第9章习题答案

第4篇电磁学第9章静电场9.1 基本要求１ 掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。

掌 握电势与电场强度的积分关系。

能计算一些简单问题中的电场强度和电势。

了解电场强度 与电势的微分关系。

２ 理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。

理解用高斯定理计算电场强度的条件和 方法。

３ 了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。

了解各向同性介质 中Ｄ和Ｅ之间的关系。

了解介质中的高斯定理。

４ 了解电容和电能密度的概念。

9.２ 基本概念１ 电场强度E ：试验电荷0q 所受到的电场力F 与0q 之比，即0q =F E ２ 电位移D ：电位移矢量是描述电场性质的辅助量。

在各向同性介质中，它与场强成正比，即ε=D E ３ 电场强度通量e Φ：e Sd Φ=⎰E S电位移通量:D Sd Φ=⎰D S４ 电势能pa E ：0pa aE q d ∞=⎰E l （设0p E ∞=）５ 电势a V ：0pa a aE V d q ∞==⎰ E l （设0V ∞=）电势差ab U ：ab a b U V V =- ６ 场强与电势的关系（１）积分关系 a aV d ∞=⎰E l（２）微分关系 = -V ∇=-E gradV７ 电容Ｃ：描述导体或导体组（电容器）容纳电荷能力的物理量。

孤立导体的电容：Q C V =；电容器的电容：Q C U= ８ 静电场的能量：静电场中所贮存的能量。

电容器所贮存的电能：22222CU Q QUW C === 电场能量密度e w ：单位体积的电场中所贮存的能量，即22e E w ε=9.３ 基本规律 １ 库仑定律：12204rq q rπε=F e ２ 叠加原理（１）电场强度叠加原理：在点电荷系产生的电场中任一点的场强等于每个点电荷单独 存在时在该点产生的场强的矢量和。

（２）电势叠加原理：在点电荷系产生的电场中，某点的电势等于每个点电荷单独存在时 在该点产生的电势的代数和。

３ 高斯定理：真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ε 0倍。

1i Sd q ε⋅=∑⎰内E S在有电介质的静电场中,通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.Sd q⋅=∑⎰ 内D S （0q 为闭合曲面Ｓ内的自由电荷）高斯定理表明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源。

４ 环路定理：0ld =⎰ E l ，说明静电场是保守场。

５ 导体的静电平衡条件（１）导体内部的场强处处为零；（２）导体表面的场强处处与导体表面垂直。

６ 静电平衡时导体上的电荷分布规律：电荷只分布在导体的表面，体内净电荷为零。

７ 静电平衡时导体的电势分布规律：导体为等势体，其表面为等势面。

9.４ 学习指导１ 电场强度的计算方法（１）根据点电荷的场强公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带 电体）。

在应用此法时，应尽量采用投影式，将矢量运算化成标量运算。

（２）利用高斯定理来计算。

这种方法只有当场源的电荷分布具有某种对称性时才较为 简便。

因此，利用此法时，首先要判别场源电场是否具有某种对称性，其次是要选好高斯面： （ａ）要使待求的场点位于高斯面上；（ｂ）要使高斯面上的Ｅ处处相等，或使高斯面上某些部分的Ｅ为零，另一些部分的Ｅ相等。

（３）已知电势分布，利用场强与电势的微分关系= -V ∇=-E gradV 来计算。

２ 电势的计算方法（１）根据点电荷的电势公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带 电体）。

（２）利用电势的定义式来计算。

３ 电容的计算：先假定电容器上带有电荷，再求其场强和电势差，最后代入电容的定 义式。

４ 介质中场强的计算:(1)确定带电体和电介质是否具有对称性. (2)根据场的对称性,选取合适的高斯面.(3) 利用介质中的高斯定理求出D 的分布. (4) 由ε=D E ,求出E 的分布.5 电场能量的计算：先要弄清场强的空间分布，找出电能密度的表达式，再代入公式求 积分。

以上仅为一般情况，实际问题尚需根据具体情况灵活处理。

例1 长l 米的直导线AB 均匀地分布着线密度为λ的电荷。

求：在导线的垂直平分线上与导线中点相距a 处P 点的场强。

解 以导线AB 中心为坐标原点，如图所示建立坐标系。

dx 线元在P 点产生的电场强度为22014()dxdE x a λπε=+（方向如图所示）由于对称性，其叠加场强沿y 轴正方向，水平方向场强相互抵消。

在P 点的场强为212222221cos 4()()ll P dxaE dE x a x a λθπε-==⋅⋅++⎰⎰22223/22221/20024()2()l l a dx a xx a a a x λλπεπε==⋅++⎰()12220142l a a l λπε=⋅⎡⎤+⎣⎦方向沿y 轴正方向。

当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为0/(2)E a λπε=。

例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为0sin λλθ=,式中θ为半径R 与x 轴所成的夹角,0λ为一常数，如图所示，试求环心O 处的电场强度。

