2018高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检测：(三) 合情推理 含解析
高中人教A版数学选修1-2课时跟踪检测：第2章 推理与证明 2.1 2.1.2
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理课时跟踪检测一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)解析：在“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.答案：B3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的() A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：证明中省略了大前提，大前提应为“在同一个三角形中，大角对大边”，因此画线部分应为小前提．答案：B4．对a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab，大前提x＋1x≥2x·1x，小前提所以x＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误解析：在小前提中，缺少条件x∈(0，＋∞)，因此小前提不正确．答案：B5．(2019·武城期中)演绎推理“因为f′(x0)＝0时，x0是f(x)的极值点，而对于函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，所以0是函数f(x)＝x3的极值点．”所得结论错误的原因是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．全不正确答案：A6．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：取DC的中点O，连接EO，ON，不妨设AB ＝1，∴ED ＝DC ＝CE ＝1，∴EO ＝32，ON ＝12，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ECD ，∴EO ⊥底面ABCD ，又∵ON ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥ON ，∴EN ＝EO 2＋ON 2＝1，连接MC ，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ECD ，∴BC ⊥CM ，∴BM ＝BC 2＋CM 2＝1＋34＝72，∴EN ≠BM .连接BE ，∵在△DBE 中，M 、N 分别为DE 、BD 的中点，BM 与EN 都在平面DBE 中，∴BM ，EN 是相交直线，故选B.答案：B二、填空题7．由“(a 2＋1)x >3，得x >3a 2＋1”的推理过程中，其大前提是__________________________________________．答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变8．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，其中a ，b ，c 是互不相等的常数，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝________. 解析：∵f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )．∴f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )．∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c ) ＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c (c －a )(c －b ) ＝a (b －c )＋b (c －a )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0. 答案：09．关于函数f (x )＝ln x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值为ln 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )为增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f (－x )＝f (x )，又定义域关于原点对称，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝ln x 2＋1x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而当x ＝1时，f (x )有最小值ln 2，故③正确；由偶函数的对称性知，④正确，⑤不正确．答案：①③④三、解答题10．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2)已知 2和 3是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数．证明：依题设， 2和 3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故 2＋ 3也是无理数．解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但是证明是错误的．这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如 3和－ 3都是无理数，但3＋(－3)＝0,0是有理数．11．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项是1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1.故对任意的n ∈N ＋，有S n ＋1＝4a n .12．设f (x )对x ＞0有意义，f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0.(1)求f (1)与f (4)的值；(2)当f (x )＋f (x －3)≤2时，求x 的取值范围．解：(1)∵f (2)＝1，且对于x ＞0，y ＞0，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝1，y ＝2，得f (2)＝f (1)＋f (2)，∴f (1)＝0； 令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)＝2.(2)由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )． 又f (4)＝2，由f (x )＋f (x －3)≤2，得f (x 2－3x )≤f (4)． 由f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0，得⎩⎨⎧ x 2－3x ≤4，x ＞0，x －3＞0.解得3＜x ≤4.13．(2019·太原五中检测)已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝() A ．b B ．－bC.1b D ．－1b解析：若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)．f (－x )＝lg 1＋x1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b ，故选B.答案：B由Ruize收集整理。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第二章 2-1合情推理与演绎推理 含答案 精品
第1课时合情推理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P29的内容，回答下列问题．(1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出现反例．于是提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．(2)观察教材P24～P25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？提示：这几个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．2．归纳总结，核心必记(1)归纳推理①归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．②类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理①含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．②合情推理的过程：从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想[问题思考](1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)23<2＋13＋1，23<2＋23＋2，23<2＋33＋3，… 由此猜想：23<2＋m3＋m (m 为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？