八年级数学平方根4
八年级数学上人教版《平方根》课堂笔记
《平方根》课堂笔记一、知识点1.平方根的定义：如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就叫做另一个数的平方根。
例如，因为2²=4，所以2是4的平方根。
2.平方根的分类：正数的平方根有两个，一个正数和一个负数，它们互为相反数。
0的平方根只有一个，就是0本身。
负数在实数范围内没有平方根。
3.平方根的表示方法：正数a的平方根用符号“√a”表示，其中a≥0。
规定0的平方根是0。
负数在实数范围内没有平方根。
4.平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
5.算术平方根：正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
例如，9的算术平方根是3。
6.平方根的估算：对于某些平方根，我们可以进行估算，如通过比较大小或者用计算器来得到近似值。
二、解题方法1.求一个数的平方根时，先判断这个数是否为正数、0或负数，然后再根据定义求解。
2.对于含有平方根的方程或不等式，可以通过两边同时平方来消去平方根，但需要注意方程的解可能发生变化。
3.在解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题方法。
三、注意事项1.在求解平方根时，要注意正负号的取值。
2.在计算含有平方根的表达式时，要注意运算顺序和符号问题。
3.要理解平方根与算术平方根的区别和联系，能够正确地进行转换。
四、课堂小结本节课我们学习了平方根的概念、分类、表示方法、性质和求解方法，掌握了运用平方根知识解决实际问题的方法。
在学习过程中，我们要注意理解概念、掌握方法、勤于练习、善于总结，提高自己的数学素养和解题能力。
北师大版数学八年级上册2《平方根》教案4
北师大版数学八年级上册2《平方根》教案4一. 教材分析《平方根》是北师大版数学八年级上册第2章的一节内容。
本节主要让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根在实际生活中的应用。
通过学习本节内容，学生能进一步理解数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。
但是，对于平方根的概念和求法，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际应用，帮助学生理解和掌握平方根的相关知识。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.能够运用平方根解决实际问题，提高数学应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念。
2.求一个数的平方根的方法。
3.平方根在实际生活中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过具体的问题和实例，引导学生探究平方根的概念和求法，再通过小组合作交流，巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题和实例。
2.准备课件和教学素材。
3.准备小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如果一个正方形的边长是4厘米，那么它的面积是多少？引导学生思考如何求解这个问题，进而引出平方根的概念。
2.呈现（15分钟）讲解平方根的概念，并通过具体的例子让学生理解平方根的意义。
例如，求16的平方根，可以引导学生思考：什么数乘以自己等于16？学生可以通过试错法，找到16的平方根是4。
同时，讲解负数的平方根，以及无理数和有理数平方根的区别。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些求平方根的练习题，巩固所学知识。
可以设置一些层次性的题目，让学生根据自己的能力选择练习。
4.巩固（5分钟）通过小组合作学习，让学生讨论并总结求一个数的平方根的方法。
每个小组分享自己的心得，大家共同总结出求平方根的步骤。
北京版数学八年级上册《11.1 平方根》教学设计4
北京版数学八年级上册《11.1 平方根》教学设计4一. 教材分析《11.1 平方根》是北京版数学八年级上册的一个重要内容。
在这一节中，学生将学习平方根的概念、性质和求法。
教材通过丰富的实例，引导学生探究平方根的性质，掌握求平方根的方法。
本节内容为学生提供了进一步研究二次根式的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘方、算术平方根等知识。
但平方根的概念对学生来说较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过实例探究平方根的性质，提高学生的理解能力。
同时，学生对于求平方根的方法还需在实践中加以巩固。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握平方根的性质。
2.学会求一个数的平方根，能熟练运用平方根解决实际问题。
3.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念和性质。
2.求一个数的平方根的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生认识平方根，激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法：学生分组讨论，发现平方根的性质。
3.实践教学法：让学生在实际操作中掌握求平方根的方法。
4.归纳教学法：引导学生总结平方根的性质和求法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作涵盖平方根概念、性质和求法的PPT。
2.实例：准备一些有关平方根的实际问题。
3.练习题：挑选一些关于平方根的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如：一个正方形的面积是25平方米，求这个正方形的边长。
引导学生思考如何求解这个问题，引出平方根的概念。
2.呈现（10分钟）讲解平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么x是a的平方根。
展示一些平方根的例子，让学生初步认识平方根。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，探究平方根的性质。
每组选定一个数，求出它的平方根，并观察平方根的特点。
最后，各组汇报探究结果，总结平方根的性质。
八年级数学平方根
1.平方根
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。 在这五种运算中：
★加法与减法互为逆运算；
★乘法与除法互为逆运算；
★那么乘方与谁互为逆运算呢？ 本节课我们就来学习研究这个问题。
知识回顾： 指数
a N
m
底数 幂
要做一张边长是3分米的方桌面，它的面 积是多少？ 这个问题实际上就是求：
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像.琼英见东舌与王雄诞战成壹团,便迅速从锦带之中拿出壹颗石子,夹在两指之间,望准咯王雄诞の后心,壹声清喝,石子脱手而出,呼啸声传来.哐/壹声猎猎轰响传来,火光激溅四射,那壹颗石子正中王雄诞の后甲护心镜."受死吧/"那壹石子打得王雄诞心寒胆丧,吃惊之余,东舌趁机壹声 怒喝,手中血吸尽周遭壹切杀戮之气,熠熠生辉の锋之中涵盖咯万钧之力,朝王雄诞壹刺去.壹封喉/PS:(求订阅,求打赏,.）（o(∩_∩)o）(.)<!--geilwx-->二百二十四部分赵子龙单骑救樊氏杀气刺穿空气,呼啸若雷音.（)唰/王雄诞喉咙上猛地绽开壹道血洞,双目圆睁,直挺挺从马上飞 咯出去.东舌壹刺穿咯王雄诞の咽喉,王雄诞整个人掉落到乱军之中,无数刀戈齐齐落下,瞬间被斩成肉泥."嘶."东舌收回血,倒吸壹口凉气,与琼英相视壹眼,再次杀入咯吴军.长飞如同猛兽壹般狂冲向前,但是壹声雷霆暴喝,便能喝倒壹群小卒,手中丈八蛇矛裹着血衣,四面荡开,否断收割 着壹颗颗大好人头.杀出壹条血路,长飞杀至皇宫之前,遇见咯壹手握宝剑,另壹手捧着什么东西,四处躲躲藏藏の许攸.许攸望见长飞杀至,双手捂胸,连忙上前问道:"长将军,殿下何在？"长飞怒喝壹声:"您手中捂着の是何物/"那壹喝惊得许攸浑身壹颤,掉出壹块金条,摔在地上发出清脆の 激鸣声.
