§22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(上课)
22.2.4一元二次方程根与系数关系
11 － 4
思考：从因式分解法可知，方程（x－x1） （x－x2）=0 的两根 为 x1 和 x2，将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你能看 出 x1、x2 与 p、q 之间的的关系？
发现：把方程（x－x1） （x－x2）=0 的左边展开，化为一般 形式为：x2－（x1+x2）x+x1x2=0，这个方程的二次项 系数为 1，一次项系数 p=－（x1+x2） ，常数项 q= x1x2， 所以，上述方程的两根的和、积分别与系数关系有如 下关系： x1+x2=－p， x1x2=q。
22.2.4一元二次方程根与系数 的关系
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，并按照要求完成其它表格 :
序号
方程
x1
x2
x1+ x2
x1· x2
① ② ③ ④
x2－ 2x＝ 0 x2＋ 3x－ 4＝ 0 3y － 5y－ 50=0 4y2+7y－ 11=0
2
2
0 –4
50 － 3Leabharlann –35 37 － 4
例 4．根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两根 x1、 x2 的和与积： ① x2－ 6x－15=0； ② 3 x +7x－9=0； ③ 5x－1 =4x2。
2
1．已知一元二次方程 x2－7x＋3＝ 0 的两根分别为 x1、x2， 则 x1＋ x2 与 x1·x2 的值分别为（ ） （ A） 7，3 （ B） 7，－3 （ C）－ 7，3 （ D）－ 7，－3 2．一元二次方程 x － 7x＝－2 的两根分别为 x1、 x2， 则 x1· x2 的值为（ ） （ A）－ 2 （ B）2 （ C）－7 （ D）7
一元二次方程根与系数的关系
2、总结规律
四、巩固提升
1、巩固练习：完成教材P42练习题。
2、拓展提升：1、已知x1，x2是方程 的两实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，写出方程两根的和与积：并求 的值.
五、自主生成
目标达成根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
1、
2、激励评价
（1）本节课的收获：先由学生总结，教师补充：关于本节课的知识还有不明白的地方吗？
布置作业：必做教材P437、11题。
葛沽一中整体建构教学模式导学案初中年级学科设计人：电子文件名
第周第课课题：22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1．探寻并会运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关问题.
教学过程
一、导学明标
1、导入新课：问题1：从因式分解法可知，方程 的两个根为x1和x2，将方程化为 的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2、明确目标：用知识树展示及文字描述
二、合作探究
自学指导、引导探究：阅读教材P40-41内容，完成探究活动，并回答下列问题：
1、上述问题反应方程两个和、积与系数有怎样关系？
2、你对一般的一元二次方程的根与系数的关系是怎样理解的？可以举例说明。
三、点拨归纳：
1、精讲点拨
例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
b x1 x2 ,
三、例题分析
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方 程两根 x1 , x2 的和与积.
(1) x 2 6x 15 0;
解：a 1, b 6, c 15
b 6 x1 x2 6, a 1 c 15 x1 x2 15. a 1
b 5 5 x1 x2 , a 4 4 c 1 x1 x2 . a 4
三、例题分析
注意： （1）要先把一元二次方程化成一般形式； （2）不要漏除二次项；
b （3）要注意 的负号. a
四、巩固练习
1.教科书第42页练习. 2.补充练习：判断下列各方程后面两个数是不是 它的两个根.
三、例题分析
(2)3x 2 7 x 9 0;
解：a 3, b 7, c 9
(3)5x 1 4x 2 .
解： 2 5x 1 0; 4x
a 4, b 5, c 1
b 7 x1 x2 , a 3 c 9 x1 x2 3. a 3
第二十五章 概率初步
22.2.2降次—— 解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者： 河北省藁城市增村中学 王志敏
一、复习引入
1.请写出一元二次方程的一般形式和求根公式. 2.解方程.
x1 2, x2 4 1 2 (2)2x 3x 1 0. x1 1, x2 2
(1) x 2 6 x 8 0;
二、探索分析
请仔细观察和思考两根和、两根积与系数的关系.
对于所有的一元二次方程的两个根都有这样的规 律吗？ 根据求根公式可知，方程的两根为
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)∵x1 ，x2 是方程 x2－6x＋k＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝k. ∵ x2x2－x1－x2＝115， 1 2 ∴k2－6＝115 ， 解得 k1＝11，k2＝－11.
当 k1＝11 时， Δ＝36－4k＝36－44＜0， ∴k1＝11 不合题意． 当 k2＝－11 时， Δ＝36－4k＝36＋44＞0， ∴k2＝－11 符合题意． ∴k 的值为－11.
b c － a a 和系数 a， c 的关系是 x1＋x2＝________， 1·2＝________. b， x x
4．仿照课本 P41 例 4，根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两根的和与积： (1)3x2＋2x―3＝0；
2 解：x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 3
(2)x2＋8x＝20.
