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2019-2020学年江苏省南通市海安高级中学高二下学期3月线上考试数学试题(解析版)

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2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =10.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，所以10ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题. 7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ．【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得y=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=. 故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x的取值范围是_________ 【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =， 24cos 1sin 5A A ∴=-=， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯， 3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______. 21.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y +=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得21x ≥．因此实数x 21．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510︒==r r，即有2102555c a ==r r ，则2102524||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为3()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c .【答案】(1) 3C π=(2) 36【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为93，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r Q ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r 则||1832AC ==u u u r32AC =因为ABC V 的面积为93， 所以1sin 932CA CB C ⋅= 即132sin 9323CB π⨯=解得62CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅221(32)(62)232622=+-⨯54=，所以5436AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．……………………… 10分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点61,2⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P . （i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O .【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题． 19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+② ①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===，41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③， 由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数； 当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析x (0,1)1(1,)+∞()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x e=，列表分析 x(0,1e)1e(1,)e +∞()g x '− 0 +()g x单调递减 单调递增min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e '=-=-，①若1a e≤-则()ln 0af x x x '=-≥，故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->， 因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-. 因为当1x >时，1ln 1(*)x x>-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由x 0(1,)x0x0(,1)x a +()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为13993(),(22A B线段AB 的中点为553(2A ，3AB k =故线段AB 中垂线的斜率为133AB k k --==， 所以AB 的中垂线方程为：5335)2y x --=- 化简得：3100x +-=， 所以极坐标方程为cos 3sin 100ρθρθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：3y x =的距离为1035331d ==+ 线段8AB =，故ABC ∆的面积为15382032S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b=+-+()22a b a a b=+-++22a b a a b≤++++()22222244242a a a a≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC ABλ=u u u r u u u r （Rλ∈），且向量PCuuu r与BDu u u r夹角的余弦值为1515.（1）求λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210.【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，写出,PCu u u r，BDu u u r的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD的法向量为(),,n x y z=r，根据n PCn DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u rr u r，进而得到⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u rr u rn PCn DC，从而求出nr，向量PBu r的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos,n PB<>r u r，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P，因为DC ABλ=u u u r u u u r，所以(,2,0)Cλ，从而(,2,2)PCλ=-u u u r，则由15cos,15PC BD=u u u r u u u r，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC=-u u u r，(0,2,2)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量(,,)n x y z=r，则0⋅=r u u u rn PC，0⋅=r u u u rn PD，即0x y z+-=，且0y z-=，所以0x=，不妨取1y z==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n=r，又易得(1,0,2)PB=-u u u r，故10cos,5=⋅=-u u u r rPB n PB n，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a的通项公式为1515225n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N∈，记1212n n nS C a C a=++…nn nC a+.（1）求1,S2S的值；（2）求所有正整数n，使得n S能被8整除.【答案】(1) 11S=；23S=；(2) {}*|3,n n k k N=∈【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n nS S S++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛+ =⋅+⋅+ ⎝⎭⎝…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即有1S 515==； 2S 3535==； （2）35355n n S n ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 23535225n S n n +⎡⎤+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535353535352222225n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+⎢⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦13n n S S +=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1,n n S S +除以8的余数确定，因为11,a =21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=，432324321,S S S =-=-=543363855S S S =-=-=，654316521144,S S S =-=-=7535643255377S S =-=-=，87631131144987,S S S =-=-=987329613772584S S S =-=-= 由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3,n k =*k N ∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。

江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试 数学试题(word含答案版)

江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试 数学试题(word含答案版)