提示：归纳推理．(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？提示：类比推理．[课前反思](1)归纳推理的定义和特征各是什么？(2)类比推理的定义和特征各是什么？(3)归纳推理和类比推理有什么不同？角度一：数(式)中的归纳推理讲一讲1．(1)观察下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(链接教材P 23－例2)若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的表达式．[尝试解答] (1)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数 1→1， 1,2→3， 1,2,3→6， 1,2,3,4→10，由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般性结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.(2)∵a n ＝1(n ＋1)2，∴a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116.∴f (1)＝1－a 1＝34，f (2)＝⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19＝46， f (3)＝34×89×1516＝58.∴推测f (n )＝n ＋22n ＋2.[答案] (1)13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)数列中的归纳推理的方法：①通过所给的条件求得数列中的前几项；②观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明． 练一练1．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为 ___________________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2角度二：图形中的归纳推理 讲一讲2．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[尝试解答](1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．练一练2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：选C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.讲一讲3．三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：[尝试解答]三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质．③实数满足的运算律与向量满足的运算律．④等差数列与等比数列的定义及性质．⑤圆锥曲线的定义及性质．练一练3．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别为△P AB，△PBC，△P AC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面P AB，侧面PBC，侧面P AC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)数(式)中的归纳推理，见讲1；(2)图形中的归纳推理，见讲2；(3)类比推理的应用，见讲3.课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1数(式)中的归纳推理1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是() A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2 014到2 016的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓解析：选B观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.3．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.4．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n题组2图形中的归纳推理5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：选A∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．猜想：在圆内画n (n ≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？解：设圆内两两相交的n 条线段，彼此最多分割成的线段为f (n )条，将圆最多分割为g (n )部分．f (1)＝1＝12，g (1)＝2； f (2)＝4＝22， g (2)＝4＝2＋2； f (3)＝9＝32， g (3)＝7＝2＋2＋3； f (4)＝16＝42，g (4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f (n )＝n 2，g (n )＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋(1＋n )n 2＝n 2＋n ＋22.即圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割为n 2条线段，将圆最多分割为n 2＋n ＋22部分．题组3 类比推理8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC BC ，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC 类比成V A -CDEV B -CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故ACBC 类比成S △ACD S △BDC. 故有V A -CDE V B -CDE ＝S △ACD S △BDC .答案：V A -CDEV B -CDE＝S △ACD S △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1， 证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.[能力提升综合练]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07 D ．49解析：选A 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 016＝4×504，所以72 016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4) D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．将正整数排成下表： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 016出现在第________行，第________列．解析：第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 016＜2 025， ∴2 016在第45行． 又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字， ∴2 016在第89－9＝80列． 答案：45 806．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上， 所以m 2a 2－n 2b2＝1，得n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a 2x 2－b 2，则y 2－n 2＝b 2a2(x 2－m 2)． 所以k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1) (n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．第2课时 演 绎 推 理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 30～P 33的内容，回答下列问题．阅读教材中的5个推理(如下所示)，并回答问题：①所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；②太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；③一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；④三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tanα是周期函数；⑤两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.