反凸模糊集 - 江南大学杂志社

第4卷第4期2005年8月 江南大学学报(自然科学版)Journal of Southern Yangtze U niversity(N atural Science Edition) Vol.4　No.4Aug.　2005　文章编号:1671-7147(2005)04-0431-03 收稿日期:2004-09-20;　修订日期:2004-11-29. 基金项目:江南大学“211”工程项目;自然科学基金项目(0003146)资助课题. 作者简介:廖祖华(19572),男,江西奉新人,教授,硕士生导师.主要从事模糊代数与广义逆理论研究.反凸模糊集廖祖华,　黄昱,　居世宾(江南大学理学院,江苏无锡214122)摘　要:给出了反凸模糊集的定义并在此定义下推得了反凸模糊集的一些重要的性质,得到了模糊集是反凸模糊集的一些充分条件.关键词:反凸模糊集;上半连续;严格反凸模糊集中图分类号:O 159,O 174.13文献标识码:AAnti 2Convex Fuzzy SetsL IAO Zu 2hua ,　HUAN G Yu ,　J U Shi 2bin(School of Science ,Southern Yangtze University ,Wuxi 214122,China )Abstract :In t he paper ,t he definition of anti 2co nvex f uzzy set s is int roduced and some of t he f undamental p roperties of such set s are derived.The paper also shows some sufficient conditions t hat a f uzzy set is an anti 2conve f uzzy set s.K ey w ords :anti convex f uzzy set s ;upper semicontinuity ;st rictly anti 2convex f uzzy set s 1965年,Zadeh [1]首次引入了凸模糊集的概念.随后许多学者对凸模糊集在理论和实际应用上作了一系列研究,并在拓广最优化理论和变分法在物理、近似计算方面有了突破性进展.近年来,随着研究的不断深入,凸模糊集的理论越来越被广泛地应用到数学的各个分支领域中.凸模糊集的一些性质见文献[2～9].基于Biswas 引入的反模糊子群的概念[10],文中给出了反凸模糊集的定义并对它的一些重要性质进行了讨论.1　预备知识定义1.1　A 是集X 到[0,1]的映射称为X 的模糊集.X 的模糊集全体记作F (X ).定义1.2　B 是线性空间X 的普通子集,若Πx ,y ∈B ,Πλ∈[0,1],有λx +(1-λ)y ∈B ,则称B 为普通凸集.定义1.3　设X 是线性空间,A ∈F (X ),若Πx ,y ∈X ,Πλ∈[0,1],有A (λx +(1-λ)y )≥A (x )∧A (y ),　则称A 为X 的凸模糊集.2　主要结论定义2.1　设X 是线性空间,A ∈F (X ),若Πx ,y ∈X ,Πλ∈[0,1],有A (λx +(1-λ)y )≤A (x )∨A (y ),则称A 为X 的反凸模糊集.定理2.1　若A ∈F (X ),则A 是X 的反凸模糊集当且仅当,Πα∈[0,1],A α={x ∈X |A (x )≤α}≠ 是凸集.证　“]”若A 是X 的反凸模糊集,Πα∈[0,1],Πx ,y ∈A α,则A (x )≤α,且A (y )≤α所以 A (λx +(1-λ)y ≤A (x )∨A (y )≤αλx +(1-λ)y ∈A αA α是凸集.“α”若不然,ϖx 0,y 0∈X ,ϖλ0∈[0,1],使得A (λ0x 0+(1-λ0)y 0)>α0=A (x 0)∨A (y 0),则α0∈[0,1],x 0,y 0∈A α0且A (λ0x 0+(1-λ0)y 0)>α0所以　λ0x 0+(1-λ0)y 0|A α0又因A α0是凸集,有λ0x 0+(1-λ0)y 0∈A α0所以 A (λ0x 0+(1-λ0)y 0)≤α0此为矛盾,　Πx ,y ∈X ,有A (λx +(1-λ)y )≤A (x )∨A (y )定理2.2　设A ,B ∈F (X )皆为反凸模糊集,则A ∪B 也是反凸模糊集.证　(A ∪B )(λx +(1-λ)y )=A (λx +(1-λ)y )∨B (λx +(1-λ)y )≤(A (x )∨A (y ))∨(B (x )∨B (y ))=(A (x )∨B (x ))∨(A (y )∨B (y ))=(A ∪B )(x )∨(A ∪B )(y )由定义2.1,A ∪B 也是反凸模糊集.