_学年高中数学课时达标检测(二十九)简单的三角恒等变换新人教A版必修4

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人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)

3.2 简单的三角恒等变换自主学习知识梳理1．半角公式(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2＝________； (3)T α2：tan α2＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．自主探究1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2.2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.对点讲练知识点一半角公式的应用例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2的值．回顾归纳在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.知识点二利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．回顾归纳研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．知识点三三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．回顾归纳利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2确定)进而研究函数f (x )性质．如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为( ) A ．－105 B.105C ．－155 D.1553．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4二、填空题6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题9．已知向量a ＝(sin(π2＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32，求角A 的值．10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．§3.2 简单的三角恒等变换答案知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 自主探究1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2② 由①②得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 对点讲练例1 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 又5π4<θ2<3π2. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2.变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213. ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又∵π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ，解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得y ＝f (x )的单调增区间是 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1.例3 解在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<5π6，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 变式训练3 解如图所示，连OC ，设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12 ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12(m 2)．课时作业1．C 2.C3．C [由题可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .]4．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.] 5．B [f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12.∴T ＝π.] 6. 3解析 (1)y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y 有最大值 3. 7．－π6解析 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.∴φ＝－π6. 8．π解析由a ＋1＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝－3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴T ＝π. 9．解 (1)由题意知，f (x )＝sin x cos x ＋32＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)＋32 2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 最小正周期为π，单调增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f (A )＝32，∴sin(2A ＋π3)＝0，又∵A ∈(0，π)，∴π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π或2π， ∴A ＝π3或5π6. 10．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b ＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵a >0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝4b －a ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.。

2020高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十九)简单的三角恒等变换 Word版含解析

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§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12C ．2D ．－2题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32B ．－32C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等． §3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x － 2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。

人教A版高中数学必修四学基础达标训练简单的三角恒等变换基础达标含答案解析

1．计算cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的结果为 ( )A ．0 B.12C.32 D ．－12 解析：选B.原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝( )A. 425 B ．－425C.325 D ．－325解析：选D.∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35.∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－325.3．(2013·山西考前适应性训练)sin 20°cos 20°cos 50°＝ ( )A ．2 B.22 C.2 D.12解析：选D.sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.4．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－43解析：选D.1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 5．(2013·石家庄质检)计算tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α)的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D.tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α)＝sin (π4＋α)·cos 2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α)＝cos 2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos 2αsin2(π4＋α)＝cos 2αsin (π2＋2α)＝cos 2αcos 2α＝1，选D.6．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则cos 2θ＝__________.解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以1＋sin θ＝43，即sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.答案：797．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x＝23(32sin x －12cos x )＝23sin(x －π6)，∴φ＝－π6.答案：－π68．化简：sin α＋sin 2α1＋cos α＋cos 2α＝________.解析：原式＝sin α(1＋2cos α)1＋cos α＋2cos 2α－1＝sin α(1＋2cos α)cos α(1＋2cos α)＝tan α. 答案：tan α9．求3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)的值．解：原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°sin 12°·2cos 24°＝3sin 12°－3cos 12°sin 24°cos 24°＝43(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)2sin 24°cos 24°＝43sin (－48°)sin 48°＝－4 3.10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.解：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝－35，cos β＝513.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365.又π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π，0<α－β2<π2.∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565.。

高中数学课时达标检测(二十九)简单的三角恒等变换新人教A版必修4

课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换一、选择题1．cos 2π8－12的值为( ) A ．1 B.12C.22D.24答案：D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625C.1425D.725答案：D3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a 答案：C 4．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 答案：C5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增答案：A 二、填空题6．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________.答案：0或± 37．等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为________．答案：2626或526268．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．答案：－19三、解答题9．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α . 解：∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 10．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？解：如图所示，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，AB ＝1，PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大．11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为 f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。

