2020届百校联盟TOP300七月尖子生联考(全国Ⅰ卷)数学(文)(解析版)

2020届百校联盟TOP300七月尖子生联考（全国i 卷）数学（文）一、单选题1．设集合()(){}|5110A x x x =+-<，{}|0B y y =>，则()R A C B =I （ ） A ．∅ B ．[)0,1C ．1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,05⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合A ，由集合补集与交集运算即可得解. 【详解】依题意集合()(){}1|5110|15A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭， 集合{}|0B y y =>，所以由补集定义可得{}|0R C B y y =≤， 所以()1,05R A C B ⎛⎤=- ⎥⎝⎦I .故选:D. 【点睛】本题考查了集合补集与交集的简单运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．若函数()()()3322xx m f x x e--=为偶函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2【答案】C【解析】根据偶函数定义()()f x f x -=，代入即可由x ∈R 求得m 的值. 【详解】依题意x ∈R ，()()()3322x x m f x x e--=⎡⎤⎡⎤--⋅--⎣⎦⎣⎦ ()()3322xx mx e++=()()()3322xx mx ef x --==，即()()6363224224mx m x mx m x +++=-++，故()3410m x +=；因为x ∈R ，故1m =-. 故选:C. 【点睛】本题考查了偶函数的定义，根据偶函数求参数值，属于基础题. 3．函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】根据二次函数的性质，结合定义域即可求得最大值与最小值，进而得值域. 【详解】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题. 4．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若ln ln a b >，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①由逆命题与否名题同真同假，判断出逆命题的真假，即可判断其否命题的真假；对于②求得其逆否命题，可通过逆否命题的真假判断该命题真假；对于③写出逆命题，即可由直线平行关系判定判断命题真假. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则ln ln a b >”，由对数定义域可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.综上可知，正确的为②③； 故选：C. 【点睛】本题考查了命题与逆否命题、否命题与逆命题、命题与逆命题的真假关系应用，属于基础题.5．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B【解析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 6．函数()3cos222f x x x =+-在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性可排除D ，取特殊值0,2x x π==代入即可排除BC ，即可得解. 【详解】函数()f x 的定义域为[]2,2ππ-，定义域关于原点对称，()()3cos222x f x x --=-+-()3cos 222x x f x =+-=， 故函数()f x 为偶函数，排除D ；因为()2cos320.14f πππ=+-≈，排除C ； 而()01f =-，排除B . 所以A 为正确选项， 故选：A. 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 7．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-， 当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 8．设7.60.5a =，0.57b =， 3.24c -=，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数幂运算，化简,a c 后结合指数函数性质可比较,a c 大小；结合中间值法可比较,b c 大小，进而得解. 【详解】7.67.610.52a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3.26.43.211442c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以 6.47.61122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，而60.40.5111722b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b <， 所以b c a >>. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的化简运算，指数函数的性质比较大小，属于基础题. 9．函数()32f x mx x =+在[]1,4上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．23m ≤-B ．0m ≥C ．23m ≥-D ．124m ≥-【答案】B【解析】先根据解析式求得导函数，并分离参数后结合定义域内函数的单调性即可求得m 的取值范围，进而由充分不必要条件的性质即可得解.【详解】函数()32f x mx x =+，则()232f x mx '=+，故2320mx +≥在[]1,4上恒成立，故223m x ≥-， 因为223y x =-在[]1,4上单调递增，故124m ≥-，结合选项可知1024m m ≥⇒≥-，反之不成立，故选：B . 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，充分必要关系的判断及参数求法，属于中档题.10．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．8【答案】A【解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.11．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【答案】C【解析】将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m 的取值范围. 【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++ 121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.12．已知函数()1x e f x x-=，则方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据函数()f x 解析式求得导函数()f x '并令()0f x '=，由导函数符号判断函数()f x 的单调性和函数值的符号，画出函数图像；将方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦看做一元二次方程，解方程求得()f x 的值，结合函数图像即可求解. 【详解】函数()1x e f x x -=，则()()()1210x x e f x x x --'=≠，令()0f x '=，解得1x =；故当(),0x ∈-∞时，()0f x <′，且()0f x <， 当()0,1x ∈时，()0f x <′，且()0f x >， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >′，且()0f x >， 因而当1x =时取得极小值，()11f =. 