一次函数图像平移的探究
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。
一次函数上下平移和左右平移的变化
一次函数上下平移和左右平移的变化
一次函数上下平移和左右平移的变化
1、上下平移：一次函数上下平移的变化能够用函数的关系式f（x）
= mx +n来表示，即可以通过给出m，n 值来改变函数y = f ( x )的双轴
坐标，使得它的外观做上下平移变化，其中n的值的变化能够改变函
数的纵坐标（y 轴中的点），从而改变图形的上下位置；m的变化能够改变函数的长度，从而改变图形的外观。
2、左右平移：即一次函数左右平移的变化能够用函数 f ( x )- b 的形式来表示，这里的b代表平移量，即给出b的值，函数y = f ( x )的外观
才发生左右平移的变化，b的变化能够改变函数的横坐标（x 轴中的点），从而实现图形的左右移动，同时 m的变化也能够实现图形的长
度变化，从而改变函数f ( x )- b 的外观。
总结：
一次函数上下平移和左右平移的变化可以用相应的函数关系式来表示：一次函数上下平移： y = f ( x ) = mx +n;
一次函数左右平移：y = f ( x )- b;
它们的变化改变能够改变函数的形状，同时改变函数的横纵坐标，有
利于我们更深入的了解函数的变化，学习数学的变化法则。
一次函数向上下左右平移规律
一次函数向上下左右平移规律
一次函数是数学中非常常见的一种函数类型，其形式可以写成y = ax + b的形式，其中a和b都是实数常数。
这个函数图像通常是一条直线，其斜率是a，截距是b。
在本文中，我们将探讨一次函数在平面直角坐标系中的平移规律。
向上平移
如果我们想将一次函数的图像向上平移h个单位，我们只需要将原来的函数变成y = a(x) + b + h的形式。
这是因为在这个新的函数中，常数b增加了h，因此所有的纵坐标也都增加了h，图像整体向上平移了h个单位。
向下平移
相似地，如果我们想将一次函数的图像向下平移h个单位，我们只需要将原来的函数变成y = a(x) + b - h的形式。
这是因为在这个新的函数中，常数b减少了h，因此所有的纵坐标也都减少了h，图像整体向下平移了h个单位。
向左平移
如果我们想将一次函数的图像向左平移k个单位，我们可以通过将原来的函数变成y = a(x + k) + b的形式来实现。
这是因为在这个
新的函数中，x的值增加了k，因此整个函数图像向左平移了k个单位。
向右平移
相似地，如果我们想将一次函数的图像向右平移k个单位，我们可以将原来的函数变成y = a(x - k) + b的形式。
这是因为在这个新的函数中，x的值减少了k，因此整个函数图像向右平移了k个单位。
总结
通过上述四种平移方式，我们可以将一次函数在平面直角坐标系中的图像任意平移。
这种平移方式非常常见，不仅在数学中，也在物理、经济等领域中广泛应用。
掌握这种平移规律，可以为我们的学习和工作带来很多便利。
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
(1)求 一次函数的关系式;
(2)将 该函数的图象向上平移 6个 单位,求 平移后的图象与 艿轴的交点的坐标。
22.一 丬欠函 犭皈
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烈甘z迈 f丿茕(0,-2),置 L=与 堇l线
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它 的函数关系式。
第 4页
23,在 直线 y〓 -:艿 +3上 分另刂找出满足下列条件的点,并 写出它的坐标: (1)横 坐标是-4; (2)和 万轴的距离是 2个 单位。
式为
(A)y〓 -3艿 +2
(B) `〓 -3艿 -2
【】
(C) y〓 -3(苈 +2)
(D) `=-3(丌 -2)
9,直 线 `=弦 十4向 下平移 4个 单位,得 到直线
.
10.函 数 y=‰ -3的 图象 可 以看 作 由 函数 ⒉ +7的 图象 向
`〓
个 单位得 到,
平移
11.把 函数 -2艿 +3的 图象 向下平 移 4个 单位 后 的函数 图象 的表达 式为 【 1
一次 函数 图象 的平移及解析式 的变化规律
我 们 在 研 究 两 个 一 次 函数 的 图 象 平 行 的条 件 时 ,曾 得 出“其 中 一 条 直 线 可 以 由另 外 一 条 直 线 通 过 平 移 得 到”的结 论 ,这 就 涉 及 到 一 次 函数 图象 平 移 的 问题 .
