第三章 正态分布及其应用

⑵ 抽样应遵循随机化的原则 保证总体中每一个个体都有相同的机会被抽中 ⑶ 抽取的样本含量应足够大 原因：参考值范围是根据样本数据估计的。 只有样本含量足够大时，样本分布才越接近总体分 布，所得结果才能比较真实的反映总体的情况。 样本含量的要求：一般 n 1 0 0
2．控制测量误差 统一测量的方法、仪器、试剂、精密度、操作熟 练程度，以便将测量的误差控制在一定的范围内。
所以该地正常人的尿汞值的 95%医学参考 值范围为 43.6( / L )
红细胞 过高与过低 尿铅 肺活量 过高 过低
5．选择合适的百分界限
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在的范围。 “绝大多数” ：习惯上指 80%、90%、95%或 99%。
人 数 正常人 目的： 1. 减少假阳性(确诊病人)－减 少把正常人诊断为病人的 可能性。较大的百分界限 假阳性 上限值 2. 减少假阴性(病人初筛)－减 少把病人诊断为正常人的 可能性。较小的百分界限 实际中最好结合正常人和病人 的数据分布特点，权衡假阳性 和假阴性的比例，选择一个适 当的百分界限。
由频数分布表可知尿汞值呈偏态分布，且尿汞值仅 以过高为异常（单侧） ，所以采用百分位数法计算 上侧界值即求第 95 百分位数 P95。 公式： P
X
L
i fx
(n x%
8 .0 11

fL )
PX 4 0 .0
( 2 8 2 9 5 % 2 6 3 ) 4 3 .6 ( / L )
布，记作 X 准差。
~ N ( , )
2
， 为 X 的总体均数， 为总体标

2．正态分布的特征
⑴在直角坐标的横轴上方呈钟形曲线，两端与 x 轴永不相交，且以
x 为对称轴，左右完全对称。
⑵ 在 x 处， 离 ，
f (X )
f (X )
取最大值，其值为
f ( )
1

2
参考值范围实际是已知面积去求相应的区间。 （面积或概率）95%—— (
1.96 , 1.96 )
由于我们采用的是抽样研究，通常用样本指标去估计总 体指标，所以 95%参考值范围为 计算：下限： X 1.96 S 4.06 1.96 0.654 2.78( m m ol / L ) 上限： X 1.96 S 4.06 1.96 0.654 5.34( m m ol / L ) 所以正常成年女子血清总胆固醇的 95%参考值范围为 （2.78mmo)
2

2

X
e
2
2
dx
，分布函数
F ( X ) 表示曲线下区间 ( , X ) 的面积。
⑵ 曲线下面积的分布规律 X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 或 100% （频率） 区 ； 间 ( , ) 的面积为 68.27%， 区间 ( 1.645 , 1.645 ) 的 面积为 90%，区间 ( 1.96 , 1.96 ) 的面积为 95.00%， 区间 ( 2.58 , 2.58 ) 的面积为 99.00%，
正态分布的应用 例： 调查某单位 101 名正常成年女子的血 清总胆固醇，得其均数 X 准差 S
0.654 m m ol / L
4.06 m m ol / L
，标
。试估计该单位正常
女子血清总胆固醇在 4.00mmol/L 以下者及 5.00mmol/L 以下者各占正常女子总人数的 百分比。
，并且 x 越远
值越小。
⑶ 正态分布有两个参数：一个为位置参数 ，一个为形态参数 。
σ
1
σ μ
1
2
μ
2
固定σ，改变μ
μ 固定μ，改变σ
3，正态分布曲线下面积
⑴ 某一区间曲线下面积的求法 对概率密度函数
f (X ) 1
(x )
2

2
e
2
2
, X
积分
分布函数
F (X )
正 态 分 布
正态分布是医学和生物学中最常见，也是最重要的一种连续性分布，如正常人的 身高，体重，红细胞数，血红蛋白等。我们可以从频数表和频数图对正态分布进行研 究。 120 名正常成年男子红细胞计数的频数表（×1012/L）
组段（1） 3.20~ 3.50~ 3.80~ 4.10~ 4.40~ 4.70~ 5.00~ 5.30~ 5.60~ 5.90~6.20 合计 频数（2） 2 5 10 19 23 24 21 11 4 1 120 频率（%） （3） 1.7 4.2 8.3 15.8 19.2 20.0 17.5 9.2 3.3 0.8 100.0 累计频数（4） 2 7 17 36 59 83 104 115 119 120 累计频率（%）(5) 1.7 5.9 14.2 30.0 49.2 69.2 86.7 95.9 99.2 100.0
二、标准正态分布
正态分布是一个分布族，对应于不同的参数 和 会产生不同位置、不同形状的正态 分布，为了应用方便，我们将正态分布转化成标准正态分布。
u x
f (X )
1
(x )
2

