高斯消去法综述
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X ＊是方程组的精确解）1 高斯消去法1。
1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解.为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想.⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I)乘(23-）后加到方程(II)上去,把方程（I)乘（24-)后加到方程（III ）上去，即可消去方程(II)、（III)中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-I I -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程(II)乘(5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-I I -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8,x 1 = —13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便,将b i 写成a i ， n +1,i = 1, 2，…,n .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ¹ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=, j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(,i = 1， 2， …, n ; j = 1， 2， …， n + 1)从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程(1—1）到(1—2）的过程中，元素11a 起着重要的作用,特别地，把11a 称为主元素.如果（1-2)中0)1(22≠a ，则以)1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++++++)2(1,)2(3)2(3)3(1,3)2(33)2(33)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3）针对(1—3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++)1(1,)1()1()1(1,)1()1()1(1,1)1()1(11)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x设0)1(≠-k kk a ，第k 步先使上述方程组中第k 个方程中x k 的系数化为1：)(1,)()(1,k n k n k kn k k k k k a x a x a x ++=++然后再从其它（n — k ）个方程中消x k ，消元公式为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=⋅-=++==----nk i n k j a a a a n k k j a a a k kjk ik k ij k ij k kkk kjk kj ,11,,11,,1,)()1()1()()1()1()( (1—4)按照上述步骤进行n 次后，将原方程组加工成下列形式:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)1(1,1)1(1)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 回代公式为:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∑+=++1,,11)()(1,)(1, n k x a a x a x nk j j k kjk n k k n n nn （1-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组,再经回代过程求解。
高斯消去法
例子高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：這個算法的原理是：首先，要將L1以下的等式中的x消除，然後再將L2以下的等式中的y消除。
這樣可使整毎方程組變成一個三角形似的格式。
之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。
在剛才的例子中，我們將和L2相加，就可以將L2中的x消除了。
然後再將L1和L3相加，就可以將L3中的x消除。
我們可以這樣寫：結果就是：現在將− 4L2和L3相加，就可將L3中的y消除：其結果是：這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。
第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。
第一個答案就是：然後就可以將z代入L2中，立即就可得出第二個答案：之後，將z和y代入L1之中，最後一個答案就出來了：就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。
這種算法可以用來解決所有線性方程組。
即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。
例如在第一步化簡後，L2及L3中沒有出現任何y，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。
這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。
每當變數被鎖定，就會出現一個解。
通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。
以下就是使用矩陣來計算的例子：跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：這矩陣叫做「行梯陣式」。
最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。
設A為一個的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。
將一個單位矩陣放在A的右手邊，形成一個的分塊矩陣B = [A,I] 。
經過高斯消去法的計算程序後，矩陣B的左手邊會變成一個單位矩陣I，而逆矩陣A- 1會出現在B的右手邊。
第一节 高斯消去法
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
解：首先写出增广矩阵
2 2 3 3 4 7 7 1 ( A b) 2 4 5 7
i1 2
行初等变换得下述方程组
(1 a11) 0 ... 0 (1 a12) (1 ... a1n)
a
( 2) 22
... a ...
( 2) 2n
...
( an32)
...
(3 ...... (3) bn
[ A3 b3 ]
a1(1) n ... ... ...
(k akn ) ... ( ... akk ,1n) 1
(k ann1)
b1(1) (k ) bk ( bkk 1) 1 ( k 1 ) bn
( i , j k 1, , n)
(4) 当 akk
A3 x b3
(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵
a (1) 11
若a
a
(1) 12
a
(1) 13
... ...
