2012届高一数学专题复习课件：函数解析式的求法
3.1.2函数的表示法课件(解析式求法)(第1课时)-高一上学期数学人教A版(1)
2
:已知f(
x
x
1)
x
2 x2
1
1, x
求f(x).
f(x) x2 x 1(x 1)
3.已知f(x +
1 ) x
x2
1 x2
- 1,求f(x).
4.已知f(x -
1 ) x
x2
1 x2
- 1,求f(x).
5.已知f(x
1 x
)
x3
1 x3
,求
f(x)的解析式.
f(x) x3 3x(x 2或x 2)
将f(x1)＝2f(xx)－1代入f(x)＝2f(1x) x－1中，
可求得 f(x)＝23 x＋13.
练习2.
3. f (x) 2 f (-x) x2 2x, 求f (x)的解析式； 4. 2 f (1) f (x) x, (其中x 0)，求f (x)的解析式；
x
巩固练习
（1）如果
a2 ab
4 b
, 1
ba213或ab
2 ,
1
f
(x)
2x
1 或f 3
(x)
2x
1.
待定系数法：已知函数f (x)的类型(如一次函数、二次函数)，可设函数 f (x)的解析式，根据条件求出其中的系数，再代回解析式即可得f (x).
例2
待定系数法
【反思】：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式， 首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数。
因为 2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，
所以 2[k(2x＋1)＋b]－[k(x－2)＋b]＝3kx＋4k＋b＝6x＋5，
即 3k＝6，4k＋b＝5，解可得，k＝2，b＝－3，
高一数学求函数解析式的方法
高一数学求函数解析式的方法嘿，同学们！咱今天就来好好唠唠高一数学里求函数解析式的那些事儿。
咱就说函数解析式，那可真是数学世界里的一把钥匙啊！它能帮咱打开好多知识的大门呢。
先来说说待定系数法，这就好比是给函数这个神秘的家伙穿上合适的衣服。
咱先根据题目给的条件，判断出函数的大概模样，然后设出相应的解析式，再通过已知的信息把那些系数给确定下来，这不就大功告成啦！就像拼图一样，一块一块地把它拼完整，是不是很有意思呀？还有换元法，哇哦，这个可神奇啦！就好像变魔术一样。
把一个复杂的式子用一个新的变量来代替，让问题一下子变得简单明了。
就好像把一团乱麻解开，找到那根关键的线头，轻轻一拉，一切都顺顺当当啦。
再说说配凑法，这就像是个巧匠，把各种零件巧妙地组合在一起。
通过对已知式子的摆弄，凑出我们需要的函数解析式，是不是很有成就感呀！咱举个例子哈，比如说有个函数 f(x)满足某个条件，咱就可以通过这些方法去找出它具体的解析式。
这就好像是侦探在破案，根据蛛丝马迹去找到真相。
想象一下，你就是那个聪明的侦探，面对这些函数问题，一点一点地分析，一步一步地找到答案，那感觉多棒呀！而且哦，求函数解析式可不仅仅是为了做题，它在好多实际问题中都有大用处呢。
比如说计算成本啦，预测趋势啦，用处可多了去啦。
所以呀，同学们，一定要把这些方法好好掌握住，它们可是咱在数学世界里闯荡的宝贝呀！别嫌麻烦，多练几遍，你就会发现，原来求函数解析式也没那么难嘛。
加油哦，相信你们都能搞定的！反正不管怎么说，高一数学的求函数解析式方法就是很重要，咱可得认真对待，好好学。
等咱学会了，那数学成绩还不得蹭蹭往上涨呀！哈哈，就这么定啦！。
2012届高一数学专题复习课件：函数解析式的求法
思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题) 函数 f(x)在 x=0 处没有定义，但对所有非零实数 x 有
a(0-2)(0+1)=-2
解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1)
即:y=x2-x-2
练习2:（求下列二次函数解析式）
若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是
直线x=2,且最高点在直线 y 1 x 1 上.
解法:可先求出顶点坐标(2,2),
2
再由题意得
m2 2 0 4m 2
2(m 2 2)
六、迭代法
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b.
∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x2f
1 x
3x
分个析变：量如，果那将么题该目等所式给即的可看f 作x 二, f元 1x方 程，那么必定看还成需两再
找一个关于它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
解 ： 设 F x
f
x
2
f
1 x
3x
(1 )
F
1 x
f
1 x
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.
高一数学如何求函数的解析式
高一数学：如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点（对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关），应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元（配凑）法、方程组法、赋值消元法等．
问题1
问题1：若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？这种方法的一般步骤是怎样的？
答：若已知函数的类型，可用待定系数法求解．即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．
问题2
易错辨析
换元求解析式时忽略自变量范围的变化
总结
求函数的解析式的四种基本方法：
方法一：待定系数法；
方法二：换元法；
方法三：解方程组法；
方法四：赋值法（抽象函数）.。
高中数学函数解析式求法
高中数学函数解析式求法本文介绍了函数解析式的表达形式和求法。
函数的解析式是最常用的函数表示方法之一，包括一般式、分段式和复合式。
分段函数是在不同子集上对应法则不同的函数，而复合函数是由两个函数复合而成的函数。
求解析式的方法包括待定系数法、换元法、配凑法、赋值法和方程法等。
其中待定系数法是根据已知条件设出解析式的一般式，再利用已知条件求出系数的方法。
例如，对于已知二次函数满足某些条件的问题，可以使用待定系数法。
设出二次函数的一般式，再利用已知条件求出系数，从而得到函数的解析式。
这种方法可以在不知道函数具体形式的情况下，通过已知条件求出函数的解析式，非常实用。
总之，了解函数解析式的表达形式和求法，对于解决函数相关的问题非常有帮助。
由第一行的公式可知，根据函数的对称性，可以设函数为二次函数，并设其顶点坐标为(-2.c)。
然后，根据题目中给出的条件，可以列出方程组来求解a和b的值。
由于题目中给出了函数与x轴的两个交点，因此可以利用这个条件来解方程组，最终得出函数的解析式为x^2+2x+1.另外，也可以使用换元法、配凑法、赋值法或方程法来求解这道题。
例如，在第二个例子中，可以使用换元法将f(1+x/11)转化为f(t)，然后再求出f(x)的解析式。
在第四个例子中，可以使用配凑法将f(x+1/2x)拆分成两个部分，然后再求出f(x)的解析式。
在第五个例子中，可以使用赋值法先求出f(0)的值，然后再利用方程组求解f(x)的解析式。
在第七个例子中，可以使用方程法将已知条件转化成方程，然后解出f(x)的解析式。
文章已经没有明显的格式错误和问题段落。
下面是每段话的小幅度改写：首先，我们来看一个方程式：① 2f(x) + f(x) = x。
我们可以通过代换来解这个方程，将①中的x替换为2f(x) + f(x)，得到：② 2f(x) + f(x) = 2f(x) + f(x) + f(x)，简化后得到：② 2f(x)+ f(x) = 3f(x)。
高一数学专题复习课件：函数解析式的求法
法
目录
• 函数解析式的基本概念 • 一次函数的解析式 • 二次函数的解析式 • 分式函数的解析式 • 三角函数的解析式
01
函数解析式的基本概念
函数解析式的定义
பைடு நூலகம்
函数解析式是表示函数关系的数学表达式，它包含了函 数的自变量和因变量之间的关系。
函数解析式通常由代数式、分式、根式等数学符号组成 ，可以表示函数的值域、定义域和对应关系。
详细描述
分式函数的标准形式是分式函数中最简单的一种形式，其特 点是分子是一次多项式，分母是线性因子。这种形式的函数 在解决实际问题中经常出现，如速度、加速度等物理量的计 算。
分式函数的真分式形式
总结词
分式函数的真分式形式是指形如 f(x)=a*(x-b)/(x-c) 的函数，其中 a、b、c 是常 数且 a ≠ 0。
三角函数的辅助角公式
01 辅助角公式的定义
通过三角函数的加、减、乘、除等运算，将一个 复杂的三角函数式化为一个单一的、易于处理的 三角函数形式。
02 辅助角公式的应用
在解决三角函数的求值、化简、证明等问题时， 辅助角公式是一个非常有用的工具。它可以简化 复杂的三角函数表达式，使其更容易处理。
03 常见的辅助角公式
详细描述
分式函数的真分式形式是分式函数的一种特殊形式，其特点是分子和分母都是一 次多项式。这种形式的函数在解决实际问题中也有应用，如路程、时间、速度的 关系等。
分式函数的假分式形式
总结词
分式函数的假分式形式是指形如 f(x)=a*(x+b)/(x^2+c) 的函数，其中 a、b、c 是常数 且 a ≠ 0。
$sin(x + frac{pi}{2}) = cos x$，$cos(x + frac{pi}{2}) = -sin x$，$tan(x + frac{pi}{2}) = cot x$等。
高一数学课件求函数的解析式122正式版
3.若 f(x1)x212,求 f(x)的解析式
x
x2
教学ppt
17
课堂小结
1.本节主要学习了那些内容？
2.各种方法分别都适用于什么样的式 子去求解析式？
教学ppt
18
设 f(x ) 满 足 3 f(x )+ 2 f(1 ) 4 x ,求 f(x ) 的 解 析 式 x
教学ppt
12
已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f(xy)f(x) 2 x y y2y