+(xn - x +xn)B =β = nβ = n江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷方差公式s2 = 1[(x- x)2 + (x- x)2 +数学1)2 ]，其中x =1(x + x +．n 1 2 n 1 2一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合A ={x 0 < x < 2} ，B ={x x >1} ，则A ▲．2．复数z = i(1- i) 的共轭复数在复平面内对应的点位于第▲象限．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200 辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200 辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有▲辆．4．袋中装有5 个大小相同的球，其中3 个黑球，2 个白球，从中一次摸出2 个球，则摸出1 个黑球和1 个白球的概率等于▲．5．在一次知识竞赛中，抽取5 名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为▲．(第3 题图)答对题数 4 8 9 10人数分布 1 1 2 1(第5 题表)6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为▲．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α ，β 是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α第6 题图，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n；④若m//α，m⊂β，α，则m//n．上述命题中为真命题的是▲．（填写所有真命题的序号）．FED8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷 22 题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天 织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布 5 尺，一个月（30 天）共织布 9 匹 3 丈，则该女子每天织尺布的增加量为▲尺．（1 匹=4 丈，1 丈=10 尺） 9．若cos α = 2cos(α + π) ，则 tan(α + π) = ▲ ．C4810．如图，已知 O 为矩形 ABCD 内的一点，且 OA = 2 ， OC = 4 ， AC = 5 ，则OOB ⋅ OD = ▲ ．A B11．已知关于 x 的方程 x (x - a ) =1 在 (-2, +∞) 上有三个相异实根，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．12．已知 a > 0,b > 0 ，且 1 + 1 = 1 ，则 3a + 2b + b 的最小值等于▲ ．(第 10 题图)a b a13．如图，已知 AC = 8 ，B 为 AC 的中点，分别以 AB, AC 为直径在 AC 的同侧作半圆， M, N 分别为两半圆上的动点（不含端点 A ，B ，C ），且BM ⊥ BN ，则 AM ⋅CN 的最大值为 ▲ ．14．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 +ax + b < 0 对任意的实数 x ∈[1,3] 及任意的实数 b ∈[2, 4] 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 内接于单位圆（半径为 1 个单位长度的圆），且 (1+ tan A )(1+ tan B ) = 2 ．（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．16．如图，在四面体 ABCD 中， AB = AC = DB = DC ，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 A F = λ ．AC（1）若 EF //平面 ABD ，求实数 λ 的值； B（2）求证：平面 BCD ⊥ 平面 AED ．ADC（第 16 题图）3 θ P17． 如图，长方形材料 ABCD 中，已知 AB = 2 ， AD = 4 ．点 P 为材料 ABCD 内部一点，PE ⊥ AB 于 E , PF ⊥ AD 于 F ，且 PE =1，PF = ．现要在长方形材料 ABCD 中裁剪出四边形材料 AMPN ，满足 ∠MPN =150︒ ，点 M ，N 分别在边 AB ，AD 上． （1）设 ∠FPN = θ ，试将四边形材料 AMPN 的面积 S 表示为 θ 的函数，并指明 θ 的取 值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最 小值．DCN F AB(第 17 题图)18．已知椭圆 E ： x 2+ 9y 2= m 2（ m > 0 ），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 E有两个交点 A , B ，线段 AB 的中点为 M ．（1）若 m = 3 ，点 K 在椭圆 E 上，F 1 、F 2 分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1 ⋅ KF 2 的范围； （2）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（3）若 l 过点 (m , m ) ，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P ，四边形 OAPB 能否为平行四边形？3若能，求此时直线 l 斜率；若不能，说明理由．3+ a n b 1 = n n n nn3 19．已知函数 f (x ) = a e x ，g (x ) = ln x -ln a ，其中 a 为常数，且曲线 y= f (x ) 在其与 y轴的交点处的切线记为l 1 ，曲线 y= g (x ) 在其与 x 轴的交点处的切线记为 l 2 ，且 l 1 / / l 2 ．（1）求l 1，l 2 之间的距离；（2）若存在x 使不等式 x - m > f (x )成立，求实数 m 的取值范围；（3）对于函数 f (x ) 和g (x ) 的公共定义域中的任意实数 x 0 ，称 |f (x 0 ) - g (x 0 )| 的值为 两函数在x 0 处的偏差．求证：函数 f (x ) 和 g (x ) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2．20．设数列 {a }的前 n 项和为 S ， 2S +a = 3 ， n ∈ N * ． （1）求数列 {a n }的通项公式；（2）设数列 {b }满足：对于任意的 n ∈ N *，都有a b + a b+ a b +⎛ 1 ⎫ n -1+ 3n - 3 成立．1 n2 n -13 n -2⎪⎝ ⎭①求数列 {b n }的通项公式；②设数列 c n = a n ⋅b n ，问：数列{c n }中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在， 求出这三项；若不存在，请说明理由．x2 22数学（理科）附加题说明：1．以下题目的答案请直接填写在答卷上．2．本卷总分 40 分，考试时间 30 分钟．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域． 内．作．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．A ．[选修 4—1：几何证明选讲]（本小题满分10 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O ，弧 AB 与弧 AD 长度相等，过 A 点的切线交 CB 的延长线于 E 点．求证： AB 2=BE ⋅CD ．EAB· ODC（第 21-A 题）B ．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡2 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡4⎤已知矩阵 A = ⎢ ⎥ ，列向量X = ⎢ y ⎥ ， B = ⎢7⎥ ，且 AX = B . ⎣3 2⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦（1）求矩阵 A 的逆矩阵 A -1； （2）求 x , y 的值．C ．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）⎪⎧x ＝4cos θ⎧x ＝3＋ t ， 已知点 P 在曲线 C ：⎨ ⎩⎪y ＝3sin θ （θ为参数）上，直线 l ：⎨ ⎩y ＝－3＋ 2 （t 为参数）， t求 P 到直线 l 距离的最小值．D ．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知 x ，y ，z 均为正数．求证： x + y + z ≥ 1 + 1 + 1 ．yz zx xy x y z22.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点2M 在线段A1B1 上.（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM 和A1C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面ABC1所成角为30°，试确定点M 的位置．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x2 = 4 y上有两个动点A 、B ，且满足AF = λ FB , 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ．--→ --→（1）求：OA ⋅ OB 的值；（2）证明：FM ⋅ AB 为定值．44答案一、填空题：1. (1, 2)2．四； 3．80 4． 355．22 56．257．①④ 16 8.299．2 +1 ；3 10． - 5211． (- 5, -2)212．11 13． 4 14． (-∞, -2)二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算 求解能力．（1）由 (1 + tan A )(1 + tan B ) = 2 得 tan A + tan B =1- tan A tan B ，所以 tan( A + B ) = tan A + tan B = 1 ，（4 分）1 - tan A tan B故△ABC 中， A + B = π ， C = 3π （6 分）2 2 2 2DE = E 3 （2）由正弦定理得 c = 2 ，即 c = ，（8 分） sin 3π 4由余弦定理得 2 = a 2 + b 2 - 2ab c os 3π ，即 2 = a 2 + b 2 + 4ab ，（10 分）由 2 = a 2 + b 2 + ab ≥2ab + ab 得 ab ≤2 - ，（当且仅当 a = b 时取等号）（12分）所以 S = 1 ab sin 3π≤ 2 -1 .（14 分）2 4 216．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论 证能力．解：（1）因为 EF ∥平面 ABD ，易得 EF ⊂ 平面 ABC ，平面 ABC 平面 ABD = AB ， 所以 EF // AB ，（5 分） 又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上， 所以点 F 为 AC 的中点， 由 AF = λ 得 λ = 1 ；（7 分） AC 2（2）因为 AB = AC = DB = DC ，点 E 是 BC 的中点，所以 BC ⊥ AE ， BC ⊥ DE ，（9 分） 又 AE ， AE 、DE ⊂ 平面 AED ， 所以 BC ⊥ 平面 AED ，（12 分） 而 BC ⊂ 平面BCD ， 所以平面 BCD ⊥ 平面 AED ．（14 分）17．解：（1）在直角△ NFP 中，因为 PF = ， ∠FPN = θ ，所以NF = 所以 S ∆NAP tan θ ， = 1 NA ⨯ PF = 1 (1 + 2 2 tan θ ) ⨯ ． ……………………………2 分在直角△ MEP 中，因为 PE = 1 ， ∠EPM = π- θ ，3所以 ME = tan( π- θ ) ，32 3 3 392 3 3 - tan θ 2(1 + 3 tan θ )32 3tt ⨯ 43t 所以 S= 1 AM ⨯ PE = 1 [+ tan( π- θ )]⨯1 ． ………………………………4 分∆AMP22 3所以 S = S∆NAP+ S ∆AMP= 3 tan θ + 1 tan( π - θ ) + 2 2 3 ，θ ∈[0, π]． 3……………………………………………………………………………………6 分 （注：定义域错误扣 1 分）（2）因为 S = 3 tan θ + 1 tan( π - θ ) + 2 2 3 = 3 tan θ + + 2 ． …8 分令t = 1 + tan θ ，由θ ∈[0, π] ，得 t ∈[1, 4] ， 33t 2 - 4t + 4 所以 S = + = (t + 4 ) +≥ 3 ⨯ 2 ⨯ 2 3t+ 3 = 2 + 33．………………12 分2 3 3当且仅当 t =2 3 时，即 tan θ = 2 - 3 时等号成立． ………………13 分 3 3 此时， AN = 2 3 ， S = 2 + 3．3 min 3答：当 AN = 2 3 时，四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，最小值为 2 + 3．3 3……………………………………………………………………………………14 分18．解：（Ⅰ） m = 3 ，椭圆 E ： x + y 2 = 1，两个焦点 F (-2, 0) ， F (2 , 0) 设 K (x , y )， F 1K = (x + 2 9, y ) ，F 2 K = (x - 2 12, y ) ， 222KF 1 ⨯ KF 2 = FK 1 ⨯ F 2 K =(x + 2 , y ) ⨯ (x - 2 , y ) = x + y - 8= - 8y +1， ∵-1 ≤ y ≤ 1，∴ KF 1 ⨯ KF 2 的范围是 [-7,1] （4 分） ⎧x 2 + 9 y 2 = m 2，⎪ 1 1（ 2 ） 设 A , B 的 坐 标 分 别 为 (x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ， 则 ⎨ 两 式 相 减 ， 得 x 2 + 9 y 2 = m 2 . ⎩⎪ 2 2 1+ 9 ( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ) = 0 (x 1 + x 2 )(x 1 - x 2 ) + 9( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ) = 0， (x + x )(x ， 即- x )11+ 9k OM ⨯ k l = 0 ，故 k OM ⨯ k l = - ；（8 分） 12122 2 2 2 23 3 33 33 24 ± 7 2 x x x 2 ⎝ x x 2 x x 2 2 ⎝ x 2 ⎝ x P ÷ ÷÷ （3）∵直线 l 过点(m , m) ， 3∴直线 l 不过原点且与椭圆 E 有两个交点的充要条件是k > 0 且 k ≠ 1． 3m m 设P (x P , y P ) ，设直线 l : y = k (x - m ) + 31（ m ≠ 0, k ≠ 0 ），即l : y = kx - km + ，39m 2k 2由（2）的结论可 知O M : y = - 9k x ， 代入椭圆方程得， x 2 =9k 2 +1， （10 分）⎛k 2m - km km - m ⎫ 由 y = k (x - m ) + m 与 y = - 1 9 3 x ，联立得 M , - 3 ÷ ．（12 分）3 9k 9k 2+19k 2 +1 ÷ ⎝ ⎭若四边形 OAPB 为平行四边形，那么M 也是 OP 的中点，所以 2x 0 = x P ，⎛ 9k 2 m - 3km ⎫ 即 4 ÷ =9m 2 k 2，整理得 9k 2 - 8k +1 = 0 解得， k = ． ⎝ 9k 2 +1 ⎭ 9k 2+19 所以当 k =4 ± 97时，四边形 OAPB 为平行四边形．（16 分） 19． 解：（1）f ' (x ) = ae x ，g '(x ) = 1， y = f (x ) 的图像与坐标轴的交点为 (0 , a ) ，y = g (x ) x的图像与坐标轴的交点为 (a , 0) ，由题意得f '(0) =g '(a ) ，即 a = 1a 又∵ a > 0 ，∴ a = 1 . （2 分）∴ f ( x ) = e x ， g (x ) = ln x ，∴函数 y = f (x ) 和 y = g (x ) 的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x - y + 1 = 0 , x - y - 1 = 0 ∴两平行切线间的距离为 （4 分）（2）由 x - m > f (x ) 得 x - m > e x，故 m < x - e x 在 x ∈[0 , + ∞) 有解，令 h (x ) = x - e x ，则 m < hmax (x )。

