微积分习题解答(第二章)
微积分及其应用第二章习题解答
（4）已知函数 连续，求参数a,b.
解(1)要使 在 处连续，则
又由于
从而
(2)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
(3)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
(4)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.
证明，令 易见 在区间 上连续，且
则由根值存在定理可知存在 使得 即证方程 有非零根
5证明方程 至少有一个正根.
证明令 易见 在区间 上连续，且
则由根值存在定理可知存在 使得 即证方程 至少有一个正根.
复习题二
1已知 ，证明 .
证明：由于 ，即对任给的 当 时，有
则对上面给定的 当 时，有
即证 .
2设 ，在极限过程 下，当a,b为何值时 为无穷小？a,b为何值时 为无穷大？
(3)由于 ，函数仅在 处没有定义，且
故只需令 即可使函数在 处连续.
(4)由于 ，函数仅在 处没有定义，且
故只需令 即可使函数在 处连续.
3计算下列极限：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；
解(1)
(2)令 则 则
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
4证明方程 有非零根.
（3）
解：（1）易见 故 或 时，函数为无穷小.
故 时，函数为无穷大.
（2）易见 故 ， 时函数为无穷小.
（3） 故 时函数为无穷小.
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第二章
ne
所以，由夹逼定理得
t
（2）因为 0
2n 2 2 2 2 2 4 4 ，而且 lim 0 ， n n n! 1 2 3 n 1 n n
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又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
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第二章
习题 2-1 1. 证明：若 lim xn=a,则对任何自然数 k，有 lim xn+k=a.
n n
证：由 lim xn a ，知 0 ， N1 ，当 n N1 时，有
n
xn a
lim xn 0
n
n.
即 xn 0
2. 证明：若 lim xn=a,则 lim ∣xn∣=|a|.考察数列 xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
ne
由数列极限的定义得
lim xn k a .
t
1
xn k a
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n
由 xn yn M 及 yn 1 得， xn yn M y1 M ，
于是，数列 xn 是单调递增有上界的数列， yn 是单调递减有下界的数列，所以它
习题 2-2
x x0
1. 证明： lim f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.
取 N N1 k ，有 0 ， N ，设 n N 时（此时 n k N1 ）有
x
n
n
微积分2参考答案
参考答案及提示第一章 函数习题一1、（1）-1、2、-3. （2）-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解：∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.（3） 解：由题意有：⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .（3）∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.（4）∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解：由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ，∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、（1）uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、（1）47-=x y . （2）1)1(2-+=x x y . （3）2arcsin31x y =. （4）21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、（1）,8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解：由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ，且342lg 1))7((+=-f f .3、解：令t x =ln ，即te x =，则ttee tf )1ln()(+=，∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解：11)()(9333+=+=x x x f ， 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明：∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解：由题知：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x ， ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、（1）3231,1615,87,43,21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2（3）5sin 51,82,63,21,0π（4）,!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ，!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛3、（1）证明：对0>∀ε，]1[ε=∃N ，当Nn >时，ε<+=-+1111n n n ，则11lim =+∞→n n n ；（2）证明：对0>∀ε，]11[2+=∃εN ，当N n >时，ε<=-nn111，则01l i m=∞→nn .4、（1）2 （2）∞+ （3）∞- （4）∞ （5）∞+ （6）0 （7）∞ （8）0（9）不存在 （10）∞- （11）不存在 （12）不存在 （13）0 （14）∞ 5、提示：用左右极限来证. 证明：∵1lim lim==++→→x x x xx x ，1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim，即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ，,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，∴)(lim 1x f x →不存在.7、（1）证明：对0>∀ε，01>=∃εM ，当M x >时，ε<=-xx101，则01lim=∞→xx ；（2）证明：对0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<--)2(x 时，ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、（1）（2）（4）是无穷小. 9、（1）xsinx 是无穷小，x25是无穷大 （2）10,52x x-是无穷小，xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时，f(x)是无穷大量，当21→x 时，f(x)是无穷小量.11、（1）∵1sin ≤n 为有界变量，且011lim =+∞→n n ，∴01sin lim=+∞→n n n .