第29讲 曲线方程、圆方程(学生)
各种曲线方程集合
25.长短幅圆外旋轮线
卡笛尔坐标
方程：theta=t*360*10
a=5
b=3
c=5
x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)
y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)
y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)
19.抛物线
笛卡儿坐标
方程：x =(4 * t)
y =(3 * t) + (5 * t ^2)
z =0
20.螺旋线
圓柱坐标
方程：r = 5
theta = t*1800
z =(cos(theta-90))+24*t
y=a*(sin(t*360))^3
11.心脏线
圓柱坐标
方程：a=10
r=a*(1+cos(theta))
theta=t*360
12.圆内螺旋线
采用柱座标系
方程：theta=t*360
r=10+10*sin(6*theta)
z=2*sin(6*theta)
13.正弦曲线
笛卡尔坐标系
方程：x=50*t
柱坐标：
r=sqrt(theta)
theta=t*360*30
z=0
71.罩形线
球坐标:
rho=4
theta=t*60
phi=t*360*10
72.向日葵线
theta=t*360
r=30+10*sin(theta*30)
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
圆的参数方程教案 人教课标版(优秀教案)
《圆的参数方程》教案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．教学内容分析教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。
本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标（一）知识技能目标.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心原点,半径为r的圆的参数方程..明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程..能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标.引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤..通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维.．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．教学重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教学辅助工具几何画板.五.教学方法讨论、探究、讲练结合六.教学过程教学环节情境设计和学习任务师生活动设计意图创设情境回忆曲线的参数方程的定义及如何求曲线的参数方程。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
双曲线方程及其性质(学生版)-高中数学
双曲线方程及其性质1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新Ⅱ卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程直线的点斜式方程及辨析双曲线中的定直线问题2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程求双曲线中三角形(四边形)的面积问题根据韦达定理求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程双曲线中的轨迹方程双曲线中的定值问题2021年新Ⅱ卷，第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解1.双曲线的定义平面上一动点M x ,y 到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 的距离的差的绝对值为定值2a 且小于F 1F 2 =2c 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F 1,F 2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离F 1F 2 叫做双曲线的焦距2.数学表达式：MF 1 -MF 2 =2a <F 1F 2 =2c3.双曲线的标准方程焦点在x 轴上的标准方程焦点在y 轴上的标准方程标准方程为：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)标准方程为：y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)4.双曲线中a ，b ，c 的基本关系(c 2=a 2+b 2)5.双曲线的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)范围x ≤-a 或x ≥ay ∈R y ≤-a 或y ≥ax ∈R 顶点坐标A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)B 1(0,-b )，B 2(0,b )A 1(0,-a )，A 2(0,a )B 1(-b ,0)，B 2(b ,0)实轴A 1A 2 =2a 实轴长，A 1O =A 2O =a 实半轴长虚轴B 1B 2 =2b 虚轴长，B 1O =B 2O =b 虚半轴长焦点F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0,-c )，F 2(0,c )焦距F 1F 2 =2c 焦距，F 1O =F 2O =c 半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)渐近线方程y =±baxy =±a bx离心率e =ca(e >1)e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=1+b a 2⇒e =1+b a2离心率对双曲线的影响e 越大，双曲线开口越阔e 越小，双曲线开口越窄6.离心率与渐近线夹角的关系e =1cos α7.通径：(同椭圆)通径长：MN =EF =2b 2a，半通径长：MF 1 =NF 1 =EF 2 =FF 2 =b 2a8.双曲线的焦点到渐近线的距离为b考点一、双曲线的定义及其应用1.(2024·河北邢台·二模)若点P 是双曲线C ：x 216-y 29=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“PF 1 =8”是“PF 2 =16”的()A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件2.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A 、B 两点，且AB =5，若双曲线的实轴长为8，那么△ABF 2的周长是()A.5B.16C.21D.263.(2024高三·全国·专题练习)若动点P x ,y 满足方程x +2 2+y 2-x -2 2+y 2 =3，则动点P 的轨迹方程为()A.x 294-y 274=1 B.x 294+y 274=1C.x 28+y 24=1D.x 216-y 212=11.(2024·陕西榆林·模拟预测)设F 1，F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的左，右焦点，过F 1的直线与y 轴和C 的右支分别交于点P ，Q ，若△PQF 2是正三角形，则|PF 1|=()A.2B.4C.8D.162.(23-24高三下·山东青岛·阶段练习)双曲线x 2a2-y 212=1(a >0)的两个焦点分别是F 1与F 2，焦距为8;M 是双曲线上的一点，且MF 1 =5，则MF 2 =．3.(23-24高二上·四川凉山·期末)已知点M 2,0 ，N -2,0 ，动点P 满足条件PM -PN =2，则动点P 的轨迹方程为()A.x 23-y 2=1x ≥3B.x 23-y 2=1x ≤-3C.x 2-y 23=1x ≥1 D.x 2-y 23=1x ≤-1 考点二、双曲线的标准方程1.(2024高三下·全国·专题练习)双曲线方程为x 2k -2+y 25-k =1，则k 的取值范围是()A.k >5B.2<k <5C.-2<k <2D.-2<k <2或k >52.(2023高三上·湖北孝感·专题练习)过点2,2 且与椭圆9x 2+3y 2=27有相同焦点的双曲线方程为()A.x 26-y 28=1B.y 26-x 28=1C.x 22-y 24=1D.y 22-x 24=13.(22-23高二下·甘肃武威·开学考试)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5.4.(23-24高三上·河北张家口·开学考试)“k >2”是“x 2k +1-y 2k -2=1表示双曲线”的( )．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2024·辽宁·二模)已知双曲线C ：x 2-y 2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为()A.x 2-y 2=1B.y 2-x 2=1C.x 2-y 2=2D.y 2-x 2=26.(2022高三·全国·专题练习)已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点P3,27,Q-62,7,求该双曲线的标准方程．