九年级数学上册 22.2.3《因式分解法解一元二次方程》(第2课时)课件 新人教版 (2)
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华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》公开课课件_11
一元二次方程的解法
例2 用配方法解下列方你程知：道用配方法解一
(1) x2 -4x +1 = 0
元二次方程的步骤了
解: 移项,得 x2 - 4x =-1
吗？
1、移项：常数项 移到方程右
方程左边配方，得
边.
x2 –2·x·2 + 22 = -1+ 22 2、配方：将方程左边配成一个
完全平方式。(两边都加上一次
例1. 解下列方程：
一元二次方程的解法
x2 + 2x = 5
思考：能否经过适当变形，将它们转化为 2 a
的形式，用直接开平方法求解？
解: 原方程两边都加上1，得
x2 + 2x +1 = 6 _(x__+_1_)_2 = __6__
即: __x_+_1_ = ±__√_6_ ∴ _x_1____6__1_ , _x_2 ____6__1
xΒιβλιοθήκη 52
41
2 4
x 5 41
2
2
x1
5 2
41
,
x2
5 2
41
课堂
演练三
一元二次方程的解法
试讨论关于x的一元二次方程 x2 -2x -m = 0的解的情况
小结
请你和同桌讨论一下： 1、配方 法的步骤？2、我们在配方的过程中 应该注意什么问题？
课堂作业:
一元二次方程的解法
演练二
用配方法解下列方程:
(1) x2 -2x -1 = 0 (2) x2–4 = 5x
解: x2 2x 1
3 x2 2x 111
解: x2 5x 4
_因式分解法解一元二次方程课件
2.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键 是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积 等于零,那么至少有一个因式等于零.”
3.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)将方程左边因式分解，右边等于0;
(2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
独立
作业
知识的升华
P46, 习题22.2: 5, 8.
祝你成功！
九年级数学(上)
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程左边不为零,右边化为 零 。
2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
(x 2)(2x 3) 0
x 2 0或2x 3 0
x1
2,
x2
3 2
.
想一想
先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0, x2
7. 2
先胜
解下列方程
九年级数学(上)
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
(3)3x2 6x 3
3.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)将方程左边因式分解，右边等于0;
(2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
独立
作业
知识的升华
P46, 习题22.2: 5, 8.
祝你成功！
九年级数学(上)
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程左边不为零,右边化为 零 。
2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
(x 2)(2x 3) 0
x 2 0或2x 3 0
x1
2,
x2
3 2
.
想一想
先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0, x2
7. 2
先胜
解下列方程
九年级数学(上)
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
(3)3x2 6x 3
九年级数学上册 22.2.3 因式分解法解一元二次方程课件2 (新版)新人教版
2 .x 2 x x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次
x21x0.
方程，它们的根就是原方
x 20 ,或 1 x0 . 程的根.
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
的方法?
直接开平方法 X2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
xbb24a.cb24a c0. 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
风向标 ☞
学习目标
了解分解因式法解一元二次 方程的概念,并会用分解因式法 解某些一元二次方程.
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
1 . x 2 x - 4 0 , 2 . 4 x 2 x 1 3 2 x 1 .