高中数学人教A版必修四课时训练第三章三角恒等变换章末检测(A) Word版含答案

第三章三角恒等变换()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(－)(＋)等于()．－．－．函数＝·＋·的图象的一条对称轴方程是()．＝．＝．＝π．＝．已知(°＋α)＝，则α等于()．－．－．＝－的一个单调递增区间是()．已知θ是锐角，那么下列各值中，θ＋θ能取得的值是()．° °＋ ° °等于()．－．－．已知θ＝－，π<θ<π，则θ的值为()．－．或－．函数＝－的图象可以看成是由函数＝＋的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是()．向左平移个单位．向右平移个单位．向右平移个单位．向左平移个单位．设＝°°＋°°，＝°－，＝，则有()．<<．<<．<<．<<．化简的结果是()．α．α．如图，角α的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点(－，－)．角β的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边落在第二象限，且β＝－，则∠的值为()．－．－．设＝(，)，＝(，)．定义一种向量积：⊗＝(，)⊗(，)＝(，)．已知＝(，)，＝(，)，点(，)在＝的图象上运动，点在＝()的图象上运动．且满足＝⊗＋(其中为坐标原点)，则＝()的最大值及最小正周期分别为()．，π．π，π，π题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)的值是．．已知α＝α，α∈(，π)，则α＝.．函数＝(＋)的最大值为．．已知α、β均为锐角，且(α＋β)＝(α－β)，则α＝.三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知α，β是方程－＋＝的两根，且<α<，π<β<.求：(α＋β)及α＋β的值．。

高中数学课时分层作业28简单的三角恒等变换新人教A版必修4

课时分层作业(二十八) 简单的三角恒等变换(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 D [原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12(1－sin 2x ) ＝12－12sin 2x ，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．已知cos α1＋sin α＝3，则cos αsin α－1的值为( )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3B [∵cos α1＋sin α·cos αsin α－1＝cos 2αsin 2α－1＝1－sin 2αsin 2α－1＝－1 且cos α1＋sin α＝3，∴cos αsin α－1＝－33.]3．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝( )【导学号：84352345】A ．－19B ．19C ．－13D ．13A [sin 2B ＋C2＋cos 2A＝1－cos B ＋C 2＋2cos 2A －1＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝－19.]4．将函数y ＝f (x )sin x 的图象向右平移π4个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝2sin xB [y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴对称的曲线是y ＝－cos 2x ，向左平移π4得y ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，∴f (x )＝2cos x ．]5．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调减区间分别为( )【导学号：84352346】A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B [∵f (x )＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，得f (x )的单调减区间为3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，得f (x )的一个单调减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8，故选B.]二、填空题6．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于________．－1－a 2 [由sin 2θ4＝1－cosθ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.] 7．化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________.(2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.【导学号：84352347】(1)sin α－cos α (2)0 [(1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α ＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝α－cos α2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.]8．函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是________．[－5,3] [f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )取得最大值3，当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值－5，所以函数f (x )的值域为[－5,3]．] 三、解答题9．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x.【导学号：84352348】[证明] 法一：(由左推右)tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sinx 2cos 3x 2cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin xcos 3x 2cosx 2＝2sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.法二：(由右推左)2sin xcos x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cosx 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx 2＝tan 3x 2－tan x 2.10．已知向量a ＝(cos θ－2sin θ，2)，b ＝(sin θ，1)． (1)若a ∥b ，求tan 2θ的值；(2)f (θ)＝(a ＋b )·b ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (θ)的值域.【导学号：84352349】[解] (1)∵a ∥b ，∴cos θ－2sin θ－2sin θ＝0， ∴cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝14，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝121516＝815. (2)a ＋b ＝(cos θ－sin θ，3)，∴f (θ)＝(a ＋b )·b ＝sin θcos θ－sin 2θ＋3＝12sin 2θ－1－cos 2θ2＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋52，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴2≤f (θ)≤5＋22，∴f (θ)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，5＋22.[冲A 挑战练]1．设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 219°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) A ．b ＞a ＞c B ．a ＞b ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞aA [∵a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，∴b ＞a ＞c .]2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin αcos α＝cos β1－sin β，则( )A ．2α＋β＝π2B ．2α－β＝π2C ．α＋2β＝π2D ．α－2β＝π2B [由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β， sin α＝cos(α－β)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos(α－β)． ∵π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴π2－α＝α－β或π2－α＋α－β＝0(舍去)， ∴2α－β＝π2.]3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2B [f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3， ∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2.]4．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.【导学号：84352350】±35 [由25sin 2θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.]5．如图324，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线y ＝3x (x ≥0)交于点Q ，与x 轴交于点M .记∠MOP ＝α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.图324(1)若sin α＝13，求cos ∠POQ ；(2)求△OPQ 面积的最大值.【导学号：84352351】[解] (1)由题意知∠QOM ＝π3，因为sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝223，所以cos ∠POQ ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝22＋36.(2)由三角函数定义，得P (cos α，sin α)，从而Q (cos α，3cos α)，所以S △POQ ＝12|cos α||3cos α－sin α|＝12|3cos 2α－sin αcos α| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋3cos 2α2－12sin 2α ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ≤12⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋1＝34＋12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以当α＝－π12时，等号成立，3 4＋1 2.所以△OPQ面积的最大值为。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换达标训练新人教A版必修4(2021学年)