考点三、双曲线的几何性质1.(2024·福建福州·模拟预测)以y=±3x为渐近线的双曲线可以是()A.x23-y2=1 B.x2-y29=1 C.y23-x2=1 D.y2-x29=12.(2024·广西柳州·模拟预测)双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为( )．A.5B.4C.455D.233.(2024·河南新乡·三模)双曲线E:x2a2+a+2-y22a+3=1的实轴长为4，则a=.4.(2024·湖南益阳·模拟预测)已知双曲线x2m -y2n=1(m>0,n>0)与椭圆x24+y23=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为()A.6B.7C.8D.95.(2022·福建三明·模拟预测)已知双曲线C1:x2+y2m=1m≠0与C2:x2-y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为( ).A.x±y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=06.(2024·贵州·模拟预测)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”C:x2 25-2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为．1.(24-25高三上·江苏南通·开学考试)过点P2,3的等轴双曲线的方程为.2.(2024·安徽合肥·一模)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4，则C的渐近线方程为()A.y=±15xB.y=±3xC.y=±1515x D.y=±33x3.(23-24高三上·河南漯河·期末)已知双曲线C:mx2-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为mx+3y =0，则C的焦距为.4.(24-25高三上·山东泰安·开学考试)若双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个焦点F5,0，一条渐近线方程为y=34x，则a+b=．5.(2024·河南新乡·模拟预测)(多选)已知a>0,b>0，则双曲线C1:x2a2-y2b2=1与C2:x2a2-y2b2=4有相同的()A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线考点四、双曲线的离心率1.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．2.(2024·上海·高考真题)三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3.(2024·全国·高考真题)已知双曲线的两个焦点分别为0,4,0,-4，点-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.24.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A x1,y1，交双曲线的渐近线于点B x2,y2且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是．5.(2022·全国·高考真题)双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为()A.52B.32C.132D.1726.(2024·广东江苏·高考真题)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．1.(2024·河南周口·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为()A.5B.455C.355D.522.(2024·四川成都·模拟预测)双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则其离心率为( )．A.233B.63C.103D.2633.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线的倾斜角为5π6，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.54.(2024·山东·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与E 的右支交于A ，B 两点，且BF 2 =2AF 2 ，若AF 1 ⋅AB=0，则双曲线E 的离心率为()A.3B.173C.233D.1035.(2024·福建泉州·一模)O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，点P 在E 上，直线PF 1与直线bx +ay =0相交于点M ，若PM =MF 1 =2MO ，则E 的离心率为．考点五、双曲线中的最值问题1.(22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习)P 为双曲线x 2-y 2=1左支上任意一点，EF 为圆C :(x -2)2+y 2=4的任意一条直径，则PE ⋅PF的最小值为()A.3B.4C.5D.92.(22-23高三下·江苏淮安·期中)已知F 1,F 2分别为双曲线x 29-y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，则PF 12-PF 2PF 2最小值为()A.19B.23C.25D.853.(22-23高二上·浙江湖州·期末)双曲线x 2m -y 2n =1(m >0,n >0)的离心率是2，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线左支上一点，则PF 2 PF 1的最大值是()A.32B.2C.3D.41.(22-23高三下·福建泉州·阶段练习)双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线P A ，PB 与x =12分别交于M ，N 两点，则MN 的最小值为.2.(2022高三·全国·专题练习)长为11的线段AB 的两端点都在双曲线x 29-y 216=1的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为()A.75B.5110C.3310D.323.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知A ,B 分别是双曲线C :x 29-y 25=1的左、右顶点，P 是双曲线C上的一动点，直线P A ，直线PB 与x =2分别交于M ,N 两点，记△PMN ，△P AB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S 1S 2的最小值为()A.316B.181 C.34D.2581考点六、双曲线的简单应用1.(23-24高三上·江西·期末)阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =5，从F 2发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则sin ∠F 2F 1E =()A.56B.55C.45D.2552.(22-23高二上·山东德州·期末)3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm (数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为()A.5748cm B.2878cm C.5744cm D.2874cm 3.(2023·浙江杭州·二模)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线(F 1，F 2为焦点)上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24-y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P 3,102 处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则OM=．4.(2024·全国·模拟预测)在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线F 2P 和反射光线PE 互相垂直时(其中P 为入射点)，cos ∠F 1F 2P 的值为()A.5+14B.5-14C.7+14D.7-145.(2024·吉林延边·一模)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图)．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x 2-y 24=1(-2≤y ≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．6.(2023·广东茂名·三模)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，从F 2发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过F 1；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分∠F 1PF 2.若双曲线C 的方程为x 29-y 216=1，则下列结论正确的是()A.射线n 所在直线的斜率为k ，则k ∈-43,43B.当m ⊥n 时，PF 1 ⋅PF 2 =32C.