作出函数()f x 的大致图象如下所示；而()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦， 解得()1f x =-或()5f x =；由函数图像可知，方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了导函数在判断函数单调性、求极值中的应用，根据函数单调性、极值和函数值的符号画出函数图像，函数与方程的综合应用，属于中档题.二、填空题13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30xx π-->，则p ⌝为______.【答案】0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤【解析】全称命题的否定形式，即可得解. 【详解】命题p 是全称命题，则p ⌝为特称命题，故将“x R ∀∈”改为“0x R ∃∈”，将“()2cos 30xx π-->”改为“()002cos 30xx π--≤”，即p ⌝为0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤，故答案为：0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤.【点睛】本题考查了全称命题否定形式，属于基础题. 14．已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【答案】2【解析】根据元素与集合关系，可解得m 的值，注意集合元素互异性原则的应用. 【详解】依题意11m +=或()211m -=， 解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意； 所以2m =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性原则的应用，属于基础题.15．已知函数()232,122,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，若()()312f m f m ->-，则实数m 的取值范围为______. 【答案】3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】根据函数()f x 的解析式，画出函数图象，由函数图象可得函数的单调性，即可解不等式，求得m 的取值范围. 【详解】函数()232,122,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩， 作出函数()f x 的图象如下所示，由函数图像可知，函数()f x 在R 上单调递减， 故()()312f m f m ->-， 所以312m m -<-，解得34m < 所以实数m 的取值范围为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了分段函数图象的画法，由函数单调性解不等式求参数的取值范围，属于基础题.16．函数()()11x xe xf x e +=-在(]0,2上的最大值为______. 【答案】22221e e +- 【解析】由函数()f x 的解析式，求得导函数()()22211x x x e xe e f x --=-'，构造函数()221x x e p x xe =--，并求得()()21x x e x p e x '=--；再构造()1x q x e x =--，求得()1xq x e '=-.由()q x '在(]0,2x ∈内恒大于0，可知()q x 为(]0,2x ∈上的单调递增函数；根据()()00p x p >=可知()0f x >′，即证明()f x 在(]0,2x ∈时单调递增，即可求得()f x 在(]0,2上的最大值. 【详解】 函数()()11x xe xf x e +=-，(]0,2x ∈， 求得导函数为()()22211x x xe xe ef x --=-'，设()221xx ep x xe =--，(]0,2x ∈，则()()21x x e x p e x '=--，设()1x q x e x =--，(]0,2x ∈，则()10x q x e '=->在(]0,2x ∈上恒成立，∴()1x q x e x =--在(]0,2上单调递增，∴()()00q x q >=在(]0,2上恒成立，则()0p x '>在(]0,2上恒成立， ∴()p x 在(]0,2上单调递增，∴()()00p x p >=在(]0,2上恒成立，则()0f x >′在(]0,2上恒成立， ∴()f x 在(]0,2上单调递增，所以()()22max2221f e e x f +==-. 故答案为：22221e e +-. 【点睛】本题考查了导数证明函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与最值，属于中档题.三、解答题17．已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B U ；（2）若A B B =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|36x x -<≤；（2）[][)1,24,-+∞U【解析】（1）将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解.（2）由A B B =I 可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤， 故{}|36A B x x =-<≤U ； （2）因为A B B =I ，故B A ⊆；若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；若213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[][)1,24,-+∞U . 【点睛】本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.18．已知命题p ：01,42x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，004x m x +<；命题q ：函数()23f x x mx =-+在()1,3上单调递减.（1）若q ⌝为假，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[)6,+∞；（2）()4,6【解析】（1）若q ⌝为假，则q 为真，根据二次函数单调性与对称轴关系即可求得m 的取值范围；（2）由基本不等式可求得p 为真时m 的取值范围；由p q ∧为假，p q ∨为真，可知p 真q 假或p 假q 真，分别解不等式组即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）若q ⌝为假，则q 为真；因为函数()23f x x mx =-+的开口向上，且对称轴为2mx =，则32m ≥， 解得6m ≥，故实数m 的取值范围为[)6,+∞.（2）若p 为真，则min 4x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时等号成立，故4m >； 若p 真q 假，则实数m 满足46m m >⎧⎨<⎩，则46m <<； 若p 假q 真，则实数m 满足46m m ≤⎧⎨≥⎩，无解； 综上所述，实数m 的取值范围为()4,6. 【点睛】本题考查了非命题与命题的关系，由复合命题的真假判断命题真假，二次函数单调性与基本不等式求最值的应用，属于基础题.19．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=.