微积分习题解答(第二章)
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微积分习题解答（第二章）
1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
()()11120,
,0,
,0,
,2
4
6
1
112n
n u n ⎡⎤=
+-⎣⎦
解：一般项
该数列收敛，其极限为零。
()
()
1111
3,,,,261220
11n u n n =
+ 解：一般项
该数列收敛，其极限为零。
()2
510172642,
,,,,2345
1n n u n
+=
解：一般项
该数列发散。
3.利用定义证明下列极限；
()n
n
n
n
n -11lim 0
60-110661
ln ln 6
1ln 1,ln 6-106-1lim 0
6n n n N n N εε
ε
εε→∞
→∞
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
>⎛⎫⎛⎫
-=< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
>
⎡
⎤⎢⎥=+>⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
证明：对于任给，要使
只要
取正整数当时
总有不等式
成立
(
)2
23lim
010111,0lim
n n n N n N εε
ε
εε→∞
→∞
=>-=
<>
⎡⎤
=
+>⎢⎥⎣⎦
-<∴=证明：对于任给，要使
只要
取正整数
当时
总有不等式
成立
4.试判断下列论点断是否正确。
()()
()1,
,lim 1111
1lim
01
n n n n n u A u A n
n
n n
→∞
→∞
-=⨯--=
+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如
随着越大，而越加接近零，但
()()
{}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u A
u u u A
ε
εεε→∞
→∞
>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，
则有 正确
设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式
满足
()()
{}5s in s in n n n u n
u n u ⨯==≤有界数列必定收敛
错误 例如
显然1，但发散
6．利用定义证明下列极限：
()()
()()()()1
1
1lim 312
0312311,3
312lim 312
x x x x x x x x εε
ε
δδε
→→-=>--
=-<=
<-<--
<-=证明：对于任意给定的，要使
只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知
()
3lim ln 0ln 0,ln lim ln x M
M
x x M x M x e
e
x x M
x δδ+
+
→--→=-∞
>∴<-⇒<<=<<<-=-∞
证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使
只需取，则当0时总有
成立，于是，由极限定义可知
()14lim
21
2
011121
221
1,121
2
1lim
21
2
x x x x x x x x X x x
x x x εε
ε
ε
→∞
→∞
=
+>-=
<<++=
-<+=
+证明：对于任意给定的，要使
只需取，则当>X 时总有
成立，于是，由极限定义可知
()
()()5lim 0
0010ln 01,ln 0,lim 0
x
x x
x
x
x
x
x e
e e
e x x X e
e
εεε
εεεεε
→-∞
→-∞
=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使
只需取，
取正数X =-l n ,则当>X 时总有
成立，于是，由极限定义可知
7。指出下列变量当?x →时，是无穷小量：
()
2
2
2
1
2111
11lim
0,lim
11
11,1
x x x x x x x x x x x x →→∞
-+--==++-∴→→∞+ 解：变量当或时是无穷小量。