(1)以上五个推理有什么共同特点？提示：都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？提示：第一段称为“大前提”，第二段称为“小前提”，第三段称为“结论”．2．归纳总结，核心必记(1)演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[问题思考](1)“三段论”就是演绎推理吗？提示：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)演绎推理的结论一定正确吗？提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．[课前反思](1)演绎推理的定义是什么？；(2)“三段论”的内容是什么？；(3)演绎推理与合情推理有什么区别？..[思考]如何将演绎推理写成三段论的形式？名师指津：三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．讲一讲1．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切偶数都能被2整除，256是偶数，所以256能被2整除；(3)函数y＝x＋5的图象是一条直线．[尝试解答](1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切偶数都能被2整除，大前提256是偶数，小前提256能被2整除．结论(3)因为一次函数的图象是一条直线，大前提y＝x＋5是一次函数，小前提所以y＝x＋5的图象是一条直线．结论将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．练一练1．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有a n＝pn＋q(p，q是常数)的形式，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论(2)所有导体通电时发热，大前提铁是导体，小前提铁通电时发热．结论(3)一次函数都是单调函数，大前提函数y＝2x－1是一次函数，小前提y＝2x－1是单调函数．结论(4)等差数列的通项公式具有a n＝pn＋q的形式，大前提数列1,2,3，…，n是等差数列，小前提数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．结论讲一讲2．(链接教材P31—例6)如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[尝试解答]因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论(1)用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．练一练2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论讲一讲3．(链接教材P 32—例7)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．[尝试解答] 对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在该区间上是增函数．大前提设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－x 2x 1＋x 2＋，∵a ＞1，且x 1＜x 2， ∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0. 又∵x 1＞－1，x 2＞－1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．小前提∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)． ②定理引入和应用错误(大前提错)． ③推理过程错误等． 练一练3．已知等差数列{a n }的各项均为正数且lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n ＝1,2,3，…)．求证：数列{b n }为等比数列．证明：因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4， 即a 22＝a 1a 4.设等差数列{a n }的公差为d ， 则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 1d ＝d 2， 从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，数列{a n }为常数列，故数列{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数、公比为1的等比数列． ②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ， 所以b n ＝1a 2n ＝12n d.所以当n ≥2时，b nb n －1＝12n d 12n －1d＝12.所以数列{b n }是以12d 为首项、12为公比的等比数列．综上，数列{b n }为等比数列．———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是三段论，难点是用三段论证明有关问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)用三段论表示演绎推理，见讲1；(2)用三段论证明几何、代数问题，见讲2和讲3.3．在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题．在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等，这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活应用，并能进行恰当的等价转化．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1 用三段论表示演绎推理1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理答案：A2．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形答案：B3．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *) C ．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选A A 是演绎推理，B 是归纳推理，C ，D 是类比推理.题组2 用三段论证明几何问题4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A“直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝2 3.∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．证明：如图，连接BO，CO，DO.∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，又AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．题组3用三段论证明代数问题7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的解析：选A这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f (x )为减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为f (－3)，最小值为f (3)．因为f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6，所以函数f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.[能力提升综合练]1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故该奇数(S )是3的倍数(P )．”上述推理是( )A ．小前提错误B ．结论错误C ．正确的D ．大前提错误答案：CA ．直角梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形4．设⊕是R 内的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集解析：选C A 错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、。
