第一轮复习讲义知识点五函数的基本性质
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。
函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。
一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。
当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。
2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。
当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。
3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。
4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。
可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。
5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。
6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。
例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。
7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。
函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。
8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。
不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。
总结：函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
(完整版),《函数的基本性质》知识总结大全,推荐文档
《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组 张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的______两()y f x =A I A ⊆I 个值，，当<时，都有_____，那么在区间上是单调增1x 2x 1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I 函数，称为的单调_____区间. 如果对于区间内的______两个值，，当I ()y f x =I 1x 2x <时，都有_____，那么在区间上是单调减函数，称为1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I I 的单调_____区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，()y f x =()y f x =I 那么函数在区间上具有________.()y f x =I 点评 单调性的等价定义：①在区间上是增函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21<-x f x f ；0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ②在区间上是减函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21>-x f x f ；0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设且，12[]x x a b ∈，，12x x ≠那么在区间上是增函0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数；在区间上是减函0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结1.函数的定义：函数是一种数学对象，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常以符号表示，例如f(x)。
2.定义域：函数的定义域是指函数能够接受的自变量的值的集合。
它是函数能够有效进行计算的自变量的范围。
通常用符号表示为D(f)。
3.值域：函数的值域是指函数在定义域上所有可能的函数值的集合。
它是因变量的取值范围。
通常用符号表示为R(f)。
4.图像：函数的图像是指由函数的所有有序对（x，f(x)）组成的点的集合。
可以通过将自变量的取值代入函数的表达式来确定函数的图像。
5.奇偶性：函数的奇偶性指函数在坐标系中的对称性。
一个函数被称为奇函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的相反数。
一个函数被称为偶函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的函数值。
6.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减趋势。
一个函数被称为严格递增函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)<f(x2)。
一个函数被称为严格递减函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)>f(x2)。
7.周期性：函数的周期性指函数在定义域上以一定的周期重复。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正整数T，对于定义域上的任意x值，有f(x+T)=f(x)。
8.连续性：函数的连续性指函数在定义域上的无间断性。
一个函数在点x=c处连续，如果当x趋近于c时，f(x)趋近于f(c)。
一个函数在整个定义域上连续，如果它在每个点都连续。
9.可导性：函数的可导性指函数在一些点上的导数是否存在。
函数f(x)在点x=c处可导，如果当x趋近于c时，f(x)的斜率存在，并且等于c处的导数。
10.极值：函数的极值指函数在定义域上的最大值和最小值。
一个局部最大值是指函数在一些区间上的最大值，而不一定是整个定义域上的最大值。
一个局部最小值是指函数在一些区间上的最小值，而不一定是整个定义域上的最小值。
函数的概念及性质
函数的概念及性质函数是数学中的重要概念之一，它在数学领域和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的概念是描述一个变量与另一个变量之间关系的数学工具。
本文将对函数的概念及其基本性质进行探讨，从而帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
例如，我们可以定义一个函数f(x)=2x，其中x是实数集合中的任意一个数，f(x)表示x的两倍。
这个函数可以描述一个数与它的两倍之间的关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
函数的定义域和值域取决于函数的性质和条件。
