高等教育：刚体的旋转 Rotation of Rigid Body
大学物理学——刚体的转动PPT课件
mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止． 求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
解：
在走动过程中,人－盘系统 L=Const.
解：
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法：
大小：
方向：//转轴, 符合右手螺旋
r v Ｏr
线速度：
v
r
验证：
大小：
r 方向：
4
F1
an at
F1
4
法向：
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式：
大学物理-刚体的转动
O
L
C
Jo m(
3L)23m2L 3
可见，同一刚体对不同转轴的转动惯量是不同的，只 有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。
例题 均匀杆质量m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。
解： dmdx
l
O x dx
JO
x2dm l x2dx 0
l3 1 ml2
J2
3、刚体的转动惯量 rotational inertia (moment of inertia)
J miri2
单位: kg m2
质量连续分布时
体分布 dmdv 体密度
J r2dm 面分布 dmds 面密度 线分布 dmdl 线密度
转动惯量与下列三个因素有关： ⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转
刚体定轴转动定律的应用
例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘,绳的两
端分别悬有质量为m 1 和m 2 的物体，m 1 ＜ m 2 ，如图所 示，设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力
矩为 M r ，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速
度和绳的张力。
T2
解： 受力分析如图
a
按牛顿运动定律和转动定律 m2g 可列出下列方程
刚体定轴转动的特点
z
⑴刚体上各个质点都在做圆周运动,但 各质点圆周运动的半径不一定相同； ⑵各质点圆周运动的平面垂直于轴,圆 心在轴线上； ⑶各质点的矢径,在相同的时间内转过 的角度是相同.
4、刚体的一般运动
A r1
o1
A'
大学课件：《刚体的转动 》
2. 刚体的定轴转动 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且
在相同时间内转过相同的角度.
特点：
各点角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动. 可当作质点的圆周运动处理.
3. 刚体的一般运动 可视为平动和转动的(rotation)合成运动.
随质心的平动 绕通过质心的轴的转动
3
方向：
二、转动定律
对 mi 用牛顿第二定律：
Fi fi Δmiai
切向分量式为：
Fi sini fi sini Δmiait
ait=ri
两边乘以ri
Firi sini firi sini Δmiri2
外力矩
内力矩
z
fi
i
O ri
mi
Fi
i
对所有质元的同样的式子求和：
重力对整个棒的合力矩与全部
x
O
重力集中作用在质心所产生的
C
力矩一样.
xc
1 2
l
cos
M 1 mgl cos mgxC
2
M J
1 mgl cos
2 1 ml 2
3g cos
2l
3
X dm
dmg
M J J d J d d J d dt d dt d
3. 角速度和角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
说明：定轴转动中，ω、β 的方向可
用正负表示.
4.
线量与角量的 关系
v
r
(v r )
v
基础物理刚体的转动
刚体是实际物体 的理想模型。 2、刚体的平动 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种运动 称为刚体的平动。 特征：刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等。 刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。
z ,
ri
刚体
v i Fi
Δm i
dL M外 ( 对 O 点) dt
M 外z d Lz ( 对 z 轴) dt
O×
定轴
ri
一、对转轴的力矩
刚体上点 P ，且在转动平面内, r 为 由点O 到力的作用点 P 的径矢。
刚体绕 O z 轴旋转 , 力F 作用在
O
B A
3g 3 3 sin g L 3 2L
2
3 3gL 2
3 3g 2L
vB L 3 3gL 2 8
2)由v r得：vA L
5.2 刚体的定轴转动定律 The Law of Rotation About a Fixed Axis
观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。 2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，α小时， 转速不易 改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
（描述刚体转动惯性大小的物理量） 一、定义： 刚体对转轴的转动惯量刚体中每个质元的质 量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。
5.4 转动定律的应用
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系 （质心系亦可）。 2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，α小， 转速不易 改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
力学5刚体的定轴转动1.
