第五章数系的扩充与复数的引入同步练习题(理科(教师版)
数学北师大选修22教材基础 第五章§1数系的扩充与复数的引入 含答案
第五章数系的扩充与复数的引入走进学科思想“数形结合思想”是本章最具代表性的数学思想,借助复平面使复数与复平面上的点建立起一一对应关系,从而使复数实现数形转化,为解决复数问题搭建起了一个极其重要的学习平台,比如复数可以用复平面内的点来表示,同时还可用平面向量来表示.其次,“化归思想”也是本章中极为重要的一个数学思想.在处理复数问题时,通常设复数z=x+yi(x,y∈R),它在复数与实数之间架起桥梁,把复数问题实数化.本章导读复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的.现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内,它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便. 高手支招1细品教材 一、虚数单位i 状元笔记i 就是-1的一个平方根,-i 是-1的另一个平方根.1.我们把平方等于-1的数用i 表示,规定i 2=-1,其中的i 叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x 2+1=0,即x 2=-1有解,使实数的开方运算总可以实施（即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始. 2.i 可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算仍然成立.i 可以与实数进行四则混合运算,是扩充数集的原则之一,这里只提加、乘运算,不提减、除运算,并不是对减、除运算不成立,这和后面在讲复数的四则运算时,只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理,分清了主次. 二、复数的概念 1.复数与复数集我们把形如a+bi(a,b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b ∈R }叫做复数集. 2.复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示,即z=a+bi(a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz.【示例】 写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2-3i,0,21-+34i,5+2i,6i. 思路分析:要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2-3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4,6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4,虚部为0;6i=0+6i,则我们马上可知其实部是0,虚部是6. 解:4的实部为4,虚部为0; 2-3i 的实部为2,虚部为-3; 0的实部为0,虚部为0;21-+34i 的实部为21-,虚部为34;5+2i 的实部为5,虚部为2; 6i 的实部为0,虚部为6.4，0是实数， 2-3i,21-+34i,5+2i,6i 是虚数,其中6i 是纯虚数. 状元笔记1.实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集,且R ∪虚数集=C ,R ∩虚数集=∅.2.z=a+bi(a,b ∈R )的虚部是b,而不是bi.3.实数也是复数,但是复数不一定是实数,它可能是虚数.(2)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.即:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠≠∈+)0()0()0()0(),(a a b b R b a bi a 非纯虚数纯虚数虚数实数复数【示例】 实数m 取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数.思路分析:由m ∈R 可知，m(m-1)和m-1都是实数,根据复数a+bi 是实数,虚数和纯虚数的条件可以分别确定m 的值.解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z 是实数. (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z 是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z 是纯虚数. 状元笔记学习复数概念时,要注意复数是“实数部分”与“虚数部分”的复合体,这是一种二元化的记数形式的数.三、复数相等的条件 1.复数相等(1)两个复数a+bi 与c+di 相等,当且仅当它们的实部和虚部分别相等(a=c 、b=d).记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di ⎩⎨⎧==⇔.,d b c a(2)根据两个复数相等的定义知,在a=c 且b=d 两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di. (3)一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部均为零.即a+bi=0⎩⎨⎧==⇔.0,0b a【示例】 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y 的值.思路分析:要求实数x,y 的值,我们只要根据两个复数相等的充要条件,使等式两边的实部与虚部分别相等,列出方程组,从而解得实数x,y 的值. 解:根据两个复数相等的充要条件,可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+.2,3,32,52v x v x v x x y x 解得 状元笔记复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 2.复数的大小两个实数可以比较大小,但是两个复数至少有一个为虚数时,不可以比较大小. 如果两个复数可以比较大小,那么,这两个复数必定全是实数. 四、复平面1.用点来表示复数根据复数相等的定义可知,任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此,可以用直角坐标系中的点Z(a,b)来表示复数z=a+bi.如右图,原点O（0，0）表示实数0,x轴上的点A(-2,0)表示实数,y轴上的点B(0,1)表示纯虚数i,点C(1,2)表示复数1+2i等.状元笔记复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,这种对应关系架起了联系复数和解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题可以用复数方法来解决(即数形结合法).复平面内,一对共轭复数所对应的点关于实轴对称.2.复平面的定义当直角坐标平面用来表示复数时,就叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数集C与复平面的对应每一个复数在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,在复平面内每一个点也都有唯一的复数和它对应.复数集C和复平面内的所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)是对应的.状元笔记复数与复平面内的点及向量三者之间建立起了一一对应的关系,这种对应关系是给予复数几何解释的依据.这里要特别注意到向量是以原点为起点的,否则,就谈不上一一对应,因为平面上与OZ相等的向量有无穷多个.五、复数的向量表示1.复数、复平面内的点与向量三者之间的一一对应关系因为复数与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,而复平面内的点Z(a,b)与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应，所以复数z=a+bi也与向量OZ是一一对应的.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系可用下图来表示.这样,复数z=a+bi就可以用向量OZ来表示.为方便起见,常把复数z=a+bi 说成点Z 或向量OZ ,并且规定,相等的向量表示同一个复数.【示例】 在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.解:如下图,点A,B,C,D,E 分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.与之对应的向量可用OA ,OB ,OE OD OC ,,来表示.2.复数的模设复数z=a+bi 在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z 到原点的距离叫做复数的模或绝对值,记作|z|.由向量长度的计算公式得|z|=|a+bi|=22b a +.两个不全为实数的复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 【示例】 已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,试比较它们模的大小.思路分析:要比较两复数模的大小,只要先分别求出它们的模,然后进行比较大小. 解:因为|z 1|=2243+=5,|z 2|=265)1(22=+-,所以，|z 1|<|z 2|.高手支招2基础整理本节内容主要阐述了虚数单位的概念、复数的概念、复数的实部和虚部概念,同时阐述了复数相等的充要条件.并且从两方面阐述了复数的几何意义,一是从复平面上的点与复数的一一对应关系,二是从复数与从原点出发的向量建立起的一一对应关系,同时还阐述了复数模及复数加减法的几何意义.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
北师大数学选修22配套作业：第五章 数系的扩充与复数的引入 §1 含解析
第5章 §1 数系的扩充与复数的引入A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A )A ．－2B ．1C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2，故选A.2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 故选A.3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋b ii 2＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，故选B.4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ．2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B.5．设x ，y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x －2y )＋(5－2x －y )i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y >05－2x －y ≥0，可行域如A 所示，故选A.6．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( D ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 二、填空题7．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝2.[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.[解析] a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数， ∴实部为0且虚部不为0，故a ＝2. 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知：m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m ≠－1且m ≠－2，得m ＝3.(2)当复数对应的点在第二象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3m >－1或m <－2，得－1＜m ＜3.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ ＝4(sin θ－38)2－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sin θ－35)＋(cos θ－45)i(θ∈R )是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ≠45，因为sin θ＝35且cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4. 4．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是5.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 三、解答题5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i. 因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．[解析] 解法一：如图所示，|z －2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z ＋2－4i|＝|z －(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M ，N ，使得M 或N 到定点P (－2,4)的距离最大或最小．显然过P 与圆心连线交圆于M ，N 两点，则M ，N 即为所求．不难求得M (1,1)，N (－1,3)，即当z ＝1＋i 时，|z ＋2－4i|有最大值，为32；当z ＝1＋3i 时，|z ＋2－4i|有最小值，为 2.解法二：如图所示，设ω＝z ＋2－4i ，则z ＝ω－2＋4i ，代入|z －2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为 2.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）． （1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，， ， 求：（1）求的值； （2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=； （2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，且2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，那么,p q 的值分别是( )A ．4,5p q ==B ．4,3p q =-=C ．4,5p q =-=D ．