Optimization Theory and Methods4
最优化理论与算法
最优化理论与算法
优化理论与算法研究的目标是解决最优化问题，即给定一定的约束条
件下，求得目标函数的最佳值，优化理论与算法是计算机科学、数学、运
筹学及其它相关学科的重要组成部分，是一个多学科交叉学科。
优化理论
与算法是指对复杂环境、条件、限制等进行模型建立，并以此模型为基础，运用计算机对各种优化问题进行求解，得到最优解的方法。
它在产业中的
应用非常广泛，包括交通系统、排课模式、物流系统、科研计划等，它的
应用领域也不断扩大。
优化理论与算法包括几何优化、数值优化、组合优化、动态规划等，
其中几何优化是指把优化问题转换成几何问题，按照优化准则进行空间，
以求取最优解的方法。
数值优化是指根据给定的模型，使用计算机求解目
标函数的最优解的方法。
组合优化是指求解那些变量数量特别多，而每个
变量又只能取有限的取值，使其能达到最优解的一种技术。
动态规划是指
通过构建有限步骤，每步骤之间相互关联的一个优化过程，以求得最优解
的方法。
优化理论与算法综合利用了统计学、数理统计、概率论、凸分析、数
值分析和计算机程序的优势和特点，能有效地处理实际中复杂的优化问题。
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化方法之 对偶理论讲解
问题： 0成立的条件.
LP 对偶问题的表达
（1）对称LP问题的定义
(P)
min s.t.
cT x Ax b x0
（2）对称LP问题的对偶问题
max
(D)
bT w AT w c w0
s.t.
例：写出下列LP问题的对偶问题
min 8 x1 16 x2 12 x3 2 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x3 3 x1 , x2 , x3 0
线性规划的对偶问题为：
max wT b1 vT b2 s.t. wT A1 vT A2 c w0
求下列非线性规划问题的对偶问题:
2 min x12 x2 s.t. x1 x2 4 0 x1 , x2 0
解：把变量的非负限制作为集约束，即 x1 x D x1 0, x2 0 , x2
( w, v) inf f ( x) wT g ( x) vT h( x) | x D f ( x) wT g ( x) vT h( x) f ( x).
推论1: 对于原问题和对偶问题 ，必有 inf f ( x) | g ( x) 0, h( x) 0, x D sup (w, v) | w 0. 1,, m h j ( x) 0, j 1,, l xD
集约束
(1)
定义(1)的对偶问题:
max ( w, v) s.t. w 0
(2)
max ( w, v) s.t. w 0
m l 其中 ( w, v) inf f ( x) wi gi ( x) v j h j ( x) x D i 1 j 1
最优化理论与算法
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§ 引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （）这里E 和I 均为指标集。
§数学基础一、 范数 1. 向量范数max i x x ∞= （l ∞范数） （）11ni i x x ==∑ （1l 范数） （）12221()ni i x x ==∑ （2l 范数） （）11()np pi pi xx ==∑ （p l 范数） （）12()TAxx Ax = （A 正定） （椭球范数） （）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ pp AxA x ≤则称之为与向量范数p g 相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论与方法电子科技大学
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例3 将例1的目标函数改为 f(x)= -3x1 -2x2 ,而约束条件
不变, 即求
f(x)= -3x1 - 2x2
解 可行集如图:
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(2) 转变“≤”约束为等式约束 引入 xn+p ≥0 , 使
称变量 xn+p为松驰变量. (3) 转变“≥”约束为等式约束
引入 xn+q ≥0 , 使
称变量 xn+q为剩余变量.