（2）∵2arctan π≤x 为有界变量，且01lim2=∞→xx ，∴0arctan lim2=∞→xx x .（3）∵当0→x 时，11cos ≤x为有界变量，且0lim 0=→x x ，∴01coslim 0=→x x x .（4）∵011lim1=+-→x x x ，∴∞=-+→11lim1x x x .12、（1）原式75342452=+⨯-⨯=； （2）原式213)1(4)1(212=--⨯+---=；（3）∵0123lim23=+-+-→x x x x ，∴原式∞=； （4）原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ；（5）原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ；（6）原式＝0； （7）原式＝21；（8）原式＝)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ；（9）原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ；*（10）原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解：∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ，0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时，f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ，0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知，01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ，)(lim x f x +∞→不存在.14、解：由题知，当3→x 时，→+-k x x 22k= -3.*15、解：∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、（1）原式2211211lim=--=∞→nn ；（2）原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明：（1）∵1)22(lim 21=++-→x x x ，11lim 1=-→x ，∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .（2）∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ，1lim2=∞→nn n ，∴由夹逼定理有，原式＝1，得证.18、（1）原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ；（2）原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ；（3）原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim； （4）原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、（1）原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++； （2）原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→；（3）原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、（1）原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ；（2）原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、（1）∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ，1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数，即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续，及)(x f 在]2,0[上连续.（2）∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ，∴－1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===，且1)1(=f ，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解：∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ，d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(；dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222，84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(，又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、（1）∵)(x f 在1-=x 处无定义，∴1-=x 为)(x f 的间断点.（2）∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ，且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. （3）∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 为)(x f 的间断点.（4）∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ，0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ，∴)(lim 2x f x →不存在，即2=x 为)(x f 的间断点.24、（1）证明：令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论，)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. （2）证明：令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论，)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、（1）原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ；（2）原式211lim 2=++=+∞→xx x x ；（3）原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解：∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知，要使)(x f 在整个数轴上连续，必须满足005=⇒=a a .3、解：∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在，0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 是)(x f 间断点.因此，)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解：∵111sinlim22=-+→axxx ， ∴左边＝aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→，∴2=a .。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
经济数学基础 微积分 第二章习题解答
1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点
