伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
函数的平移与伸缩变换
函数的平移与伸缩变换函数的平移与伸缩变换是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我将详细介绍函数的平移与伸缩变换的概念、特点和应用。
1. 函数的平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴进行平移的操作。
平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移变换是指将函数的图像在横坐标方向上移动一定的距离。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平平移变换后的函数可以表示为y=f(x-a)，其中a为平移的距离，当a>0时，图像向右平移；当a<0时，图像向左平移。
垂直平移变换是指将函数的图像在纵坐标方向上移动一定的距离。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直平移变换后的函数可以表示为y=f(x)+b，其中b为平移的距离，当b>0时，图像向上平移；当b<0时，图像向下平移。
函数的平移变换有许多重要的特点。
首先，平移变换只改变了函数图像在坐标轴上的位置，而没有改变函数的形状。
其次，平移变换不改变函数的定义域和值域。
再次，平移变换后的函数与原函数具有相同的奇偶性。
最后，平移变换是可逆的，即可以通过反向平移将函数恢复到原来的位置。
2. 函数的伸缩变换函数的伸缩变换是指根据比例因子来改变函数图像的形状和大小的操作。
伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种情况。
水平伸缩变换是指将函数的图像在横坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平伸缩变换后的函数可以表示为y=f(kx)，其中k为伸缩的比例因子。
当k>1时，图像水平拉伸；当0<k<1时，图像水平压缩。
垂直伸缩变换是指将函数的图像在纵坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直伸缩变换后的函数可以表示为y=af(x)，其中a为伸缩的比例因子。
当a>1时，图像垂直拉伸；当0<a<1时，图像垂直压缩。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。
这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。
在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。
这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。
在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。
计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
巧用伸缩变换妙解椭圆问题
巧用伸缩变换妙解椭圆问题程涛;刘少平;邹鹏【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.【期刊名称】《河北理科教学研究》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】伸缩变化;转化;内在联系;简化;性质【作者】程涛;刘少平;邹鹏【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000【正文语种】中文纵观近年各地高考试题中椭圆与直线相关问题，往往要将椭圆和直线方程联立、消元，然后运用根与系数关系、判别式、弦长公式等来求解，运算量大，耗时多，学生稍有差错就会出错，导致前功尽弃，这就引发了笔者的思考和关注，此类问题可否寻找合理的方法，来避开繁琐计算，达到简洁求解的目的，考虑到椭圆与圆的内在联系，联想选修内容中的伸缩变换，能否将椭圆与直线的问题转化为圆与直线的问题，借助圆的几何性质来处理呢？