2018-2019东城区高三第一学期期末理科数学
2018北京市东城区高三(上)期末数学(理)(答案图片)
2018北京市东城区高三（上）期末数 学（理） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}2,1,0,1,2,3,12A B x x x =--=-或，则A B =A. {}2,3-B. {}0,1C.{}2,1,2,3-- D. {}1,0,1,2- （2）函数3sin(2)4y x π=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是 A. 2π B. π C. 2π D. 4π （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为A. 1B. 2C. 32D. 74（4）若,x y 满足233y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x y -的最小值为A. 5-B. 3-C.2- D. 1- （5）已知函数41()2x x f x +=，则()f x 的 A.图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是增函数B. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是增函数C. 图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是减函数D. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是减函数（6）设,a b 为非零向量，则“a b a b +=-”是“0a b ⋅=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. 16B. 13C. 12D. 1 （8）现有n 个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若4n =，则甲有必赢的策略B. 若6n =，则乙有必赢的策略C. 若9n =，则甲有必赢的策略D. 若11n =，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数(1)()i a i +-为纯虚数，则实数a = . （10）在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于 .（11）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若1466,4a a a =+=，则5S = .（12）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为 . （13）双曲线222:1(0)y C x b b -=的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若1C 双曲线与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以是 .（14）如图1，分别以等边三角形ABC 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC 称为勒洛三角形ABC ，等边三角形的中心P 称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形ABC 夹在直线0y =和直线2y =之间，且沿x 轴滚动，设其中心(,)P x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；对的图像与性质有如下描述：①中心对称图形； ②轴对称图形； ③一条直线； ④最大值与最小值的和为2. 其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
北京市东城区2018届高三上学期期末数学试卷理科 含解析
2018-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．2D ．8．数列{a n }表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率r n =0.6（r n =，n ∈N *）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n 会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n 的规律描述正确的是（ ）A ．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f （t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2018-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k 2）x 2﹣6kx +9=0，故△=72k 2﹣36（1+k 2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x 2+y 2=9相切”的充分不必要条件，故选：A ．4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，可得当S=时不满足条件S ≤，退出循环，输出k 的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，k=0满足条件S ≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S ≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S ≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S ≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S ≤，退出循环，输出k 的值为8．故选：B ．5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．tanx ﹣tany ＞0 B ．xsinx ﹣ysiny ＞0 C ．lnx +lny ＞0 D ．2x ﹣2y ＞0 【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可． 【解答】解：x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，对于A ：当x=，y=时，tan=，tan =，显然不成立；对于B ：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C ：lnx +lny ＞0，即ln （xy ）＞ln1，可得xy ＞0，∵x ＞y ＞0，那么xy 不一定大于0，显然不成立；对于D ：2x ﹣2y ＞0，即2x ＞2y ，根据指数函数的性质可知：x ＞y ，恒成立． 故选D6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x +1）≥0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数， ∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∵f （0）=0，∴不等式f （x +1）≥0等价为f （x +1）≥f （0）， 则x +1≥0，得x ≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞）， 故选：C7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】散点图．【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P 三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B，Q，P三点共线，∴．∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），即，解得，∵点Q在椭圆C上，∴．∴．即，∵A，B在椭圆C上，∴，．∵直线OA，OB的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由子集定义直接写出答案；（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=，x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．（1，1，1，1，1，1，1，1）在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…2018年1月21日。