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 3
mL2
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，
则有：J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
19
二. 计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴J具有可叠加性
J Ji
20
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
21
2.平行轴定理 J JC md2
JC
J
m
C× d
与牛顿第二定律相比，有：
M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
11
哪种握法转动惯量大？
12
§5.3 转动惯量的计算
质点系 J miri2
dm
连续体 J r2 d m
mr
m
J 由质量对轴的分布决定。
转轴
一. 常用的几种转动惯量表示式
13
1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。
4
▲ 定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动，
且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
力学 第五章刚体的转动
J 2 mR2 511
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚
体对于后一轴的转动惯量为：J
例：
L
c
m
Jc
Jc 1
12
md mL2
2
L
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
t1
2．刚体定轴转动的角动量
L J （Pv mvv）
3．刚体系定轴转动的角动量定理
vv 微分形式 Mdt dL
v M
v dL dt
积分形式
t2 t1
v M 外 dt
n 1
v Li 2
n 1
v Li1
Jv2 Jv1
40
4．刚体系角动量守恒定律
mr，2 则挖去小圆盘后剩余
部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
答案：
R
o
r
J 1 (4M 3m)r2 2
13
四、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
M J d J
dt
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M
J
(t
)
(t )
xdm m
N
yimi
ydm
yc i1 m
m
N
zimi zdm
zc i1 m
m
质心是相对于质点系本身的一个特定位置, 其相对位置不随坐标系选择而变化。
26
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
5刚体的定轴转动
2J
yc
m(R
l )2 2
R
l
R
m
m
2( 2 mR2 mR2 mlR ml2 )
5 14 mR2 2mlR ml2
4
(2)J //
2J y//
2
2 5
mR2
5
2
4 mR2
5
39
例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的
圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
6
7
三、 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周
运动。
角位移
角速度
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
11
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+αt 得
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
N 分别为
板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂
直的轴的转动惯量。
JO
J DO
J dO
1 2
MR 2
1
2
md
R 2
2
md
(
R )2 2
1 2
MR 2
3 2
md
R 2
chapter 3 rotation of a rigid body
i
12mii2
1 2
miri2 2
Ek
1 2
J2
16
3、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (π )m s2 6
0.105 m s2
an r 2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2 13
§3-2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量
质点的角动量
质点的质量为m
位矢为
r
速度为 v
m3
mn
整个刚体对转轴的角动量 L miviri
miri2 J
定义：J miri2 刚体的转动惯量rotational inertia
（与刚体的形状、质量分布及转轴的位置有关） 15
2.刚体的转动动能rotational kinetic energy of a rigid body
(1) 在过P点的转动平面内 O点：转轴与转动面的交点 过O点引入一坐标轴ox
(2) 刚体转动则P点随之转动
从O点引向P点一矢径 r
r 与ox轴的夹角为 : 称为角坐标
z
P
O P x
N
6
角坐标 (t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
第三章、刚体的转动(Motion of Rigid Body)