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江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷数学1方差公式()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L ，其中()121n x x x x n=+++L .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相．．．．应位置上．．．．. 1. 已知集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =>，则A B =I ______. 2. 复数()1z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限.3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[]40,60内的汽车有______辆.4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______.5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为______.6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______.7. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面. ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n .上述命题中为真命题的是______.（填写所有真命题的序号）.8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.（1匹=4丈，1丈=10尺） 9. 若cos 2cos 4παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan 8πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅=u u u r u u u r______.11. 已知关于x 的方程()1x x a -=在()2,-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______. 12. 已知0a >，0b >，且111a b +=，则32ba b a++上的最小值等于______. 13. 如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______.14. 若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC ∆内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且()()1tan 1tan 2A B ++=. （1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆面积的最大值.16. 如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED .17. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =4AD =.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值. 18. 已知椭圆E ：()22290x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由.19. 已知函数()xf x ae =，()ln lng x x a =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l . （1）求1l ，2l 之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x ->m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称()()00f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差.求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭L 成立.①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =⋅，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.数学（理科）附加题说明：1. 以下题目的答案请直接填写在答卷上.2. 本卷总分40分，考试时间30分钟.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并．在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修4—1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：2AB BE CD =⋅.B. [选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =.（1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值.C. [选修4-4：坐标系与参数方程]已知点P 在曲线C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上，直线l：3232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），求P 到直线l 距离的最小值.D. [选修4—5：不等式选讲] 已知x ，y ，z 均为正数.求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++. 22. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，1CC =90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置.23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .（1）求：OA OB ⋅u u u r u u u r的值；（2）证明：FM AB ⋅u u u u r u u u r为定值.答案一、填空题：1. ()1,22. 四3. 804. 355. 2256. 257. ①④8.1629 9. 13 10. 52- 11. 5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭12. 11 13. 4 14. (),2-∞- 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力. （1）由()()1tan 1tan 2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-， 所以()tan tan tan 11tan tan A B A B A B++==-， 故ABC ∆中，A B π+=4，C π3=4.（2）由正弦定理得2sin c π=34，即c =由余弦定理得2222cosa b ab π3=+-4，即222a b =+，由2222a b ab =++≥+得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）所以13sin 2S ab π=≤4.16. 命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力. 解：（1）因为//EF 平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE DE ⊂、平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED .17. 解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF =FPN θ∠=，所以NF θ=，所以()11122NAP S NA PF θ∆=⋅=+ 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以11tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎥⎝⎭⎦.所以31tan tan 223NAP AMP S S S πθθ∆∆⎛⎫=+=+-+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （注：定义域错误扣1分）（2）因为313tan tan tan2232S πθθθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以243S t t ⎫==++⎪⎝⎭22≥=.当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立.此时，AN =，min 2S =+.答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+.18. 解：（Ⅰ）3m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，()1F K x y =+u u u u r ，()2F K x y =-u u u u r，()()1212=KF KF FK F K x y x y ⋅=⋅+⋅-u u u r u u u u r u u u u r u u u u r2228=81x y y =+--+，∵11-≤≤y ，∴12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围是[]7,1-. （2）设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299x y mx y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减，得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-，即190+⋅=OM l k k ，故19⋅=-OM l k k ；（3）∵直线l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0>k 且13≠k . 设(),P P P x y ，设直线l ：()()0,03m y k x m m k =-+≠≠，即l ：3m y kx km =-+， 由（2）的结论可知OM ：19y x k =-，代入椭圆方程得，2222991=+P m k x k ， 由()3m y k x m =-+与19=-y x k ，联立得222933,9191⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭m km k m km M k k . 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02P x x =，即22222293949191⎛⎫-= ⎪++⎝⎭k m km m k k k ，整理得29810-+=k k解得，k .所以当k 时，四边形OAPB 为平行四边形. 19. 解：（1）()'xf x ae =，()1'g x x=，()y f x =的图像与坐标轴的交点为()0,a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为(),0a ，由题意得()()'0'f g a =，即1a a=，又∵0a >，∴1a =.∴()xf x e =，()lng x x =，∴函数()y f x =和()y g x =的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：10x y -+=，10x y --=（2）由()x m f x ->x x me->x m x <在[)0,x ∈+∞有解， 令()xh x x =，则()max m h x <.当0x =时，0m <；当0x >时，∵()'11x x x h x e ⎫=-=-⎪⎭，∵0x >，=1x e >，∴x e >，故()'10x h x e =-<，即()x h x x =在区间[)0,+∞上单调递减，故()()max 00h x h ==，∴0m <. 即实数m 的取值范围为(),0-∞. （3）解法一：∵函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()()()ln x F x f x g x e x =-=-，()0,x ∈+∞， ∴()1'x F x e x =-，设x t =为()1'0x f x e x=-=的解，则当()0,x t ∈，()'0F x <； 当(),x t ∈+∞，()'0F x >，∴()F x 在()0,t 单调递减，在(),t +∞单调递增， ∴()min 1ln ln t t tt F x e t e e t e=-=-=+，∵()'110f e =->，1'202f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，∴112t <<，故()12min 1112222tF x e t e =+=+=>=. 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 解法二：由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()()()ln x F x f x g x e x =-=-，()0,x ∈+∞， 令()1xF x e x =-，()0,x ∈+∞；令()2ln F x x x =-，()0,x ∈+∞，∵()'11xF x e =-，()'2111xF x x x-=-=， ∴()1F x 在()0,+∞单调递增，()2F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()1101F x F >=，()()2211F x F ≥=，∴()()()12ln 2xF x e x F x F x =-=+>，即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.20. 解：（1）由23n n S a +=，① 得()11232n n S a n --+=≥，② 由①–②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥. 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111121111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+--≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⑤由③–⑤得()212n b n n =-≥. 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>L .假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>L ，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+()*， 即()1112212121333p s r p s r ------=+.因为*,,s p r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥，由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥. 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =.当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意. 当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入()*式得19r c =. 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =. 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.数学（理科）附加题说明：1. 以下题目的答案请直接填写在答卷上.2. 本卷总分40分，考试时间30分钟. 21. A. 连结AC ，因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠.因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =. 于是EAB ACD ∠=∠.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠. 所以ABE CDA ∆∆:. 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅， 所以2AB BE CD =⋅.21. B. 解：由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.12x y =⎧⎨=⎩， （也可由AX B =得到214327x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩. C. 解：将直线l 化为普通方程为：60x y --=. 则()4cos ,3sin P θθ到直线l的距离d ==，其中3tan 4ϕ=. 所以当()cos1θϕ+=时，min 2d =，即点P 到直线l 的距离的最小值为2. D. 因为x ，y ，z 无为正数.所以12x y x y yz zx z y x z⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭， 同理可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 22. 解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,0,0A ，(14,0,A ，(10,4,B . （1）因为113A M MB =，所以(M .所以(14,0,CA=u u u r ，(AM =-u u u u r.所以111cos ,CA AM CA AM CA AM⋅===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r . 所以异面直线AM和1A C . （2）由()4,0,0A，()0,4,0B ，(10,0,C ，知()4,4,0AB =-u u u r，(1AC =-u u u u r .设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =r ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r得44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1a =，则1b =，c =1ABC的一个法向量为(n =r.因为点M 在线段11A B上，所以可设(,4M x x -，所以(4,4AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，所以1cos ,sin 302n AM =︒=r u u u u r .由cos ,n AM n AM n AM ⋅=r u u u u r r u u u u r r u u u u r，得()()1141422x x ⋅-+⋅-+=， 解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点(2,2,M 是线段11A B 的中点.23.（1）.解：设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵焦点()0,1F ，∴211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，∵AF FB λ=u u u r u u u r ，∴2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩消λ得22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得()1212104x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∵12x x ≠，∴124x x =-，∴221212144x x y y =⋅=. ∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r（定值）.（2）抛物线方程为214y x =，∴1'2y x =， ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为()2111124x y x x x =-+和()2222124x y x x x =-+，即211124x y x x =-和222124x y x x =-，联立解出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭，∴221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r 22222121022x x x x -=--=（定值）.。

专题02 相等关系与不等关系(解析版)

专题02 相等关系与不等关系(解析版)

1 专题0
2 相等关系与不等关系
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）
A ．22a b >
B ．1b
a < C ．()10g a
b -> D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确； 如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确；
如果0a =，1
2b =-，显然C ，1
02lg <，不正确； 因为指数函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122a
b
⎛
⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．
故选：D ．
2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x
⎛⎫
⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的(
) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 由121x
⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“
0x <”，反之，不能推出；。

