3-小波分析理论和应用

– 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析
• 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶 变换用的正弦波
– 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好
– CWT的变换过程示例， 见图7-3，可分如下5步
1. 小波ψ (t)和原始信号f(t)的 开始部分进行比较 2. 计算系数C——该部分信 号与小波的近似程度；C 值越高表示信号与小波相 似程度越高 3. 小波右移k得到的小波函数 为ψ (t-k) ，然后重复步骤 1和2，……直到信号结束 4. 扩展小波，如扩展一倍， 得到的小波函数为ψ (t/2) 5. 重复步骤1~4
(2.5)
可得离散小波变换：
( DW f )( j, k ) f (t ), j ,k (t )
(2.6)
j ,k (t )
j 22
(2 t k )，j, k Z
j
(2.7)
总结：小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均 值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有 紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即支 流分量为零。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的 正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函 数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移 和尺度伸缩得来的。
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然Байду номын сангаас重复 步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
尺度与频率的关系
尺度与频率的关系如下： 小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分 大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
f (t ) (2t ); a 1 f (t ) (4t ); a 1
2
4
时间平移 时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行 移动，如图所示。
小波运算的基本步骤： (1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信 号起始点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近 程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此 刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。
二、小波变换的定义及特点
定义1 [1]函数(t)L2(R) 称为基本小波，如果它满足以下的“允 许”条件：
C



ˆ (t ) d

(2.1)
ˆ ( ) 是连续的，易得： 如果
ˆ (0) 0 (t )dt 0

(2.2)
(t)又称为母小波，因为其伸缩、平移可构成L2(R)的一个标准 正交基：
小波变换的思想来源于伸缩和平移方法。 尺度伸缩 对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压 缩和伸展，如图所示。
f (t ) sin(t ); a 1
f (t ) sin(2t ); a 1 2 4
f (t ) sin(4t ); a 1
f (t ) (t ); a 1
• • • • •
clear all; t=0:0.01:pi; y=sin(2*pi*t)+sin(10*pi*t);
c=cwt(y,1:32,'db2','scalCNT');
y=sin(2*pi*t)+sin(10*pi*t)的小波变换
• • • • • • • • • • • •
clear all; k=0:1:85; x1=sin(0.6*pi*k); k=86:1:170; x2=sin(0.4*pi*k); k=171:1:255; x3=sin(0.2*pi*k); y=[x1 x2 x3]; c=cwt(y,1:32,'db2','scalCNT');
1 2

1 s

R
t x f t h dt s

1 2
Wh f s, x
•两种连续小波变换的本质相同； •卷积型连续小波 s 在信号分析中看作一个系统作用，因 此小波变换可以看成是输入信号在系统下的响应 。
二进小波变换
f 的二进小波变换， W2 f j叫做 函数序列 z
同傅立叶变换一样，连续小波变换可定义为函数与小波基的 内积：
t b a,b (t ) a ，a R , b R a

1 2
(2.3)
W f (a, b) f (t),
j
a ,b (t )

(2.4)
将a,b离散化，令 j
a 2 ，b 2 k，j, k Z
傅里叶变换的不足
短时傅里叶变换
WVD时频分析
• 傅里叶变换可以求出信号中所含的频率成 分，但不能求出信号在某个时刻的频率成 分。
小波基和傅里叶基函数的比较
1、什么是小波
小波函数必须满足以下两个条件的函数： (1) 小波必须是振荡的，且其积分等于0； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如：
图7-3 连续小波变换的过程
二、连续小波变换的matlab实现
1、Cwt
• • 功能：一维连续小波变换 格式：(1)coefs=cwt(s,scales,’wname’) (2)coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’) s为待分析信号；
连续小波变换例子
• • • • • • t = linspace(-1,1,512); s = 1-abs(t); c = cwt(s,1:32,'cgau4'); c = cwt(s,[64 32 16:-2:2],'morl'); c = cwt(s,[3 18 12.9 7 1.5],'db2'); c = cwt(s,1:64,'sym4','abslvl',[100 400]); [c,sc] = cwt(s,1:64,'sym4','scal'); • [c,sc] = cwt(s,1:64,'sym4','scalCNT');
函数
的小波变换
• • • • • • • • • • • •
clear all; k=0:1:85; x1=sin(0.6*pi*k); k=86:1:170; x2=sin(0.4*pi*k); k=171:1:255; x3=sin(0.2*pi*k); y=[x3 x2 x1]; c=cwt(y,1:32,'db2','scalCNT');
j
1 W2 j f x f 2 j x j 2