微积分课后题答案第二章习题详解
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
微积分习题答案第二章极限与连续
练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 ２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？ 解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。
微积分第二版习题二答案
微积分第二版习题二答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化的规律和量的计算方法。
而微积分的学习过程中，习题是非常重要的一环。
本文将为大家提供《微积分第二版》习题二的详细答案，希望能帮助大家更好地掌握微积分的知识。
第一题：计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解答：首先，我们需要求函数 f(x) 的导数。
对于多项式函数，我们可以使用求导法则来计算导数。
根据求导法则，我们有：f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x) + d/dx (1)= 6x - 2将 x = 2 代入上式，我们得到：f'(2) = 6(2) - 2= 12 - 2= 10所以，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数为 10。
第二题：计算函数 g(x) = e^x - x 在 x = 1 处的导数。
解答：函数 g(x) 包含了指数函数和多项式函数的运算。
对于指数函数 e^x，它的导数仍然是 e^x。
而对于多项式函数 -x，它的导数是 -1。
因此，我们可以得到函数 g(x) 的导数为：g'(x) = d/dx (e^x) - d/dx (x)= e^x - 1将 x = 1 代入上式，我们得到：g'(1) = e^1 - 1= e - 1所以，函数 g(x) 在 x = 1 处的导数为 e - 1。
第三题：计算函数 h(x) = ln(x^2 + 1) 在 x = 0 处的导数。
解答：函数 h(x) 是一个复合函数，它包含了对数函数和多项式函数的运算。
对于对数函数 ln(x)，它的导数是 1/x。
而对于多项式函数 x^2 + 1，它的导数是 2x。
因此，我们可以得到函数 h(x) 的导数为：h'(x) = d/dx (ln(x^2 + 1))= 1/(x^2 + 1) * d/dx (x^2 + 1)= 2x/(x^2 + 1)将 x = 0 代入上式，我们得到：h'(0) = 2(0)/(0^2 + 1)= 0所以，函数 h(x) 在 x = 0 处的导数为 0。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
微积分第二章习题参考答案
,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )
第二章微分学答案
(e x ) f (e x ) f ( x )) (e f
x
§2.3隐函数的导数
e y 一.1. y ; y 1 xe ye xy 2 xy cos( x 2 y ) 2. y ; xy 2 2 2 y xe x cos( x y ) y ( x ln y y ) 3. y x ( y ln x x ) 3 4. y t; 2 x x 5. y y (ln 1); 1 x 1 x
切线方程为：y ( x e 2 ) x e 2 法线方程为：y ( x e 2 )
二.3.解： 两边同时取对数， 1 则有 ln y ln x ln( x 1) 2ln( x 2) 2 方程两边同时对x求导 : y 1 1 2 y x 2( x 1) x 2 1 1 2 y y ( ) x 2( x 1) x 2
§2.2求导法则
一.1.B; 2. y 2. B 1 1 x2 1 . x 二 .1. y tan 2 x . y y x 3( x 1) 1 2 1 4. y y x 1 3x 1 3(2 x ) 5. 1
1 1 三.3.解： y , x 2 x 1 ( 1)n n ! ( 1)n n ! y(n) n1 ( x 2) ( x 1)n1
dy dy dt 2sin t cos t 三.4.解： 2cos t , dx dx sin t dt dy d 2 y d ( dx ) 2sin t 2. 2 dx dx sin t
1 三. 1.(1)解：y 3sec (ln x ) sec(ln x ) tan(ln x ) x 1 sin 2 1 1 1 1 2 sin2 1 v v (2)解：y e ( 2sin cos )( 2 ) 2 (sin )( e ) v v v v v 1 2 (3)解：y (sec t tan t sec t ) sec t sec t tan t 1 x 1 ( x 1) 1 (4)解：y 2 2 2 ( x 1) x 1 x 1 1 x 1 (5)解：y 2 xe x cos x x 2e x cos x x 2e x sin x
(完整版)《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 .5、=-∞→x e x x arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=.14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~.3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
微积分中国商业出版社_课后习题答案详解二
解：1） lim (x + h)3 − h3 = lim x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3 = lim (3x2 + 3xh + h2) = 3x2
h→0
h
h→0
h
h→0
2) lim xn −1 = n
x→1 x −1
3）
⎛ xl→im+∞⎜⎜⎜ arctan
x
+
1
2x
⎞ ⎟ ⎟⎟
（7） lim
2x +1 − 3 ;
x→4 x − 2 − 2
（2） lim xn −1 ;
x→1 x −1
（4）
⎛ xli→m1⎜⎜⎝
x
x −1
−
1 x2 −
x
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
（6） lim
1− x −3 ;
x→∞ 2 + 3 x
（8） lim ( x2 + x + 1 − x2 − x − 3) .
n→∞ 5 + 9( 3)n
=
1 5
5
9．下列数列{xn} ，当 n → ∞ 时是否是无穷小量？
（1）
xn
=
1050 3n
;
[ ] （2） xn = 1+ (−1)n 1 ; n
（3） xn = n n .
解：1)是无穷小量 因为 lim xn = 0
n→∞
2)是,因为 lim xn = 0 ( n 为奇数或者偶数)
x → −1+
（4） lim 10x = 0 .
x → −∞
解：1)对于任意给定的 ξ ,要使 δψξ 成立,只要使 4 n > 1 即
大一微积分二至四章课后习题答案
第二章习题解答 习 题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。
解：（1）22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;（2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆； (3）00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。
解:(1）323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆；（2）230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。