平 动 面 转
M
θ
v
x
ω
线速度与角速度的关系
Rigid Body
v r
o ´
r
参 考 方 向
Rigid Body ω
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结束
第三章 刚 体 Rigid Body §3-2 转动动能 Rigid Body 转动惯量(Moment of Inertia) 一、质点和刚体的转动动能 mi 的动能： 质元 Rigid Body 1 刚体的转动动能： m v 2 1 m (r ) 2 1 m r 2 2 Ei i i i i i i 2 2 2 1 1 2 2 2 Ek E i ( mi ri ) I Rigid Body 2 2
Rigid Body
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Rigid Body
Rigid Body
第三章
刚 体
§3-1 刚体的一般运动及定轴转动 Rigid Body 刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。
Rigid Body
刚体运动的基本形式： 平动：刚体中任意两点的连线在运动中始 终保持彼此平行 Rigid Body 任意一点的运动都可代替刚体的运动。 常以质心作为代表点。
刚 体
Rigid Body
质量为体分布
、、分别为质量的线密度、面密度
和体密度。
Rigid Body
dm dV
Rigid Body 2、两个重要定理：
平行轴定理
I z I zc md 2
Rigid Body 正交轴定理 I z I x I y Rigid Body
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物 体 作 平 动
Rigid Body
刚体旋转
Ch11 剛體旋轉 (Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis)11.1 旋轉運動學 (Rotational Kinematics)◎ 弧長s 與角度θ的關係: θ=r s , 其中r 為半徑 ※角度單位為 rad → 2π rad = 360º = 1 rev (rev = revolutions) ◎ 平均角速度if if av t t t -θ-θ=∆θ∆=ω ◎ (瞬時)角速度dtd t t θ=∆θ∆=ω→∆0lim※角速度單位為 rad/s → 2π rad /s = 1 rev/s = 60 rev/min = 60 rpm※ 等速率圓周運動的角速度f Tπ=π=ω22, 其中T 為周期, f 為頻率 ※ 等速率圓周運動的切線速度ω=r v t , 其中r 為半徑◎ 平均角加速度if if av t t t -ω-ω=∆ω∆=α ◎ (瞬時)角加速度dtd t t ω=∆ω∆=α→∆0lim※角加速度單位為 rad/s 2 → 2π rad /s 2 = 1 rev/s 2※切線加速度a t 與角加速度α的關係: α=r a t , 其中r 為圓周運動半徑※向心加速度22r ω==r r v a , 其中v 為切線速度, r 為運動軌跡的曲率半徑 ※加速度向量t r a a a+=, 其大小為2t 2r a a a +=◎ 等加角速度運動公式:20021t t α+ω+θ=θ,(11.7) −−→←類似20021at t v x x ++= t α+ω=ω0,(11.8) −−→←類似at v v +=0 )(20202θ-θα+ω=ω(11.9) −−→←類似)(20202x x a v v -+=例 11.1 直徑為20 cm 的飛輪, 以固定的角加速度60 rad/s 2, 於t = 0由靜止開始加速, 求:(a) 邊緣上一點的切線加速度=? (b) 當t = 0.25 s, 它共轉了多少圈? <Sol>(a) 切線加速度 a t = r α = (0.2 m)(60 rad/s 2) = 12 m/s 2(b) 20021t t α+ω+θ=θ, 其中θ0 = 0, ω0 = 0, → 221t α=θ= 21(60 rad/s 2) (0.25 s)2 = 1.875 rad→ 圈數 = (1.875 rad) / (2π rad/圈) = 0.298圈◎純滾動 (Rolling): 純滾動的圓形物體, 其圓心的前進速度為ω=R v c , 其中R 為半徑, ω為角速度 ※接觸地面的點, 對地的速度為零 → 靜摩擦 ※圓形物體最高處, 對地的速度為c 2v例: 汽車的輪子半徑為R = 0.2 m, 以角速度ω = 60 rpm 行駛了1 min, 求行駛的距離 = ? <Sol> ω = 60 rpm = 1 rev/s = 2π rad/s →ω=R v c = (0.2 m) (2π rad/s) = 0.4π m/s→行駛的距離 = v c t = (0.4π m/s) (60 s) = 75.4 m例 11.2 證明滾動的輪子邊緣上任一點B 的速度, 與此點至觸地點P 的連線互相垂直。
大学物理课的刚体的转动一章
二、转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的规律——转动定律。
第一定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的 合外力矩（对该转轴而言）等于零时，它将保 持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止， 原来转动的则仍保持原来的角速度转动。
第二定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的 合外力矩（对该转轴而言）不等于零时，它将 获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的 方向相同；角加速度α 的量值与合外力矩M的 量值成正比，并与转动惯量I成反比 .