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３。

２简单的三角恒等变换更上一层楼基础•巩固１。

已知sin(α—4π）=31,则cos(4π+α）的值等于( ）Ａ。

322 B ．322- C 。

31- D ．31 思路分析:ｃo ｓ（4π+α)＝si ｎ[2π—（4π+α)］＝sin(4π—α）＝—s ｉｎ(α-4π)=-31. 答案：C 2.已知ｓinα=53,α是第二象限的角,且tan(α+β)=1，则ｔａnβ的值是（ ) A 。

—7 B.7 C.43-D ．43思路分析：∵sinα＝53，α是第二象限角, ∴cosα=54)53(1sin 122-=-=--α。

∴ｔanα＝43)54(53cos sin -=-÷=αα. 又∵ｔa ｎ(α＋β)=1，β=(α+β)—α,∴tanβ=ｔan[(α+β）-α］7)43(11)43(1tan )tan(1tan )tan(=-⨯+--=++-+=αβααβα. 答案:B３。

已知tanα、ta ｎβ是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(2π-,2π)，则α+β等于( ） A 。

3π B 。

32π- C 。

3π或32π- D.3π-或32π 思路分析:由题意知tanα+tanβ=33-,tanαｔａnβ=4,∴tanα<０且t ａnβ＜0。

高中数学人教A版必修四同步练测：3.2简单的三角恒等变换.docx

3.2 简单的三角恒等变换（数学人教A版必修4）1A C 2为A C 3. aA C 4.且A5 6α－a∈R. θ-x）2-x）．）的奇θ．3.2 简单的三角恒等变换（数学人教A版必修4）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.2 简单的三角恒等变换（数学人教A 版必修4）答案一、选择题1. A 解析：min 22111(),tan ,()411tan tan 2(tan )24f x x f x x x x ====---+当时. 2. D 解析：f(x)＝2sin （x －π4），x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4.∴f(x)min ＝2sin(－π4)＝－1.3. D 解析：∵ a ∥ b ，∴2sin θ-（-2）cos θ=0，∴sin θ=-cos θ，tan θ=-1，∴θ=34π+k π（k ∈Z ），故选D ．4. B 解析：向量a =(1， 1-cos θ)， b =(1+cos θ，12)，且a ∥b , ∴12-(1-cos θ)(1+cos θ)=0,∴cos θ=±2.又∵ θ是锐角,∴ θ=45°.故选B.二、填空题5.1 解析：π2sin()3y x =+，min ππ5π5π,2sin 1.3366x y ≤+≤==. 6. ③ 解析：对于①，π3sin cos )42x x x +=+≤<；对于②，反例为，虽然αβ>，但是cos cos αβ=；对于○4，ππsin 2sin 2()sin(2).42y x y x x =→=+=+三、解答题7. 解： (1)θ＝0时，f(x)＝sin x ＋cos x ＝2sin π()4x +. 当2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－34π≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )时，f(x)是增函数,∴f(x)的单调递增区间是3π2ππ,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． (2)由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f (x),∴sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)． ∴sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)＝cos(x ＋θ)－cos(x －θ)． ∴2sin xcos θ＝－2sin xsin θ. ∵sinx ≠0，∴cos θ＝－sin θ.∴2sin (θ＋π4)＝0，θ＋π4＝k π，k ∈Z . 又θ∈(0，π)，令k ＝1，得θ＝34π,∴当θ＝34π时，f(x)是偶函数．8. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a.由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 9.解：依题意f （x ）=2sin θcos x -2sin θ=2sin θ（cos x-1）, 又对任意x ∈R ，都有f （x ）≥0成立， ∵cosx-1≤0，∴sin θ≤0，∴π≤θ＜3π2. 由tan2θ=34-得tan θ=3，∴cos θ.10.解：（1）要使函数f （x ）=log 2（2+x ）+log 2（2-x ）的解析式有意义，自变量x 必须满足：20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得-2＜x ＜2.∴函数f （x ）=log 2（2+x ）+log 2（2-x ）的定义域为（-2，2）. 又∵f （-x ）=log 2（2-x ）+log 2（2+x ）=f （x ）, 故函数f （x ）=log 2（2+x ）+log 2（2-x ）为偶函数.（2）∵f （sin θ）=log 2（2+sin θ）+log 2（2-sin θ）=log 2（4-sin2θ）,∴方程f （sin θ）=2可化为4-sin 2θ=4,即sin2θ=0，即sin θ=0,解得θ=k π（k ∈Z ）.。

人教A版高中数学必修四学简单的三角恒等变换一课一练新(1)