当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13D.若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF2=12一、单选题1.(23-24高三下·重庆·期中)已知双曲线y212-x2b2=1b>0的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±13x B.y=±3x C.y=±3x D.y=±33x2.(2024·湖南邵阳·模拟预测)若点-3,4在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线上，则C的离心率为()A.259B.2516C.53D.543.(2024·全国·模拟预测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个顶点坐标为(-2,0)，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x4.(2024高三上·全国·专题练习)已知双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C上的一点，且PF1=5,PF2=3,∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是()A.7B.72C.73D.745.(2024·全国·模拟预测)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F c,0到其渐近线的距离为32c，则该双曲线的离心率为()A.12B.32C.2D.26.(2024·四川·模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A ，B 两点，若AF 1 =2F 1B ，AB =BF 2 ，则cos ∠F 1BF 2=()A.118B.19C.29D.237.(2024·全国·模拟预测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率分别为e 1,e 2，若e 1∈55,1 ，则e 2的取值范围是()A.1,255B.1,355C.255,+∞D.355,+∞二、填空题8.(2024·湖南岳阳·三模)已知双曲线C 过点(1,6)，且渐近线方程为y =±2x ，则C 的离心率为．9.(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C ，则C 的方程为.10.(2024高三·全国·专题练习)求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点A (3,2)和点B (23,1)的椭圆；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(-2,2)的双曲线．一、单选题1.(2024·江西·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，AB ⊥AF 2，tan ∠AF 2B =43，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±32xB.y =±3xC.y =±32x D.y =±62x 2.(2024·山西太原·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为0,-6 ，若动点P 位于y 轴右侧，且到两定点F 1-3,0 ，F 23,0 的距离之差为定值4，则△APF 1周长的最小值为()A.3+45B.3+65C.4+45D.4+653.(2024·广东广州·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，一条渐近线的方程为y =2x ，直线y =kx 与C 在第一象限内的交点为P .若PF =PO ，则k 的值为()A.52B.32C.255D.4554.(2024·湖南长沙·二模)已知A 、B 分别为双曲线C :x 2-y 23=1的左、右顶点，过双曲线C 的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P 、Q 两点(点P 、Q 异于A 、B )，则直线AP 、BQ 的斜率之比k AP :k BQ =()A.-13B.-23C.-3D.-325.(2024·河北·三模)已知O 是坐标原点，M 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 右支上任意一点，过点M作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为12b 2，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.26.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若AB =83AF 1 ，且cos ∠F 1BF 2=14，则双曲线C 的离心率为()A.2B.53C.43D.37.(2024·宁夏银川·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为(0,b )，若C 上存在点P使得PB <b 成立，则C 的离心率取值范围是()A.2+12,+∞ B.5+32,+∞ C.2,+∞D.5+12,+∞二、填空题8.(2024·浙江·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线渐近线上的点，且F 1M ⋅F 2M=0，若MF 1 =2MF 2 ，则该双曲线的离心率e =.9.(2024·辽宁·模拟预测)设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线C :x 29-y 26=1的两个焦点，点P 在C 上，cos ∠F 1PF 2=45，则|OP |=10.(2024·广西来宾·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上一点P 满足sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=3，以F 2为圆心的圆与F 1P 的延长线相切于点M ，且F 1M =3F 1P ，则双曲线的离心率为.1.(2024·天津·高考真题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=12.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.4553.(2023·全国·高考真题)设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-44.(2023·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2．过F 2向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若PF 2 =2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A.x 28-y 24=1B.x 24-y 28=1C.x 24-y 22=1D.x 22-y 24=15.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C 的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．6.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点-4,0 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P ．证明:点P 在定直线上.7.(2022·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，抛物线y 2=45x 的准线l 经过F 1，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若∠F 1F 2A =π4，则双曲线的方程为()A.x 216-y 24=1B.x 24-y 216=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 24=18.(2022·北京·高考真题)已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±33x ，则m =．9.(2022·全国·高考真题)若双曲线y 2-x 2m2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2-4y +3=0相切，则m =．10.(2022·全国·高考真题)记双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值．11.(2021·全国·高考真题)双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为．12.(2021·全国·高考真题)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.13.(2021·北京·高考真题)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1离心率为2，过点2,3 ，则该双曲线的方程为()A.2x 2-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.5x 2-3y 2=1D.x 22-y 26=114.(2021·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则C 的焦距为．15.(2021·全国·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