对于椭圆=1(a>b>0)经过进行伸缩变换，椭圆可化为单位圆x′2+y′2=1，该变换具有如下性质：2.1 直线Ax+By+C=0在伸缩变换作用下变为Aax′+Bby′+C=0，斜率为原来的倍.2.2 变换后共线三个点的二条线段的比值和变换前的比值一样.2.3 两相交(相切、相离)的曲线变换后仍然为两相交(相切、相离)的曲线，两平行直线变换后仍为平行直线.2.4 封闭图形在变换前的面积S与变换后的面积S′满足S.3.1椭圆化圆，利用垂径定理求解斜率问题例1 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点且不平行坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(2015年全国高考题)证明：(1)作伸缩变换，则椭圆9x2+y2=m2变为圆(x′)2+(y′)2=1，如图1和2所示，由伸缩变换性质可知，，由垂径定理易知O′M′⊥A′B′，∴KO′M′·KA′B′=-1，即，∴KOM·KAB=-9为定值.(2)若四边形OAPB能为平行四边形，由伸缩变换性质可知，对应的四边形O′A′P′B′也为平行四边形，则M′为O′P′的中点，联想M′为AB中点，由垂径定理知：O′到A′B′距离，又直线l过,m)，那么l′则过(1，1)，设l′的斜率为k′，则其直线方程为，解得.∴直线l的斜率.∴有符合条件的直线l存在，其斜率为.评注：由伸缩变换将椭圆化成圆后，借助圆中垂径定理使问题简洁获解，避免了繁杂、冗长的运算，体现了高考“多考一点想，少考一点算”的思想.3.2 椭圆化圆，利用圆幂定理解决相关线段问题例2 如图3，已知椭圆=1(a>b>0)，过椭圆左顶点A(-a,0)的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证OP,AR成等比数列.(清华大学自主招生试题)证明：作伸缩变换,椭圆化成圆∥,∴,∴(xp,yp)=λ(-xA,yR),∴,∴.从而O′P′∥A′R′，要证成等比数列⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2⟺⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2⟺⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2(*)设|O′R′|=S，由圆幂定理可得|Q′R′|·|A′R′|=(s+1)(s-1)=s2-1.又s2+12=|A′R′|2=(|A′Q′|+|Q′R′|)·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+s 2-1∴|A′Q′|·|A′R′|=2=2|O′P′|2即(*)式成立,∴成等比数列评注：把椭圆化成圆后，利用圆幂定理，可以揭示线段之间内在联系，简化了传统算法中联立方程求点的坐标和线段长的繁难运算.3.3 椭圆化圆，借助弦长公式求解例3 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图5，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.(2015年陕西高考题)解：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0，则原点O到该直线的距离，由得，解得离心率.(2)由(1)知椭圆E的方程为，作伸缩变换后圆的方程为x′2+y′2=1，如图6所示，∵M(-2,1)为AB的中点，则为A′B′中点，在圆O′中，弦长又A′B′⊥O′M′，∴KA′B′·KO′M′=-1,KA′B′=1,∴.∴.又,∴解得：b2=3.故所求椭圆E的方程为.评注：通过椭圆化圆，借助圆的弦长公式，易求出|A′B′|表达式，再利用伸缩变化中坐标与斜率各自的变化关系，寻找两弦长之间关系，解题过程简单明了.3.4 椭圆化圆，借助直线与圆相切的性质求解例4 已知椭圆=1(其中a>b>0)的一个焦点为，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点p(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.(2014年广东高考题)解(略)(2)如图7和8，设点A、P、B在伸缩变换下对应点分别是为A′,P′,B′，则).故.直线P′A′,P′B′与圆0′相切，设过点P′的圆的切线方程为，即6kx-6y+3y0-2kx0=0，圆心距，即.