2018年广东省江门市高考数学一模试卷

2018年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）2．若z为复数且z（2﹣i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（）A．2 B．C．D．3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（）A．3 B．4 C．﹣1 D．06．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm28．已知区域D：，则x2+y2的最小值是（）A．5 B．4 C．D．29．设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称10．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+11．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（）A．1 B．C．2 D．12．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（4，+∞）C．（e，+∞）D．（，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为．14．正项数列{a n}满足a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n，则通项a n =．+115．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为．16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||•||的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=•．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b+c=5，a=，求△ABC的面积的大小．18．（12分）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：147 161 170 180 163 172 178 167 191 182181 173 174 165 158 154 159 189 168 169（Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；通行数量[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195）区间频数（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．19．（12分）如图，多面体EF﹣ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．20．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．21．（12分）椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C上到直线l的距离为d的点的个数为f（d），求f（d）的解析式．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a+1|（a＞0是常数）．（Ⅰ）证明：f（x）≥1；（Ⅱ）若f（3）＜，求a的取值范围．2018年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，A∩B={x|3＜x＜4}．故选：B．2．若z为复数且z（2﹣i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（）A．2 B．C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i，∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，∴z=1+i．则|z|=．故选：B．3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．4．若双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，可得a=2b，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=2b，∴c==b，∴e==．故选：D．5．如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（）A．3 B．4 C．﹣1 D．0【考点】程序框图．【分析】由程序框图知，每次进入循环体后，S的值计算公式是S=S+（﹣1）k+1•k，由此得出经过4次运算后输出的S值．【解答】解：由程序框图知运算规则是计算S的值，当输入n=4时，第一次进入循环体后S=1+1=2，第二次进入循环体后S=2﹣2=0，第三次进入循环体后S=0+3=3，第四次进入循环体后S=3﹣4=﹣1，此时k=4，退出循环；则输出S的值为：﹣1．故选：C．6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知，得到几何体是半个圆锥，由图形数据，得到底面半径以及高，计算侧面积即可．【解答】解：由题意，几何体是底面半径为10cm、高为20cm 的半个圆锥，母线长为，所以其侧面积为=cm2；故选C．8．已知区域D：，则x2+y2的最小值是（）A．5 B．4 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，结合x2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，根据x2+y2的几何意义，显然OA的平方最小，而A（0，2），∴OA2=x2+y2的最小值是4，故答案为：B．9．设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．10．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选B11．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，利用△APF的面积为1，求出P的坐标，答案可得．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，2），则∵△APF的面积为1，∴=1，∴x=2，∴P（2，2）．代入抛物线的方程可得p=1，∴|PF|=2+=．故选：D．12．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（4，+∞）C．（e，+∞）D．（，4）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，利用数形结合结合导数求出函数的切线斜率，即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，设y=kx与f（x）=e x，在x＞0相切时，设切点为P（m，n），则函数的导数f′（x）=e x，则在P（m，n）处的切线斜率k=f′（m）=e m，则切线方程为y﹣n=e m（x﹣m），即y=e m x+e m﹣me m，当x=0，y=0时，e m﹣me m=0，即1﹣m=0，m=1，此时切线斜率k=f′（m）=e，∵e＜4，∴当a=e时，直线y=ex与f（x）只有一个交点，当a＞e时，在x＞0上，f（x）与y=ax有两个交点，当a=4时，y=ax与y=4x﹣4，平时，此时f（x）与y=ax有两个交点，当a＞4时，此时f（x）与y=ax有3个交点，综上若f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，则e＜a≤4，故选：A三、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，原不等式f（x）＞0可以转化为|x|＜1且x≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），f（1）=0，则f（x）＞0⇔f（x）＞f （1），又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＞f（1）⇔f（|x|）＞f（1），函数f（x）在（0，+∞）单调递减，则f（|x|）＞f（1）⇔|x|＜1且x≠0，综合可得：f（x）＞0⇔|x|＜1且x≠0，解可得﹣1＜x＜1且x≠0，即不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）；故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，关键是综合运用函数的奇偶性与单调性分析，得到关于x的不等式．14．正项数列{a n}满足a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n+1，则通项a n=．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为．分类写出通项公式得答案．【解答】解：由a1+a2+…+a n=2a n a n+1，得S n=2a n a n+1，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1a n，两式相减得a n=2a n（a n+1﹣a n﹣1），即，又a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n+1，得．∴数列{a n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为．则当n为奇数时，，当n为偶数时，．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．15．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为0.488．