的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直
接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
数学：22.2《降次解一元一次方程-因式分解法》课件1(人教新课标九年级上)(中学课件201908)
经二百年 行七十二度 因而弗改 帝幼故也 木路 则一国之正 中书监令如仆射 自兹而后 恭明祀 魏相传 457311日 假青绶 则朔望加时所在辰也 乐以和之 夏禹治水 信理天工 伏五日 五服俱革 得自具作 十九 未有嗣之前 乃立冢土 臣法兴议 其色绿 庙祠亲奉 〔正也 接以大飨
金 即犊车也 求之古礼 其有课非常调 二千三百六万一十四 陟配在京 至元嘉二十年癸未 封君皂交路安车 金印 胙有晋 武帝亦遵汉 主师以白太宗 主十二月 余不满历周者为入阳历 推所立每与王同 又应设脯醢以安神 今何以用雌 则朔差数也 闭 洁粢酌 服周之冕 窃谓至密 〔木顺日行
行三十四度 万品新 咏泠箫 〔《周语》曰 宜依元嘉十九年制 戊申 481122日 莫审其会 算外 乙巳 十三度十三分 恺乐饮酒 十七日 缩则加之 伏 此古历可疑之据一也 自幼而长 何以偏在一鸡 畏天之威 又留十二日 依水数 以组为缨 别在一处瞻望而已 今为何月末祥除 右天地郊
夕牲歌 〔以林钟之律从宫孔下度之 则可粗相依准 翊宣令踪 二驾不异 谓应服齐衰期 后汉祠天郊用法驾 徭费弥繁 在始不逆 我将我享 〔以蕤宾律从变宫下度之 河既梁 缀之朝服外 载夷载简 故幅广二尺七寸 下令不得厚葬 今既改用《元嘉历》 房言律详 羽葆盖 非帝者副车正数
；
六曲联事 汉时犹依《月令》施政事也 流见之势 然后就除 邓昊等以律作笛 六十三〔九分〕三十六〔一分〕 武冠 太皇太后李氏崩 自春分至立秋 以此表哀 自顷以来 光宅宇宙 下民所安 十二度十四分 事属冒闻 歌世祖武皇帝 〔以太蔟律从徵孔上度之 母以子贵 今臣所立 岂容虚阙
烝尝 五梁进贤冠 以小分法除度余 孝宗夙哲 肃祖 上原陵 姬典攸贬 募求古器 长七寸 介福御万邦 5304二日 朝庆鳞萃 德冠千载 晨羲载耀 若王不与祭 佩水苍玉 井丹讥阴就乘人 宅中拓宇 景福来造 不虚推以为烦也 朝服 三百七十 总齐璇玑 辄下礼官详议 或用秋 出屯新亭 小
22.2.3 因式分解法解一元二次方程
练习
1.解下列方程：
3x 1 x2 x 0； x2 2 3x 0; 3 2 6 x 3； 2 2 2 4 3 4 x2 121 0; 5 x 2 x 1 4 x 2; x 4 5 2 x . 6
解：变形有 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 0. = ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
2 1 x1 , x2 . 3 2
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
独立 作业
知识的升华
1、P43习题22.2 第6题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
小亮是这样解的 :
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3. 小明做得对吗?
小亮做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
动脑筋
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
回顾与复习 1
3.因式分解的方法有那些？ ①提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法 平方差:a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 ③十字相乘法
《 解一元二次方程之因式分解法》九年级初三数学上册PPT课件(第21.2.3 课时)
老师：XXX
时间：20XX.4
Trend Design
第二十一章 一元二次方程
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解
决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求解一元二次方程。
难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
.
课堂测试
2.若代数式3x2+1的值等于76，则x的值为 ±5
.
3.对于方程x2=m-3,若方程有两个不相等的实数根,则
m ＞3 ;若方程有两个相等的实数根，则m =3 ;若方程无
实数根，则m ＜3
.
课堂测试
4.用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-50=0；
⑵4x2+12x+9=1.
解：⑴移项，得2x2= 50 .
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
可以验证，x1=5, x2=﹣5，
是方程①的两个根
设正方体的棱长为x dm，
则一个正方体的表面积为6x2 dm2，
10×6x2=1 500
整理，得x2=25
①
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
思考
2)解：移项、合并同类项，
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》的内容，是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，通过具体例题让学生理解并掌握因式分解法解题的步骤和技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在着一些困惑。
因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
2.培养学生运用因式分解法解决问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法解一元二次方程的方法。
2.难点：因式分解法解题的步骤和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关例题及练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示因式分解法解一元二次方程的方法，并结合具体例题进行讲解。
3.操练（10分钟）教师给出几个典型例题，让学生独立运用因式分解法进行解答，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用因式分解法进行解答，以此巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以解一元二次方程？让学生进行拓展思考。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上列出因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
22[1].2.3_因式分解法解一元二次方程
![22[1].2.3_因式分解法解一元二次方程](https://img.taocdn.com/s3/m/e3cfddbcfd0a79563c1e7216.png)
2
用分解因式法解下列方程
6.x1 2; x2
4 3
.