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(4) 消除自由变量
标准形式要求 xi ≥0, 模型中如果出现 xi 可任取值, 则称 xi 为自由变量, 此时可作如下处理:
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再绘出目标函数的等值线.当目标函数值为z0时, 其等值线为 –x1 - 2x2 = z0
这是一条直线, 当 z0 取不同值时, 可得到其他等值线. 因具有相同的斜率, 所以等值线是彼此平行的直线. 例如, 当z0=0时, 得一通过坐标原点的等值线
–x1 - 2x2 = 0
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二． 最优化问题的数学模型与分类
1. 根据问题不同特点分类
( 1 ) 无约束极小化问题 求 x =(x1，x2，…，xn)T 使函数 f(x) 达到最小, 记为
mxiRnn f (x) 或 min f (x) （2）约束极小化问题
记为
min f (x)
s.t. g i (x) 0, i = 1,2, …, m hj(x) = 0, j = 1, 2, …, n
最优化理论与方法
1．有穷性 对于任意一组合法输入值，在 执行有穷步骤之后一定能结束，即： 算法中的每个步骤都能在有限时间内完成；
2．确定性 对于每种情况下所应执行的操 作，在算法中都有确切的规定，使算法的 执行者或阅读者都能明确其含义及如何执 行。并且在任何条件下，算法都只有一条 执行路径；
3．可行性 算法中的所有操作都必须足够 基本，都可以通过已经实现的基本操作运 算有限次实现之；
11
1.1 组合优化问题
数学模型：
min dij xij i j
(1.4) 总路长
n
s.t. xij 1.i 1, 2,L , n, j 1
(1.5) 只从城市i出来一次
n
xij 1. j 1, 2,L , n,
i 1
(1.6) 只走入城市j一次
xij s 1, 2 s n 1, s 1, 2,L , n, (1.7) 在任意城市子集中不形成回路
(1.1)总价值
n
s.t. ai xi b, i 1
xi 0,1, i 1, , n.
(1.2)包容量限制 (1.3)决策变量
其中xi
1，装第i物品 0，不装第i物品
D 0,1n.
10
1.1 组合优化问题
例2 旅行商问题（TSP,traveling salesman problem） 管梅谷教授1960年首先提出，国际上称 之为中国邮递员问题。 问题描述：一商人去n个城市销货，所有 城市走一遍再回到起点，使所走路程最 短。
最优化理论与方法
（现代优化计算方法）
1
内容
概论 递归、分治、贪心、回溯 禁忌搜索、爬山算法 模拟退火、蚁群算法 遗传算法 神经网络 元胞自动机 随机算法
2
最优化理论与方法
最优化理论与方法
近代科学技术发展迅猛，人类从不同的领域对事物的探索也日益深入，把握规律的重要性也日益凸显。
最优化理论与方法，就是人类探索规律的一种重要工具，也是科技发展的先锋派之一。
它被广泛应用于解决实际问题，成为众多科技领域的最佳实践方法。
最优化理论与方法，是理解和阐释许多复杂现象的有效方式。
它是一类工具，可以通过对复杂系统建模、设计实验并仿真分析，解决现实世界中的复杂问题。
它具有优势，能够让我们整合系统中的数据，分析出各种潜在的解决方案，以达到全局最优的效果。
最优化理论与方法，主要涉及优化原理、数学建模、数理算法等知识体系。
在建立数学模型时，意在求解满足一系列优化约束条件下，极小或极大化某一函数或变量，以达到系统最优化目标。
它采用各种优化算法，其中包括最小二乘法、牛顿法、拟牛顿法、多层约束算法和动态规划等，不仅可以实现数学模型的构建，而且可以对数学模型进行有效的优化计算。
当前，最优化理论与方法已在工业技术、决策与决策分析、知识工程、经济学等诸多领域中得到广泛应用，从而解决了实际中许多复杂问题。
例如，在决策分析中，它可以改善决策机制，从而使我们能够达到更完美的决策效果；在工程技术中，它可以为解决因参数设置不当而导致的质量问题提供有效方案；在机器学习领域，它可以为神经网络设计提供技术支持。
未来，随着科技的发展高速发展，最优化理论与方法将在解决实
际问题中发挥越来越大的作用，它将会帮助我们更好地理解世界，给我们更便捷地解决实际问题，从而为人类提供更大的实际利益和价值。
综上所述，最优化理论与方法，不仅是实现科学技术进步最有效方法之一，更是解决实际问题的重要工具，它将在解决实际问题中发挥越来越大的作用。
最优化理论与方法
课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
Optimizationtheoryandmethods：Nonlinearprogramming
Optimizationtheoryandmethods：Nonlinearprogramming免费下载30页预览文件书籍信息:标题: Optimization theory and methods: Nonlinear programming语言: English格式: pdf大小: 2.6M页数: 700年份: 2006作者: Sun W., Yuan Y.-X.系列: Springer Optimization and Its Applications出版社: Springer简介Optimization Theory and Methods can be used as a textbook for an optimization course for graduates and senior undergraduates. It is the result of the author's teaching and research over the past decade. It describes optimization theory and several powerful methods. For most methods, the book discusses an idea’s motivation, studies the derivation, establishes the global and local convergence, describes algorithmic steps, and discusses the numerical performance.