推论1　A i (i =1,2,…,n )是反凸模糊集,则∪∞i =1A i也是反凸模糊集.定理2.3　设T 是欧氏空间X 到Y 的可逆线性映射,A 是X 中反凸模糊集,则A 在T 下的象T (A )是F (Y )中的反凸模糊集.证　由于T 是可逆映射,故T -1(y )惟一确定,T-1(y )=x ,由扩张原理,有T (A )(y )=sup x ∈T-1(y )A (x )=A (T -1(y )),或T (A )(T (x ))=A (x )对Πx ∈X 成立.Πy 1,y 2∈Y ,设T -1(y 1)=x 1,T -1(y 2)=x 2,则y 1=T (x 1),y 2=T (x 2),于是,Πλ∈[0,1],有T (A )(λy 1+(1-λ)y 2)=T (A )(λT (x 1)+(1-λ)・T (x 2))=T (A )(T (λx 1+(1-λ)x 2))=A (λx 1+(1-λ)x 2)≤A (x 1)∨A (x 2)=T (A )・(T (x 1))∨T (A )(T (x 2))=T (A )・(y 1)∨T (A )(y 2)故T (A )是F (Y )中的反凸模糊集.定理2.4　设A 是X 上的模糊子集,Πx ,y ∈X ,ϖα∈(0,1),使得A (αx +(1-α)y )≤A (x )∨A (y )则 B ={α∈[0,1]|A (αx +(1-α)y )≤A (x )∨A (y ),Πx ,y ∈X}在[0,1]上是稠密的.证　(反证法)设B 在[0,1]上是非稠密的,则ϖα0∈(0,1),邻域N (α0)使得N (α0)∩B =(1)定义 α1=inf {α∈B |α≥α0}(2)α2=sup {α∈B |α≤α0}(3)由式(1)有0≤α2<α1≤1,由于max {α,1-α}∈(0,1)　取β1,β2∈B使得 β1≥α1,β2≤α2,且max {α,1-α}(β1-β2)<α1-α2(4)设 α′=αβ1+(1-α)β2α′x +(1-α′)y =[αβ1+(1-α)β2]x +[1-αβ1-(1-α)β2]y =α[β1x +(1-β1)y ]+(1-α)[β2x +(1-β2)y ]Πx ,y ∈X 有A (α′x +(1-α′)y )=A (α[β1x +(1-β1)y ]+(1-α)[β2x +(1-β2)y ])≤A (β1x +(1-β1)y )∨A (β2x +(1-β2)y )≤(A (x )∨A (y ))∨(A (x )∨A (y ))=(A (x )∨A (y ))因此,α′∈B ,若α′≥α0.由式(2)知0≤β2≤α2<α1≤α′≤1所以 α′-β2≥α1-α2但由式(4)知　α′-β2=αβ1+(1-α)β2-β2=α(β1-β2)<α1-α2,此为矛盾,若α′<α0,由式(3)知0≤α′≤α2<α1≤β1<1所以 β1-α′>α1-α2但由式(4)知　β1-α′=β1-αβ1-(1-α)β2=(1-α)(β1-β2)<α1-α2,此为矛盾.因此,B 在[0,1]上是稠密的.定义2.2　设A 是欧氏空间X 上的模糊子集,若Πε>0,ϖδ>0,Πx ,y ∈X ,当‖y -x ‖<δ时,有A (y )≤A (x )+ε,则称A 是上半连续的.定理2.5　设A 是欧氏空间X 的上半连续的模糊集,若ϖα∈(0,1),使得对Πx ,y ∈X ,有A (αx +(1-α)y )≤A (x )∨A (y ),则A 是反凸模糊集.证　(反证法)设A 不是反凸模糊集,因此,ϖx ,y ∈X ,α′∈(0,1)使得A (α′x +(1-α′)y )>A (x )∨A (y )(5)由定理2.4,ϖαn ∈B ,使得αn →α′　(n →∞)定义　y n =α′x +(1-α′)y -αn x1-αn=α′-αn 1-αn x +1-α′1-αny234 江南大学学报(自然科学版) 第4卷　则 y n →y (n →∞)且α′x +(1-α′)y =(1-αn )y n +αn x(6)由于A 是上半连续的模糊集,且y n →y (n →∞)则 Πε>0,ϖN >0,Πn >N 有A (y n )≤A (y )+ε(7)由式(6),(7)及αn ∈B ,有A (α′x +(1-α′)y )=A (αn x +(1-αn )y n )≤A (x )∨A (y n )≤A (x )∨(A (y )+ε)由ε的任意小性,有A (α′x +(1-α′)y )≤A (x )∨A (y ),这与式(5)矛盾.因此,A 是反凸模糊集.