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析

2020届高三阶段性检测试题数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343V R =π球，球的表面积公式24S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【答案】102【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC =.9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+311sin 2cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.【答案】(1)22143x y +=0y --=0y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k .又以PQ 为直径的圆过原点,所以OPOQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以sin 20102ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=.由1sin1202EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可. (2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥.当2n ≥时,112311111ni inb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【详解】设则即此直线即为则..22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=+ ()()1211127a b c ≤++++++=33，当且仅当==，即3a =，2b =，1c =时取等号，33，得证；【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25.设4124k k S a a a =+++（*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】分析】 （1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． （2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++．同理，得()1594344441k k k k km C C C C -=++++． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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第二学期期中考试 高二数学试卷一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题） 1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4,5D.{}0,1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则{}1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，考查了交集定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论. 【详解】1z i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题. 3.向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1），则a b ⋅=（ ） A. 5 B. 3C. 4D. -5【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式直接求解.【详解】解：因为向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1）， 所以12(2)(1)4a b ⋅=⨯+-⨯-=， 故选：C【点睛】此题考查平面向量的数量积计算，属于基础题. 4.函数()33xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设()()33xf x x x =-⋅，判断函数()y f x =的奇偶性、零点，以及函数()y f x =在()0,1x ∈时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()33xf x x x =-⋅，该函数的定义域为R ，()()()()()3333x xf x x x x x f x -⎡⎤-=---⋅=--⋅=-⎣⎦，所以，函数()y f x =为奇函数，令()0f x =，得30-=x x ，即()210x x -=，解得0x =或1x =±.所以，函数()y f x =的零点为0、1、1-，排除A 、D 选项；当01x <<时，3x x <，则()()330xf x x x =-⋅<，排除B 选项.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题. 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.6.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小7.计算：0000sin 21cos9sin 69sin9+的结果为（ ）A. C. 12-D.12【答案】D 【解析】00000001sin21cos9sin69sin9sin21cos9cos21sin9sin302+=+︒=︒=， 故选D8.某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（ ）A. 2231788C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B. 2237188C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C. 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D.27188⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，由此能求出结果. 【详解】解：因为某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(ξ＝3) ＝ 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题.9.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A. 85 B. 84C. 57D. 56【答案】A 【解析】【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r rrr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.10.某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为( ) A. 9 B. 12C. 18D. 24【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为1863=⨯种； 故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖”的含义．还考查了分类思想，属于中档题.11.如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下列结论中正确的是 （ ）A. 11A C ⊥平面11BB D D ；B. 1BD ⊥平面1ACB ；C. 1BD 与底面11BCC B 2；D. 过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理、线面角的定义、异面直线所成角的的定义，即可得答案； 【详解】对A ，11111111111,,AC B D AC DD B D DD D ⊥⊥⋂=，∴11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对B ，1BD ⊥AC ，111B D AB ⊥，1AB AC A =，∴1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；对C ，1BD 与底面11BCC B 2，故C 错误； 对D ，异面直线AD 与1CB 成45，∴过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条，故D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理及空间线面角、异面直线所成角的相关知识，考查空间想象能力、运算求解能力.12.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 2()5P B =B. 15()11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】 【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,p A p A p A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A. 4p = B. DF FA =C. 2BD BF =D. 4BF =【答案】ABC【解析】 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360， //AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二．填空题(每小题4分，共16分)14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，则()2f -=______.【答案】13- 【解析】 【分析】根据题意求得()2f 的值，然后利用奇函数的定义可得出()2f -的值.【详解】当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，()32222113f ∴=++=， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以，()()2213f f -=-=-. 故答案为：13-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.15.长方体的长、宽、高分别为4、3、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______. 【答案】26π 【解析】 【分析】设球O 的半径为R ，利用长方体的体对角线为球O 的直径可求得R ，然后再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球O 的半径为R ，由于长方体的体对角线为球O 的直径，则2R ==2R ∴=，因此，球O 的表面积为224426S R πππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：26π.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，利用长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 16.满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为_________； 【答案】7 【解析】 【分析】 由11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅，对左边化简，再利用二项式定理可得结果.【详解】解：因为11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅， 所以021112111212n n n n n n n n n n C C C n nC C C n-----=⋅+⋅++++⋅⋅⋅+=⋅， 所以12100n -<，因为67264,2128==，所以16n -≤，即7n ≤， 所以满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为7故答案为：7【点睛】此题考查组合数公式和二项式定理，考查计算能力，属于基础题. 17.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若()f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B .设函数()()()32221f x ax a x a x =--+-()0,x a R >∈.（1）若()f x A ∈，则实数a 的取值范围为 _________;（2）若()f x A ∈且()f x B ∉，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】 (1). []0,2 (2). (]1,2【解析】 【分析】（1）当0a =时，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-，利用二次函数的单调性得到02a <≤，即可得到答案. （2）首先利用导数求出满足()f x B ∈时a 的范围，再求出满足()f x A ∈且()f x B ∉时a 的范围即可.【详解】（1）当0a =时，()24f x x x =-，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-， 因为()f x A ∈，所以()2()221f x y ax a x a x==--+-为增函数， 即020a a a>⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得02a <≤.综上：()f x A ∈，则02a ≤≤.（2）()()2122f x a y ax a x x-==--+，21a y a x -'=- 若()f x B ∈，则210a a x --≥在()0,∞+恒成立， 即()0,x ∈+∞，21a x a-≤恒成立， 所以10a a-≤，解得01a ≤≤.因为()f x A ∈且()f x B ∉，所以12a <≤. 故答案为：[]0,2；(]1,2【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了二次函数的单调性，属于中档题.三．解答题.(共82分)18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）19；（2）分布列见解析，()76E ξ=. 【解析】 【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量ξ可取的值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：()111112339P A ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，()21220239P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121211241232339P C ξ⎛⎫==⨯+⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()21211211522332318P C ξ⎛⎫==⋅⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()211132318P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以，随机变量ξ的分布列如下：因此，随机变量ξ的数学期望为()2451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用33+模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了n 名学生进行调查. （1）已知抽取的n 名学生中有女生45名，求n 的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下22⨯列联表.（i ）请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系. （ii ）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 100n =，55人 (2) （i ）见解析；（ii ）35【解析】 【分析】 （1）根据题意可得451000450n =求解即可得出n 的值，进而可得抽取的男生人数； （2）（i ）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出2k 的值，结合临界值表即可的结果； （ii ）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d ；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得451000450n =，解得100n =， 则抽取的男生的人数为100550551000⨯=. （2）（i ）则22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii ）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d .从6名学生中随机抽取2名，有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd共15种情况，其中至少有1名男生的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共9种情况，故所求概率为93155=. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型. 20.在ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若sin 1cos 0A C +=⎭，求b a 的值. 【答案】（1）060B =（2 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理处理()()22222cos a c a b cab C --+=，即可得出答案．（2）展开sin 1cos 0A C ++=⎭，结合0180A B C ++=，和第一问计算出的角B 的大小，即可得出A 的值，结合正弦定理sin sin b B a A=，代入，即可． 【详解】（1）∵角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()22222cos a c a b cabc C --+=∴()()2222cos 2a c a c b b C ac-+-=，∴()2cos cos a c B b C -=∴cos 2cos b Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C===， ∴2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， ∴2sin cos 4sin 2sin cos R B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，∴2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ ()sin sin C B A =+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B = ∵()000,180B ∈，∴060B =.（2）∵sin 1cos 0A C +=⎭，∴3sin 102A C +--=，∴1sin 2A C =， ∵060B =，∴0018060C A =--， ∴0120C A =-，∴()1sin 1202A A -=，∴)1sin cos120cos sin120sin 2A A A +=∴131 sin3cos sin222A A A⎛⎫-⨯--=⎪⎝⎭∴311cos sin222A A-=∴()01cos302A+=∵000120A<<，∴0003030150A<+<∴030A=∵由正弦定理得：sin sina bA B=，060B=，030A=，∴3sin sin60231sin sin302b Ba A====.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大．21.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面111A AC C⊥底面ABC，四边形11AAC C为菱形，ABC是边长为2的等边三角形，160A AC︒∠=，点O为AC的中点.（1）若平面11A B C与平面ABC交于直线l，求证：//l AB；（2）求二面角11C A B C--的余弦值.【答案】(1) 证明见解析；（210【解析】【分析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC . 所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C平面=ABC l所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C底面ABC AC =.所以1A O ⊥平面ABC .又ABC 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =.()()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11133020x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()1,0,1n =设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=- 则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩取()1,3,1m = 所以10cos ,25n m n m n m⋅===⨯⋅.所以二面角11C A B C --的余弦值为105. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D . 已知椭圆E 的离心率为53，短轴长为4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD 面积的最大值.【答案】（1）22194x y +=；（2）证明见解析，直线方程为3x =；（3）274. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，则2200194x y +=，可知000x y ≠，求出直线AB 、AC 的斜率，进而可求得直线BD 、CD 的方程，联立直线BD 、CD 的方程，求得点D 的横坐标，即可得出结论；（3）由基本不等式可求得00x y 的最大值，进而可求得BCD 面积的最大值.【详解】（1）由题意可得222324c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆E 的标准方程为22194x y +=； （2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，易知点()30A -,，则2200194x y +=且000x y ≠，直线AB 的斜率为003AB y k x =+，则直线BD 的方程为()00003x y y x x y +-=--， 同理可得直线CD 的方程为()00003x y y x x y --=+， 联立()()0000000033x y y x x y x y y x x y +⎧-=--⎪⎪⎨-⎪-=+⎪⎩，解得3x =，054y y =-，因此，点D 在一条定直线上，且定直线的方程为3x =；（3）由（2）知，点D 的坐标为053,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，02BC x =，000005192244BCD y S x y x y =⨯⨯--=△，由基本不等式可得2200001943x y x y =+≥=，则003x y ≤，当且仅当0032x y =时，等号成立，所以，0099273444BCD S x y =≤⨯=△. 因此，BCD 面积的最大值为274. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明以及三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.23.设常数a R ∈，函数2()2x x af x a+=-（1）当1a =时，判断()y f x =在(0,)+∞上单调性，并加以证明； （2）当0a ≥时，研究()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当0a ≠时，若存在区间[,]()m n m n <使得()y f x =在[,]m n 上的值域为2,2m n⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.证明见解析（2）见解析；（3）(){}3,01【解析】 【分析】（1）由函数的单调性定义即可证明． （2）由函数的奇偶性定义即可证明．（3）首先证明函数的单调性，当0a <时证明函数()f x 在R 上单调递增，即()2()2mnf m f n ⎧=⎨=⎩，解关于2x 一元二次方程即可；同理当0a >时，求出()f x 单调区间，当函数是单调递减时，则()2()2nmf m f n ⎧=⎨=⎩代入化简即可求解．