函数 的 图象 及 其 解 析 式 ,是 从 “形 叮 口“数 ”两 个 方 面 反 映 函数 的性 质 ,也 是 初 中
第 1页
竹fjr+刀)+D(竹 ≠0)
一次函数图像的平移变换
一次函数图像的平移变换一次函数又称为线性函数，表示为y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
在数学中，我们经常会遇到需要对一次函数的图像进行平移变换的情况。
本文将介绍一次函数图像的平移变换及其相关概念和公式。
1. 平移变换的概念和基本原理平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的单位长度。
当对一次函数进行平移变换时，只需考虑平移的距离和方向。
2. 沿横轴的平移变换当对一次函数图像沿横轴正方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要减去h。
即新的函数表达式为y = k(x - h) + b。
同样地，当对一次函数图像沿横轴负方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要增加h。
3. 沿纵轴的平移变换当对一次函数图像沿纵轴正方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要增加v。
即新的函数表达式为y = kx + (b + v)。
同样地，当对一次函数图像沿纵轴负方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要减去v。
4. 示例和应用为了更好地理解一次函数图像的平移变换，我们来看一个具体的示例。
假设有一条一次函数的图像，其函数表达式为y = 2x + 3。
我们对该函数图像进行以下平移变换：- 沿横轴正方向平移2个单位长度；- 沿纵轴负方向平移3个单位长度。
对于沿横轴的平移，我们将函数表达式中的x值减去2，得到新的函数表达式y = 2(x - 2) + 3。
这个新的函数表示了原函数向右平移2个单位长度后的图像。
对于沿纵轴的平移，我们将函数表达式中的y值减去3，得到新的函数表达式y = 2x + (3 - 3)。
这个新的函数表示了原函数向下平移3个单位长度后的图像。
通过对一次函数图像的平移变换，我们可以改变函数图像在平面坐标系中的位置，从而更灵活地应用于实际问题中。
5. 总结一次函数图像的平移变换是一种常见的数学操作，通过改变函数表达式中的自变量或因变量来实现。
沿横轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的x值实现，而沿纵轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的y值实现。
一次函数上下平移规律
一次函数上下平移规律
一次函数是一种常见的数学函数，其表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
在这个函数中，a 决定了函数的斜率，而 b 决定了函数的纵轴截距。
平移是指将函数沿着 x 轴或 y 轴方向移动。
对于一次函数，平移的规律可以通过改变常数 b 来实现。
如果将常数 b 改为 b + k（其中 k 为正常数），则函数将向上平移 k 个单位。
换句话说，函数的图像将沿着 y 轴方向上移 k 个单位。
这是因为常数 b 决定了函数与纵轴的交点，通过增加 b 的值，纵轴截距也将增加，从而使函数上移。
同样地，如果将常数 b 改为 b - k（其中 k 为正常数），则函数将向下平移 k 个单位。
函数的图像将沿着 y 轴方向下移 k 个单位。
这是因为通过减小 b 的值，纵轴截距也将减小，从而使函数下移。
这种平移规律可以通过实例来更好地理解。
假设有一条一次函数的表达式为 y = 2x + 3。
如果我们将常数 b 改为 b + 2，即变为 y = 2x + 5，那么函数的图像将向上平移 2 个单位。
同样地，如果我们将常数 b 改为 b - 2，即变为 y = 2x + 1，那么函数的图像将向下平移2 个单位。
总的来说，一次函数的上下平移规律可以通过改变常数 b 来实现。
增加常数 b 的值将使函数上移，减小常数 b 的值将使函数下移。
这种平移规律在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如用于描述线性关系或进行数据分析。
一次函数上下左右平移位置规律
6 4 2 o -2 -4 6 8
y=2x-8 y=2x+8
y=2(x+4)=2x+8 y=2（x-4）=2x-8 y=2x
-6
-4
-2
2
4
6
x
（2）在同一坐标系中作出下列函数的图象
y 3 2 1 -3 -2 -1 o -1 -2 1 2 3 x
思考 做了这三个图像你发现了
K,b跟图像的关系吗?