圆的标准方程教学设计
圆的标准方程教学设计王会群一、教材分析1．教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。
本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。
2．教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。
同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。
应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。
初中教材中对圆的内容降低最低要求。
本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。
3．三维目标(1)知识与技能A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。
(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。
B.探究曲线方程的基本方法。
(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。
4．教学重点圆的标准方程及运用5. 教学难点求圆的标准方程的条件的确定。
二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。
所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。
在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。
因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。
三．学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。
四．教学过程项目具体内容教师活动学生活动教学意图复习复习上节课内容，思考一下几个问题什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ? 教师提问。
圆的标准方程说课稿(精品模板)
圆的标准方程说课稿圆的标准方程说课稿1【一】教学背景分析1. 教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3.教学目标(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4. 教学重点与难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.2.学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程.下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.首先：纵向叙述教学过程(一)创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题________于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.(二)深入探究——获得新知问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为几的圆的方程?2.如果圆心在，半径为__时又如何呢?这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.(三)应用举例——巩固提高I.直接应用内化新知问题三 1.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径为3;(2)经过点，圆心在点2.写出圆的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II.灵活应用提升能力问题四1.求以点为圆心，并且和直线相切的圆的方程.2.求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.3.已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗?已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是什么?我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III.实际应用回归自然问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到0.01m).我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.(四)反馈训练——形成方法问题六1.求过原点和点，且圆心在直线上的圆的标准方程.2.求圆过点的切线方程.3.求圆过点的切线方程.接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.(五)小结反思——拓展引申1.课堂小结把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为，半径为r 的圆的标准方程为;圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：2.分层作业 (A)巩固型作业：教材P81-82：(习题7.6)1，2，4.(B)思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程.3.激发新疑问题七1.把圆的标准方程展开后是什么形式?2.方程表示什么图形?在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计：横向阐述教学设计(一)突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破。
高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)
圆的方程（简答题：一般）1、求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。
2、（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。
（2）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．3、（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.4、已知为圆上的动点,，为定点.（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．6、已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积7、已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．8、已知直线与相较于点，直线.（1）若点在直线上，求的值；（2）若直线交直线分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程。
9、已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.10、已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.11、已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点，（1）求圆方程；（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．15、已知为圆上任一点，且点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率．（2）求的最大值和最小值．（3）若，求的最大值和最小值．16、求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．17、若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．18、已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19、在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．（）求直线的方程．（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．20、已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．21、求半径为2，圆心在直线上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.22、如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)23、如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
数学学案：课堂导学第二讲二圆锥曲线的参数方程
课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹 【例1】 已知A 、B分别是椭圆93622y x +=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的（x 1，y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为（6cosθ，3sinθ）的形式，从而予以求解。