(k akk )
(2 a22 )
(2 a23 )
a1(1) ... n ( 2) ... a2 n
(k ... akn )
k ,k
max ai ,k , i k , k 1,, n
k i n
否则转Step 7
算法: Gauss列主元消去算法（续）
Step 3 for i=k+1,…,n 计算
lik
高斯消去法
高斯消去法自然界中有各种各样的消去法，而人们对其运用也不计其数。
如：对物理学上的一些问题，大多用了消去法，也是为了得到正确的答案。
在生活中，人们常常会遇到这样那样的数学问题，这时便可以使用“高斯消去法”，通过简单的计算便可得出正确的答案。
下面就来介绍它的具体做法： 1。
我国科学家采用了高斯消去法。
当年他在研究“零点能”时，很少数学家采用高斯消去法，认为太麻烦，只要找到一个零点能比较小的位置，把它消去，其余大部分应该能被保留。
但事实并非如此，后来经过调查，发现原来只要让这些点连续增加，直到与相邻的点相差无几，那么我们所求的零点能将变为零。
于是，人们通过巧妙地构造，终于成功地将零点能消掉了，得到了正确的结果。
2。
4。
其实在数学上，高斯消去法远不止这两个例子，只要我们善于观察、思考、发现和创新，一定还能想到更好的消去方法。
3。
6。
上帝的方法是：当你在生命线上与一些重要人物紧紧相连时，把它消去，把消失的那段砍掉。
以前那人一直不明白，为什么他的生命线总与别人相连，却永远都断不了，后来，他才恍然大悟，原来上帝把他与一些重要人物的紧密关系消去了，而把另一些无关紧要的人物增添上去。
9。
人类有时会受到一些坏人的欺骗。
比如说，两个强盗绑架了许多小孩子。
其中一个强盗见这些小孩个头矮小，便想出一个绝招。
这天晚上，两个强盗把一根又粗又长的绳子捆在一棵树上，在距离村子很远的地方准备好另外一根绳子。
第二天早上，这个绑架了小孩的强盗假装放绳子，那些小孩便拼命地往家跑，而绳子却从那棵树上下来，勒在他们身上。
这时，他们早已跑得精疲力尽，等醒过神来，一切都结束了。
9。
不知道大家有没有看过《哈利·波特》，书中讲述了主人公哈利和他的三个朋友的故事，他们因为意外互换了身份，进入到了魔法学校霍格沃兹学习，在校期间他们为了解开伏地魔的阴谋，跟着导师邓不利多在魔法世界里探险。
在这个过程中，他们遇到了许多困难，像密室逃脱、身份揭穿、幽灵共舞等等，有的时候，凭他们的智慧和勇气，是完全可以战胜这些困难的。
高斯消元法详解
高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行，通过初等行变换将该行化为主元，即使该行第一列元素为1，其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行，将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数，并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始，依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是，在进行高斯消元法时需要注意以下几点：1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元，因为小数的精度有限，可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时，需要将它们合并成一个行，以减少计算量。
3. 在进行回带求解时，应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组，但是当方程组的规模很大时，计算量会非常大。
此外，在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况，此时需要采用其他方法进行求解。
总之，高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法，在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
(完整版)2.3高斯列主元消去法
2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L1n x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ＝1n b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 2、 第一步：如果a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2b (1)2. . . . . . . = .a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1b (1)n-1a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x nb (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I– l i1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22 != 0,令l i2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12 . . . a(1)1n x1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2n x2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n x n-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn x n b(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b(n) / a(n)nnX i = ( b(k)k - a(k)kj x j ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。
数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
高斯消去法
mi1
a (1) i1
/
a (1) 11
(i 2, 3,L , m)
用-mi1 乘方程组的第一个方程加到第i个方程，则原方程组同
解方程组为：
a1(11)
0
M 0
a1(12) a2(22)
M am(22)
L L M
a1(1n) a2(2n)
M
x1
x2
M
b1(1) b2(2)
M
L am(2n) xn bm(2)
2020/6/3
数值分析
引言
在自然科学和工程技术中许多问题的解决转化为解线性方 程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠 密矩阵，一种是高阶稀疏矩阵。
解线性方程组的数值解也有两种： 直接法，就是经过有限步算术运算，可以求得线性方程 组的解，但实际计算时有舍入误差的存在和影响，所以求 得的结果也只能是近似解对低阶稠密矩阵和部分大型稀疏 矩阵有效。
第五章 解线性方程组的直接方法
5.1 高斯消去法 5.2 高斯主元素消去法 5.3 矩阵的三角分解 5.4 误差分析
2020/6/3
数值分析
【本章重点】 1．Gauss 消去法和列主元消去法及其实现条件。 2．矩阵的三角分解，含LU分解和LLT 分解及三对角方程组的追
赶法。 3．向量和矩阵范数的定义及性质。 4．矩阵条件数及病态矩阵定义和解方程组直接法的误差估计。
即
a(1) 11
0
M
a(1) 12
a(2) 22 M
L L M
a(1) 1n
a(2) 2n M
x1
x2
M
b(1) 1
b(2) 2 M
0
0
高斯(Gauss)消去法
( 1) 如果 a11 0 由于 det(A) 0
则 A 的第一列中至少有一个 元素不为零
如 ai(111) 0, 则将( A(1) , b (1) )的第一行与第 i1行 交换后消元
( 1) a11 0 0 ( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
n n n 2 2 n O ( n ) MD 3 3 3
当n很大时
3 n3 n n n2 MD 3 3 3
3
3
四、高斯消去算法 输入： 输出
方程组的解 x1 , x 2 ,, x n或方法失败的信息
A, b的元素aij ,1 i n,1 j n 1 方程组的阶数 n；增广矩阵
对i n 1, n 2,..., 1
n ai ,n 1 aij x j j i 1 置xi
aii
S4 输出x1, x2 ,..., xn ; 停机.