4.把直线y=-3x+1向左平移2个单位长 度后，其解析式_____，移动后与x 轴的交点坐标为_______。 5.把直线y=2x+5向右平移3个单位长 度后，其解析式_______，移动后 与x轴的交点坐标为_______。 6.把直线y=-x--3向右平移4个单位长 度后，其解析式______，移动后与 x轴的交点坐标为________。
直线的平移
y
例 在同一坐标系内作出下列函数 y＝2x, y＝2x＋3,y＝2x－2的图象。 2x y=2 （ 0， 0 ） （ 1 ， 2）
5 4 3 2
1
y=2x＋3
y=2x
（-1.5，0） y=2 2x＋3（0，3） 2x －2（0，-2） （ 1， 0） y=2
y=2x－2
k相等
两条直线平行
x
-3
-4 -5 -6
（3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？
y=-x+6
y 6 4 2 o -2 -4
y=2x+
-6
-4
-2
2
4
6
x
两条直线相交于Y轴上一点 K1≠K2
b1=b2
注： 两条直线的位置关系：y =
一次函数向上下左右平移规律
一次函数向上下左右平移规律一次函数是数学中非常基础的函数形式，它的表达式形式为y = kx + b。
其中k表示直线的斜率，b则是函数图像在y轴上的截距。
在学习一次函数的图像性质时，我们需要掌握函数的平移规律。
平移就是将原本在坐标系中的函数图像向上、下、左、右移动。
首先，我们来看一下向上平移。
当我们将函数图像向上移动a个单位时，实际上就是在原有函数图像所在的y轴坐标下，加上一个常数a。
因此，函数y = kx + b经过向上平移后，表达式变成y = kx + b + a，直线的斜率k不变，只有截距b加上一个a的值。
接下来是向下平移。
向下平移亦同，只不过此时我们需要将原来的坐标轴y值减少a个单位。
改变后的函数表达式就变成了y = kx + b - a。
斜率仍然是k，但截距则是原有的b减去a。
除了向上向下平移，我们还经常会遇到函数图像需要向左或向右平移的情况。
这时我们需要在原坐标轴的x值上进行加减操作，平移a 个单位时，我们就需要在原有的函数表达式中对x进行加减法。
向左平移，就是在x值上减少a，函数表达式就是y = k(x-a) + b；向右平移，就是在原x值上加上a，函数表达式变为y = k(x+a) + b。
不难看出，向上下左右平移规律对于我们理解一次函数的性质和性质变化非常重要。
在学习过程中，我们需要细心观察图像变化的规律，理解平移的本质，加强对函数的直观把握。
掌握好了这个规律，
我们在处理一次函数的问题时会更加游刃有余，也更容易理解其在现实应用中的价值。
一次函数的图像平移对称垂直规律探究
例题：直线y=-2x-3向左平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向右平移6个
一次函数图象平移垂直对称变化
2、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的垂直规律：
若一次函数直线
y
k
x
1
b1
与直线
y
k
x
2
b2
互相垂直，
则斜率
k
1.k
2
1
，即：k
,
1
k
2
互为负倒数。
b1
与
b2之间
例题：直线y=3x+5向上平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向下平移6个
（2）左右平移；直线y=kx+b向左平移m（m＞0）个单
位长度得到直线y=k（x+m）+b；直线y=kx+b向右平移 m（m＞0）个单位长度得到直线y=k（x-m）+b ；简记
为：左加右减（只改变x）
没有关系
例题:若一次函数直线 y=3x-2与直线y=kx-5互相垂直， 则3×k=-1，则k=-1/3。
一次函数图象平移垂直对称变化
3、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）对称的规律： （1）关于x轴对称的直线的解析式为-y=kx+b： （2）关于y轴对称的直线的解析式为y=-kx+b （3）关于原点对称的直线的解析式为-y=-kx+b （4）关于y=x对称的直线的解析式为x=ky+b
老张讲数学
一次函数图象平移垂直对称变化
一次函数图象平移垂直对称变化
1、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的平移规律：
一次函数图象“平移”的两次教学设计及反思
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童 建 民
浙江 微 ．台州市椒 江 区第二 中学 是 恸
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函 数 图 象 的 教 学 中 ． 师 不 是 认 为 其 没 教 主 函数 ： ＝６＋ 的 新 意 、 单 ． 是 认 为 其 很 难 挖 掘 而 一 过 ｖ 一 与Ｙ 一 ｘ ５ 图象 ．具 体 进 行 简 就
笔 带 过 ． 对 学 生 形 成 函 数 图 象 的 认 识 这
高出同一个高度５ ⑤在 上任 取两个 ； 轴
值 ． 它 向 作 垂 线 与 两 个 函 数 分 别 有 过 轴
四 个 交 点 ． 四 个 点 组 成 的 四边 形 永 远 这
下 列操 作 ： 根 据 表 格 填 写 表 中有 关 数 先 据 ： 在 所 确 定 的坐 标 系 上 按 相 对 应 的 再
是 一极 大 的 浪 费．我 们 要 讲究 函 数 图 象 操 作 的 有 效 化 ． 学 生 在 “ 数 学 ” 过 使 做 的 程 中 得 到 知 识 ． 成 能 力 ．那 么 ． 函 数 形 在 图 象 的 教 学 中 ， 何 有 效 操 作 呢 ？ 下 面 如
上 ．教 师用 几 何 画 板 演 示 函数ｙ ｋ 与 函 ＝ｘ
步 要 求 学 生 从 简 洁 美 的 角 度 对 所 得 到
的 结 论 进 行 概 括 ．于 是 继 续 突 出 问 题 ２
让 学 生 思 考．
浅 述 如 何 通 过 学 生 的 “ 作 ” 反 思 的认 操 、 知 过 程 ． 外 在 的 动 作 物 化 出 来 ． 通 把 又
一次函数图像的平移对称旋转问题
一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。
一次函数的平移规律
一次函数的平移规律一次函数是数学中的基础概念之一，也被称为线性函数。