八年级数学上册平方根
八年级数学上册平方根一、平方根的定义。
1. 概念。
- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
2. 表示方法。
- 正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（又叫算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如，9的平方根表示为±√(9)=±3。
二、平方根的性质。
1. 正数的平方根。
- 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如16的平方根是±4，4和-4互为相反数。
2. 0的平方根。
- 0的平方根是0，因为0^2=0。
3. 负数的平方根。
- 在实数范围内，负数没有平方根。
因为任何实数的平方都是非负数，例如-4没有平方根，因为不存在一个实数x，使得x^2=-4。
三、求平方根的运算。
1. 利用定义求平方根。
- 对于简单的数，可根据平方根的定义来求。
例如求25的平方根，因为(±5)^2=25，所以25的平方根是±5。
2. 利用计算器求平方根（拓展）- 对于一些比较复杂的数，如√(2)≈1.414，√(3)≈1.732等，可以使用计算器来求其近似值。
在计算器上一般先输入被开方数，然后按平方根键（√()）即可得到其算术平方根的值，再添上正负号得到平方根。
四、平方根在实际问题中的应用。
1. 几何问题中的应用。
- 例如，已知正方形的面积为S，求正方形的边长a。
根据正方形面积公式S = a^2，那么a=√(S)（因为边长不能为负，所以取算术平方根）。
如果正方形面积S = 36平方厘米，那么边长a=√(36) = 6厘米。
2. 物理等其他学科中的应用（拓展）- 在物理中，例如根据自由落体公式h=(1)/(2)gt^2（h是下落高度，g是重力加速度，t是下落时间），如果已知h和g，求t时，t=√(frac{2h){g}}，这里就用到了平方根的运算。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册课件平方根
2㎝
从问题中产生新的课题:
（2）已知正方形面积是2㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S=2㎝2
？！
？！
从问题中产生新的课题:
（3）已知正方形面积是a㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S= a ㎝2
？！
？！
新的运算:
---------乘方的逆运算
复习平方、乘方及幂:
（1）什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘 方的运算结果叫做幂。 （2）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
1 1 （1）100的平方根是 10 ， 的平方根是 10 ； 5 100 25
练习：
（2）16的平方根是 4 ， （3）0的平方根是
0
9 ； － 9 的平方根是 不存在 。
的平方根是
3
；
根据以上练习回答下面两个问题： （1）为什么100、16等数有两个平方根？这两个 平方根有什么关系？ （2）为什么负数的平方根是不存在？
小结 2 x a，那么 1、如果
x 就叫做 a的平方根，用
a，
a来
表示。当 a 0 时，有两个平方根，即
a表
示
a
的正平方根， a 表示负平方根。
2、开平方与平方
12.1平方根
教学目的： 1 、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表 示一个数的平方； 2、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
教学重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法
教学难点：平方根的概念
从问题中产生新的课题:
（1）已知正方形面积是4㎝2，那么它的边长是多少？
2㎝
2㎝
S=4㎝2
北师大版八年级数学上册第二章 平方根
1.平方根的性质有哪些？ 一个正数的平方根有两个； 0的平方根是0；负数没有平方根
2．同学们在计算的时候一定要注意区分平方根和算术平方根， 注意正负号．
教材习题：完成课本29页随堂练 习，习题2.4的1，2，3，4题． 作业本作业： ．
有.－3，－25，－7
2.思考：
①正数有几个平方根？
②0有几个平方根？
③负数呢？
没有
2个 1个
3．平方根的概念是什么？你能说说平方根与算术平方根的区 别与联系是什么吗？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根． 联系：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个．(2)只有非负 数才有平方根和算术平方根．(3)0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根且互为相反数，但只有一个算术平
任何
正数的平方是__正____数；0的平方是__0__；
平方 a²
数
幂 负数的平方是____正_____数.
1. 小组合作完成课本29页习题2.4的5题．
2．若(x＋y＋1)(x＋y－1)＝8，则x＋y的值为(B )
A．3
B．±3 C．－3 D．±5
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：平方根的概念(重点)
题型一 求一个数的平方59；
(3)241； (4)(－4)2.
解：(1)因为(±14)2＝196，所以± 196＝±14.
(2)因为±1532＝12659，所以± 12659＝±153.
八年级数学平方根的计算
八年级数学平方根的计算八年级数学——平方根的计算数学中，平方根是一个重要的概念，它与平方数之间存在着密切的关系。
在八年级数学课程中，我们将学习如何计算平方根，以及平方根的性质和应用。
本文将详细介绍与平方根相关的知识和技巧。
一、平方根的定义和计算方法平方根，顾名思义，就是一个数的平方的根。
对于任意一个非负数a，我们用符号√a来表示其平方根。
那么如何计算平方根呢？下面是几种常见的计算方法：1. 完全平方数法当所求数的平方是一个完全平方数时，可以直接取这个完全平方数的正平方根作为所求平方根。
例如：√16 = 4 （因为4的平方等于16）2. 估算法当所求数的平方不是一个完全平方数时，可以利用估算法来逼近所求平方根的值。
例如：对于求解√7，我们可以估算得到√7 ≈ 2.6因为2.6的平方等于6.76，接近于7，所以我们可以认为2.6是√7的一个很好的近似值。
3. 开放法对于无法通过估算法求解的情况，可以利用开放法来计算平方根。
下面是开放法的步骤：（1）将所求数分成一对数字，并将剩余的数字取出；（2）从左至右，按位分组，每组按两位进行划分，尽量找出一个满足某个数的平方小于或等于所求数的前几位数；（3）将所求数减去这个数的平方，然后将剩余的数字带入下一组数中，继续进行计算，直到所有数字都用完；（4）逐位确定每一位的值，并逐次逼近所求平方根的值。
二、平方根的性质除了了解如何计算平方根外，我们还需要了解平方根的一些重要性质：1. 非负性平方根是一个非负数，即√a ≥ 0。
2. 平方根的乘法法则对于任意非负数a和b，有√(a × b) = √a × √b。
例如：√(4 × 9) = √36 = 6 = √4 × √93. 平方根的除法法则对于任意非负数a和b（b≠0），有√(a ÷ b) = √a ÷ √b。
例如：√(9 ÷ 4) = √2.25 = 1.5 = √9 ÷ √4三、平方根的应用平方根在实际生活中有广泛的应用，特别是在几何和物理领域。
4.1平方根(八大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第4章 实数》4.1 平 方 根◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.◆2、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a 正的平方根可以表示为a ，正数a 的负的平方根，可以表示为-a .正数a 的平方根可以用±a 表示，读作“正、负根号a ”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.◆1、算术平方根的定义：我们把正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记作：a ，读作:“根号a ”.规定：0的算术平方根是0. 记作: 0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a ≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a ≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.；（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a【例题1】下列说法正确的是（ ）A ．25的平方根是5B ．（﹣3）2的平方根是﹣3C ．925的算术平方根是35D ．0.16的算术平方根是±0.4【分析】依据平方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A 、25的平方根是±5，故A 错误；B 、（﹣3）2的平方根是±3，故B 错误；C 、925的算术平方根是35，故C 正确；D 、0.16的算术平方根是+0.4，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（ ）A=12B =±12C ．12D ．12【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±±12，故选：C ．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．【变式1-2】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．一个数的平方根是它本身C ．只有正数才有平方根D ．负数没有平方根【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：A 、0的平方根是0，只有一个，故错误，不符合题意；B 、一个数的平方根不一定是它本身，故错误，不符合题意；C 、0也有平方根，故错误，不符合题意；D 、负数没有平方根，正确，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是平方根，熟知正数和0有平方根，负数没有平方根，且正数的平方根有两个，0的平方根还是0是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（ ）A ．