由根与系数关系化简得，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.评注：本题通过伸缩变换将直线与椭圆相切转化为直线与圆相切，借助圆心到切线的距离为半径来求解，巧妙避开解析几何中的联立消元.3.5 椭圆化圆，利用圆中角的关系求解例5 已知直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段MN的长度最小值.解：(1)易求椭圆(2)作伸缩变换，则椭圆变成单位圆C′：x′2+y′2=1，直线变成直线，若l′与x′轴交于C′，令∠C′B′N′=α(α为锐角)，则∠A′B′S′=α，而A′B′为圆直径，∴∠A′S′B′=90°，则∠A′M′C′=α于是评注：椭圆化圆后，借助圆中角的关系，使问题完美解决，几乎没有计算量.3.6 椭圆化圆，利用点在圆内的性质求解例6 已知椭圆+y2=1上两个不同的点A、B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(o为坐标原点).(2015浙江高考题)解：作伸缩变换把椭圆化成单位圆x′2+y′2=1，直线化成.设l与AB交于H点，则H为AB中点，由伸缩变换性质易知H′为A′B′中点，∵l⊥AB,∴KAB·Kl=-1.则伸缩变换性质易知.∵,∴,又O′H′⊥A′B′,∴KO′H′·KA′B′=-1,∴设H′(s,t),则，又H′在l′上，.即,∴.又H在圆x′2+y′2=1内，∴s2+t2<1,即,解得或.(2)在单位圆中由三角形面积公式可得,当时，S△A′O′B′有最大值,即,此时即由(1)知符合题意,又，∴.评注：椭圆化圆后，H′为A′B′中点，由垂径定理可求得O′H′的斜率，进而确定点H′横纵坐标关系，根据点H′在圆内构建不等关系来求m的范围.同时椭圆化圆后，为求△A′O′B′面积最大值提供极大方便，从而使问题简捷获解.借助伸缩变换把隐藏在椭圆中的圆充分挖掘出来，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，而且圆与椭圆的互化，可以让我们领略知识之间并不是孤立，促使我们在研究问题时用联系的观点来学习数学，把看似孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络，提升数学思维具有重要意义.。
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
妙用伸缩变换化椭为圆
高中妙用伸缩变换化椭为圆?重庆市永川北山中学校 黄基云椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变成了圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下仍然变成直线犾′：犪犃狓′＋犫犅狔′＋犆＝０（犃犅≠０），其斜率犽犾′＝犪犫犽犾．用圆的性质来解决直线与椭圆问题，解法简便快捷．一、直线与椭圆的位置关系问题例１ 判定直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１的位置关系．解：作坐标变换狓′＝狓２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为６狓′－２狔′＋３＝０．因为圆心犗′（０，０）到直线６狓′－２狔′＋３＝０的距离犱＝３槡４０＜１（单位圆的半径），所以直线与单位圆相交，于是直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１相交．评注：利用单位圆中圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断椭圆和直线的位置关系．设直线为犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０），椭圆为狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０），则直线与椭圆相交等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＞０；直线与椭圆相切等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＝０；直线与椭圆相离等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＜０．