2
e
2
2
, X

(u )
1 2
u
2
e
2
, u
P9 5
P5
正态分布法 例：已知正常成年女子血清总胆固醇均数
X 4.06 m m ol / L ， S 0.654 m m ol / L ，试估计正常
成年女子血清总胆固醇的 95%参考值范围(双侧)。 原理：正态分布曲线下面积的分布规律 区间 (
1.96 , 1.96 ) ——（面积或概率）95%
u u1 u2
x


x X S x1 X S x2 X S 4 .0 0 4 .0 6 0 .6 5 4 5 .0 0 4 .0 6 0 .6 5 4 1 .4 4 0 .0 9
x1 x2

参考值范围 一．基本概念
3．判断是否需要分组测定参考值范围 例：欲制定正常人肺活量的参考值范围，经研究 发现该指标在男女间有明显的差别，且差别具有 实际意义，因此肺活量的参考值范围应按照不同 的性别分别制定。
4．确定取单侧还是双侧 依据：实际用途和专业知识 例： 指标 异常情况 单、双侧 上、下限 双侧 单侧 单侧 上限和下限 上限 下限
二．制定参考值范围的步骤
1. 2. 3. 4. 5. 6. 从正常人总体中抽样 控制测量误差 判定是否需要分组确定参考值范围 决定取单侧还是双侧 选定合适的百分界限 根据资料的分布类型选定适当的方法进行参 考值范围的估计
1．从正常人总体中抽样： 注意以下几点： ⑴ 正确理解正常人的含义 正常人：不是一点小病都没有的人，而是排除 了对研究指标有影响的疾病或因素的人。 例如：研究某市成人血铅的参考值范围，是以 留住该市一年以上、无明显肝肾疾病、无铅作 业或接触史的成人作为被研究的正常人总体。
红细胞计数
所有长方形面积之和等于1或100%
利用正态分布曲线特点来描述正态分布的特征
概 率 密 度
正态分布曲线

红细胞计数
一、 正态分布的概念和特征
1． 概念 如果随机变量
f (X ) 1
X
2
的分布服从概率密度函数
, X
(x )

2
e
2
2
， 则称 X 服从正态分
25 20 频 数 15 10 5
长方形的高度等于频 数
3.20
3.80
4.40
5.00
5.60
6.20
红细胞计数
频数分布以均数为中心，向两侧逐渐减少，并且基本对称
0.7 0.6 0.5
长方形的面积等于频 率
频 率 密 度
0.4 0.3
（频率/组距） 0.2 0.1 3.20 3.80 4.40 5.00 5.60 6.20
假阴性
病人
以单侧上限为例
6．根据资料的分布类型选定适当的方法进行参 考值范围的估计
不同分布类型下的95%参考值范围估计方法
分布类型 估计方法 双侧 正态分布 偏态分布 正态 分布法 百分位数法
X 1 .9 6 S
公式 单侧上限
X 1 .6 4 S
单侧下限
X 1 .6 4 S
P2 .5 和 P9 7 .5
1.定义 医学参考值（medical reference value）: 是指包括绝大多数正常人的人体形态、功能和 代谢产物等各种生理及生化指标常数， 也称正常值。 2.一点说明 由于个体间存在差异，医学参考值并非常数， 而是在一定范围内波动，因此采用医学参考值范围 （reference ranges）作为判定正常和异常的参考标 准。
X ~ N ( , )
( x1 , x 2 )
标准化变换
u ~ N (0,1)
( u1 , u 2 )

u
1 2
u
2
e
2
du
将正态分布转化成标准正态分布后，同样关心其曲线下面积。为了应用方便，统计学家 编制了 u 界值表（p402） （表示的区间 ( , u ) 下的面积） ，通过查表可以得知一定区间标 准正态分布曲线下的面积。 由于我们实际面对的大多是正态分布，因此可采用如下的方法求其曲线下面积： 正态分布 美元 标准正态分布 人民币 商品 查表求面积
百分位数法 例：测得某年某地 282 名正常人的尿汞值如下表，试制定 正常人尿汞值的 95%参考值范围。
某年某地 282 名正常人尿汞值 ( g / L ) 测量结果 尿汞值 频数 f 累计频率（%） 累计频数 f 0~ 8.0~ 16.0~ 24.0~ 32.0~ 40.0~ 48.0~ 56.0~ 64.0~72.0 45 64 96 38 20 11 5 2 1 45 109 205 243 263 274 279 281 282 16.0 38.6 72.7 86.2 93.3 97.2 98.9 99.6 100