作业： P49 习题1
i , j 2 ,3 , , n
i 2 ,3 , , n
( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
( A( 1) , b( 1) )
且
因此, 第k 1步后, ( A(1) , b(1) )将化为
( 1) ( 1) a11 a 12 ( 1) ( 1) (2) (A ,b ) a 22 (k ) (k ) (A ,b ) (k ) aik mik ( k ) i k 1, , n akk
用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法
用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法高斯消去法是一种用于求解线性方程组的经典方法，但是当方程组很大且稀疏时，高斯消去法的效率会变得非常低。
为了解决这个问题，可以采用一种改进算法，称为稀疏高斯消去法。
稀疏高斯消去法的基本思想是利用方程组的稀疏性质，尽量减少计算的量，以提高求解效率。
在讲解稀疏高斯消去法之前，我先介绍一下稀疏矩阵。
稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为零的矩阵。
在实际问题中，很多矩阵都是稀疏的，例如线性方程组的系数矩阵。
稀疏矩阵通常具有以下两个特点：1）非零元素的数量相对于矩阵的总元素数量来说很小；2）非零元素的位置分布比较随机。
在稀疏高斯消去法中，主要有两个改进步骤：1）稀疏高斯消元；2）回代求解。
1）稀疏高斯消元稀疏高斯消去法的第一步是进行稀疏高斯消元。
在传统的高斯消去法中，我们需要对每一行中的所有元素进行高斯消去，这样做的复杂度是O(n^3)。
而在稀疏高斯消去法中，我们只对非零元素所在的行进行高斯消去。
这样可以大大减少计算量。
具体来说，稀疏高斯消元的做法是，首先找到第一个非零元素所在的行，然后对该行进行消去操作，将该行前的元素都变为零。
然后再找到下一个非零元素所在的行，对该行进行消去操作，以此类推，直到所有的非零元素都被消为零。
2）回代求解稀疏高斯消去法的第二步是进行回代求解。
在进行稀疏高斯消元的过程中，我们已经将方程组化简为上三角形式，即矩阵的下半部分都是零。
这样，在进行回代求解时，我们只需要从最后一行开始，逐行求解即可。
而不需要对每一行的所有元素进行回代。
总结一下，稀疏高斯消去法的改进算法可以通过两个步骤来减少计算量：稀疏高斯消元和回代求解。
首先，通过精确地找到非零元素的位置，并只对这些行进行消去操作，减少计算量。
然后，在回代求解时，只处理上三角矩阵的非零元素。
这样一来，可以大大提高求解大型稀疏方程组的效率。
当然，稀疏高斯消去法也有其局限性。
由于稀疏高斯消去法需要寻找非零元素的位置，如果矩阵的非零元素位置分布比较密集，那么稀疏高斯消去法的效率就会降低。
数值分析5-2(高斯消去法)
M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用 高斯 约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 用高斯-约当消去法求解两个方程 例 用高斯 约当消去法求解两个方程 组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次 消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 程组：
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法 高斯 约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6
全主元高斯消去法发展过程
全主元高斯消去法发展过程1.引言1.1 概述在数学领域中，线性方程组求解一直是一个重要的问题。
而高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法之一，它的基本原理是通过一系列的行变换将线性方程组化为阶梯形方程组，从而容易求解。
然而，传统的高斯消去法存在一些问题。
在某些情况下，选择的主元元素可能会导致运算过程中出现除零错误，进而使得整个计算过程失效。
为了解决这个问题，全主元高斯消去法应运而生。
全主元高斯消去法在选择主元元素时不仅会考虑当前列的元素，而是会同时考虑当前行和当前列的元素。
这种全面考虑的方式能够确保选取到一个非零元素作为主元，避免了除零错误的发生，提高了计算的稳定性和精度。
全主元高斯消去法的提出是对传统高斯消去法的一种改进和完善。
它不仅解决了传统高斯消去法中可能出现的除零错误问题，还能够更好地应对一些特殊情况，如矩阵中存在大量零元素时，能够减少运算量和计算时间。
全主元高斯消去法的发展过程经历了数学学者们的不断努力与探索。
通过引入新的思想和算法，全主元高斯消去法在求解线性方程组的过程中展现出了更好的效果和稳定性。
综上所述，全主元高斯消去法是对传统高斯消去法的一种改进和完善，它解决了传统方法中的除零错误问题，并能够更好地应对特殊情况，具有更高的计算稳定性和精度。
在接下来的正文中，我们将详细介绍全主元高斯消去法的基本原理和提出过程，以及其在实际应用中的前景。
1.2 文章结构本文将按照以下方式组织和呈现全主元高斯消去法的发展过程。
首先，我们将在引言部分对整篇文章进行概述，介绍全主元高斯消去法的基本原理和目的。
这将帮助读者初步了解文章的主题和内容。
接下来，在正文部分的第2.1节中，我们将详细介绍高斯消去法的基本原理。
通过解释高斯消去法的基本步骤和计算过程，读者将对该方法的工作原理有一个清晰的认识。
紧接着，在正文部分的第2.2节中，我们将着重介绍全主元高斯消去法的提出及其特点。
全主元高斯消去法在传统高斯消去法的基础上进行了改进，使得解方程组的过程更加稳定和准确。
毕业设计论文 高斯消去法求解线性方程组
摘要高斯消去法是求解线性方程组的最基本的方法之一。