二、直线与椭圆的最值问题例２ 在椭圆狓２９＋狔２４＝１上求一点犕，使点犕到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．解：作坐标变换狓′＝狓３，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为３狓′＋４狔′－１０＝０．所求问题可转化为：在单位圆上求一点犕′，使点犕′到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．因为过圆心犗′（０，０）与直线３狓′＋４狔′－１０＝０垂直的直线的方程为狔′＝４３狓′，它与单位圆的交点为３５，４５（），－３５，－４５（），所以犕′３５，４５（）到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，于是椭圆上的点犕９５，８５（）到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，最小距离为槡５．评注：这是人教版４－４上的一道例题，常规思路是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，也可以用向量的方法求解．三、直线与椭圆的中点弦问题例３ 已知椭圆狓２２＋狔２＝１．（１）求斜率为２的平行弦的中点轨迹方程；（２）过点犃（２，１）的直线犾与椭圆相交，求直线犾被截得的弦的中点轨迹方程；（３）过点犘１２，１２（）且被犘平分的弦所在直线的方程．解：（１）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，斜率为２的直线变为斜率为槡２２的直线．２２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中所求问题可转化为：在单位圆中求斜率为槡２２的平行弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽′＝狔′狓′＝－１槡２２，即狓′＋槡２２狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓＋４狔＝０－４３＜狓＜４３（）．（２）设过点犃（２，１）的直线犾的方程为狔－１＝犽（狓－２）．作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，犃（２，１）变为犃′（槡２，１），直线犾的方程变为狔′－１＝槡２犽（狓′－槡２）．所求问题可转化为：过点犃′（槡２，１）的直线犾′与单位圆相交，求直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽＝狔′狓′，则过点犃′（槡２，１）的直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程为狔′－１＝－狓′狔′（狓′－槡２），即狓′２－槡２狓′＋狔′２－狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓２＋２狔２－２狓－２狔＝０（夹在椭圆内的部分）．（３）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，点犘１２，１２（）变成点犘′１槡２２，１２（）．所求问题可转化为：求在单位圆中过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程．直线犗′犘′的斜率犽′＝槡２，过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程为狔′－１２＝－１槡２·狓′－１槡２２（），即１槡２狓′＋狔′－３４＝０．所以所求直线方程为２狓＋４狔－３＝０．评注：原来弦的中点，变换后仍然是弦的中点；过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一点犘（犿，狀）引动弦的中点的轨迹方程为狓－犿２（）２犪２＋狔－狀２（）２犫２＝１４犿２犪２＋狀２犫２（）；设犘（犿，狀）为椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一定点，过点犘且以点犘为中点的弦所在直线的方程为狔－狀＝－犫２狀犪２犿（狓－犿）（当狀≠０时）或狓＝犿（当狀＝０时）．