定义2.3　A ∈F (X ),Πx ,y ∈X ,A (x )≠A (y ),Πλ∈(0,1)有A (λx +(1-λ)y )<A (x )∨A (y ),则称A 为X 的严格反凸模糊集.定理2.6　设A 是X 上的严格反凸模糊集,Πx ,y ∈X ,ϖλ∈[0,1]使得A (λx +(1-λ)y )≤A (x )∨A (y )(3)则A 是X 的反凸模糊集.证　(反证法)设A 不是反凸模糊集,因此,ϖx ,y ∈X ,μ∈[0,1]使得A (μx +(1-μ)y )>A (x )∨(A (y )不失一般性,假设A (x )≥A (y ),又设z =μx +(1-μ)y则有 A (z )>A (x )∨A (y )(8)若A (x )>A (y ),由A 是严格反凸模糊集,得A (z )<A (x )∨A (y )与式(8)矛盾.若A (x )=A (y ),则由式(8)知A (z )>A (x )=A (y )(9)(ⅰ)若0<μ<λ,设z 1=(μ/λ)x +(1-μ/λ)y 则　z =μx +(1-μ)y =λ[(μ/λ)x +(1-μ/λ)y ]+(1-λ)y =λz 1+(1-λ)y 由条件(3),有A (z )≤A (z 1)∨A (y ),又由式(9)可得A (z )≤A (z 1)(10)设 l =[(1-λ)/λ][μ/(1-μ)],由0<μ<λ<1易知0<l <1,所以有z 1=(μ/λ)x +(1-μ/λ)y =(μ/λ)x +(1-μ/λ)[z/(1-μ)-μx /(1-μ)]=lx +(1-l )z 又因为A 是严格反凸模糊集及式(9),有A (z 1)<A (x )∨A (z )=A (z )与式(10)矛盾.(ⅱ)若λ<μ<1,则有0<(μ-λ)/(1-λ)<1,设z 2=[(μ-λ)/(1-λ)]x +[(1-μ)/(1-λ)]y 则　z =μx +(1-μ)y =λx +(1-λ)z 2,由条件(3),有A (z )≤A (x )∨A (z 2)又由式(9),得A (z )≤A (z 2)(11)设　d =(μ-λ)/[(1-λ)μ]由0<λ<μ<1易知0<d <1,所以有z 2=[(μ-λ)/(1-λ)]x +[(1-μ)/(1-λ)]y =dz +(1-d )y 又因为A 是严格反凸模糊集及式(9),有A (z 2)<A (z )∨A (y )<A (z )与式(11)矛盾.因此,A 是反凸模糊集.参考文献:[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J ].Inform and Control ,1965,8:338-353.[2]Brown J G.A note on f uzzy sets[J ].I nform and Control ,1971,18:32-39.[3]Katsaras A K ,Liu D B.Fuzzy vector spaces and f uzzy topological vector spaces [J ].J Math Anal Appl ,1977,58:135-146.[4]Liu Y M.Some properties of convex f uzzy sets[J ].J Math Anal Appl ,1985,111:119-129.[5]Lowen R.Convex f uzzy sets[J ].Fuzzy Sets and Systems ,1980,3:291-310.[6]Weiss M D.Fixed points ,separation and induced topologies for f uzzy sets[J ].J Math Anal Appl ,1975,50:142-150.[7]Yang X M.Relationship among there types of convex f uzzy sets[J ].BUSEFA L ,1988,35:53-59.[8]Yang X M.A note on convex f uzzy sets[J ].Fuzzy Sets and Systems ,1993,53:117-118.[9]Yang X M ,Yang F M.A property on convex fuzzy sets[J ].Fuzzy Sets and Systems ,2002,126:269-271.[10]Biswas R.Fuzzy subgroups and anti f uzzy subgroups[J ].Fuzzy Sets and Systems 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