3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解：因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。
4. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限:(1）000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （2)000()()lim h f x h f x h h →+--；(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解：（1） 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆；（2）原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-；（3）原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。
《经济数学--微积分》第二章练习题参考答案
第二章 极限与连续 练习题参考答案一、判断题1-5：××√√√ 6-10：××××√ 11-15：×××√√ 16-20：×××√√二、单项选择题1-5：DABCD 6-10：DDDCB 11-15：ADDAB 16-20：CCDAC 21-25：BBADB 26-30：BBBCC三、填空题 1.x21 ； 2. 7 ； 3.53； 4. 0 ； 5. 1 ； 6. 0 ； 7.31 ； 8. 2-e ; 9. 2 ； 10. 1 ； 11. 4 ; 12. 高 ； 13. 2 ； 14. 同阶 ； 15. 3±=x ； 16. 是 ； 17. 2 ； 18. 0 ； 19. 4 ； 20. 0 .四、解答题 1. (1) 11lim 22-++∞→n n n n 2211111lim n n n -++=∞→.21=(2).5432lim )3)(2()2)(2(lim 64lim 22222=++=+-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (3).41)1)(1(1lim )1)(1)(1(1lim 11lim 1121=++=++--=--→→→x x x x x x x x x x x (4) .22sin 24)2(lim 2sin 2lim cos 1lim cos 1sin lim cos 1sin lim 22022020200=∙==-=-⋅=-→→→→→x x x x xx x x x x x x x x x x x x (5).051121lim 512lim 44343=-+-=-+-∞→∞→xx x x x x x x x(6).211111lim1lim22=++=+++∞→+∞→xxx x x x (7) )1)(1)(1(12lim ])1)(1(3)1)(1(2lim[)1312(lim 22121321+++---=++--+-=---→→→x x x x x x x x x x x x x x x x.21)1)(1(12lim )1)(1)(1()12)(1(lim2121=++++=+++-+-=→→x x x x x x x x x x x x(8) .1])121(lim [)121(lim )121(lim )11(lim 0lim 2112211222==-+=-+=-+=-+-∞→-∞→-∙-∞→∞→∞→e xxxx x x x x x x x x xx xx x x x x x x x2、1x → )13)(1)(1()1(2lim )13)(1)(1()13)(13(lim 11x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++-+-++-+--=→→ .221)13)(1(2lim1-=++-+-=→x x x x3、)312)(4()22)(4(2lim)312)(22)(22()22)(312)(312(lim22312lim444++-+--=+++---+-++-+=---+→→→x x x x x x x x x x x x x x x.322312)22(2lim4=+++-=→x x x 4、2121lim()11x x x →---.2111lim )1)(1(1lim 11-=+-=+--=→→x x x x x x5．lim x →-)31)(8()24)(8(lim )31)(24)(2()24)(31)(31(lim 323832333238+-++-+-=+-+-++-+---=-→-→x x x x x x x x x x x x x x x.26)444(31)24(lim3238-=++-=+-+--=-→x x x x注意：第5题应用了公式：.8)(2)24)(2(),)((33332332233x x x x x b ab a b a b a +=+=+-+--+=+所以6．2111lim()222n n →∞+++ .121121=-= 注意：首项为.-1,11q a S q a =公式的无穷项等比数列求和公比为7、20cos 1lim2x x x→-.414)2(2sin lim 2sin lim 22sin 2lim 220220220-=∙-=-=-=→→→x xx x x x x x x8、0sin(sin )limx x x →.1]sin sin )sin(sin [lim 0=∙=→xxx x x 注意：此题只要将x sin 看成一个整体就可以了。
微积分习题解答(第二章)
微积分习题解答（第二章）1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()2510172642,,,,,23451n n u n+=解：一般项该数列发散。
3.利用定义证明下列极限；()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。
()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如随着越大，而越加接近零，但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，则有 正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误 例如显然1，但发散6．利用定义证明下列极限：()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明：对于任意给定的，要使只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使只需取，则当0时总有成立，于是，由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明：对于任意给定的，要使只需取，则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使只需取，取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知7。
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微积分习题解答（第二章）1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()2510172642,,,,,23451n n u n+=解：一般项该数列发散。
3.利用定义证明下列极限；()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。
()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如随着越大，而越加接近零，但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，则有 正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误 例如显然1，但发散6．利用定义证明下列极限：()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明：对于任意给定的，要使只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使只需取，则当0时总有成立，于是，由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明：对于任意给定的，要使只需取，则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使只需取，取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知7。