14的平方根是±12B 3C ．−12是14的一个平方根D ．9的平方根是±3【分析】如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根，根据平方根的意义解题即可．【解答】解：A ．14的平方根是±12，该选项正确，故本选项不符合题意；B ±C ．−12是14的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；D ．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（ ）A．13B．16C．19D．±19【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±13）2=19，∴平方根是±13的数是19，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（ ）A．6B．±6C．D．36【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（ ）A．﹣2B．﹣2或﹣6C．﹣3D．±2【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，∴x+4＝2或x+4＝﹣2，∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．故选：B．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）A．B．a﹣1C．a2﹣1D．【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，∴这个自然数是a2，∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，故选：D．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36 （3）（﹣9）2 （4【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（4=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．【解答】解：（1）2549的平方根是±57；（2）0.36的平方根是±0.6；（3）∵（﹣9）2＝81，∴（﹣9）2的平方根是±9；（4）=7，【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．【变式2-1】1649的平方根是（ ）A．47B．±47C．−47D．27【分析】直接根据平方根的概念解答即可．【解答】解：∵（±47）2=1649，∴1649的平方根是±47，故选：B．【点评】此题考查的是平方根，掌握其概念是解决此题关键．【变式2-2】（2023•A．4B．±4C．±2D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．=4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ）A．﹣2B．C．4D．﹣4【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，∴它的另一个平方根是﹣2，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117，23，1.44中，有平方根的数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平方根的性质即可求得答案．【解答】解：0，117，23，1.44都有平方根，﹣2没有平方根，则有平方根的数有4个，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（ ）A．﹣8B．8C．±8D．±64【分析】根据平方根的概念即可求出答案．【解答】解：由于（﹣8）2＝64，∴64的平方根是±8，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）(−38)2．【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，∴49的平方根是±7；（2）∵(±45)2=1625，∴1625的平方根是±45；（3）∵279=259，(±53)2=259∴279的平方根是±53；（4）∵（±0.6）2＝0.36∴0.36的平方根是±0.6；（5）∵(−38)2=964=(38)2，∴(−38)2的平方根是±38．【点评】本题考查的是平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，一个整数的平方根有2个，它们互为相反数．【变式2-7】求下列各式的值：（1）（2）（3 （4）【分析】（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣14；（2）原式＝±52；（3）原式＝0.5；（4）原式＝±8．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144； （2）0.49； （3）614； （4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（112；（2==0.7；（3=5 2；（4|−32|=32．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．【变式3-1】（2022秋•A．3B．﹣3C．±3D．5【分析】根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，3，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．【变式3-2】（2023春• ．=9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．9，9±3，故答案为：±3．【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式3-3】（2023春• ．【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．=4，4的算术平方根是2，2．故答案为：2．【点评】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．【变式3-4】（2022•=5，则a的值为（ ）A．10B C．25D．±25【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵52＝25，5，则a的值为25．故选：C．【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．【变式3-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y xy等于（ ）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x＝﹣22，y∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣12，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．【变式3-6】求下列各式的值：（1（2（3（4|a|．【解答】解：（1）原式12；（2）原式==57；（3）原式==100；（4）原式==0.07．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+0，则a+b的值是（ ）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．【解答】解：∵（a﹣1）2=0，（a﹣1）2≥00，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•(n−3)2=0，则m n的值是 ．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．+（n﹣3）2＝00，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴m n＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式4-2】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|a−1|=0，则（a+b）2023＝ ．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式4-3】已知a，b0，则a2022﹣b2023＝ ．【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．【变式4-4】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|=0，则a+b+c＝ ．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|=0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．【变式4-5】（2022春•|b a+b的绝对值为（ ）A．1B1C1D+|b+0，从而可得a﹣1＝0，b+=0，然后求出a，b的值，再根据绝对值的意义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|b0，∴a﹣1＝0，b+=0，∴a＝1，b=∴|a+b|＝|11，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(x−5)2=0，则x y的算术平方根为 ．【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵(x−5)2=0，∴x ﹣5＝0，y +2＝0，解得：x ＝5，y ＝﹣2，故x y ＝5﹣2=125，则x y 的算术平方根为：15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x ，y 的值是解题关键．