2018-2019学年东城区高三上学期期末理科数学试卷及答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A ＝{x|−2＜x ≤0}，B ＝{−2，−1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A 、{−2，−1}B 、{−2，0}C 、{−1，0}D 、{−2，−1，0}2．下列复数为纯虚数的是（ ）A 、1＋i 2B 、i ＋i 2C 、1−i1D 、(1−i)2 3．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A 、y ＝x 3＋xB 、y ＝log 2xC 、y ＝2x 2−3D 、y ＝x2 4．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝5，m ＝3，则输出p 的等于（ ）A 、3B 、12C 、60D 、3605．“m ＝π125”是“函数f(x)＝cos(2x ＋6π)的图象关于直线x ＝m 对称”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A 、2B 、5C 、22D 、37．在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sin θ的切线方程的是（ ）A 、ρcos θ＝2B 、ρ＝2cos θC 、ρcos θ＝−1D 、ρsin θ＝−18．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8＋1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则21E E 的值所在的区间为（ ） A 、（1，2） B 、（5，6）C 、（7，8）D 、（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤322y x x y x ，则x ＋2y 的最小值为________．10．已知双曲线m x 2−my 32＝1的一个焦点为（23，0），则m ＝_______． 11．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝−1，b 1＝2，a 3＋b 2＝−1，试写出一组满足条件的数列{a n }和{b n }的通项公式：a n ＝_______，b n ＝_________．12．在菱形ABCD 中，若BD ＝3，则•的值为_________．13．函数f(x)＝sin(x −6π)＋cos(x −3π)在区间[−6π，32π]上的最大值为________． 14．已知函数f （x ）为定义域为R ，设F f （x ）＝⎩⎨⎧>≤1|)(|,11|)(|),(x f x f x f ． ①若f （x ）＝221xx +，则F f （1）＝_________； ②若f （x ）＝e −1，且对任意x ∈R ，F f （x ）＝f （x ），则实数a 的取值范围为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，2csinAcosB ＝asinC ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积为a 2，求cosA 的值．16．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望E （X ）．17．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AE ＝EF ，AF ＝2AE ．将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD （如图2），G 是BF 的中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥EG ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH ∥平面ABFE ？若存在，求BCBH 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D −AC −F 的大小．18．已知函数f（x）＝axe x−x2−2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝−x的上方，求实数a的取值范围．19．已知椭圆C ：22ax ＋22y ＝1过点P （2，1）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A'，直线A'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．20．对给定的d ∈N*，记由数列构成的集合Ω(d)＝{{a n }| a 1＝1 ， |a 1+n |＝|a n ＋d| ，n ∈N*}．（Ⅰ）若数列{a n }∈Ω（2），写出a 3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d ），若d ≥2．求证：存在整数k ，使得对Ω（d ）中的任意数列{a n }，整数k 不是数列{a n }中的项；（Ⅲ）已知数列{a n }，{b n }∈Ω（d ），记{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ．若|a 1+n |≤|b 1+n |，求证：A n ≤B n ．。
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(理)(1)
个是增函数；②若 log m 3 log n 3 0 ，则 0 n m 1 ；③若函数 f ( x) 是奇函数，
则 f ( x 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称；④已知函数 f ( x)
f (x) 1 有 2 个实数根，其中正确命题的个数为 2
（ A） 1
（ B） 2
（ C） 3
第Ⅱ卷 （共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（9）若 sin
3 ，且 tan
5
（ 10 ）图中阴影部分的面积等于
（11）已知圆 C ： x2 y2 6x
0 ，则 cos ．
．
8 0 ，则圆心 C 的坐标为
若直线 y kx 与圆 C 相切，且切点在第四象限，则 k
（ 12 ）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
设点 P 的轨迹为曲线 C ，直线 l 过点 E ( 1,0) 且与曲线 C 交于 A ， B 两点．
（Ⅰ）求曲线 C 的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在△ AOB 面积的最大值，若存在，求出△
理由 .
AOB 的面积；若不存在 ，说明
（20）（本小题共 14 分）
已知实数组成的数组 (x1, x2 , x3, , xn ) 满足条件：
C、（1）（ 3）
D、（ 2）（ 4）
（6）已知 x ， y 满足不等式组
x 0, y 0, 当 3 s 5 时，目标函数 z 3x 2y 的最大值 x y s,
y 2x 4.