解:由动点C 在该椭圆上运动,故据此可设点C 的坐标为（6cosθ，3sinθ）,点G 的坐标为（x ，y)，则由题意可知点A(-6,0）、B （0，3). 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+-=++-=.sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ得到4)2(2+x +(y —1）2=1，即为所求。
温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得更简单、更便捷. 各个击破 类题演练 1已知双曲线2222by a x -=1（a>0，b>0）的动弦BC 平行于虚轴，M 、N 是双曲线的左、右顶点。
（1）求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；（2）若P （x 1,y 1),B(x 2,y 2),求证：a 是x 1、x 2的比例中项。
（1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ）,则点C(asecθ,-btanθ）,又M(—a ，0),N （a,0)，∴直线MB 的方程为y=aa b +θθsec tan (x+a ），直线CN 的方程为y=θθsec tan a a b -(x-a)。
将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2222by a x +=1。
（2）证明：因为P 既在MB 上,又在CN 上，由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a,而x 2=asecθ，所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项.变式提升 1在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是___________.解析：t=21-x 代入y=2t 2-1得y=2(21-x )2—1,即（x —1）2=2(y+1).答案：抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】 在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点，使它到直线l:3x —2y-16=0的距离最短，并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为7422y x +=1的形式，则可设椭圆上点A 坐标为(2cosα，7sinα），则A 到直线l 的距离为d=13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--αβαα（其中β=arcsin 43).∴当β-α=2π时，d 有最小值,最小值为13138138=. 此时α=β—2π，∴sinα=—cosβ=47-,cosα=sinβ=43.∴A 点坐标为（23,47-）。
2015-2016学年高二数学必修2课件 第四章 第一节 圆的方程-2
课前预习目标
课堂互动探究
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第四章 圆与方程
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－ a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋ (y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
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(2)圆的方程，是特殊的二元二次方程，其中x2与y2项的系 数都是1，缺少xy项，且当D2＋E2－4F>0时，②才是圆的一般 方程．
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二 求圆的一般方程
【例2】 试判断A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，D(4,3)四 点是否在同一圆上．
【分析】 先求过A，B，C三点的圆的方程，再把D代入 圆的方程，看是否成立即可．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
圆的方程(单元教学设计)-高中数学新教材选择性必修第一册
2.4 圆的方程的单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容本章确定圆的几何要素，由两点间距离公式推导得到圆的标准方程，进而得到圆的一般方程.（二）内容解析内容本质：圆是基本平面曲线，是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的标准方程.在圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程.通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的几何问题.蕴含的思想与方法：根据确定圆的几何要素：圆心与半径，利用两点间距离公式将几何条件代数化的过程，体现了坐标法的本质。
这是学生在直线的方程的基础上再次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学核心，本单元同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、转化与化归等数学思想方法.知识点上下位关系：圆的方程是在研究直线与方程的基础上对解析几何的进一步研究，学生体会运用坐标法、几何法、数形结合的思想研究几何图形.本单元内容属于解析几何的基础知识，在学习圆方程的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.并且开始了对二次曲线的研究，为后续圆锥曲线的学习做了铺垫.所以本单元内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.育人价值：通过探讨圆的方程及其推导,培养学生数学抽象和逻辑推理的学科素养；通过求圆的标准方程并应用,培养学生数学建模和数学运算的学科素养；通过对圆图形的认识，培养学生直观想象的核心素养，培养学生对美的认识.通过本单元的学习，使学生发展“四基”，提高“四能”.教学重点：圆的标准方程和一般方程.二、目标和目标分析（一）单元目标确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.能说出确定圆的几何要素是圆心和半径，明确在平面直角坐标系中建立圆的标准方程是利用两点间距离为定值的一种代数表达，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.2.掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径.3.能够根据具体条件，选择适当的圆的方程的形式，求出圆的标准方程或圆的一般方程.三、教学问题诊断分析1.学生在本单元学习之前，已经学习了直线的方程，经历了在平面坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程，初步体会了数形结合思想在解析几何中的应用.但由于时间尚短、难度较浅，对坐标法以及曲线的方程，认知还存在一定的模糊.2.本单元是学生学习解析几何的基础，也是学生第一次接触“曲线”，第一次接触“二元二次方程”，因此在具体学习过程中可能会遇到寻找几何关系、运用几何性质简化几何关系、几何问题代数化、具体代数运算等问题.3.确定圆的方程时，选择适当的方程形式是难点。
十年（2011-2020）高考真题数学分项详解（全国版）专题29圆锥曲线的综合问题（原卷版）
专题29圆锥曲线的综合问题25线与椭圆直线与椭圆考点出现频率2021年预测考点98曲线与方程37次考1次命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；（3）证明、探究性问题．核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象考点99定点与定值问题37次考6次考点100最值与范围问题37次考5次考点101探索型与存在性问题37次考3次考点98曲线与方程1．（2020山东）已知曲线22:1C mx ny +=．（）A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m=n>0，则CC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m=0，n>0，则C 是两条直线2．（2020天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=3．【2019北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③4．（2020全国Ⅱ文19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．5．（2020全国Ⅱ理19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．6．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．7．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．8．