4,3p q ==2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-5．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25-B ．25C ．7-D ．76．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则x +的最大值（ ） A．1B ．2C ．1D7．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --8．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =9．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四10．设i为虚数单位，则复数z =的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +11．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2CD ．3二、填空题13．已知复数乘法()()cos sin x yi i θθ++（,x y R ∈，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x yi +在复平面内对应的点(),x y 绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点()8,4绕原点逆时针方向旋转3π得到的点的坐标为_________. 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 16．411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+ （1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．已知关于x 的方程2()40x x m m R ++=∈的两个虚根为α、β，且||2αβ-=，求m 的值． 23．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．24．设z 是虚数，1=z zω+ 是实数，且-1<2ω< （1） 求z 的实部的取值范围（2）设11zzμ-=+ ，那么μ是否是纯虚数？并说明理由． 25．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.26．设m ∈R ，复数z 1＝22m mm ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以()()22ai b i p ai b i q +++=-⎧⎨++=⎩，所以210220b p a b a q ab +=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩，解得1245a b p q =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系.2．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3．C解析：C 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.4．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得2sin()6x πθ=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈.∴cos 2sin()6x πθθθ+=+=+∴x +的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【分析】举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若zi ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得，2y x =，∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =．故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii -+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．10．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】()22111i z i i-====--，则共轭复数为1i +故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题11．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】写出点对应的复数再乘以即得新复数其对应点坐标为所求【详解】点对应复数为对应点坐标为故答案为：【点睛】本题考查复数的新定义考查复数的乘法运算与复数和几何意义正确理解新定义把新定义转化为复数的乘解析：(42-+【分析】写出点()8,4对应的复数，再乘以cos sin33i ππ+即得新复数，其对应点坐标为所求．【详解】点()8,4对应复数为84z i =+，1(cossin )(84)()332z i i ππ+=+(4(2i =-++，对应点坐标为(42-+．故答案为：(42-+． 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的乘法运算与复数和几何意义．正确理解新定义把新定义转化为复数的乘法解题关键．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解.详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi16．1【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简再利用复数乘方运算法则求解即可详解：故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1 【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简11ii+-，再利用复数乘方运算法则求解即可. 详解：411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()4241i 2i =11i 1i 2⎡⎤+⎛⎫==⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为1. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】 试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =. 【解析】 【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-；(2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．5【解析】【分析】本题首先可以根据复数根虚根必共轭的性质设,a bi a bi αβ=+=-，然后根据韦达定理可得2a =-以及m ，再通过||2αβ-=计算得1b =±，最后通过运算即可得出结果。
【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入(含详解)
【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入（含详解）一、选择题1．(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i|＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．12．(2012·武汉模拟)若复数2－b i 1＋2i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．23．(2012·皖南八校联考)复数z 满足z ＝2－i 1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C. 32－12i D. 12＋32i 4．(2012·广东六校联考)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.12＋i B. 5 C.52 D.54 5．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i 二、填空题 6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.7．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________.三、解答题8．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2.9．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方。
10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.题组专练：【题组一】复数的有关概念及复数的几何意义11.(2010·广州模拟)若复数a ＋3i 1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－6 B ．13 C.32 D.1312．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于 ( ) A.12B ．1 C.32 D ．2 13．(2009·江苏高考)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．【题组二】复数相等14.(2009·全国卷Ⅰ)已知z 1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i 15．已知m 1＋i＝1－n i ，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 16．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i)z ＝4－b i(其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2 【题组三】复数的代数运算17.(2010·连云港模拟)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝( ) A ．0 B ．2 C ．－2iD ．2i 18．(2009·浙江高考)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i19．计算：(1)(2＋2i)4(1－3i)5(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2010 (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i . 【题组四】复数的综合应用20.已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)21.已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，则z 2＝ . 22.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.参考答案：一、选择题1．解析：由已知|a ＋i i |＝2得|a ＋i i|＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2， ∴1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.答案：B2．解析：2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－2b －(4＋b )i 5， 由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23. 3．解析：∵z ＝2－i 1－i＝(2－i )(1＋i )2＝3＋i 2，∴z ＝32－12i. 4．解析：由(1＋2a i)i ＝1－b i 得，a ＝－12，b ＝－1， 所以|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝52. 答案：C5．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 答案：B二、填空题6．解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 27．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，则有a 2＋b 2＝5.*于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入*得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i.答案：±(4－3i) 三、解答题8．解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. 9．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.11.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝6＋a ＋(3－2a )i 5是纯虚数，∴6＋a ＝0，即a ＝－6. 答案：A12．解析：∵a 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i)2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ∈R ， ∵a ∈R ，∴1－a 2＝0，解得a ＝1. 答案：B13．解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2014.解析：由已知得z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案：B15．解析：m 1＋i＝m (1－i)2＝m 2－m 2i ＝1－n i ， ∴m 2＝1，n ＝m 2＝1. 故m ＝2，n ＝1，则m ＋n i ＝2＋i.答案：C16．解析：∵z 为纯虚数，∴可设z ＝a i(a ≠0)，由(2－i)z ＝4－b i ，得(2－i)a i ＝4－b i ，∴2a i ＋a ＝4－b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4－b ＝2a ，即b ＝－8. 答案：B17.解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i. 答案：D18．解析：2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋1＋i 2＋2i ＝1＋i.19．解：(1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)＝16(2i)2(－2－23i)2(1－3i)＝－644(1＋3i)2(1－3i)＝－16(1＋3i)×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝i(1＋23i)1＋23i＋[(21－i )2]1005＝i ＋(2－2i )1005＝i ＋i 1005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i. (3)原式＝[(1＋i)22]6＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 20.解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜ 5.答案：C21.解析：z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，∵|z 2|＝52，∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，∴z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i). 答案：±(5－5i)22.解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3.∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。