2018年高中数学人教A版选修1-2第2章推理与证明检测习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2第二章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.有一段演推理是的:“若直平行于平面,直平行于平面内的所有直;已知直b? 平面α,a? 平面α,直 b∥平面α,直 b∥直 a”,个然是的,是因 ()A. 大前提B. 小前提C.推理形式D.非以上解析“若直平行于平面 ,直平行于平面内的所有直”是的 ,即大前提是的.故 A .答案 A已知∈ N* 猜想f( x)的表达式()2.f( x+1)),A .f(x)C.f(x)解析当 x= 1 ,f(2)当x=2 ,f(3)当x=3 ,f(4)故可猜想 f(x) B .答案 B3.如所示,4只小物座位,开始鼠,猴,兔,猫分坐1,2,3,4 号座位 ,如果第 1 次前后排物互座位 ,第 2 次左右列物互座位 ,第 3 次前后排物互座位⋯⋯交替行下去,那么第 2 018次互座位后 ,小兔坐在 ()号座位上 .A.1B.2C.3D.4解析由意得第 4 次互座位后 ,4 只小物又回到了原座位,即每 4 次互座位后,小物回到原座位 ,而 2 018= 4×504+ 2,所以第 2 018 次互座位后的果与第 2 次互座位后的果相同,故小兔坐在 2 号座位上 , B .答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥ 2,x≥ 3,x≥ 4,⋯ ,可推广 x≥ n+ 1, a 的 ()n2C.22(n- 1)nA .2 B.n D.n123n 解析∵第一个不等式中 a= 1,第二个不等式中a= 2 ,第三个不等式中a= 3 ,∴第 n 个不等式中a=n .答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 , ()A. △A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形C.△A1B1C1是角三角形 ,△A2B2 C2是角三角形D.△A1B1C1是角三角形 ,△A2 B2C2是角三角形解析因正弦在 (0° ,180°)内是正 ,所以△A1B1C1的三个内角的余弦均大于0,因此△A1B1C1是角三角形 .由于△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 ,因此△A2B2C2不可能直角三角形 ,故假△A2 B2C2也是角三角形,并 cos A1= sin A2, cosA1= cos(90° -A2),所以 A1= 90° -A2 .同理 cos B1= sin B2,cos C1= sin C2,有 B1= 90° -B2 ,C1= 90° -C2 .又 A1+B 1+C 1= 180° ,(90° -A 2)+ (90°-B2)+(90° -C2)= 180° ,即A2+B 2+C 2= 90° .与三角形内角和等于180°矛盾 ,所以原假不成立.故 D .答案 D6.察下列各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11,⋯ , a10+b 10等于 ()A.28B.76C.123D.199解析利用法:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4= 3+ 1,a4+b 4= 4+3= 7,a5 +b 5= 7+ 4= 11,a6+b 6= 11+ 7= 18,a7+b 7= 18+ 11= 29,a8 +b 8= 29+ 18= 47,a9+b 9= 47+29= 76,a10+b 10= 76+ 47= 123.律从第三开始,其果前两果的和.答案 C7.大于或等于 2 的自然数的正整数运算有如下分解方式:2= 1+322= 1+3+ 5324= 1+ 3+ 5+ 723= 3+ 543= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解律23的分解中最小的正整数是21, m+n 等于 () ,若 m = 1+ 3+ 5+⋯ + 11,nA .10 B.11 C.12 D.132解析∵m = 1+ 3+ 5+ ⋯ + 11∴m=6.∵23= 3+ 5,33= 7+ 9+11, 43= 13+15+ 17+ 19,∴53= 21+ 23+25+ 27+ 29.又 n3的分解中最小的正整数是21,∴n3= 53,n= 5,∴ m+n= 6+ 5= 11.答案 B8.于奇数列1,3,5,7,9,⋯ ,在行如下分:第一有 1 个数 {1}, 第二有 2 个数 {3,5}, 第三有3个数 {7,9,11}, ⋯⋯ ,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n(n∈N* )的关系是 ()A. S n=n 2B. S n =n 3C.S n=n 4D.S n=n (n+ 1)解析当 n= 1,S1=1;当n= 2 ,S2= 8= 23;当n= 3 ,S3= 27=33.猜想 S n=n 3.故 B .答案 B9.古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数,比如 :(1)(2)他研究 (1) 中的 1,3,6,10,⋯ ,由于些数能表示成三角形,将其称三角形数;似地 ,称 (2)中的 1,4,9,16,⋯的数正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知 ,第 n 个三角形数为 a n第 n 个正方形数为 b n=n 2,由此可排除选项D(1 378 不是平方数 ),将选项 A,B,C 代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项 C,故选 C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示 ,在平行四边形ABCD 中 ,有2222AC +BD = 2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,等于A.2( AB2+AD 2 +C.4(AB 2+AD 2 +解析如图 ,连接 A1C1,AC,则四边形 AA1C1C 是平行四边形,故A1C2+连接 BD ,B1D 1,则四边形 BB1D 1D 是平行四边形 ,故又在 ?ABCD 中 ,AC2+BD 2=2(AB 2+AD 2),则故选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时 ,甲说 :我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 ;乙说 :我没去过 C 城市 ;丙说 :我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市 ,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市 .又乙没去过 C 城市 ,所以三人共同去过的城市必为A, 故乙去过的城市就是 A .答案 A312.已知函数f(x)=x +x ,a,b,c∈R ,且 a+b> 0,b+c> 0,c+a> 0,则 f(a)+f (b)+f (c)的值一定比零(填“大”或“小”).3解析∵f(x)=x +x 是R上的奇函数 ,且是增函数 ,又由 a+b> 0 可得 a>-b ,∴f(a)>f ( -b)=-f (b),∴f(a)+f (b) >0.同理 ,得 f(b)+f (c)> 0,f(c) +f (a)> 0.三式相加 ,整理得 f(a)+f (b)+f (c) >0.答案大13.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE 平分∠ ACB,而平面 CDE 平分二面角A-CD-B ,可类比成△故结论为△△△答案△△14.已知集合{ a,b,c} = {0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b= 2;③c≠0有且只有一个正确,则 100a+ 10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时 ,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立 ;(2)当②成立时 ,则 a= 2,b= 2,c=0,此种情况不成立 ;(3)当③成立时 ,则 a= 2,b≠2,c≠0,即 a= 2,b= 0,c=1,所以 100a+ 10b+c= 100×2+ 10×0+ 1=201.故答案为 201.答案 20115.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如下数表-1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2⋯第 k 行有 2k-1个数 ,第 t 行的第 s 个数 (从左数起 )A(t,s), A(6,10)=.01234个数 ,A(6,10) 数列的第41 .解析前 5 行共有 2+2 + 2 + 2 + 2 =31∵ a n-答案三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学中,以下五个式子的都等于同一个常数:①s in 213° +cos217° -sin 13° cos 17°;②s in 215° +cos215° -sin 15° cos 15°;③s in 218° +cos212° -sin 18° cos 12°;④s in 2(-18° )+ cos248° -sin( -18°)cos 48° ;⑤s in 2(-25° )+ cos255° -sin( -25°)cos 55° .