0403分部积分法

练习题 求不定积分
ln x ∫ x2 dx.
x. sec2 xdx. ∫
∫ ( x + 4). sin xdx.
定理（补充） 定理（补充） 若 ∫ f ( x)dx = ϕ( x) − ∫ f ( x)dx,
1 则 ∫ f ( x)明: 证明: Q∫ f ( x)dx = ϕ( x) − ∫ f ( x)dx,
1 e ( 2t − t − + C = = ( x += ) arctan 4x + 4) x + C . e
t 2
x
( 2 x − 4 x + 4) + C .
练习题
sin x 求不定积分 3.∫ dx, 4.∫ sin xdx. x
解: 3.原式 = 2∫ sin xd x = −2cos x + C.
∴ f ( x) = ϕ′( x) − f ( x), ∴ϕ′( x) = 2 f ( x),
1 1 ′ = f (x), ∴∫ f ( x)dx = ϕ( x) + C. ∴[ ϕ( x)] 2 2
若 ∫ f ( x)dx = ϕ( x) + k∫ f ( x)dx, k ≠ 1,
1 ϕ( x) + C. 则∫ f ( x)dx = 1− k
◆掌握： 掌握： 分部积分法. 分部积分法
习题4-3 // P213： 习题 ：
3, 4, 10, 14, 16, 24.
∫ ln xdx = x ln x − ∫ xd ln x
1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx= xln x − ∫ dx x
= x ln x − x + C.
x3 ln xdx. 例5 求不定积分 ∫
1 解: 原式 = ∫ ln xdx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − ∫ x d ln x 4 4 1 4 1 3 = x ln x − ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − x + C . 4 16
xe xdx. 例1 求不定积分 ∫
解:
xe xdx = ∫ xde x ∫
= xe x − ∫ e xdx
= xe x − e x + C
= e x ( x − 1) + C.
x2e xdx. 例2 求不定积分 ∫
2 x x 2e x dx = ∫ x de = x 2e x − ∫ e x dx 2 解: ∫
1 x2 arctan x − ( x − arctan x ) + C . = 2 2
例6 求不定积分 ∫ x arctan xdx. 解.1. 解.2.
1 2 原式 = ∫ arctan xdx 2 1 原式 = ∫ arctan xd (1 + x 2 ) 2 1 = [(1 + x 2 ) arctan x − ∫ (1 + x 2 )d arctan x ] 2 1 2 = [(1 + x ) arctan x − ∫ dx ] 2 1 = [(1 + x 2 ) arctan x − x ] + C . 2
= x 2e x − 2 ∫ xe x dx = x 2e x − 2 ∫ xde x
e x dx) = x e − 2( xe − ∫
2 x x
= x 2e x − 2( xe x − e x ) + C
= e x ( x 2 − 2 x + 2) + C .
例3 求不定积分 ∫ x cos xdx . 解:
2t − t 2d arctan t 2 t = t arctan e t − ∫ e t dt 2 ) = 2( t e − 2 ∫ te t dt ) = 2( t
∫
t2 t 2 t t t 1 2 2 2 t = 2( t = t arctan te− − 2 ∫ tde dt = 2[tarctan t te ∫ −1∫− dt )]2 )dt ∫ 1 + t 2 ) t e − 2( − ( e 1 + t 2 = 2t 2e t − 4te t + 4e t + C = t arctan t − t + arctan t + C = ( t 2 + 1) arctan t − t + C
代回x 2 5 e 5
x
1 ( x − ) + C. 5
练习题
求不定积分 1.∫ xe
x
dx, 2.∫ arctan xdx.
sin x 3.∫ dx, 4.∫ sin xdx. x
解: 1.∫ xe
x
dx
令 x=t
te t ⋅ 2tdt = 2 ∫ t 2e t dt = 2 ∫ t 2de t ∫
第三节 分部积分法 一、分部积分公式
设u = u( x )与v = v ( x )均具有连续导函数 ,
( uv )′ = u′v + uv′ ⇒ uv′ = ( uv )′ − u′v
⇒ ∫ uv′dx = ∫ (uv)′dx − ∫ vu′dx uv dv du
分部积分公式 ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu --------分部积分公式
例6 求不定积分 ∫ x arctan xdx.
1 arctan xdx 2 解.1. 原式 = ∫ 2
1 2 = [ x arctan x − ∫ x 2d (arctan x ) ] 2
x2 1 x2 arctan x − ∫ = dx 2 2 2 1+ x
x2 1 1 arctan x − ∫ (1 − )dx = 2 2 2 1+ x
= 2( t 2e t − ∫ e t dt 2 ) = 2( t 2e t − 2 ∫ te t dt )
= 2( t 2e t − 2 ∫ tde t ) = 2[t 2e t − 2( te t − ∫ e t dt )]
= 2t 2e t − 4te t + 4e t + C
= e ( 2 t − 4t + 4) + C = e
∫ xcos xdx = ∫ xd sin x = x sin x − ∫ sin xdx
= x sin x + cos x + C .
注:
1 xcos xdx = ∫ cos xdx 2 ∫ 2
x x cos x + ∫ sin xdx = ? = 2 2
2
2
例4 求不定积分 ∫ ln xdx. 解:
1 x ∴ ∫ e cos xdx = e (sin x + cos x ) + C . 2
x
例8 求不定积分 ∫ e5 解: 原式
x
dx.
5t
令 x =t
2 e ⋅ 2tdt = ∫ tde 5 t ∫ 5
2 5t = ( te − ∫ e 5 t dt ) 5 2 5t 1 5t 2 5t 1 = ( te − e ) + C = e ( t − ) + C 5 5 5 5
例7 求不定积分
∫e
x
cos xdx.
e x cos xdx = ∫ e x d sin x 解: ∫
= e x sin x − ∫ sin xde x
= e x sin x − ∫ e x sin xdx = e x sin x + ∫ e x d cos x = e x sin x + (e x cos x − ∫ cos xde x ) = e x (sin x + cos x ) − ∫ e x cos xdx
4.原式
令 x=t
sin tdt 2 = 2 ∫ t sin tdt = −2 ∫ td cos t ∫
= −2( t cos t − ∫ cos tdt )
= −2( t cos t − sin t ) + C
= −2( x cos x − sin x ) + C .
二、小结与教学基本要求 小结与教学基本要求 基本
t 2
x
( 2 x − 4 x + 4) + C .
练习题
求不定积分 1.∫ xe
x
dx, 2.∫ arctan xdx.
arctan e ∫ te ⋅ 2∫tdt = 2∫ t ⋅ dt dt = 2 ∫ t de
2 t2 2 t
2 arctan 解: 1.∫ .∫xe dx xdx
2
x
令 x=t x=t 令 t