，y1<y2学生观察图象并进行小组内的讨论交流，小组推荐组员回答，其他学生学会倾听同学的意见不断地重组和优化自己的知识结构。
人教版九年级上第22章《二次函数》小综合导学案(word版)
本文由一线教师精心整理/word可编辑九上•第 22 章《二次函数》单元核心考点归纳一点通（二）——二次函数小综合核心考点1 二次函数与面积方法归纳1 面积→方程→坐标1．已知抛物线y＝x2－2x＋3 经过点B(3，6)，与y 轴交于点A(0，3)，若点M 是直线AB：y＝x＋3 下方抛物线上的＝3，求点M 的坐标．一点，且S△ABM核心考点2 二次函数与全等方法归纳2 全等→等线段→方程→坐标2．如图，抛物线y＝－x2＋4ax－3 经过点M(2，1)，交x 轴于A、B，交y 轴负半轴于C，平移CM 交x 轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP＝CM，求点P 的坐标．核心考点3 二次函数与勾股定理方法归纳3 勾股→方程→坐标3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 交x 轴于点A，B，点A 的坐标为(－1，0)，交y 轴于点C，其对称轴为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线x＝1 上一点，当PA＝PC 时，求点P 的坐标．核心考点4 二次函数与角度方法归纳4 角度→全等（或等腰）→等线段→方程→坐标4．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3 与x 轴分别交于A、B 两点，与y 轴的正半轴交于C 点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD，抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由核心考点5 二次函数与平行四边形方法归纳5 平行四边形→等线段→坐标5．如图，抛物线y＝13x2－23x－1 上的三点的坐标分别为：A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)，点Q 在y 轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形求满足所有条件点P 的坐标．核心考点6 二次函数与根的判别式方法归纳6 联立消y→判别式→求参数6．抛物线y＝12x2－32x－2 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，已知点B 的坐标为(4，0)，直线l∥BC 且与该抛物线有唯一公共点M，求点M 的坐标．核心考点7 二次函数与根与系数的关系方法归纳7 联立消y→根与系数的关系→求参数7．已知抛物线y＝－x2－2x＋3 与x 轴交于A、B(1，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，将直线BC 向下平移，与抛物线交于点B′、C′（B′与B 对应，C′与C 对应），与y 轴交于点D．当点D 是线段B′C′的三等分点时，求点D 的坐标核心考点8 二次函数与最值方法归纳8 设参数→几何性质→二次函数→最值8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，直线y＝x＋1 过点A，交抛物线于另一点D．在AD 上方抛物线上有一点F，过点F 作FG⊥AD，作FH∥x 轴交直线AD 于H，求△FGH 的周长的最大值．核心考点9 二次函数与定值方法归纳9 设参→几何性质→代数式→→消参→定值9．如图，点P 为抛物线y =-18x2 + 8 在第一象限部分上一动点，y 轴上有一点B(0，6)，PC⊥x 轴于C，试判断：PB＋PC 的值是否为定值？说明理由．核心考点10 二次函数与定点和定直线方法归纳10 配方（分解因式）→定点、定直线10．（1）证明：无论m 为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m 的图象总是经过一定点；（2）证明无论a 取任何实数，抛物线y =x2 + (a +1)x+14a2 -14的顶点都在一条定直线上．核心考点11 二次函数与公共点方法归纳11 画图象→设参→联立消y→判别式→求范围11．若直线y＝2x＋t 与函数y＝22211231x x xyx x x⎧-+≥=⎨+-⎩的图象有且只有两个公共点时，则t 的范围是．方法归纳12 特征点→不等式（组）→求范围12．已知关于x 的函数y＝ax2－(a2－2)x－2x 的图象与x 轴的一个交点为(m，0)，若－2＜m＜－1，求a 的取值范围．。
二次函数合并学案
铁四中九年级数学上册导学案班级： 姓名： 日期： 编号：§2.1 二次函数所描述的关系● 学习目标：1. 探索并归纳二次函数的定义；2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系. ● 学习重点：经历探索和表示二次函数关系的过程并归纳二次函数的定义. ● 学习难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 一、根据问题写出两个变量的关系式： 1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.如果设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y ，那么请写出y 与x 之间的关系式.2. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y （元）的表达式（不考虑利息税）.3. 圆的半径是l ㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝²，写出y 与x 之间的关系表达式.4. 某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．求y 关于x 的函数关系式．二、定义归纳：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零.三、课堂练习：1．若x 是正方形ABCD 的周长，y 是正方形的面积，则y 是x 的二次函数，其函数表达式为（ ）A ．2y x =B ．212y x =C ．214y x =D ．2116y x = 2. 已知函数①54y x =-；②2263t x x =-；③32283y x x =-+；④2318y x =-；⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 若22()m my m m x +=-是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ） A ．1B ．2-C ．2D ．1和2-4. 一正方形的边长为x cm ，把此正方形的边长增加2cm 后的正方形面积为S cm 2，则S 与x 的函数关系式为 ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．5. 已知正三角形的边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式为 ， y x 的二次函数吗？（填“是”或“不是”）．6. 关于x 的二次函数2(1)(1)y m x m x m =++-+，当0m =时，它是 函数；当1m =-时，它是 函数．7. 用一根24cm 的铁丝围成一个长方形，若设长为x cm ，则面积S = ． 8. 如图,在Rt △ABC 中，90C ∠=，80BC =，△ABC 的面积为2 400，点D 在斜边AB 上，设DF x =，四边形FEBD 是平行四边形，其面积为y ，求y 与x 的函数关系式．9. 