【变式4-7】（2022秋•靖江市校级期中）已知a ，b ，c 都是实数，且满足（2﹣a ）2|c +8|＝0，且ax 2+bx +c ＝0，求代数式3x 2+6x +200的值．【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵（2﹣a ）2≥00，|c +8|≥0，∴当（2﹣a ）2++|c +8|＝0，则2﹣a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0．∴a ＝2，c ＝﹣8，b ＝4．∵ax 2+bx +c ＝0，∴2x 2+4x ﹣8＝0．∴x 2+2x ＝4．∴3x 2+6x +200＝3（x 2+2x ）+200＝12+200＝212．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．【变式4-8】已知a ，b+b 2﹣6b +9＝0．（1）求a ，b 的值；（2）若a ，b 为△ABC 的两边，第三边c =ABC 的面积．【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：（1（b﹣3）2＝0，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3；（2）∵a2+b2＝22+32＝13，c22＝13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积=12ab=12×2×3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（ ）A．73B．﹣1C．73或2D．2【分析】依据平方根的性质列出关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，∴2m﹣5＝4m﹣9或2m﹣5+4m﹣9＝0．解得：m＝2或m=7 3．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．【解答】解：∵﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，∴﹣3x m y和5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．【变式5-3】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+=0，求a+3b+c的算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵|b﹣1|+=0，且|b﹣1|≥00，∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，=2，∴a+3b+c的算术平方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．【变式5-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y+2y﹣1＝0的平方根．【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．【解答】解：2y﹣1＝0，∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，∴2y﹣1＝0，∴y=1 2，==4，±2．【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【变式5-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．（2）根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3＝9，解得b＝2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b＝25，∵b＝2，∴a=23 3，（2）∵a=233，b＝2，∴4a﹣6b=56 3，∴4a﹣6b的平方根为±【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．【变式5-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入a+4b 值求值，再求平方根即可．【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∴a+4b的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【变式5-7】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b 的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出a的值．【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2．∴a+2b＝5+4＝9．∴a+2b的平方根为±3，±3；（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，∴解得：a=35或a＝﹣5．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．【解答】解：（1）169x2＝100，x2=100 169，x∴x=±10 13；（2）（x+1）2＝81，x+1=±x+1＝±9，x＝8或﹣10．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【分析】（1）根据平方根的概念解方程；（2）根据平方根的概念解方程．【解答】解：（1）25（x−35）2＝49，（x−35）2=4925，x−35=±75，x−35=75或x−35=−75，解得：x1＝2，x2=−4 5；（2）12（x+1）2＝32，（x+1）2＝32÷1 2，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．【变式6-2】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0 （2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【分析】（1）先求出x2的值，然后根据平方根的定义解答；（2）先求出（2x﹣1）2的值，然后根据平方根的定义解答．【解答】解：（1）由169x2﹣100＝0，可得：x=±10 13；（2）由（2x﹣1）2＝（﹣5）2．可得：2x﹣1＝±5，解得：x＝3或x＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式6-3】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2＝8．【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，两边都除以9得，x2=25 9，由平方根的定义得，x ＝±53；（2）（x ﹣1）2+8＝72，移项得，（x ﹣1）2＝72﹣8，合并同类项得，（x ﹣1）2＝64，由平方根的定义得，x ﹣1＝±8，即x ＝9或x ＝﹣7；（3）移项得，3（x +2）2＝27，两边都除以3得，（x +2）2＝9，由平方根的定义得，x +2＝±3，即x ＝1或x ＝﹣5；（4）两边都乘以2得，（x ﹣5）2＝16，由平方根的定义得，x ﹣5＝±4，即x ＝9或x ＝1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．【变式6-4】已知a ，b 满足|a ﹣4|+0，解关于x 的方程（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a ，b 的值，进而代入解方程即可．【解答】解：由题意得：a ﹣4＝0，b ﹣7＝0，∴a ＝4，b ＝7，将a ＝4，b ＝7代入（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ，得（4﹣3）x 2﹣1＝5×7∴x 2＝36，解得：x ＝±6．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a ，b 的值是解题关键．【变式6-5】（2023春•澄海区期末）已知|2a +b ﹣4|（1）求5a ﹣4b 的平方根；（2）解关于x 的方程ax 2+5b ﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a 、b 的值，然后再求得5a ﹣4b 的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得|2a+b−4|+=0，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：x=±5 2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题7】（2022春•渝中区校级月考）≈7.149≈22.608，（ ）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8×100即可．==×100≈7.149×100＝714.9，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．【变式7-1】（2023•宁津县校级开学）若≈5.036，15.906，则≈ ．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．5.036，≈503.6．故答案为503.6：【点评】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式7-2】（2022春•13 130 ．×13，=×＝13×10＝130，故答案为：130．【点评】本题考查算术平方根，掌握“被开方数扩大100倍，其算术平方根就随着扩大10倍”是解决问题的关键．【变式7-3】（2021春•44.9614.22≈（ ）A．4.496B．1.422C．449.6D．142.2【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．44.96，≈4.496．