人教高中理科数学考点规范练28数系的扩充与复数的引入(含答案)
考点规范练28数系的扩充与复数的引入基础巩固1.若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案:D解析:z=2i1+i =2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.2.若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.√2D.2答案:D解析:由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案:C解析:设z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=√x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.4.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案:D解析:由题意,得2+a i=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=√2答案:D解析:z=1-i,|z|=√1+1=√2,故选D.6.(2021全国Ⅰ,理1)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案:C解析:设z=x+y i(x,y∈R),则z=x-y i,2(z+z)+3(z-z)=4x+6y i=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.7.设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于实轴对称,z 1=1+i,则z 1z 2=( ) A.2 B.-2 C.1+i D.1-i答案:A解析:由题意可知z 2=1-i, 故z 1z 2=(1+i)·(1-i)=2.故选A .8.若复数z=1+ia -i (i 是虚数单位,a ∈R )是纯虚数,则z 的虚部为( ) A.1 B.iC.2D.2i答案:A 解析:z=1+ia -i =(1+i )(a+i )(a -i )(a+i )=a -1+(a+1)i a 2+1.因为z 是纯虚数,所以{a -1=0,a +1≠0,解得a=1,所以z 的虚部为1+112+1=1,故选A .9.已知复数z 1=2+2i,z 2=1-3i(i 为虚数单位),则复数z 12z 2所对应的点在复平面内的( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:∵z 1=2+2i,z 2=1-3i, ∴z 12z 2=(2+2i )21-3i=8i 1-3i =8i (1+3i )(1-3i )(1+3i )=-24+8i 10=-125+45i .∴复数z 12z 2在复平面内所对应的点的坐标为(-125,45),该点位于第二象限.故选B .10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .答案:√10解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10.11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则z2z 1= .答案:-1-2i解析:由题意,得z 1=i,z 2=2-i, 所以z 2z 1=2-i i=(2-i )·(-i )i ·(-i )=-1-2i .12.已知a ∈R ,i 为虚数单位.若a -i2+i 为实数,则a 的值为 .答案:-2解析:∵a -i2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2.能力提升13.若z=1+2i,则zz -1=( ) A.1 B.-1C.iD.-i答案:C解析:由题意知z =1-2i,则zz -1=4i(1+2i )(1-2i )-1=4i5-1=i,故选C . 14.设复数z 1=-1+3i,z 2=1+i,则z 1+z2z 1-z 2=( )A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i答案:C解析:∵z 1=-1+3i,z 2=1+i, ∴z 1+z 2z 1-z 2=-1+3i+1+i -1+3i -1-i=4i -2+2i =2i -1+i =2i (-1-i )(-1+i )(-1-i )=2i (-1-i )2=1-i .故选C .15.已知a ,b ∈R ,(a+b i)2=3+4i(i 是虚数单位),则a 2+b 2= ,ab= . 答案:5 2解析:由题意可得a 2-b 2+2ab i =3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2.16.已知复数z=√3+i(1-√3i )2z 是z 的共轭复数,则z ·z = .答案:14 解析:∵z=√3+i(1-√3i )2=√3+i -2-2√3i=√3+i -2(1+√3i )=√3+i √3i -2(1+√3i )(1-√3i )=2√3-2i -8=-√34+14i,∴z =-√34−14i, ∴z ·z =(-√34+14i)(-√34-14i)=316+116=14.17.若复数z 1,z 2满足z 1=m+(4-m 2)i,z 2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m ,λ,θ∈R ),且z 1=z 2,则λ的取值范围是 . 答案:[-916,7]解析:由复数相等的充要条件可得{m =2cosθ,4-m 2=λ+3sinθ,化简,得4-4cos 2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos 2θ-3sin θ+4=-4(1-sin 2θ)-3sin θ+4=4sin 2θ-3sin θ=4(sinθ-38)2−916, 因为sin θ∈[-1,1],所以4sin 2θ-3sin θ∈[-916,7]. 所以λ的取值范围为[-916,7].18.在复平面内,复数2-3i1+2i +z 对应的点的坐标为(2,-2),则z 在复平面内对应的点位于第 象限. 答案:四解析:设z=x+y i,x ,y ∈R , 则2-3i1+2i +x+y i =2-2i,即(2-3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )+x+y i =2-2i,(-45+x)+(y -75)i =2-2i, 所以{x -45=2,y -75=-2,解得{x =145,y =-35,即z=145−35i,其对应点为(145,-35),在第四象限.高考预测 19.若z 是z 的共轭复数,且满足z (1-i)2=4+2i,则z=( ) A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i 答案:B解析:∵z (1-i)2=4+2i,∴z (-2i)=4+2i . ∴z =(2+i)i =-1+2i . ∴z=-1-2i .故选B .。
上海控江中学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A ．21-B ．22-C ．21+D ．22+2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．54．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．-2D ．23-5．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 3B 6C ．6D ．37．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -9．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0二、填空题13．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________.14．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值. 23．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i24．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？ （4）z 对应的点位于复平面第二象限？ （5）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 25．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值. 26．已知z 是复数，z i +和1zi-都是实数， （1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，则z =，所以1p 是错误的；22(1)2z i i =--=，所以2p 是正确的；z 的共轭复数为1i -+，所以3p 是错误的； z 的虚部为1-，所以4p 是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 9．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由题意可得：4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.二、填空题13．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题 解析：10081009i +【分析】 将232017232017i i i i ++++视为数列{}nni的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果. 【详解】232017232017i i i i ++++为数列{}nni的前2017项的和2017S，则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++，上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i ii⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i iS i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题解析：（1）（2）21a -<<-.【解析】试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围． 试题（1）由230a -=，得3a =± （2）由条件得，2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解得21a -<<-．考点：复数的概念，复数的几何意义．【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．（12）12m =. 【分析】（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，根据实数的定义求得结果.【详解】 （1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠） 则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-整理可得：222a b +=z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.23．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0ab 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0． （2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0， 即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩ 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．24．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-， 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.25．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.26．（1）1z i =-；（2）m i =-.【分析】（1）设z a bi =+，化简z i +和1z i -，若为实数，则虚部为零；（2）设m di =，根据复数相等计算.【详解】（1）设z a bi =+，则(1)z i a b i +=++，122z a b a b i i -+=+- 若z i +和1z i -都是实数，则1002b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，1b =-， 所以1z i =-.（2）设m di =，则方程为2(2)(31)0x x i di i +---=，即223(1)0x x d x i +++-=，若方程有实数根，则223010x x d x ⎧++=⎨-=⎩，解得1x =，1d =-， 所以，纯虚数m i =-.【点睛】本题考查复数的性质和运算.注意区分虚数、纯虚数、复数等概念.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ） A ．21- B ．22- C ．21+ D ．22+ 2．若复数z 的虚部小于0，|z |5=，且4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101- B ．21- C ．101+ D ．21+4．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则等于 A ．4iB ．C ．