目录OPTIMIZATION THEORY AND METHODS: NONLINEAR PROGRAMMING......Page 1Springerlink......Page 0Half-title......Page 2Title Page......Page 4Copyright Page......Page 5Contents......Page 6Preface......Page 121.1 Introduction......Page 141.2 Mathematics Foundations......Page 151.2.1 Norm......Page 161.2.2 Inverse and Generalized Inverse of a Matrix......Page 221.2.3 Properties of Eigenvalues......Page 251.2.4 Rank-One Update......Page 301.2.5 Function and Differential......Page 351.3 Convex Sets and Convex Functions......Page 441.3.1 Convex Sets......Page 451.3.2 Convex Functions......Page 491.3.3 Separation and Support of Convex Sets......Page 631.4 Optimality Conditions for Unconstrained Optimization......Page 701.5 Structure of Optimization Methods......Page 76Exercises......Page 812.1 Introduction......Page 842.2 Convergence Theory for Exact Line Search......Page 872.3.1 The Golden Section Method......Page 972.3.2 The Fibonacci Method......Page 1002.4.1 Quadratic Interpolation Methods......Page 1022.4.2 Cubic Interpolation Method......Page 1112.5 Inexact Line Search Techniques......Page 1152.5.1 Armijo and Goldstein Rule......Page 1162.5.2 Wolfe–Powell Rule......Page 1172.5.3 Goldstein Algorithm and Wolfe–Powell Algorithm......Page 1192.5.4 Backtracking Line Search......Page 1212.5.5 Convergence Theorems of Inexact Line Search......Page 122Exercises......Page 1293.1.1 The Steepest Descent Method......Page 1323.1.2 Convergence of the Steepest Descent Method......Page 1333.1.3 Barzilai and Borwein Gradient Method......Page 1393.1.4 Appendix: Kantorovich Inequality......Page 1423.2 Newton’s Method......Page 1433.3 Modified Newton’s Method......Page 1483.4 Finite-Difference Newton’s Method......Page 1533.5 Negative Curvature Direction Method......Page 1603.5.1 Gill–Murray Stable Newton’s Method......Page 1613.5.2 Fiacco–McCormick Method......Page 1643.5.3 Fletcher–Freeman Method......Page 1653.5.4 Second-Order Step Rules......Page 1683.6 Inexact Newton’s Method......Page 176Exercises......Page 1854.1 Conjugate Direction Methods......Page 1884.2.1 Conjugate Gradient Method......Page 1914.2.2 Beale’s Three-T erm Conjugate Gradient Method......Page 1984.2.3 Preconditioned Conjugate Gradient Method......Page 2014.3.1 Global Convergence of Conjugate Gradient Methods......Page 2044.3.2 Convergence Rate of Conjugate Gradient Methods......Page 211Exercises......Page 2135.1 Quasi-Newton Methods......Page 2165.1.1 Quasi-Newton Equation......Page 2175.1.2 Symmetric Rank-One (SR1) Update......Page 2205.1.3 DFP Update......Page 2235.1.4 BFGS Update and PSB Update......Page 2305.1.5 The Least Change Secant Update......Page 2365.2 The Broyden Class......Page 2385.3 Global Convergence of Quasi-Newton Methods......Page 2445.3.1 Global Convergence under Exact Line Search......Page2455.3.2 Global Convergence under Inexact Line Search......Page 2515.4 Local Convergence of Quasi-Newton Methods......Page 2535.4.1 Superlinear Convergence of General Quasi-Newton Methods......Page 2545.4.2 Linear Convergence of General Quasi-Newton Methods......Page 2635.4.3 Local Convergence of Broyden’s Rank-One Update......Page 2685.4.4 Local and