为了充分利用GPU (Graphics Processing Unit，图形处理器)的并行处理能力，本文改进了高斯列主元消去法的实现过程，从而提高了求解线性方程组的速度。
并研究了在不同方程组阶数下，GPU对这此算法的加速效果。
NVIDIA新近推出的GPU计算平台采用矩阵型的计算架构，对处理大型矩阵具有极大的优势，且相对CPU有着更高的算法可并行性和计算效率。
本文力图基于GPU的CUDA开发环境，利用GP-GPU的计算特性实现求解线性方程组，以提高算法的运行效率。
最后，本文用C语言实现了高斯列主元消去算法求解线性方程组的基本过程，并分别在NVIDIA GPU并行计算平台和Intel CPU计算平台上加以运行，同时进行了两种计算平台上算法实现的性能比较。
关键词：求解线性方程组；高斯消去法；GPU；CUDA；并行计算AbstractGaussian elimination method is one of the most basic methods for solving linear equations. In order to take full advantage of GPU (Graphics Processing Unit, GPU) of the parallel processing capability, this paper improved Gaussian PCA out of the realization of the process of elimination, resulting in improved system of linear equations to solve the speed. And studied the different equations in a few bands, GPU accelerated the effect of this algorithm. NVIDIA recently introduced the use of GPU computing platform for the calculation of matrix-type structure, to deal with large-scale matrix has great advantages, and the relative CPU algorithm has higher computational efficiency and parallelism. This article seeks to CUDA for GPU-based development environment, the use of GP-GPU computing features to achieve the solution of linear equations in order to improve the effi ciency of algorithm. Finally, using C language realization of the Gaussian elimination algorithm PCA out of linear equations to solve the basic process and NVIDIA GPU in parallel computing platform and Intel CPU computing platform to be run, at the same time on two types of computing platforms algorithm Performance Comparison of the achievement.Key words:Solving linear equations; Gaussian elimination method; GPU; CUDA; Parallel Computing目录第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 论文研究背景 (1)1.3 论文研究的目的和意义 (2)1.4 论文结构安排 (3)第二章求解线性方程组的基本理论 (4)2.1 高斯－约当消去法 (4)2.2 矩阵三角分解法 (5)直接三角分解法 (5)追赶法 (5)2.3 平方根法 (6)2.4 迭代法 (6)2.5 高斯消去法 (7)2.6 高斯列主元素消去法 (9)第三章NVIDIA CUDA并行计算平台 (11)3.1 GPU 技术简介 (11)3.2 CUDA介绍 (13)3.3 CUDA编程模型 (17)3.4 应用程序接口 (20)编程语言扩展 (20)第四章功能实现和相关函数介绍 (22)4.1 程序在CPU上的实现 (22)高斯列主元消去算法实现过程 (22)各文件中的主要功能函数介绍 (24)4.2 程序在GPU上的实现 (26)文件中C语言的扩展 (26)文件编写过程 (29)并行性实现 (31)4.3性能比较与结果分析 (32)第五章总结与展望 (36)致谢 (37)参考文献 (38)第一章绪论1.1 引言当今很多科学与工程计算问题大都可以化为线性代数方程组的形式，所以有效的求解线性方程组在科学和工程计算中是非常重要的。
5.1高斯消去法
转化为等价的（同解）的三角形方程组。 转化为等价的 (同解)的三角方程组. b x b x b x g 12 2 1n n 1 11 1 b 2 n x n g b 22 x 2 2 b nn x n g n
称消元过程，逐次计算出 x n , x n 1 , , x1 称回代过程。
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 22 66 x3 5 5
高斯（Gauss）消去法
元法 目标 一般方程组 消 三角形方程组
上三角方程组的一般形式是：
a11 x1 a12 x 2 .............................. a1n x n b1 a 22 x 2 ............................. a 2 n x n b2 ....................................... .. a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn1 a nn x n bn 其中a ii 0 ( i 1,2,......, n)
