2017北师大版选修2-1高中数学2.5《夹角的计算》word导学案.doc
高中数学 2.5夹角的计算 北师大版选修2-1
6．直线与平面的夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与 此平面的夹角．夹角的范围是[0，π2]．
7．直线与平面夹角的求法
设平面 α 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平
面 α 所成的角为 θ. 当 0≤〈n，a〉≤π2时，θ＝_π2_－__〈__n_，__a_〉__； 当π2<〈n，a〉≤π 时，θ＝_〈__n_，__a_〉__－__π2_. 即 sinθ＝__|c_o_s_〈__n_，__a_〉_.|
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1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于
120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
[答案] C
2．若直线 l 与平面 α 所成角为π3，直线 a 在平面 α 内，且与
直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )
cos∠BOD＝
232＋ 2×
232－
23×
3 2
262＝0，
∴∠BOD＝90°，即 AB1 与 BC1 所成的角为 90°.
[总结反思] (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序 化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积．
4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因 此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围 是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能 仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难 点．
5．异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角 或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两 个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦 值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．
新北师大选修2-1高中数学 直线与平面的夹角
§5夹角的计算第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中，A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ，直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1：φ与〈CA ，DB 〉有什么关系？ 提示：φ＝π－〈CA ，DB 〉．问题2：φ与〈BD ，n 〉有何关系？(n 为地面法向量)提示：φ＝π2－〈BD ，n 〉或φ＝〈BD ，n 〉－π2，即sin φ＝|cos 〈BD ，n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α的夹角为θ，则， 当〈a ，n 〉≤π2时，θ＝π2－〈a ，n 〉；当〈a ，n 〉>π2时，θ＝〈a ，n 〉－π2.即sin 〈a ，n 〉＝|cos 〈a ，n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|.[对应学生用书P37][例1] 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值． [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)， 故n ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，C 1(0,1,1)，C (0，1,0)，而CC 1⊥面ABCD ，∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC . 又1AC ＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)， ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值cos θ＝|cos 〈1AC ，AC 〉|＝63. 答案：D2．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________．解析：取B 1C 1中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BB 1＝2，则A 1(－3，0,0)，C 1(0,1,0)，A (－3，0,2)，O (0,0,0)，1A O ＝(3，0,0)，1A O 为面BB 1C 1C 的法向量，1AC ＝(3，1，－2)，∴sin θ＝|cos 〈1A O ，1AC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | ＝33·3＋1＋4＝64.答案：643.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．解：(1)证明：如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，且O 为BD 的中点． 又PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ，故BD ⊥PO . 又BO ＝DO ，故PB ＝PD .(2)如图所示，连接AC ，BD ， 设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，则EQ 綊12CD ，∴四边形AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，Q 为PD 的中点，∴AP ＝AD ＝ 2. 由AQ ⊥平面PCD ，可得AQ ⊥CD . 又DA ⊥CD ，QA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA . 又BD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以向量AB ―→，AD ―→，AP ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫0，22，22，D (0，2，0)，P (0,0，2)，∴AQ ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，PB ―→＝(2，0，－2)．易知AQ ―→为平面PCD 的一个法向量， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ， 则sin θ＝cos 〈PB ―→，AQ ―→〉＝|PB ―→·AQ ―→||PB ―→|·|AQ ―→|＝12，∴直线PB 与平面PCD 所成的角为π6.3.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 的夹角．解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，N ⎝⎛⎭⎫12，0，0， S ⎝⎛⎭⎫1，12，0. (1)证明：CM ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN . (2) NC ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则a ·CM ＝0，a ·NC ＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD ，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系，并求A ，B ，C 的坐标； (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值．(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 的夹角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨] (1)建立坐标系，证明AD ·BC ＝0. (2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E 满足条件，再建立关于点E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析] (1)由题意AB ＝AC ＝2，∴BC ＝ 2.则△BDC 为等腰直角三角形． 连接BH ，CH ，∴DB ⊥BH ，CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形，以DC 为y 轴，DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1,1,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)．(2)设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥BC 知：n 1·BC ＝－x ＋y ＝0.同理，由n 1⊥CA 知：n 1·CA ＝x ＋z ＝0. 可取n 1＝(1,1，－1)．同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋0＋13·2＝63， 即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件，设CE ＝x CA ＝(x,0，x )(0≤x ≤1)，则DE ＝DC ＋CE ＝(0,1,0)＋(x,0，x )＝(x,1，x )，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∵ED 与平面BCD 的夹角为30°， 由图可知DE 与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE ，n 〉＝DE ·n | DE ||n |＝x 1＋2x 2＝cos60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E ⎝⎛⎭⎫22，1，22， |AC |＝2，|CE |＝1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1)，使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12， 假设存在P (0,0，x )(0≤x ≤1)满足条件，经检验，当x ＝0时不满足要求， 当0<x ≤1时，则PA ＝(1,0，－x )，AC ＝(－1,1,0)，MD ＝(－1，－1，－12)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎨⎧PA ·n ＝0， AC ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝(1,1，1x )． 由题意MD ∥n ，由MD ＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12＝－⎝⎛⎭⎫1，1，12＝－n ， 得x ＝2.又0<x ≤1，故不满足要求，综上所述，棱DD 1上不存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD·1A B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，BDBC1＝λ＝9 25.计算直线l与平面α的夹角为θ.(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：[对应课时跟踪训练(十二)]1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A.22B．－22C．±22 D.12解析：cos〈a，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45 B.35 C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝|(－4，0，－3)·(－4，4，0)|42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33 C.23 D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ―→＝(1,1,0)，DC 1―→＝(0,1,2)，DC ―→＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·DC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC ―→〉|＝|n ·DC ―→||n |·|DC ―→|＝23，故选A.答案：A5.四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1，0,2)，FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 6.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点． 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n ||AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图．∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， ∴AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0， 1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.。
高中数学2.5夹角的计算 学案 (北师大选修2-1)
2。
5 夹角的计算学习目标：1）能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；(2)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