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
f(x)x2x1
2、拼凑法：通过公式变形能进行整体代换。 3、换元法：已知y=f（g（x））的解析式，求
y=f（x)的解析式，可用换元法，即令t=g（x），反解出x， 然后带入y=f（g（x））中求出f（t），从而求出f（x）。 4、待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法。 5、构造方程法：当同一个对应关系中的两个自变量之间的 互为相反数后者互为倒数关系时，构造方程求解。
f ( x) 2 x 1 或 f ( x) -2 x +1 3
总结：待定系数法求教学解ppt 析式
9
1 .已 知 f(x )是 一 次 函 数 ， 且 满 足 3 f(x 1 ) f(x ) 2 x 9 , 求 f(x ) 的 解 析 式
2.已 知 f(x)是 二 次 函 数 ， 且 满 足 f(0)0, f(x1)f(x)2x,求 f(x)的 解 析 式
总结：赋值法求解析式
教学ppt
13
练习：已知函数 f (x) 对于一切实数 x, y 都有
f(x y ) f(y ) (x 2 y 1 )x成立，且
高一数学重点讲解(一) 2
高一数学重点讲解（一）一、函数解析式的求法1.换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若xx x f -=1)1(,求)(x f . 2.已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f2．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式。
例题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式.练习3．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .3．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例3. （1）已知一次函数)(x f 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图像过原点，求()g x ；练习4．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.练习 5. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f4．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.练习6．的解析式求满足方程已知函数)(,)()()(x f ax x f x af x f =-+练习7. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式二、抽象函数定义域的求法1. 已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 2 、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3、已知[]()f g x 的定义域，求)]([x h f 的定义域例3 的定义域求的定义域为已知函数)12(),2,1()(2+x f x f4、运算型的抽象函数例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．三、二次函数的动轴和动区间问题理论基础：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
1.3.5函数解析式
例4、 已知函数图象如下 则 f(x)=______
y
3
2
1
o 12
x
例5、已知边长为2的正方形ABCD边上有一点E, 沿折线BCDA由B点向A点移动,设点E移动的路程 为x, AEB的面积为y,写出y f (x)的解析式。
D
C
D
E
C
D
C
E
E
A
B
当点E在线段BC上时
x=BE
A
B
当点E在线段CD上时
求f (7) __
例2、已知函数f (x) 是一次函数，且满足 f [ f (x)] 4x 1,求f (x)的解析式
练习、已知二次函数y=f (x)的最大值 等于13，且f (3) f (1) 5,求f (x)
例3、已知2f (x) f (x) 3x 2,求 f (x)的解析式
x=BC+CE
A
B
当点E在线段DA上时
x=BC+CE+DE
作业布置
常规训练1.2.2-------2、4、5、 7、11、12
函数的解析式
三维目标 知识与技能
理解函数的解析式，掌握函数解析式的求法 过程与方法
通过函数解析式的教学，使学生体会从抽象到具体的过程， 培养学生分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观 激发学生学习的积极性，通过练习，及时巩固知识，体会成 功的喜悦 教学重点：函数解析式的求法 教学难点：函数解析式的求法 教学方式：讲练相结合法
一、复习回顾
1:已知f (x) x2 2x 2
x 1 (x 0) g(x) 2 x (x 0)
则: f (2) _____ g[ f (2)] _____
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们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
解：设F x
f
x 2 f
1 x
3x
(1)
F
1 x
f
1 x
2
f
1 1 x
3
1 x
f
1 x
2
f
x
3 x
(2)
有（1）（2）得 f x 2 x x 0
x
【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 2 2 ，求f(x)的解析式；
（2）已知 f ( x 1) x 2 x,求f (x);
（3）已知f(x)满足2f(x)+
f
(
1 x
)=3x,求f(x).