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。 求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。
Gauss 消去法计算过程分析
第三章-高斯消去法
对于（A (1) , b (1) )中个元素的计算公式为：
( ( (0 a11j) a10) / a11) j (1) ( 0) ( 0 ) (1) a ij a ij a i1 a1 j
( j 2, , n 1) (i 2, , n; j 2, n 1)
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
第一步：先将方程（1）中未知数 边，得到下列方程组：
x 1的系数2除（1）的两
1 3 1 x1 2 x 2 2 x 3 2 I1 4 x1 2 x 2 5x 3 4 2x 2x 3 6 1
( a 10 ) n
a (0) 22
(0 a 32)
a (0) 2n
( a 30 ) n
a (0) 42
a (0) 4n
( a 10 ) 1 n (0) a 2 n 1 ( a 30 )1 n (0) a 4n 2
(0 第一步：对（A ( 0) , b ( 0)）的第一行个元素除以a11) , 然 0 后用第i行元数（i 2, , n )减去第一行对应元素的a i(1 ) (0 倍， 2, , n ), 这样，a11) 位置变为 ，其余各行的第一 (i 1
(1 a12) 1
(1 a13) a ( 2) 23
0 0
( a 11)1 n a ( 2 )1 2n 记为 ( 2) ( 2) a 33 a 3n 1 （A ( 2 ) , b ( 2 )） ( 2) ( 2) a n 3 a nn 1
k 对第k行各元素除以a (kk1) , 第i行的元素减去第k行对应 (k 元素的a ik 1)倍（i k 1, , n ), 这样就将第k行第k个元
23.01 高斯消去法
(E ) − 2(E ) →E
→
→
1 1 （2）回代求解，得 x1 =Байду номын сангаас− ，x 2 = ， x 3 = 0。 ）回代求解， 3 3
m个方程，n个未知数的线性方程组的高斯消去法： 个方程， 个未知数的线性方程组的高斯消去法： 个未知数的线性方程组的高斯消去法 个方程 a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L+ a2n xn = b2 ( 3 .4 ) M M M M am1 x1 + am2 x2 + L+ amn xn = bm x1 b1 a11 a12 L a1n v b2 a21 a22 L a2n v x 2 其系数矩阶 A = ， x = L , b = L 。 L L L L x b a am 2 L amn m m m1 r (1 ) v v (1) (1 ) r (1) (1) 则 若记 A = A = ( a ij ) , b = b ， ( 3 .4 )可写为 A x = b ，即
( L a11) x1 b 1( 1 ) n (2) (2) L a 2n x2 b2 ⋅ L = L ， L L ( (2 L a mn) x m b m2 )
（2）第k步（k = 1,2,L, s，s = min(m − 1, n)） 步 设已完成上述消元过程第1 设已完成上述消元过程第1步，第2步，…，第k-1步，（设 步 ， (1 ( a11) ≠ 0,L, a kk −1k)−1 ≠ 0）得到与原方程组 A( 1 ) x = b ( 1 ) 等价的方程组 −1, A ( k ) x = b ( k )。 (1 (1 ( b1(1) a11) a12) L L a11) n ( 2) ( 2) ( 2) a 22 L L a 2 n b2 M O (k ) A( k ) = 其中 = ( k ) 。 (k ) (k ) ， b akk L akn bk M O M M (k ) (k ) b(k ) amk L amn m
高斯消去法和因子表分解法
高斯消去法目前，电力网络方程主要用高斯消去法求解。
计算机在电力系统应用的初期，曾经因为内存容量的限制采用过迭代法求解电力网络的线性方程式组。
迭代法的致命缺点是存在收敛性问题。
因此，自从稀疏技术成功地在电力系统应用之后，迭代法几乎完全为高斯消去法所代替。
高斯消去法求解线性方程式组由消去运算和回代运算两部分组成。
消去运算又叫前代运算，可以按行进行，也可以按列进行。
同样，回代运算可以按行进行，也可以按列进行。
通常采用“消去运算按列进行，回代运算按行进行”的方式较多。
设有n 阶线性方程组B AX =.其中矩阵A 和向量B 的元素可以是实数或复数。
由于消去运算只对A 和B 进行，因此，为了算法叙述方便，把B 作为第n+1列附在A 之后，形成)1(+⨯n n 阶增广矩阵：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+++1,211222221111121121222221111211..................,...,...........................n n nnn n n n n n n nnn n n n a a a a a a a a a a a a b a a a b a a ab a a a AB A 为了方便讨论，上式中用1,+n j a 替代了),...,2,1(n j b j =。
按列消去的运算步骤如下： 第一步，消去第一列。
首先，把增广矩阵A 的第一行规格化为1 )1(12a )1(13a … )1(1,1+n a （1-6）式中：111)1(1a a a j j=)1,...,3,2(+=n j然后，用式（1-6）所表示的行消去A 的第一列对角线以下各元素13121,...,,n a a a ，结果使A 的第2到第n 行其他元素化为)1(11)1(j i j i ja a a ai -= ),...,3,2;1,...,3,2(n i n j =+=式中：上标（1）表示该元素第一次运算的结果。