学习重点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
学习难点：探究题型,掌握解法. 学习过程： 1．复习回顾①直线间的夹角[0,]2π②平面间的夹角(0,]2π，二面角平面角的大小(0,]π；③直线与平面夹角[0,]2π1。
已知:在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD AB C D -中2,1AB BC ==13AA =，求对角线11AC A D与夹角的余弦值.n2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。
求：D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小（用余弦值表示）3.如图在空间直角坐标系中有单位正方体1111ABCD A B C D -,（1）求平面11111BCDA A B C D θ与平面的夹角（2） 1.AC ABCD α对角线与底面所成角正弦值（3） 1.AC ABCD α对角线与底面所成角余弦值4．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90,侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。
求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示);ABCD A B C D Exy z yzA BDC1A 1B 1D 1C GD ACBCB K x zAEEFO5．在四棱锥P －ABCD 中,ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a,E 为BC 中点。
（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小(用正切值表示)；(2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案第二章 2.5 夹角的计算
§夹角的计算第一课时直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的处，乙站在山坡斜面上的处，从，两点到直线(水平地面与山坡的交线)的距离和分别为和，的长为，的长为 .问题：直线和的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，[，π]．问题：直线与的夹角与〈，〉有什么关系？提示：当≤〈，〉≤时，它们相等；当<〈，〉≤π时，直线与的夹角为π－〈，〉．问题：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线与的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以α＝π－〈，〉．问题：若，分别为两个平面π，π的法向量，则π与π的夹角θ与〈，〉有什么关系？提示：当≤〈，〉≤时，θ＝〈，〉；当<〈，〉≤π时，θ＝π－〈，〉．．两直线的夹角当两条直线与共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．．异面直线与的夹角()定义：直线与是异面直线，在直线上任取一点作∥，则直线和直线的夹角叫作异面直线与的夹角．()计算：设直线与的方向向量分别为，.当≤〈，〉≤时，直线与的夹角等于〈，〉；当<〈，〉≤π时，直线与的夹角等于π－〈，〉．．平面间的夹角()定义：平面π与π相交于直线，点为直线上任意一点，过点，在平面π上作直线⊥，在平面π上作直线⊥，则直线和的夹角叫作平面π与π的夹角．()计算：已知平面π和π的法向量分别为和，当≤〈，〉≤时，平面π和π的夹角等于〈，〉；当<〈，〉≤π时，平面π和π的夹角等于π－〈，〉．．求空间角时，要注意角的范围．()异面直线夹角范围是；()两平面夹角范围是.．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．[例]如图所示，在四棱锥－中，底面是一直角梯形，∠＝°，∥，＝＝，＝，且⊥底面，∠＝°，⊥，为垂足．()求证：⊥；()求异面直线与夹角的余弦值．[思路点拨]要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．[精解详析]以为原点，，，所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则()，()，(，)，()．又∵∠＝°，∴＝· °＝·＝，＝· °＝·＝.过作⊥，垂足为，在△中，＝，∠＝°，∴＝，＝.∴，.()证明：＝，＝，∴·＝＋－＝.∴⊥，∴⊥.。
北师大版选修2-1高中数学2.5《夹角的计算》word导学案
北师大版选修2-1高中数学2.5《夹角的计算》w o r d导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN课 题： 2.5夹角的计算 学习目标:知识与技能 : 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； 学生学会选择恰当的方法求夹角.过程与方法： 经历知识的发生、发展和形成过程，提高观察分析、类比转化的能力； 学生通过用向量法解决空间角的问题，提高数形结合能力和分析问题、解决问题的能力.情感态度价值观： 提高学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会“学数学用数学”、“学会与会学”的关系.学习重点 ： 空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方法求夹角. 学习难点 ： 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.学习方法 以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程一、课前预习指导：1．两条异面直线所成的角：当直线l 1、l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角．已知l 1、l 2的方向向量分别为s 1、s 2，当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． 2．直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的 的夹角，其范围是 斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中 的角．直线和平面所成的角可以通过直线的 与平面的 求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝ .3. 如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点， 过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直 线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉； 当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉.二、新课学习：问题探究一线线夹角问题1 两直线夹角的范围是什么？问题2 怎样求两条异面直线所成的角？问题 3 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么区别？讲解教材43页例1学后检测1：如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．问题探究二求直线和平面的夹角问题1 直线和平面的夹角的范围是什么？问题2怎样利用向量求直线和平面所成的角？讲解教材45页例3，46页例4学后检测2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN的夹角．问题探究三求平面间的夹角问题怎样利用向量法求两个平面间的夹角的大小？讲解教材44页例2学后检测3 如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求平面MAD与平面的ABCD的夹角的大小．三、当堂检测：1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－1 2，则l与α所成的角为 ( )A．30° B．60° C．120° D．150°3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD的夹角的正弦值为（）A.24B.23C.63D.324．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为______．四、课堂小结五、课后作业六、板书设计：七、教（学）后反思。
2.5夹角的计算 教案(高中数学北师大版选修2-1)
§5夹角的计算5．1直线间的夹角5．2平面间的夹角5．3直线与平面的夹角●三维目标1．知识与技能(1)使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用(2)提高学生选择恰当的方法求夹角的技能．2．过程与方法(1)在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．(3)通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位．(2)通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情．●重点难点重点：空间夹角的计算．难点：两平面的夹角与两平面法向量所成角的关系及直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面法向量所成角的关系．本节课主要通过寻找空间角与向量夹角间的关系，在教学中，可以以教师为主导，学生为主体，训练为主线，创设情境，引导学生自主探究，通过启发、提问、讨论、点拨、演示、归纳，让学生想、学生做、学生说，在活动中，深化对夹角计算方法的认识．(教师用书独具)●教学建议1．通过提问、探索、讨论、归纳，让学生参与教学活动，调动学习积极性．2．渗透类比、分析、归纳的方法，加深学生对向量法的理解，培养学生探索能力．3．通过纯几何方法求空间角的“难”与向量法求空间角的“易”比较，加深对向量法的认识．●教学流程创设情境引入课题―→空间角的定义过程―→探究空间角与向量夹角的关系―→归纳空间角的向量求法―→通过例题与变式体验空间角的求法―→归纳总结形成整体认识图11．如图1，s1，s2分别是直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2的夹角θ与〈s1，s2〉有怎样的关系？【提示】θ＝〈s1，s2〉．2．将图1改成图2呢？图2【提示】θ＝π－〈s1，s2〉．直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.。
北师大版高中数学选修2-1导学案设计：2.5.1直线间的夹角(无答案)
§5.1直线间的夹角主备： 审核: 班级: 小组： 学生姓名： 【学习目标】1.理解共面直线与异面直线夹角的概念及夹角的范围；2.会用直线的方向向量求两直线的夹角．【学习重点】用直线的方向向量求两直线的夹角．【学习难点】两直线方向向量的夹角与两直线夹角的关系． 【自主预习】 （一）旧知回顾用向量法证明垂直与平行问题的本质（1）空间两条直线平行的本质是 ； （2）空间直线与平面平行的本质是 ； （3）空间两个平面平行的本质是 ； （4）空间两条直线垂直的本质是 ； （5）空间直线与平面垂直的本质是 ； （6）空间两个平面垂直的本质是 ． （二）自主探究1. （1）空间两直线的位置关系有： 、 、 ． （2）若直线l 1与l 2平行，l 1与l 2所成角是 ． （3）若直线l 1⊥l 2，l 1与l 2所成角是 ． （4）若直线l 1∩l 2=A ，构成四个角∠1=∠3=030，∠2=∠4=0150，则直线l 1与l 2所成角是 .（5）若直线l 1与l 2异面，在图中做出直线l 1与l 2所成角（6）两直线夹角的范围是 .1 23l 2 4l 1 A2. （1）当两条直线l 1与l 2共面时，我们把 叫做两直线的夹角.（2）当两条直线l 1与l 2共面时， 叫做两异面直线l 1与l 2的夹角.3.在△ABC 中，∠A=120゜，∠B=30゜. （1）向量BA 与BC 的夹角为 ；向量与的夹角为 ；直线AB 与BC 的夹角是 . （2）向量与的夹角为 ；向量与的夹角为 .直线AB 与AC 的夹角是 . （3）已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S , 则<→1S ,→2S >与l 1,l 2的夹角有什么关系？4.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S ，设直线l 1与l 2的夹角为θ.θcos = = . []0090,0∈θ 【合作探究】 探究活动一例1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，试用向量法求异面直线的夹角. (1)D 1B 1与AC 的夹角； (2)A 1D 与AC 的夹角.C120 030 0BAC 1B 1D 1 A 1 CBDBCDSAE探究活动二例2．已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高都为2，AB=4,求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值．例3. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，求AE, SD 所成的角的余弦值．【达标测评】1. 已知直线l 1的方向向量为)1,1,1(1-=→S ，直线l 2的方向向量为)0,2,1(2-=→S ． 求两条直线夹角的余弦值．【作业】课本P 47 习题 1，5题1.5.（选做）如图，已知点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°，求DP 与CC 1所成角的大小．EB 'C 'D 'B C DA A'。
北师大版选修2-1高中数学2.5《夹角的计算》ppt课件(1)
§5 夹角的计算
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
解法一:∵������������1 = ������������ + ������������1, ������������ = ������������ + ������������,
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1
2
3
思考 2 如何利用向量求平面间的夹角?