指出下列变量当?x →时，是无穷小量：()2221211111lim0,lim1111,1x x x x x x x x x x x x →→∞-+--==++-∴→→∞+ 解：变量当或时是无穷小量。
()111111131lim,lim 0,111,xxx x xeex x e+++--→→-=-∞⇒=-∴→ 解：变量当时是无穷小量。
()()()()()315ln 311lim0,limln 3ln 313,ln 3x x x x x x x x -→-∞→--==--∴→→-∞- 解：变量当或时是无穷小量。
8指出下列变量当?x →时，是无穷大量：()222211111,02211,1x x x x x x x x x x +--→→-→++∴→→-- 解：当或变量当或为无穷大量。
()110131lim,lim 0,xx x x x e e xx e ++→→+=+∞=+∞∴→ 解：当为无穷大量。
9.当0x →时，比较下面无穷小量的阶。
()330312,2lim22x xx xx x xx x x →++=∴+ 解是的同阶无穷小量()()()()()()113ln 1,ln 1limlim ln 1ln lim 1ln 1ln 1x x x x x x xx x x e xx x →→→++=+=+==∴+ 解是的等价无穷小量()()005a rc ta n,a rc ta n a rc ta n limlim 110a rc ta n x x x x xx xxx xx x x x x →→--⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴- 解是的高阶无穷小量10.判别正误。
()()1⨯无穷小量是非常小的正数 错。
无穷小量是以零为极限的变量()()2⨯无穷小量是零 错。
零是无穷小量,但是无穷小量不一定是零。
()()1311x x 11x xx⨯→→≠→∞→是无穷小量 错。
如当x 1时，10，不是无穷小量,但是当x 时，0，是无穷小量。
()()(((x x 4x 1lim lim 0x →+∞→+∞⨯→+∞⎤-==⎦→+∞两个无穷大量之和仍为无穷大量错。
例如，当时均为无穷大量，但即，当时不是无穷大量，而是无穷小量。
()()()()()()()()()()(){}()()01201021205lim lim lim0,,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx c gx x x fx g x δδδδδδδδ→→→∠∞∞∞→>-->>- 两个无穷大量之积仍为无穷大量对。
证明：设f =，g =均为无穷大量，要证f g =对于任给的M >0，因为当时f 与g 均为无穷大量，所有，存在>0,使得当 0<<,0<<时,总有取=m a x ，则当0<<时()()()()()0limx x fx g x Mx x →=>=∞即f g =()()x 0x 061x 0x x s inx1x s in1xlimlim s inxx1x x s inx→→⨯→= 任意两个无穷小量都可以比较阶的高低错。
例如，当时，与均为无穷小量，但不存在所以，不能比较与阶的高低。
()()71x x s inx⨯→∞ 无界变量一定为无穷大量错。
例如，当时，变量为无界变量，但不是无穷大量。
12．求下列极限：()231lim3223limlim2n n n n n →∞→∞→∞+++==解：原式=()231333lim2133021x x x →-+-=+解：原式=()()()()()()()22t 72234225lim137427210071t t t →+--⋅+⋅-=-解：原式=()137lim1-5311-514x x →⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭解：原式=()9limlim x x x →+∞→+∞-⎛=+∞⎝解：原式=()29lim2limx x x x →+∞→+∞---==+∞解：原式()34444342111lim3121lim311x x x x x x xx x x x →∞→∞+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭解：原式=()()()()146201466202032113lim3131122lim313x x x x x x x x →∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭解：原式=()((215limlim1limx x x x x x →∞→∞→∞+⎛+- ===解：原式()()17lim01a 1lim0x x a a →+∞→+∞>≠⎧==⎨⎩且，讨论的各种可能情况，当0<a <1时解：原式，当1<a 时15.求下列极限：()0s in 1lim2s in 1s in 1limlim222x x x x x x x xx→→→==解：()()()2222222s in 3lim2s in 1s in limlim22x x x x x xx x x x x xx→→→-⎛⎫- ⎪-⎝⎭== 解：()0s in 35lims in 2s in 32s in 333limlims in 23s in 222x x x x x x x x xx x →→→==解：()0ta n 47lims in 2ta n 44limlim2s in 22x x x a r c x a r c x a r c x x a r c xx→→→== 解：()19lim s in1s in1lim s inlim11x x x x x x x xx→∞→∞→∞== 解：()005s in 311limta n 25s in 325s in 353limlim 1ta n 2ta n 22ta n 222x x x x x x x x xx xx x →→→--⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 解：()333313lim 133lim 1lim 1xx xxx x x ex x →∞---→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解：()()()()()11s in 0,ln 1s in ~s in 1ln 1s in 115lim 1s in lim 1s in lim lim xx x x x xx xxx x x x x x e ee→-→----→→→--============ 解：()3-23322217lim 1222lim 1lim 11x x xx x x x ex x x -→∞----→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解：18．指出下列函数的间断点类型；()()()()()()()()()22111211,1110,1101lim limlim 1201111021,112,1x x x xx f x xx fxfx x fxx f x fx xxx f x xx →-→-→-⎧-≠⎪=+⎨⎪=-⎩-=-==-=≠=-+∴=-=-⎧-≠⎪=+⎨⎪=-⎩解：，而是函数的可去间断点只要将在处定义由改为，所得函数即为连续函数()()()()()()()()()()()()313131311131111311011lim lim3101,013,0,1lim lim11x x x x x x x x x efx x x efx x x x efx x x x e x x x f x x x f x efx x x x ---→→--→→-=--==--==--∴=⎧-≠⎪-=⎨⎪-=⎩=-==∞-∴= 解：在处无定义，而是该函数的一个可去间断点。