Linear Convergence of DFP Method......Page 2715.4.5 Superlinear Convergence of BFGS Method......Page 2745.4.6 Superlinear Convergence of DFP Method......Page 2785.4.7 Local Convergence of Broyden’s Class Methods......Page 2845.5.1 Motivation to SSVM Method......Page 2865.5.2 Self-Scaling Variable Metric (SSVM) Method......Page 2905.5.3 Choices of the Scaling Factor......Page 2925.6 Sparse Quasi-Newton Methods......Page 2955.7 Limited Memory BFGS Method......Page 305Exercises......Page 3146.1.1 Trust-Region Methods......Page 3166.1.2 Convergence of Trust-Region Methods......Page 3216.1.3 Solving A Trust-Region Subproblem......Page 3296.2.1 Conic Model......Page 3376.2.2 Generalized Quasi-Newton Equation......Page 3396.2.3 Updates that Preserve Past Information......Page 3436.2.4 Collinear Scaling BFGS Algorithm......Page 3476.3.1 Tensor Method for Nonlinear Equations......Page 3506.3.2 Tensor Methods for Unconstrained Optimization......Page 354Exercises......Page 3627.1 Introduction......Page 3667.2 Gauss–Newton Method......Page 3687.3.1 Motivation and Properties......Page 3757.3.2 Convergence of Levenberg–Marquardt Method......Page 3807.4 Implementation of L–M Method......Page 3857.5 Quasi-Newton Method......Page 392Exercises......Page 3958.1 Constrained Optimization Problems......Page 3988.2 First-Order Optimality Conditions......Page 4018.3 Second-Order Optimality Conditions......Page 4148.4 Duality......Page 419Exercises......Page 4229.1 Optimality Conditions for Quadratic Programming......Page 4249.2 Duality for Quadratic Programming......Page 4269.3 Equality-Constrained Quadratic Programming......Page 4329.4 Active Set Methods......Page 4409.5 Dual Method......Page 4489.6 Interior Ellipsoid Method......Page 4549.7 Primal-Dual Interior-Point Methods......Page 458Exercises......Page 46410.1 Penalty Function......Page 46810.2 The Simple Penalty Function Method......Page 47410.3 Interior Point Penalty Functions......Page 47910.4 Augmented Lagrangian Method......Page 48710.5 Smooth Exact Penalty Functions......Page 49310.6 Nonsmooth Exact Penalty Functions......Page 495 Exercises......Page 50311.1 Feasible Point Methods......Page 50611.2 Generalized Elimination......Page 51511.3 Generalized Reduced Gradient Method......Page 522 11.4 Projected Gradient Method......Page 52511.5 Linearly Constrained Problems......Page 528 Exercises......Page 53312.1 Lagrange–Newton Method......Page 53612.2 Wilson–Han–Powell Method......Page 54312.3 Superlinear Convergence of SQP Step......Page 550 12.4 Maratos Effect......Page 55412.5 Watchdog Technique......Page 55612.6 Second-Order Correction Step......Page 55812.7 Smooth Exact Penalty Functions......Page 56312.8 Reduced Hessian Matrix Method......Page 567 Exercises......Page 57113.1 Introduction......Page 57413.2 Linear Constraints......Page 57613.3 Trust-Region Subproblems......Page 58113.4 Null Space Method......Page 58413.5 CDT Subproblem......Page 59313.6 Powell–Yuan Algorithm......Page 598 