面分布
体分布 2 决定 I 的三要素: (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
例1 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
r
dr
2
dr l 2 O´
O´
l
解 设棒的线密度为 处的质量元 dm dr
3
，取一距离转轴OO´为
dI r dm r dr
dm ds 2π rdr
2 3
R
dM rdf r gdm
摩擦力矩
M - dM 0
R
mgR
2 3
由转动定律
M I
0
d dt
mgR
1 2
mR
2
d dt
3R 0 dLeabharlann 0 4gdt3R 0 t 4 g
3.4 力矩的功 转动动能定理
N
2L d d d XO r dt d dt d 3g mg sin( ) d 2L 2 3g d cos d 2L /2 3g cosd 两边积分： d 2L 0 0
刚体旋转力学
Ch11 刚体旋转 (Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis)11.1 旋转运动学 (Rotational Kinematics)◎ 弧长s 与角度θ的关系: θ=r s , 其中r 为半径※角度单位为 rad → 2π rad = 360º = 1 rev (rev = revolutions) ◎ 平均角速度if if av t t t -θ-θ=∆θ∆=ω ◎ (瞬时)角速度dtd t t θ=∆θ∆=ω→∆0lim※角速度单位为 rad/s → 2π rad/s = 1 rev/s = 60 rev/min = 60 rpm※ 等速率圆周运动的角速度f Tπ=π=ω22, 其中T 为周期, f 为频率 ※ 等速率圆周运动的切线速度ω=r v t , 其中r 为半径◎ 平均角加速度i f if av t t t -ω-ω=∆ω∆=α ◎ (瞬时)角加速度dtd t t ω=∆ω∆=α→∆0lim※角加速度单位为 rad/s 2 → 2π rad/s 2 = 1 rev/s 2※切线加速度a t 与角加速度α的关系: α=r a t , 其中r 为圆周运动半径※向心加速度22r ω==r r v a , 其中v 为切线速度, r 为运动轨迹的曲率半径 ※加速度向量t r a a a+=, 其大小为2t 2r a a a +=◎ 等加角速度运动公式:20021t t α+ω+θ=θ,(11.7) −−→←類似20021at t v x x ++= t α+ω=ω0,(11.8) −−→←類似at v v +=0 )(20202θ-θα+ω=ω(11.9) −−→←類似 )(20202x x a v v -+=例 11.1 直径为20 cm 的飞轮, 以固定的角加速度60 rad/s 2, 于t = 0由静止开始加速, 求:(a) 边缘上一点的切线加速度=? (b) 当t = 0.25 s, 它共转了多少圈? <Sol>(a) 切线加速度 a t = r α = (0.2 m)(60 rad/s 2) = 12 m/s 2(b) 20021t t α+ω+θ=θ, 其中θ0 = 0, ω0 = 0, → 221t α=θ= 21(60 rad/s 2) (0.25 s)2 = 1.875 rad→ 圈数 = (1.875 rad) / (2π rad/圈) = 0.298圈◎纯滚动 (Rolling): 纯滚动的圆形物体, 其圆心的前进速度为ω=R v c , 其中R 为半径, ω为角速度 ※接触地面的点, 对地的速度为零 → 静摩擦 ※圆形物体最高处, 对地的速度为c 2v例: 汽车的轮子半径为R = 0.2 m, 以角速度ω = 60 rpm 行驶了1 min, 求行驶的距离 = ? <Sol> ω = 60 rpm = 1 rev/s = 2π rad/s →ω=R v c = (0.2 m) (2π rad/s) = 0.4π m/s→行驶的距离 = v c t = (0.4π m/s) (60 s) = 75.4 m例 11.2 证明滚动的轮子边缘上任一点B 的速度, 与此点至触地点P 的联机互相垂直。
刚体的定轴转动资料
N
N
N
Firi sin i firi sin i (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sin i 0
i 1 13
得到： N
N
Firi sin i (miri2 )
如：
JC
1 mR2 2
J
JC
J JC mR2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小.
23
证明平行轴定理.轴的任意转轴。取质
心为原点。刚体绕 O O 轴的转动惯 量为
h P ri ri'mi
J
刚体上任一点P的线速度和角速度之间的关系为
v r
、本来是矢量，由于在定轴转动中
轴的方位不变，只有沿轴的正负两个方 向，故可以用标量代替。
O r v
P
4.刚体运动学中角量关系及角量和线量的关系：
＝ d
dt
d
dt
d 2
dt 2
v r at r an r 2
0 t
2
2 0
2
x
v0t
1 2
at
2
v v0 at
v2
v2 0
2ax
8
例. 一条绳索绕过一滑轮拉动一升降 机，滑轮半径r=0.5m，如果升降机从 静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上 升，且绳索与滑轮之间不打滑，求： （1）滑轮的角加速度 （2）开始上升后，t=5 s末滑轮的角 加速度 （3）在这5 s内滑轮转过的圈数
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dLtotal dt
角動量守恆
對於孤立系統 0 因此 dLtotal 0
dt
即使 I 不是常數
I 常數
I
太陽系形成
星系的角動量
若是3D剛體
ext
dLtotal dt
依舊正確
Ltotal Li ri pi
i
i
但，L 不是一個可直接觀察的量， L 與剛體的轉動角速度還是成正比嗎？
I 2Mr2
I I'' 角動量守恆
1.52 0.93 0.52 '
' 8.4rad/s
1 I 2 98J 2 1 I ''2 880J 2
轉動動能 不守恆
因此剛體的運動是不是可以用6個牛頓定律來描述呢？ 基本上，Yes。但是，not quite…..