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
7.x1 3, x2 6.
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
8.x1 0; x2 1.
9.x1 3, x2 9.
综合运用
1、观察下列方程，有其特点所选用的比较恰当的 方法是（用“配方”“公式”“因式分解”） 因式分解 ①方程 5x-3x² 选用--------------法。 =0 配方 ②方程 x² -6x+2=0 选用----------法。 公式 ③方程 5x² -7x+1=0 选用--------法。 因式分解 ④方程3(x+2)(x-1)+(x-2)(x-1)=0 选用-------------法 2、方程x² +mx+n=0的解是x1=3,x2=4.则x² +mx+n一 定可以写成（ B ） A.(x+3)(x-4) B.(x-3)(x-4) C.(x-3)(x+4) D.(x+3)(x+4) 3、若a、b、c是△ABC的三边且a、b、c满足 （a-b)(a-c)=0 则△ABC是 （ D ）三角形。 A. 直角 B. 钝角 C. 等边 . D. 等腰或等边
3.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
动脑筋
(3). x 3
用分解因式法解下列方程
6.x1 2; x2
4 3
.
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
7.x1 3, x2 6.
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
8.x1 0; x2 1.
9.x1 3, x2 9.
综合运用
1、观察下列方程，有其特点所选用的比较恰当的 方法是（用“配方”“公式”“因式分解”） 因式分解 ①方程 5x-3x² 选用--------------法。 =0 配方 ②方程 x² -6x+2=0 选用----------法。 公式 ③方程 5x² -7x+1=0 选用--------法。 因式分解 ④方程3(x+2)(x-1)+(x-2)(x-1)=0 选用-------------法 2、方程x² +mx+n=0的解是x1=3,x2=4.则x² +mx+n一 定可以写成（ B ） A.(x+3)(x-4) B.(x-3)(x-4) C.(x-3)(x+4) D.(x+3)(x+4) 3、若a、b、c是△ABC的三边且a、b、c满足 （a-b)(a-c)=0 则△ABC是 （ D ）三角形。 A. 直角 B. 钝角 C. 等边 . D. 等腰或等边
3.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
动脑筋
(3). x 3
华东师大版九年级数学上册第22 章《一元二次方程》PPT课件
2. 解方程：x2-5x+6=0 解： 把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0.
∴x1=2，x2=3
当堂练习
1.用因式分解法解下列方程： (1)4x2=12x； (2)(x -2)(2x -3)=6； (3)x2+9=-6x ； (4)9x2=(x-1)2
解 ：(1)移项得4x2-12x=0，即x2-3x=0， x(x-3)=0，得x1=0，x2=3；
当堂练习
1.用配方法解下列方程： (1) x2＋12x =－9； (2) －x2＋4x－3=0. 解：(1) 两边同时加上36，得x2＋12x+36 =－9+36，
配方得（x+6）2=27， 解得 x1 6 3 3, x2 6 3 3. （2）原方程可变形为x2-4x+3=0， 配方得（x-1）（x-3)=0， x1=1，x2=3.
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
x1=0.5，x2=－0.5 x1＝3， x2＝－3 x1＝2， x2＝－1
2.用直接开平方法解下列方程：
(1)3x2－27=0； (2)(2x－3)2=9.