R
x t f t j dt 2
（**）称为稳定条件，当A=B时称为最稳定条件
• 小波分析/小波变换
小波分析总结
变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 – 小波变换
• 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换
一维连续小波变换 a,b 定义1 设 是基本小波， 是其生成的连 续小波，对 f L2 ，信号 f 的内积形 式连续小波变换定义为
W f a, b

f , a,b a

1 2

R
t b f t dt a
2 f L 定义2 设 是基本小波，对 ，信号 f 的卷积形式连续小波变换定义为
图1 小波例1
图2 小波例2
不是小波的例子
图3
图4
经典小波介绍
– 部分小波
• 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，
– Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 – db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的
图7-1 正弦波与小波——部分小波
• 生成矢量空间V2的常值函数 1, 0 x 1/ 4 1, 1/ 4 x 1/ 2 2 2 0 ( x) 1 ( x ) 其他 其他 0, 0,
1, 1/ 2 x 3/ 4 2 ( x) 其他 0,
2
1, 3/ 4 x 1 3 ( x) 其他 0,
• 连续小波变换 • 离散小波变换 • 小波重构
• 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT)
– 傅立叶分析
• 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 • 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数
– 小波分析
• 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 • 一系列小波可用作表示一些函数的基函数
函数
的小波变换
三 离散小波变换 1、Haar小波
• Haar基函数
– 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造 任意给定的信号，如用基函数的加权和表示 – 哈尔基函数(Haar basis function)
• 定义在半开区间[0，1)上的一组分段常值函数 (piecewise-constant function)集 • 生成矢量空间V0的常值函数
小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域 同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采 用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到 对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波 分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领 域。
可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们 用镜头观察目标信号f (t)， ψ(t)代表镜头所起的所用。 b 相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于 镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下 特点： 多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号； 可以看成用基本频率特性为(ω)的带通滤波器在不 同尺度a下对信号做滤波。 适当地选择小波，使ψ(t)在时域上为有限支撑,(ω) 在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具 有表征信号局部特征的能力。

1 ~ x t W f s, x f s x f t dt sR s

内积型、卷积型连续小波互换公式

1 1 ~ x t t x W f s, x f t dt f t h dt sR sR s s sgn s s sgn s s
2
• 可按照以上方法继续定义哈尔基函数和由它生成的矢 量空间Vj，……
1 哈尔函数(空间基函数)
• 为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间都需 要定义一个基(basis)，哈尔基定义为 1 0 x 1 ( x) 其他 0 • 为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数 (scaling function)。哈尔基尺度函数定义为
i ( x) (2 x i),
j j
i 0,1,,(2 1)
j
• 其中，j为尺度因子，使函数图形缩小或放大 i为平移参数，使函数沿x轴方向平移
哈尔函数(Haar小波)
• 哈尔小波(函数)
– 最古老和最简单的小波，定义为
1 当 0 x 1/ 2 ( x) 1 当 1/ 2 x 1 0 其他
– 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 – 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表 局部信号和小波之间的相互关系
• 对比傅立叶变换
– 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息
– 小波分析中常用的三个基本概念
– 生成矢量空间W0的哈尔小波
1 0 x 1/ 2 0 0 ( x) 1 1/ 2 x 1 0 其他
哈尔小波(平移)
– 生成矢量空间W1的哈尔小波
0 x 1/ 4 1 1 0 ( x) 1 1/ 4 x 1/ 2 0 其他
1 0 x 1 V : ( x) 其他 0
0 0 0
1 哈尔函数(平移)
• 生成矢量空间V1的常值函数
1 0 x 0.5 V : ( x) , 其他 0
1 1 0
1 0.5 x 1 ( x) 其他 0
1 1
1 哈尔函数(伸缩+平移)