四、直线与椭圆的相交弦问题例４ 已知椭圆狓２２４＋狔２１６＝１，直线犾：狓１２＋狔８＝１，犘是犾上一点，射线犗犘交椭圆于犚，又点犙在犗犘上且满足犗犙·犗犘＝犗犚２，当点犘在犾上移动时，求点犙的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：作坐标变换狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾的方程变为狓′槡６＋狔′２＝１．因为在原坐标系中有犗犙·犗犘＝犗犚２，所以在新的坐标中犗′犙′·犗′犘′＝犗′犚′２仍成立．设以犗′狓′轴为始边，犗′犘′为终边的角为θ．令犗′犘′＝狉，则犘′（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ），则狉ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２（）＝１，而犗′犚′＝１，所以犗′犙′＝１狉＝ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２．设犙′（狓′，狔′）．则狓′＝犗′犙′ｃｏｓθ＝ｃｏｓ２θ槡６＋ｓｉｎθｃｏｓθ２，狔′＝犗′犙′ｓｉｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎ２θ２．烅烄烆即狓′－１槡２６＝１槡２６ｃｏｓ２θ＋１４ｓｉｎ２θ， ①狔′－１４＝１槡２６ｓｉｎ２θ－１４ｃｏｓ２θ． ②烅烄烆①２＋②２可得点犙′的轨迹方程为狓′－１槡２６（）２＋狔′－１４（）２＝１２４＋１１６（点犙′不与原点犗′重合）．把狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４烅烄烆代入上式即得点犙的轨迹方程为３２２０２１年１月 新颖试题教学参谋Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中２（狓－１）２５＋３（狔－１）２５＝１，故点犙的轨迹是以（１，１）为中心，长半轴长为槡１０２，短半轴长为槡１５３，且焦点在直线狔＝１上的椭圆（除去原点）．评注：上述给出的解法充分利用在新坐标系下“犗′犚′＝１”，极大地简化了计算．其实，点犘１（狓１，狔１）和犘２（狓２，狔２）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变为点犘１′（狓１′，狔１′）和点犘２′（狓２′，狔２′），则犘１′犘２′＝１犪２＋１犫２犽槡２１＋犽槡２犘１犘２，其中犽为直线犘１犘２的斜率．五、直线与椭圆的相切问题例５ 已知点犘（狓，狔）在椭圆狓２＋狔２４＝１上运动，求狌＝狔２狓－４的最大值．解：作坐标变换狓′＝狓，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，狌＝狔２狓－２＝狔′狓′－２．所求问题可转化为：犘′（狓′，狔′）是单位圆狓′２＋狔′２＝１上的动点，求狌＝狔′狓′－２的最大值．设犃（２，０），则狌即为直线犃犘′的斜率犽．设过点犃的圆的切线为犃犅、犃犆（犅、犆为切点），则犽犃犅＝－槡３３，犽犃犆＝槡３３．当点犘′和点犆重合时，犽取最大值槡３３，即当狓′＝１２，狔′＝－槡３２，烅烄烆也即当狓＝１２，狔＝－槡３烅烄烆时，狌ｍａｘ＝槡３３．评注：本题的常规解法是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，或化为椭圆上的点和定点犃（２，０）的连线的斜率的最值求解，但运算相对比较复杂．一般情况下，解决直线与椭圆问题时，需要联立求解，用韦达定理求解出狓１＋狓２或狓１狓２，较为烦琐，把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些几何性质来解决直线（直线伸缩变换后仍为直线）与椭圆的相交或相切问题，计算也会大大简化．值得注意的是伸缩变换后同一直线上或平行直线上的两线段长度比不发生改变．两图形经伸缩变换后交点个数不变，也就是说，原图形若相交，则变换后仍相交；原图形若相切，则变换后仍相切；原图形中若是弦的中点，则变换后仍是弦的中点．犉檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯（上接第２１页）数形结合可知两者共有６个不同的交点，则犽的最大值为６，故填答案：６．点评：解决此类创新应用问题，关键是借助平面直角坐标系加以直观分析，先确定其中的一个要素进行分析与处理，再结合条件对相应的图像进行平移变换，从而由数形直观来解决．