探究点二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例 2 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝ 0 的两个实数根，且 x2x2 －x1－x2＝115. 1 2 (1)求 k 的值； (2)求 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
分析： 根据根与系数的关系和已知的 x2x2 －x1－x2＝115， 1 2 列出关于 k 方程，解方程可求 k 的值，根据根与系数的关系 也可求出 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
x1＋x2＝2， 解：(1)由题意，得 x1＋2x2＝3－ 2， x ＝1＋ 2， 1 解得 x2＝1－ 2. ∴a＝x1·2＝(1＋ 2)(1－ 2)＝－1. x (2)方法 1：由题意，得 x2－2x1－1＝0， 1 ∴x3－3x2＋2x1＋x2 1 1 ＝x3－2x2－x1－x2＋3x1＋x2 1 1 1 ＝－x2＋2x1＋1＋x1＋x2－1＝2－1＝1. 1
孝南区肖港初中九年级数学上册《22.2.4 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》教案 新人教版
《22.2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学目标：1.掌握判别式与韦达定理；2.能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用知识的能力教学重点：判别式、韦达定理教学难点：韦达定理的应用教学方法：讲练结合教学手段：多媒体教学过程：(一)知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？(二)探究新知1.填写下表：猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？2.证明已知：如果一元二次方程的两个根分别是、.求证：证明过程(略)3.归纳如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.（三）练兵场根与系数的关系的直接应用1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？根与系数的关系的间接应用1.设、是方程的根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和.3：已知方程的两根、，不解方程，求下列各式的值.（1）（2）（3）（四）总结1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.（五）作业1. 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.2.方程的两根互为倒数，求k的值.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
_22.2.4(修改)一元二次方程根与系数的关系课件
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 ,
又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数y ( x 0) x
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
k 1 2 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 3 , 2x1x2=
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)
x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系专题复习1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a =4、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <05、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x += .则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A．3 C ．6 D ．97、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --8、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.9、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.10、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.11、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m的取值范围；（2）当22120x x-=时，求m的值．一元二次方程的根与系数的关系专题复习参考答案：1、23. 依据一元二次方程根与系数的关系可得1232x x +=. 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得1212x x b x x c +=-⎧⎨=⎩， ∴(12)3,122b c =-+=-=⨯=.3、B. △＝22()41140a a --⨯⨯=-=，∴2a =或2a =-，故选B.4、A5、C6、B7、D8、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121231x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴121212(1)(1)1()1311x x x x x x ++=+++=-+=-.9、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩， ∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 10、解：设方程230x x m -+=的两根为1x 、2x ，且不妨设122x x =. 则由一元二次方程根与系数的关系可得：12123x x x x m +=⎧⎨=⎩， 代入122x x =,得222332x x m=⎧⎨=⎩,∴21x =,2m =. 11、解:（1）∵一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+≥,∴14m ≤. （2）当22120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--,∴(21)0m --=,∴12m =. 又∵由（1）一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是14m ≤,∴12m =不成立,故m 无解；当120x x -=时，12x x =,方程有两个相等的实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+=,∴14m =. 综上所述,当22120x x -=时，14m =.22．(1)解：∵方程x 2+px+q+1=0的一个根为2，∴22+2p+q+1=0，∴q=-2p-5-----------2分(2)证明：由方程x 2+px+q=0，得△=p 2-4q----------------------------------------------------------3分由(1)知：q=-2p-5，∴△=p 2-4(-2p-5)=p 2+8p+20=(p+4)2+4-------------------------5分∵(p+4)2≥0，∴(p+4)2+4>0，即△>0--------------------------------------------------6分∴方程x 2+px+q=0有两个不相等的实数根∴抛物线y=x 2+px+q 与x 轴有两个交点-----------------------------------------------7分(3)解： ∵x 1、x 2是方程x 2+px+q=0的两个根∴x 1 =242pq p --，x 2=242pq p ---∴AB=|x 1-x 2|=|242pq p ---242pq p ---|=q p 42--------------------------------8分∵抛物线顶点M 的坐标为(2p -，424p q -) ∴S △ABM =21AB ·|442p q -|=81(p 2-4q) q p 42---------------------------------------------9分 要使S △ABM 最小，只须使p 2-4q 最小，由(2)知p 2-4q=(p+4)2+4，当p=-4时p 2-4q 有最小值，最小值为4--------------------10分 此时S △ABM =14481=⨯⨯，q=-2p-5=-2×(-4)-5=3-----------------------------------------11分 ∴抛物线的解析式为y=x 2-4x+3------------------------------------------------------------12分。
22.2.4一元二次方程根与系数的关系(2)
C．－2
根，则x1x2等于
D. 4
(
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数
C )
A．－4
C．1
B．－1
D．4
3．已知方程 3x2－5x－7＝0 的两根为 x1，x2，则下列各式中，正 确的是 ( C ) A．x1＋x2＝5，x1x2＝7 B．x1＋x2＝－5，x1x2＝－7 5 7 C．x1＋x2＝ ，x1x2＝－ 3 3 5 7 D．x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 3 3
x － x (2)设方程两实根为 x1，x2，且 1 2 ＝ 1，求 m 的值．
4．设a，b是方程x2＋x－2 016＝0的两个实数根，则a2＋
2a＋b的值为 A．2 013 B．2 014 ( C )
C．2 015
D．2 016
5．已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 2x＋m ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求实数 m 的最大整数值； (2)在(1)的条件下， 方程的实数根是 x1， x2， 求代数式 x2 1＋ x2 2－x1x2 的值．
B．3
C．－6
D．6
6．已知 x1，x2 是方程 x2＋6x＋3＝0 的两实数根，试求下列 代数式的值： x2 x1 2 2 (1)x1＋x2； (2) ＋ ； x1 x2 (3)(x1＋1)(x2＋1)； (4) x1-x2
例题分析1
1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当 b2 4ac 0且a 0 时， 才能应用根与系数的关系.