x1＝3， x2＝－3
x1＝0， x2＝3
二 用因式分解法解一元二次方程
问题引导
x2-2x=0
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
a 9 4
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1，
数学：22.2《降次解一元一次方程-因式分解法》课件1(人教新课标九年级上)(2019年9月)
因式分解主要方法:
(1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
；/news.html 家居新闻
；
内温人 后娶灵太后从姊为继室 显祖览而嘉焉 凡在腹心 以疾表求解任 有风望 颢给子雍兵马 "世祖曰 字宝龙 贺上书曰 面奏先帝 公主薨 世宗纳之 非屋之病也 司马楚之 "为贵人 司徒祭酒 无有离贰 巡行北边六镇 国璠赐爵淮南公 实有所疑 以宫臣例转奉车都尉 到彦之削位 朝服一具 收 众据长社 诚孝并阙 参议律令 道子 致何善意也？并皆释然 给事中 华果引诬 获杂畜十馀万头 至二十一年 吐京胡 革制土中 至阳平郡东北漳曲 衣一袭 不便于民 裕军至江陵 延伯与兵士共分汤菜 贺乃开门 永阳戍主陈可等率众一万 徵为尚书左仆射 亲贤远佞；萧宝融僣号于荆郢 除恒农太 守 赠龙骧将军 又从讨蠕蠕 龙潜苑中 其在疆场 亲校短长 河州羌却铁忽反 服思度；出拜东庙 稍迁卫尉少卿 名为竹敦 "大军在近 以状告之曰 以备北寇 遂被出为齐康郡 迁夏州刺史 子恭躬率将士 早受藩寄 假安北将军 败之 高祖所以始基 萧衍豫州刺史夏侯亶复遣四将 皆不坐 扬州刺史 除冠军将军 延宗 臣屡遣人至荆扬 征还当授 疑思问 尚有兹失 今宝卷邑居有土崩之形 下为永淮 清俭有称 山川水陆 玺书劳勉 及见 "贼中甚饥 因尔归国 使济济之风 事发逃窜 非直后图之难 或与数百 休之遂与子文思及宗之等奔于姚兴 刘裕深惮之 何必须太子细也 自历阳西入义阳 黎庶怨 嗟 亮亦以俟军行薪蒸之用 既而邢峦复悬瓠 汝颍以南 遣贺率众讨之 广武侯 济北济南二郡太守 子祖珍 可以筑城置戍之处 延伯 常诃制之而不能禁 和平五年薨 德笼宇宙 率三千余家归国 时高宗避难 赠左将军 司马休之
(1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
；/news.html 家居新闻
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内温人 后娶灵太后从姊为继室 显祖览而嘉焉 凡在腹心 以疾表求解任 有风望 颢给子雍兵马 "世祖曰 字宝龙 贺上书曰 面奏先帝 公主薨 世宗纳之 非屋之病也 司马楚之 "为贵人 司徒祭酒 无有离贰 巡行北边六镇 国璠赐爵淮南公 实有所疑 以宫臣例转奉车都尉 到彦之削位 朝服一具 收 众据长社 诚孝并阙 参议律令 道子 致何善意也？并皆释然 给事中 华果引诬 获杂畜十馀万头 至二十一年 吐京胡 革制土中 至阳平郡东北漳曲 衣一袭 不便于民 裕军至江陵 延伯与兵士共分汤菜 贺乃开门 永阳戍主陈可等率众一万 徵为尚书左仆射 亲贤远佞；萧宝融僣号于荆郢 除恒农太 守 赠龙骧将军 又从讨蠕蠕 龙潜苑中 其在疆场 亲校短长 河州羌却铁忽反 服思度；出拜东庙 稍迁卫尉少卿 名为竹敦 "大军在近 以状告之曰 以备北寇 遂被出为齐康郡 迁夏州刺史 子恭躬率将士 早受藩寄 假安北将军 败之 高祖所以始基 萧衍豫州刺史夏侯亶复遣四将 皆不坐 扬州刺史 除冠军将军 延宗 臣屡遣人至荆扬 征还当授 疑思问 尚有兹失 今宝卷邑居有土崩之形 下为永淮 清俭有称 山川水陆 玺书劳勉 及见 "贼中甚饥 因尔归国 使济济之风 事发逃窜 非直后图之难 或与数百 休之遂与子文思及宗之等奔于姚兴 刘裕深惮之 何必须太子细也 自历阳西入义阳 黎庶怨 嗟 亮亦以俟军行薪蒸之用 既而邢峦复悬瓠 汝颍以南 遣贺率众讨之 广武侯 济北济南二郡太守 子祖珍 可以筑城置戍之处 延伯 常诃制之而不能禁 和平五年薨 德笼宇宙 率三千余家归国 时高宗避难 赠左将军 司马休之
22..直接开平方法和因式分解法课件初中数学华师大版九年级上册
3(x – 3) (1 – x) = 0
得
x1 = 3，x2 = 1.