线性函数是一种特殊的函数，其特点是输入变量的变化与输出变量的变化成正比例关系。
换句话说，当输入变量增加或减少时，输出变量会以相同的比例相应地增加或减少。
这种性质使得线性函数在许多实际应用中极为重要，例如经济学、工程学和物理学等。
对于一次函数，其方程可以写为y = mx + b，其中m和b是常数，分别称为斜率和截距。
斜率决定直线的倾斜程度，截距则决定直线与y轴的截点位置。
换句话说，一次函数的图像是一条直线，可以通过斜率和截距来描述。
一次函数的平移指的是将其图像在平面上偏移的过程。
平移可以使得函数的图像发生水平、垂直或对角移动。
在这篇文章中，我们将探讨一次函数的平移规律，包括水平平移和垂直平移。
水平平移考虑一次函数y = mx + b，在坐标系中表示为一条直线。
如果我们想要将这条直线向左或向右平移h个单位，我们可以将方程写为y = m(x - h) + b。
这样，现在的横坐标x被减去了h，因此函数的图像向左移动了h个单位。
如果将方程写为y = m(x + h) + b，则函数的图像向右移动h个单位。
值得注意的是，当我们平移一条直线时，其斜率不会改变，因为斜率是直线的基本属性。
截距会受到平移的影响。
如果我们将直线向右平移h个单位，截距将变为b - mh；如果我们将直线向左平移h个单位，则截距变为b + mh。
垂直平移与水平平移不同，垂直平移涉及到改变函数的纵坐标。
如果我们想要将一条直线向上或向下平移k个单位，我们可以将方程写为y = mx + (b + k)。
这样，现在的函数值y加上了k，因此函数的图像向上移动k个单位。
如果将方程写为y = mx + (b - k)，则函数的图像向下移动k个单位。
同样地，当我们平移一条直线时，其斜率不会改变，但是截距会受到平移的影响。
如果我们将直线向上平移k个单位，截距将变为b + k；如果我们将直线向下平移k个单位，则截距变为b - k。
一次函数图像变化规律
一次函数图像变化规律一次函数，也称为一次方程，是一种形式为y = ax + b的数学函数，其中a和b为常数，且a不等于零。
在本文中，将探讨一次函数图像的变化规律。
一. 一次函数图像的基本形态一次函数的图像通常呈现为一条直线。
直线的斜率（a的取值）决定了直线的倾斜程度，而截距（b的取值）决定了直线与y轴的交点位置。
二. 斜率对图像的影响1. 斜率大于零时当斜率a大于零时，函数图像会从左下方向右上方延伸，呈现上升趋势。
斜率越大，直线越陡。
2. 斜率小于零时当斜率a小于零时，函数图像会从左上方向右下方延伸，呈现下降趋势。
斜率越小，直线越平缓。
3. 斜率等于零时当斜率a等于零时，函数图像为水平线，与x轴平行。
此时，直线的倾斜程度为零，图像保持平直。
三. 截距对图像的影响1. 截距大于零时当截距b大于零时，函数图像与y轴的交点位于正数区域上方，直线向上平移。
2. 截距小于零时当截距b小于零时，函数图像与y轴的交点位于负数区域下方，直线向下平移。
3. 截距等于零时当截距b等于零时，函数图像与y轴的交点位于原点O上。
四. 斜率和截距的综合影响1. 斜率为正、截距为正当斜率a大于零且截距b大于零时，函数图像呈现上升趋势，并向上平移。
2. 斜率为正、截距为负当斜率a大于零且截距b小于零时，函数图像呈现上升趋势，并向下平移。
3. 斜率为负、截距为正当斜率a小于零且截距b大于零时，函数图像呈现下降趋势，并向上平移。
4. 斜率为负、截距为负当斜率a小于零且截距b小于零时，函数图像呈现下降趋势，并向下平移。
五. 函数图像的平移和缩放1. 平移到右边若对于一次函数y=ax+b，将x增加一个正数c，即x变为x+c，则函数的图像整体向左平移c个单位。
2. 平移到左边若对于一次函数y=ax+b，将x减少一个正数c，即x变为x-c，则函数的图像整体向右平移c个单位。
3. 上下平移若对于一次函数y=ax+b，将整个函数整体上移或下移一个正数d个单位，则函数的图像整体上移或下移d个单位。
一次函数图像平移的探究
一次函数图像平移的探究Revised on November 25, 2020一次函数图像平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b ，它可以看作由直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到(当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x 向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x 向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x -1．需要注意的是，函数图像的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图像的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即反比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图像又该怎样进行平移呢让我们一起进行探究：问题1 已知直线1l ：y=2x -3，将直线1l 向上平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线2l 的解析式为y=2x+ b ，由于直线2l 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直线1l 与两条坐标轴分别交于两点，而直线1l 与y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线2l 的解析式可求． 解：设直线2l 的解析式为y=2x+b ，直线1l 交y 轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b ，得b =-1，从而直线2l 的解析式为y=2x -1．问题2 已知直线1l ：y=2x -3，将直线1l 向下平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．答案：直线2l 的解析式为y=2x -5．