新华师大版九年级上册初中数学 22-2-4 一元二次方程根的判别式 教学课件
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
x b b2 4ac (b2 4ac 0). 2a
将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代 入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次 方程的方法叫做公式法.
新课导入
课时导入
你能用配方法判断方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 解的可能性吗? 移项，得
拓展与延伸
一元二次方程根的判别式与三角形的综合
例：已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.
解： 方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0， 因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， 所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0， 即a2+b2=c2， 所以此三角形为直角三角形．
新课讲解
归纳
判断方程根的情况的方法：
知识点
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个 完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；
2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个
不相等的实数根； 3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
新课讲解
练一练
1 一元二次方程 2x2 4 3x 2 2 4ac的值应是( A )
新课讲解
思考
（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？ （2）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？
新课讲解
例 1 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，
一元二次方程根和系数关系
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
3、如果 12是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值.
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
……
作业：
1、课本P43第7题 2、极速P20
再见
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推 特别地：
论 1
若方程x2 px q 0的两根为x1, x2，
则：x1 x2 p, x1 • x2 q
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的
基 础
方
B
程是（ ）
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1、2、
二、自主学习：
1、探究下表中的奥秘，并完成填项式因式分解
2、将你发现的结论写下来：一元二次方程 的两根分别是 和 ，那么将 因式分解的结果为。
3、运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x 的根是x 和x ，则 =； =
（2）已知方程x +3x－5=0的根是x 和x ，则 =； =
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学任务分析
教
学
目
标
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问
题的能力。
教学过程
问题与情景
一、温故知新：
4、猜想：如果方程 的根是x 和x ，则 =； =
5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）同学们展示自己的证明。
7．（分组合作讨论）如果方程 的根是x 和x ，那么 =； =
三、例题学习：
1、例(教材P41例4)根据根与系数的关系，求下列方程的两根和与两个积
（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2
2、已知方程 的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
3、已知方程 的根是x 和x ，求下列式子的值：
（1） +
（2）
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生东 辛 店 中 学 验 标 题（满分： 100分 时间： 10 分钟 成绩： ）必做题：（共9题，每题10分）1、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为1x =3，2x =1，那么p= ，q = 。
2、不解方程，求下列方程两根之和，两根之积。
（1）0372=+-x x ， =+21x x ，=21x x 。
（2）7142==x ，=+21x x ，=21x x 。
（3）0132=-x ，=+21x x ，=21x x 。
（4）062=-y y ，=+21y y ，=21y y 。
（5）0)1(22=-+-m x m x ，=+21x x ，=21x x 。
3、请写出以-1，3为根的一元二次方程 。
4、方程02352=++m x x 的一个根为-5，则另一根为 ，m 为 。
选做题：（共1题，每题20分）（2012·日照）已知1x 、2x 是方程0161422=-+x x 的两实数根，求2112x x x x +的值。
1、（2011〃荆州） 关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．22、（2010〃孝感）已知关于x 的方程0)1(222=+-k x k x ，有两个实数根1x ，2x ，（1）求k 的取值范围，（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。
本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。
但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。
此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。
3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。
4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。
5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。
22.2.4一元二次方程根与系数的关系
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
归纳小结：
通过本节课的学习你学到了那些知识？ 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根的和等于一次项系数与二次 项系数的比的相反数，两根的积等于 常数项于二次项系数的比。
作业：
课本P43
习题22.2 第7题。
k 1 2 k 3 2 ∴( ) 4 1 2 2
, k 1x2= x 3
2
解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4(k 1) 2 4k 2 0
22.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1、复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求 根公式。
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b b 4ac X= 2a
2
(a≠0,b2-4ac≥0)
(2)求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 x2-5x+6=0 ①(x-2)(x-3)=0 x2-3x-28=0 ②(x+4)(x-7)=0
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
22.2.4根与系数关系
教学过程设计分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ○4两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 ○5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x 2-3=0 B.-3x 2+5x-4=0 C.0.5x 2-4x-3=0 D.2x 2+53x-6=0○6.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，○6中还需考虑m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x 1 ，x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：○12111x x +； ○2221212x x x x + ○32221x x +； ○4()221x x -；○52112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：○1不解方程，判断两个数数否是某一个一元二次方程的两根； ○2已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4判断两个根的符号； ○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习. 补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、， 求αββα+的值. 学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系. 板 书 设 计课题二次项系数是1的方程根与系数的关系二次项系数不是1的方程根与系数的关系练习 归纳教 学 反 思。
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1 5, 1 5
【例1】求一个一元二次方程, 使它的根分别是方程x2－ 2x－1=0的各根的 (1) 相反数; (3) 2倍; (2) 负倒数; (4) 平方.
