两条直线平行与垂直

错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下 才有 错因分析 只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有 只有两条直线的斜率都存在的情况下 l1⊥l2k1•k2=-1,本题中直线 2的斜率存在 而l1的斜率不 本题中直线l 本题中直线 的斜率存在,而 一定存在,因此要分 的斜率存在与不存在两种情况解答. 一定存在 因此要分l1的斜率存在与不存在两种情况解答 因此要分
1.下列命题 下列命题 则它们平行; ①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行 如果两条不重合的直线斜率相等 则它们平行 则它们的斜率相等; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等 如果两直线平行 则它们的斜率相等 则它们垂直; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直 如果两直线的斜率之积为 则它们垂直 则它们斜率之积为-1. ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为 如果两直线垂直 则它们斜率之积为 其中正确的为( 其中正确的为 A.①②③④ ①②③④ C.②④ ②④ ) B.①③ ①③ D.以上全错 以上全错
规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法 规律技巧 利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 利用图形的几何性质解题是一种重要的方法
变式训练3 :已知四边形ABCD的顶点为A(2, 2 + 2 2), B(−2, 2), C (0, 2 − 2 2), D(4, 2), 求证四边形ABCD为矩形.
2 −1
1 − (−1) 1 =− 1− 5 2

,
=2,
∴kAB·kBC=-1. ∴AB⊥BC.故△ABC是以 为直角顶点的直角三角形. ⊥ 故 是以B为直角顶点的直角三角形 是以 为直角顶点的直角三角形 答案:D 答案
5.已知 1⊥l2,直线 1的倾斜角为45°,则直线 已知l 直线l 的倾斜角为 ° 则直线 已知 直线 l2的倾斜角为( 的倾斜角为 A.45° ° C.-45° ° ) B.135° ° D.120° °
2 2 解 : k AB = , kBC = − 2, kCD = , kAD = − 2. 2 2 ∴ k AB = k CD , k BC = k AD ,∴ AB//CD, BC//AD. ∴四边形ABCD为平行四边形. 2 又k AB k BC = ( − 2 ) = −1,∴ AB ⊥ BC. 2 ∴四边形ABCD为矩形.
答案:A 答案
4.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是 以 为顶点的三角形是 ( ) A.锐角三角形 钝角三角形 锐角三角形B.钝角三角形 锐角三角形 C.以A为直角顶点的直角三角形 以 为直角顶点的直角三角形 D.以B为直角顶点的直角三角形 以 为直角顶点的直角三角形
解析:k 解析 AB= kBC= 3 − 1
易错探究
已知直线l 例4:已知直线 1经过点 已知直线 经过点A(3,a),B(a-2,3),直 直 经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a 线l2经过点 若 求 的值. 的值
3− a a −5 错解 : l1 ⊥ l2 ,∴ k1 k 2 = −1.又k1 = Q , k2 = , a −5 −3 3− a a −5 ∴ = −1, a − 5 −3
,l2经过点 经过点A(1,1),B(0,-
);
(2)l1的倾斜角为 °,l2经过点 的倾斜角为45° 经过点P(-2,-1),Q(3,-5); (3)l1经过点 经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点 经过点R(-6,0),S(-1,3).
A.(1)(2) C.(2)(3)
B.(1)(3) D.(1)(2)(3)
解析:由 解析 由l1⊥l2及k1=tan45°=1,知l2的斜率 ° 知 k2=-1,∴l2的倾斜角为135°. ∴ 的倾斜角为 ° 答案:B 答案
6.满足下列条件的 1与l2,其中 1⊥l2的是 满足下列条件的l 其中l 的是( 满足下列条件的 其中 (1)l1的斜率为 的斜率为2 3
)
1 2
变式训练2: 变式训练 已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11). 已知四点 求证:AB⊥CD. ⊥ 求证
6−3 3 11 − (−4) 5 证明 :由斜率公式, 得k AB = = .kCD = =− . 10 − 5 5 −6 − 3 3 则有k AB k CD = −1, 所以AB ⊥ CD.