数值分析3 Gauss消去法
§１ Gauss 消去法它是以行初等变换为基础，整理而成的计算机算法。
由它改进和变形得到的高斯选主元消去法及三角分解法，仍然是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵的线性方程组的有效方法。
一、 引例：解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=+-4336425294321321321x x x x x x x x x用Matlab 先画出空间三个平面，并找出三平面的交点clear,clf,x=[-9 –9 9 9 -9];y=[-9 9 9 –9 -9];z=5-4*x+9*y;plot3(x,y,z),hold on,grid on z=3-2*x+4*y;plot3(x,y,z) z=-4+x-y;plot3(x,y,z)A=[4 –9 2;2 –4 6;-1 1 –3];b=[5 3 –4]';x=A\b; plot3(x(1),x(2),x(3),'r*')解：方程组的增广矩阵是[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=431136425294b A消元运算：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-----5.110005.055.00529475.25.225.105.055.0052942313125.025.14142r r r r r r b A回代求解：0.15,1.5/103-=-=x [],5.25.0/)15.0(55.0x 2=-⨯-=95.64/)15.025.295(x 1=⨯+⨯+=。
【注】Gauss 消元的基本思想：用初等行变换方法化一般的方程组为上三角方程组，然后求解；Gauss 消去法步骤：先消元计算，再回代求解二、Gauss 消去法设ｎ阶线性代数方程组为Ax=b (1)其中系数矩阵Ａ(n 阶非奇异矩阵)和右端列向量b 分别为A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 , b=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 （一）上三角方程组的回代求解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n b x u b x u x u b x u x u x u 2222211212111 ………………（2） 假设u ii ≠０（i=1,2,…，n ），则回代解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==∑+=ii ni j j ij i innn n u x u b x u b x /)(/11,2,2,1 --=n n i ………………(3) （二）ＧＡＵＳＳ消元过程：(行变换)记方程组（1）为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(21)1(1)1(2)1(22)1(221)1(21)1(1)1(12)1(121)1(11nn nn n n n n n n b x a xa x ab x a x a x a b x a x a x a (4)对应的增广矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1()1(2)1(1)1(2)1(2)1(22)1(21)1(1)1(1)1(12)1(11)1()1(,n nn n n nn b a a a b a a a b a a a bA…………………(5) 第一轮消元：若)1(11a ≠０，利用)1(11a 消下面的)1(1i a (i=2,3,…n), 消元因子：)1(11)1(11/a a l i i = (i=2,3,…n)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)2()2(00,n nn n nnb a a b a a b a a a bA………………(6) 其中)1(11)1()2(j i ij ij a l a a -= n j i ,,3,2, =)1(11)1()2(b l b b i i i -= n i ,,3,2 = (7)第二轮消元：若0)2(22≠a ，用第i 行减去第二行的)2(22)2(22/a a l i i =(i=3,4,…n)倍，得到[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)3()3()3(3)3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)3()3(00000,n nnn nn nb a a b a a b a a a b a a a a b A……………(8) 其中n j i b l b b a l a a i i ij i ij ij ,,4,3,,,)2(22)2()3()2(22)2()3( =-=-= …………(9) 已进行k-1轮消元后，得[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()2(2)2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(1)1(12)1(11)()(,k n k nnk nk k k k knk kk nkn k k K b a a b a a b a a a b a a a a b A……………(10) 第k 轮消元：若)(k kk a ≠0，用第i 行元素减去第k 行元素的)()(/k kk k