提示:先求出两个平面的法向量,再利用向量夹角公式求角,则该角或它 的补角就等于平面间的夹角.一般用坐标运算进行,求解后要结合题意来判 断求出的角是夹角的补角还是夹角.
-7-
§5 夹角的计算
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
∴������������=(2,0,-2 3),������������=(-2,-3,0),
∴cos<������������, ������������>=���|���������������������·||���������������������|��� = 4 -413=- 1133, ∴PA 与 BC 夹角的余弦值为 1133.
当 0≤<n1,n2>≤���2���时,平面 π1 与 π2 的夹角等于
������n1,n2������; 当���2���<<n1,n2>≤π 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于 π-<n1,n2>.
-6-
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北师大版高中数学选修2-1课件：2.5.1直线间的夹角平面间的夹角
【学习目标】
1 理解异面直线的夹角，两平面的夹角的概念；
2 能用向量方法解决线线、面面夹角计算问题． 3 会灵活选择运用向量法和综合法，从不同角度解决立 体几何问题。
1、直线间的夹角
导
0， 2
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条
平面间的夹角
议展
例 2 如图 2－5－7 所示在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E， F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1 ＝1∶2∶4. (1)证明 AF⊥平面 A1ED； (2)求二面角 A1－ED－F 的正弦值．
图 2－5－7
【解】 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AB 3 ＝1，依题意得 D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，2，0)． 3 → → → ＝(－ (1)证明： 易得AF＝(1,2,1)， EA1＝(－1， －2， 4)， ED 1 → → → → 1，2，0)．于是 AF· EA1＝0，AF· ED＝0.因此，AF⊥EA1，AF ⊥ED． 又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED．
s1 , s 2
直线间的夹角 设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2.
2、平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。
导
F
以二面角棱上任一点为端点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.
B
l2
s2
s1
导
B C
A
s2
C
l1
已知直线
高中数学北师大选修2-1 2.5夹角的计算 课件.
3.利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法： (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂
足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是
二面角的平面角的大小； (2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向 量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉或 π－〈n1，n2〉. [特别警示] 利用空间向量方法求二面角时，注意结合 图形判断二面角是锐角还是钝角.
在本例(2)的条件下，能否求出异面直线B1C与BA1
所成角的余弦值.
解：由本例(2)知， ＝(－1,1，－ )，
又B(1,0,0)，A1(0,0， )，∴ 又|
＝(－1,0， ).
∴ |＝2，|
＝1－ × ＝－1， |＝ ，
〉＝ .
∴cos〈
∴异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为
设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)， E( 于是 ， ，c). ＝( ， ，0)， ＝(－1，b,0).
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，
求得b＝1， 所以AB＝AC.
·
＝0，
(2)设平面BCD的法向量 则 · ＝0， ·
＝(x，y，z)， ＝0.
又
＝(－1,1,0)，
夹角的计算
• 用向量法求空间夹角
1.利用空间向量求空间角
1.若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所 成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|. 2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有
两种办法：
(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂 直的直线，则二面角的大小θ＝ .
(2)如图②③，n1、n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α、β 的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|=
高中数学 夹角的计算参考学案 北师大版选修21
2.5 夹角的计算 导学案一、学法指导本小节主要包括三个部分的知识：直线间的夹角；平面间的夹角；直线与平面间的夹角.在学习时要注意的问题有：（1）直线间的夹角：直线间夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）求平面间的夹角时求平面的法向量是解题的关键.（3）求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量和平面的法向量所成的夹角，此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空间的夹角问题时，重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系. 二、知识精要知识点1: 直线间的夹角 1.两直线的夹角当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫做两直线的夹角 2. 异面直线的夹角:当两条直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫做异面直线1l 与2l 的夹角3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:已知直线1l 与2l 的方向向量分别为1s u r， 2s r ，当0<12,s s r r <2π时，直线1l 与2l 的夹角等于12,s s r r ；当2π<12,s s r rπ≤时，直线1l 与2l 的夹角等于π－12,s s r r.注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键. 知识点2 (重难点) 平面间的夹角 1. 平面间的夹角:在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角为这两个平面的夹角. 注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念. 2. (重点)求两平面间的二面角的向量求法方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小；注：要特别关注两个向量的方向方法二：设1n u r ，2n u u r 分别是两个面的法向量，则向量1n u r 与2n u u r的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小.注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角. 3. (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.平面1π和2π的法向量为1n u r 和2n u u r，θ为两个平面所成二面角的平面角，θ与12,n n u r u u r 的关系： (1) 当0≤12,n n u r u u r ≤2π时，θ=12,n n u r u u r ；(2) （2）当2π<12,n n u r u ur ≤π时，θ=π－12,n n u r u u r知识点3 (重难点) 直线与平面间的夹角. 1.直线与平面的夹角平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角. 注:直线与平面间的夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2直线与平面的夹角的计算方法（1） 在平面内作出直线的投影，找到直线与平面的夹角，通过解三角形求出. （2） 利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角. 3. (难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：一直线的方向向量为s r ，一平面的法向量为n r ，则此直线与该平面的夹角θ与,s n r r的关系为θ=,2s n π-r r .三、知识深化知识点1: 直线间的夹角两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过2π的角，由于异面直线既不相交也不平行，因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角，故空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定。
高中北师大版数学选修2-1学案：2.5 夹角的计算 含答案
§5 夹角的计算知识点一 直线间的夹角[填一填](1)当两条直线l 1和l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，π2]内的角叫作两直线的夹角．当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的平行线，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角．(2)已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉．[答一答]为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？提示：空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定．空间两直线的夹角与它们的方向向量的夹角有时是相等的，有时是互补的，空间两直线的夹角是取[0，π2]内的角．知识点二 平面间的夹角[填一填](1)平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉．[答一答]如上图，若在直线l 上选取不同于R 的点P ，过点P 在平面π1上作直线a ⊥l ，在平面π2上作直线b ⊥l ，那么直线a 和b 的夹角与直线l 1与l 2的夹角是否相等？提示：相等．∵a ∥l 1，b ∥l 2，∴a 与b 所成的角和l 1与l 2所成的角相等．知识点三 直线与平面的夹角 [填一填](1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是π2.[答一答]直线与平面的夹角θ和该直线的方向向量s 与该平面的法向量n 的夹角〈s ，n 〉是什么关系？提示：当〈s ，n 〉＝0时，θ＝π2；当0<〈s ，n 〉<π2时，θ＝π2－〈s ，n 〉；当〈s ，n 〉＝π2时，θ＝0；当π2<〈s ，n 〉<π时，θ＝〈s ，n 〉－π2.1．求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法两种，定义法是先用平移法将两条异面直线平移到同一平面上，再求共面的两直线的夹角，向量法就是在两异面直线上取方向向量，将两异面直线所成的角与两方向向量的夹角联系在一起，但应注意两方向向量夹角θ≤π2时，θ就是所求，若π2<θ≤π时，π－θ才是所求，因为异面直线所成角的范围是(0，π2]．2．