2.两直线垂直的判定 两直线垂直的判定 (1)当两直线 1与l2斜率都存在时 有 当两直线l 斜率都存在时,有 当两直线 k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为 当一条直线斜率为0, ⇔ 当一条直线斜率为 另一条直线斜率不存在时,也有 1⊥l2. 另一条直线斜率不存在时 也有l 也有 (2)若l1⊥l2,则有 1•k2=-1或一条直线斜 若 则有k 则有 或一条直线斜 率不存在,同时另一条直线的斜率为零 率不存在 同时另一条直线的斜率为零. 同时另一条直线的斜率为零
提问: 提问
平面内两条不重合的直线的位置 平面内两条不重合的直线的位置 不重合 关系有哪几种？ 关系有哪几种？
平行
相交
两条不重合的直线的倾斜角相等， 两条不重合的直线的倾斜角相等， 倾斜角相等 这两条直线的位置关系如何？ 这两条直线的位置关系如何？
y y
α
0
α
x 0 x
倾斜角:α 倾斜角
y
倾斜角:00 倾斜角
解析:当 两直线平行或重合,所以 解析 当k1=k2时,两直线平行或重合 所以①不成立 两直线平行或重合 所以①不成立. 斜率可能不存在,所以不成立 在②中,斜率可能不存在 所以不成立 斜率可能不存在 所以不成立. 而直线也可能重合,所以不成立 在④中,而直线也可能重合 所以不成立 而直线也可能重合 所以不成立. 因此,只有③正确 因此 只有③正确. 只有 答案:A 答案 规律技巧:判定两条直线的位置关系时 一定要考虑特殊情况 规律技巧 判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况 判定两条直线的位置关系时 一定要考虑特殊情况, 如两直线重合,斜率不存在等 一般情况都成立 如两直线重合 斜率不存在等.一般情况都成立 只有一种特殊 斜率不存在等 一般情况都成立,只有一种特殊 情况不成立,则该命题就是假命题 情况不成立 则该命题就是假命题. 则该命题就是假命题
结论: 两条直线都有斜率而且不重合， 如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们的斜率相等，那么它们 平行，即
L1 // L2 ⇔ k1 = k 2 (两直线有斜率)
2.k1和k2都存在情况下的垂直 y
l2
l1
α1
O
α
2
x
k 2 = tan α 2 = tan(90 + α1 )
0
1 1 =− =− ⇒ k1 • k 2 = −1 tan α1 k1
下列说法中正确的有( 例1:下列说法中正确的有 下列说法中正确的有 ②若l1∥l2,则k1=k2. 则
)
则两直线平行. ①若两条直线斜率相等,则两直线平行 若两条直线斜率相等 则两直线平行 ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一 若两直线中有一条直线的斜率不存在 另一 条直线的斜率存在,则两直线相交 条直线的斜率存在 则两直线相交. 则两直线相交 则两直线平行. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行 若两条直线的斜率都不存在 则两直线平行 A.1个 个 C.3个 个 B.2个 个 D.4个 个
3.若直线l经过点(a − 2, −1)和 ( −a − 2, 1) , 且与经过点 2 ( −2, 1) , 斜率为 − 的直线垂直, 则实数a的值是 ( ) 3 2 3 2 3 A. − B. − C. D. 3 2 3 2 1 − (−1) 1 解析 : 直线l的斜率为 =− , −a − 2 − (a − 2) a 1 2 2 依题意得 − (− ) = −1,∴ a = − . a 3 3
2 3 (1)k1 = − , k 2 = ⇒ k1k 2 = −1 3 2 ⇒ l1 ⊥ l2
4 k1 = tan 45 = 1, k 2 = − 5
0
答案:B 答案
7.经过点 经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜 经过点 ､ ､ 的直线与倾斜
-6 角为45°的直线垂直 则 角为 °的直线垂直.则a=________.
a 2 + 1 − (−2) a2 + 3 解 : 设直线l2的斜率为k 2 , 则k 2 = =− . 0 − 3a 3a 3 3 a2 + 3 Q l1 ⊥ l2 , 且k1 = ,∴ k1 k 2 = −1,∴ × = 1, 4 4 3a
即a2-4a+3=0, 解得a=1或a=3. 解得 或
答案:B 答案
2.已知点 已知点A(1,2),B(m,1),直线 与直线 直线AB与直线 已知点 直线 y=0垂直 则m的值为 垂直,则 的值为 的值为( 垂直 A.2 C.0 ∴m=1. 答案:B 答案 B.1 D.-1 )
解析:由题意知直线 垂直 斜率不存在, 解析 由题意知直线AB垂直 轴,斜率不存在 由题意知直线 垂直x轴 斜率不存在
5−a 正解:由题意知直线 2的斜率k2= 正解 由题意知直线l 的斜率 存在, 存在 由题意知直线 3 3 − a 不存在时 的斜率k 不存在时,a=5,此时 2=0, 此时k 当l1的斜率 1= 此时
∴l1⊥l2. ∴
3− a 5− a × a −5 3
a −5
的斜率存在时,由 当l1的斜率存在时 由l1⊥l2⇒k1•k2=-1, =-1,解得 解得a=0, 解得 综上知,a的值为 或 综上知 的值为5或0. 的值为
2 : k PQ = . 7 3m − 2 k AB = . −2 − 2m (1) Q AB / /PQ.∴ k PQ = k AB 3m − 2 2 2 ∴ = ,⇒ m = . 5 −2 − 2 m 7
( 2 ) AB ⊥ PQ ⇒ k pQ k AB