的变化范围是
（ A） [6,15]
（B） [7,15]
（ C） [6,8]
（ D） [7,8]
（7）已知抛物线 y2
x2 2 px 的焦点 F 与双曲线
北京市东城区第一学期高三级期末数学统一练习理科
东城区2018-2018学年度第一学期期末教案统一检测高三数学(理科)学校 _____________ 班级 _________________ 姓名 _______________ 考号 ___________本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共40分)一、本大题共 8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
(1)设集合A =｛1,2｝，则满足AU B =｛1,2,3｝的集合B 的个数是(A ) 1(B) 3(C)4(D) 8a +i(2)已知a 是实数，是纯虚数，则a 等于1 -i(A ) -1 (B ) 1(C ) 2( D ― 2(B ) 5(C ) 6(D) 7(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件\ >0,(6)已知x , y 满足不等式组；『王°, 当3兰s 兰5时，目标函数z = 3x + 2y 的最大值 |x +y "y 2x E4.的变化范围是 (A ) [6,15](B ) [7,15]( C ) [6,8]( D ) [7,8]n 项和为S n ，若a 3 = 6 , & = 12，则公差d 等于5(A ) 1( B )3 (C ) 2(D ) 3(4)执行如图所示的程序框图， (A ) 4 输出的k 的值为(5 )若a , b 是两个非零向量，则a +b =|a — b ”是"a 丄 b ”的(3)已知｛a n ｝为等差数列，其前2 2⑺已知抛物线宀2 px的焦点F与双曲线冷宁的右焦点重合，抛物线的准线与X轴的交点为K ,点A在抛物线上且| AK |= 2 | AF |，则△ AFK的面积为(A) 4 ( B) 8 (C) 16 ( D) 321(8)给出下列命题：①在区间(0, •：：)上，函数y =x，, y = x2, y =(x-1)2, y = x3中有三个是增函数；②若log m 3 ：：： log n 3 ：：： 0，则0 ：：：n :: m - 1 :③若函数f (x)是奇函数，3x/ x 兰2 则f(x—1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x) =」' -'则方程Jog3(x —1),x>2, 1f (x) 有2个实数根，其中正确命题的个数为2(A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4第n卷(共110 分)、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
东城区2018-2019第一学期期末数学理科答案终稿
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4 （10（11）2n - （答案不唯一） （12）32（13 （14）12(,l n 2]-∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解:sin sin sin cos sin ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A==所以.............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x=. .............................3分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150..............................6分（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=，500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP XC===；12353815(1)28C CP XC===；21353815(2)56C CP XC===；33381(3)56CP XC===.所以X 的分布列为：故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,,AE EF AF == 可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为ADBC ，所以,.EF BF EF FC ⊥⊥ 因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ⊂平面， 所以CF ABFE ⊥平面.又EG ABFE ⊂平面，故CF EG ⊥；由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以； 又AFFC F =，EG AFC.⊥所以平面AC AFC ⊂又平面，.AC EG ⊥所以 .............................4分（II ）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B DH BC 设是线段上一点，[0,1].BH BC λλ∈=则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H DH λλλλ-=---因此点，(0,2,0).FC ABFE FC =由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ⊄因为平面，0DH ABFE DH FC ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2BH BC H DH ABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分 （III ）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得,(1,0,1).EG AFC EG =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),AD CD =-=-设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0AD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =cos ,0.EG EG EG ⋅<>==所以n n n所以二面角90.D AC F --的大小为 .............................14分（18）（共13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10xa x -->恒成立，由于e 0x>，所以等价于当0x >时，1e xx a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1e xx g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞. .............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e == .........................4分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B k y y k x x k k --=+-=+有， 因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.-- ..............................4分 （Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式. AB由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍. 故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项. .............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+， 即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤， 由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立 .............................14分。
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(理)
东城区2018年第一学期期末高三数学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz等于( ) A ．1 B ．i - C ．1± D ．i±(2)．函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是( ) A ．1 BC ．32D．1+(3)．已知数列{}n a 对任意的p ，*q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于( )A ．165-B ．33-C ．30-D ．21- (4)．函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是( )(5)．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工( )人A ．30B ．20C ．10D ．5（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A．y＝x3+x B．y＝log2x C．y＝2x2﹣3D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，m＝3，则输出p的等于（）A．3B．12C．60D．3605．（5分）“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．37．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sinθ的切线方程的是（）A．ρcosθ＝2B．ρ＝2cosθC．ρcosθ＝﹣1D．ρsinθ＝﹣1 8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若x，y满足，则x+2y的最小值为．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），则m＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）在菱形ABCD中，若，则的值为．13．（5分）函数在区间上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）＝．①若f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．17．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE＝EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣F的大小．18．（13分）已知函数f（x）＝axe x﹣x2﹣2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方，求实数a的取值范围．19．（13分）已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l 上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20．