2D ． 5．已知复数，满足，那么在复平面上对应的点的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A 3B 6C ．6D ．3 7．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－18．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线9．2(1)1i i+=-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 10．已知3(0)z a i a =>且||2z =，则z =( )A ．13iB ．13iC ．23iD ．33i + 11．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭12．已知i 为虚数单位，a R ∈,若2i a i -+为纯虚数，则复数23z a i =的模等于（ ）A ．17B ．3C ．11D ．2二、填空题13．设11()()()()11n n i i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 17．已知i 为虚数单位，计算1i 1i -=+__________． 18．复数21z i=-，则z z -对应的点位于第__________象限 19．设i 是虚数单位，1i 2ia ++是纯虚数，则实数a 的值是________． 20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．在复平面内，复数21i z i =+(i 为虚数单位)的共轭复数z 对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限；（Ⅱ）向量OB 对应的复数．23．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z =．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m i z i ++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为2||45z m =+=1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．A解析：A【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解.【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径， 即22min 11(21)1101z i ++=++-=-，故选：A【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．D解析：D【分析】把复数z 代入|z ﹣1|=x ，化简可求z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹方程，推出轨迹．【详解】已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ，x≥），满足|z ﹣1|=x ，（x ﹣1）2+y 2=x 2即y 2=2x ﹣1那么z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹是抛物线．故选D ．【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，抛物线的定义，考查计算能力，是基础题．6．D解析：D【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i 13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=， 所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i 310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩， 即实数a 的值为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案．【详解】 由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 9．C解析：C【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+. 故选C .【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B【解析】【分析】利用复数求模公式得到关于a 的方程，解方程后结合题意即可确定z 的值.【详解】根据复数的模的公式，可知234a +=，即21a =，因为0a >，所以1a =，即1z =，故选B .故答案为B ．【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则，复数的表示方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则32010m m -<⎧⎨-<⎩，解得23m <， 所以m 的取值范围是2(,)3-∞，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.12．D解析：D【分析】先根据纯虚数概念得a ，再根据模的定义求结果.【详解】 因为()()221221a a i i a i a --+-=++为纯虚数，所以21020a a ，-=+≠，即12a =，因此21z a ==，所以2z =，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题13．8【分析】化简得到计算结合复数乘方的周期性得到得到答案【详解】根据的周期性知子集个数为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算集合的子集意在考查学生的计算能力和综合应用能力周期性的利用是解题的关键 解析：8【分析】化简得到()()()n ni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n n n n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()00(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 14．【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解【详解】满足的对应点在以为圆心5的半径的圆上表示点到的距离∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查复数模的最值解题关键是掌握复数模的几何意义利用复数差的模表示5【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解．【详解】 满足35z i -=的z 对应点Z 在以(0,3)C 为圆心，5的半径的圆上，2z +表示点Z 到(2,0)A -的距离，AC =∴AZ 5+．5．【点睛】本题考查复数模的最值，解题关键是掌握复数模的几何意义，利用复数差的模表示复平面上两点间的距离，结合点到圆的位置关系求解更加简便．15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】 根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．【解析】【分析】把等式两边同时乘以直接利用复数的除法运算求解再根据共轭复数的概念即可得解【详解】由得∴复数的共轭复数为故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算复数的除法采用分子分母同时乘以分 解析：122i - 【解析】【分析】 把等式两边同时乘以11i +，直接利用复数的除法运算求解，再根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由()1z i i +=，得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i -+====+++-.∴复数z 的共轭复数为122i - 故答案为122i -. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2i i 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi18．二【解析】则对应的点位于第二象限解析：二【解析】()()()2121111i z i i i i +===+--+,则1z z i -=+(1位于第二象限． 19．【解析】由题意可得：满足题意时：解得：解析：2-【解析】 由题意可得：()()()()21i 21i 222212i 2i 2555a i a ai i ai a a i i +-++--+-===+++- ， 满足题意时：2052105a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩ ，解得：2a =- . 20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =.【解析】【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解．【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-； (2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．（Ⅰ）位于第四象限；（Ⅱ）－1＋i.【分析】（I ）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．（II ）利用复数的几何意义即可得出．【详解】解：（Ⅰ）z ()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i -===++-1+i ，所以z =1﹣i ， 所以点A （1，﹣1）位于第四象限．（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称．∴点B 的坐标为B （﹣1，1）．因此向量OB 对应的复数为﹣1+i ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 23．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1【解析】试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题（Ⅰ）∵z a i =+，10z =，∴2110z a =+=， 即29a =，解得3a =±，又∵0a >，∴3a =，∴3z i =+．（Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-，∴()()()()151311122m i i m i m m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m i z i++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴502{102m m +>-< 得5{1m m >-< ∴﹣5＜m ＜1点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +对应点为(a,b)、共轭复数为a−bi24．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.25．（1）；（2）3【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数 （2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件． 26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i +-==-，∴3z ai =-． （2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。
本章测试(第五章数系的扩充与复数的引入
本章总结知识结构专题总结专题一复数的概念1.虚数单位i 的平方等于-1,实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a+bi(a 、b ∈R )的数,叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a+bi 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数a;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;a 与b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部. 【例1】 (2005天津高考，理2) 若复数iia 213++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A.-2B.4C.-6D.6 思路分析:因为iia 213++是纯虚数,所以,只要使其实部为零,虚部不为零即可,因此,要先化简i i a 213++,对其进行分母实数化,即i i a 213++=i aa i i i i a 52356)21)(21()21)(3(-++=-+-+,令其实部56+a =0且虚部523a-≠0,得a=-6. 答案:C【例2】 (2006四川高考，理2) 复数(1-i)3的虚部为( )A.3B.-3C.2D.-2 思路分析:将复数(1-i)3展开,整理得1-3i+3i 2-i 3=-2-2i,其虚部为-2.答案:D【例3】 (2005福建高考，理1) 复数z=i-11的共轭复数是( ) A.21+21i B.2121-i C.1-i D.1+i 思路分析:可先求共轭复数,再化简;也可先化简,再求共轭复数.即i i i i z 21211111)11(-=+=-=-=;或者是,因为z=i -11=21)1)(1(1ii i i +=+-+,21)21(i i z -=+==2121-i.答案:B专题二复数的四则运算1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2.设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;它们的商(a+bi)÷(c+di)=2222dc adbc d c bd ac +-+++i(c+di≠0). 3.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dic bia ++的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di).【例4】 (2007海南、宁夏高考，文15) i 是虚数单位,i+2i 2+3i 3+…+8i 8=______________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 思路分析:对任何n ∈N *，都有i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i,i 4n =1.所以，i+2i 2+3i 3+…+8i 8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.