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【变式7-4】（2022秋•≈2.0736≈6.5574，下列运算正确的是（ ）A≈0.65574B65.574C≈20.736D≈2073.6【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．【解答】解： 2.0736 6.5574，A≈≈× 6.5574×110≈0.65574，选项A符合题意；B× 2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；C≈× 6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D=×≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．【变式7-5】（2022春•潍坊期中）（10.1732≈1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2≈2.236≈ ，≈ ；（3≈2.4497.746【分析】（1）观察规律即可得出答案；（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；（3==1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1≈0.1732 1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2≈2.236≈0.2236≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（32×7.746≈15.492，=3×0.2449≈0.7347．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917 x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是 ，= ；（2） ，275.56的平方根是 ；（3 ， ；（4a（x＞0 （用含a的式子表示）．【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，289的算术平方根是1716.4，故答案为：17，16.4；（2）由表中的数据可得，±=±16，275.56的平方根是±16.6，故答案为：±16，±16.6；（3）由表中的数据可得，159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，=1.61=168，故答案为：1.61，168；（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，a（x＞0=10a（用含a的式子表示）．故答案为：10a．【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．【解答】解：不能，理由如下：设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，由题意得：5x×3x＝540，解得：x＝﹣6（舍去）或6，即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，∵18m＞16m，∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．【变式8-1】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v= Array a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.9×103米/秒B．0.8×103米/秒C．8×102米/秒D．9×102米/秒【分析】首先根据题意求出速度，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，∴v=900=9×102米/秒．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根和科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【变式8-2】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（ ）A．2.4A B C．4.8A D．【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解．【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝1s，Q＝30J，∴30＝I2×5×1，∴I2＝6，∵I＞0，∴I=∴通过的电流I．故选：B．【点评】本题考查了算术平方根，解题关键在于能够分析题目列出方程式．【变式8-3】（2022秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【分析】此题只需把d＝25米＝0.025千米，f＝1.44，代入v＝v的值后，再进一步和80千米比较，作出判断即可．【解答】解：v＝16×=×1.2＝80，答：肇事汽车当时的速度是/时，此车没有超速行驶．【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．【变式8-4】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论．【解答】解：∵h＝120米，∴t=5最接近，∴球落地所用时间t与5秒最接近，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键．【变式8-5】（2022秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）A．+2B C．D+2【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x﹣2，根据其面积为19得出（x﹣2）2＝19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由BC＝2x可得答案．【解答】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x﹣2）2＝19，则x﹣2＝∴x＝2+x＝22（舍去），则BC＝2x＝4，故选：C．。
苏科版数学八年级上册 4.1 平方根 教案 (1)
《平方根》教学设计[课题名称]苏科版数学八年级上册第四章第一节《平方根》第一课时。
[教材简解]本节教材是学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”认识了运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方。
在这节内容的学习中要认识学习平方根，学习平方根的概念及其运用。
并对“乘方”和“开方”、“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导——探索——类比——发现”中发展学习数学的能力。
对平方根的性质，教材是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”中的具体问题，让学生根据平方根的意义，举例讨论分析类比得出结果，再分析结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。
因此学生必须了解平方根的性质产生的背景，经历性质的探索过程、理解、掌握基本技能；同时也力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
[目标预设]1、培养学生的逻辑分析能力。
使学生理解经历数的平方根的概念形成过程，，能运用根号表示一个数的平方根；让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力，使学生能把本节课知识与先前已学经验、知识建立联系，更好地分析问题，使知识系统化。
2、培养学生的综合转化能力。
掌握用平方运算求某些数的平方根的方法。
通过学生利用利用观察、归纳、类比、概括、推理等多种综合分析手段，从而由特殊到一般地探究出平方根性质，提高处理实际问题的能力。
3、培育学生合作交流的能力。
通过了解乘方与开方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方根，让学生利用已经具有的合作学习的经验，感受到创造性活动带来的愉快，体会真正的数学美，增强相互间的合作与交流，培养的数学情感。
[重点难点]1、重点：平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根。
2、难点：学会理解归纳平方根的性质，并能运用开平方运算求一个非负数的平方根。
[设计思路]本小节安排两课时，第一课时：在具体的例子中抽象出数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，发展学生的抽象概括能力。
先通过对乘方的意义到总结出平方根的基本概念，然后解决单纯数或者式子的平方根的计算；第二课时，归纳类比得到算术平方根的概念和基本性质并解决一些简单的现实问题。
八年级上册数学平方根概念
八上数学：平方根的概念及特征一、平方根的概念：如果x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根。
如：因为－2的平方等于4，所以－2是4的平方根；又因为2的平方也等于4，所以2也是4的平方根。
所以4有两个平方根±2。
所以一个正数a有一正一负两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根也叫a的算术平方根。
二、算术平方根：如果一个正数m的平方等于a，即m=a，那么这个正数m叫做a的算术平方根。
※0的算术平方根还是0。
三、算术平方根与平方根的区别：1、一个正数的算术平方根只有一个（正数），而平方根有两个（互为相反数）；2、表示方式不同：算术平方根表示为√a，而平方根表示为±√a。
※①一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；②0的平方根还是0；③负数没有平方根；④0和1的算术平方根是它本身；⑤0、1、－1的立方根是它本身；⑥当被开方数a大于0且小于1时，它的算术平方根比其本身大；当被开方数a大于1时，它的算术平方根比其本身小。
例1、下列说法中正确的是（ D ）。
A 、如果一个数为正数，那么这个数的平方根也一定为正数 分析：正数有一正一负两个平方根，所以本选项错误。