例如，对于函数f(x)=2x，定义域是实数集合，值域也是实数集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
例如，函数f(x)=2x 是递增函数，而函数g(x)=2-x是递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴（x=0）的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
例如，函数f(x)=x^2是偶函数，函数g(x)=x^3是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在定义域内以一定的间隔重复的特性。
如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期为2π的函数。
5. 反函数：如果存在一个函数g，使得对于定义域内的任意x，有g(f(x))=x，且f(g(x))=x，则g称为f的反函数。
反函数可以将函数的输入与输出进行互换。
例如，函数f(x)=2x的反函数为g(x)=x/2。
三、函数的应用函数在数学、物理、经济学等学科中都有着重要的应用。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A．如果对于区间I 上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1x1，x2，当x1∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)<0f(x1)-f(x2)∆y⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔>0； x1-x2∆x②f(x)在区间M上是减函数⇔∀x1,x2∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)>0f(x1)-f(x2)∆y<0⇔<0；⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2∆x①f(x)在区间M上是增函数⇔∀x1,x2⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x1)-f(x2)>0⇔f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1-x2f(x1)-f(x2)<0⇔f(x)在区间[a,b]上是减函数。
(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有f'(x)>0（f'(x)<0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f'(x)≥0（f'(x)≤0）。
请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。
高三数学第一轮复习知识点
高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
函数基本性质及分类
函数基本性质及分类函数是数学中一个重要的概念，是一种从一个集合到另一个集合的映射关系。
每一个函数都有一组输入值和对应的输出值，通常写成函数名加上括号内的自变量，例如f(x)。
函数的基本性质和分类是我们在学习和应用函数时必须掌握的知识点，下面就来一起探讨一下。
一、函数的基本性质1. 定义域和值域：一个函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，值域是指函数所有可能的输出值的集合。
例如，函数f(x)=x^2的定义域是实数集，值域是非负实数集。
2. 单调性：一个函数在定义域内的单调性表示函数的增减趋势。
如果一个函数在它的定义域上是单调递增的，则对于任意两个自变量，它们对应的函数值的大小关系是前者小于后者。
如果一个函数在定义域内是单调递减的，则其中任意两个自变量所对应的函数值的大小关系是前者大于后者。
3. 奇偶性：一个函数的奇偶性表示函数是否具有对称性。
如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对于所有x成立，则函数称为奇函数；如果f(-x)=f(x)对于所有x成立，则函数称为偶函数。
例如，函数f(x)=x^3是奇函数，而函数g(x)=x^2是偶函数。
4. 周期性：一个函数如果满足f(x+T)=f(x)对于所有x成立，则称函数具有周期性，其中T是函数的周期。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期都是2π。
二、函数的分类1. 一次函数：一个函数f(x)如果可以表示为f(x)=ax+b的形式，则称它为一次函数。
其中a和b是常数，a称为斜率，表示函数曲线在每个点的增长速率，b称为截距，表示函数曲线与y轴之间的距离。
一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线，其斜率为正表示函数递增，为负则表示函数递减，为零则表示函数为常数函数。
2. 二次函数：一个函数f(x)=ax^2+bx+c称为二次函数。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和斜率，当a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数学中非常重要的概念之一。
在高中数学中，我们常常遇到各种各样的函数问题，理解函数的定义与性质对于解决这些问题至关重要。
1.1 函数的定义函数是一个集合与集合之间的映射关系，它可以将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值上。
通常表示为：f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值。
1.2 函数的性质•定义域：函数的自变量所能取到的值的集合。
•值域：函数的因变量所能取到的值的集合。
•单调性：函数在整个定义域内的增减关系。
•奇偶性：函数的对称性质。
2. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过解两个一次方程来求解原方程。
例如：x2−5x+6=0可以分解为(x−2)(x−3)=0，解方程得x=2或x=3。
2.2 配方法当一元二次方程的一次项系数为 2 或 -2 时，可以采用配方法来求解方程。
例如：2x2−7x−3=0。
我们可以通过将2x2−7x−3=0看作(ax+b)x+ c=0的形式，其中a、b、c分别表示方程的系数。
然后，我们将x的系数−7分解为两个数，使得这两个数相乘等于ac，即2∗(−3)=−6，并且这两个数的和等于b，即−7。
在这个例子中，可以写成−3和2。
然后将方程改写为(2x−3)(x+ 1)=0，解得 $x=\\frac{3}{2}$ 或x=−1。
2.3 求根公式当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来求解时，我们可以使用求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
通过代入方程的系数a、b、c到公式中，就可以得到方程的解。
3. 三角函数三角函数是解决与角相关问题的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。