答案：4-4i【例5】 （2006广东高考，理10） 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q ∈R ,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)思路分析:这是一个新定义型的信息迁移题,通过观察,我们不难发现,这个“⊗”运算,其实就是复数的乘法运算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,它与(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)完全对应.因此,在解题时,就将其作为复数乘法运算来处理.由(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-.2,1,02,52q p q p p p 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案:B【例6】 (2005山东高考，理)22)1(1)1(1i ii i -+++-=( ) A.i B.-I C.1 D.-1 思路分析:本题要充分利用速算式(1±i)2=±2i,即i ii i i i i i i i i 2112121)1(1)1(122---=-++-=-+++-=-1. 答案:D专题三复数方程解复数方程时,可以综合利用解实数方程的相关技巧和复数的特有性质.【例7】 (2006上海高考，理5) 若复数z 同时满足z-z ＝2i,z ＝iz(i 为虚数单位),则z ＝_______________.思路分析:将z ＝iz 代入z-z ＝2i,得z-iz=2i,然后,对z 进行化简,我们观察可知,式z=ii-12中分子为2i,因此,分子分母同乘以1-i,则分母立刻可得-2i.当然也可以进行分母实数化化简.z=)1)(1()1(212i i i i i i ---=-=-1+i. 答案:-1+i【例8】 (2006上海春季高考，18) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i 为虚数单位),z=ω5+|ω-2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 思路分析:先将ω求出并化简,并将其代入z=ω5+|ω-2|化简,发现这一虚数如果是一个实系数的一元二次方程的根,那必定还有一个共轭复数根.然后利用韦达定理即可求得以z 为根的实系数一元二次方程. 也可设ω=a+bi(a 、b ∈R ),利用复数相等的定义,求出ω=2-i,以下和前面的思路分析内容相同. 解法1:∵ω(1+2i)=4+3i,∴ω=ii 2134++=2-i,∴z=i -25+|-i|=3+i,若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根z =3-i,∵z+z =6,z·z =10,∴所求的一个一元二次方程可以是x 2-6x+10=0. 解法2:设ω=a+bi(a 、b ∈R ).则a+bi-4=3i-2ai+2b,得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a ∴ω=2-i,以下同解法一.【例9】 (2005高考全国Ⅲ，理13) 已知复数z 0=3+2i,复数z 满足z·z 0=3z+z 0,则z=_________________. 思路分析:可将z·z 0=3z+z 0中的z 用z 0表示出来,并将z 0=3+2i 代入,再进行化简,即得,z=i i i z z 231223300-=+=-. 答案:1-23i 专题四复数的几何意义复数的几何意义,有两个方面:一是用点来表示复数,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.二是用向量来表示复数,重点在于复数对应点的轨迹问题. 【例10】 (2005辽宁高考，理1文1) 复数z=ii++-11-1.在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数z=ii++-11-1化简为a+bi(a,b ∈R)的形式,从而可判断其对应点的位置.z=i i ++-11-1=)1)(1()1)(1(i i i i -+-+--1=22i -1=-1+i,可知其在复平面内所对应的点为（-1，1）,应为第二象限.答案:B【例11】 (2005浙江高考，理4) 在复平面内,复数ii+1+(1+3i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数ii+1+(1+3i)2化简为a+bi(a,b ∈R )的形式,从而可判断其对应点的位置. i i +1+(1+3i)2=)1)(1()1(i i i i -+-+1+23i-3=23-+(23+21)i,显然,其所对应点在第二象限.答案:B本章测试（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.复数z 是实数的充分而不必要条件是( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+z 是实数 答案:A思路分析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件,即当满足条件时z 为实数,但复数z 为实数时该条件不一定成立. 当z ＝i 时,z 2=-1,故C 项不成立.当z 为虚数且非纯虚数时,z+z 是实数,故D 项不成立.若z=z ,设z=a ＋bi ，则z ＝a-bi,则复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数,则必有z=z ，故B 项是充要条件.当|z|=z,设z=a ＋bi ，由复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数且a<0时，得不出|z|=z.故正确答案是A 项.2.设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2+i,那么z 等于( ) A.43-＋i B.43-i C.43--i D.43+i答案:D思路分析：设出复数由复数相等解方程组即可.设z=x+yi(x,y ∈R ),则x+yi ＋22y x +＝2＋i,∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++.1,43,1,222y x y y x x 解得∴z ＝43+i,∴应选D 项. 3.若z 2＋z ＋1＝０,则z 2００2＋z 2００３＋z 2００５＋z 2００６的值是（ ）A.2B.-2C.21-+23i D.21-±23i 答案:B思路分析：由z 2＋z ＋1＝０,不难联系到立方差公式,从而将z 得出.将z 2＋z ＋1＝０两边乘以(z-1)得z ３-1＝０,即z ３＝1(z≠1).则z ４＝z,z 2００2＝(z ３)６６７·z ＝z,于是原式＝z 2００2(1＋z ＋z ３＋z ４)＝z(2＋2z)＝2(z ＋z 2)＝-2.故选B 项. 4.复数z,a,x 满足x=azza --1,且|z|=1,则|x|等于（ ） A.0 B.1 C.|a| D.21 答案:B思路分析：由|z|=1得z z =1,将分母中的1代换,便可与分子约分,否则问题很复杂. 由|z|=1得|z|2=1,即z z =1,∴x=za z z z a az z z z a 1)(-=--=--=-z,∴|x|=|-z|=1,故答案选B 项.5.以复平面内的点(0,-1)为圆心,1为半径的圆的方程是（ ） A.|z-1|=1 B.|z+1|=1 C.|z-i|=1 D.|z+i|=1 答案:D思路分析：结合复数减法的几何意义来解.设复数为z=x+yi(x,y ∈R ),则|z+i|=22)1(++y x ,∴|z+i|=1表示以(0,-1)为圆心,1为半径的圆.故答案选D 项.6.若复数z 满足|z ＋３＋４i|≤６,则|z|的最小值和最大值分别为（ ）A.1和11B.0和11C.5和6D.0和1 答案:B思路分析：由复数减法的几何意义知，满足条件的点的集合为圆面,|z|即圆面上的点对应复数的模,利用数形结合及解决圆上点的最值办法转化为到圆心的距离减加半径即可. ∵方程|z ＋３＋４i|≤６是以(-３,―４)为圆心,６为半径的圆及其内部, ∴原点满足方程,故|z|的最小值为０,而|z|的最大值为６＋|３＋４i|＝６＋５＝11.故答案选B 项. 7.设f(n)=(i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N ),则集合{x|x=f(n)}中元素个数是（ ） A.1 B.2 C.３ D.无穷多个答案:C思路分析：应先将i i -+11,i i+-11化简,再根据i 的周期性来解. 化简f(n)= i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N )＝i n +(-i)n .由i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,给n 赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C 项.8.若方程x 2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m 的值为…（ ） A.25 B.25- C.2 D.-2 答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解. ∵方程x 2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi, 由|α-β|＝３,得b ＝±23.当b=23时,α＝a+23i,代入方程得(a+23i)2+(a+23i)+m=0, 即(a 2+a+m-49)＋(3a+23)i ＝０,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++.25,21.0233,0492m a a m a a 得出故选A 项.9.在复平面内,若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋iz|,则z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y ∈R )，求模，用几何意义来解即可.设z=x+yi(x,y ∈R),|x+1＋yi|＝22)1(y x ++,|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝22)1(x y +-,则22)1(y x ++＝22)1(x y +-.∴复数z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A 项.10.已知|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1-z 2|＝2,则|z 1＋z 2|＝( )A.2B.2C.3D.5答案:A 思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z 1-z 2|是以z 1,z 2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z 1＋z 2|为另一对角线长. 由向量的平行四边形法则,知∠z 1Oz 2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z 1＋z 2|＝2.故答案选A 项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.设i yi i x -+-=+1231(x,y ∈R ),则x=_________,y=___________. 答案：53 59-思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得)1)(1()1()2)(2()2(3)1)(1()1(i i i y i i i i i i x +-+++-+=-+-, 整理得:i y y i x x )253(25622+++=-. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.59,53,2532,2562y x y x y x 解得∴答案为x=53,y=59-. 12.设ω=21-+23i,A={x|x=ωk +ω-k ,k ∈Z },则集合A 中的元素有__________-个. 答案：2思路分析：此题是ω3=1,ω2=ω的周期性的应用.∵ω3=1,设n ∈Z ,∴k=3n 时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素. 13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立: ①a+a1≠0;②(a+b)2=a 2+2ab+b 2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a 2=ab,则a=b. 那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________. 答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验证.①不成立，例如，a=i,则a+a 1=i+i1=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. 14.(2007重庆高考，理11) 复数322ii+的虚部为_____________. 答案：54思路分析：化简542)2)(2()2(222223ii i i i i i i i +-=+-+=-=+，所以其虚部为54. 15.(2007海南、宁夏高考，理15) i 是虚数单位,ii43105++-=___________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 答案：25)43)(105()43)(43()43)(105(43105i i i i i i i i -+-=-+-+-=++-=1+2i. 思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知复数z=3232++-x x x +(x 2+2x-3)i ，求实数x,使:(1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.解：解方程3232++-x x x =0得x=1或x=2;解x 2+2x-3=0得x=-3或x=1.答：x=1时z 是实数；x≠-3且x≠1时z 是虚数；x=2时z 是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi 表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z 的实部和虚部分别是a 和1,z 是z 的共轭复数,且z ·(1-2i)∈R ,求z. 解：∵z=a ＋i,z =a-i,z ·(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z ·(1-2i)∈R ,∴1＋2a=0,a=21-,∴z=21-＋i. 思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x 2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根. 解：方程整理为(x 2+x-2)+i(x 2+5x+6)=0.