(解答过程请同学们自己完成)对比直线1l 和直线直线2l 的解析式可以发现：将直线1l ：y=2x -3向上平移2个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=2x -3+2；将直线1l ：y=2x -3向下平移2个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=2x -3-2．(此时你有什么新发现)问题3 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向上平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．简解：设直线2l 的解析式为y=kx+n ，直线1l 交y 轴于点(0，b )，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m )，把(0，b+m )坐标代入2l 的解析式可得，n=b+m ．从而直线2l 的解析式为y=kx+b+m ．问题4 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向下平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．答案：直线2l 的解析式为y=kx+b -m ．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到：直线y=kx+b 向上平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b +m ，直线y=kx+b 向下平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b -m ，即直线y=kx+b 平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b +m (当m ＞0时，向上平移；当m ＜0时，向下平移)，这是直线直线y=kx+b 上下(或沿y 轴)平移的规律．这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧++=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>m b kx y b kx y m b kx y b kx y m m m m 直线直线直线直线）个单位长度（向下平移）个单位长度（向上平移00．以上我们探究了直线y=kx+b 的上下 (或沿y 轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y 轴)平移，而是左右(或沿x 轴)平移，又该怎样进行平移呢Let ,s go ，让我们一起继续探究！问题5 已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向左平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线2l 的解析式为y=3x+b ，直线1l 交x 轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b ，得b =3，从而直线2l 的解析式为y=3x +3．问题6 已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．答案：直线2l 的解析式为y=3x -27．(解答过程请同学们自己完成)对比直线1l 和直线直线2l 的解析式可以发现：将直线1l ：y=3x -12向左平移5个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=3(x +5)-12；将直线1l ：y=3x -12向右平移5个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=3(x -5)-12．(此时你有什么新发现)问题7 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向左平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．简解：设直线2l 的解析式为y=kx+n ，直线1l 交x 轴于点(k b -，0)，向左平移m 个单位长度后变为(0，k b --m )，把(0，kb --m )坐标代入2l 的解析式可得，n=km+b ．从而直线2l 的解析式为y=kx+km+b ，即y=k (x+m )+b ．问题8 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向右平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．答案：直线2l 的解析式为y=k (x -m )+b ．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到：直线y=kx+b 向左平移∣m ∣个单位长度得到直线y=k (x+m )+b ，直线y=kx+b 向右平移m 个单位长度得到直线y=k (x -m )+b ，即直线y=kx+b 平移∣m ∣个单位长度得到直线y=k (x+m )+b (当m ＞0时，向左平移；当m ＜0时，向右平移)，这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>b m x k y b kx y b m x k y b kx y m m m m )()(00直线直线直线直线）个单位长度（向右平移）个单位长度（向左平移．。
一次函数图象“平移”之规律