ik ik a a l = (i=k+1,k+2,…,n)倍，得[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++++++)1()1()1(111)1(1)1(11)()()(1)()2(2)2(2)2(12)2(2)2(22)1(1)1(1)1(11)1(1)1(12)1(11)1()1(,k n k nnk nk k k k nk k k k k k kn knk kk k kknk kn k kk K b a a b a a b a a a b a a a a b a a a a a b A…(11) 其中⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++,)()()1()()()1(k k ik k i k ik kjik k ij k ij b l b b a l a a ,,,1,n k j i += (12)最后，得[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)()(,n n n nnnnn n b a b a a b a a a bA消元过程：[][][][])()()()()2()2()1()1(,,,,n n k k b A b A b A b A−→−−→−−→−−→−−→− （三）算法公式消元公式：对k=1,2,…,n-1若)(k kk a ≠0 )()(/k kk k ik ik a a l =⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++,)()()1()()()1(k k ik k i k ik kj ik k ij k ij b l b b a l a a ,,,1,n k j i +=回代公式：)(n nn a ≠0⎪⎩⎪⎨⎧-==∑+=)(1)()()()(/)(/i ii n i j j i ij i i in nn n n n a x a b x a b x1,2,2,1 --=n n i三、GAUSS 消去法得以实现的前提(可行性分析)1、0a )()2(22(1)11≠n nn a a 或 2、,0,,0,,0,02122221112112221121111≠≠=≠≠A a a a aa a a a a D a a a a a kkk k k kk (13)这是因为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11212222111211k kk n k kk k k k k a a a a a a a a a a a a a a a 行变换 k i a D n k i ii k ,,2,1,0,0,,,2,1)( =≠≠=则有若令【如】对称正定矩阵、严格对角占优矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡632351214 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103131021310四、Gauss 消去法的运算量消元过程乘法:[])1(31)()1(211-=-⨯+-∑-=n n k n k n n k 除法:)1(2)(11-=-∑-=n nk n n k 回代过程乘除法总运算量:),1(221+=+++n nnGauss 消去法的总运算量为:3)3(31)1(2)1(2)1(313232n n n n n n n n n n ≈-+=++-+- 对比克莱姆法则的总运算量为(n+1)!【注】对比：当n=10时，克莱姆法则(n+1)!=39916800，而Gauss 消去法，运算４３０次五、算法及例子步１，定义数组A,B,x ； 步２，输入A,B,Eps ；步３，对k=1到n-1进行消元：⎪⎩⎪⎨⎧++=-⇐>-⇐n k k j i a b a b b Eps a a a a a a kkk ik i i kk kk kj ik ij ij ,,2,1,/,,/ 步4，nn n n a b x /=；对i=n-1到1回代解ij ni j j iji i a x ab x /)(1∑+=-=步５，输出n i x i ,,2,1, =； 步６，结束。
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设线性方程组为
a11x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
第五章方程组的直接解法
a1n xn b1
a2n xn b2
(1)
ann xn bn
或写成矩阵形式
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
例4.1：用Gauss消去法解方程组
2x1 2x2 2x3 1
(1)
3x1
2 x2
4 x3
1 2
(2)
x1
3x2
9x3
5 2
(3)
第五章方程组的直接解法
解：第1步，（1）（ 3）加到（2），（1) ( 1)加到(3)，
2
2
得等价方程组：
2x1 2x2 2x3 1 x2 x3 1
组的追赶法； 5. 掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分
析。 教学重点及难点 重点是 1. 解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析； 难点是方程组的扰动分析。
第五章方程组的直接解法
第五章方程组的直接解法
在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数矩阵大 约有两种：
一种是低阶稠密矩阵(阶数n150，矩阵的全部元素都 可能贮在计算机中)；
另一种是大型高阶稀疏矩阵(矩阵元素中零元素较多， 阶数较高，如n=103或104等，这类矩阵一般要压缩存储或 仅存储系数矩阵中的非零元素．)
第五章方程组的直接解法
,
b(1) 2
,
b(1) n
)T
,
det
A
0
.