（2016全国Ⅲ文理）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2015江苏理）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．10．（2014广东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．11．（2014辽宁理）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．12．（2013四川理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．13．（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．考点99定点与定值问题14．【2020全国Ⅰ文21理20】已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．15．【2020山东】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．16．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．17．【2019北京理】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．【2019全国Ⅲ文】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．19．【2019北京文】已知椭圆2222:1x yCa b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20．【2018北京文20】（本小题14分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为3，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的焦点,A B （I ）求椭圆M 的方程；（II ）若1k =，求AB 的最大值；（III ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．21．【2018北京理19】（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ，过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交于y 轴与M ，直线PB 交y 轴与N ．（I ）求直线l 的斜率的取值范围．（II ）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ== ，求证：11λμ+为定值．22．（2017新课标Ⅰ理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,2P =-，43(1,2P =中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．23．（2017新课标Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．24．（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4：5．25．（2016年全国I 理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．26．（2016年北京文）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．27．（2016年北京理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．28．（2016年山东文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k'为定值；(ii)求直线AB 的斜率的最小值．29．（2015新课标2文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．30．（2015新课标2理）已知椭圆C ：2229x y m +=（0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015陕西文）如图，椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）经过点(0,1)A -，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP与AQ 的斜率之和为2．32．（2014江西文理）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值．33．（2013山东文理）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．34．（2012湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点100最值与范围问题35．【2020年江苏18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标．36．【2020浙江21】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．37．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值．38．【2019浙江】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G的坐标．39．（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上．（I ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（II ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围．40．（2017浙江文理）如图，已知抛物线2x y =．点11(,24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．41．（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为22，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．42．（2017山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．43．(2016全国II 理)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．44．(2016天津理)设椭圆13222=+y a x (3)a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．45．（2016浙江文）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -．（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ．求M 的横坐标的取值范围．45．（2015重庆文）如图，椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ ⊥1PF ．（Ⅰ）若12PF =+，22PF =-|，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率e 的取值范围．46．（2014新课标1文理）已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．47．（2014浙江文理）如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．48．（2015山东理）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．49．（2014山东文理）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．50．（2014山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x=被椭圆C 截得的线段长为5．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ⅱ）求OMN ∆面积的最大值．51．（2014四川文理）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．52．（2013广东文理）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．53．（2011新课标文理）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．54．（2011广东文理）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M (,55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．考点101探索型与存在性问题55．【2018上海20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ,，直线:l x t =，曲线()2:800y x x t y Γ=≤≤≥,．