1、一次函数图象“平移”之规律2、“一次函数”建模两例3、一次函数图象与方程和不等式1、一次函数图象“平移”之规律函数的图象及其解析式，是从“形”与“数”两个方面反映函数的性质，也是初中数学中数形结合思想方法的重要体现．在平面直角坐标系内，当一次函数图象发生平移（平行移动）时与之相对应的解析式也随之会改变，本文就其变化规律归纳如下，仅供同学们学习时参考．直线的平移与其解析式y kx b k =+≠()0的关系：① 直线y kx b k =+≠()0平移时，系数k 的值保持不变．② 直线y kx b k =+≠()0向上或向下平移m （m >0）个单位时，解析式变为y kx b m =++或y kx b m =+-，这时可简记为“上加（＋），下减（－）”． ③ 直线y kx b k =+≠()0向左或向右平移m （m >0）个单位时，解析式变为y k x m b =++()或y k x m b =-+()，这时可简记为“左加（＋），右减（－）”． 例1．（上海市）在图1，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【分析】通过观察图象可求出直线OA 的解析式，再根据上面平移与解析式之间的关系进行解答．解：设OA 的解析式为：y kx =，因OA 过A （2，4），所以4＝2k ,解得k ＝2，所以OA 的解析式为：2y x =，上移一个单位后，解析式为：21y x =+．例2．把直线y x =-+21平行移动后过点A ()-42，，求平移后的直线解析式，并说明是向上还是向下平移几个单位得到的．【分析】因知道直线平移过点A ()-42，，而平移系数k 不改变．所以可设解析式为：y x b =-+2，进而求b ．解析：根据题意可设所求的直线为：y x b =-+2；由A ()-42，在此直线上，得 2＝－2×(－4)＋b ，解得b ＝－6．故所求直线为y x =--26，由y x =-+21得y x =-+-217知可将原直线向下平移7个单位得到．请同学们再思考一下：若直线y x =-+21左右平行移动后能否过点A ()-42，呢？请说明理由．参考答案：设y x m =-++21()，由A ()-42，，求得m ＝72．所以由y x =-+21得26y x =--知可将原直线向左平移72个单位．2、“一次函数”建模两例建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：“问题情景→建立模型(一次函数)→求解→解释应用”等基本过程．例1．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？【分析】先由表中提供的有序数对在图象中描点，推测出y 与x 是一次函数模型，再用待定系数法求解．然后用所求得的函数关系（模型）解决问题。
一次函数图像平移的探究
一次函数图像平移的探究作者：董兰秀来源：《初中生之友·中旬刊》2012年第06期我们都知道，一次函数y=kx+b的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx向上(或向下)平移b个单位长度得到。
例如，将直线y=3x向上平移1个单位长度就得到直线y=3x+1，将直线y=3x向下平移2个单位长度就可以得到直线y=3x-2。
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移。
但需要注意的是，函数图像的平移，既可以上下平移，也可以左右平移。
那么，对于一个一般形式的一次函数图像又该怎样进行平移呢？让我们来进行探究。
已知直线l1：y=x＋1，将直线l1向上平移2个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。
分析根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l2的解析式为y=x+b，由于直线l2的解析式中只有一个未知数，因此只需一个条件即可。
怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点容易求出，这样就得到一个条件，于是可求出直线l2的解析式。
解设直线l2的解析式为y=x+b，直线l1交y轴于点（0，1），向上平移2个单位长度后变为（0，3）。
把（0，3）坐标代入y=x+b，得b=3，从而直线l2的解析式为y=x＋3。
已知直线l1：y=x＋1，将直线向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。
答案：直线l2的解析式为y=x-2。
（解答过程请同学们自己完成）对比直线l1和直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=x＋1向上平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=x＋1+2；将直线l1：y=x＋1向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=x＋1-3。
（此时你有什么新发现？）这个规律可以简记为：■以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y 轴)平移，而是左右（或沿x轴）平移，又该怎样进行平移呢？让我们继续探究。
一次函数左右平移规律推导过程
一次函数左右平移规律推导过程在平面直角坐标系中，将二次函数图象进行平移，求平移以后的二次函数的解析式，或者已知平移之后的二次函数解析式求平移之前的二次函数解析式，是学生学习中的一个难点，但也是一个充满乐趣，值得探究的知识点．二次函数图象的平移包括上下平移和左右平移．图象的上下平移符合学生直觉，而图象的左右平移恰巧是反直觉的，图象上下平移和左右平移之间的不一致，往往是造成学生理解平移的困难，研究表明，学生理解二次函数左右平移的困难要大于上下平移，上下平移的动作是直接操作在函数上，而左右平移包含的动作首先操作在自变量上，进而再操作到函数上，这是产生困难的原因．无论是哪种平移，都可以用求解析式的方式来解，而且二次函数的平移是可逆的，解题时主要是要理解二次函数平移的整个过程和思路现分类举例说明如下：一、三点法从最直观的角度——三点可以确定一条抛物线，那么就找一条抛物线上的任三点，再找这三点平移之后的对应点坐标，根据待定系数法求解二次函数的解析式．例1 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．解在抛物线y＝x2－2x＋4上任取三个点a(1，1)，b（2，－4），c(－1，5)，把点a、b、c分别向右平移3个单位后得a'(4，1)，b'(5，－4)，c'(2，5)设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵a'(4，1)，b'（5，－4），c'(2，5)在y＝ax2＋bx＋c上．∴∴平移后的函数解析式为y＝－x2＋4x＋1．二、顶点法抛物线平移前后形状相同，位置不同，那么它们的二次项系数是相等的，即知道二次函数解析式中的a，再求出原抛物线的顶点，找出平移以后的顶点，根据待定系数法求解二次函数的解析式．例2 将抛物线y＝－x2－2x＋4向左平移2个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝－（x－h）2＋k．