消元过程就是要按确定的计算过程对方程组进行初等行变换, 将方程组化为上三角方程组.
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
a(1) 11
0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
近十几年来,直接法在求解具有较大型系数矩阵方程组方面 取得了较大进展.
第五章方程组的直接解法
② 迭代法： ( 第六章介绍）就是用某种极限过 程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。 也就是从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限 步内得不到精确解). 特点是速度快，但有误差.
2 2 2
A,b 3 2 4
1 3 9
2 2 2 1
1
1/
2
5 / 2
(1)
r1(
3 2
)
r2
r2
r1(
1 2
)
r3
r3
0
0
1 2
1 8
1
2
2 2 2 1
(2) 0
0 r2 2 r3 r3
1 1 0 10
1 0
这种求解过程称为具有回代的Gauss消去法。
第五章方程组的直接解法
关于线性方程组的数值解法有两大类：
① 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精 确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)，如克莱姆 法则就是一种直接法，但实际上由于舍入误差的存在， 这类方法也只能求得线性方程组的近似解。 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去 法。其特点是准确，可靠，理论上得到的解是精确的. 这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法.
第五章方程组的直接解法
5.2 Gauss消去法
5.2.1 Gauss消去法的计算过程 5.2.2 矩阵的三角分解 5.2.3 主元素消去法
5.2.4 Gauss-Jordan消元法
第五章方程组的直接解法
第5章 线性方程组的直接解法
教学目的 1. 掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程
第5章 线性方程组的直接解法
(Direct Method for Solving Linear Systems)
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许 多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次 样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大 地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为 求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方 程组的求解对于实际问题是极其重要的。
x2
b2
ann xn bn
或简单地记为:
Ax b,
A (aij )nn , x (x1, x2, xn )T , b (b1, b2,
(2)
bn )T.
5.2 Gauss消去法
第五章方程组的直接解法
Gauss消去法是一个古老的求解线性方程组的方法。 由它改进的选主元法是目前计算机上 常用的有效的求解 低阶稠密矩阵线性方程组的方法。
此例可见Gauss消去法的基本思想是：用矩阵得初等行变换将系数 矩阵A化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等）， 而三角形方程组是很容易回代求解的。
1 Gauss消去法的步骤
一般的，设有n个未知数的线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
(4)
2x2 8x3 2 (5)
第2步，(4) 2加到（5）得等价的方程组：
2
2x2 2 x2 x3
x3
1 1
10x3 0 (6)
第3步，回代法求解（6）即可求得该方程组第的五解章方为程：组的直接解法 x3 0, x2 1, x1 12.
用矩阵法描述的约化过程即为：
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
(5.2.1)
设A （aij )nn ， X (x1, x2, xn )T，b (b1,b2, bn )T，
则（5.2.1）化为： AX b
第五章方程组的直接解法
为方便,设A
A(1)
(ai(j1) )nn,b
b(1)
(b1(1)
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的的重要方法.
第五章方程组的直接解法
对于中小型方程组，常用直接解法。从本质上来说， 直接方法的原理是找一个可逆矩阵M，使得MA是一个上 三角阵，这一过程一般称为“消元”过程，消元之后再 进行“回代”，即求解MAx=Mb。本章讨论Gauss消去 法及其变形，以及一些情况下的特殊方法，最后进行误 差分析。