二面角的求法总结如下：(1)定义法：根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，证明符合定义，再利用解三角形的方法求得该角．(2)向量法：①如图，若AB ，CD 是二面角α-l -β的两个面α，β内与棱l 垂直的两条异面直线，AB →与CD →的夹角〈AB →，CD →〉的大小就等于二面角的大小．②如图，若m ，n 是二面角α-l -β的两个面α，β的法向量，则m ，n 的夹角〈m ，n 〉与二面角相等或互补，即先求得两法向量的夹角，再根据法向量的方向，求得二面角的大小．③面积射影公式法：可以利用面积射影公式cos θ＝S 射线S 求出二面角的余弦值，近而求出二面角的大小．3．关于直线与平面间的夹角的几个注意点：(1)由定义可知，如图，求平面α的斜线AB 与平面α所成的角的大小，就是在直线AB 上取异于斜足A 的一点B 作平面的垂线BO (O 为垂足)，则∠BAO 就是AB 与α所成的角，然后通过解Rt △AOB 得∠BAO 的大小为所求．(2)有时B 在平面α内的投影O 的位置不好确定，也可用向量法求，如图．可求平面α的法向量n，则n与AB→所夹的锐角θ1的余角θ就是AB与平面α所成的角．即若直线AB与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n，AB→与n所夹的锐角为θ1，则θ＝|θ1－π2|.故sinθ＝|cosθ1|＝|n·AB→||n|·|AB→|.(3)由以上可知空间直线与平面所成角的范围是[0，π2]，而平面的斜线与平面所成的角的范围是(0，π2)．题型一异面直线的夹角【例1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．【思路探究】要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．【解】 (1)证明：以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，如图，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底面ABCD 的夹角．∴∠PDA ＝30°，∴AP ＝AD ·tan30°＝2a ·33＝233a ， AE ＝AD ·sin30°＝2a ·12＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，AE ＝a ，∠EAF ＝60°，∴AF ＝a 2，EF ＝32a .∴P (0,0，233a )，E (0，12a ，32a )．BE →＝(－a ，12a ，32a )，PD →＝(0,2a ，－233a )，∴BE →·PD →＝0＋a 2－a 2＝0.∴BE →⊥PD →，∴BE ⊥PD .(2)AE →＝(0，12a ，32a )，CD →＝(－a ，a,0)．设AE →与CD →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·CD →|AE →||CD →|＝12a 22a ·a ＝24， 即AE 与CD的夹角的余弦值为24.规律方法 恰当地建立空间直角坐标系，准确地求出各相关点的坐标，采用向量的数量积运算是解决本题的关键．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.题型二 平面间的夹角【例2】 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．【解】 过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，AC ＝1，∴BC ＝ 3.∵P A ＝1， ∴A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)，AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋z ＝0.不妨令y＝1，则n 1＝(0,1，－1)．设平面ABP 的法向量为n 2＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ′＝0，3x ′－y ′＝0. 不妨令x ′＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝322＝64. 由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64.规律方法 用向量法求二面角的两种思路：思路一：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，反复利用向量的加法法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两条直线方向向量的夹角，进而求出二面角．思路二：利用法向量求二面角．一般步骤：(1)建立空间直角坐标系，求出点的坐标；(2)求出两平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角的余弦值；(4)确定所求二面角的大小，方法如下：①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定二面角的余弦值的正负；②依据“同进同出互补，一进一出相等”，有下图中四种情形：③在二面角的一个半平面内取一点P ，过P 点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角的平面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角的平面角为钝角(特别地，若二面角为直二面角，则P 点的射影落在棱上)．在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值．解：建立如图所示空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，平面SBA 的一个法向量是AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.设n ＝(x ，y ，z )是面SCD 的一个法向量，则n ⊥DC →，n ⊥DS →，即n ·DC →＝0，n ·DS →＝0.又DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1， ∴12x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0.∴y ＝－12x ，且z ＝12x .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－x 2，x 2，取x ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12. ∴cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n|AD →|·|n |＝1212×1＋14＋14＝63. ∴平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值为63. 题型三 直线与平面的夹角【例3】 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值．【思路探究】 (1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．【解】 (1)证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C 平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)， 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)，故cos 〈n，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105.规律方法 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.如图，已知三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．求SN 与平面CMN 所成角的大小．解：找出直线SN 的方向向量，平面CMN 的法向量，求二者夹角的余弦值，然后将向量间的夹角转化为直线与平面所成的角．设P A ＝1，以A 为原点，AB →，AC →，AP →所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∴CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，12，NC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，1，0.设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则由CM →·a ＝0，NC →·a ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)． 又SN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴cos 〈a ，SN →〉＝－1－123×22＝－22.设SN 与平面CMN 所成角大小为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝22， ∴θ＝45°，∴SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.——易错警示—— 对线面角定义的混淆致错【例4】 如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD ＝PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．(1)求证：EF⊥平面P AB；(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成的角的余弦(或正弦)值．【误解】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，12，12)，EF→＝(0，12，12)，PB→＝(2a,1，－1)，AB→＝(2a,0,0)，∴EF→·PB→＝0，EF⊥PB，则EF⊥平面P AB.(2)由AB＝2BC，得a＝22，可得AC→＝(2，－1,0)，PB→＝(2，1，－1)，∴cos〈AC→，PB→〉＝AC→·PB→|AC→||PB→|＝36，∵AF→＝(22，－12，12)，∴AF→·PB→＝0，PB⊥AF，即PB⊥平面AEF，则AC与平面AEF所成的角的余弦值为36.【正解】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，12，12)．EF→＝(0，12，12)，PB→＝(2a,1，－1)，AB→＝(2a,0,0)．EF→·PB→＝0.∴EF⊥PB.AB→·EF→＝0.∴EF⊥AB.又PB平面P AB，AB平面P AB，PB∩AB＝B，∴EF⊥平面P AB.(2)由AB＝2BC，得a＝22.可得AC→＝(2，－1,0)，PB→＝(2，1，－1)．cos〈AC→，PB→〉＝AC→·PB→|AC→|·|PB→|＝36.异面直线AC、PB所成的角的余弦值为36.AF→＝(22，－12，12)．∴AF→·PB→＝0.PB⊥AF.又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF.∴AC与平面AEF所成的角的正弦值为36.规律方法在解题过程中，犯了两个错误：一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理，错误地认为直线与平面内一条直线垂直就是线面垂直；一个是混淆了线面角的定义，错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD1-C的大小．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)则DA1→＝(1,0,1)，AD1→＝(－1,0,1)，AB→＝(0,1,0)，由DA1→·AD1→＝0，DA1→·AB→＝0，则DA1→是平面ABD1的一个法向量．∵DC1→＝(0,1,1)，BC→＝(－1,0,0)，BD1→＝(－1，－1,1)，则DC1→·BC→＝0，DC1→·BD1→＝0，∴DC1→是平面BCD1的一个法向量，∴cos〈DA 1→，DC 1→〉＝DA 1→·DC 1→|DA 1→|·|DC 1→|＝12，∴〈DA 1→，DC 1→〉＝60°.由图形知二面角A -BD 1-C 的大小为120°.1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为( C )A.110 B.25 C.3010D.22解析：如图，分别以C 1B 1，C 1A 1，C 1C 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．