（14分）对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：对于选项A：y＝x3+x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符，对于选项B：y＝iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y＝2x2﹣3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y＝不存在零点，与题意不符，故选：A．4．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝5，m＝3，k＝1，p＝1，p＝3，满足条件k＜m，执行循环体，k＝2，p＝12，满足条件k＜m，执行循环体，k＝3，p＝60，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．5．【解答】解：若函数的图象关于直线x＝m，则2m+＝kπ，得m＝﹣+，当k＝1时，m＝，即“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．7．【解答】解：圆ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，圆心为（0，1），半径r＝1，在A中，ρcosθ＝2即x＝2，圆心（0，1）到x＝2的距离d＝2＞r＝1，故ρcosθ＝2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ＝2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ＝﹣1即x＝﹣1，圆心（0，1）到x＝﹣1的距离d＝1＝r＝1，故ρcosθ＝﹣1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ＝﹣1即y＝﹣1，圆心（0，1）到y＝﹣1的距离d＝2＞r＝1，故ρsinθ＝﹣1不是圆的切线，故D错误．故选：C．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故答案为：4．10．【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），即c＝，解得m＝3，故答案为：3．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．13．【解答】解：函数＝sin x cos﹣cos x sin+cos x cos +sin x sin＝sin x；∵x∈上∴当x＝时，f（x）取得最大值为sin＝．故答案为：14．【解答】解：①若f（x）＝，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）＝f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为﹣1≤e a﹣|x|﹣1≤1，即有0≤e a﹣|x|≤2，可得a﹣|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（﹣∞，ln2]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A＝a sin C，所以：cos B＝＝，又0＜∠B＜π，．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2＝ac sin，∴c＝2，．．…（13分）16．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，可得x＝0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC＝F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F﹣xyz，设FE＝1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，＝（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，，即（﹣1，2λ﹣1，2﹣2λ）•（0，2，0）＝0.．．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，．，设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z），由令x＝1，则y＝1，z＝1．于是n＝（1，1，1）．．所以二面角D﹣AC﹣F的大小为90°…（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xe x﹣x2﹣2x，其导数f'（x）＝e x（x+1）﹣2x ﹣2，f'（0）＝﹣1．又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方”等价于“axe x﹣x2﹣2x＞﹣x恒成立”，又由x＞0，则axe x﹣x2﹣2x＞﹣x⇒ae x﹣x﹣1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）＝，则g′（x）＝﹣，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）＝＝1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx1+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d＝2，a1＝1．由已知有|a2|＝|a1+d|＝|1+2|＝3，所以a2＝±3，|a3|＝|a2+d|＝|a2+2|，将a2＝±3代入得a3的所有可能取值为﹣5，﹣1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n＝1时，a1＝0•d+1，因此n＝1时结论成立．②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k＝m0d0±1成立．当n＝k+1时，|a n+1|＝|m0d0±1+d0|＝|（m0+1）d0±1|，a k+1＝（m0+1）d±1，或a k+1＝﹣（m0+1）±1，所以当n＝k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k＝d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|＝|a n+d|，可得：＝，所以有＝+2a n d+d2，＝+2a n﹣1d+d2，，…＝，以上各式相加可得，即A n＝﹣，同理B n＝﹣，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤﹣，∴A n≤B n．…（14分）。
D_北京市东城区2019届高三第一学期期末数学理科试题(精品解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．【详解】圆，即，∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误；在C中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确；在D中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误．故选C．【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．【答案】(1). -n(2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形中，，由可得则，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．13.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．【详解】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．14.已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，．【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（2）因为△ABC的面积为，∴2，由余弦定理，，所以．．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，； ；；．所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（1）证明：AC⊥EG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．因此点．由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得．．（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（1）可得，是平面的法向量，．，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以．所以二面角D-AC-F的大小为90°【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【详解】（1）当时，，其导数，．又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x＞0，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线，，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，∴，∴同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．∴，又，故，所以直线与直线平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（3）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．【详解】（1）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项（3）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n =-，同理B n =-，当时，有，∵d ∈N *，∴≤，∴≤-，∴【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1 和 E2，则������2的值所在的区间为（ ）
A. (1,2)
B. (5,6)
C. (7,8)
D. (15,16)
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） ������ ≤ 2 ������ ≤ 2������ 若 x，y 满足 ������ + ������ ≥ 3，则 x+2y 的最小值为______．
17. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，E，F 分别为 AD，BC 的中点， AE=EF，������������ = 2������������．将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE⊥平面 EFCD（如
图 2），G 是 BF 的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥EG；
2018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 若集合 A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. { ‒ 2, ‒ 1}
2.