(1)从上述五个式子中一个 ,求出个常数 ;(2) 根据 (1)的算果 ,将同学的推广三角恒等式,并明你的.解法一 (1)② 式,算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15°=130°= 1(2)三角恒等式sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)明如下 :sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= sin2α+(cos 30° cos α+ sin 30° sin α)2-sin α·(cos 30° cos α+ sin 30 °sin α)= sin2ααcosααcosα解法二 (1) 同解法一 .22(2)三角恒等式sin α+ cos (30° -α)-sin α·cos(30° - α)明如下 :22-°-2α60° cos 2α+ sin 60° sin 2α)αcosαsin 2α2α2α2α2α2α) = 12α2α17.(8分)已知函数f(x)=a x-(1)证明函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 ;(2)用反证法证明方程 f( x)=0 没有负数根 .分析对第 (1) 小题 ,可用定义法证明;对第 (2)小题 ,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明 (1)设 x1,x2是 (- 1,+ ∞)内的任意两个实数,且 x1<x 2.∵a> 1,又x1+ 1> 0,x2+ 1> 0,--于是 f(x2)-f(x1)故函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 .(2)假设存在x0<0( x0≠-1) 满足 f( x0)= 0,则于是 0<-且 0-即这与假设 x0< 0 矛盾 ,故方程 f(x)= 0 没有负数根 .18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证 :ta-(2)设 x∈R ,a 为非零常数 ,且 f(x+a )试问是周期函数吗证明你的结论-(1) 证明由两角和的正切公式得ta--即 ta命题得证 .-(2)解猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 证明过程如下 :∵ f(x+ 2a)=f [(x+a )+a ]∴f(x+ 4a)=f [(x+ 2a)+ 2a]=∴ f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x) 是周期函数 ,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a< e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想 a b与 b a的大小关系 ;(2)证明你的结论 .(1) 解取 a= 2,b= 1 可知 a b>b a,又当 a= 1,b时,a b>b a,由此猜测 a b>b a对一切 0<b<a< e 成立 .(2)证明要证 a b >b a对一切 0<b<a< e 成立 ,需证 ln a b> ln b a,需证 bln a>a ln b,需证设函数 f(x)∈ (0,e),-f'(x)当x∈ (0,e)时 ,f'(x)> 0 恒成立 .所以 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(a)>f (b), 即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{ a n}和{ b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证 :对任意实数λ,数列 { a n } 不是等比数列 ;(2)求证 :当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是等比数列 ;(3) 设 S n为数列 { b n} 的前 n 项和 ,是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 S n>- 12?若存在 ,求实数λ的范围 ;若不存在 ,请说明理由 .分析解答本题 ,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1) 证明假设存在实数λ,使得数列{ a n}是等比数列,则有又因为 a2所以--即则 9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立 .故对任意实数λ,数列 { a n} 不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以 b1=- (λ+ 18)≠0.又b n+ 1= (-1)n+ 1[a n+ 1-3(n+ 1)+21]= (-1)n+-==所以 b n≠0,所以∈N *).故当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是以 -(λ+ 18)为首项 ,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18 时,由 (2)得-b n=- (λ+ 18) ·-所以 S n- -=当λ=- 18 时 ,b n= 0,从而 S n= 0,(* )式仍成立 .要使对任意正整数n,都有 S n>- 12,即解得λ- -令 f(n) =1-则当n为正奇数时,1<f (n)≤当n为正偶数时≤ f(n)< 1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述 ,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有 S n>- 12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。
高中数学(人教版选修1-2)课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理 Word版含答案
课时跟踪检测(三)合情推理与演绎推理一、选择题．下列类比推理恰当的是( )．把(＋)与(＋)类比，则有(＋)＝＋．把(＋)与(＋)类比，则有(＋)＝＋．把()与(＋)类比，则有(＋)＝＋．把(＋)与·(＋)类比，则有·(＋)＝·＋·答案：．已知{}为等比数列，＝，则…＝.若{}为等差数列，＝，则{}的类似结论为( ) ．…＝．＋＋…＋＝．…＝× ．＋＋…＋＝×解析：选等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有＋＋…＋＝＋＋…＋＝×.．观察式子：＋<，＋＋<，＋＋＋<，…，则可归纳出第－个式子为( )．＋＋＋…＋<．＋＋＋…＋<．＋＋＋…＋<．＋＋＋…＋<解析：选观察可得第－个式子为：不等式的左边为的前项的和，右边为分式.．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图()中的，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图()中的，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．．．．解析：选记三角形数构成的数列为{}，则＝，＝＝＋，＝＝＋＋，＝＝＋＋＋，可得通项公式为＝＋＋＋…＋＝.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为＝.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有 .．将正整数排成下表：… …则在表中数字出现在( )．第行第列．第行第列．第行第列．第行第列解析：选第行有－个数字，前行的数字个数为＋＋＋…＋(－)＝.∵＝＝，且＜＜，∴在第行．又－＝，且第行有×－＝个数字，∴在第－＝列．二、填空题．设函数()＝(＞)，观察：()＝()＝，。
2017_2018学年高中数学课时跟踪检测三合情推理新人教A版选修1_2
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边；
(2)中位线长等于底边长的一半；
(3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于该极点所对的面面积的 ；
因此，猜想是正确的．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝ .
8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有 ＝ ＋ 成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能取得如何的猜想，并说明猜想是不是正确及理由．
解：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，能够猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.那么 ＝ ＋ ＋ .