【详解】解：（1）当1a =时，21()21x x f x +=-任取120x x <<则()()12121221212121x x x x f x f x ++-=--- ()()()()()()122112212121212121x x x x x x +--+-=--()()211211222121x x x x ++-=--∵12x x <∴2111x x +>+∴211122x x ++>∴2111220x x ++->∵1>0x ，20x >∴121x >，221x >∴1210x ->，2210x ->∴()()120f x f x ->即：()()12f x f x >∴()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.（2）①当0a =时，2()12xx f x == ∵()1()f x f x -==∴()f x 为偶函数②当0a >时，2()2x x a f x a+=- 20x a -≠，则2log x a ≠01当0a >且1a ≠时，()f x 的定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞定义域不关于原点对称∴()f x 为非奇非偶函数2当1a =时，21()21x x f x +=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 定义域关于原点对称2112()()2112x xx x f x f x --++-===--- ∴()f x 为奇函数.（3）①当0a <时，2()2x x a f x a+=-定义域为R 222()122x x x a a a f x a a-+==+-- ∵2x a -单调递增，∴12x a -单调递减 ∴2()12x af x a =+-R 上单调递增由题意得：()2()2mn f m f n ⎧=⎨=⎩∴222222m m m n nn a a a a⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩222(1)202(1)20m m n n a a a a ⎧-+-=⇒⎨-+-=⎩ ∴12m x =，22n x =是一元二次方程：2(1)0x a x a -+-=的两个不等的正根∴21212(1)40100a a x x a x x a ⎧∆=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩30a ⇒<<②当0a >时，2()2x x a f x a+=-定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞∵当[,]x m n ∈时，()f x 的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦ ∴2log n m a >>，222()122x x x a a a f x a a-+==+-- 当2log x a >时，()0f x >∵2x a -单调递增，∴22x a a-单调递减 ∴()f x 在()2log ,a +∞上单调递减∴()2()2n m f m f n ⎧=⎨=⎩222222m n m n mn a a a a⎧+=⎪⎪-⇒⎨+⎪=⎪-⎩222222m m n n n m n n a a a a ++⎧+=-⋅⇒⎨+=-⋅⎩ ∴()2222m n m n a -=- ∵m n ≠∴220m n -≠∴1a =综上所述：a的取值范围是(){}3,01.【点睛】本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题．。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题一、填空题1．已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>，则M N =I ________________. 【答案】{|12}x x <<【解析】根据交集的定义，即得解. 【详解】集合{}02,{1}M x x N x x =<<=> 根据交集定义，{|12}M N x x =<<I 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限． 【答案】四【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】()z i 1i 1i =-=+Q ，z 1i ∴=-，则复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=【考点】频率分布直方图4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105 P==.故答案为3 5 .点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数48910人数分布1121【答案】22 5【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=， 方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦． 故答案为：225．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题． 6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下2018T <Ti15Y 5 10Y 5015Y750 20Y 1500025故2018T <不成立时，25i =. 故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，α//β，则m //n ； ④若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ．上述命题中为真命题的是______(填写所有真命题的序号)． 【答案】①④【解析】①由线面垂直的判定定理可知正确；m ②与n 可能平行可能相交；m ③与n 可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确． 【详解】选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，α//β，则m 与n 可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题．8．公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可. 详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺 又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺 故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9．若πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ3tan αtan 188⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-Q，解得πtan 18=．π121tanα83321（）+⎛⎫∴+==⎪-⎝⎭，故答案为213+【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB ODu u u r u u u r⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅u u u r u u u r的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2Q=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--u u u r，()OD m,b nu u u r=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-u u u r u u u r ．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．11．已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：Q 方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根，∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点Q 1,0()=1,0x xg x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，联立1y x y x a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2--故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q 111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b aa b a b a a b a a b++=+++=++Q 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>，∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a ++≥+=.∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值． 【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0u u u u r u u u r⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=，则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+u u u u r u u u r()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为4．故答案为4． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14．若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(),2∞--【解析】由题意可得323x x ax b -+<-先对b 恒成立，即为3234x x ax -+<-，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a 的范围． 【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈ 及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，先看成b 的一次函数 ，可得323b min x x ax -+<-（）即为3234x x ax -+<-，可得243a x x x <--恒成立， 设()243f x x x x=--，[]1,3x ∈，()()()222222432x x x f x x x x -++=-+='，可得12x <<时，()'0f x >，()f x 递增；23x <<时，()'0f x <，()f x 递减，又()12f =-，()433f =-， 可得()f x 在[]1,3的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(),2∞--． 故答案为：(),2∞--． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题15．已知ABC V 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）34C π=（2 【解析】()1变形已知条件可得1tanA tanB tanA tanB +=-⋅，代入可得()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+=-+=-=--，可得C 值；()2由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】()()()1112tanA tanB ++=Q1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q ()2ABC QV 的外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2c RsinC ==由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥+=，当且仅当a=b 时，“=”成立ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，B AC ∴V 【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED . 【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题. 17．如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当23AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为32+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =FPN θ∠=， 所以3tan NF θ=， 所以()1113tan 322NAP S NA PF θ∆=⋅= 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以24233S t t ⎫==++⎪⎝⎭ 2233≥=+当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立，此时，AN =，min 2S =+答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18．已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； ()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由． 【答案】（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析【解析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅u u u r u u u u r的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03ml y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可． 【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+u u u u r，()2F K x y =-u u u u r，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，11y -≤≤Q ，12KF KF ∴⋅u u u r u u u u r的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：， 由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，k =．经检验满足题意所以当k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【解析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0）， 由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，∴.（2）由()x m f x -x x me-，故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，令h （x ）=x x ，则m ＜h （x ）max ， 当x =0时，m ＜0；当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-）e x ，∵x ＞0，，e x ＞1，∴e x ，故h ′（x ）＜0，即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减， 故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0， 即实数m 的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一：∵函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差为：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∴F ′（x ）=e x -1x，设x =t 为F ′（x ）=0的解， 则当x ∈（0，t ），F ′（x ）＜0；当x ∈（t ，+∞），F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增，∴F （x ）min=e t -ln t =e t -ln1t e =e t+t ，∵F ′（1）=e -1＞0，F ′（12）＜0，∴12＜t ＜1，故F （x ）min =e t +t 12+12=2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 解法二：由于函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， 令F 1（x ）=e x -x ，x ∈（0，+∞）；令F 2（x ）=x -ln x ，x ∈（0，+∞），∵F 1′（x ）=e x -1，F 2′（x ）=1-1x=1x x -， ∴F 1（x ）在（0，+∞）单调递增，F 2（x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论.详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n L -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+，因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S --(2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：2AB BE CD =⋅.【答案】证明见解析【解析】连结AC ，证明ABE CDA ∆∆:，再利用相似比即可得到答案. 【详解】 连结AC ，因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠.因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =. 于是EAB ACD ∠=∠.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠. 所以ABE CDA ∆∆:. 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅， 所以2AB BE CD =⋅.【点睛】本题考查平面几何中圆与三角形相似，考查逻辑推理能力，属于基础题. 22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩ 【解析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】 （1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12 xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，Rθ∈），直线32:32xly⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数，t R∈），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值..【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为60x y--=.因为点P在曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩上，所以可设(4cos,3sin)Pθθ.因为点P到直线l距离d=其中3tan,4φφ=是锐角，所以当cos()1θφ+=时，mind=P到直线l的距离最小值为2. 24．已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z≥＋＋＋＋【答案】证明见解析【解析】【详解】∵x，y，z都是为正数，∴12()x y x yyz zx z y x z+=+≥．同理，可得2y zzx xy x+≥，2z xxy yz y+≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，试确定点M 的位置. 【答案】（1392）点M 是线段11A B 的中点. 【解析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,22AM =-u u u u r ，(14,0,22CA =u u u r，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,42M x x -，得(4,4,22AM x x =--u u u u r，直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M 的位置. 【详解】以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A ，(14,0,22A ，(10,4,22B .（1）因为113A M MB =，所以(1,3,22M .所以(14,0,22CA =u u u r ，(3,3,22AM =-u u u u r.所以11139cos ,2426CA AM CA AM CA AM⋅===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r . 所以异面直线AM 和1A C 39.（2）由()4,0,0A ，()0,4,0B ，()10,0,22C ，知()4,4,0AB =-u u u r，()14,0,22AC =-u u u u r .设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =r ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为()1,1,2n =r.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(),4,22M x x -，所以()4,4,22AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，所以1cos ,sin 302n AM=︒=r u u u u r . 由cos ,n AM n AM n AM ⋅=r u u u u r r u u u u r r u u u u r，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M 是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=uu u r uu r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .（1）求：OA OB ⋅u u u r u u u r的值； （2）证明：FM AB ⋅u u u u r u u u r为定值. 【答案】（1）3-（2）证明见解析【解析】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，将向量,OA OB u u u r u u u r 分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案； （2）求出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭，再代入FM AB ⋅u u u u r u u u r 进行坐标运算，即可得到定值 【详解】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵焦点()0,1F ，∴211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，∵AF FB λ=uu u r uu r ，∴2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩消λ得22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简整理得()1212104x x x x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， ∵12x x ≠，∴124x x =-，∴221212144x x y y =⋅=.∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r（定值）.（2）抛物线方程为214y x =，∴1'2y x =， ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为()2111124x y x x x =-+和()2222124x y x x x =-+，即211124x y x x =-和222124x y x x =-，联立解出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r 22222121022x x x x -=--=（定值）. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.。