设方程的实根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+)2(,065)1(,02020020x x x x解方程组得⎩⎨⎧--=-=.23,2100或或x x x同时满足①②的值为x 0=-2.∴所求的根为x 0=-2.思路分析：我们将方程的实根x 0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可. 19.（本小题满分12分）已知x,y ∈R ,x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1）i 是共轭复数，求复数z=x+yi 和z .解：由已知得⎩⎨⎧+=+=+,12,322y x y x x x解方程组得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,1,1,0y x y x 或 ∴z=i 或z=1，z =-i 或z =1.思路分析：两个复数a+bi 与c+di 共轭，等价于a=c 且b=d.由此可以得到关于x 、y 的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2102221222++=+-++x x x x x .解：原方程可化为2222223)1(1)1(2)2(++=+-++x x ,设z 1=2x+2i,z 2=1-x+i, z 1+z 2=1+x+3i, ∴原方程可化为|z 1|+|z 2|=|z 1+z 2|,显然，仅当1OZ 与2OZ 共线且同向时上式才成立，从而xx -=1122, ∴x=21时等号成立，即x=21是方程的根. 思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根之比为p ，求证： （1）当11+-p p 为实数时，原方程有实根； （2）当11+-p p 为纯虚数时，原方程有虚根. 证明：设α与β是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根， 且βα=p,则α+β=a b -α·β=a c ,βαβαβαβα+-=+-=+-1111p p , （2222222224)()(4)()(4)()()()11(b ac b aa c ab p p -=---=+-+=+-=+-βααββαβαβα.① （1）当11+-p p 为实数时，(11+-p p )2≥0,则由①可得b 2-4ac≥0，故原方程有实根.（2）当11+-p p 为纯虚数时，（11+-p p )2<0，则由①可得b 2-4ac<0，故原方程有虚根. 思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b 2-4ac 的符号就可以了.由题意，应在b 2-4ac 与11+-p p 之间建立起联系. 教材习题点拨 复习题五(P 112)A 组1.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-⇒.2,4102,014y x y x (2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=--⇒.73,156)3(,32y y x y x y x 思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i 11=i 4×2+3=i 3=-i,i 25=i 4×6+1=i,i 26=i 4×6+2=i 2=-1,i 36=i 4×9=1,i 70=i 4×17+2=i 2=-1,i 101=i 4×25+1=i,i 355=i 4×88+3=i 3=-i,i 400=i 4×100=1.思路分析:利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.3.解:(1)（3+4i ）+（-5-3i ）=（3-5）+（4i-3i ）=-2+i ； (2)（1-5i ）+（2+3i ）=（1+2）+（-5i+3i ）=3-2i ； (3)（-2+3i ）+（6-5i ）=（-2+6）+（3i-5i ）=4-2i ； (4)（7-i ）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i ）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(21-+23i)(1+i)= 21-21-i+23i 23-=21-23--(2123-)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i. 5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(21-+23i)(21-23-i)=(21-)2-(23i)2=41+43=1;(4)ii ii ∙=1=-i;(5)222)1)(1()1(212i i i i i i i +-=+-+=-=-1+i; (6)5521024)31)(31()31)(1(311i i i i i i i i -=-=-+-+=++. 6.解:ω2-ω+1=(231i +)2-(231i +)+1=231i +--231i ++1=0. 思路分析:通过计算不难得出ω2-ω+1=0这一结果,我们可以熟记这一结论,这有利于今后的计算.B 组1.解:(1)1321331323)32)(32()32(32i i i i i i i i +=+=-+-=+； (2)5512555567)2)(2()2)(3()2)(2()2)(4(2324i i i i i i i i i i i i i i i +=-++=+---++-++=+-+-+； (3)8244)22)(22()22)(57(225722643)1(2)32(2)1(2)1)(21(132221i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i --=--+---+=+-+=+-++-=+--++-=+---=21--3i ；` (4))53)(53()53)(53()35)(35()35)(35(53533535i i i i i i i i i ii i+-++-+-++=-+--+8152281522i i +--+==21. 2.解:将原式变为15)33()(18422-+---=-+-z z z z z z z =z-3+15-z ,然后将z=2+i 代入得: z-3+15-z =2+i-3+125-+i =2+i-3+i +15=2+i-3+)1)(1()1(5i i i -+-255i -=23-23i. 思路分析:此题有两种解法,另一种解法是原式不变形,直接将z=2+i 代入也可得出结果.高效率学习决定学习成败的七个因素决定学习成败的因素可分为两大类:一类是内在因素;另一类是外部因素.内在因素归纳起来有七个方面.1.学习的动力是否强大要使学习获得成功,学习动力是第一个因素.学习活动中,有两个系统在同时进行工作,一个是认识系统,另一个是动力系统.动力系统对学习系统起着指向的作用和原动力的作用.所以,搞好学习首先要增强学习的动力.2.基础知识,基本技能是否循序作好了准备不少学习成绩优秀的同学成功的一个重要原因,就是已经学过的基础知识和基本技能掌握得比较扎实.特别是连贯性比较强的知识和技能,一定要一步一个脚印地打好基础.3.阅读、书写、计算的技巧是否已经达到自动化、半自动化的熟练程度“工欲善其事,必先利其器”.学习活动最基本的工具就是阅读技能、书写技能、计算技能,如果读、写的速度太慢,上课就会跟不上老师的讲课进度,课后复习和作业就会比别人多用时间.据有的国家对落后生的调查统计说明,这是造成部分学生学习落后的主要原因.4.好的学习方法一般说来,好的学习方法符合以下三个条件:符合认识规律;符合自己的个性特点;符合不同学习的内容和不同教师教课的特点.5.学习的才能是否强学习的才能主要指三种能力:独立获取知识的自学能力;运用知识分析和解决实际问题的能力;创造才能、发展才能比获得具体知识更重要,学习才能既是提高学习成绩的重要因素,又是通过学习要努力追求的目标.6.是否养成了良好的学习习惯学习方法经过长时期的运用,就会形成比较稳定的学习习惯.好的习惯对于获得学习上的成功极为重要,不好的习惯常常导致学习的失败.7.体力与精力是否充沛要使大脑处于积极工作的状态,必须有健壮的身体和充沛的精力.有的同学经常不吃早饭去上学,到上午第四节课已经饿得不行了,这时,听课效率就会降低.。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（ ） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++， （1）求证：0||z 为定值； （2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ； （2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】 先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+， 所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆 【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】 【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --， 如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0， 所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ． 由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =， 由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =， 综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上4．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．25．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．46．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --8．复数421ii-=+（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -11．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）．A 2B ．2C ．22D ．412．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__. 15．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________. 16．232007i i i i ++++=______.17．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 18．复数，则复数______．19．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 20．设i 为虚数单位，复数1ii-=______________. 三、解答题21．已知i 为虚数单位 (1)计算：()()235i i +- ; (2)已知()3+42i z i =- ，求复数z22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.23．设复数z ()()21312i i i++-=+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．D解析：D 【分析】由复数的除法运算法则，化简求得122ii i-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225i i i ii i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4．B解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i ii i ii i i i i -----++====+++--， 31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A 【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数， 所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．C解析：C113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 11．C解析：C 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值. 【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==， 所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1. 故答案为1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.18．-1+i 或1-i 【解析】设z=a+biab ∈Ra+bi2=a2-b2+2abi=2i ⇒a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1z=1+iz=-1-iz=1-iz=-1+i 故答案为-解析：或【解析】 设，解得或，，故答案为或.故答案为19．【解析】∵复数是纯虚数解得 解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.20．【解析】故答案为 解析：1i --【解析】()()()111i i i i i i i ---==---⋅，故答案为1i --.三、解答题21．（1）13+13i;（2）1-i. 【解析】【试题分析】(1)根据复数乘法运算公式计算出结果.(2)将原方程变为42i3iz -=+,在将分母实数化来求得z 的值. 【试题解析】（1）原式=210-21531313i i i i +-=+（2）因为3)42i z i +=-（ 所以()()423421*********i i i iz i i ----====-+ 22．（110；（2）7a =-，13b =-． 【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z =（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 23．a=-3,b=4. 【解析】 【分析】利用复数的混合运算，化简复数z ，然后代入等式，利用复数相等求a ，b ． 【详解】 解：由已知，z ()()3223335512255i i i i i ii i i --+---=====-++， ∴2z +az +b ＝-2i+a （1﹣i ）+b ＝a +b ﹣(a+2)i ＝1+i ，∴a b 1a 21+=⎧⎨--=⎩，解得a ＝﹣3，b ＝4． 【点睛】本题考查了复数的运算以及利用复数相等求参数；如果复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等．24．（1）4m =-；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果. 试题 （1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-. （2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =.25．（1）21m m ==-或；（2）21m m ≠≠-且；（3）1m =；（4） 12m <<. 【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z 是实数时，220m m --=，解得21m m ==-或； （2）当复数z 是虚数时，220m m --≠，解得21m m ≠≠-且；（3）当复数z 是纯虚数时，210m -=且220m m --≠，解得1m =；（4）当复数z 表示的点位于第四象限时，220m m --<且210m ->,解得12m <<. 试题解：（1）当220m m --=，即21m m ==-或时，复数z 是实数；（2）当220m m --≠，即21m m ≠≠-且时，复数z 是虚数；（3）当210m -=，且220m m --≠时，即1m =时，复数z 是纯虚数；（4）当220m m --<且210m ->,即12m <<时，复数z 表示的点位于第四象限． 考点：复数的概念及几何意义.26．（12）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-；故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