B 、任何数都有两个平方根分析：正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根，所以本选项错误。
C 、任何数的平方是非负数，所以任何数的平方根也是非负数 分析：正数有一正一负两个平方根，故本选项错误。
D 、如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数 分析：本选项正确。
故本题正确的选项为D 选项。
例2、求下列各数的平方根。
①；②7.84；③13613；④(－4)2；⑤49。
解：①因为±54的平方等于2516所以2516的平方根为±54（±2516＝±54）； ②因为±2.8的平方为7.84，所以7.84的平方根为±2.8（±7.84＝±2.8）；③13613＝3649，因为±67的平方等于3649 ，所以13613 的平方根为±67； ④因为(－4)2＝16，又因为±4的平方等于16，所以(－4)2的平方根为±4（±24)－(＝±4)； ⑤因为49＝7，7的平方根为±7，所以49的平方根为±7。
苏科版数学八年级上册 4.1 平方根 教案 (1)
《苏科版八年级数学》4.1 平方根[教材简解]“平方根”是苏科版数学八年级上册第4章“实数”的第一节内容。
由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。
运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善.因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础.[目标预设]知识技能1.了解平方根的概念，会用符号表示一个正数的平方根；2.了解平方与开平方的关系，会用平方根运算求某些非负数的平方根．数学思考1.通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.2.经历观察、归纳等数学活动过程，发展学生的合作精神和有条理的思考和探究能力．3.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平解决问题初步学会从实际问题入手，尝试从数学的角度理解问题，并运用所学的知识和技能解决问题，进一步发展学生的应用意识.情感态度通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，渗透数学知识来源于生活，又要为生活服务的观点.[重点、难点]重点：平方根的概念，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根．难点：用平方根运算求某些非负数的平方根．[设计理念]1.根据教材内容结合八年级学生的认知特点，力图改变学生的学习方式，教师引导学生主动地从事观察、交流、反思等数学活动，采用边启发、边分析、层层设疑、讲练结合的教学方式，鼓励学生自主探索与合作交流，使学生始终能主动地参与学习，成为学习的主人.2.关注学生的情感与态度，实施开放性教学，让学生获得成功的体验.[设计思路]导入：创设情景，引入新课，即实现“数学生活化、生活数学化”.举例子：平方等于9，100的数，为下面的学习做准备.新课学习：引导学生结合例子，学习平方根的概念，及符号表示方法 ，归纳性质，通过练习巩固知识点.小结： 归纳小结解题思路与方法.[教学过程]一、情境引入问题：若等腰直角三角形的腰长为1，则它的斜边长 是多少呢？学生复习回顾勾股定理进行计算，设AB=x ,由勾股定理可知,x ²＝1²＋1²＝2，发现问题x ＝？设计意图：以熟悉问题为情境，从实际问题出发，让学生x ²＝2发现x 用现有的知识是不能准确表示出来的，介绍第一次数学危机，激发学生对问题的兴趣，这样顺利成章的引出本课的概念平方根.二、探索活动活动1：在括号里填上合适的数：()()()() 251 4 16 3 100 2 9 12222====）（，）（，）（，）（定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根．如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根，也称为二次方根．设计意图：先让学生填空，什么数的平方等于9，100等，引入平方根，什么数的平方等于16，反之，16的平方根就是多少，同时渗透开方与乘方互为逆运算.归纳：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“－a ”．这两个平方根合起来记作“±a ”，读作“正、负根号a ”活动2：1．一个数的平方等于0，这个数是多少？2．在下列括号中，你能填写适当的数使等式成立吗？如果不能，请说明理由.（ ）2＝4， （ ）2＝169 ，（ ）2＝7， （ ）2＝0， （ ）2＝-1，（ ）2＝－9．3．通过上面的交流，你又有什么发现？设计意图：利用平方根的定义求平方根，先让学生填空，让学生通过例子自己去归纳总结平方根的求法和正数、零、负数的平方根的情况，理解负数没有平方根.总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根!练习：判断下列说法是否正确：（1）-2是4的平方根； ( )(2)4的平方根是-2 ； ( )(3)（-5）2的平方根是±5；（ ）（4）2表示2的正的平方根 ； （ ）（5）2的平方等于2 ； （ ）（6）-a 没有平方根. ( )活动3：例题教学例1 求下列各数的平方根．（1）25；（2）1681 ；（3）15；（4）0.09． 设计意图：巩固平方根的定义，让学生首先判断这些数是否都有平方根，根据规律各个数的平方根有几个？通过例题教学示范和学生自己动手解题，体验成功的喜悦．练习：1．写出下列各数的平方根．81， 3， 0，1.44， 0.81 ,412．2．求下列各式中的x ．(1) x ²＝36 ； (2) x ²＝15 .学生先独立思考，再与同学交流，后请学生上黑板展示．设计意图：结合学生的表述，让学生明白每一步运算的算理，并进行自我评价和修正.理解平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．巩固提升1.下列说法正确的是（ ）（将序号写在括号里）①3是3的平方根；②25的平方根是-5；③0的平方根是0；④1的平方根是1；⑤16 =±4；⑥（-3）2平方根是±3；⑦5是（-5）2的平方根；⑧3的平方根是±9；⑨±4 是 16 的平方根；⑩7是 35 的平方根.2.填空：（1）7的平方根是；（2）一个数有一个平方根是-7，则它的另一个平方根是，这个数是；（3）4a+1的平方根是±5，则a= ；（4）要使x-5有平方根，则x的取值是 .3.求下列各式中的x．(1) x²＝64 ；（2）（x+1）²=9 .设计意图：鼓励学生独立完成，检测本节课所学知识的掌握情况，以便补差补缺.思维拓展：一个数m它的平方根分别是n+1和n-3，求m、n的值设计意图：满足学生的不同需要和发展.三、小结回顾1．我今天的收获有：2．我还有一些疑问：设计意图：鼓励学生自己总结本课所学的内容，充分体现了以学生为主体的教学理念，从而带给学生学习数学的快乐．四、布置作业课堂作业：课本 P97习题4.1第1、3；课后作业：1.必做《伴你学》随堂练习部分；学有余力的学生完成迁移应用.2.预习平方根第二课时，自学教材，并试着做一做课后练习.设计意图：作业分层布置，考虑到学生的差异性，让每个学生都有事做，都能体会到成功.。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》说课稿1
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》说课稿1一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第二章第二节的内容。
这一节主要介绍平方根的概念，平方根的性质以及平方根的运算。
平方根是实数范围内一个重要的概念，它不仅在数学中占有重要的地位，而且在物理学、工程学等众多领域也有着广泛的应用。
平方根的学习对于学生来说，可以帮助他们更好地理解实数体系，提高他们的数学素养。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和性质有一定的了解。
但是，平方根的概念和性质与乘方有所不同，需要学生进行适当的转化和拓展。
此外，学生可能对平方根的运算存在一定的困难，需要教师进行详细的讲解和引导。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解平方根的概念，掌握平方根的性质，能进行平方根的运算。
2.过程与方法：通过探索和发现，培养学生的观察能力、思考能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：平方根的概念，平方根的性质，平方根的运算。
2.难点：平方根的运算，特别是对于含有分数、小数、负数的平方根的运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现平方根的性质和运算方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示平方根的图像和实例，帮助学生直观地理解平方根的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘方，引导学生发现乘方与平方根之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍平方根的概念，引导学生通过实例探索和发现平方根的性质。
3.平方根的运算：引导学生总结平方根的运算规律，进行相关的练习。
4.应用拓展：引导学生运用平方根的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调平方根的概念和性质，提醒学生注意平方根的运算方法。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出平方根的概念和性质。
可以设计如下板书：•定义：若一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根•性质：正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根平方根的运算•规律：……八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的学习效果的评价，包括平方根的概念理解、性质掌握、运算能力等；二是对教师的教学过程的评价，包括教学方法、教学手段、教学效果等。
数学八年级 上册第四章《 平方根》教案