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比取得“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比取得“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比取得“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“ ＝ ”类比取得“ ＝ ”．
其中类比结论正确的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
5．观看以下各等式： ＋ ＝2， ＋ ＝2， ＋ ＝2， ＋ ＝2，依照以上各式成立的规律，取得一样性的等式为( )
A. ＋ ＝2
B. ＋ ＝2
C. ＋ ＝2
D. ＋ ＝2
解析：选A 观看发觉：每一个等式的右边均为2，左侧是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．
解 析：依照OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝ ＝ ＝ ，a3＝OA3＝ ＝ ＝ ，…，故可归纳推测出an＝ .
高中数学人教版选修1-2课时提升作业三 2.1.1 合情推理 Word版含答案.doc
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课时提升作业三合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD=R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于于弦截面与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长c=πd(d为圆的直径) 球的表面积S=πd2(d为球的直径)圆的面积S=πr2(r为圆的半径) 球的体积V=πr3(r为球的半径)10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.关闭Word文档返回原板块。
高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理 Word版含解析.doc
课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c答案：D2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a 1＋a 2＋...＋a 9＝2＋2＋ (29)＝2×9. 3．观察式子： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…， 则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋ (1)2<2n －1n D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1解析：选C 观察可得第n －1个式子为：不等式的左边为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1i 2的前n 项的和， 右边为分式2n －1n .4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：选C记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225. 5．将正整数排成下表：123 4567 8 910111213141516……则在表中数字2 013出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列解析：选D第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 013＜2 025，∴2 013在第45行．又2 025－2 013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 013在第89－12＝77列．二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________________________. 解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝x(21－1)x＋21，f2(x)＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝x(24－1)x＋24，…，f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz ＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面8．观察下列等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n ＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，可得2＋3＋4＋…＋m＝54，即(m－1)(m＋2)2＝54，解得m＝10.答案：10三、解答题9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9 900，a n是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明． 解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点， 点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )，则N 点的坐标为(－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2)． 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)． ∴k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．。
2019-2020学年高中数学(人教版选修1-2)课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理 Word版含答案
课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c答案：D2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9 解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a 1＋a 2＋…＋a 9＝2＋2＋…＋29个＝2×9.3．观察式子：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…， 则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n2<2n 2n ＋1解析：选C 观察可得第n －1个式子为：不等式的左边为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1i2的前n 项的和， 右边为分式2n －1n. 4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝＋2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225. 5．将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则在表中数字2 013出现在( )A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列解析：选D 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 013＜2 025，∴2 013在第45行．又2 025－2 013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 013在第89－12＝77列．二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________________________. 解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝x－＋21，f2(x)＝x－＋22，f3(x)＝x－＋23，f4(x)＝x24－＋24，…，f n(x)＝x－＋2n.答案：x－＋2n7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面8．观察下列等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m 3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于________．解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n －1)×2＝109得n ＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，可得2＋3＋4＋…＋m ＝54， 即－＋2＝54，解得m ＝10. 答案：10三、解答题9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式；(3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义；(4)已知a n ＝9 900，a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *.(3)a 10＝11×12＝132. a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明． 解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．∵点M(m，n)在已知双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴m2a2－n2b2＝1，得n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝b2a2x2－b2.∴y2－n2＝b2a2(x2－m2)．则k PM·k PN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．∴k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．。
2018-2019学年人教A版选修1-2 合情推理 课时作业
第二章 2.1 2.1.1A级基础巩固一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )A．28B．32C．33 D．27[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.2．下列关于归纳推理的说法错误的是( A )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③D．③④[解析]归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( B )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A ) A.B ．△C ．▭D ．○[解析] 图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．6．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( C )A.r 22 B ．l 22C.lr 2D ．不可类比[解析] 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，∴S 扇＝12lr .二、填空题7．已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32；sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin 2 α＋sin 2 (α＋60°)＋sin 2 (α＋120°)＝32.[解析] 观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin 2 α＋sin 2 (α＋60°)＋sin 2 (α＋120°)＝32.8．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形中不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形中1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式： 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π. [解析] 不等式的左边是n 个内角倒数的和，右边分子是n 2，分母是(n －2)π，故在n 边形A1A2…A n中有不等式1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π成立．三、解答题9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．B级素养提升一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )A．27 B．28C．29 D．