最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当()0,x ∈+∞时，()21f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记函数()()1g x f x mx =-+，若函数()g x 有3个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩；（2）()1,+∞ 【解析】（1）根据奇函数定义，可知()00f =；令(),0x ∈-∞则()0,x -∈+∞，结合奇函数定义即可求得(),0x ∈-∞时的解析式，进而得函数()f x 的解析式；（2）根据零点定义，可得()1f x mx =-，由函数图像分析可知曲线()y f x =与直线1y mx =-在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将1y mx =-与21y x x =-+联立，由判别式>0∆及两根之和大于0，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，且x ∈R ，故()00f =； 当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()()2211x x x x f x x f =---+=++=--，则()21f x x x =---；故()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩. （2）令()()10g x f x mx =-+=，解得()1f x mx =-，画出函数关系如下图所示，要使曲线()y f x =与直线1y mx =-有3个交点，则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立211y x x y mx ⎧=-+⎨=-⎩，化简可得()2120x m x -++=，令12010x x m ∆>⎧⎨+=+>⎩，即()21801m m ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩，解得221m >，所以实数m 的取值范围为()221,+∞. 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题. 21．已知函数()2xf x e x =-.（1）若曲线()y f x =的切线方程为1y ax =+，求实数a 的值；（2）若函数()()223x mf x mx x ϕ=+-+在区间[]2,4-上有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）4132e m e -<<或36m e =【解析】（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为()0002,xx e x -，结合导数的几何意义可得方程00010x xx e e -+=，构造函数()1x xh x xe e =-+，并求得()h x '，由导函数求得()h x 有最小值()00h =，进而可知由唯一零点00x =，即可代入求得a 的值；（2）将()f x 解析式代入()x ϕ，结合零点定义化简并分离参数得23x x m e-=，构造函数()23x x x g e -=，根据题意可知直线y m =与曲线()23xx x g e -=有两个交点；求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，列出表格判断()g x 的单调性与极值，即可确定与y m =有两个交点时m 的取值范围.【详解】（1）依题意，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，设切点为()0002,xx e x -，()002xf x e '=-，故0000122x x ax e x e a⎧+=-⎨-=⎩，故()0000212xxe x e x -+=-，则00010x xx e e -+=；令()1xxh x xe e =-+，()xh x xe '=，故当(),0x ∈-∞时，()0h x '<， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>， 故当0x =时，函数()h x 有最小值，由于()00h =，故()0h x =有唯一实数根0， 即00x =，则1a =-；（2）由()()222303xmx x mf x x me x ϕ+-+-+===，得23x x m e-=.所以“()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23xx x g e -=在[]2,4x ∈-有两个交点”；由于()223xx x g x e-++='.由()0g x '=，解得11x =-，23x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在[)2,1--，(]3,4上单调递减，在()1,3-上单调递增. 又因为()22g e -=，()12g e -=-，()()3632g e g =<-，()()41341e g g =>-， 故当4132e m e -<<或36m e =时，直线y m =与曲线()23xx x g e-=在[]2,4x ∈-上有两个交点， 即当4132e m e -<<或36m e=时，函数()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题. 22．已知函数()21xf x e x x =+-+.（1）求函数()f x 的极值； （2）证明：x R ∀∈，()3f x x >.【答案】（1）极小值()02f =，无极大值；（2）见解析【解析】（1）根据函数()f x 的解析式求得导函数()f x '，可由()f x '的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值.（2）将函数()f x 的解析式代入不等式，并构造函数()241xe x F x x =-++，求得()42x F x e x '=-+，再构造函数()()42x G x F x e x ='=-+，并求得()G x '，由()0G x '>可知()G x 在R 上单调递增，由零点存在定理可知()0G x =在()0,1内有唯一解，记为0x ，满足00e42x x =-.进而由()F x '的符号判断()F x 单调性，即可求得()min F x 的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断()00F x >恒成立，即证明不等式成立. 【详解】（1）函数()21xf x e x x =+-+，x ∈R ，则()21xf x e x '=+-，由()0f x >′可知在R 上单调递增，且()00f '=， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x <′， 当()0,x ∈+∞时，()0f x >′，故函数()f x 有极小值()02f =，无极大值；（2）证明：依题意对x R ∀∈，()30f x x ->，即2e 410x x x -++>；设()241xe x F x x =-++，则()42x F x e x '=-+，设()()42xG x F x e x ='=-+.因为()20xG x e '=+>，所以()G x 在R 上单调递增.又因为()030G =-<，()120G e =->， 所以()0G x =在()0,1内有唯一解，记为0x ，即00e 42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()()022000mi 00n 4165xF x e x x x F x x ==-++=-+，()00,1x ∈.设()()226534g x x x x =-+=--，()0,1x ∈，则()()10g x g >=，所以()00F x >，所以()0F x >，即x R ∀∈，()3f x x >. 【点睛】本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题.。