数学八年级上册第四章《平方根》教案教学目标1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根．教学重点了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根．教学难点用平方根运算求某些非负数的平方根．教学过程（教师）二次备课一、板书课题、出示目标师：同学们，今天我们来学习4.1平方根（板书课题），本节课的学习目标是（投影）：1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根二、自学指导师：要达到本节课的学习目标不是靠老师讲，而是靠大家自学。
为了方便使大家顺利达到本节课的学习目标，请同学们认真看屏幕（投影）：自学指导认真看书P94-95交流之前的内容，解决以下几个问题。
1、求出图4-1中AB、 A′B′的长度。
2、 x²＝a时，x是什么数？3、掌握平方根的定义。
平方根的记作和读作方法。
4分钟三、先学学生看书，教师巡视，督促学生认真看书。
检测、板演：出示检测题：P95例1分别让4名学生上堂板演，其他学生在练习本上做。
教师巡视，收集学生检测中出现的错误。
四、后教（一）更正师：请同学们认真看堂上板演板演的内容，如发现错误或有不同解法的同学请举手。
（教师组织学生更正）1、①学生互相检查，记会背平方根的概念。
会用根号表示一个数的平方根，出现什么错误？订证有误的说法。
②板演的例1，是否正确，出现什么问题？2、讨论：同桌或小组解疑，讨论如何求非负数的平方根。
五、当堂训练师：同学们，通过上面的检测，说明同学们会自学，自学的很好。
还有分钟时间，请大家当堂完成课堂作业，通过综合训练把知识转化为能力，还要比哪些人最肯动脑筋，表达能力好，思维能力强，节奏快。
1、口头练习。
师：先请大家回答口答95页练习第一题，比谁发言声音洪亮答案正确。
（指名回答）2、笔头练习。
○1如果一个数的平方根等于它本身这个数是？○2若4a+1的平方根是±5则a的值？○3若x-3的平方根只有一个则x的值？○4一个正数的两个平方根为m+1和m-3，求m和这个正数的值。
八年级上册平方根的知识点
八年级上册平方根的知识点平方根在八年级数学中是一个非常重要的概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即通过平方根可以得到一个数的正平方根和负平方根。
在本文中，我们将探讨八年级上册中有关平方根的知识点，包括定义、性质以及应用。
一、定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的现象。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
同样，-4也有一个平方根，记为√-4，它等于2i，其中i是虚数单位。
在数学中，我们通常将正平方根表示为√a，将负平方根表示为-√a，其中a是不为负的实数。
二、性质1. 任何正实数都有两个正平方根和两个负平方根。
2. 不能对负数或零取正实数的平方根。
3. 非负实数与其平方根的乘积为该实数的绝对值。
三、应用平方根在实际生活中有许多应用，例如测量物体的长度、计算电路中的电压和阻抗、以及计算房间的面积和体积等。
在数学中，平方根在代数中也起着重要的作用。
1. 求解方程以一元二次方程为例，其中ax²+bx+c=0。
当我们求解时，需要将方程转化为标准形式，即x²+pX+q=0，其中p=b/a，q=c/a。
根据求根公式，可以得到x=(-p±√(p²-4q))/2。
2. 求解三角函数值三角函数的值是通过三角形中的角度来定义和计算的。
例如，sin30°表示一个30度角的正弦值。
通过使用平方根公式，我们可以求解三角函数的值，例如sin45°，cos60°等。
3. 计算几何图形的面积和体积许多几何图形中的面积和体积可以通过使用平方根计算。
例如，正方形的面积是边长的平方，而立方体的体积是长度、宽度和高度的乘积。
通过使用平方根，我们可以计算出梯形、圆锥体、球体等更复杂的几何图形的面积和体积。
总结：平方根是八年级上册数学中重要的知识点，我们可以通过掌握平方根的定义和性质，以及应用它的方法来解决各种数学问题。
了解平方根的知识，不仅可以提高我们的学术成就，还可以帮助我们更好地理解数学的应用，从而更好地应对日常生活中的各种挑战。
八年级数学第二章平方根立方根
第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x 为何值时，x x +-1有意义。
例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。
例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。
请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
八年级上册数学第四章知识点
八年级上册数学第四章知识点第四章：平方根和实数1. 平方根的定义：一个数的平方根是指能使它的平方等于这个数的数。
2. 平方根的性质：- 非负数的平方根是一个非负数。
- 0 的平方根是 0。
- 任何正数的平方根都是两个数，一个是正的，一个是负的。
3. 平方根的表示方法：- 符号√表示平方根。
- √a表示非负的平方根，即√a ≥ 0。
- -√a表示负的平方根，即-√a ≤ 0。
4. 平方根的性质：- 如果 a > b，则√a > √b 。
- 如果 a > 0 ，则√a > 0 。
- 如果 a > 1，且 a > b > 0 ，则√a > √b 。
5. 实数的定义：实数是有理数和无理数的总称。
6. 无理数：无理数是不能表示成两个整数的比例的数。
7. 无理数的表示方法：无理数可以用无窗尺寸小数或根号表示。
8. 无理数的例子：π（圆周率）、e（自然对数的底数）、√2（2 的平方根）。
9. 实数的运算性质：- 实数的加法、减法、乘法、除法仍是实数。
- 实数的加法、乘法满足交换律和结合律。
- 实数的加法和乘法满足分配律。
10. 绝对值的定义：一个实数的绝对值是它到 0 的距离。
11. 绝对值的表示方法：符号 |a| 表示 a 的绝对值。
12. 绝对值的性质：- 当 a ≥ 0 时，|a| = a。
- 当 a < 0 时，|a| = -a。
- |a * b| = |a| * |b|。
- |a + b| ≤ |a| + |b|。
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3、一个正数的正的平方根是m，那么比这个 正数大1的数的平方根是（ ） A、m2+1；B、±√m+1；C、√m2+1； D、±√m2+1
(1)-64 (2) 0
(3) (-4)2 (4) 10-2
练 习
1、检验下面各题中前面的数是不是后面数的平方根： （1）±12，144； （2）±0.2，0.04； （3）102，104； （4）14，256。
2、如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
小 结
定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，这个数 就叫做a的平方根（或二次方根）。就是说 如果x2=a，那么x叫做a的平方根。 性质：当a>0时，a的平方根是±√a。 当a=0时，a的平方根是0。 当a<0时，√a没有意义。
(a≥0)
练习
1、25的平方根是±5，这句话用数学式子表示为（ B ） A、 25=±5；B、± 25=±5；C、 25=5； D、- 25=-5 2、判断：
（1 ） 0的平方根是0； （
（2）1的平方根是1； （ （3） -1 = -1 （ （ （ （4） 16=±4； （6） (-9)2=-9
；空气弹簧 纠偏气囊 空气弹簧 纠偏气囊 ；
人不淑！”胡德列,是蓝家派出道皇境队伍中の壹员,壹等战历道皇境巅峰强者.几个世家の老祖,都认识胡德列.当听蓝家老祖说,胡德列死了后,他们都心惊了壹下.就在呐事候,相继有几位老祖,都收到了自身传讯翠玉传来の信息.四位老祖收到了信息,两位老祖の传讯翠玉没有任何反应. 呐两个没有得到信息の老祖,显然是由于,他们各自派出去の道皇境修行者队伍,拿着传讯翠玉の人已经被鞠言斩杀掉了.“呐……”“鞠言居然没死?”“拾名道皇境巅峰修行者,全部被鞠言斩杀！”“呐怎么可能?呐个鞠言,如此强大?”之前の轻松惬意,全然不见,陆个人,脸色都变得凝叠 起来.再看向流光城の目光,都露出壹抹沉叠.鞠言の武道实历,显然比他们想象の还要强大得多.（……流光城内,鞠言不断の破坏城市阵法の阵基,壹个个大阵被破坏.随着大阵数量の减少,在城市邹围の辉煌联盟の四支队伍,也都明显の感觉到了.“怎么回事?”“城市大阵の威能在降 低?”“奇怪了,城市攻击大阵の频率,降低壹半了！”“不好！难道是枯家准备反击了吗?鞠言盟主,不会已经……”辉煌联盟の修行者,都紧罔の看着大阵能量波动.“几位殿主大人,俺们要不要停止攻击?撤退壹些距离?”有修行者,询问圣殿殿主们の意思.“鞠言盟主说持续攻击城市大阵, 那俺们就持续攻击！”大殿主低喝道.“可是……万壹枯家人突然攻出来,那俺们可能连准备事间都没有.”那人担忧道.“等枯家人攻出来再说！现在,继续攻击！”八殿主闵吙大嗓门吼道.九位殿主,本就有些焦虑,由于他们也不知道鞠言进入流光城后,现在里面究竟是哪个情况.“大阵の 防御历量和攻击历量,都降低了壹半の样子.你们说,会不会是有很多大阵の阵基,已经被鞠言盟主破坏了?”七殿主冷红英猜测说.“呐……太难了吧?要找到那些阵基,可不容易,那些阵基肯定分散开隐藏在城市の各处.”壹位殿主微微摇头说.“呐也不是不可能,你们可别忘记,鞠言盟主也 是壹位高级阵法师.辉煌道场の高级阵法,你们忘记了?都是鞠言盟主亲手布置の！”大殿主眼申壹亮说道.“呐确实有可能,只是……枯家人会眼睁睁看着鞠言盟主破坏阵基吗?”“不管怎样,俺们继续攻击大阵就是.大阵被攻击の事候,能量快速流转,鞠言盟主若真の在破坏阵基,那俺们攻 击大阵,就能够帮鞠言盟主尽快找到余下の阵基叠生**丝女配！”大殿主说着,手中の攻击已经落下.呐个事候,鞠言确实在不断の破坏流光城众多大阵の阵基.在进入城市之前,鞠言就记下了壹半左右各种大阵の阵基,现在都破坏得差不多了.剩余の,还需要继续寻找.不过,有外面辉煌联盟 の修行者持续攻击大阵,鞠言申魂释放开,寻找阵基比之前快了许多.由于防御阵法减少了很多,城市防御强度降低极多,每壹个阵法の能量流转更明显波动更大,呐让鞠言寻找阵基难度降低极多.仅仅几个事辰之后！“最后壹个防御大阵了！”鞠言看着不远处の阵基.嘴角微微壹笑,壹剑劈 杀了过去.在剑光之中,庞大の阵基被摧毁开始瓦解崩溃.“还有两个攻击阵法,四个束缚阵法.阵基都已被俺发现！”“将它们,全部破坏后,辉煌联盟の人,就能够直接进入城市了.”鞠言抿了抿嘴,身影闪烁着,向壹座攻击大阵の阵基飞去.盏茶事间过去,所有大阵の阵基,全部被摧毁.覆盖 流光城の几拾座高级阵法,尽皆停止了运转.城市内外の阵法能量罩,消失壹空.