已知函数22(91)23y k x kx =-++是关于x 的二次函数，求不等式141123k k -+-≥的解集．Ｆ铁四中九年级数学上册导学案班级：姓名：日期：编号：§2.2 结识抛物线●学习目标：1.能够利用描点法作出函数2xy=和2xy-=的图像，并根据图像认识和理解它们的性质；2.通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.●学习重点：能够利用描点法作出函数2xy=和2xy-=的图像，并根据图像认识和理解它们的性质.●学习难点：能够利用描点法作出函数2xy=和2xy-=的图像，并根据图像认识和理解它们的性质.一、作二次函数的图像：1.作二次函数2xy=的图像（1）观察2xy=的表达式，选择适当的x的值，并计算相应的y值，完成下表：(2) 在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数2xy=的图像.2.练习：作二次函数2xy-=的图像.三、课堂检测：1. 下列函数中，当0x >时，y 随x 的增大而减小的是（ ）．Ａ．2y x =Ｂ．21y x =-Ｃ．2y x=-Ｄ．22y x =-2. 抛物线23x y =、23x y -=、231x y =共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最高点D ．y 随x 的增大而增大3. 观察函数2y x =的图象，则下列判断正确的是（ ） Ａ．若a b ，互为相反数，则x a =和x b =的函数值相同 Ｂ．对于同一个自变量x ，有两个函数值和它对应 Ｃ．对于任一个实数y ，有两个x 和它对应 Ｄ．对任意实数x ，都有0y >4. 若一抛物线2y ax =与四条直线x =1，x =2，y =1，y =2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．14≤a ≤1 B ．12≤a ≤2 C ．12≤a ≤1 D ．14≤a ≤25. 已知1a <-．点1(1)a y -，，2()a y ，，3(1)a y +，都在函数2y x =的图象上，则（ ） Ａ．123y y y <<Ｂ．132y y y <<Ｃ．321y y y <<Ｄ．213y y y <<6. 在图中，函数y =－ax 2与y =ax +b 的图象可能是（ ）7. 在同一直角坐标系中，画出24y x =和213y x =-的图象，并根据函数图象回答：（1）抛物线24y x =的对称轴是_______，顶点坐标是_______，当x ________时，抛物线上的点都在x 轴的上方（2）抛物线213y x =-的开口向_______，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_______方，它的顶点是图象的最______点．8. 抛物线22y x =和23y x =-中开口较大的是__________． 9. 若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______.铁四中九年级数学上册导学案班级： 姓名： 日期： 编号：§2.3 刹车距离与二次函数一．学习目标1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象联系起来的经验。
2024年中考数学一轮复习+学案--二次函数与三角形、四边形
二次函数与三角形、四边形核心知识点1 二次函数与三角形知识赋能1.二次函数与直角三角形、等边三角形等特殊三角形结合的问题，可利用特殊三角形边与角的特点通过坐标求解；2.在函数图象中，利用三角形全等或相似，根据题意建立边与边的关系解决问题.例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−2x+m(m<0)交y轴于点 C，过点C作线段CB∥x轴且交抛物线于点B，过点B作线段BA⊥x轴于点A，当△ABC为等腰直角三角形时，m的值是( )A.−23B.−43C. -2D. - 4例2 如图，点A 是二次函数y=√3x2图象上的一点，且位于第一象限，点 B 是直线y= −√32x上一点, 点 B'与点B关于原点对称, 连接AB, AB', 若△ABB'为等边三角形,则点A的坐标是( )A.(13,19√3)B.(23,49√3) C. (1, √3) D.(43,169√3)例3 如图，抛物线y=−x²−2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线顶点, 线段PA上有一动点 D, 以 CD 为底边向下作等腰三角形△CDE, 且∠DEC=90°, 则AE 的最小值为 .例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx−8(a≠0)与x轴交于点A, B, 与y轴交于点C, 且OB =2OA. 过点A的直线y=x+4与抛物线交于点E. 点P 为第四象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作PH⊥AE 于点H. (1)抛物线的表达式中，a=,_____b=_____;(2)在点P 的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上求点Q，使以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似.核心知识点2 二次函数与四边形知识赋能1.二次函数与一般四边形结合的面积问题，可采用割补法通过坐标求解；2.二次函数与平行四边形、矩形、菱形、正方形等结合的问题，利用相应的性质特点，找到边、角与坐标的关系.例5 如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y=ax²(a≠0)上，过点A作y轴的垂线交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F, E两点, 连接EF, 若四边形CDEF 是矩形, CF=3EF,则线段 CD的长为 .2例6 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1x2+mx交x轴正半轴于点 A，点 B是y轴负半轴上一点，2点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于点 D，连结OC，AD. 若点 C的横坐标为−2,, 则四边形 OCDA 的面积为 .例7 二次函数y=2x2的图象如图，点A₀位于坐标原点，点A1,A2,A3,⋯,A n在y轴的正半轴上，点3B1,B2,B3⋯B n在二次函数位于第一象限的图象上，点( C₁,C₂,C3⋯C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形. A₀B₁A₁C₁,四边形. A₁B₂A₂C₂,四边形. A2B3A3C3⋯四边形Aₙ₋₁BₙAₙCₙ都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=⋯=∠Aₙ₋₁BₙAₙ=60°,菱形A₂₀₁₉B₂₀₂₀A₂₀₂₀C₂₀₂₀的周长为 .例8 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x²+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y=kx +3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为 .例9 边长为2的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 D 是边 OA 的中点, 连接CD, 点E 在第一象限, 且DE⊥DC, DE=DC. 以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点. 