【例2】 把一根长度为20 cm的铁丝折成一个面积为12 cm2的矩形. 求矩形的长与宽. 【例3】利用韦达定理解下列方程组:
6.已知方程 3x² +(m² －4)x+m－1=0 的两实数根互为相反
数， 求m的值？ 7. 设方程2x2－3x＋a=0两根为x1, x2 , 且3x1＋2x2=7. 求a的值. 8. 设α、β是方程x2＋x－1＝0的两个实根，则 α2＋α＝____, α2－β＝＿＿, α3＋2β＝＿＿. 9.已知:实数a、b满足条件a2-6a+1=0，b2-6b+1=0，且 a≠b，则
1 2 3.关于x的一元二次方程 x - (m 3)x (m 2) 0 2
2 2
(1)试证：无论m取任何实数，方程有两个正根.
(2)设x1,x2为方程的两根，且满足x12+x22-x1x2=8.5,求m. m=1,m=-1
4.分别求当k取何值时，方程3x22 k 2 2(3k+1)x+3k -1=0满足下列条件： 3 （1）有一个根为0 （2）两根互为相反数 （3）两个根互为倒数 5.已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-k=0的 两个根恰好等于斜边为5的直角三角形 的两条直角边的长,求实数k的值.
a b b a
作业:作业本(1) 100分
【韦达定理推论】若x1, x2是方程x2+px+q=0的两根.则
q －p x1＋x2=____________, x1●x2=__________; －(x1＋x2) 反之, p=____________,
【韦达定理的逆定理】 以两个数x1, x2为根的一元二次方程是 x2－(x1＋x2)x+x1●x2=0 (1) －1, 3; (2) －3.5, 2.5; (二次项系数为1) 【练习】求一个一元二次方程, 使它的两个根是 (3) x1 ● x2 q=__________.
5 4
， k= 5
。
2、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根， 则另一个根是
3 2
，m=
-3
。
三、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式 的值. 设x1, x2 是方程 x² +2x-1=0 的两个根，求下列各式的值：
1 1 (1) x1 x2
(2) x x2
x2 x1 (5) x1 x2
1 1 2 2 x y 5 x y 8 x y 13 (2) (3) (1) xy 4 1 7 xy 6 xy
思考1：请写出一个以x1与x2为根的一元二次方程。
( x x1 )( x x2 ) 0
写成一般式又如何？
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2
比较一般式： 发现：
x px q 0
2
x1 x2 p
x1 x2 q
思考2：ax
2
bx c 0(a 0)
（4） 3x2 = 4
3x2 -4 =0
2.已知：x1、x2是关于x的方程
(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根，
1 且x1+x2= ，则x1·x2=_____ -1 3
3. 若矩形的长和宽是方程 4x 12x 3 0
2
的两根， 求矩形的周长和面积 。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 1、若关于x的方程 4x² +(k-2)x-10=0 的一个根是-2 则另一个根是
一、不解方程，求方程的两根和与积
1.说出下列各方程的两根之和与两根之积：
（1） x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
3 1 （2） 2x2 - 3x + =0 x1+x2= 2 2
（3） 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
2
2 1
2
(3) ( x1 1)(x2 1)
(4) | x1 x2 |
x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
1.甲乙两人解方程x2+px+q=0 ，甲看错了一次项系数， 得根为2和7，乙看错了常数项，得根为1和 -10，则p、 q的值为（ A ） A、p=9 q=14 B、p=14 q=-9 C、p=-9 q=14 D、p=-14 q=-9 2.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为(A) A.-18 B.18 C.-3 D.3
当b2-4ac≥0时，它的两根x1与x2又有何关系？
b c x1＋x2= ,x1x2= a a
你能证明吗？
（韦达定理）
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
b 那么： x1＋x2= ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa
c x 1x 2= a
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0