Exercises......Page 60714.1 Generalized Gradients......Page 61014.2 Nonsmooth Optimization Problem......Page 620 14.3 The Subgradient Method......Page 62214.4 Cutting Plane Method......Page 62814.5 The Bundle Methods......Page 63014.6 Basic Property of a Composite Nonsmooth Function......Page 63314.7 Trust Region Method for Composite Nonsmooth Optimization......Page 63614.8 Nonsmooth Newton’s Method......Page 641Exercises......Page 647§1. Test Functions for Unconstrained Optimization Problems......Page 650§2. Test Functions for Constrain ed Optimization Problems......Page 651Bibliography......Page 662Index......Page 695。
最优化理论与方法
X
( k 1)
X
(k )
f (X
2
( k ) 1
) f ( X
(k )
)
2 ( k ) 1 (k ) d [ f ( X )] f ( X ) Newton方向： k
Newton法及其改进
定理（Newton法收敛定理） * 设 f ( X )二阶连续可微，X 是 f ( X ) 的局 * 部最优解，f ( X ) 0， 2 f ( X ( k ) ) 正定，Hesse 矩阵 2 f ( X )满足Lipschitz条件：即存在 ， 0 使得对所有的 i，j，有 2 2 n f ( X ) (i , j ) f (Y ) (i , j ) X Y , X , Y R
Newton法及其改进
阻尼牛顿法的缺点： 阻尼牛顿法克服了牛顿法要求初始点充分靠 近目标函数的极小点的缺点，但只有当目标函数 的Hesse矩阵处处正定时，才具有全局收敛性。如 果Hesse矩阵不是处处正定，当初始点远离局部极 小点时，Hesse矩阵可能不正定，这时Hesse矩阵可 能奇异也可能是非奇异。若Hesse矩阵奇异，求解 方向的方程组可能无解，或者虽然有解，但求出 的方向不能使迭代过程继续进行下去；若Hesse矩 阵非奇异，但不正定，则求得的方向可能不是下 降方向。
使用导数的无约束最优化方法
d k H k f ( X
(k )
)
方法 最速下降法 Newton法 共轭梯度法 拟Newton法
策略 线性近似 二次近似
表现形式
H k [ f ( X )]
2 (k )
Hk I
1
用布鲁丹（Broyden）族 或黄（Huang）族 修正公式
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT课件
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 20对20/策3/2论6 等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
可编辑
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
2020/3/26
可编辑
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ··· xn )
f(x)=0
2020/3/26
可编辑
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ··· xn) s.t. gk (x1 x2 ··· xn )=0, k=1,2,…,m
欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
2020/3/26
可编辑
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
最优化第四部分
无,且xk+1=xk,则缩短步长,仍从xk出发进行下一次轴向移动;若
无,且xk+1xk,则仍从xk出发用步长k进行下一次轴向移动.
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从xk+1出发的模式移动是指以1为步长沿加速方向:dk=xk+1–xk
移动一步,得到新的参考点y=xk+1+dk=2xk+1–xk , 然后 , 从新的参 考点y出发 , 仍以k为步长进行轴向移动.
所以第三次轴向移动结束,令 x3 y (3, 2)T .由于 f ( x3 ) f ( x2 ) ,
2 1 0.1 , 且 x3 x2 ,
因此，令 x3 x2 (2 , 1)T , 3 2 ,
取参考点 y x3 (2,1)T .
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
二、Powell 法
本节介绍由Powell提出的一种求解无约束最优化问题
(4.1.1)的直接法. 它本质上是以正定二次函数为背景，以共 轭方向为基础的一种方法. 本节分别介绍原始Powell法和Powell法. 补充：共轭方向 设H为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，……，Sn
满足 量（方向）。 当H为单位矩阵时，有
由梯度法的分析知，此时点X1的梯度必与方向S0垂直，即有
f X S
1 T
0
0
（4-21）
和
f X 1 HX1 B
（4-22）
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从点X1开始沿另一下降方向S1作一维搜索，得 （4-23） X 2 X 1 S1
1
若欲使X2成为极小点，根据极值的必要条件，应有
博士生《凸优化》课程 参考书
博士生《凸优化》课程参考书
《凸优化》是数学、工程和计算机科学领域中的重要课程，因此有很多优秀的参考书可供选择。
以下是一些常用的参考书：
1.《凸优化》（Convex Optimization）作者，Stephen Boyd
和Lieven Vandenberghe.
这本书是凸优化领域的经典教材，涵盖了凸集、凸函数、凸优化问题的基本理论，以及凸优化在工程和机器学习中的应用。
书中内容通俗易懂，适合初学者阅读。
2.《凸优化导论》（Introduction to Convex Optimization）作者，Yuriy Nesterov和Arkadii Nemirovskii.