令AC ＝BC ＝C 1C ＝2，则A (0,2,2)，B (2,0,2)，M (1,1,0)，N (0,1,0)．∴BM →＝(－1,1，－2)，AN →＝(0，－1，－2)． cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →|·|AN →|＝0－1＋46·5＝3010.故选C.2．若平面α的法向量为m ＝(1，－1,3)，平面β的法向量为n ＝(0,3,1)，则平面α与平面β的夹角为( C )A ．30°B ．60° C ．90° D ．120°解析：∵平面α的法向量为m ＝(1，－1,3)，平面β的法向量为n ＝(0,3,1)，又∵m·n ＝(1，－1,3)·(0,3,1)＝0， ∴m ⊥n ，∴α⊥β.3．在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( B )A.12B.23C.32D.63解析：由于四面体ABCD 为正四面体，所以A 点在平面BCD 的投影为△BCD 的中心，设为O .建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为a ，则A (0,0，63a )，C (33a ，0,0)，D (－36a ，12a,0)，E (－312a ，14a ，66a )．∴CE →＝(－5312a ，14a ，66a )．设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ＝(0,0,1)．∴cos 〈n ，CE →〉＝66a 1×32a ＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23.4．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为33.解析：∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m ·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33.∴l 与α所成角的余弦值为33.5．在一个二面角的两个面内分别有向量m ＝(－1,2,0)，n ＝(3,0，－2)，则m ，n 都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为36565.解析：由题意知，m ，n 所成的锐角即为二面角的平面角． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－35×13＝－36565.∴二面角的余弦值为36565.。
高中数学第二章2.5夹角的计算教学案北师大版选修2.doc
§5 夹角的计算第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角[对应学生用书P34]山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A 处，乙站在山坡斜面上的B 处，从A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离AC 和BD 分别为30 m 和40 m ，CD 的长为60 m ，AB 的长为80 m.问题1：直线AC 和BD 的夹角范围是什么？向量AC 与向量BD 的夹角范围是什么？提示：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，[0，π]．问题2：直线AC 与BD 的夹角与〈AC ，BD 〉有什么关系？ 提示：当0≤〈AC ，BD 〉≤π2时，它们相等；当π2<〈AC ，BD 〉≤π时，直线AC 与BD 的夹角为π－〈AC ，BD 〉． 问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈CA ，DB 〉有什么关系？为什么？ 提示：α＝π－〈CA ，DB 〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD 与CA 的夹角)为锐角，而〈CA ，DB 〉为钝角，所以α＝π－〈CA ，DB 〉．问题4：若n 1，n 2分别为两个平面π1，π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n 1，n 2〉有什么关系？提示：当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，θ＝〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，θ＝π－〈n 1，n 2〉．1．两直线的夹角当两条直线l 1与l 2共面时，把两条直线交角中，范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角叫做两直线的夹角．2．异面直线l 1与l 2的夹角(1)定义：直线l 1与l 2是异面直线，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，则直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角．(2)计算：设直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． 3．平面间的夹角(1)定义：平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2， 当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1和π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉．1．求空间角时，要注意角的范围．(1)异面直线夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2；(2)两平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．[对应学生用书P35][例1] 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，∠PDA ＝30°，AE ⊥PD ，E 为垂足．(1)求证：BE ⊥PD ；(2)求异面直线AE 与CD 夹角的余弦值．[思路点拨] 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．[精解详析] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)．又∵∠PDA ＝30°， ∴AP ＝AD ·tan 30°＝2a ·33＝233a ， AE ＝AD ·sin 30°＝2a ·12＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，AE ＝a ，∠EAF ＝60°，∴AF ＝a 2，EF ＝32a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a .(1)证明：BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，12a ，32a ，PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a ，∴BE ·PD ＝0＋a 2－a 2＝0.∴BE ⊥PD ，∴BE ⊥PD .(2)AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ，CD ＝(－a ，a,0)．则cos 〈AE ，CD 〉＝AE ·CD | AE ||CD |＝12a 22a ·a ＝24，即AE 与CD 的夹角的余弦值为24. [一点通]1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a ，b 的夹角〈a ，b 〉．但两异面直线的夹角范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，两异面直线的夹角应为π－〈a ，b 〉．2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．1．把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形ABCD 的中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D．150°解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.则F ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－22，22， ∴OF ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，OE ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－22，22， ∴cos ∠EOF ＝cos 〈OF ，OE 〉 ＝0×22－22×22＋0×2212＋12× 12＋12＝－12，∴∠EOF ＝120°. 答案：C2．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1与AC 的夹角．解：法一：以A 点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设B (1,0,0)，则C (1,1,0)，A 1(0,0,1)，∴AC ＝(1,1,0)，1BA ＝(－1,0,1)， ∴cos 〈AC ，1BA 〉＝AC ·1BA |AC |·|1BA |＝，1，－1，0，2×2＝－12.∴〈AC ，1BA 〉＝120°.故AC 与BA 1的夹角为60°. 法二∵1BA ＝BA ＋1BB ，AC ＝AB ＋BC ， ∴1BA ·AC ＝(BA ＋1BB )·(AB ＋BC )＝BA ·AB ＋BA ·BC ＋1BB ·AB ＋1BB ·BC . ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴BA ·BC ＝0，1BB ·AB ＝0，1BB ·BC ＝0， ∴1BA ·AC ＝－a 2.又∵1BA AC ＝|1BA |·|AC |·cos〈1BA ，AC 〉， ∴cos 〈1BA ，AC 〉＝－a22a ·2a ＝－12.∴〈1BA ，AC 〉＝120°. 故异面直线BA 1与AC 的夹角为60°.3.如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，∠PAD ＝60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 夹角的余弦值．解：(1)如右图建立空间直角坐标系，∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)．在Rt △PAD 中，由AD ＝2，∠PAD ＝60°得PD ＝23， ∴P (0,0,23)．(2)由(1)得PA ＝(2,0，－23)，BC ＝(－2，－3,0)，∴cos 〈PA ，BC 〉＝PA ·BC|BA ||BC |＝－＋－＋－23413＝－1313. 故异面直线PA 与BC 夹角的余弦值为1313.[例2] 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值．[思路点拨] 建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解． [精解详析] 如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ＝(0,0,1)，AB ＝(2，1,0)，CB ＝(2，0,0)，CP ＝(0，－1,1)．设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ⊥AP ，m ⊥AB ，即⎩⎨⎧m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，∴⎩⎨⎧x ，y ，z ，0，＝0，x ，y ，z2，1，＝0.∴⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，得m ＝(1，－2，0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎨⎧n ⊥CB ，n ⊥CP ，即⎩⎨⎧n ·CB ＝0，n ·CP ＝0，∴⎩⎨⎧x ′，y ′，z 2，0，＝0，x ′，y ′，z，－1，＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝1，∴n ＝(0,1,1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－33.