微积分习题解答(第二章)

微积分习题解答（第二章）

1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。

()()11120,

,0,

,0,

,2

4

6

1

112n

n u n ⎡⎤=

+-⎣⎦

解：一般项

该数列收敛，其极限为零。

()

()

1111

3,,,,261220

11n u n n =

+ 解：一般项

该数列收敛，其极限为零。

()2

510172642,

,,,,2345

1n n u n

+=

解：一般项

该数列发散。

3.利用定义证明下列极限；

()n

n

n

n

n -11lim 0

60-110661

ln ln 6

1ln 1,ln 6-106-1lim 0

6n n n N n N εε

ε

εε→∞

→∞

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

>⎛⎫⎛⎫

-=< ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

>

⎡

⎤⎢⎥=+>⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭

证明：对于任给，要使

只要

取正整数当时

总有不等式

成立

(

)2

23lim

010111,0lim

n n n N n N εε

ε

εε→∞

→∞

=>-=

<>

⎡⎤

=

+>⎢⎥⎣⎦

-<∴=证明：对于任给，要使

只要

取正整数

当时

总有不等式

成立

4.试判断下列论点断是否正确。

()()

()1,

,lim 1111

1lim

01

n n n n n u A u A n

n

n n

→∞

→∞

-=⨯--=

+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如

随着越大，而越加接近零，但

()()

{}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u A

u u u A

ε

εεε→∞

→∞

>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，

则有 正确

设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式

满足

()()

{}5s in s in n n n u n

u n u ⨯==≤有界数列必定收敛

错误 例如

显然1，但发散

6．利用定义证明下列极限：

()()

()()()()1

1

1lim 312

0312311,3

312lim 312

x x x x x x x x εε

ε

δδε

→→-=>--

=-<=

<-<--

<-=证明：对于任意给定的，要使

只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知

()

3lim ln 0ln 0,ln lim ln x M

M

x x M x M x e

e

x x M

x δδ+

+

→--→=-∞

>∴<-⇒<<=<<<-=-∞

证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使

只需取，则当0时总有

成立，于是，由极限定义可知

()14lim

21

2

011121

221

1,121

2

1lim

21

2

x x x x x x x x X x x

x x x εε

ε

ε

→∞

→∞

=

+>-=

<<++=

-<+=

+证明：对于任意给定的，要使

只需取，则当>X 时总有

成立，于是，由极限定义可知

()

()()5lim 0

0010ln 01,ln 0,lim 0

x

x x

x

x

x

x

x e

e e

e x x X e

e

εεε

εεεεε

→-∞

→-∞

=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使

只需取，

取正数X =-l n ,则当>X 时总有

成立，于是，由极限定义可知

7。指出下列变量当?x →时，是无穷小量：

()

2

2

2

1

2111

11lim

0,lim

11

11,1

x x x x x x x x x x x x →→∞

-+--==++-∴→→∞+ 解：变量当或时是无穷小量。