江苏省海安高级中学2018_2019学年高二数学3月月考试题201904220225

江苏省海安高级中学2018_2019学年高二数学3月月考试题201904220225
16
10．【答案】48
6 11．【答案】 3
12． 【答案】{2,8}
47 13． 【答案】 7
14． 【答案】a＞3
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15．【答 案】 (1)整理得 f (x) 2 sin(2x ) ， ……3 分 3
增区间为[k 5 , k 11 ](k Z ) ……6 分
12
12
(2) f ( A) 3 , sin(2A ) 3 , 0 A , 2A 2 ,
32
23
33
2A A ……9 分
33
-3-
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 {an } 中
a1
1, an1


1 3
an
an
n 3n
(n为奇数）
.
(n为偶数）
（1）是否存在实数 ，使数列{a2n -} 是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由；
（2）若 Sn 是数列{an}的前 n 项和，求满足 Sn 0 的所有正整数 n .
在奇数位上，则共可排成多少个五位数？
22．（本小题满分 10 分） 设 f(n)是定义在 N*上的增函数，f(4)＝5，且满足： ①任意 n∈N*，f(n) ∈ Z；②任意 m，n∈N*，有 f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)． （1）求 f(1)，f(2)，f(3)的值；
-6-
（2）求 f(n)的表达式．
在棱 PD 上，且 PE 2ED ．
（1）求证：平面 PCD 平面 PBC ；

2019-2020学年江苏省海安高级中学高二下学期期末考试数学试题 (有答案)

2019-2020学年江苏省海安高级中学高二下学期期末考试数学试题 (有答案)

海安高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一、单项选择题1．已知()312i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A BC ．2D 2．已知全集U R =，集合{}22A x x x =>，则 UA =（ ）A ．[]0,2B ．()0,2C ．(],2-∞D ．(),2-∞3．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（ ） A ．1625B ．48125C ．12125D ．4254．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =5．已知a =，1b =，且()()22a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角余弦值是（ ）A ．2B ．3C ．12-D ．2-6．()()621x x ++展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．55B ．40C ．35D ．157．已知()log m f x x =，其中m =，已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 2a f θθ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f=，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b ≤≤ B ．b c a ≤≤C ．c b a ≤≤D ．a b c ≤≤8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，D 为AB 中点，2PD =，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为（ ）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π二、多项选择题9．下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为210．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是0,2⎡⎤⎣⎦C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM平面11ADD AB ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60︒ D ．1MB MD +512．已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减三、填空题13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示） 14．已知sin sin sin sin 122ππαβαβ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2αβ-=______.15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.16．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1A ，()1,0B ，过平面上一点(),P x y 作直线AB 的垂线，垂足为Q ，且满足：3OQ AB ⋅=，则实数,x y 满足的关系式是______，若点P 又在动圆()()2228x a y a -+++=()*a N ∈上，则正整数a 的取值集合是______. 四、解答题17．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-. （1）求A 的大小；（2）若213a =，且ABC △的 面积为3b c +的值.18．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；②1S ，22S +，3S 成等差数列；③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且______.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的通项公式111n n n n b a a +=-+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一副标准的三角板如图1中，ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，且BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面EMN ；（2）在图2中，若4AC =，二面角E BC A --为直二面角，求直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值.20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成功 接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组 28 8 36 1ml/次剂量组 33 3 36 总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X 表示这2人中接种成功的人数，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++附表：()20P K k ≥0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 0k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点33,⎛⎫⎪ ⎪⎭的“伴随点”为()3,1.（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN △面积的最大值，并深圳市此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-，()221xg x xex =+-.（1）求曲线()y g x =在()()0,0g 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间；（3）若不等式()()f x g x ≤对任意0x >成立，求实数a 的取值范围.2020年期末数学学科测试试卷高二数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ABC 13．120 14．1 15．11216．30x y --=；{}1,217．解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B B B A A B -⋅= 在ABC △中，0B π<<，0C π<< ∴sin 0B ≠，sin 0C ≠∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A += ∴()sin 2sin cos A B C A += 即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又0A π<< ∴3A π=（2）∵13sin 324ABC S bc A bc ===△∴48bc =由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+- ∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+= ∴14b c +=18．解：设等比数列的公比为()0q q >， （1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32424a a a =+-，所以234224q q q =+-，又0q >解得2q =，所以2nn a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即234a a +=，所以2242q q +=，又0q >，解得2q =，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=，则212a q a ==，所以2n n a =. （2）因为2nn a =，()()111122121212121212121nn n n nn nn n nb ++++--==-+--+----11122121212122nn n n n n n+++--==---则12...n n S b b b =+++((2132121212121...2121n n +=--+--++--1211n +=-19．解：（1）证明：设BC 中点为N ，连结MN ，EN . ∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，∵AB BC ⊥， ∴MN BC ⊥，∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点，∴EN BC ⊥， 又MN BC ⊥，MN EN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴BC ⊥平面EMN .（2）由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥， ∴ENM ∠为二面角E BC C --的平面角 又二面角E BC C --为直二面角 ∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -. ∵4AC =，则2AB =，23BC =3NE =由(3E ，()1,0,0M ，则(1,0,3EM =-又()0,3,0B -，()2,3,0A -，(3E ，则(3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则m BE m BA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即0,0m BE m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,x y z =⎧⎪=令1y =，则1z =- ∴()0,1,1m =-为平面的一个法向量设直线EM 与平面ABE 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭36sin cos ,422m EM m EM m EMθ⋅==== 所以直线EM 与平面ABE 620．解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为287369= 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612= ∵117129> ∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好 由22⨯列联表得()2272283833 2.68 3.261113636k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关. （2）X 得可能取值为0，1，2()2121091210854P X ==⨯==()71211291912912108P X ==⨯+⨯=()711772912108P X ==⨯=X 得分布均为X 012P15429108 77108()0125410810810836E X =⨯+⨯+⨯==21．解：因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点33,⎭，伴随圆222x y a +=过点()3,1，所以222331431a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：23b =，∴椭圆E 的方程为22143x y +=；伴随圆的方程为224x y +=. （2）设(),m M m y ，(),n N m y ，则22143m y m +=，224n m y +=； 2211343224OMN n m S m y y m m m =⋅-=--△ ()2222213232344442244m m m m m m --=--=-=-2222342342m m ⎛⎫-+--≤= ⎪⎝⎭当且仅当224m m =-，即2m =±时，等号成立.此时(2,2N ±±. （3）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223463120my mty t +++-=，则()2248340m t =+->△.由韦达定理得：122634mty y m +=-+ ()12121228234tx x my t my t m y y t m +=+++=++=+ 因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以()12122286,,3434t mt OP OA OB x x y y m m -⎛⎫=+=++=⎪++⎝⎭. 又点P 在椭圆E 上，所以()()222222264361434334t m t m m +=++，整理得22434t m =+.在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠.令0x =，得ty m =-，令0y =，得x t =.所以三角形OAB 面积为21134141334328882OAB tm S t m m m m ⎛⎫+=⋅-==+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当243m =，22t =时，等号成立，此时0>△.且有22103m t +=，故所求22m t +的值为103.22．解：（1）()01g =()2222x x g x e xe x '=++∴()01k g '==∴切线的方程为1y x =-（2）()21212x ax f x x a x x -+'=+-=①当280a -≤即2222a -≤2210x ax -+≥在()0,+∞恒成立， 即()0f x '≥在()0,+∞恒成立，则()f x 的增区间为()0,+∞②当280a ->且02a>即22a >令()0f x '>，得2804a a x --<<或284a a x +->令()0f x '<，得228844a a a a x --+-<<∴()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为228844a a a a ⎛-+- ⎪⎝⎭③当280a ->且02a<即22a <-时，2210x ax -+>在()0,+∞恒成立，即()0f x '>在()0,+∞恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增 综上：当22a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当22a >()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为2288a a a a --+-⎝⎭（3）2ln max maxln 1ln 12x x x xe x e x a x x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-当0x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当0x =时，()F x 有极小值也是最小值()10F =∴()()10F x F ≥=，即1x e x ≥+∴ln 2ln 21x x e x x +≥++（令()ln 1F x x x =-+，则()111xF x x x -'=-=当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递减当1x =时，()F x 有极大值也是最大值()10F =∴()()10F x F ≤=，即ln 1x x ≤-∴ln 2ln 2ln 1x x x x e e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e +++≤） ∵()2ln 2ln 1ln 21ln 1ln 12x x xx x xx xe x e x x x ++-+++-+-=≤=-当且仅当ln 20x x +=取等号， ∴2maxln 12xx xe x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，a≥-∴2。

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学(含答案)

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学(含答案)

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB ＝×d |AB |＝ו＝＝2＝16，∴4k 2+32＝64，解得k ＝±2所以直线方程为：y ＝±2x +4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴ . ∴. 所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试三数学试题

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试三数学试题

13．已知向量
a,
b,
c
满足
a

b

c

0
且
a
与
b
的夹角的正切为

1 2
，
b
与
c
的夹角的
正切为

1 3
，
|
b
|
2
，则
a

c
的值为___________.
14．已知 f (x) m(x 2m)(x m 3), g(x) 2 x 2 ，若同时满足条件：
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
21．已知二阶矩阵
，矩阵 属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值 t 的一个特征向量为
.求矩阵 .
22．在极坐标系中，已知
A
1,
3

,
B

9,
3

，线段
AB
的垂直平分线
l
与极轴交于点
C
，
求 l 的极坐标方程及 ABC 的面积．
24．如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知棱 AB ， AD ， AP 两两垂直，长度分别为 1，


2，2.若 DC AB （ R ），且向量 PC 与 BD 夹角的余弦值为
15 .
15
① x R, f (x) 0 或 g(x) 0 ；② x (, 4), f (x)g(x) 0 .则 m 的取值范围是
________________.
评卷人 得分

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 含解析

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 含解析

高二年级期初检测数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}10,A x x x Z =+>∈，集合{}20B x x =-≤，则A B =I （ ） A. ()1,2- B. (]1,2- C. {}1,0,1,2- D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合A ，B ，利用交集的定义即可求出A B I 【详解】由题可得：{}1,A x x x Z =>-∈，{}2B x x =≤， 所以{}0,1,2A B =I 故答案选D【点睛】本题考查集合交集的定义，属于基础题。