而平面PAB 与平面PBC 夹角∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∴平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为33. [一点通]求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1，n 2〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时或π－〈n 1，n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1，n 2〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时.4．在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值．解：建立如图所示空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，平面SAB 的一个法向量是AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.设n ＝(x ，y ，z )是面SCD 的一个法向量，则n⊥DC ，n ⊥DS ，即n ·DC ＝0，n ·DS ＝0.又DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1， ∴12x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0. ∴y ＝－12x ，且z ＝12x .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－x 2，x 2，取x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12.∴cos 〈AD ，n 〉＝AD ·n| AD |·|n |＝1212× 1＋14＋14＝63. ∴平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值为63. 5．(陕西高考)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．解： (1)证明：法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由1A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1A C ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)， ∴1AC·BD ＝0，1A C ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， 又BB 1∩BD ＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2， ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.又BB 1∩BD ＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC ＝－x ＝0，n ·1OB ＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1A C ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1A C 〉|＝12×2＝12. 又0≤θ≤π2，∴θ＝π3.用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a ，b 的夹角及两平面的法向量n 1，n 2的夹角的关系：(1)当cos 〈a ，b 〉<0时，cos θ＝－cos 〈a ，b 〉，当cos 〈a ，b 〉≥0时，cos θ＝cos 〈a ，b 〉，即cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. (2)当cos 〈n 1，n 2〉≥0时，cos φ＝cos 〈n 1，n 2〉，当cos 〈n 1，n 2〉<0时，cos φ＝－cos 〈n 1，n 2〉，即cos φ＝|cos 〈a ，b 〉|.[对应课时跟踪训练十一1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则异面直线EF 和CD 的夹角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC ＝(0,1,0)．所以cos 〈EF ，DC 〉＝EF ·DC| EF |·|DC |＝－22，所以〈EF ，DC 〉＝135°， 所以异面直线EF 和CD 的夹角是45°. 答案：B2.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53C.255D.35解析：设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1＝(0,2,1)，可得向量1AB ＝(－2,2,1)，1BC ＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈1AB ，1BC 〉＝－2×0＋2×2＋－0＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55. 答案：A3．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )A.36B.34C.33D.233解析：设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3， ∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. ∴OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC 为平面BDF 的一个法向量． 由BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC 〉＝217，sin 〈n ，OC 〉＝277. ∴tan 〈n ，OC 〉＝233.答案：D4．P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°解析：设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN＝45°，故PE ＝a2，PF ＝b2.于是EM ·FN ＝(PM －PE )·(PN －PF )＝PM ·PN －PM ·PF －PE ·PN ＋PE ·PF ＝ab cos 60°－a ·b2cos 45°－a2·b cos 45°＋a2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM 与FN 的夹角就是α与β的夹角．答案：D5．平面π1的一个法向量n 1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n 2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．解析：n 1·n 2＝2－4＋2＝0，∴n 1⊥n 2，∴〈n 1，n 2〉＝π2，即α与β垂直，∴sin 〈n 1，n 2〉＝1. 答案：16．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则1AB ＝1BB －BA ，BM ＝BC ＋121BB ，cos 〈1AB ，BM 〉＝1BB －BABC ＋121BB 22·5＝0－2＋2＋022·5＝0.故AB 1与BM 的夹角为90°. 答案：90°7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.求平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值．解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE ＝60°，所以ED DB＝ 3. 由AD ＝3可知DE ＝36，AF ＝6，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)．所以BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF ＝0，n ·EF ＝0.即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．由题意知AC ⊥平面BDE ， 所以CA 为平面BDE 的法向量，CA ＝(3，－3,0)．所以cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA |n ||CA |＝632×26＝1313.故由题意知平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值为1313. 8．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值为53.第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中，A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ，直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1：φ与〈CA ，DB 〉有什么关系？ 提示：φ＝π－〈CA ，DB 〉．问题2：φ与〈BD ，n 〉有何关系？(n 为地面法向量)提示：φ＝π2－〈BD ，n 〉或φ＝〈BD ，n 〉－π2，即sin φ＝|cos 〈BD ，n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α的夹角为θ，则， 当〈a ，n 〉≤π2时，θ＝π2－〈a ，n 〉；当〈a ，n 〉>π2时，θ＝〈a ，n 〉－π2.即sin 〈a ，n 〉＝|cos 〈a ，n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|.[对应学生用书P37][例1] (新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值． [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)， 故n ，1A C＝n ·1A C |n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，C 1(0,1,1)，C (0，1,0)，而CC 1⊥面ABCD ，∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC .又1AC ＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)， ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值 cos θ＝|cos 〈1AC ，AC 〉|＝63. 答案：D2．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________．解析：取B 1C 1中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BB 1＝2，则A 1(－3，0,0)，C 1(0,1,0)，A (－3，0,2)，O (0,0,0)，1A O ＝(3，0,0)，1A O 为面BB 1C 1C 的法向量，1AC ＝(3，1，－2)，∴sin θ＝|cos 〈1A O ，1AC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | ＝33·3＋1＋4＝64.答案：643.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 的夹角．