3.2 简单的三角恒等变换一、填空题 1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．3．已知sin 2α+cos2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5．设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin4θ的值等于________________二、解答题 6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin（4π+x ）=cos2x ． 8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10．求sin15°，cos15°，tan15°的值．11．设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12．求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14．设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值．15．已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题 1．215+． 2．－3 3． 251- 4． 65657 5．－21a -二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin（4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos（4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证． 8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +-=ααtan 1tan 1+-=右边，原题得证． 9．证明：∵cos A =Bb a bB a cos cos ⋅--⋅，∴1－cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+，1+cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-．∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-．而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12BB B =+-，∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以 sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3．11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0．又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α．12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边． 14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1．又因为x 是第二象限角，所以sin x =2524，cos x =－257．又2x是第一或第三象限角，从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α．又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin（α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能．故2π＜α+β＜π．∴cos（α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π．故cos 656572cos 1=+=2ββ．。

高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十九)简单的三角恒等变换 Word版含解析

课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换一、选择题1．cos 2π8－12的值为( ) A ．1 B.12C.22D.24答案：D2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625C.1425D.725答案：D3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a 答案：C4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案：C5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增答案：A二、填空题6．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________.答案：0或±37．等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为________．答案：2626或52626 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．答案：－19三、解答题9．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解：∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 10．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？解：如图所示，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，AB ＝1，PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大．11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

人教A版高中数学必修四必修4三角恒等变换检测题.docx

《数学必修4》三角恒等变换测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案代号填在答题卡上） 1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （）A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 26272.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（）A. 23-B. 21-C. 21D. 23 4.=-+0tan50tan703tan50tan70 （）A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.216.函数则,cos 2cos 1)(xxx f -=（）A.在上递减在上递增]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ， B. .在上递减在上递增]2,23(],,2(,)23,[),2,0[πππππππC. .在上递减在上递增)23,[),2,0[,]2,23(],,2(πππππππD.在上递减在上递增],2(),2,0[,]2,23(),23,[πππππππ7.已知的值为则且2tan ,270180,53cos 00θθθ<<-=（）A. 2B. -2C. 2±D. 21±8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ（）A. 6π-B.6πC. 65πD. 65π-9.的值是则设αααπαcos2,31cos sin ),,0(=+∈（）A.917 B. 322- C. 917- D. 917或917- 10.在（0，2π）内，x x cos sin >成立的x 的取值范围（）A. )45;()2,4(ππππ B.),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππA. 521B. 421 C. 1 D. 012. 函数472cos sin cos 2+--=x x x y 的最大值为（）A. 74B. 2C. 411D. 415第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ；14．如果=-+=--)cos()sin(,033tan tan 2βαβαβα那么的两根是方程、x x 。