从解析几何图形直观入手，借助圆的平移变换，从而有效、直观、快捷地处理问题．同时，２０２０年高考数学上海试卷在注重对数学知识本质理解与掌握的基础上，重视数学思维的灵活性、严谨性及深刻性，突出对考生创新意识、应用意识的考查，对高中数学教学起到积极的引导作用，有利于高校选拔优秀人才．四、总结命题规律，指导后继教学从２０２０年高考数学上海试卷看，试卷中基础题、中档题、难题的比例基本维持在４∶４∶２的相对稳定水平，对于大部分考生来说，试卷的难易度与往年高考相类似，平时教学与学习中基本也是这个层次，因而在考前多做一些基础性的训练，依旧可以帮助考生取得一个不错的成绩．这也给后继的高三教学与复习备考指明方向．大家不需要过分地去钻研偏、难、怪的试题，夯实基础，把握主干，不断地提高能力．同时，考生在冲刺复习阶段，一定要重点关注一些基础类型的题目，越是基础扎实，高考越是稳妥．考生要关注数学的发展，关注社会民生，社会热点，树立创新意识，就能够在新高考当中脱颖而出．犉４２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
伸缩变换的一个重要结论及其应用
伸缩变换的一个重要结论及其应用
拉伸缩变换是在图像处理领域中一种常见的变换方法，它可以改变图像的宽度和高度。
拉伸缩变换也被称为尺度变换，其原理是改变图像中各个像素的大小，以达到预期的宽度
和高度。
它的强大之处在于，它可以增强图像的对比度和明亮度，从而提高图像的清晰度。
拉伸缩变换是把图像拉伸或缩小，以保持图像不失真，从而达到预期的宽度和高度，
此时所使用的缩放系数也就是缩减比例，缩放系数可以是实数，也可以是负数。
当缩放系
数为正数时，图像将按照该系数拉伸变大；当缩放系数为负数时，整个图像将按照该系数
缩小。
在有损变换中，在改变图像大小的同时，还需要保queue看像素的局部相邻关系，
即从改变后的像素值中恢复出像素的局部相邻关系。
当忽略这一点时，就会出现失真的情况，这也是有损变换的一个缺陷。
我们可以从改变像素大小的原理中得出一个重要结论：在拉伸缩变换中，像素的局部
相邻关系是需要保queue看的，否则很可能会造成失真。
拉伸缩变换应用非常广泛，视觉技术如物体跟踪、图像鞍点检测等都需要使用这种方
法来改变图像尺寸。
拉伸缩变换也被用于体素图像重采样，尤其是在人体成像研究中。
此外，拉伸缩变换还可以在图像增强中用来改善图像的质量和清晰度。
由于拉伸缩变换可以
保queue看像素的局部相邻关系，因此，它还可以用来改善图像的空间清晰度。
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。
伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。
椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。
椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。
椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。
- 1 -。
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其 中点 ｃ ，Ｄ｜ 圆与 Ｙ轴 的交 点且在 圆中亦 有 ＿ 是
１ ． ２仿射变换 的性质 性质 （）仿射变换将直线变换为直线 ． １ 性质 （） ２ 仿射变 换将 共线 三 点变换 为共 线三 点 ， 并保 持 点分线 段 的 比不 变 ． 性质 （）仿射变换保持变换前后两个三角形的 ３
１ ４
福建中学数学
２ １ 年第 ９ ０１ 期
伸缩 变换下椭 圆的几个性质 及应用再探
李 芋宏 李 晓菁 西南大学数学与统计学院 （０ ７５ ４０ ） １ 文 ［］ 绍 了伸 缩 变 换 下 椭 圆 的几 个 性 质 及 应 １介
用．受其启发 ，笔者发现伸缩变换是仿射变换 的特
２２ 求 中点弦 所在直 线 的方程 ．
２
， ，
２
２ ．仿射变换的应用 ２ ． １求参数的取值范围
２
，
例 ２ 已知 点 Ｐ１１为椭 圆 ＋ ＝１ （，） 内一 个定 点 ，过 点 Ｐ的弦 Ａ Ｂ被 点 Ｐ平分 ，求 弦 Ａ Ｂ所在直 线
的方程 ．
２
例 １已知椭 圆 ＋ ＝１ ，点 Ａ，Ｂ是椭 圆上
由 （ ） （ ）得 １ ２
２ Ｂ Ｉ Ｉ Ｂ＝ —Ｉ ｌ Ｉ Ｍ ｌ ｌ