解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， S ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0. (1)证明：CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2) NC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则a ·CM ＝0，a ·NC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22， 所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD ，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系，并求A ，B ，C 的坐标； (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值．(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 的夹角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨] (1)建立坐标系，证明AD ·BC ＝0. (2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E 满足条件，再建立关于点E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析] (1)由题意AB ＝AC ＝2，∴BC ＝ 2. 则△BDC 为等腰直角三角形． 连接BH ，CH ，∴DB ⊥BH ，CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形，以DC 为y 轴，DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1,1,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)． (2)设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥BC 知：n 1·BC ＝－x ＋y＝0. 同理，由n 1⊥CA 知：n 1·CA ＝x ＋z ＝0.可取n 1＝(1,1，－1)．同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋0＋13·2＝63，即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件，设CE ＝x CA ＝(x,0，x )(0≤x ≤1)，则DE ＝DC ＋CE ＝(0,1,0)＋(x,0，x )＝(x,1，x )，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∵ED 与平面BCD 的夹角为30°， 由图可知DE 与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE ，n 〉＝DE ·n | DE ||n |＝x 1＋2x 2＝cos60°＝12. 则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，22， |AC |＝2，|CE |＝1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1)，使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，假设存在P (0,0，x )(0≤x ≤1)满足条件，经检验，当x ＝0时不满足要求， 当0<x ≤1时，则PA ＝(1,0，－x )，AC ＝(－1,1,0)，MD ＝(－1，－1，－12)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎨⎧PA ·n ＝0， AC ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x， 即n ＝(1,1，1x)．由题意MD ∥n ，由MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12＝－n ， 得x ＝2.又0<x ≤1，故不满足要求，综上所述，棱DD 1上不存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.(北京高考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ. 所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时，BD BC 1＝λ＝925.计算直线l 与平面α的夹角为θ. (1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：[对应课时跟踪训练十二1．已知直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l 与平面α夹角的余弦值为( )A.22B ．－22C ．±22D.12解析：cos 〈a ，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l 与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45 B.35 C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝－4，0，－－4，4，42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1的夹角的正弦值等于( )A.23 B.33C.23D.13解析：法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD .因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD .又CC 1∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则BD ⊥CH .又BD ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面BDC 1，连接DH ，则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影，所以∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △CDH 中，sin ∠CDH ＝CH CD ＝23. 法二：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC ＝(0,1,0)，DB ＝(1,1,0)，1DC ＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB ，n ⊥1DC ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC |n ||DC |＝23.答案：A5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证1AC 是平面A 1BD 的一个法向量．1AC ＝(－1,1,1)，1BC ＝(－1,0,1)．cos 〈1AC ，1BC 〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：636.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点． 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2. 设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n ||AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图．∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， ∴AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0， 1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.。
北师大版高中数学选修2-1导学案设计：2.5.2平面间的夹角(无答案)
§5.2 平面间的夹角主备： 审核: 班级: 小组： 学生姓名： 【学习目标】1.理解两平面夹角的概念及夹角的范围；2.了解二面角的平面角与两平面夹角的关系；3.了解两平面法向量的夹角与两平面夹角的关系；4.会用法向量求两平面的夹角． 【学习重点】两平面的夹角计算．【学习难点】两平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系． 【自主预习】 （一）旧知回顾1. 已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S ，设直线l 1与l 2的夹角为θ.θcos = = . []0090,0∈θ2.二面角的概念．3.二面角的平面概念及范围．（二）自主探究1.如图,P 是二面角α-l-β外一点，PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ．平面APB 与平面α交于AC ，于平面β交于BC ．①求证：∠ACB 是二面角α-l-β②∠P+∠ACB= ；<BP ，PA >= ；<BP ，2.（1）两平面的夹角的定义.平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，，我们把 叫做平面1π与2π（2）两平行平面的夹角为 ； 两垂直平面的夹角为 ；两平面的夹角的范围 .3.两平面的法向量的夹角与两个平面的夹角有怎样的关系？（1）设平面1π和2π的法向量分别为→1n 和→2n .； . （2）设平面1π和2π的夹角为θ，平面1π和2π的法向量分别为→1n 和→2n 则θcos = .4. 二面角与两平面夹角有什么关系？【合作探究】 探究活动一例1．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD －A 1.(1)求平面BC D 1 A 1的法向量；(2)求平面BC D 1 A 1与平面BC C 1 B 1的夹角θ.变式训练： 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. (1)求平面A 1B C 1与平面BC C 1 B 1的夹角θ的余弦值； (2)求平面A 1B C 1与平面ABC D 的夹角α的余弦值．探究活动二例2．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，124AA AB ==，点E 在CC 1上且EC E C 31=．求二面角1A DE B --的大小．【今日作业】课本P 47 习题 2，4题 2. 4.。
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《直线与平面的夹角》教学设计榆林中学 郭娜一、概述本节内容在空间几何中占有重要位置,考纲要求掌握直线与平面所成角的概念,并会利用向量方法求直线与平面所成角的大小或正余弦值 这是对点、线、面在空间中的位置关系进行定量分析的重要概念,也是高考的考察重点二、学习目标1通过本节知识的学习，使学生理解直线与平面的夹角的概念，并能实际做出这个角，培养学生的分析问题及作图能力，加强对知识的直观认识；(2) 通过实际作图与分析，知道直线与平面的夹角同直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，并由此找出直线与平面的夹角的向量求法；三、学情分析高二13班学生好奇心强,求知欲胜,有较强的学习需要，学生已有一定的空间想象力,空间思维正处于发展期,在概念的输入上一定要加强学生的理解，学生对学科内和学科间的学习迁移和联系的能力还需要进一步的锻炼，学生有小组学习的经验。
四、教学过程1、方向探究2、自主探究（学生阅读课本完成导学案自主探究部分）问题1：直线与平面的位置关系有哪些？线在面内、线面平行、线面相交问题2[0,]2π(0,]2π归纳：问题31如何用 , 计算直线AB 与直线AC 夹角θ1 的余弦值2如何用向量计算直线与平面的夹角θ与θ1的关系例1 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱AA1、AB 的中点，求EF 和平面ACC1A1所成角的大小．n s n s ,2,2,-=≤πθπ时当2,,,2πθππ-=≤<n s n s 时当s n课堂练习：的夹角的正弦值六：小结七：作业布置公式 直线与 平面夹角 当s,n 时,2s,n 2π≤πθ=-ABC D1A 1B 1C 1概念当s,n 时,2s,n 2π<≤ππθ=-八：总结与评价问题激发策略：给学生提供一系列的问题，激发学生的兴趣和好奇心 ;由直观到抽象的策略:借助微课，通过观察生活中的一些实际例子过渡到数学上的一些模型课堂中教师对学生的学习、探究、讨论、课堂发言等给予及时的评价、引导和总结；课堂结束时，教师引导学生进行本次课综合性总结；课后，教师布置相应的习题,通过学生做题,了解学生对本堂课的掌握情况。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 5.3直线与平面的夹角》