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，可得正态分布的对称轴为ξ=6，9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．求出9年内部件不能正常工作的概率，即可求出该部件能正常工作的时间超过9年的概率．【解答】解：∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，∴P（0＜ξ＜3）=P（ξ＞9）=0.2，∴正态分布的对称轴为ξ=6，∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．∴9年内部件不能正常工作的概率为0.83=0.512，∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1﹣0.512=0.488．故答案为：0.488．【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布、对立事件的概率，属于中档题．16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||•||的取值范围是[0，，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量、的夹角为θ，由数量积的计算公式可得•=﹣，分析可得180°≥θ＞90°，由﹣1≤cosθ＜0，且•=||•||cosθ=﹣，得出||•||的取值范围．【解答】解：设向量、的夹角为θ，对于向量、有：|+|=2①，|﹣|=3②，①2﹣②2可得：4•=﹣5，即•=﹣，则向量、的夹角θ满足180°≥θ≥0°，则有﹣1≤cosθ≤1，•=||•||cosθ=﹣，∴||•||=，因为||•||≥0，所以0≤cosθ≤1，∴0≤||•||≤．故答案为：[0，]【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，掌握数量积与夹角公式是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•江门一模）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=•．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b+c=5，a=，求△ABC的面积的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角形面积公式可求tanA=，结合范围A∈（0，π），可得A的值，（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求bc=6，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵S=•=bccosA，…2分又∵S=bcsinA，可得：tanA=，…4分∴由A∈（0，π），可得：A=…6分（Ⅱ）∵由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=b2+c2﹣bc，…8分∴可得：（b+c）2﹣3bc=7，…9分∴由b+c=5，可得：bc=6，…11分∴△ABC的面积S=bcsinA=…12分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形面积公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•江门一模）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：147 161 170 180 163 172 178 167 191 182181 173 174 165 158 154 159 189 168 169（Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；通行数量区间[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195）频数（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用已知数据即可得出；（II）用分层抽样的方法抽取7处，即可得出．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）通行数量区间[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195）频数24842…（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取7处，则通行数量区间为[165，175]，[175，185]，及[185，195）的路段应分别取4处、2处、1处…依题意，X的可能取值为0，1，2 …（7分）利用P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．…（10分）∴随机变量X的分布列为：X 012PEX=0+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、超几何分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•江门一模）如图，多面体EF﹣ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，只需证EH⊥BD，AC⊥BD，即可得BD ⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz，求出两个面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD…（1分）∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD…又正方形ABCD中，AC⊥BD…∵EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内…∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF…（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz…∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=60°，设正方形ABCD的边长为4a，则AC=4，AH=，EA=2，EH=…（7分）各点坐标分别为H（0，0，0），A（，B（﹣C（﹣3，D（﹣，E（0，0，…（8分）易知为平面ABCD的一个法向量，记，，，∵EF∥AC，∴…（9分）设平面DEF的一个法向量为，则⊥，⊥，即，令z=，则x=0，y=﹣2，∴，且，…（10分）∴与的夹角θ为|cosθ|=平面DEF与平面ABCD所成角α的正弦值为sinα=…（12分）【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20．（12分）（2017•江门一模）设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，表示出切线方程，求出m的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1 …（1分），设切点坐标是（m，e m﹣m），则k=f′（m）=e m﹣1，故切线方程是：y﹣（e m﹣m）=（e m﹣1）（x﹣m）…由0﹣（e m﹣m）=（e m﹣1）（0﹣m），得m=1，所求切线为：y=（e﹣1）x…（Ⅱ）f′（x）=e x﹣a，当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna…（1）a＞0时，若x＜lna，则f′（x）＜0；若x＞lna，则f′（x）＞0．函数f（x）在区间（﹣∞，lna）单调递减，在区间（lna，+∞）单调递增，f（x）的最小值为f（lna）=a（1﹣lna）…（7分）①0＜a＜e时，f（lna）=a（1﹣lna）＞0，f（x）无零点…（8分）②a=e时，f（lna）=a（1﹣lna）=0，f（x）只有一个零点…（9分）③a＞e时，f（lna）=a（1﹣lna）＜0，根据f（0）=1＞0与函数的单调性，f（x）在区间（﹣∞，lna）和（lna，+∞）各有一个零点，f（x）共有两个零点…（10分）（2）a=0时，f（x）=e x，f（x）无零点…（11分）（3）a＜0时，由f（x）=0得，e x=ax，故曲线y=e x与y=ax只有一个交点，所以f（x）只有一个零点．综上所述，0≤a＜e时，f（x）无零点；a＜0或a=e时，f（x）有一个零点；a＞e时，f（x）有两个零点…（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．21．（12分）（2017•江门一模）椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC 是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据三角形的周长求出a的值，设G（x0，y0），求出b，c的值，从而求出椭圆E的方程即可；（Ⅱ）分别设出AB，AC的斜率，联立直线和圆的方程组，分别求出B、C的坐标，求出直线BC的方程，从而求出直线恒过的定点即可．【解答】解：（Ⅰ）由△DGF2的周长是8，得：4a=8，解得：a=2，由|DF1|=3|GF1|且G在DF1的延长线上，得=，设G（x0，y0），则（x0，y0﹣b）=（﹣c，﹣b），x0=﹣c，y0=﹣b，由+=1，解得：c2=2，∴b2=2，椭圆E的方程是+=1；（Ⅱ）A（﹣2，0），直线AB、AC均有斜率，设AB：y=k（x+2），AC：y=﹣（x+2），由，得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=﹣，当x2=﹣时，y2=∴B（﹣，），同理C（，﹣），直线BC的方程是3kx+2（k2﹣1）y+2k=0，直线BC恒过定点（﹣，0）．【点评】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，是一道中档题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。