∵ y＝－x2－2x＋4＝－（x＋1）2＋5，∴y＝－x2－2x＋4的顶点坐标是a（－1，5)．∴a（－1，5）向左平移2个单位后得到a'(－3，5)，∴h＝－3，k＝5．∴平移后的函数解析式为y＝－（x＋3）2＋5，即y＝－x2－6x－4三、交点法图象分析也是一种颇有意思的解题过程，学生觉得函数图象的平移就要巧妙地利用图象上的一些特殊点，只要找到函数与坐标轴的交点，把合适的坐标轴上点进行平移，通过左右平移找x轴上的点，上下平移找y轴上的点，将x轴上的点左右平移后，或将y轴上的点上下平移后，代入a相同的二次函数解析式求解即可．例3 将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移4个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝－（x－x1）（x－x2）．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的交点为a(－3，0)，b(1，0)．∵a（－3，0），b(1，0)向右平移4个单位后得到a'(1，0)，b'(5，0)，∴x1＝1，x2＝5，∴y＝－(x－1)(x－5)，即y＝－x2＋6x－5例4 将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移4个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c．将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移，则其形状大小，对称轴不变，故平移后的函数解析式的a和b值不变，∴a＝－1，b＝－2．又抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交点为a(0，3)，而a(0，3)向下平移4个单位后得到a'（0，－1），∴c＝－1．∴平移后的函数解折式为y＝－x2－2x－1．四、图象法从函数图象平移前后点的变化特征出发，可理解为：将函数向右平移时，函数中的x值会变大，而相应的y值不变，那么就要把因为移动而多的单位数减去（向左平移x值减少就要把少的单位数加上），函数值不变例5 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．解抛物线向右平移3个单位时，函数中的x值会增大3个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值减去因为移动而多的3个单位数．故平移后的函数解析式为y＝－（x－3）2－2（x－3）＋4，即y＝－x2＋4x＋1．对于将二次函数向上平移的情况就是函数的y值会增加，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去移动的单位数（向下平移y值减少就要把少的单位数加上），而等式右边不变．例6 将抛物线y＝－x2－2x＋4向上平移3个单位，求平移后的函数解析式．解抛物线向上平移3个单位时，函数的y值会增加3个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的3个单位数，故平移后的函数解析式为y－3＝－x2－2x＋4，即y＝－x2－2x＋7．将平移前后的二次函数解析式进行比较，可以得到常用的函数平移口诀：“左加右减，上加下减；左右平移在括号内，上下平移在括号外．”例7 将抛物线y＝0.5x2－4x＋3先向左平移5个单位，再向上平移6个单位，求平移后函数解析式．解抛物线向左平移5个单位时，函数中的x值会减少5个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值加上因为移动而少的5个单位数．抛物线向上平移6个单位时，函数的y值会增加6个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的6个单位数．y－6＝0.5(x＋5)2－4(x＋5)＋3，化简得y＝0.5x2＋x＋1.5例8 抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位得到y＝－2x2＋20x－52，求平移前函数解析式．解根据二次函数的平移是可逆的，则平移前函数解析式是y－2＝－2(x＋3)2＋20(x＋3)－52，化简得y＝－2x2＋8x－8．数学学习需要在知识获取的过程中有完整的体验，这样才能很好的理解每个知识点。
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一次函数图像平移的探
究
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一次函数图像平移的探究
我们知道，一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，我们称它为直线
y=kx+b ，它可以看作由直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到(当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x 向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x 向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x -1．需要注意的是，函数图像的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图像的上下平移，而非左右平移．
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即反比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图像又该怎样进行平移呢让我们一起进行探究：
问题1 已知直线1l ：y=2x -3，将直线1l 向上平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线2l 的解析式为y=2x+ b ，由于直线2l 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直线1l 与两条坐标轴分别交于两点，而直线1l 与y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线2l 的解析式可求．