北师大版选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入基础测试题
北师大版选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入基础测试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数23i i-+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15i - 2．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 3．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12y 4．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设2i z i +=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．56．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）AB ．2C ．10D 7．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数2a i z i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则a =（ ） A ．-2 B ．12- C ．12 D ．29．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =10．已知复数2(1)(1)izi i+=-，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i B．2z=C．z的共轭复数1z i=-+D．2z为纯虚数11．已知i为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（）A．2i-B．2i C．－2 D．212．若复数1z，2z在复平面内对应的点关于y轴对称，且112z i=-+，则复数12zz的共轭复数为（）A．-1 B．1 C．3455i-+D．3455i+二、填空题13．已知复数()252z i i=+（为虚数单位）,则z的实部为____14．已知i为虚数单位，实数x，y满足（x+4i）i＝y+（1﹣i）2，则|x﹣yi|＝_____．15．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是12,z z，则12z z-=________．16．在复平面内，复数161iz ii=+-对应的点所在第______象限.三、解答题17．计算：（1）()()5433i i++--；（2）()101i+.18．已知复数21(215)5z m m im=++-+，当实数m为何值时，（1）z为实数；（2）z为虚数.19．已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z+. 20．已知复数z 1＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数.（1）求实数m 的值；（2）若(3＋z 1)z ＝4＋2i ，求复数z .21．已知(1,2)A ，(,1)B a ，(2,3)C ，(1,)D b -，(),a b ∈R 是复平面上的四个点，且向量AB ，CD 对应的复数分别为1z ，2z .（1）若121z z i +=+，求1z ，2z ；（2）若122z z +=，12z z -为实数，求a ，b 的值. 22．已知复数64i 1im z -=+（m R ∈，i 是虚数单位）． （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值； （2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【分析】 先由复数的除法运算化简复数23i i -+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.2．D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .3．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 4．B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.5．B【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．6．D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.7．D 【分析】先对41i z i =+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D 8．B【分析】利用复数的运算法则将2a i z i +=+化简，让实部为零解得a 的值. 【详解】 ()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a z i i i i +-++-++-====+++-， 因为z 为纯虚数，所以210a +=，得12a =-. 故选：B.【点睛】 本题考查复数的化简运算，属于简单题，根据复数的运算法则计算即可.9．D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+ 222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．10．D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ,即可求得结果.【详解】()()()2221(1)12222====1(1)+11112i i i i i i i z i i i i i i i -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =1z i =-,()22=12i z i +=.故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.11．B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】 ()()()()2211114211112i i i i i i i i i i +--+--===-++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算，是基础题.12．D【分析】根据复数的几何意义得到212z i =+，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.【详解】解:依题意可得212z i =+， 所以()()1212(12)(12)3434121212555z i i i i i z i i i -+-+-+====+++-， 故选：D【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.13．21【分析】由复数的运算法则即可求出复数z ，由实部的意义可直接写出实部.【详解】计算：()2522120z i i =+=+，所以其实部为21.【点睛】本题考查复数的运算，求实部与虚部时，注意将复数化为标准的形式，实部与虚部都要带着符号，并且注意虚部不带i .14．【分析】先对（x +4i ）i ＝y +（1﹣i ）2，化简求出x ，y 的值，从而可求出|x ﹣yi |【详解】解：由（x +4i ）i ＝y +（1﹣i ）2，得22412xi i y i i +=+-+， 即42xi y i -+=-，所以2,4x y =-=-，所以24x yi i -=-+===故答案为：【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，属于基础题15．【分析】根据图像求得点A,B 对应的复数，然后求12z z -的值.【详解】由图像可知12i,2i z z ==-，故1222i z z -=-+==.【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.16．一【分析】直接根据复数的除法及乘方运算得122i z =+，即可得解. 【详解】 复数1644(1)11()11(1)(122=)2i i i i i z i i i i i +-=++=+=+--+. 对应的点为11(,)22位于第一象限.故答案为：一.17．（1）2i +；（2）32i .【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出()21i +的值，进而利用复数的乘方法则可得出结果.【详解】（1）原式()()53432i i =-+-=+；（2）()212i i +=，因此，()()()5102551123232i i i i i ⎡⎤+=+===⎣⎦. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．(1) 3m =;(2) 3m ≠且5m ≠-.【分析】根据复数的分类，若z a bi =+为实数则0b =，即可求参数的值；若z a bi =+为虚数则0b ≠，即可求参数的值.【详解】(1)当z 为实数时，则22150,50,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩解得3m =，所以当3m =时，z 为实数. (2) 当z 为虚数时，则22150,50,m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩解得3m ≠且5m ≠-，所以当3m ≠且5m ≠-时，z 为虚数.【点睛】本题主要考查复数的分类，属于基础题.19．（1）1i --；（2）15i 22-+. 【分析】 （1）把1z i =-代入2z z -，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得1z ，2z ，代入12z z z +，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+， ∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 20．（1）m ＝0；（2）1＋i .【分析】(1)根据纯虚数的定义列出等式,解出即可.(2)将z 1＝－i 代入(3＋z 1)z ＝4＋2i 化简即可得出答案.【详解】（1）根据纯虚数的概念，需实部为0，虚部不为0.()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得m ＝0.（2）当m ＝0时，z 1＝－i .由(3＋z 1)z ＝4＋2i ，即(3－i )z ＝4＋2i ，得z ＝423i i +-＝()()()()42333i i i i ++-+＝1＋i . 【点睛】本题考查纯虚数的定义与复数的运算,属于基础题.牢记复数的分类与复数的运算规律是解本题的基础.21．（1）14z i =-，232z i =-+（2）42a b =⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1(1)z a i =--，23(3)z b i =-+-，由题得4141a b -=⎧⎨-=⎩，解方程组即得解；（2）由题得22(4)(4)420a b b ⎧-+-=⎨-=⎩，解方程组即得解. 【详解】（1）∵(,1)(1,2)(1,1)AB a a =-=--，(1,)(2,3)(3,3)CD b b =--=--，所以1(1)z a i =--，23(3)z b i =-+-，所以12(4)(4)z z a b i +=-+-，又121z z i +=+，∴4141a b -=⎧⎨-=⎩，∴55a b =⎧⎨=⎩， ∴14z i =-，232z i =-+.（2）由（1）得12(4)(4)z z a b i +=-+-，12(2)(2)z z a b i -=++-， ∵122z z +=，12z z -为实数，∴22(4)(4)420a b b ⎧-+-=⎨-=⎩，∴42a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）32m =；（2）3322m -<<． 【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1）()()()()()64i 1i 3232i 1i 1i m z m m --==--++-， 因为z 为纯虚数，所以320320m m -=⎧⎨+≠⎩，解得32m =． （2）因为z 是z 的共轭复数，所以()3232i z m m =-++， 所以()22396i z z m m -=-++． 因为复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，所以230960m m -<⎧⎨+>⎩，解得3322m -<<． 【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.。
(完整)高中数学数系的扩充与复数的引入同步练习
a ,x
0
a
0
2
将 x＝ a 代入 x2 y 2 2 y 8得： a 2 2
4 y 2 8y 32
y 0 a 2 36, 又 a 0 6 a 0 故所求的 a的取值范围为 －6，0
4( y 1) 2 36
23.解： z2 a 2 z 为实数 z为实数或纯虚数
（1）若 z为实数
z2 2 z a 0
2
z 2z
2
z2 ,则z2 的值为
（）
A. 3 1 i
B.
22
31
13
i C.
i D.
22
22
8. 下列四个命题：
（1） 满足 z
1 的复数只有
1， i ；
z
（2） 若 a,b R且 a b,则 (a b) (a b)i是 纯虚数；
13 i
22
（3） 复数 z R的充要条件是 z z ；
（4） 复平面内 x 轴是实轴， y 轴是虚轴，其中正确的结论有
（）
A. 第一象限
B.
