【精选高中试题】山东省淄博七中高二上学期期末数学试卷(文科) Word版(含答案)

2015-2016学年山东省淄博七中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设a＞b，不等式（1）a2＞b2，（2）＞，（3）＞能成立的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．如果关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，那么关于x的不等式2x2+bx﹣a＜0的解集为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣）C．（，1）D．（﹣，1）3．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p为（）A．∃x∈R，x2+x﹣1＞0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≥0C．∃x∉R，x2+x﹣1≥0 D．∀x∉R，x2+x﹣1＞04．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣3）到焦点的距离等于5，则m等于（）A．2 B．±2 C．±D．±26．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．8．在下列结论中，正确的是（）①“x=﹣2”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条件；②“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；③“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件；④“a，b是无理数”是“a+b是无理数”的充要条件．A．①②B．①③C．②④D．③④9．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．810．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题纸横线上）11．双曲线﹣=1的渐近线方程为．12．已知数列{a n}的通项公式a n=，若它的前n项和为10，则项数n为．13．已知函数f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=．14．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且=0，||=||，则椭圆的离心率为．15．如图，在山顶铁塔上B处测得一点铁A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，若铁塔高为m米，则山高CD为．三、解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．已知命题p：∃x0∈R，使得ax02﹣2x0﹣1＞0成立；命题q：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元）．（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．20．设数列{a n}的前n项和为（Ⅰ）求a1，a2（Ⅱ）设c n=a n+1﹣2a n，证明：数列{c n}是等比数列（Ⅲ）求数列的前n项和为T n．21．已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值．2015-2016学年山东省淄博七中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设a＞b，不等式（1）a2＞b2，（2）＞，（3）＞能成立的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】不等关系与不等式．【分析】通过反例判断（1）（2）的正误；通过a，b的取值判断（3）的正误．【解答】解：因为a＞b，不妨a=1，b=﹣2，显然（1）a2＞b2，不正确；令a=1，b=0.1，则=1，，不满足（2）＞，所以（2）不正确；令a=1，b=﹣1，所以=，=1，不满足（3）＞，所以（3）不正确；故选A．2．如果关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，那么关于x的不等式2x2+bx﹣a＜0的解集为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣）C．（，1）D．（﹣，1）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由条件利用韦达定理求得a和b的值，则要解的不等式即2x2﹣3x+1＜0，由此求得它的解集．【解答】解：由条件利用韦达定理可得﹣2（﹣1）=，a=﹣1，﹣2﹣1=，b=﹣3要解的不等式即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1．故选C3．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p为（）A．∃x∈R，x2+x﹣1＞0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≥0C．∃x∉R，x2+x﹣1≥0 D．∀x∉R，x2+x﹣1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题为特称命题，则￢p为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故选：B4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣3）到焦点的距离等于5，则m等于（）A．2 B．±2 C．±D．±2【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可设抛物线的方程为：x2=﹣2py．其准线方程为：y=．由于抛物线上的点P（m，﹣3）到焦点的距离等于5，可得，解得p=4．可得抛物线的方程为：x2=﹣8y．把点P（m，﹣3）代入即可解得m．【解答】解：由题意可设抛物线的方程为：x2=﹣2py．其准线方程为：y=．∵抛物线上的点P（m，﹣3）到焦点的距离等于5，∴，解得p=4．∴抛物线的方程为：x2=﹣8y．把点P（m，﹣3）代入可得m2=﹣8×（﹣3），解得m=．故选：D．6．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，∴S△ABC==，故选D．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质求得，然后代入=即可求得结果．【解答】解：∵=∴==故选B．8．在下列结论中，正确的是（）①“x=﹣2”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条件；②“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；③“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件；④“a，b是无理数”是“a+b是无理数”的充要条件．A．①②B．①③C．②④D．③④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①由x2+3x+2=0解得x=﹣1，﹣2．即可判断出；②“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不条件；③“ab≠0”⇒a≠0，反之不成立，例如a≠0，b=0时，ab=0；④a，b是无理数，a+b可能是有理数，例如π+（﹣π）=0；反之也不成立，例如：2+π是无理数，但是2是有理数．【解答】解：①由x2+3x+2=0解得x=﹣1，﹣2．∴“x=﹣2”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条件，正确；②“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不条件，不正确；③“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，正确；④a，b是无理数，a+b可能是有理数，例如π+（﹣π）=0；反之也不成立，例如：2+π是无理数，但是2是有理数．因此“a，b是无理数”是“a+b是无理数”的既不充分也不必要条件．综上可得：只有①③正确．故选：B．9．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．8【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．10．