B. { ‒ 2,0}
C. { ‒ 1,0}
D. { ‒ 2, ‒ 1,0}
8.
B. ������ = 2������������������������
C. ������������������������������ =‒ 1
D. ������������������������������ =‒ 1
地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量 E（单位：焦耳）与 地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为
北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含解析
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】。
北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学(理)试题
北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学（理）试题本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则AB =（A ）(0,1) （B ） (1,2) （C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞（2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B（C）3 （D）3（主视图）（侧视图）（俯视图）（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥k 的取值范围为 （A）[ （B ）11[,33-（C ）(,3-∞-（D）[)3+∞ （7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠=，30B ∠=，AB =2BC =，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B） （C ）1[0,]2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是 （A ）[6,10]-（B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A ={x |-2＜x ≤0}，B ={-2，-1，0，1，2}，则A ∩B =（ ）A. B. C. D. 2. 下列复数为纯虚数的是（ ）A.B.C.D.3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入n =5，m =3，则输出p 的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 3605.“”是“函数的图象关于直线x =m 对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度 为（ ） A. 2 B. C. D. 37. 在极坐标系中，下列方程为圆ρ=2sinθ的切线方程的是（）A. B. C. D.8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x，y满足，则x+2y的最小值为______．10. 已知双曲线-=1的一个焦点为（2，0），则m=______．11. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．12. 在菱形ABCD中，若，则的值为______．13. 函数在区间，上的最大值为______．14. 已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16. 某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第2页，共15页17. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D-AC-F的大小．18. 已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆：过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20. 对给定的d∈N*，记由数列构成的集合，，∈．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．第4页，共15页1.C解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.D解：∵1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，，（1-i）2=1-2i+i2=-2i．∴为纯虚数的是（1-i）2．故选：D．直接利用复数的运算求解即可得答案，本题考查了复数的基本概念，是基础题．3.A解：对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符，对于选项B：y=iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y=不存在零点，与题意不符，故选：A．由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=iog2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=不存在零点，故得解．本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题．4.C解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k＜m，执行循环体，k=2，p=12，第6页，共15页满足条件k ＜m ，执行循环体，k=3，p=60， 不满足条件k ＜m ，退出循环，输出p 的值为60． 故选：C ．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果． 本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题． 5.A解：若函数的图象关于直线x=m ，则2m+=kπ， 得m=-+， 当k=1时，m=，即“”是“函数的图象关于直线x=m 对称”的充分不必要条件， 故选：A ．结合三角函数的对称性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出m 的取值范围是解决本题的关键． 6.D解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA=AC=2，BC=1， ∴PB===3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB=3． 故选：D ．由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．7.C解：圆ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，在A中，ρcosθ=2即x=2，圆心（0，1）到x=2的距离d=2＞r=1，故ρcosθ=2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ=2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ=-1即x=-1，圆心（0，1）到x=-1的距离d=1=r=1，故ρcosθ=-1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ=-1即y=-1，圆心（0，1）到y=-1的距离d=2＞r=1，故ρsinθ=-1不是圆的切线，故D错误．故选：C．求出圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，由此能求出结果．本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.B解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，∴E1=1016.8，E2=1016.05，∴=100.75，∵100.75＞90.75=31.5=3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．9.4解：作出x，y满足对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，此时z=2+2×1=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.3解：双曲线-=1的一个焦点为（2，0），即c=，解得m=3，故答案为：3．由双曲线的焦点坐标可得c的值，进而由双曲线的几何性质列出方程，解可得m的值．本题考查双曲线的标准方程，注意分析a、b的关系．11.-n 2第8页，共15页解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，可得-1+2d+2q=-1，即为d=-q，可取d=-1，可得q=1，则a n=-1-（n-1）=-n；b n=2．故答案为：-n，2．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.解：菱形ABCD中，，则=•=||×||×cos ∠CBD=||×||=×=．故答案为：．根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．13.解：函数=sinxcos -cosxsin+cosxcos +sinxsin=sinx；∵x ∈上∴当x=时，f（x）取得最大值为sin =．故答案为：利用和与差公式化简，根据x 在上，结合三角函数的性质可得最大值．本题考查了和与差公式的应用和计算能力．属于基础题．14.（-∞，ln2]解：①若f（x）=，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）=f（x）=，则F f（1）=；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为-1≤e a-|x|-1≤1，即有0≤e a-|x|≤2，可得a-|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（-∞，ln2]．