30[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．3．(2015·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( C )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 二、填空题4．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中的最大数是b ，则a ＋b ＝_30__.[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a ＝21，b ＝9，故a ＋b ＝30.5．(2016·天津五区县高二检测)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝2p (m 、n 、p ∈N ＋)，则a m＋a n ＝2a p ，类比上述结论，在等比数列{b n }中，若m ＋n ＝2p ，则得到的结论是_b m b n ＝b 2p __.[解析] 设等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p－1，∴b m ·b n ＝b 21q m ＋n －2， b 2p ＝b 21q2p －2， ∵m ＋n ＝2p ，∴b m b n ＝b 21q 2p －2＝b 2p .6．(2015·陕西文)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．[解析] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．C 级 能力提高1．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为_S 2△ABC＝S △OBC ·S △DBC __.[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 2．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。
2018年秋高中数学课时分层作业3合情推理新人教A版选修1_2
课时分层作业(三) 合情推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1. 下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B [由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故选B.]2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 其中类比结论正确的个数是( )【导学号：48662051】A ．1B ．2C ．3D ．4B [由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B.] 3．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n－2 B ．2n －2C ．2n －2－12D ．2n ＋1－4A [∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n－2.故选A.]4．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：图217按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )【导学号：48662052】A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝6n ＋2.]5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]二、填空题6．观察分析下表中的数据：【导学号：48662053】F ＋V －E ＝2 [观察分析、归纳推理．观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.] 7．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.]8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 [结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式.【导学号：48662054】[解] 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 10．如图218所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．图218[解] 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.[能力提升练]1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )【导学号：48662055】A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④B [根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．] 2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．]3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图219)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．图219πab [由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab .]4．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.【导学号：48662056】n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.]5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2110(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2110(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的表达式．[解] (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。
2018年秋高中数学 课时分层作业3 合情推理 新人教A版选修1-2
课时分层作业(三) 合情推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1. 下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B [由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故选B.]2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac ＝a ”类比得到“a·c ＝a”．)【导学号：48662051】B ．2 D ．4B.] a n ＋2，则猜想a n 是( ) B ．2n －2D ．2n ＋1－4A [∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n－2.故选A.]4．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：图217按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )【导学号：48662052】A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝6n ＋2.]5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]二、填空题6．观察分析下表中的数据： 多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812【导学号：48662053】F ＋V －E ＝2 [观察分析、归纳推理．观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.] 7．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.]8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 [结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式.【导学号：48662054】[解] 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 10．如图218所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．图218[解] 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝g 2l 2＝l 2l 2＝1.[能力提升练]1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )【导学号：48662055】A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④B [根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．] 2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．]3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图219)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．图219πab [由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab .]4．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.【导学号：48662056】n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.]5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2110(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2110(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的表达式．[解] (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。
数学人教版选修1-2第三章 合情推理与演绎推理 解析高中数学教学设计试卷分析网
重点列表：重点详解：重点1：合情推理 【要点解读】1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误． 【考向1】归纳推理【例题】【2016高考山东文数】观察下列等式：；；；；……照此规律，_________． 【答案】22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++()413n n ⨯⨯+【解析】通过类比、归纳，可以发现，等号右边最前面的数字是，接下来是和项数有关的两项的乘积，即，故答案为 【名师点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法. 【考向2】类比推理【例题】(1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________. 【答案】(1)D (2) 1∶8.【名师点睛】1.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.43()1n n +()413n n ⨯⨯+2.合情推理的过程概括为：重点2：演绎推理 【要点解读】演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 【考向】演绎推理【例题】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *).证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．【名师点睛】1.演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.【趁热打铁】1.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列. ①第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列. 则（ ）A ．B ．C ．D ．2. “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错3.【湖南省长沙市长郡2017届高三上学期第三次月考模拟】定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．4.【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）】6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从，，，四个不同的方向前往灾区. 