解：设直线2l 的解析式为y=2x+b ，直线1l 交y 轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b ，得b =-1，从而直线2l 的解析式为y=2x -1．
问题2 已知直线1l ：y=2x -3，将直线1l 向下平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
答案：直线2l 的解析式为y=2x -5．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线1l 和直线直线2l 的解析式可以发现：将直线1l ：y=2x -3向上平移2个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=2x -3+2；将直线1l ：y=2x -3向下平移2个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=2x -3-2．(此时你有什么新发现)
问题3 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向上平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
简解：设直线2l 的解析式为y=kx+n ，直线1l 交y 轴于点(0，b )，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m )，把(0，b+m )坐标代入2l 的解析式可得，n=b+m ．从而直线2l 的解析式为y=kx+b+m ．
问题4 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向下平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
答案：直线2l 的解析式为y=kx+b -m ．(解答过程请同学们自己完成)
由此我们得到：直线y=kx+b 向上平移∣m ∣个单位长度得到直线
y=kx+b +m ，直线y=kx+b 向下平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b -m ，即直线y=kx+b 平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b +m (当m ＞0时，向上平移；当m ＜0时，向下平移)，这是直线直线y=kx+b 上下(或沿y 轴)平移的规律．
这个规律可以简记为：
⎪⎩⎪⎨⎧++=−−
−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>m b kx y b kx y m b kx y b kx y m m m m 直线直线直线直线）个单位长度（向下平移）个单位长度（向上平移00．
以上我们探究了直线y=kx+b 的上下 (或沿y 轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y 轴)平移，而是左右(或沿x 轴)平移，又该怎样进行平移呢Let ,s go ，让我们一起继续探究！
问题5 已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向左平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线2l 的解析式为y=3x+b ，直线1l 交x 轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b ，得b =3，从而直线2l 的解析式为y=3x +3．
问题6 已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
答案：直线2l 的解析式为y=3x -27．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线1l 和直线直线2l 的解析式可以发现：将直线1l ：y=3x -12向左平移5个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=3(x +5)-12；将直线1l ：y=3x -12向右平移5个单位长度得到直线2l 的解析式为：y=3(x -5)-12．(此时你有什么新发现)
问题7 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向左平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
简解：设直线2l 的解析式为y=kx+n ，直线1l 交x 轴于点(k b -
，0)，向左平移m 个单位长度后变为(0，k b --m )，把(0，k
b --m )坐标代入2l 的解析式可得，n=km+b ．从而直线2l 的解析式为y=kx+km+b ，即y=k (x+m )+b ．
问题8 已知直线1l ：y=kx+b ，将直线1l 向右平移m 个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
答案：直线2l 的解析式为y=k (x -m )+b ．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到：直线y=kx+b 向左平移∣m ∣个单位长度得到直线
y=k (x+m )+b ，直线y=kx+b 向右平移m 个单位长度得到直线y=k (x -m )+b ，即直线y=kx+b 平移∣m ∣个单位长度得到直线y=k (x+m )+b (当m ＞0时，向左平移；当m ＜0时，向右平移)，这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．
这个规律可以简记为：
⎪⎩⎪⎨⎧+-=−−
−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>b m x k y b kx y b m x k y b kx y m m m m )()(00直线直线直线直线）个单位长度（向右平移）个单位长度（向左平移．。