①通过|f（x）|的范围，可得F f（x）=f（x），代入可得所求值；②由题意可得|f（x）|≤1恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．第10页，共15页15.（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A=a sin C，所以：cos B==，又0＜∠B＜π，所以∠ ．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2=ac sin，∴c=2，由余弦定理，，所以．所以．…（13分）（Ⅰ）由正弦定理可得cosB=，结合范围0＜∠B＜π，可求B的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值，进而可求cosA的值．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x=1，可得x=0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x=0.15．（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力．17.证明：（Ⅰ）在图1中，，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，则存在∈，使得．因此点，，，，，．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，所以∥平面当且仅当，即（-1，2λ-1，2-2λ）•（0，2，0）=0.解得．所以在线段上存在点使得∥平面，此时．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，是平面的法向量，，，．，，，，，，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以＜，＞．所以二面角D-AC-F的大小为90°…（14分）（Ⅰ）推导出AE⊥EF，EF⊥BF，EF⊥FC，从而CF⊥平面ABFE，进而CF⊥EG，四边形AEFG为正方形，AF⊥EG，由此能证明EG⊥平面AFC，从而AC⊥EG．（II）由FE，FC，FB两两垂直，建立空间直角坐标系F-xyz，由此利用向量法能求出在线段BC上存在一点H，使得DH∥平面ABFE，并能求出的值．（III）求出平面AFC的法向理和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的大小．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=xe x-x2-2x，其导数f'（x）=e x（x+1）-2x-2，f'（0）=-1．又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y=f（x）在直线y=-x的上方”等价于“axe x-x2-2x ＞-x恒成立”，又由x＞0，则axe x-x2-2x＞-x⇒ae x-x-1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）=，则g′（x）=-，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）==1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a＞恒成立，设g（x）=，求出g（x）的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，涉及函数恒成立问题，注意将恒成立问题转化为最值问题．19.解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆：过点P（2，1），可得a2=8．所以c2=a2-2=8-2=6，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1-2k）x+16k2-16k-4=0，∴2x1=，∴x1=同理x2=，所以x1-x2=-，由y1=kx1-2k+1，y2=-kx1+2k+1有y1-y2=k（x1+x2）-4k=-，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB==，又k OP=，故k AB=k OP，所以直线AB与直线OP平行．（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1-x2，y1-y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n=-，同理B n=-，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤-，∴A n≤B n．…（14分）（Ⅰ）推导出d=2，a1=1，a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，由此能求出a3的所有可能取值．（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．由此能证明取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项．（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，得：=，从而=+2a n d+d2，由此利用累加法得，从而A n=-，同理B n=-，由此能证明A n≤B n．本题考查数列的第3项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A ={x |-2＜x ≤0}，B ={-2，-1，0，1，2}，则A ∩B =（ ）A. B. C. D. 2. 下列复数为纯虚数的是（ ）A.B.C.D.3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入n =5，m =3，则输出p 的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 3605.“”是“函数的图象关于直线x =m 对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度 为（ ） A. 2 B. C. D. 37. 在极坐标系中，下列方程为圆ρ=2sinθ的切线方程的是（）A. B. C. D.8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x，y满足，则x+2y的最小值为______．10. 已知双曲线-=1的一个焦点为（2，0），则m=______．11. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．12. 在菱形ABCD中，若，则的值为______．13. 函数在区间，上的最大值为______．14. 已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16. 某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第2页，共15页17. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D-AC-F的大小．18. 已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆：过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20. 对给定的d∈N*，记由数列构成的集合，，∈．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．第4页，共15页1.C解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.D解：∵1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，，（1-i）2=1-2i+i2=-2i．∴为纯虚数的是（1-i）2．故选：D．直接利用复数的运算求解即可得答案，本题考查了复数的基本概念，是基础题．3.A解：对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符，对于选项B：y=iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y=不存在零点，与题意不符，故选：A．由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=iog2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=不存在零点，故得解．本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题．4.C解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k＜m，执行循环体，k=2，p=12，第6页，共15页满足条件k ＜m ，执行循环体，k=3，p=60， 不满足条件k ＜m ，退出循环，输出p 的值为60． 故选：C ．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果． 本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题． 5.A解：若函数的图象关于直线x=m ，则2m+=kπ， 得m=-+， 当k=1时，m=，即“”是“函数的图象关于直线x=m 对称”的充分不必要条件， 故选：A ．结合三角函数的对称性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出m 的取值范围是解决本题的关键． 6.D解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA=AC=2，BC=1， ∴PB===3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB=3． 