高中数学 3.2.1三角恒等变换课时作业新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学三角恒等变换课时作业新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．若cos α＝23，且α∈(0，π)，则cos α2＋sin α2的值为( )A ．56 B ．30＋66 C ．65 D ．30＋65[答案] B[解析] ∵cos α＝23，且α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)．∴cos α2＝1＋cos α2＝1＋232＝56＝306. sin α2＝1－cos α2＝1－232＝66∴cos α2＋sin α2＝306＋66＝30＋66.2．(2012·全国高考某某卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A ．35 B ．45 C ．74D ．34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D ．另解：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2及sin2θ＝378可得sin θ＋cos θ＝1＋sin2θ＝1＋378＝16＋6716＝9＋67＋716＝74＋34，而当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时sin θ>cos θ，结合选项即可得sin θ＝34，cos θ＝174.答案应选D ．3．(2015·某某文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 是周期为π的偶函数，y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x是周期为π的奇函数，y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)是周期为π的非奇非偶函数，y＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)是周期为2π的非奇非偶函数．故选B ．4．若f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] f (－1)＝f [tan(－π4＋k π)]＝sin2(－π4＋k π)＝sin(－π2＋2k π)＝－1. 5.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．12[答案] B[解析] 原式＝2sin αcos α2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.6．y ＝sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12 B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12D ．2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＋1 [答案] A[解析] y ＝12sin2x ＋1－cos2x2＝12sin2x －12cos2x ＋12 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.二、填空题7．已知sin θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos θ2＝________. [答案]55[解析]∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴cos θ2＝1＋cos θ2＝55. 8．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值为________．[答案]2＋24[解析] α＝β＋π4，则sin αsin β＝sin(β＋π4)sin β＝－12[cos(2β＋π4)－sin π4]＝－12cos(2β＋π4)＋24∴最大值为2＋24.三、解答题9．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α、 β均为锐角，求cos β2的值．[解析] ∵0<α<π2，sin α＝1213，∴cos α＝1－sin 2α＝513.又∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π.若0<α＋β<π2，∵1213>45，即sin α>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴π2<α＋β<π.又∵sin(α＋β)＝45，∴cos(α＋β)＝－35.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365.而0<β<π2，0<β2<π4，∴cos β2＝1＋cos β2＝76565. 10．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式(A >0，ω>0)； (2)求f (x )的最小正周期；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x .(2)由(1)知函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(3)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π，所以－32≤si n2x ≤1，即f (x )的最大值为1，最小值为－32. 能力提升一、选择题1．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则下列等式中一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C[答案] A[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2＝1＋cos C 2＝12－12cos(A ＋B )＝12－12(cos A cos B －sin A sin B ) ∴12cos A cos B ＋12sin A sin B ＝12. ∴cos(A －B )＝1，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ． 2．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C ．法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·co s π4－cos α·si nπ4＝cos α－sin αcos α＋sin α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12，故选C ．3．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在区间[0，π4]上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3B ．π3C ．2π3D ．4π3[答案] C[解析] f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3，k ∈R ，否定B 、D ；当θ＝－π3时，f (x )＝2sin2x 在[0，π4]区间上递增，否定A ，故选C ．4．已知θ为第二象限角，且cos θ2＝－12，那么1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．－1B ．12 C ．1 D ．2[答案] C[解析] ∵θ为第二象限角，∴θ2为一、三象限且cos θ2＝－12，∴θ2为第三象限角且sin θ2＝－32，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝|cos θ2－sin θ2|cos θ2－sinθ2＝1.二、填空题5．已知tan α2＝13，则cos α＝________.[答案] 45[解析] ∵tan α2＝±1－cos α1＋cos α，∴tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. ∴1－cos α1＋cos α＝19，解得cos α＝45.6．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.[答案] 4[解析] sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ＝sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －1tan 2x ＋1＝35，解得tan 2x ＝4. 三、解答题7．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos(θ2＋π8)的值．[解析] m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， ∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8.∴cos(θ2＋π8)<0.由已知|m ＋n |＝825，得|m ＋n |＝cos θ－sin θ＋22＋cos θ＋sin θ2＝4＋22cos θ－sin θ＝4＋4cos θcos π4－sin θsin π4＝4＋4cos θ＋π4＝21＋cos θ＋π4＝221＋cos θ＋π42＝－22cos(θ2＋π8)＝825，∴cos(θ2＋π8)＝－45.8．(2015·某某潍坊高一期末)已知cos(π－α)＝232，α∈(－π，0)．(1)求sin α；(2)求cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(32π－α2)的值．[解析] (1)∵cos(π－α)＝－cos α＝232，∴cos α＝－232，又∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－13.(2)cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(3π2－α2)＝12[1＋cos(π2－α)]＋(－sin α2)·(－cos α2) ＝12＋12sin α＋sin α2·cos α2 ＝12＋12sin α＋12sin α ＝12＋sin α ＝12＋(－13)＝16.。

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课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换
一、选择题
1．cos 2π8－12
的值为( ) A ．1 B.12
C.22
D.24
答案：D
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35
，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625
C.1425
D.725
答案：D
3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°
，c ＝1－cos 50°2
，则有( ) A ．a >b >c
B ．a <b <c
C ．a <c <b
D ．b <c <a 答案：C
4．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α
B ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4
C ．2
D ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 答案：C
5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )
A ．f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减 C ．f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增
D ．f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫π4
，3π4上单调递增答案：A 二、填空题
6．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________.
答案：0或± 3
7．等腰三角形的顶角的正弦值为513
，则它的底角的余弦值为________．答案：2626或52626
8．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2
＋cos 2A 等于________．答案：－19
三、解答题
9．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α
. 解：∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4
， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝
⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22
＝－2cos α2
. 10．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？
解：如图所示，
∵AB 为直径，
∴∠APB ＝90°，AB ＝1，
PA ＝cos α，PB ＝sin α.
又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α，
∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB
＝12PA ·PB ＋12
PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12
sin 2α ＝14sin 2α＋14
(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14
＝24sin(2α－π4)＋14
. ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34
π， ∴当2α－π4＝π2，即α＝38
π时，S 四边形ABTP 最大．
11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2
ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为 f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ
＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.
所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，
即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．
又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.
所以f (x )的最小正周期是6π5.
(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，
得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，
即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，
即λ＝－ 2.
故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，
函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。