直线与平面的夹角教学目标1．理解直线与平面的夹角的定义，能用几何方法做出简单的线面角。
2．能用向量法解决直线与平面的夹角的计算问题．教学重难点1用两种方法解决直线与平面的夹角问题。
知识梳理1．空间向量与空间角1直线间的夹角①当两条直线1与2共面时，我们把两条直线夹角中不超过90°的角叫做两直线的夹角．②当直线1与2是异面直线时，在直线1上任取一点A作AB∥2，我们把直线1和直线AB的夹角叫做异面直线1与2的夹角．其夹角θ∈错误!③已知直线1与2的方向向量分别为1，2当〈1，2〉≤错误!时，直线1与2的夹角等于〈1，2〉；当错误!＜〈1，2〉≤π时，直线1与2的夹角等于π－〈1，2〉．2平面间的夹角①两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这两个平面的夹角．其夹角θ∈[0，π]．②平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两个平面二面角的平面角，它由〈n1，n2〉确定．当〈n1，n2〉≤错误!时，θ＝〈n1，n2〉；当错误!＜〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．3直线与平面的夹角①平面外一条直线与它在平面内投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角．其夹角θ∈错误!②已知直线的方向向量与平面的法向量n，当〈，n〉≤错误!时，则θ＝错误!－〈，n〉；当〈，n〉＞错误!时，则θ＝〈，n〉－错误!2 直线的方向向量与平面的法向量的确定1直线的方向向量：是空间一直线，A，B是直线上任意两点，则称错误!，n分别是直线和平面α的方向向量、法向量，若co〈m，n〉＝－错误!，则与α所成的角为A．30° B．60°C．12021D．150°3．若A错误!，B错误!，C错误!是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝，，，则∶∶＝________例题讲解2021·全国卷Ⅰ如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝12021E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC1证明：平面AEC⊥平面AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解析：1证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF在菱形ABCD中，不妨设GB＝1由∠ABC＝12021可得AG＝GC＝错误!由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC又AE⊥EC，所以EG＝错误!，且EG⊥AC在Rt△EBG中，可得BE＝错误!，故DF＝错误!在Rt△FDG中，可得FG＝错误!在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝错误!，DF＝错误!，可得EF＝错误!从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC2如图，以G为坐标原点，分别以错误!错误!1C1C错误!C1C1C，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM1与AN所成角的余弦值为2．如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面P AC的夹角为________．3．2021·陕西卷四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H1证明：四边形EFGH是矩形；2求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．4 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝错误!1求证：平面PBD⊥平面PBC；2设H为CD上一点，满足错误!＝2错误!，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为错误!，求二面角H－PB－C的余弦值．布置作业：《金版新学案》课时作业课堂小结：两种方法求解直线与平面的夹角问题：几何法、向量法。
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直线与平面的夹角广西梧州市苍海高级中学 蒙先彩一、教学目标：理解直线与平面的夹角的概念，掌握利用空间向量求解直线与平面的夹角的方法和步骤。
二、教学重难点重点：掌握直线与平面的夹角的求解方法和步骤难点：推导直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系。
三、教学过程：（一）复习回顾:直线间的夹角及平面间的夹角的向量求法。
线线角co θ= 面面角co θ=（二）合作探究1、直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为__ __如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为_______由此可得,直线与平面夹角的范围是________2、直线与平面夹角的求法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定．设平面α的法向量为n ，直线的方向向量为，直线与平面α所成的角为θ当0≤〈，n 〉≤错误!时，θ＝当错误!<〈，n 〉≤π时，θ＝即in θ＝3、例题讲解''’''’33ABCD A B C D F A D FC ABCD A C θ-'与平面ABCD 的夹角的例在空间直角坐标系中有单位正方体，求对角线例变式：题目条件保持不变，若是的正中点，弦值求直线与平面的.夹角正弦值.例4 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD -A’B’C’D’，E ，F 分别是B’C’,A’D’中点，求直线AC 与平面ABEF 的夹角θ的正弦值例4变式：题目条件保持不变，求直线AC与平面B’CD’的夹角的正弦值小结：向量法求直线与平面的夹角的步骤。
4课堂练习（1）如图，已知三棱椎，S分别为N所成角的大小．（2）（2021北京理科16改编）在四棱锥为线段C与平面BDP所成角的正弦值。
五、总结与反思收获什么知识:用到什么数学思想:六、课后作业: 必做题P47第3题选做题P57 第18题教学反思设计这节课时，我是希望学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背，因此没有让学生直接背概念和公式，而是考虑到学生已在上一节课中学习了直线与直线的夹角和平面与平面的夹角，有了一定的推导能力，因此设置了探究题，让学生分小组合作，动手设计，探究直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系，并由课前复习的线线角和面面角的公式，尝试自己推导直线与平面的夹角公式，不仅完成了掌握知识到形成能力的转变，突破了本节课的重点和难点，同时培养了学生空间想象能力和逻辑思维能力，体现了数学的分类讨论思想、化归和转化思想、数形结合的思想。
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课 题： 2.5夹角的计算
学习目标:
知识与技能 : 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； 学生学会选择恰当的方法求夹角. 过程与方法： 经历知识的发生、发展和形成过程，提高观察分析、类比转化的能力； 学生
通过用向量法解决空间角的问题，提高数形结合能力和分析问题、解决问题的能力.
情感态度价值观： 提高学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会“学
数学用数学”、“学会与会学”的关系.
学习重点 ： 空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方法求夹角.
学习难点 ： 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；构建恰当的空间直
角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.
学习方法 以讲学稿为依托的探究式教学方法.
学习过程
一、课前预习指导：
1．两条异面直线所成的角：当直线l 1、l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点
A 作A
B ∥l 2，我们把l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角．
已知l 1、l 2的方向向量分别为s 1、s 2，当0≤〈s 1，s 2〉≤π2
时，l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；
当π2
<〈s 1，s 2〉≤π时，l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． 2．直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的 的夹角，其范围是
斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中 的角．直线
和平面所成的角可以通过直线的 与平面的 求得，若设直线与
平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin
θ＝ .
3. 如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，
点R 为直线l 上任意一点，
过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，
在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直
线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.
当0≤〈n 1，n 2〉≤π2
时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；
当π2
<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉. 二、新课学习：
问题探究一 线线夹角
问题1 两直线夹角的范围是什么？
问题2 怎样求两条异面直线所成的角？
问题 3 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么区别？
讲解教材43页例1
学后检测1：如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，
平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，
且OB＝OO1＝2，OA＝3，
求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
问题探究二求直线和平面的夹角
问题1 直线和平面的夹角的范围是什么？
问题2 怎样利用向量求直线和平面所成的角？
讲解教材45页例3，46页例4
学后检测2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，
底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，
且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN的夹角．
问题探究三求平面间的夹角
问题怎样利用向量法求两个平面间的夹角的大小？
讲解教材44页例2
学后检测3 如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．
(1)求BP与DM所成的角的大小；
(2)求平面MAD与平面的ABCD的夹角的大小．
三、当堂检测：
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉
＝－1 2，
则l与α所成的角为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD的夹角的正弦值为（）
A.
2
4
B.
2
3
C.
6
3
D.
3
2
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为______．
四、课堂小结
五、课后作业
六、板书设计：
七、教（学）后反思。