首先必須將所有物理量都寫成向量
I d
dt
?
F
m
dv
dt
?
I
d
dt
首先給力矩一個方向
力矩的方向有一個自然的選擇
FT
r
F r sin
r
F
剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body
剛體繞一固定பைடு நூலகம்轉動
旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
旋轉軸不固定
旋轉軸可以沿3D空間任一方向，轉動的 現象可以用一個3D向量代表！
vCM
質心的運動也可以朝空間中任一個方向，
因此平移也可以用一3D向量代表！
每個3D向量有三個自由度，因此剛體 的運動共有六個自由度！
Lz I zz
y
x,y,z
?
d
I x, y,z x, y,x
dt
不幸的是，這三個軸是一個加速座 標，虛力的效果必須被考慮進去！
固定軸
Lz I
如果角速度是沿一個對稱軸，則角動量與角速度平行， 兩者呈正比，比例常數為沿該軸的轉動慣量I！
L
I
dL
dt
p
mr
v
m
d
(r
s)
dt
m d(r h) m dA
dt
dt
對粒子系統都對
L r p 一個粒子的角動量的定義
一個由粒子構成的粒子系統
ext
dLtotal dt
Ltotal Li ri pi
i
i
ext
r
F
這樣的選擇有用嗎？
外積 Cross Product
大小
方向
c absin
c ab
以分量計算：
cx aybz azby cy azbx axbz cz axby aybx
? d (I)
對一個粒子而言，力矩可以寫成一個向量物理量的變化率：
r
F
陀螺的進動
快速旋轉中的陀螺角動量 是沿著轉動軸的！
向下的重力造成水平的力矩。 角動量的變化是沿著水平方 向，而且垂直於角動量！
角動量大小不變，只方向改變！ 角動量繞垂直軸轉動！
轉動軸的移動方向 垂直於所加的力！
質心座標系不是慣性座標系！牛頓第二定 律必須加入一個沒有來源的虛力。
L
？ I
首先要先給角速度一個方向！
?
I
d
(I)
dt
給角速度一個方向將它寫成一個向量
?
I
d
(I)
dt
角速度的方向可不可以模仿力矩？
的大小就是旋轉角速度 的方向設為旋轉軸的方向！
可以有三個方向
每一個剛體的轉動，可以有三個可能的方向。
加上質心的三個平移方向，一個剛體有 六個運動自由度
每一個自由度有一個牛頓運動定律！
ext
dLtotal dt
F
dpCM
dt
以上定義的好處是：
剛體中每一個粒子的速度向量都可
以利用角速度向 量用外積計算出來
v r
r
v
v
r
dL
dt
L
?
?
I
d (I)
dt
L
?
I
幾乎萬事齊備，只欠東風！
在質心座標系中 為繞固定軸旋轉
I
計算虛力所做的力矩：
虛
ri Fi虛
ri
mi a '
ri mi
a'
0
a'
0
i
i
i
因為質心在原點
在質心座標系，虛力的力矩正好抵消
v 1.4m/s
v 1.4 0.93rad/s r 1.5
dt
rF
r
dp
r
dp
dr
p
d
r
p
dt
dt dt
dt
Lrp
一個粒子的角動量的定義
dL
dt
即使直線前進的粒子也有角動量！角動量與原點 的選擇有關！
對任何粒子系統都對
若 ext 0 則角動量守恆
L
r
L
不幸的是！
一般來說，角動量與角速度並不平行！
還好
如果角速度是沿一個對稱軸，則角動量與角速度平行， 兩者呈正比，比例常數為沿該軸的轉動慣量I！
L
I
L 即使沒有對稱軸，也還好：
任一物體都可以找到三個彼此正交的軸，
z
沿此三軸的角速度與角動量平行而成正比！
x
Lx I xx
Ly I yy