点 M为直线AB 上一动点，点 N为抛物线上一动点，当以点 M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，点 N的坐标为 .中考满分学力训练1.二次函数y=23x2的图象如图，点A₀位于坐标原点，A1,y=23x2A₂, A₃, …, A₂₀₂₃在y 轴的正半轴上, .B1,B2,B3,⋯,B₂₀₂₃在二次函数y=23x2第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁,A1B2A2,A2B3A3,⋯,A2022B2023A2023都是等边三角200形,则.△A₂₀₂₂B₂₀₂₃A₂₀₂₃的周长是 .2. 如图,抛物线y=−x²+4x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C, 点 B 在x轴上, 点 D 在AC上方的抛物线上. 当四边形ABCD 是菱形时，c的值为 ·3.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y=a(x+3)²+c(a⟩0)的顶点为E,且经过点A,B,若△ABE 为等腰直角三角形，则a的值是 .4. 已知抛物线y=x²−2x−3与x轴交于点A, 点B(1, 2)与点A分别位于y轴两侧, 点 P在点 B的下方，且在对称轴上，当△PAB 为等腰三角形时，BP的长为 .5. 如图, 一抛物线经过点A(﹣2, 0), B(6,0), C(0,﹣3), D为抛物线的顶点, 过OD的中点E, 作EF⊥x轴于点 F, G 为x轴上一动点, M为抛物线上一动点, N为直线EF上一动点，当以F，G，M，N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为 .6. 如图，已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c(a⟩0)的图象经过点C(0, 1), 且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1，0)，该二次函数的图象与直线y=1交于C，D两点，设A，B，C，D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁, △PAB的面积为S₂, 当0<a<1时,S₁-S₂的值为 .7. 如图,抛物线y=−x²+bx+c经过等腰直角三角形OAB的A, B两点, A(0, 3),∠OAB =90°.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 是 AB 上方抛物线上的动点, CD⊥AB 交 OB 于点D，当点C位于何处时，四边形ACDO是平行四边形，求点 C的坐标.8. 如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于点A(﹣2,0), B(1, 0), 交y轴于点C(0, 2).(1)求二次函数的解析式；(2)连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点 N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点M在x轴上，是否存在点M，使以B，C，M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.自主招生能力挑战9. 如图，一次函数y=√3x+√3的图象分别与x轴、y轴交于点A, B, 点M, N是射线AB上的两个动点, 且MN=2(点 M在点N的左侧)，点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB向上运动，运动时间为t (s)，现在以 MN为边向右作一个等边三角形MNP，二次函数y=ax²+bx+c的图象恰好经过点M，N，P，若二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为4，那么t的值为( )A. 3B.3√3C. 6D.4√310.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=−x²+4x与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P 是该抛物线上位于A，M两点之间的部分上的动点，过点 P作PB⊥x轴于点B, PC⊥y轴于点C, 且交抛物线于点 D, 连接BC, AD, OP, 当四边形ABCD被OP分成的两部分面积比为1：2时，点P的坐标为 .11. 如图,抛物线y=x²+bx+c与直线y=12x−3交于A，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为(﹣4，﹣5)，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C, 交AB于点 D. 当点P运动到直线AB下方某一处时, 过点P作PM⊥AB,垂足为M，连接PA，使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标12. 如图,抛物线y=−14x2+32x−2交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，分别过点B，C作y轴、x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转, 使点 D 旋转到y轴上得到△FEC, 连接BF. 在线段BC 上存在点 P, 使得以点 P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为 .13. 如图，在第一象限内作与x轴的夹角为：30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H, 在抛物线y=x²(x⟩0)上取一点 P，在y轴上取一点 Q，使得以点P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有个，坐标分别为 .。
初三数学 二次函数与相似三角形的综合问题教案
二次函数与相似三角形的综合问题适用学科适用区域初中数学全国通用适用年级课时时长（分钟）初中三年级120知识点教学目标教学重点教学难点二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想巧妙运用数形结合思想解决综合问题；灵活运用技巧及方法解决综合问题；教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与相似三角形的点存在性问题，主要考查了学生能否将相似三角形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造相似图形的能力。
二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
4ac b b 而言，其顶点坐标为（－ ， ）．对于 y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为三、知识讲解考点 1二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当 b=c=0 时，二次函数 y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数 y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像 上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式： y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 x 1，x 2 才能求出此解析式；对于 y=ax 2+bx+c22a 4a抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