已知下面四种说法都是正确的.n1,,41,31,21,1 2nn a a a a ,,,,321 =++++-n n a a a a a a a a 1433221 24n 2(1)4n -(1)4n n -(1)4n n +)(x f ],[b a )10(,2121<<<x x x x a b a f b f x f --=)()()('1ab a f b f x f --=)()()('2)(x f ],[b a m x x x f +-=232)(]2,0[a a )41,81()41,121()81,121(,1)81(A B C D（1）甲轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向； （3）丙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是方向，那么甲所在方向就不是方向.有下列判断： ①甲所在方向是方向；②乙所在方向是方向；③丙所在方向是方向；④丁所在方向是方向.其中判断正确的序号是__________.5.【山西省怀仁县第一2017届高三上学期第一次月考（开学考）】观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10……则第 行的各数之和等于．6.【北京市2017届高三入学定位考试】网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.从上述表格中可以推算出30号的童鞋对应的脚的长度为____；若一个篮球运动员的脚长为282，则 他该穿_____号的鞋.7.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】 给出下列不等式：,，C D A B A B A D D A B D D C 22017mm 111123++>11131 (2372)++++>，…………则按此规律可猜想第个不等式为 .8.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】定义矩阵，则函数的图象在点处的切线方程是_______________.9.若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n)a p ＋(n －p)a m ＋(p －m)a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有________________．10. f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.1111 (22315)++++>n (1,1)-。
人教版数学高二-人教A版选修1-2课时作业 合情推理(1)
课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.答案：A2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.答案：C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n －1)·4⇒n＝504∈N*.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为，故选A.答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．答案：D二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式．．．．．为__________．解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析：由首项为1，得a1＝1；；由n＝1时，由2a22－1＋a2＝0，得a2＝12当n＝2时，由3a23－2(12＋12a3＝0，2)即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝1；3…归纳猜想该数列的通项公式为a n＝1*)．n(n∈N答案：a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，………………可推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：三角形数：N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2；正方形数：N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2；五边形数：N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n2；六边形数：N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n 2；……根据以上规律总结，推测：N (n ，k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案：1000 三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，猜想数列{b n }的通项公式．解：a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28， b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1；a 2＝6＝2×3； a 3＝15＝3×5；a 4＝28＝4×7； …，猜想a n ＝n ×(2n －1)， 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．解：反映一般规律的等式是：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2：课时跟踪检测(十一)流 程 图 Word版含解析
课时跟踪检测（十一）流程图层级一学业水平达标1．下列框图中，属于流程图的是()A.整数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂B.随机事件→频率→概率C.平面向量→空间向量→几何向量D.插电源→放脏衣服→放水→洗衣→脱水解析：选D根据流程图的定义分析知，只有D项中的框图为流程图，故选D.2．下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填()A．x1＝x2？B．x1≠x2?C．y1＝y2?D．y1≠y2?解析：选A根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．3．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是()A．买票→候车→检票→上车B．候车→买票→检票→上车C．买票→候车→上车→检票D．候车→买票→上车→检票解析：选A旅客搭乘火车的流程应为“买票→候车→检票→上车”．4．在如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计解析：选A由流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B程序框图表示的是比较2n和n2的大小关系．当n＝1时，2>1；当n＝2时，4＝4.所以输出n＝2.6．如图，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________．解析：若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.答案：r＝17．阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．解析：执行程序框图可得n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1＞150，循环结束，故输出的k值为3.答案：38．在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、茶杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min.为了能最快沏好茶，需要的最短时间为________分钟．解析：“喝茶问题”中的这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能沏好茶的流程图如图所示．上述流程图需要时间18分钟．答案：189．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．解：流程图如图所示：10．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图，根据此流程图回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序，也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．层级二 应试能力达标1．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )A ．孵化鸭雏B ．商品鸭饲养C ．商品鸭收购、育肥、加工D ．羽绒服加工生产体系解析：选C 由工序流程图可知，羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．2.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ． 2C ．3D ．4解析：选B 开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a ＝－12，k ＝1；第二次循环a ＝－2，k ＝2；第三次循环 a ＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k ＝2.3．下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是( )A.装订→印刷→制版→编审B.编审→制版→印刷→装订C.制版→编审→装订→印刷D.印刷→装订→编审→制版解析：选B 出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为() A．26B．24C．20 D．19解析：选D路线D→C→B的最大信息量是3；路线D→E→B的最大信息量为4；路线G→F→B的最大信息量为6；路线G→H→B的最大信息量为6.故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.5．如图是一个程序框图，则输出的k的值是________．解析：解一元二次不等式k2－5k＋4＞0，得k＜1或k＞4，依据k的初始值和增量，可知当k＝5时跳出循环．故输出的k值是5.答案：56．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电台数相同，调配出彩电的总台数最少为________．解析：调配后每所学校彩电台数为10，最好的方案为总数为5＋3＋2＝10.答案：107．某公司业务销售的工作流程是：与客户接洽，商讨单价及数量，签订销售合同、销售订单，之后，发货并装货，开票据付款，凭交款单送货．试画出它的流程图．解：流程图如图所示：8．某市环境保护局信访工作流程如下：(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．据上画出该局信访工作流程图．解：流程图如图所示．。
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课时跟踪检测（三）合情推理
层级一学业水平达标
1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为
( )
A.B．△
C.D．○
解析：选A 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n －2)·180°(n∈N*，且n≥3)．
A．①②B．①③④
C．①②④D．②④
解析：选C ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( ) A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
解析：选C 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，
在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：选B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．
5．观察下列各等式：
22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4
＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.n n －4＋8－n (8－n)－4
＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4
＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4
＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2 解析：选A 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分
子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是
_______________________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记。