解 在θ处取电荷元，其电量为例1图xA 例2图ydEdq dl λ=θθλd R sin 0=它在O 点处产生的场强为204R dqdE πε=Rd 004sin πεθθλ=在 x 、y 轴上的两个分量cos x dE dE θ=-， sin y dE dE θ=-00sin cos 04x E d Rπλθθθπε=-=⎰ 200000sin 48y E d R Rπλλθθπεε=-=-⎰ 所以 x y E E =+E i j j Rλ008ε-= 例3 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线.解 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称分布.取高度为l ,半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面,由高斯定理知当r R ≤时 202/E rl r l ππρε⋅= 得 0()2rE r ρε=当r R ≥时 202/E rl R l ππρε⋅=得 20()2R E r rρε=取棒表面为零电势,空间电势的分布为 当r R ≤时 2200()()24Rrr V r dr R r ρρεε==-⎰当r R ≥时 2200()ln 22RrR R RV r dr r rρρεε==⎰例3 图OV例3图是电势V 随空间位置r 的分布曲线. 9.5 习题详解9.1 某电场的电场线分布情况如图所示，一负电荷从M 点移到N 点。

有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？（ ） （A ）电场强度E M < E N （B ）电势V M < V N（C ）电势能E PM < E PN （D ）电场力的功W > 0。

解：正确答案（C ）。

电场线的疏密程度反映了场强的强弱，由图可见，M 点处电场线密度较N 点处电场线密度大，故有E M > E N ；电场线的性质告诉我们，沿着电场线方向电势是逐点降低的，应有V M > V N ；电势能PM M E qV =-，PN N E qV =-，故PM PN E E <，答案（C ）正确；电场力作功()0M N W q V V =--<。

9.2 下列叙述中正确的是( ) （A ）等势面上各点的场强大小一定相等 （B ）场强指向电势降落的方向 （C ）电势高处，电势能也一定高 （D ）场强大处，电势一定高 解：正确答案（B ）。

等势面上各点只有电势相等的结论，没有各点场强大小相等的结论；场强方向是沿着电场线的方向，也就是电势降落的方向，答案（B ）正确；电势能P E qV =，电势能与q 和V 均有关，若电势V 高，而q 为负电荷时，其电势能就低；场强大处，只能反映该处电场线习题9.1图密度大，不能说明该处电场一定高，比如，在负点电荷的电场中，靠近点电荷处的电场线密度大，场强大，但是电势却低。

9.3 半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q ，如图所示设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为( ) （A ）E ＝0，04Q V r πε=（B ）E ＝0，04Q V Rπε=（C ）204r Q E πε=，04Q V r πε=（D ）204rQ E πε= ,04Q V Rπε=解：正确答案（B ）。

由电荷分布的球面对称性可知，其电场分布亦具有球面对称性，即以O 点为球心的球面上各点电场强度大小均相等。

由高斯定理可得P 点场强E=0,带点球面外电场分布为204Q E r πε=，故P 点电势20044R rrRRQ Q V d d d dr r Rπεπε∞∞∞==+==⎰⎰⎰⎰E l E l E l9.4下面列出的真空中静电场的电场强度公式，试判断哪种表述是正确的（ ） (A) 点电荷q 周围空间的电场强度为 240qεr =πE （r 为点电荷到场点的距离）(B)电荷线密度为λ 的无限长均匀带电直线周围空间的电场强度为202πrrλε=E e (r e 为带电直线到场点并且垂直于带电直线的单位矢量)(C)电荷面密度为σ 的无限大均匀带电平面周围空间的电场强度为02σε=E 习题9.3图(D)电荷面密度为σ半径为R 的均匀带电球面外的电场强度为220rR rσε=E e (r e 为球心指向场点的单位矢量) 解:正确答案 （D ）（A ）中场强表达式，等号左侧是矢量，等号右侧是标量，等式不成立；（B ）中正确结果应为02πr rλε=E e ；（C ）中等式两边分别是矢量和标量，等式不成立；（D ）由高斯定理可求得电场强度为222220444r r r00q R R εr εr rπσσε===ππE e e e 9.5 如图所示，闭合面Ｓ内有点电荷Ｑ，Ｐ为Ｓ面上的一点，在Ｓ面外Ａ点有另一电荷q ，若将q 移到Ｓ面外另一点Ｂ处，则下列说法正确的是（ ）（A ）Ｓ面的电场强度通量改变，Ｐ点场强不变 （B ）Ｓ面的电场强度通量不变，Ｐ点场强改变（C ）Ｓ面的电场强度通量不变，Ｐ点场强不变 （D ）Ｓ面的电场强度通量改变，Ｐ点场强改变 解：正确答案（B ）Ｓ面内的电荷量没变，故Ｓ面的电场强度通量不改变，又由于q 点的移动，改变了空间电荷的分布，故P 点场强要改变。

9.6 一个未带电的空腔导体球壳内半径为R 。

在腔内离球心的距离为d 处 (d < R ) 固定一电量为＋q 的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为（ ） (A) 0 (B)dq 04πεq A习题9.5图(C)Rq 04πε (D))11(40Rd q -πε 解： 正确答案（D ）由于静电感应，在没有接地前，球壳内表面产生感应电荷q -，外表面产生感应电荷q +。