这本书介绍了凸优化的基本概念、算法和应用，对于想深入了解凸优化的同学来说是一本很好的参考书。
3.《凸优化理论与算法》（Convex Optimization: Theory and Algorithms）作者，Dimitri P. Bertsekas.
这本书介绍了凸优化的理论和算法，内容涵盖了凸优化的基本
理论、算法和应用。
适合希望深入学习凸优化的同学阅读。
4.《最优化理论与方法》（Optimization Theory and Methods）作者，Wenyu Sun和Ya-xiang Yuan.
这本书介绍了最优化理论和方法，内容包括了凸优化、非凸优化、约束优化等内容，适合想系统了解优化理论和方法的同学阅读。
以上是一些常用的参考书，希望能够帮助你更好地学习和理解《凸优化》课程的内容。
如果你需要更多的参考书或者其他相关信息，请随时告诉我。
最优化理论与方法(南京大学)-quiz1-ans
is also a global minimizer.
Optimization Theory and Method
Fall 2009/2010
Q4. Let Bk+1 be obtained from Bk using the BFGS update formula. Bk+1 is only guaranteed to be positive definite if ykT sk > 0 . Prove that if the Wolfe condition
pkT ∇f ( xk + αpk ) ≤ η pkT ∇f ( xk )
is used to terminate the line search, and η < 1, then ykT sk > 0 . Hence, if an appropriate line search is used then Bk+1 will be positive definite.
Sol. Suppose that x* is a local but not a global maximizer. Then we can find a point z ∈ n
( ) with f ( z) > f x* . Consider the line segment that joins x* to z , that is,
further than 4/3 and decreases no furt function
f ( x1, x2 ) = 8x12 + 3x1x2 + 7x22 − 25x1 + 31x2 − 29
Find all stationary points of this function, and determine whether they are local minimizers and maximizers. Does this function have a global minimizer or a global maximizer?
2016年上海交通大学数学系博士生导师及招生专业和研究方向
基础数学 Pure Mathematics
复分析与动力系统（多变量复分析与复动力系统，常微分方程定性理论） Complex Analysis and Dynamical Systems (Complex analysis and dynamics in several
Professor
统计学 Statistics
概率论与数理统计 Probability and mathematical statistics
罗珊 / 特别研究员 Shan Luo /
Special Researcher
统计学 Statistics Nhomakorabea数理统计 Mathematical statistics
variables; Qualitative theory of ordinary differential equations)
唐敏 / 特别研究员 Min Tang /
Special Researcher
应用数学 Applied Mathematics
计算数学和生物数学（输运方程，反应扩散方程的数值求解和生物建模） Computatioal mathematics and Mathematical Biology
基础数学 Pure Mathematics
分析（泛函分析与微分方程, 非线性分析与控制理论） Analysis (Functional analysis and differential equations; Nonlinear analysis and control
theory)
刘卫东 Weidong LIU /
金石 / 教授 Shi JIN / Professor
最优化理论与算法完整版课件
n
xij ai
j
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
TP SHUAI
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
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基本概念
Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对 每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x),
x S的最优解（整体最优解）
Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，
若存在x0的邻域 N (x0 ) {x | x x0 , 0} 使得对每个x S N (x0),成立f (x) f (x0)
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
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基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
最优化理论与算法(第四章)
第四章 共轭梯度法§ 共轭方向法共轭方向法是无约束最优化问题的一类重要算法。
它一方面克服了最速下降法中，迭代点列呈锯齿形前进，收敛慢的缺点，同时又不像牛顿法中计算牛顿方向花费大量的工作量，尤其是共轭方向法具有所谓二次收敛性质，即当将其用于二次函数时，具有有限终止性质。
一、共轭方向概念 设G 是n n ⨯对称正定矩阵，1d ，2d 是n 维非零向量，假设120T d Gd = （）那么称1d ，2d 是G －共轭的。