具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。
通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。
例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。
而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。
2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。
若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。
若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。
3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。
若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。
4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。
复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。
5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。
高中函数的性质知识点总结
高中函数的性质知识点总结高中数学中，函数是一个非常重要的概念，它涉及到数学的各个领域。
了解函数的性质，能够更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中函数的性质知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。
一、函数的定义和表示1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量的值与一个唯一确定的因变量的值相对应。
2. 函数的表示方法：常见的函数表示方法有函数关系式、函数图像和函数表格等。
二、函数的定义域和值域1. 定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围，它决定了函数的合法输入。
2. 值域：函数的值域是指因变量的取值范围，它由函数的定义域和函数的性质共同决定。
三、函数的奇偶性1. 奇函数：若对于函数中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2. 偶函数：若对于函数中的任意x，有f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、函数的单调性和极值1. 单调递增：若对于函数中的任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调递增函数。
2. 单调递减：若对于函数中的任意x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调递减函数。
3. 极值：函数在某一定义域内取得的最大值或最小值称为极值。
极值点通常是函数的拐点或者是导数为零的点。
五、函数的周期性1. 周期函数：如果对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则该函数为周期函数。
其中T为函数的周期。
六、函数的对称性1. 对称中心：对于函数图像中的一点x0，若将该点作为对称轴，函数图像关于该点对称，则该点为对称中心。
2. 中心对称：若对于函数中的任意x，有f(-x)=f(x)，则该函数是中心对称函数。
七、函数的零点和解析式1. 零点：函数在定义域内满足f(x)=0的点称为函数的零点。
2. 解析式：函数的解析式是用代数表达式表示的函数表示方法，例如y=f(x)=ax^2+bx+c。
函数性质知识点总结
函数性质知识点总结函数是数学中的常见概念，它是描述变量之间关系的一种数学工具。
函数性质是指函数在定义域上所具备的特征和特点。
在学习函数性质时，我们经常需要了解函数的定义和图像，以及它们在数轴上的位置和形状。
这篇文章将总结函数性质的几个重要知识点。
1.定义域和值域：函数的定义域是指函数中所有自变量可能取值的集合，即可以使函数有意义的自变量的范围。
函数的值域是指函数所有可能取值的集合，即函数的输出值的范围。
在研究函数性质时，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便分析函数的特点。
2.单调性：函数的单调性是指函数在定义域上取值的变化趋势。
函数可以是递增的，即随着自变量的增大，函数的值也增大；也可以是递减的，即随着自变量的增大，函数的值减小。
我们可以通过函数的导数或斜率来判断函数的单调性。
3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。
如果对任意x，都有f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；如果对任意x，都有f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数既不是偶函数也不是奇函数。
4.周期性：函数的周期性是指函数具有以一些常数T为周期的特点。
如果对任意x，都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，而T是函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。
5.极值点和极值：函数的极值点是指函数在定义域上取得的最大值或最小值的点。
函数的极值是指函数的最大值或最小值。
我们可以通过求解函数的导数等于0的方程来找到极值点。
极大值是函数的局部最大值，极小值是函数的局部最小值。
6.零点和方程：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
我们可以通过解函数的方程来找到函数的零点。
函数的方程是指使函数等于一个常数的方程。
例如，如果我们要找出一个多项式函数的零点，我们就需要解多项式方程。
7.渐近线：函数的渐近线是指函数图像在一些特定位置或方向上的趋势。
常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于不同领域的数学和科学研究中。
在本文中，我们将探讨函数的基本概念以及其相关的性质。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它建立起自变量和因变量之间的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
具体而言，一个函数将每一个自变量值映射到唯一的因变量值上。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
通过定义域和值域，我们可以确定函数的范围和可行域。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性用来描述函数在定义域内的变化趋势。
如果函数随着自变量的增加而增加，则称其为递增函数；如果函数随着自变量的增加而减小，则称其为递减函数。