2.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α=5 B. 525D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值． 【详解】解：角α的终边经过点()2,1P -， 则sin α()225512==--+，故选：B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.已知函数()21,0,log 3,0,x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩＜＞则()()1162f f -⋅=（ ）A. 3B. 1C. 1-D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭和()16f 即可。

【详解】由于函数()21,0,log 3,0,x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩＜＞，所以112122f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭-，()216log 163421f =-=-=，则()11622f f ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭， 故答案选D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查学生的计算能力，属于基础题。

4.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. ±1D. 32-【答案】C 【解析】由两直线11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=垂直充要条件12120A A B B +=得：2(2)(1)(1)(23)01,1a a a a a a +-+-+=⇒==± ，选C.5.ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B +=,则B ∠=（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】试题分析：针对sin sin sin sin a A c C C b B +=利用正弦定理边角互化可得222a cb +=，即222a cb +-=，所以222cos 2a c b B ac +-===，所以4B π=.考点：本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.6.下列命题正确的是（ ）A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 经过一条直线和一个点确定一个平面D. 经过三点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点，故可以确定一个平面； 对于B:如果空间四边形，可以确定多个平面； 对于C:点在线上，就确定多个平面； 对于D:三点共线，能确定多个平面。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题及答案

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题及答案

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=，故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a =，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的(π23x -()π4f =4sin 42π=.故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______.1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩，解得1x ≥．因此实数x1．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积．【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r 的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u ru u ur u uu r r r r， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B CA B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin 10C =，由正弦定理可得2sin135︒==r r，即有c a ==r r ，则4||||cos 455525a c c a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r 和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c . 【答案】(1) 3C π=(2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u rQ ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r则||AC ==u u u rAC =因为ABC V 的面积为，所以1sin 2CA CB C ⋅=即1sin 23π⨯=解得CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅22122=+-⨯54=，所以AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD． (7)分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD． (2)分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD． (5)分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． (10)分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点6⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P .（i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()20124828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n ＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ； （2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+②①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===， 41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③，由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间； （2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x =，列表分析min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e'=-=-，①若1a e ≤-则()ln 0af x x x'=-≥， 故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->，因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1(*)x x >-， 所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(,22A ，AB k故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u r u u u r （R λ∈），且向量PC uuu r 与BD u u u r .（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出,PC u u u r ，BD u u u r 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，根据n PC n DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u r r u r ，进而得到00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u r r u r n PC n DC ，从而求出n r ，向量PB u r 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos ,n PB <>r u r ，从而得PB 和平面PCD 所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0⋅=r u u u r n PC ，0⋅=r u u u r n PD ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-u u u r ，故10cos ,=⋅=u u u r r PB n PB n ，所以直线PB 与平面PCD 10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为1515225n n n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N ∈，记1212n n n S C a C a =++…n n n C a +.（1）求1,S 2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除.【答案】(1) 11S =；23S =； (2) {}*|3,n n k k N =∈ 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值； （2）通过化简得到213n n n S S S ++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛⎫+⎢ =⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎣…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-+⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦ 1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=+-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 35355n n ⎡⎤+-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即有1S1==；2S33==；（2）3322nnS n⎡⎤⎛⎛-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，2332222nS n n+⎡⎤⎛⎛+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦333333222222n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎛⎛--⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦13n nS S+=-，即213n n nS S S++=-，*n N∈，因此2nS+除以8的余数，完全由1,n nS S+除以8的余数确定，因为11,a=21a=，所以11111S C a==，12221223S C a C a=+=，3213918S S S=-=-=，432324321,S S S=-=-=543363855S S S=-=-=，654316521144,S S S=-=-=7535643255377S S=-=-=，87631131144987,S S S=-=-=987329613772584S S S=-=-=由以上计算及213n n nS S S++=-可知，数列{}n S各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S除以8的余数等价于n除以3的余数，所以3,n k=*k N∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。