故选：D ．由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．7.C解：圆ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，在A中，ρcosθ=2即x=2，圆心（0，1）到x=2的距离d=2＞r=1，故ρcosθ=2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ=2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ=-1即x=-1，圆心（0，1）到x=-1的距离d=1=r=1，故ρcosθ=-1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ=-1即y=-1，圆心（0，1）到y=-1的距离d=2＞r=1，故ρsinθ=-1不是圆的切线，故D错误．故选：C．求出圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，由此能求出结果．本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.B解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，∴E1=1016.8，E2=1016.05，∴=100.75，∵100.75＞90.75=31.5=3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．9.4解：作出x，y满足对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，此时z=2+2×1=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.3解：双曲线-=1的一个焦点为（2，0），即c=，解得m=3，故答案为：3．由双曲线的焦点坐标可得c的值，进而由双曲线的几何性质列出方程，解可得m的值．本题考查双曲线的标准方程，注意分析a、b的关系．11.-n 2第8页，共15页解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，可得-1+2d+2q=-1，即为d=-q，可取d=-1，可得q=1，则a n=-1-（n-1）=-n；b n=2．故答案为：-n，2．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.解：菱形ABCD中，，则=•=||×||×cos ∠CBD=||×||=×=．故答案为：．根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．13.解：函数=sinxcos -cosxsin+cosxcos +sinxsin=sinx；∵x ∈上∴当x=时，f（x）取得最大值为sin =．故答案为：利用和与差公式化简，根据x 在上，结合三角函数的性质可得最大值．本题考查了和与差公式的应用和计算能力．属于基础题．14.（-∞，ln2]解：①若f（x）=，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）=f（x）=，则F f（1）=；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为-1≤e a-|x|-1≤1，即有0≤e a-|x|≤2，可得a-|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（-∞，ln2]．①通过|f（x）|的范围，可得F f（x）=f（x），代入可得所求值；②由题意可得|f（x）|≤1恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．第10页，共15页15.（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A=a sin C，所以：cos B==，又0＜∠B＜π，所以∠ ．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2=ac sin，∴c=2，由余弦定理，，所以．所以．…（13分）（Ⅰ）由正弦定理可得cosB=，结合范围0＜∠B＜π，可求B的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值，进而可求cosA的值．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x=1，可得x=0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x=0.15．（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力．17.证明：（Ⅰ）在图1中，，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，则存在∈，使得．因此点，，，，，．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，所以∥平面当且仅当，即（-1，2λ-1，2-2λ）•（0，2，0）=0.解得．所以在线段上存在点使得∥平面，此时．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，是平面的法向量，，，．，，，，，，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以＜，＞．所以二面角D-AC-F的大小为90°…（14分）（Ⅰ）推导出AE⊥EF，EF⊥BF，EF⊥FC，从而CF⊥平面ABFE，进而CF⊥EG，四边形AEFG为正方形，AF⊥EG，由此能证明EG⊥平面AFC，从而AC⊥EG．（II）由FE，FC，FB两两垂直，建立空间直角坐标系F-xyz，由此利用向量法能求出在线段BC上存在一点H，使得DH∥平面ABFE，并能求出的值．（III）求出平面AFC的法向理和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的大小．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=xe x-x2-2x，其导数f'（x）=e x（x+1）-2x-2，f'（0）=-1．又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y=f（x）在直线y=-x的上方”等价于“axe x-x2-2x ＞-x恒成立”，又由x＞0，则axe x-x2-2x＞-x⇒ae x-x-1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）=，则g′（x）=-，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）==1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a＞恒成立，设g（x）=，求出g（x）的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，涉及函数恒成立问题，注意将恒成立问题转化为最值问题．19.解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆：过点P（2，1），可得a2=8．所以c2=a2-2=8-2=6，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1-2k）x+16k2-16k-4=0，∴2x1=，∴x1=同理x2=，所以x1-x2=-，由y1=kx1-2k+1，y2=-kx1+2k+1有y1-y2=k（x1+x2）-4k=-，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB==，又k OP=，故k AB=k OP，所以直线AB与直线OP平行．（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1-x2，y1-y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n=-，同理B n=-，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤-，∴A n≤B n．…（14分）（Ⅰ）推导出d=2，a1=1，a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，由此能求出a3的所有可能取值．（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．由此能证明取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项．（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，得：=，从而=+2a n d+d2，由此利用累加法得，从而A n=-，同理B n=-，由此能证明A n≤B n．本题考查数列的第3项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