l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B P Q ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设,23t FQ ==，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP FQ ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．56．（2016全国I 文）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求||||OH ON ；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．57．（2015新课标1理）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．58．（2015北京理）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．59．（2015湖北理）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．60．（2015四川理）如图，椭圆E：2222+1(0)x y a ba b=>>的离心率是22，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,A B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．61．（2015浙江理）已知椭圆2212x y+=上两个不同的点,A B关于直线12y mx=+对称．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．62．（2014湖南文理）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．63．（2013安徽文理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．64．（2013湖北文理）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=并说明理由．65．（2012广东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．66．（2011山东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x=-于点(3,)D m-．（Ⅰ）求22m k+的最小值；（Ⅱ）若2OG OD=∙OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计
圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。
二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。
问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。
人教版高数选修2第2讲：方程与曲线(学生版)
曲线与方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．【重点知识梳理】1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——________________________________________．(2)设点——_____________________________________________________．(3)列式——__________________________________________________________．(4)代换——_____________________________________________________________________．(5)证明——______________________________________________________．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．类型一 曲线与方程的关系例１：如果曲线C 上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有( ) A.方程F(x,y)=0表示的曲线是C B.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}练习１：f(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件练习2.(2014•石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是( )A. B. C. D.类型二 直接法求轨迹方程例2：已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.试求动圆圆心的轨迹C 的方程．练习1：在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．练习2：平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6，求圆O 的方程。
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第29讲 曲线方程、圆方程
班级_________姓名_________学号_________
一． 填空题：
1、斜率为3，且与圆 x 2 + y 2 =10 相切的直线方程是
2、已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是 ____
3、若),(y x P 是曲线C ：16
2
2
=+y
x 上的一点，则
y
x +3的最大值为___________
4、直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于两点M 、N ，若满足C 2＝A 2＋B 2，则
O M ·O N
（O 为坐标原点）等于
5、从动点)2,(a P 向圆1)
3()3(2
2
=+++y x 作切线，其切线长的最小值是
6、
已知直线2m y =+与圆222x y n +=相切，其中m ，n N *∈，且||5m n -≤．则满足条件的有序实数对(,)m n 共有 个。
7、已知关于y x ,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=.
0,
22m y x x x y 有两组不同的解，则实数m 的取值范围是
____________
8、过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是 9、若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时, 动点M 的轨迹方程是
10、 如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限. C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭，△AOB 为正三角形，
则sin C O A ∠= ；cos C O B ∠=
11、 已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形。
二、选择题
12．到两坐标轴的距离之和为6的点的轨迹方程是
（ ）
A ．x ＋y ＝6
B ．x ±y ＝6
C ．|x |＋|y|＝6
D ．|x ＋y|＝6
13．平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3,－1),C(2,－3)两点,D 点在直线3x －
y+1=0上移动，则B 点轨迹所在的方程为 （ ） A ．3x －y －20=0 B ．3x －y －10=0 C ．3x －y －9=0 D ．3x －y －12=0 14．“点Ｍ在曲线y ＝｜x ｜上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的 （ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件
D ．非充分非必要条件
15．已知圆x
x g x x f y x y x C 2)(,log
)()0,0(4:2
22==≥≥=+与函数的图象分别交
于2
2212211),,(),,(x x y x B y x A +则等于
（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
三、解答题
16．若M 为直线032:=+-y x l 上的一点，A （4，2）为一定点，又点P 在线段AM 上
运动，且||3,||
AP PM =求动点P 的轨迹方程。
17．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为2
2
的圆的方
程。
18．已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB ，
求m 的值。
19．设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；
（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并写出该直线的方程．
20．如图，矩形A B C D的两条对角线相交于点(20)
M，，A B边所在直线的方程为--=, 点(11)
T-，在A D边所在直线上．
x y
360 Array（1）求A D边所在直线的方程；
（2）求矩形A B C D外接圆的方程；
（3）若动圆P过点(20)
N-，，且与矩形A B C D的外
接圆外切，求动圆P的圆心的方程。