第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
3．若 z1, z2 C , 则 z1 ? z2 z1 ? z2是
A. 纯虚数
B.
实数
C.
虚数
D.
4．已知 z 1且 z2
1, 则复数
z z2
为 1
A. 实数
B.
纯虚数
C. 虚数
D.
5．已知复数 z 与 ( z 2) 2 8i 均是纯虚数，则 z 的值为
a21
a1
解得：
ab1
b2
21.解：（ 1）设方程的实数根为 a，则 a2
则 a 2 a tan a10
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第五章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)1. 复数i z 43+-=的平方根是（ ）A. i 21+B. i i 2121--+或C. i 21--D.i i 2121-+或 2. 复数=-+54)31()22(i i （ ）A. i 31+B. i 31--C. i 31-D. i 31+- 3. 复数125-i 的共轭复数是（ ） A. i 21+- B. i 21-- C. i -2 D. i +24. 设复数,1-≠Z 则p ：“1=Z ”是q ：“11+-Z Z 是纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知复数z 满足条件2≤z ，则复数i z 21++=ω在复平面内对应点的区域是（ ）A. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆面B. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆C. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆面D. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆6. 复数yi x z +=对应点在复平面内满足条件的区域⎩⎨⎧≥--≤≤01221y x x 是（ ）xyO 12xyO 12A. B.xyO 12xyO 12C. D. 7. 当23215<<-m 时，复数i m m m m z )384()1(22+---+=在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x iy y i x 89)4()2()3()12(有实数解，则实数b a ,的值分别为（ ）A. 1,2B. 1,2--C. 2,1--D. 2,19. 复数2121,,43z z i t z i z +=+=是实数，则实数=t （ ）A. 43B. 34C. 43-D. 34-10. 下列命题中正确的是（ ）A. 虚数单位i 的平方根是1±B. i i z 4321-+=的共轭复数是521i+- C. 方程)(03)12(2R k i k x i x ∈=-+--有实根的充要条件是41-≤kD. 当实数2=m 时，复数i m m m m )3(6522-++-是纯虚数11. 若1=-i z ，则复数z 对应的点的轨迹是________________。
北师大版高中数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入同步练习(二).docx
高中数学学习材料唐玲出品第五章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)1. 复数i z 43+-=的平方根是（ ）A. i 21+B. i i 2121--+或C. i 21--D.i i 2121-+或 2. 复数=-+54)31()22(i i （ ）A. i 31+B. i 31--C. i 31-D. i 31+- 3. 复数125-i 的共轭复数是（ ） A. i 21+- B. i 21-- C. i -2 D. i +24. 设复数,1-≠Z 则p ：“1=Z ”是q ：“11+-Z Z 是纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知复数z 满足条件2≤z ，则复数i z 21++=ω在复平面内对应点的区域是（ ）A. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆面B. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆C. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆面D. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆6. 复数yi x z +=对应点在复平面内满足条件的区域⎩⎨⎧≥--≤≤01221y x x 是（ ）xyO 12xyO 12A. B.xyO 12xyO 12C. D. 7. 当23215<<-m 时，复数i m m m m z )384()1(22+---+=在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x iy y i x 89)4()2()3()12(有实数解，则实数b a ,的值分别为（ ）A. 1,2B. 1,2--C. 2,1--D. 2,19. 复数2121,,43z z i t z i z +=+=是实数，则实数=t （ ）A. 43B. 34C. 43-D. 34-10. 下列命题中正确的是（ ）A. 虚数单位i 的平方根是1±B. i i z 4321-+=的共轭复数是521i+- C. 方程)(03)12(2R k i k x i x ∈=-+--有实根的充要条件是41-≤kD. 当实数2=m 时，复数i m m m m )3(6522-++-是纯虚数11. 若1=-i z ，则复数z 对应的点的轨迹是________________。
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第五章数系的扩充与复数的引入同步练习题（理科）
一、填空题
1.复数-2i 的实部与虚部是（ ）
（A ）0,2 （B ）0，0 （C ）-2,0 （D ）0,-2
2．以2i-5的虚部为实部，以5i+2的实部为虚部的新复数是（ ）
（A ）2+2i （B ）2+i （C ）- 5+5i （D ）5+5i
3．如果（x+y)i=x-1,则实数x ，y 的值为（ ）
（A ）1，-1（B ）0，-1 (C) 1,0 (D) 0，0
4.已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是-5，则z 为（ ） A.-5+2i B.-5-2i C.-5+3i D.-5-3i
5.复平面内点（0,2）表示（ ）
A. 0
B. 2
C. 2i
D. i
6.复数z=3+4i 对应的点Z 关于原点的对应点Z 1对应的向量为（ ）
A.- 3-4i
B.4+3i
C.-4-3i
D.-3+4i
7.复数z=5-3i 在第几象限（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8．设C={复数}，R ＝{实数}，M={纯虚数}，全集I ＝C ，则下列结论中正确的是（ D ）
A 、R ∪M=C
B 、R ∩M =φ
C 、C ∩R =M
D 、C R M =
9. 复数(1＋3)i 的虚部是( D )
A ．1 B. 3 C ．0 D ．1＋ 3
10． “复数a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数”是“a ＝0”的( A )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11． 下列命题正确的是( D )
A ．若a ∈R，则(a ＋1)i 是纯虚数
B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i
C ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1
D ．两个虚数不能比较大小
12． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R)，则2x ＋y 的值为( D )
A.12
B ．2
C ．0
D ．1 13． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( A )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－1或1
14.若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值是（ A ）
A 、1
B 、－1
C 、±1
D 、－1或－2
15.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
16.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ B ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 17.设a 2,13⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,则复数()()321a a i -+-的对应点位于复平面的（ D ）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
18. 已知集合M=｛1,i m m m m )65()13(22--+--｝，N ＝｛1，3｝，M ∩N ＝｛1,3｝，则实数m 的值为（ B ）
A. 4
B.－1
C.4或－1
D.1或6
19.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )
A.x =－21
B.x =－2或－2
1 C.x ≠－
2 D.x ≠1且x ≠－2 20.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ A ）
A 1
B 1-
C 1±
D 以上都不对
21.221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ B ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要
D 既不充分又不必要
22.若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ B ）
A 纯虚数
B 实数
C 虚数
D 无法确定
23.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为
( D ) A 、－4 （B ）－45 （C ）4
（D ）45 24.北京在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
25.已知复数的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
26.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i
+为纯虚数”的（ B ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
27.i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( A )
（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i
28．“a = 1”是“复数2
1(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的（ C ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
29. 实部是3虚部是-2的复数是 .
30.复数z=3+4i 的模是 . 31.化简4i 8= 2i 5= i 101= .
32.设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =
33.已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .答案1+2i
34.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_10__.
35.已知01410)57()1(2=-+-++i m i m i ，则实数=m ___-2____.
36.已知}3{},3,1{},)65()13(,2,1{22=⋂-=--+--=N M N i a a a a M ,则实数=a __-1__.
37.z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝___2_____，n ＝___±2_____.
38． 复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则|z |＝__2____.
39.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.
三、解答题
40.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R)，如果z 是纯虚数，求m 的值.
41.已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .
42．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3
＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解析： (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，
解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，
所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0
m 2－3m －18≠0
，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 43．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．
解析： (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3<m<5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.
44．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .
解析： 根据题意可画图形如图所示：
设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，
∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.
45．已知关于y x ,的方程组⎩
⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(,)3()12(有实数，求,a b 的值。
解:()()()()⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 8942312,由第一个等式得()⎩⎨⎧--==-y y x 3112 ⎪⎩⎪⎨⎧==.
4,25y x 解得将上述结果代入第二个等式中得:
⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=+-=+--+.
2,1,8410,945.89)410(45b a b a i i b a 解得由两复数相等得。