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6，∴=（）×=（12+）≥4当且仅当时，的最小值为4故选D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题纸横线上）11．双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，求出a，b即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1的a=6，b=3，由于渐近线方程为y=x，即为y=±x．故答案为：y=±x．12．已知数列{a n}的通项公式a n=，若它的前n项和为10，则项数n为120．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】由题意知a n=，所以S n=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1，再由﹣1=10，可得n=120．【解答】解：∵a n==∴S n=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1∴﹣1=10，解得n=120答案：12013．已知函数f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】利用积的导数公式先求出函数f（x）的导数，然后代入求解即可．【解答】解：∵f（x）=cosx，∴f'（x）=，∴=．又f（π）=，∴f（π）+f′（）=．故答案为：．14．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且=0，||=||，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，=0，可得⊥，||=，利用||=||，可得2c=×，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，=0，可得⊥，∴||=，∵||=||，∴2c=×，∴3ac=2（a2﹣c2），∴2e2+3e﹣2=0，∴e=．故答案为：15．如图，在山顶铁塔上B处测得一点铁A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，若铁塔高为m米，则山高CD为．【考点】解三角形的实际应用．【分析】为了求山高，先求AC，在△ABC中，利用正弦定理可求．【解答】解：由已知，在△ABC中，∠BAC=α﹣β，∠ABC=﹣α，由正弦定理，得∴AC=，∴CD=ACsinβ=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=，得sin（A+B）=，由△ABC为锐角三角形，可得A+B=120°，即可求∠C．（Ⅱ）由题意a+b=2，ab=2，由余弦定理可求得c2=6，从而可求边c的长度及△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=，得sin（A+B）=…2分∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴∠C=60°…5分（Ⅱ）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，ab=2…7分∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6…9分∴c=…10分∴S△ABC=absinC==…12分17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）设出切点（m，n），求得切线的斜率和方程，代入点（1，1）可得m，n的值，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．已知命题p：∃x0∈R，使得ax02﹣2x0﹣1＞0成立；命题q：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：（1）∵命题p：∃x0∈R，使得成立∴￢p：∀x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立∴①a≥0时ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立②由得a≤﹣1（2）∵命题q：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数∴命题q为真，实数a的取值范围是：0＜a＜1∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，∴命题p、q一真一假①当p真q假时，则，得实数a的取值范围，﹣1＜a≤0或a≥1②当p假q真时，则，实数a的取值范围：无解∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥119．某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元）．（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．【考点】函数模型的选择与应用；函数最值的应用．【分析】（I）每年的支出构成一个等差数列，每年的收入是一个常数列，故根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元，可建立函数关系；（II）求出年平均纯利润，再利用基本不等式，即可求得年平均纯利润的最大值．【解答】解：（I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元可得f（n）=50n﹣[12n+×4]﹣72=﹣2n2+40n﹣72由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0解得2＜n＜18由于n∈N+，故从第三年开始赢利．（II）年平均纯利润∵∴∴当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元．20．设数列{a n}的前n项和为（Ⅰ）求a1，a2（Ⅱ）设c n=a n+1﹣2a n，证明：数列{c n}是等比数列（Ⅲ）求数列的前n项和为T n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出a n，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（Ⅱ）由已知得a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；（III）将c n代入数列的前n项和T n，利用错位相减法即可求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=S1，2a1=S1+2，∴a1=2，S1=2，由2a n=S n+2n知，2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n+2n+1得a n+1=s n+2n+1①，∴a2=S1+22=2+22=6；（Ⅱ）由题设和①式知a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n，即c n=2n，∴=2（常数），∴{c n}是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）∵c n=a n+1﹣2a n=2n，∴=，∴数列的前n项和T n=+++…+，T n=+++…++，相减得T n=++…+﹣=+﹣=﹣﹣，∴T n=．21．已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程．【分析】（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．【解答】解：（I）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（﹣1，0），依据题意c=1，a﹣c=﹣1，∴a=．∴椭圆的标准方程是： +y2=1；（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=﹣1，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣），•=（，）•（，﹣）=﹣．②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为y=k（x+1）⇒（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，=（x1+，y1）•（x2+，y2）=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+=（1+k2）（）+（k2+）（﹣）+k2+=+=﹣2+=﹣综上•为定值﹣．2016年8月5日。