思维启迪 问题（1）由题设f（x）为二次函数，
故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；
问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（3）已知条件中含x，1 ，可用
(3)把题目中的x换成 1 ,得2 f ( 1 ) f (x) 3 ,
x
x
x
联立方程2 2
f f
( (
x) 1) x
f (1) x
f (x)
3x
3 x
① ②
① 2 ②得3 f (x) 6x 3 , x
所以f (x) 2x 1 (x 0). x
四、递推求和法
例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式.
f
(t)
(1)2 t
5·1 t
1 5t t2
(t
0),
故f
(
x)
1
5 x2
x
(
x0Leabharlann .三、解方程组法例3 已知 f(x)+f(x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时).
评注: 这是运用数列中递推公式的思想.
练习1.根据下列条件求二次函数解析式 (1)抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点 解法:抛物线过一般三点
通常设一般式将三点坐标代入
求出a,b,c的值
解:设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c
整理得:
f(
1 1-x
)+f(x)=
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x
2
f
1 x
3x
分该析等：式如即果可将看题作目二所元给方的程，f 那x么, f必 1x定看还成需两再个找变一量个，关那于么它
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
例1
已知
f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
解：方法一：f ( x 1) x 2 2x 2
x2 2x 11 ( x 1)2 1
配凑法
f (x) x2 1
f 3 10
y f x 3 (x 3)2 1 x2 6x 10
方法二：令t x 1,则x t 1
f t f x 1 x2 2x 2 t 12 2t 1 2 t2 1，
则
c0
a1
abc 2
解得：
2 b 5
4a 2b c 3
2 c0
所求的抛物线解析式为:
y 1 x2 5 x 22
(2)抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2) 解法(一)可设一般式列方程组求a,b,c 解法(二)可设顶点式
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入，得
解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, …, f(n)-f(n-1)=an,
将这(n-2)个式子相加, 得:
f(n)-f(2)=a3+a4+…+an=
n-2
(a=1 时);
a3(1-an-2)(1-a)-1 (a≠1 时).
∵ f(2)=8,
∴ f(n)=
n+6
(a=1 时);
f x x2 1. f 3 10. y f x 3 (x 3)2 1 x2 6x 10
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
1 练习.已知f（ x ）=x2+5x,则f(x)=
1 5x x2
(x
0)
.
解析 x 0, 令 1 t,即x 1 (t 0),
x
t
解:
∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
x+1)+1 并且 x
x+1 x
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
2
∴f（x）= 1 x2+2x+1.
2
(2)方法一 设 x 1 t(t 1),则 x t 1. 代 入f ( x 1) x 2 x , 得f (t) t 2 1(t 1), f ( x) x2 1( x 1). 方法二 f ( x 1) x 2 x ( x )2 2 x 11 ( x 1)2 1, 且 x 1 1, f ( x) x2 1( x 1).
x
解方程组法求解.
解 :（1）∵f（x）为二次函数，
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.
由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.
①
又 | x1 x2 |
b2 4ac 2 2,b2 4ac 8a2. ②
|a|
由已知得c=1.
③
由①、②、③式解得b=2,a= 1 ,c=1,
a(-1-2)2-1=2， 解得：a 1
二、换元法
例2.已知 f ( x 1) x 2 2x 2 ，求
f (3)及f x, f x 3
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。