4二次函数的综合 教案
一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y 的值) 可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.
化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣ ，
∴P点坐标为（﹣1，﹣ ），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4+ = ，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4= ；
综上可知，当t为 秒或2秒或3秒或 秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．
如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ， .
③没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离.
（3）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（4）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程
组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点;②方程组只
当x=65.5时，最大利润为2401元，
∵x为整数，
∴x=66或65时，W=2400元．
∴x=65或66时，W最大=2400元．
类型四动点问题
如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
二次函数与几何综合学案2022年九年级中考数学复习
中考复习之二次函数与几何综合学案一、知识与方法归纳1. 解决“函数与几何综合”问题，一般是将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．思路一：研究函数，可以从相关的点坐标出发，将点坐标转化为线段长，再结合其图象的几何意义，把函数特征转移到几何图形中建方程求解；思路二：研究几何图形，可以把几何图形中角度的特征转化为线段长，把几何特征集中到函数上建方程求解．2. 整合信息时的两个环节：①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k 、b ．①点坐标与线段长的互转．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．二、练习题1. 如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <）经过①ABC 的三个顶点，已知BC ①x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）在x 轴下方的抛物线对称轴上是否存在点P ，使①P AB 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使MA MB -最 大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y C OAxBy C OAxBy C OAxB2. 已知，抛物线212y ax ax b =-+经过A (-1，0)，C (2，32)两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式．（2）若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），点Q 在线段MB 上移动，且①MPQ =45°，设线段OP =x ，222MQ y =，求y 2与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．（3）在同一平面直角坐标系中，若两条直线x =m ，x =n 分别与抛物线1y 交于点E ，G ，与（2）中2y 的函数图象交于点F ，H ，则四边形EFHG 能否成为平行四边形？若能，求出m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．3. 已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3)． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当①PBC 的面积与①ABC 的面积相等时，求点P 的坐标； ①如图2，当①PCB =①BCA 时，求直线CP 的解析式．P yxBOA C图1CA OBxyP图2ByxMO PQAByxOA4.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与y轴交于点C(0，4)，对称轴2x=与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式．（2）设点P(x，y)是第一象限内该抛物线上的一动点，①PCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O，P，E 为顶点的三角形与①OPD全等？若存在，求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线21y ax ax=--与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，AB=3，直线x=m（0m>）与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）在第一象限内的直线x=m上是否存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC 全等？若存在，求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．x=myxDCO BAyxCO BAyxCO BAx=2MDCyO xx=2MDCyO xx=2MDPCyO x6. 如图，在平面直角坐标系中，AB =AC ，点A ，C 分别是直线334y x =-+与坐标轴的交点，点B 在抛物线218y x bx c =++上，且该抛物线上存在一点D ，使得四边形ABCD是平行四边形．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 向终点D 运动，同时点Q 以相同的速度从点C 向终点A 运动，设运动的时间为t 秒，则当t 为何值时PQ ①AC ？（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以M ，A ，C 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 在Rt①AOB 中，已知①OAB =90°，①BOA =30°，OA =23．若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内．将Rt①AOB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，抛物线2y ax bx c =++经过A ，O ，C 三点，且其对称轴与线段OB 交于点D ． （1）求该抛物线的解析式．（2）线段OB 交抛物线于点E ，P 为线段OE 上一动点（不与点O ，E 重合），设点P 的横坐标为m ，①OCP 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围．