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2019-2020学年江苏省南通市海安高级中学高二下学期3月线上考试数学试题一、单选题1．若集合{}2320A x x x =-+＞，{}12B x x =-＜，则A B =I （ ） A ．()1,1- B ．()2,3C ．()1,3-D ．()()1,12,3-U【答案】D【解析】化简集合,A B ，按交集定义即可求解. 【详解】{}2320(,1)(2,)A x x x =-+=-∞⋃+∞＞， {}12(1,3),(1,1)(2,3)B x x A B =-=-⋂=-⋃＜.故选:D. 【点睛】本题考查交集的运算，以及不等式的解法，属于基础题.2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．命题“20,0x x x ∃≤->”的否定是（ ） A ．20,0x x x ∀>-≤ B ．20,0x x x ∀≤-≤ C ．20,0x x x ∃>-≤ D ．20,0x x x ∃≤-≤【答案】B【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题“20,0x x x ∃≤->”的否定是20,0x x x ∀≤-≤ 【考点】全称命题与特称命题4．已知抛物线C ：22y px =（p ＞0）的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若233PT PF =，则∠PTF ＝（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．75o【答案】A【解析】过点P 做抛物线准线的垂线，垂直为P '，根据抛物线的定义，结合条件，可求出P PT '∠，而P PT '∠=PTF ∠，即可求解. 【详解】过点P 做抛物线准线的垂线，垂足为P '，2323||||,||33P P PF PT PF P P ''===， 在Rt PP T 'V 中，||3cos ||2P P P PT PT ''∠==， ,66P F P PT P T PT ππ''∴∠∠∠=∴==.故选:A.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，正确理解抛物线的点到准线和到焦点的距离相等，是解题的关键，属于基础题.5．已知()π3cos 45α-=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．725B ．725-C ．425D ．425-【答案】C【解析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解. 【详解】sin cos )sin()44ππαααα-=-=-，5π3ππ4,π,π23co 4s 4,,4πααα⎛⎫⎛⎫∈-∈-⎝⎛⎪⎫-= ⎪⎝⎪ ⎝⎭- ⎭⎭，ππ,,sin 44π4245παα⎛⎛⎫-∈--∴ ⎪⎝⎭⎫-==- ⎪⎝⎭，sin cos sin()45πααα∴-=-=. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.6．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D【解析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，$$ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.7．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．1310【答案】D【解析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=，当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=，14m n +最小值为1310. 故选:D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.8．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】A【解析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.9．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC D【答案】C【解析】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，根据切线的性质可得1OT PF ⊥，且||OT a =，再由212PF PF =和双曲线的定义可得12||2,||4PF a PF a ==，得出T 为1F P 中点，则有2//OT PF ，得到21PF PF ⊥，即可求解. 【详解】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，11,||OT PF FT a ∴⊥== 2121212,2,4,2PF PF PF PF a PF a PF a =-===，所以T 是1F P 中点，212//,OTPF PF PF ∴∴⊥，22221212||||20||4PF PF a F F c ∴+===，225,c e a=∴=. 故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.10．已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】作出图形，在正三棱锥S ABC -中，求得AE 23=，进而得到三棱锥的高6SE =，再在直角三角形AOE 中，利用勾股定理列出方程，求得球的半径，最后利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则2362332AE =⋅⋅=，所以三棱锥的高2222(43)(23)6SE SA AE =-=-=,又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(23)(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的表面积为2464S R ππ==， 故选D.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，以及组合体的性质的应用，其中在直角三角形AOE 中，利用勾股定理列出方程求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、多选题11．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，常结合特值法解题，属于基础题．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u v u u u v，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+u u u v u u uv u u u vB ．1133AF AB AD =+u u u v u u u v u u u vC ．2133BF AB AD =-+u u u v u u uv u u u vD ．1263CF AB AD =-u u u v u u u v u u u v【答案】ABC【解析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题． 【详解】解：∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u ur u u u r ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u vu u uv 1133AB AD =+u u u v u u u v ，B 对； ∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u r u u u r u u u r BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD=--u u uv u u u v ，D 错； 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题． 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ） A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD【解析】设0x >，则0x -<，则由题意得()()1xf x ex --=-+，根据奇函数()()f x f x -=-即可求出解析式，即可判断A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断B 、C 两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D 选项． 【详解】解：（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1xex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对； （3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； （4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1ee --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．三、填空题14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知52a =-，3213S a a =+，则1a =_______.【答案】12-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，将已知条件等式转化为1,a q 关系式，求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2321313,2,2S a a a a q =+=∴=，1541112,42a a a q a ∴=-=-==. 故答案为:12-. 【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题. 15．在△ABC 中，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =_______. 【答案】4【解析】利用正弦定理将cos cos sin A B Ca b c+=化为角，得到tan ,tan A B 关系，再由 22265b a a bc +-=，求出cos A ，进而求出tan A ，即可求出结论.【详解】22222263,cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=∴==Q ，440,sin ,tan 253A A A π∴<<∴==∴=，cos cos sin A B C a b c+=，由正弦定理得 cos cos sin 111,1sin sin sin tan tan A B C A B C A B +==∴+=， 1311,tan 4tan 44B B =-=∴=. 故答案为:4. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查同角间的三角函数关系求值，属于中档题. 16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p =13【解析】利用抛物线的定义可得8p =，设直线l 的方程为4x my =+，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1114MF NF +=，代入到49NF MF-，再根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NF MF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-4?19NF NF ≥13=， 当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题． 17．在△ABC 中，∠BAC ＝60o ，AD 为∠BAC 的角平分线，且1344AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，若AB ＝2，则BC ＝_______.【答案】【解析】由1344AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，求出,BD CD 长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC 边，再由余弦定理，即可求解. 【详解】1313,()()4444AD AC AB AD AC AB AD =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,3,3CD DB CD DB =∴=u u u r u u u r，1sin 212sin 2ADC ADBAC AD CADS CD AC AC S BD AB AB AD BAD ⋅⋅∠∴====⋅⋅∠V V ， 2226,2cos 402628AC BC AB AC AB AC BAC ==+-⋅⋅∠=-⨯=，BC =故答案为:. 【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.四、解答题18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()24sin 2CA B +=.（1）求cos C ；（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD的面积为sin ∠ADB .【答案】（1）17；（2【解析】（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角2C关系式，求出tan 2C ，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在ACD V 中，根据面积公式求出CD 长，根据余弦定理求出AD ，由正弦定理求出sin ADC ∠，即可求出结论.【详解】（1()224sin cos 4sin 2222C C CC A B +==，0,sin 0,tan 22222C C C π<<∴>∴=Q ， 22222222cos sin 1tan 1222cos cos sin 227cos sin 1tan 222C C CC C C C C C --=-===++； （2）在ACD V 中，由（1）得sin 7C =，17327ACD S CD CD =⨯⨯⨯=∴=V ，由余弦定理得22212cos 499273527AD b CD b CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，AD ∴=ACD V 中，7,sin sin sin AD AC ADC C ADC ⨯=∴∠==∠sin sin 13ADB ADC ∴∠=∠=. 【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得112m <<+， 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．20．已知()ln 1f x m x x =+-（m R ∈且m 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的()0,m ∈+∞，都存在()0,x ∈+∞，使得()x f x e k ≥+（其中e 为自然对数的底数），求实数k 的取值范围.【答案】（1）当0m ≥时，()f x 递增区间是(0,)+∞，无递减区间，当0m <时，()f x 递增区间是(,)m -+∞，递减区间是(0,)m -；（2）k e <-.【解析】（1）求出()f x '，对m 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，就可得出结论；（2）设()ln 1,0x g x m x x e x =+-->，所求的问题转化为max ()g x k >，通过求导数法，求出()g x 取最大值时自变量0x 与m 的关系，而对任意的()0,m ∈+∞都成立，将m 用0x 表示，构造新函数，再求导求出新函数的最小值，即可求出结论.【详解】（1）()ln 1f x m x x =+-的定义域为(0,)+∞， ()1m x m f x x x+'=+=，当0m ≥时，()0f x '>恒成立，当0m <时，()0,,()0,0f x x m f x x m ''>>-<<<-， 综上，当0m ≥时，()f x 递增区间是(0,)+∞，无递减区间， 当0m <时，()f x 递增区间是(,)m -+∞，递减区间是(0,)m -； （2）设()()ln 1,0x x g x f x e m x x e x =-=+-->，依题意max ()g x k >，()1x m g x e x '=+-，令2()()1,()x x m mw x g x e w x e x x''==+-=--， 0,()0,(0,)m w x x '>∴<∈+∞Q 恒成立，()w x 在(0,)+∞是减函数，即()g x '在(0,)+∞是减函数，0,()x g x '→→+∞，,()x g x '→+∞→-∞，存在唯一0(0,)x ∈+∞，使得00()g x '=，当00(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈>∈+∞<，()g x ∴递增区间是0(0,)x ，递减区间是0(,)x +∞，0,()x x g x ∴=取得极大值，也是最大值为0()g x ，0000()ln 1x g x m x x e k ∴=+-->，对于对任意的()0,m ∈+∞恒成立，其中00x >，000xm x e x =-，即00000000()ln ln 1xx g x x e x x x x e k =-+-->，对于对任意的0(0,)x ∈+∞恒成立，设()ln ln 1,(0,)x xh x xe x x x x e x =-+--∈+∞，min ()h x k ∴>，()(1ln )ln 1ln 1x x x h x x e x x e x e '=++⋅--+- ln (1),0x x x e xe x =+->Q 时，10x e ->，10x x e xe +->，当(0,1),()0,(1,),()0x h x x h x ''∈<∈+∞>，1x ∴=时，()h x 取得极小值，也是最小值，即min ()(1),h x h e k e ==-∴<-. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、存在成立、恒成立，解题的关键要不断构造函数，考查计算求解能力和逻辑推理能力，是一道难题.21．已知抛物线24y x =的准线过椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点F ，且点F 到直线l ：2a x c=（c 为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 做直线与椭圆C 交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，线段AB 的中垂线交直线l 于点Q .若2PQ AB =，求直线AB 的方程.【答案】（1）22132x y +=；（2）10x ++=或10x +=. 【解析】（1）由抛物线的准线方程求出c 的值，确定左焦点F 坐标，再由点F 到直线l ：2a x c=的距离为4，求出a 即可； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程. 【详解】（1）抛物线24y x =的准线方程为1,(1,0)x F =-∴-，1c ∴=，直线2:l x a =，点F 到直线l 的距离为214a +=，2212,a b a b ∴==-=∴=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）依题意AB 斜率不为0，又过点F ，设方程为1x my =-，联立221236x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 得，22(23)440m y my +--=， 2221616(23)48(1)m m m ∆=++=+，设1122(,),(,)A x y B x y ，0012122244(,),,2323m P x y y y y y m m +==-++， 120002223,122323y y m y x my m m +===-=-++，||AB ====， 线段AB 的中垂线交直线l 于点Q ，所以Q 横坐标为3，2022)||3|23m PQ x m +=-=+，2PQ AB =Q ，22)m +=，平方整理得423440m m --=，解得22m =或223m =-（舍去），m ∴=所求的直线方程为10x ++=或10x +=. 【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.22．在以ABCDEF 为顶点的五面体中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝AE ＝ED ＝2EF ，EF //AB ，点G 为CD 中点，平面EAD ⊥平面ABCD .（1）证明：BD ⊥EG ；（2）若三棱锥12E FBC V -=，求菱形ABCD 的边长.【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】（1）取AD 中点O ，连,OE OG ，可得OE AD ⊥，结合平面EAD ⊥平面ABCD ，可证OE ⊥平面ABCD ，进而有OE BD ⊥，再由底面是菱形可得AC BD ⊥，可得OG BD ⊥，可证得BD ⊥平面EOG ，即可证明结论；（2）设底面边长为a ，由EF //AB ，AB ＝2EF ，1122E FBC A FBC E ABC V V V ---==，求出体积，建立a 的方程，即可求出结论. 【详解】（1）取AD 中点O ，连OE ，底面ABCD 为菱形，AB AD AE ED ===，OE AD ∴⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD I 平面,ABCD AD OE =⊂平面ADE ，OE ∴⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD OE BD ∴⊥，Q 底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， Q G 为CD 中点，//,OG AC OG BD ∴⊥，,,OG OE O OG OE =⊂I 平面EOG ，BD ⊥平面,EOG EG ⊂平面EOG ，BD EG ∴⊥；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，则32OE =， //,2EF AB AB EF =Q ，11112222E FBC A FBCF ABC E ABC V V V V ----∴====，321133133248E ABCABC a a V OE S a -=⨯⨯=⨯⨯==V ， 2a ∴=，所以菱形ABCD 的边长为2.【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题. 23．设函数()1xf x e ax =--（a R ∈）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的方程()ln 11ax a x ++=+有唯一的实数解，求a 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 递增区间时(,)-∞+∞，无递减区间，当0a >时，()f x 递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞；（2）0a ≤或1a =.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，先考虑()0f x '≥（或()0f x '≤）恒成立a的范围，并以此作为a 的分类标准，若不恒成立，求解(),()0f x f x ''><，即可得出结论；（2）()ln 11ax a x ++=+有解，即1(1)10x e a x +-+-=，令1,()0t x f t =+=，转化求函数()0f x =只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解. 【详解】（1）()1,()xxf x e ax f x e a '=--=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<， 综上，当0a ≤时，()f x 递增区间时(,)-∞+∞，无递减区间， 当0a >时，()f x 递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞；（2）()1ln 11(1)10x ax a x e a x +++=+⇔=++>， 1(1)10x e a x +⇔-+-=令1x t +=，原方程只有一个解，只需()0f t =只有一个解， 即求()1xf x e ax =--只有一个零点时，a 的取值范围，由（1）得当0a ≤时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增， 且(0)0f =，函数只有一个零点，原方程只有一个解1-，当0a >时，由（1）得()f x 在ln x a =出取得极小值，也是最小值， 当1a =时，min ()0f x =，此时函数只有一个零点， 原方程只有一个解1-， 当0a >且1a ≠递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞；(ln )(0)0f a f <=，当,()x f x →-∞→+∞， ,(),()x f x f x →+∞→+∞有两个零点，即原方程有两个解，不合题意， 所以a 的取值范围是0a ≤或1a =. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.。

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