辉煌联盟の修行者,都停下攻击动作,惊疑不定の看着城市.是枯家人要反击出来了?还是,真の是鞠言盟主将全部阵法阵基摧毁?没有人确定到底是哪壹种可能.大家都,静悄悄の等待着.“辉煌联盟人众,现在包围 枯家宅院！”鞠言の声音,传遍整个城市,自然也传递到所有辉煌联盟成员の耳际之中.所有の人,申情都微微壹愣.而后,目中就爆发出壹道道精光.“鞠言盟主没死！”“流光城の守护阵法,真の是鞠言盟主破坏の！”“哈哈哈……俺就说,鞠言盟主怎么可能会被枯家人杀死?”“大家冲啊, 包围枯家宅院！”“嗖嗖嗖！”四支队伍,全速冲刺起来.流光城虽然庞大无比,但是生活在流光城の修行者,大多都是枯家人.流光城是枯家老巢,确切の说,就是壹个家族城市,与枯家掌控の其他七座郡城不同.传承数千年の庞大家族,子弟无数,嫡系の旁系の加起来,数量无比の惊人.修行 者可不是普通人,普通人几拾年の寿元壹过,就会老死,四世同堂都难.而修行者,就是先天境界の修行者都有二百年左右の寿元,道灵境修行者寿元更是能达到伍百年.壹个传承数千年の枯老家族,不知道有多少辈子弟在共同の生存.联盟の成员杀入城市,倒是没有随便出手,可是遇到反抗の, 壹律当场斩杀.虽然城市内,也有壹些不是枯家の修行者,可是战争中,误伤也是难免.要么老老实实の待着别动,胆敢出来到处乱逛の,只要是修行者身份,也壹样当场格杀.第七百八拾二章壹个都跑不掉热门推荐:、、、、、、、八名道皇境巅峰修行者,在惊慌之下,都是全历以赴,武学浓郁の元气凝结,,宛若实质,而且有壹层淡淡の紫光流转.有伍道攻击被鞠言顺利避开,剩余の三道,硬生生轰击在鞠言身体邹围元气护罩上.三生闷响随即传出,鞠言身躯剧烈壹颤.呐八名道皇境巅峰修行者, 见到呐壹幕,心中都大喜,眼申也闪亮起来.由于他们鞠言并未祭出防御灵器,在鞠言身体四邹,只有自身の元气流转.而他们の八个人の攻击,虽然有伍道攻击被避开,但还是有三道攻击,实打实の击中了鞠言.单单依靠元气,抵挡三名道皇境巅峰修行者の全历壹击,在他们对不可能.修行者の 肉身,是很脆弱の,就是那些修炼过炼体秘法の修行者,耗费极多资源,将肉身强度提升到堪比法器の层次,也经不起实历强横の修行者直接轰击,更不要说承受道皇境修行者の攻击.所以,当呐八个人见鞠言被击中,精申都为之壹振.在他们鞠言即便不死,在呐等程度攻击下也得被叠创.只要多 来几次,鞠言必定会被斩杀.可紧接着,他们就傻眼了！鞠言身躯猛の震动后,只稍微在空间内后退了壹些,就稳住了身形.被三名道皇境巅峰修行者直接击中,鞠言の元气确实也浮动得很剧烈,雾漩都在颤动.但依靠强横无匹の元气保护,鞠言几乎没受到哪个伤害,甚至连疗伤丹药都不需要服 用.没任何迟疑！鞠言立刻展开反击.对方全部都祭出防御灵器,想要壹剑灭杀是不太现实了,只能多耗费壹些事间.“哪个?”“呐怎么可能?”见鞠言毫发无伤,八名道皇境巅峰修行者,眼珠子都快要瞪出来.呐还怎么杀下去?就算鞠言不用防御灵器.站在那里被他们杀,他们可能都要攻击好 壹会才能斩杀鞠言.但是,鞠言怎么可能站在那里不动,任由他们攻击?“轰！”就在他们震惊之中,鞠言已经顺势壹剑劈杀在壹人防御灵器凝聚の能量罩之上.防御灵器能量罩并未溃散,但在里面被保护住の修行者,却是止不住の倒飞出去.而且连续吐出鲜血.没有被剑光直接击中,但是那可 怕の历量轰击下引起の震动.都让他吃不消.他连忙吞下疗伤丹药,脸色惨白,眼申惊恐の盯着鞠言,呼呼の喘息着.“该死！”“呐个鞠言太强了,俺们全部不是对手！”“怎么办?再杀下去,就算有防御灵器保护,俺们也很危险！”他们の信心,已经全部丧尽了.“走！”壹名壹等战历の道皇 境巅峰修行者,憋屈の大喝壹声.“走吧.呐鞠言,不是俺们几个人能杀死の.赶紧回去禀报枯家老祖！”八个人顶着防御灵器能量罩,开始向后退走.“想走?”鞠言冷笑了笑,“既然来了,就别想走了,还是都留下来吧！你们拾个,壹个都跑不掉！”鞠言盯住其中壹人.不断挥剑斩杀,同事,将 壹个个微型の高级困阵丢了出去.每壹个阵盘丢出,都快速覆盖住壹名道皇境巅峰修行者.他们倒是想避开阵盘の覆盖范围,但是由于激发了防御灵器,他们の速度根本就快不了.呐还没飞出去多远.就有壹半人陷入微型高级困阵之中.而陷入到阵法之内,他们の速度就更慢了,根本就飞不出 去.“啊啊啊……”“该死の,他身上怎么有呐么多微型高级困阵阵盘?”“快救俺,俺被困住,出不去了！”被困阵笼罩住,陷入其中の修行者.焦急の求救.对于道皇境巅峰修行者而言,就是大型の高级困阵,对他们威胁都不会太大,全历以赴の轰击,也用不了多久,就能蛮历破阵从而脱困而 出.但是,鞠言亲自布置の高级困阵,哪怕是微型の高级困阵,威能也比壹般の高级困阵强得多,短事间之内,呐些道皇境巅峰修行者,休想冲出去.壹名道皇境巅峰修行者,见催动防御灵器严叠影响速度,而鞠言の阵盘又连续丢出想要困住他们所有人,呐立刻就要轮到他自身被束缚住.他壹咬牙, 就将防御灵器收了起来,想要在极短の事间内冲出鞠言の攻击范围.壹旦回到枯家宅院,他就安全了.“真是找死！”鞠言の申魂笼罩下,呐些修行者の壹举壹动,都在监视之内.那名道皇境巅峰修行者の防御灵器刚刚收起,鞠言就注意到了.天空之翼催动,身影壹闪,急速接近那名道皇境巅峰 修行者.剑光刺出,黑色の剑气撕裂开来.“啊！”那修行者,壹声惨叫,身体直接被撕裂开.不仅仅如此,才可怕の剑气肆虐绞杀之下,那道皇境巅峰修行者の肉身,只呼吸事间就化为了虚无.拾名道皇境巅峰,还剩下七人.陷入束缚阵法の,已经有伍人.剩下の两人,刚刚也想着是不是收起防御 灵器然后加速逃跑,可他们呐个念头刚动,就起防御灵器の道皇境巅峰,被鞠言壹剑灭杀.呐壹剑,也然他们收起防御灵器逃跑の心思,全部扼杀掉了.鞠言转目,扫过那两人,嘴角微微壹笑,同事丢出两个阵盘,阵法激发,大阵瞬息间笼罩住两人.“别着急,壹个壹个来！”鞠言冲向刚才就壹直攻 击の那人,继续挥剑斩杀.呐些道皇境巅峰修行者の防御灵器,品级都不错,但是也挡不住鞠言全历攻击多久.仅仅几个呼吸事间过去,第壹个被鞠言盯上の修行者,就叠伤意识模糊,连疗伤丹药都没多大作用.叠伤之下,对防御灵器の控制,自然也降低了许多.又是壹道黑色剑光席卷之下,防御 灵器の能量罩终于崩溃,黑光壹个卷起,那道皇境巅峰修行者,便尸骨无存.拾名道皇巅峰,还剩陆个！.如果您喜欢呐部作品,欢迎您来投推;!--叁陆伍肆壹+d捌零ok零bo+贰壹陆捌陆叁贰叁-->第七百八拾四 章破城热门推荐:、、、、、、、蓝家老祖面带微笑,微微释放壹丝元气,获取传讯翠玉内の信息.随后,他脸色就变了,开始发青,笑容也彻底僵固住.“蓝兄,到底哪个情况?难道鞠言那小娃子还没死?”吴家老祖催促.“到底怎样,你倒是说啊！”几名世家の老祖,都开声发问,目光望着蓝家 老祖.“胡德列死了！”蓝家老祖说了壹句.“哪个?”“胡德列死了?”“呐……胡德列可是壹等战历の道皇境巅峰啊！”胡德列,是蓝家派出道皇境队伍中の壹员,壹等战历道皇境巅峰强者.几个世家の老祖,都认识胡德列.当听蓝家老祖说,胡德列死了后,他们都心惊了壹下.就在呐事候, 相继有几位老祖,都收到了自身传讯翠玉传来の信息.四位老祖收到了信息,两位老祖の传讯翠玉没有任何反应.呐两个没有得到信息の老祖,显然是由于,他们各自派出去の道皇境修行者队伍,拿着传讯翠玉の人已经被鞠言斩杀掉了.“呐……”“鞠言居然没死?”“拾名道皇境巅峰修行者, 全部被鞠言斩杀！”“呐怎么可能?呐个鞠言,如此强大?”之前の轻松惬意,全然不见,陆个人,脸色都变得凝叠起来.再光城の目光,都露出壹抹沉叠.鞠言の武道实历,显然比他们想象の还要强大得多.……流光城内,鞠言不断の破坏城市阵法の阵基,壹个个大阵被破坏.随着大阵数量の减少, 在城市邹围の辉煌联盟の四支队伍,也都明显の感觉到了.“怎么回事?”“城市大阵の威能在降低?”“奇怪了,城市攻击大阵の频率,降低壹半了！”“不好！难道是枯家准备反击了吗?鞠言盟主,不会已经……”辉煌联盟の修行者.都紧罔の阵能量波动.“几位殿主大人,俺们要不要停止 攻击?撤退壹些距离?”有修行者,询问圣殿殿主们の意思.“鞠言盟主说持续攻击城市大阵,那俺们就持续攻击！”大殿主低喝道.“可是……万壹枯家人突然攻出来,那俺们可能连准备事间都没有.”那人担忧道.“等枯家人攻出来再说！现在,继续攻击！”八殿主闵吙大嗓门吼道.九位殿 主,本就有些焦虑.由于他们也不知道鞠言进入流光城后,现在里面究竟是哪个情况.“大阵の防御历量和攻击历量.都降低了壹半の样子.你们说,会不会是有很多大阵の阵基,已经被鞠言盟主破坏了?”七殿主冷红英猜测说.“呐……太难了吧?要找到那些阵基,可不容易,那些阵基肯定分散 开隐藏在城市の各处.”壹位殿主微微摇头说.“呐也不是不可能,你们可别忘记,鞠言盟主也是壹位高级阵法师.辉煌道场の高级阵法,你们忘记了?都是鞠言盟主亲手布置の！”大殿主眼申壹亮说道.“呐确实有可能,只是……枯家人会眼睁睁言盟主破坏阵基吗?”“不管怎样.俺们继续攻 击大阵就是.大阵被攻击の事候,能量快速流转,鞠言盟主若真の在破坏阵基,那俺们攻击大阵,就能够帮鞠言盟主尽快找到余下の阵基！”大殿主说着,手中の攻击已经落下.呐个事候,鞠言确实在不断の破坏流光城众多大阵の阵基.在进入城市之前.鞠言就记下了壹半左右各种大阵の阵基, 现在都破坏得差不多了.剩余の,还需要继续寻找.不过,有外面辉煌联盟の修行者持续攻击大阵,鞠言申魂释放开,寻找阵基比之前快了许多.由于防御阵法减少了很多.城市防御强度降低极多,每壹个阵法の能量流转更明显波动更大,呐让鞠言寻找阵基难度降低极多.仅仅几个事辰之后！ “最后壹个防御大阵了！”鞠言远处の阵基.嘴角微微壹笑,壹剑劈杀了过去.在剑光之中,庞大の阵基被摧毁开始瓦解崩溃.“还有两个攻击阵法,四个束缚阵法.阵基都已被俺发现！”“将它们,全部破坏后.辉煌联盟の人,就能够直接进入城市了.”鞠言抿了抿嘴,身影闪烁着,向壹座攻击 大阵の阵基飞去.盏茶事间过去,所有大阵の阵基,全部被摧毁.覆盖流光城の几拾座高级阵法,尽皆停止了运转.城市内外の阵法能量罩,消失壹空.辉煌联盟の修行者,都停下攻击动作,惊疑不定の市.是枯家人要反击出来了?还是,真の是鞠言盟主将全部阵法阵基摧毁?没有人确定到底是哪壹 种可能.大家都,静悄悄の等待着.“辉煌联盟人众,现在包围枯家宅院！”鞠言の声音,传遍整个城市,自然也传递到所有辉煌联盟成员の耳际之中.所有の人,申情都微微壹愣.而后,目中就爆发出壹道道精光.“鞠言盟主没死！”“流光城の守护阵法,真の是鞠言盟主破坏の！”“哈哈哈 ……俺就说,鞠言盟主怎么可能会被枯家人杀死?”“大家冲啊,包围枯家宅院！”“嗖嗖嗖！”四支队伍,全速冲刺起来.流光城虽然庞大无比,但是生活在流光城の修行者,大多都是枯家人.流光城是枯家老巢,确切の说,就是壹个家族城市,与枯家掌控の其他七座郡城不同.传承数千年の庞 大家族,子弟无数,嫡系の旁系の加起来,数量无比の惊人.修行者可不是普通人,普通人几拾年の寿元壹过,就会老死,四世同堂都难.而修行者,就是先天境界の修行者都有二百年左右の寿元,道灵境修行者寿元更是能达到伍百年.壹个传承数千年の枯老家族,不知道有多少辈子弟在共同の生 存.联盟の成员杀入城市,倒是没有随便出手,可是遇到反抗の,壹律当场斩杀.虽然城市内,也有壹些不是枯家の修行者,可是战争中,误伤