（3）在（2）的条件下，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，是否存在点P ，使得PD =CM ？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．DECBAOxyyxDCOBAyxDCOBAyxCOBA DECBAOxyDECBAOxy8. 如图，二次函数(2)(2)y x k x =--的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点，且13122x -<<-． （1）求k 的取值范围．（2）设二次函数(2)(2)y x k x =--的图象与y 轴交于点M ，若OM =OB ，求该二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若N 是x 轴上的一点，在二次函数(2)(2)y x k x =--的图象上是否存在点Q ，使得以N ，A ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(13，点B 在x 轴的负半轴上，且①ABO =30°，抛物线经过A ，O ，B 三点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使①AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）P 为x 轴下方的抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把①AOB 分成两个三角形，是否存在点P ，使其中一个三角形的面积与四边形BPOD 的面积之比为2:3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Myx O B A MyxO B A MyxO B A yxAOB yxAO B yxAO B【参考答案】1．（1）215466y x x =-++． （2）存在，P 1(52，-1)，P 2(52，82952)，P 3(52，1992)．（3）存在，M (52，223)．2．（1）211322y x x =-++．（2）221522y x x =-+（03x <≤）．（3）四边形EFHG 能成为平行四边形，2m n +=．3．（1）243y x x =-+-． （2）①P 1(2，1)，P 2(3172+，7172-+)， P 3317-717--)． ①133y x =-．4．（1）21242y x x =-++．（2）2142S x x =-+（0223x <<+）．（3）存在，直线PE 的解析式为122y x =+或6y =．5.（1）211122y x x =--．（2）存在，直线BP 的解析式为112y x =-或24y x =-或24y x =-+．6.（1）211384y x x =--． （2）当259t =时PQ ①AC ．（3）存在，1M (1，16)，2M (1，326-)，3M (1，326+)，4M (1，4)，5M (1，-4)．7.（1）23y x x =-+．（2）S m =（5303m <<）． （3）存在，1P 43，43)，2P 23，23)． 8.（1）3144k -<<-．（2）22y x x =--．（3）存在，1Q (1，-2)，相应的平行四边形的面积为2；2Q 117+，2)，相应的平行四边形的面积为517； 3Q (1172-，2)，相应的平行四边形的面积为517-； 4Q (1，-2)，相应的平行四边形的面积为2．（注：1Q ，4Q 对应的是不同的平行四边形） 9.（1）232333y x x =+，对称轴为直线1x =-． （2）存在，C (-1，33)． （3）存在，P (12-，3．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4)在坐标轴上找一点M，使以点B. C. M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标。
知识点2：二次函数与等腰三角形
例1：如图,二次函数y=− +2(m−2)x+3的图象与x、y轴交于A. B.C三点,其中A(3,0)，抛物线的顶点为D.
(1)求m的值及顶点D的坐标；
(2)当a⩽x⩽b时,函数y的最小值为 ，最大值为4，求a，b应满足的条件；
(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形?如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
例2：已知：如图,抛物线y=a +bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点。
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m)，请求出△CBE的面积S的值；
(3)在抛物线上求一点P0,使得△ABP0为等腰三角形,并写出P0点的坐标；
附加：
(4)除(3)中所求的P0点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明)；若不存在这样的点P，请说明理由。
例3：如图,抛物线 与x轴相交于点A.B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A.B作直线CP的垂线，垂足分别为D.E，连接点MD、ME.
例4：如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0),B(4,0),C(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。例1：如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。
(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求ຫໍສະໝຸດ △BPC为直角三角形的点P的坐标。
例3：如图,已知二次函数 的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为 ，P为⊙C上一动点。
(1)点B,C的坐标分别为B(___),C(___)；
(2)是否存在点P，使得△PBC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例2：如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
例4：已知,抛物线 (a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=12.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP= S△ACD，求点P的坐标；
(1)求点A,B的坐标(直接写出结果)，并证明△MDE是等腰三角形；
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果)；若不能，说明理由。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。(1)求抛物线的解析式；
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。(2)在抛物线上是否存在点P，使得∠PCO=∠POC?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
二次函数综合（与三角形、四边形结合）
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?知识点1：二次函数与直角三角形