类似地，设1,,m d d 是n R 中一组非零向量。
假设0T i j d Gd =()i j ≠ （）那么称向量组1,,m d d 是G －共轭的。
注：(1) 当G I =时，共轭性就变成正交性，故共轭是正交概念的推行。
(2) 若1,,m d d G －共轭，那么它们必线性无关。
二、共轭方向法共轭方向法确实是依照一组彼此共轭方向依次搜索。
模式算法：1）给出初始点0x ，计算00()g g x =，计算0d ，使000Td g <，:0k = （初始共轭方向）； 2）计算k α和1k x +，使得0()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+，令1k k k k x x d α+=+；3）计算1k d +，使10Tk j d Gd +=，0,1,,j k =，令:1k k =+，转2）。
三、共轭方向法的大体定理共轭方向法最重要的性质确实是：当算法用于正定二次函数时，能够在有限多次迭代后终止，取得最优解（固然要执行精准一维搜索）。
定理 关于正定二次函数，共轭方向法最多通过n 步精准搜索终止；且对每一个1i x +，都是()f x 在线性流形00,i j j j j x x x d αα=⎧⎫⎪⎪=+∀⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑中的极小点。
证明：首先证明对所有的1i n ≤-，都有10T i j g d +=，0,1,,j i =（即每一个迭代点处的梯度与以前的搜索方向均正交）事实上，由于目标函数是二次函数，因此有()11k k k k k k g g G x x Gd α++-=-=1）当j i <时， ()1111iTTT i j j j k k j k j g d gd g g d +++=+=+-∑110iT T j j kkj k j gd dGd α+=+=+=∑2）当j i =时，由精准搜索性质知：10T i j g d +=综上所述，有 10T i j g d += (0,1,,)j i =。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法是理论和实践科学领域研究的重要内容，它关乎社会发展和科技进步。
最优化理论与方法旨在求解使某一系统所有参数和状态获得最优结果的技术。
它以实际应用为目的，通过模型建立、数学求解、数据分析和实验验证，以达到最佳的目的。
最优化理论与方法涉及到各种学科，可以归纳为几个方面。
1. 优化模型：优化模型是对求解问题的数学化抽象的表达，它反映了系统的状态、参数和决策，以及它们之间的相互作用。
所有优化问题均可以建立为优化模型，例如线性规划、非线性规划和多目标规划模型等。
2. 优化算法：优化算法是一种数学方法，可以在解决问题时寻求最优解。
常用的优化算法有梯度下降法、模拟退火法、遗传算法和模糊系统等。
3. 优化软件：优化软件是一类用于计算和求解优化问题的计算机程序，能够快速有效地查找最优解。
常用的优化软件有MATLAB、Scilab和GAMS等。
4. 优化实验：优化实验是针对优化问题进行实际测试，以确认最优解是否真正最优，同时还可以考察优化算法和软件的稳定性、可靠性和准确性。
以上就是最优化理论与方法的基本内容，它们贯穿了优化问题的整个求解过程。
它们的应用已经广泛渗透到社会经济、医药和环境、军事和其他领域中，可以说最优化理论与方法是当今科学技术发展进步的重要支撑。
最优化理论与方法在实际应用中存在一些问题。
首先，解决问题需要在模型、算法和软件上进行大量的工作，这需要花费大量的时间和精力；其次，优化模型本身可能存在缺陷和不完善的地方，这可能导致求解过程中存在误差或失败；最后，最优解的可靠性和准确性也受到实验的限制，有时结论可能不能完全证明。
为了解决上述问题，优化理论与方法需要传承和发展，更多的研究广泛考虑各种因素，创研新模型、新算法和新软件，更新优化实验，以求解我们面临的复杂问题。
此外，优化理论与方法的发展也将促进科学技术的发展，与社会发展紧密相连，为人类社会发展提供更多的可能性。
综上所述，最优化理论与方法是当今科学技术发展和社会发展的重要组成部分，它贯穿着整个解决问题的过程，如果要解决复杂问题，需要不断更新和发展，才能获得最优解和最终收获。
最优化算法
最优化方法分类
一个好的优化方法应该做到总计算量小、存储量小、 精度高、逻辑结构简单。 根据优化机制与行为的不同，常用优化方法可分为经 典算法、改进型算法、基于系统动态演化的算法和混 合型算法等。 随着计算机技术的发展，常用的优化方法越来越广泛 地采用数值迭代法来求解。
数值迭代法及其终止准则
数值迭代法及其终止准则
对于无约束优化问题，不同的初始点最后都收敛于同 一极值点，因此最终可以获得非常接近理论最优点的 近似最优点。对于约束优化问题，每个新的方案点都 要检查其可行性，不同出发点可能得到不同极值点。
数值迭代法及其终止准则
数值迭代法及其终止准则
Optimal Theories and Methods
最优化基本要素
例1.已知长方体的表面积为S，请确定该长方体体积最 大时的长、宽、高。
选择优化变量 确定目标函数 给出约束条件
简化，求解
优化变量
优化变量
具有n个优化变量的优化问题的每一个方案x都对应于 n维向量空间中的一个点或一个向量。当n大于3时， 该空间是一个抽象的超空间，称为n维欧氏空间。
O O
优化变量
优化变量的个数称为自由度。 一般认为：自由度2~10为小型优化问题，10~50为中 型优化问题，大于50为大型优化问题。 只把对优化目标影响显著的参数作为优化变量。
目标函数
目标函数
目标函数值相等的所有方案点组成的集合称为目标函 数的等值曲面。
约束条件
பைடு நூலகம்
约束条件
满足所有约束条件的方案点的集合称为可行域(D)，点 称为可行方案点。当方案点位于某个不等式约束的边 界时称为边界点，是该约束允许的极限方案。
约束条件
最优化问题的数学模型
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Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
蒋 瀚 jianghan@ Optimization Theory and Methods
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Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
May 8, 2013
Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
Optimization Theory and Methods
Part II：Unconstrained Optimization 蒋瀚 jianghan@
School of Computer Science and Technology Shandong University, China
蒋 瀚 jianghan@
Optimization Theory and Methods
Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach
Trust region
To obtain each step, we seek a solution of the subproblem 1 T min mk (p) = fk + gk p + pT Bk p n p∈R 2 where ∆k > 0 is the trust-region radius. we define · to be the Euclidean norm, thus the constraint of 4.3 can be written as pT p ≤ ∆2 ; k Thus, the trust-region approach requires us to solve a sequence of subproblems 4.3 in which the objective function and constraint are both quadratic. s.t. p ≤ ∆k (4.3)
Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach
Review of Trust-Region Methods
Constructs a model function mk whose behavior near the current point xk is similar to the actual objective function f . Searches for a minimizer of mk to some region around xk minp mk (xk + p) Where xk + p lies inside the trust region. The trust region is a ball defined by p 2 ≤ , where the scalar > 0 is called the trust-region radius. Elliptical and box-shaped trust regions may also be used. If the candidate solution does not produce a sufficient decrease in f , we conclude that the trust region is too large, and we shrink it and re-solve it.
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蒋 瀚 jianghan@
Optimization Theory and Methods
Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
where Bk is some symmetric matrix. The difference between mk (p) and f (xk + p) is O( p 2 ), which is small when p is small.
蒋 瀚 jianghan@ Optimization Theory and Methods
Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach
Trust region
Figure 4.1 illustrates the trust-region approach on a function f of two variables in which the current point xk and the minimizer x∗ lie at opposite ends of a curved valley.
Chapter 4 Trust-Region Methods
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Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach
Trust region
In this Chapter, the model function mk that is used at each iterate xk is usually defined to be a quadratic function. Moreover, mk is based on the Taylor-series expansion of f around xk , which is 1 T f (xk + p) = fk + gk p + pT f (xk + tp)p 2 (4.1)
Figure 4.1: Trust-region and line search steps
蒋 瀚 jianory and Methods
Introduction of Trust-Region Methods Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements
Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach
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Introduction of Trust-Region Methods Review of Trust-Region Methods Outline Of The Trust-Region Approach Algorithms Based On The Cauchy Point Global Convergence Iterative Solution Of The Subproblem Local Convergence Of Trust-Region Newton Methods Other Enhancements