：
！ ： 竺 ： ！： ！ ］ ：！
．
面积 和 之比 不变， （ ｉ 一 ｌ：Ｓ． 即Ｓ ＝ ａａ ａａ ） ｌ ２
性 质 （）仿射 变换 保持直 线 与二 次 曲线 的位 置 ４
１ 换为 ＋ ＝ 变 ９，点 Ａ，Ｂ， Ｍ（， ２ 分 别 Ｏ一）
变 换 为点 ，Ｂ ， Ｍ ０， ）． （ 一
、５ ／
根 据性 质 （ ） 由 Ｍ ＝ ，有 ２， ＾
Ｍ Ｍ ， ＝２ Ｂ （） １
平 面 上点 Ａｘ Ｙ 与 Ａ （ ， 之 间 的变 换 （ ，） Ｙ）
解作 射 换 －， 则 圆 ＋ 仿 变 ＸＹ 砉 ，椭
＝
例，仿射变换不仅能解决文［ ０椭圆的定值问题， １ １
最 值 问题 ，存在 型 问题 ，经 过探 究 笔者 发 现 仿射 变 换 也 能触 及椭 圆 的参 数取 值 范 围 问题 ，中点 弦 问题 与双 曲线 的定值 问题 ，特拟 文介 绍之 ． １ ．仿 射变 换 １ 仿射变换 的定义 ． １
．由性质 （）和 圆的性质可知 ２
， 由此 可
． Ｐｊ 分析 作仿射变换 ： ＝ Ｙ， ， 车 则将椭圆 点 尸 是 线段 ＡＢ 的 中点 ，可得 Ｏ ＿ 变换 为 圆 Ｘ ＋ 。 Ｙ ＝９，点 Ａ，Ｂ ，Ｍ（ ， ） 别变 换 Ｏ 一２分
‘
确定 尼 ，然后 由所作仿射变换确定 ｋ ，进而确定
’．
２
１ ，
２
例 ３ 已知 双 曲线 一 ：ｌａ＞０， （ ｂ＞０ ，过 ）
ａ— Ｄ。
（ 定值 ）结论 得 证 ．
总 之 ，以上 三例利 用仿 射变 换 或将椭 圆化 为 圆 ， 结 合 圆 的性 质 和 有关 定 理得 到 了结论 ；或将 双 曲线 变 换 为 反 比例 函数 的 图象 ，结 合 反 比例 函 数 的性 质 解答 了问题 ． 应 该 指 出 ，不 是 所有 椭 圆和双 曲线 的问题 都 适 合 利 用仿 射 变换 来 解 决 ．不 难 发 现仿 射 变换 一 般 不 能 保 持变 换 前 后 角度 大 小 ，线 段 长度 不 变 ．但 仿 射 变 换 作 为一 个视 角 ，从 不 同 的角 度理 解 和 认识 椭 圆 和 双 曲线对 我们 也大 有裨 益 ．
直 线 的方程 ．
为点 Ａ ，Ｂ ，Ｍ ０ 一 ） 根 据题意 ， ，Ｍ 三 （，换 ｘ ＝ ，Ｙ ＝ ２ ｄ ｙ，则椭 圆变换
为 圆 ＋ ＝４，点 Ｐ１１ Ａ ， Ｂ 分 别 变 换 为 （，），
Ｐ （， ２ ， １ √ ） ， ．
关 系不变 ．
Ｉ
结合 （）得 ９ ４／ ３ — ， ５
５ —Ｉ ・ Ｂ Ｍ
９ ４ ５． ＋√
说 明 本例 利用仿 射变 换 ，结合 圆 的相 交 弦定理
得 到 了结论 ，运 算量 大 幅度减 小 ．
性质 （ ） ５ 仿射变 换将 平行 直线 变换 为平 行直线 ． 现 以一 些 例 子来 加 以说 明仿射 变 换 在椭 圆与 双 曲线 中的应 用 ．
点共 线 ，则 由性 质 （） ２ 范围．
，
，
三点 共线 ，且
Ｍ Ｍ ，结合 圆的相 交弦 定理 可得 的取 值 ＝２ Ｂ
由 仿 射 变 换 性 质 （ 并 结 合 圆 的 性 质 得 ２ ）
２ １ 年第 ９ ０１ 期
Ｏ Ｐ上 ，所 以 ｋ。 ‘ｏ＂ １ Ａ．ｋｅ＝一 且
由圆的相 交弦定 理 ：
ｉ ／
＿２ ｑ且 一： ０ 为 射 ＿ 称 仿 变 ≠
ａ１ 十ａ２ ２ ２Ｙ十 ａ ３ ３
ＩＭＩ Ｂ＝ Ｉ’ｌ Ａ ｌ ＩＤ ＝ ＊ ｌ ｌｃ ，
（一 ３ Ｂ ３ ＋ ，
（ ２ ）
（） ３
换 ．点 Ａ和 为一 对对 应点 ．
而 在反 比例 函数 ｘｙ ＝ｋ 上 知 ｓ Ｄ． ， 由 ＊ ｃ ＝ｋ 性质 （ ）知 ３ ．． 。 ＝ ｃ ｓ 。 ，反求得 ０ — ｃ＝ａ ｂ
所 以弦 Ａ Ｂ所在 的直 线 方程为 Ｘ ｙ ＝０． ＋２ 一３
说 明 本 例 的一般 解 法为 点差 法 ． ２３定值 问题 －
ｙ ）
分析 作仿射变换 ＝ ，Ｙ ＝ ２ √ ．将椭 圆变
换 为 圆 ＋ Ｙ ＝４，点 Ｐ１１ Ａ ， Ｂ分 别 变 换 为 （， ），
的相异 的两点 ，点 Ｍ（ ， ２满足 Ｏ一）
数 的取值 范 围 ．
＝
，求实
Ｐ （， ２ ， √ ） １
４５
，
一
福建 中学数学
：√ ２， 由所
１
ｌ ５
， ｃ分 别变换 为 ， Ｂ ， Ｃ ，
ｘｙ ＝ｋ ，点 ， ＊
Ａ ＯＣ ． Ｂ
作的 射变 推知ｋ √Ｊ 由 知ｋ 去． 仿 换可 Ａ ２ ＝ ｉ ｝ ， 此 Ａ 一
上
由性 质 （ ４） 则 平 行 四 边 形 Ａ ＯＣ变 换 为 矩 形 Ｂ