如果函数在定义域内递增和递减交替出现，则称其为摆动函数。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x 值，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x值，f(-x) =f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数通常关于原点对称，偶函数通常关于y轴对称。
3. 周期性：周期函数是指在一定范围内满足f(x + T) = f(x)，其中T为最小正周期。
常见的周期函数包括正弦函数和余弦函数，它们在数学建模和信号处理等领域有着广泛的应用。
4. 极值：函数的极值包括最大值和最小值，它们表示函数在特定区间内取得的最大和最小的因变量值。
通过导数可以求得函数的极值点，这对于优化问题的求解非常有用。
5. 零点：函数的零点是指满足f(x) = 0的自变量值。
通过求解方程f(x) = 0，可以确定函数的零点。
零点在许多应用领域中具有重要的意义，比如方程的根、函数的交点等。
三、函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
函数的图像有助于我们分析函数的特征，比如在哪些区间内函数递增或递减，是否具有对称性等。
(完整版)高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
函数专题1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。
（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。
（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
函数的概念与性质(5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混)(解析版)2025高考数学一轮知识清单
专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。
显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。
分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
高考一轮复习资料函数的基本性质知识点总结（高中老师手写笔记二）
高考一轮复习资料函数的基本性质知识点总结（高中老师手写
笔记二）
函数的学习贯穿于整个高中数学，占有及其重要的位置。
函数的基本性质是函数的基本主脉，是函数的知识主线，因此，我们要整体把握函数基本性质的基础知识、基本技能，在头脑中要有一个有效的知识网络。
高考大纲对函数的基本性质的要求是：（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（2）会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
所以我们在平常中要强调函数的单调性、奇偶性、周期性和最值的学习，并要熟悉基本初等函数的这些性质，通过练习提升自我。
以下是函数基本性质的知识笔记：。
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函数的基本性质考 点 知 识 梳 理一、单调函数的单调性1、函数的单调性及几何意义2、单调区间的定义：若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数．．．或减函数．．．，则称函数y ＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数y ＝f(x)的单调区间。
注意：（1）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的；（2）函数的单调区间是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域内不一定是单调函数，如f(x)＝x1在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性；（3）“函数的单调区间是．．．．．．．．．M ．”与“函数在区间．．．．．．．．N ．上单调”．．．．是两个不同的概念．．．．．．．．，显然．．．N ． M ．；．4）一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“，”连接，不能用“∪”连接。
3、判断函数单调性的方法：（．1．）定义法：．．．．．（．2．）．求导函数：．．．．．在某个区间(a ，b )内，如果f ˊ(x)＞0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；f ˊ(x)＜0，那么那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减。
（．3．）图象法：．．．．．上升增下降减。
（．4．）直接法：．．．．．①增＋增＝增；②减＋减＝减；③－减＝增，－增＝减；（．5．）复合函．．．．数法：．．．同则增异则减；等。
例1：下列函数单调增区间是]0(，-∞的是（ ） A ：y ＝x1 B ：y ＝－(x －1) C ：y ＝x 2－2 D ：y ＝－︱x ︱ 【解析】：D例2：若函数)(x f 在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )也是增函数，则函数)(x f 在区间(a ，b )∪(b ，c )上是（ ）A ：必是增函数B ：必是减函数C ：是增函数或减函数D ：无法确定单调性 【解析】：D例3：函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0122x x x x ，，的单调递增区间为（ ）A ：(－∞，0)，)0[∞+，B ：(－∞，0)C ：)0[∞+，D ：(－∞，＋∞) 【解析】：D变式练习1：下列函数中，在区间(－1，1)上为增函数的是（ ）A ：y ＝cosxB ：y ＝︱x ＋1︱C ：y ＝－x1 D ：y ＝22x x +- 【解析】：B变式练习2：下列函数中，满足“对任意的1x 、2x ∈(0，＋∞)，当1x ≠2x 时，都有2121)()(x x x f x f --＞0”的是（ ）A ：)(x f ＝x 1B ：)(x f ＝244x x +-C ：)(x f ＝x2 D ：)(x f ＝x 21log 【解析】：C变式练习3：定义在R 上的偶函数，)(x f 满足：对任意的1x 、2x ∈]0(，-∞，当1x ≠2x 时，都有(1x －2x )×()(2x f －)(1x f )＞0，则当x ∈N*，有（ ） A ：)(n f -＜)1(-n f ＜)1(+n f B ： )1(-n f ＜)(n f -＜)1(+n f C ： )1(+n f ＜)(n f -＜)1(-n f D ：)1(+n f ＜)1(-n f ＜)(n f -【解析】：B (1x －2x )×()(2x f －)(1x f )＞0 异号 在]0(，-∞减函数，在(0，＋∞)增函数变式练习4：当x ＞0时，函数)(x f ＝x x 4313-的单调区间是（ ）A ：(2，＋∞)B ：(0，2)C ：(2，＋∞)D ：(0，2) 【解析】：B例4：函数)(x f ＝2)1(22+-+x a ax 在区间]4(，-∞上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ：0＜a ≤51 B ：0≤a ≤51 C ：0＜a ＜51 D ：a ＞51【解析】：B变式练习1：若函数)(x f ＝21++x ax （a 为常数），在(－2，2)内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ：(－∞，21) B ：)21[∞+， C ：(21，＋∞) D ：]21(，-∞ 【解析】：C变式练习2：若函数)(x f ＝⎩⎨⎧≥<-+-1116)23(x a x a x a x ，，，满足对任意1x ≠2x 时，都有2121)()(x x x f x f --＜0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ：(0，1)B ：(0，32) C ：)3283[， D ：)183[， 【解析】：C 减函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<<-a a a a a 162310023变式练习3：若函数)(x f ＝xx 3+是定义在 [1，k ] 上的函数，且恒成)(x f ＞23成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ：]31[，B ：)31[，C ：]31(，D ：)31(， 【解析】：D例5：已知函数)(x f 是(－1，1)上的减函数，且满足)1(a f -＜)12(-a f ，则实数a 的取值范围是（ ） A ：(－1，32) B ：(32，1) C ：(0，32) D ：(0，1) 【解析】：C ⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1211121111a a a a例6：已知函数)(x f 是R 上的减函数，则满足)11(xf -＜)1(f 的实数x 的取值范围是（ ） A ：(－∞，21) B ：(－∞，0)∪(0，21) C ：(－21，＋∞) D ：(－21，0)∪(0，＋∞) 【解析】：B变式练习1：已知偶函数y ＝)(x f 在区间 [－1，0] 上为单调递减函数，设α、β为锐角三角形的两个内角，则（ ）A ：)(sin αf ＞)(cos βfB ：)(sin αf ＜)(cos βfC ：)(sin αf ＞)(sin βfD ：)(cos αf ＞)(cos βf 【解析】：A变式练习2：已知定义域为R 的偶函数)(x f ，且当x ∈)0[∞+，时，)(x f 是减函数，设a＝)2(log 8f 、b ＝)3(2f 、c ＝)5(-f ，则a 、b 、c 的大小关系（ ） A ：a ＞b ＞c B ：a ＞c ＞b C ： b ＞a ＞c D ：c ＞a ＞b 【解析】：B变式练习3：设奇函数)(x f 在区间(0，＋∞)上为增函数，)1(f ＝0，则不等式xx f x f )()(--＜0的解集为（ ）A ：(－1，0)∪(1，＋∞)B ：(－∞，－1)∪(0，1)C ：(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ：(－1，0)∪(0，1) 【解析】：D*变式练习4：若定义在R 上的减函数y ＝)(x f ，对任意的a 、b ∈R ，不等式)2(2a a f -≤)2(2b b f -成立，则当1≤a ≤4时，a b的取值范围是（ ） A ：)141[，- B ：]141[，- C ：]121[，- D ：]121(，- 【解析】：C二、函数的最值1、函数值域：（1）直接法（．2．）配方法（．．．．．3．）单调法（．．．．．4．）．极值法．．．（5）三角代换法2、恒成立问题：（1）若不等式)(x f ＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上min)(x f ＞A ；（2）若不等式)(x f ＜B 的区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上max )(x f ＜B 。
3、存在性问题：（1）若在区间D 上存在实数x 使不等式)(x f ＞A 成立，则等价于在区间D 上max )(x f ＞A ；（2）若在区间D 上存在实数x 使不等式)(x f ＜B 成立，则等价于在区间D 上min )(x f ＜B 。
例7：设函数)(x f ＝xa ax x +-2，若对任意x ∈)3[∞+，，)(x f ＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ：(315，38) B ：(－∞，29) C ：(－∞，4) D ：(29，38) 【解析】：B三、函数的奇偶性1、定义域关于原点对称：2、偶函数、奇函数：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -＝)(x f ，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -＝－)(x f ，那么函数)(x f 就叫做奇函数。
3、判断函数奇偶性的步骤：（1）求函数的定义域；（2）判断定义域是否关于原点对称；（3）求)(x f -；（4）若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-±≠--=-=-数，既是奇函数也是偶函，非奇非偶函数奇函数偶函数)()()()(),()(),()(x f x f x f x f x f x f x f x f[ 特别地：定义域关于原点对称的常数函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数；而定义域关于原点对称的非零常数函数f(x)＝c (c ≠0)则是偶函数 ]4、奇、偶函数的性质：（1）偶函数：①偶函数的图象关于y 轴对称；②)(x f -＝)(x f ;③偶函数的单调性在其对称区间内的单调性相反；④二次函数f(x)＝a x 2＋b x ＋c (a ≠0)是偶函数，则b ＝0。
（2）奇函数：①奇函数的图象关于原点对称；②)(x f -＝－)(x f ;③奇函数的单调性在其对称区间内的单调性相同；④一次函数f(x)＝k x ＋b (k ≠0)是奇函数，则b ＝0；⑤若x ＝0在其定义域内，则有f(0)＝0。
例8：设函数)(x f ＝2xx e e --，则下列正确的是（ ）A ：奇函数，在R 上为增函数B ：偶函数，在R 上为增函数C ：奇函数，在R 上为减函数D ：偶函数，在R 上为减函数 【解析】：A变式练习1：下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上是单调递增的是（ ）A ：)(x f ＝x lnB ：)(x f ＝x x sin 2+C ：)(x f ＝xx 1+ D ：)(x f ＝xx e e -+【解析】B变式练习2：若函数)(x f ＝x)21(为（ ）A ：奇函数在(－∞，0)上是减函数B ：奇函数在(－∞，0)上是增函数C ：偶函数在(－∞，0)上是减函数D ：偶函数在(－∞，0)上是增函数 【解析】：D例9：已知)(x f 是定义在(2a ，a ＋1)上的奇函数，则)31(+a f ＝（ ） A ：－1 B ：0 C ：1 D ：2 【解析】：B例10：已知函数)(x f ＝x x 23-，若)(a f ＋)(b f ＝0，则a ＋b ＝（ ）A ：1B ：0C ：－1D ：不能确定 【解析】：函数为奇函数当自变量互为相反数，则函数值也互为相反数，反之则不一定成立。
原因是由于这个函数的单调性不确定。