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东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}A x x B =-<≤=--，则A B = (A){2,1}-- (B){2,0}- (C){1,0}-(D){2,1,0}--(2)下列复数为纯虚数的是 (A)21i + (B) 2i i + (C) 11i-(D)2(1i)-(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是 (A)3y x x =+ (B) 2log y x = (C) 223y x =- (D)2yx=(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3n m ==，则输出的p 值为 (A)360 (B) 60 (C) 36(D)12(5)“512m =π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D)既不充分也不必要条件俯视图侧（左）视图正（主）视图22(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的 长度为(A) 2(C) (D)3(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sin ρθ的切线方程的是 (A)cos 2ρθ= (B) 2cos ρθ= (C) cos 1ρθ=-（D ）sin 1ρθ=-(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 (A)(1,2) (B) (5,6) (C) (7,8)(D)(15,16)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若,x y 满足223,,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，≤≤≥则2x y +的最小值为.22(10)1______.3x y m m m -==已知双曲线的一个焦点为，则(11)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和{}n b 的通项公式：n a =，n b =.(12)在菱形ABCD中，若BD =，则CB DB ⋅的值为.(13)函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-在区间2[,]63π-π上的最大值为. (14)已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x=+，则(1)_______f F =； ②若()e 1a x f x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为________ .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题13分）在△ABCsin cos sin .A B a C = （Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.(16)（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望()E X .(17)（本小题14分）如图1，在四边形ABCD 中，AD BC ，2BC AD =,E ,F 分别为,AD BC 的中点，AE EF =，AF =.将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD (如图2)，G 是BF 的中点.(Ⅰ)证明：AC EG ⊥；(Ⅱ)在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH 平 面ABFE ？若存在，求BHBC的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角D AC F --的大小.(18)（本小题13分）已知函数2()e 2xf x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥. 求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.AB东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4 （10（11）2n-（答案不唯一） （12）32（13 （14）12(,ln 2]-∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解:sin sin sin cos sin 2ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A ==所以 .............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x ⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x =. .............................3分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150. .............................6分 （Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=，500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P X C ===； 12353815(1)28C C P X C ===；21353815(2)56C C P X C ===；33381(3)56C P X C ===.所以X 的分布列为：故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,,AE EF AF == 可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为AD BC ， 所以,.EF BF EF FC ⊥⊥因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ⊂平面， 所以CF ABFE ⊥平面.又EG ABFE ⊂平面，故CF EG ⊥；由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以； 又AF FC F = ，EG AFC.⊥所以平面AC AFC ⊂又平面，.AC EG ⊥所以 .............................4分（II ）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B DH BC 设是线段上一点，[0,1].BH BC λλ∈= 则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H DH λλλλ-=---因此点，(0,2,0).FC ABFE FC =由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ⊄因为平面，0DH ABFE DH FC ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2BH BC H DH ABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分 （III ）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得,(1,0,1).EG AFC EG =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),AD CD =-=-设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0AD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =cos ,0.EG EG EG ⋅<>== 所以nn n所以二面角90.D AC F --的大小为.............................14分（18）（共13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立， 由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1ex x a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤ 所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1e xx g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞..............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =.所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e == .........................4分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A B x x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B k y y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.-- ..............................4分 （Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.AB②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±， 10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+± 所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式. 由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍. 故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项. .............................9分 （Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+， 即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d++++=-=-同理 当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤， 由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤， .n n A B ≤即成立 .............................14分。