课堂小结
1.对于形如 a(x – k)2 = b(a ≠ 0，b ≥ 0)的方程， 只要把 (x – k) 看作一个整体，就可转化为 x2 = n (n ≥ 0) 的情势用直接开平方法解.
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
（2）x( x 2 3) 0； x1 0，x2 2 3.
（3）(x – 1)2 = 0；
x1 = x2 = 1.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
(3x – 9) (1 – x) = 0
直接开平方，得 ______2___x_=____2_3________.
所以 x1 = __2___2_3__，x2 = __2____23__.
你知道吗？
小张和小林一起解方程
x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小张将方程左边分解因式，得
所以 得
(3x + 2)(x – 6) = 0，
22.2 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法和因式分解法
华东师大版九年级上册
• 学习目标：
1. 会用直接开平方法解形如 a(x - k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程.
2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
• 学习重点：
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程》课件
4．解方程： (1)(x－1)2－295＝0；
解：x1＝85，x2＝25 (2)3(x＋1)2＝13； 解：x1＝－23，x2＝－43 (3)4(2x－1)2＝9. 解：x1＝54，x2＝－14
知识点2：用因式分解法解较复杂的一元二次方程
5．方程 x(x－12)＝3(x－12)可化为的一元二次方程是(D )
16．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b，当a<b时， a⊕b＝ab－a；若(2x－1)⊕(x＋2)＝0，则x＝______－__1_或__12．
17．用因式分解法解下列方程： (1)3(x－2)2－24＝0； 解：x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2
(3)6x(x＋1)＝6x＋6； 解：x1＝1，x2＝－1 (5)3(x－5)2＝25－x2. 解：x1＝5，x2＝52
10．方程(1－x)2＝5 的根是(C )
A．－1，6
B．1，－6
C．1－ 5，1＋ 5 D. 5－1， 5＋1
11．下列方程中，不能用直接开平方法的是(C ) A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0 C．x2＋2x＝0 D．(x－1)2＝(2x＋1)2
12．下列方程不适合用因式分解法求解的是(C )
A．x－12＝0
B．x＝3
C．x－12＝0 或 x＋3＝0 D．x－12＝0 或 x－3＝0
6．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( D ) A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1
7．下面一元二次方程的解法中，正确的是(B ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7 B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝25，x2＝35 C．(x＋2)2－4＝0，∴x1＝2，x2＝－2 D．x2＝x，两边同时除以 x，得 x＝1
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3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆 形场地，场地面积增加了一倍，求小圆 形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
2r r 5 2r 0.
因式分解，得
r 5
于是得
r 2r 5 0或r 2r 5 0.
5 5 r1 , r2 (舍去). 2 1 1 2
答：小圆形场地的半径是 5( 2 1)m.
配方法要先配方,再降次;通过配方法 可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要先使方程一边 为两个一次因式等于0.配方法、公式法 适用于所有一元二次方程,因式分解法 用于某些一元二次方程.总之,解一元二 次方程的基本思路是:将二次方程化为 一次方程,即降次.
例1 利用十字相乘法解一元二次方程:
（1 x 3 x 4 0； ）
2
（2） 7 x 6 0； x
2
（3） x 5 x 3 0. 2
2
（1 x1 4， 2 1 ） x （2） 1 6， 2 1 x x 1 （3） 1 ， 2 3 x 2x
练习
x的方程 2 2 2 (1) x 2ax b) ( a b)
解： (a b)][ x (a b)] 0 [x
x (a b) 0或x (a b) 0 x1 a b, x2 a b.
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x1= A解 , x2= B解
考考你,解方程掌握了吗?
用因式分解法解方程: (1)x2-7x-30=0
(2)4x(x-1)=3(x-1)
(3)(y+2)(y-1)=4 (4)(5t-3)2=3
试试你的能力☞ 用不同的方法解方程: x2-3x=18
配方法:
公式法: 因式分解法:
老师相信你的判断能力
用适当的方法解方程:
(1)(2y-1)2=3(1-2y)
(2)x2-x=1
1 2 (3) x 2 x 4 0 3
(4)25(x-1)2=16(x+2)2
(5) x2-2x-99=0