2017年广安市武胜县中考数学一诊试卷含答案解析

2017年四川省广安市武胜县中考数学一诊试卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的，请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上（每题3分，共30分）1．﹣8的相反数是（）A．8 B．﹣8 C．D．﹣2．经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是（）美元．A．1.5×104B．1.5×105C．1.5×1012D．1.5×10133．下列运算正确的是（）A．3a﹣a=3 B．a2•a3=a5 C．a15÷a3=a5（a≠0）D．（a3）3=a64．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．广D．安5．学校商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶，各种饮料的销售量如下表：建议学校商店进货数量最多的品牌是（）A．甲品牌B．乙品牌C．丙品牌D．丁品牌6．在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=﹣的图象上，前面的四种描述正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m8．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣29．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°或15°D．60°10．时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：请把最简答案直接填写在题目的横线上（每小题3分，共18分）11．分解因式：3a2﹣12=．12．实数m、n在数轴上的位置如图所示，则|n﹣m|=．13．不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是．14．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．15．如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A 所经过的路线的长为（结果用含有π的式子表示）16．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共4个小题，第17题5分，其它各6分，共23分）17．计算：﹣（﹣）﹣cos45°+3﹣1．18．解方程：．19．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．20．如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=；（1）求双曲线和直线的解析式；（2）求△AOB的面积．四、实践应用：（本大题共4个小题，其中21题6分，其它小题各8分，共30分）21．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？22．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？23．如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．24．现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．五、推理论证题25．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．六、拓展探索题26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017年四川省广安市武胜县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的，请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上（每题3分，共30分）1．﹣8的相反数是（）A．8 B．﹣8 C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据相反数的概念，互为相反数的两个数和为0，即可得出答案．【解答】解：根据概念可知﹣8+（﹣8的相反数）=0，所以﹣8的相反数是8．故选A．2．经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是（）美元．A．1.5×104B．1.5×105C．1.5×1012D．1.5×1013【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于15000亿有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．【解答】解：15000亿=1 500 000 000 000=1.5×1012．故选C．3．下列运算正确的是（）A．3a﹣a=3 B．a2•a3=a5 C．a15÷a3=a5（a≠0）D．（a3）3=a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出答案．【解答】解：A、3a﹣a=2a，故本选项错误；B、a2•a3=a5，故本选项正确；C、a15÷a3=a12（a≠0），故本选项错误；D、（a3）3=a9，故本选项错误；故选B．4．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．广D．安【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面．【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“建”和“安”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“广”相对；故选D．5．学校商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶，各种饮料的销售量如下表：建议学校商店进货数量最多的品牌是（）A．甲品牌B．乙品牌C．丙品牌D．丁品牌【考点】众数．【分析】根据众数的意义和定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则进货要进销售量最多的品牌．【解答】解：在四个品牌的销售量中，丁的销售量最多．故选D．6．在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=﹣的图象上，前面的四种描述正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；关于原点对称的点的坐标．【分析】分别根据关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称及反比例函数图象上点的坐标特点进行解答．【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），∴P、Q两点关于原点对称，故①②错误，③正确；∵（﹣2）×1=2×（﹣1﹣2，∴点P与点Q都在y=﹣的图象上，故④正确．故选D．7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故选：A．8．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2【考点】根的判别式．【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．【解答】解：△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0得：a＜2．又a﹣1≠0∴a＜2且a≠1．故选C．9．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°或15°D．60°【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，∵AD=BC，∴AD=BD，∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B==75°，即此时△ABC底角的度数为75°；如图3，AD⊥BC，AD=BC=AC，∴∠ACD=30°，∴∠ACB=150°，∴∠CAB=∠CBA=15°，∴此时△ABC底角的度数为15°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选C．10．时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象．【解答】解：∵设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，∴当3：00时，y=90°，当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y=75°，又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，故只有D符合要求，故选：D．二、填空题：请把最简答案直接填写在题目的横线上（每小题3分，共18分）11．分解因式：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．12．实数m、n在数轴上的位置如图所示，则|n﹣m|=m﹣n．【考点】实数与数轴．【分析】首先观察数轴，可得n＜m，然后由绝对值的性质，可得|n﹣m|=﹣（n﹣m），则可求得答案．【解答】解：如图可得：n＜m，即n﹣m＜0，则|n﹣m|=﹣（n﹣m）=m﹣n．故答案为：m﹣n．13．不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是1，2，3．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．【解答】解：2x+9≥3（x+2），去括号得，2x+9≥3x+6，移项得，2x﹣3x≥6﹣9，合并同类项得，﹣x≥﹣3，系数化为1得，x≤3，故其正整数解为1，2，3．故答案为：1，2，3．14．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240度．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，故答案为：240．15．如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（4+）π（结果用含有π的式子表示）【考点】弧长的计算；旋转的性质．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；∵Rt△ABC由现在的位置向右无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．故答案为：（4+）π．16．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S=|﹣3|×|﹣|=．故答案为：．三、解答题（本大题共4个小题，第17题5分，其它各6分，共23分）17．计算：﹣（﹣）﹣cos45°+3﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】先将二次根式化为最简，然后计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，最后合并即可．【解答】解：原式=+﹣+=+1．18．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是3（3x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需检验．【解答】解：方程两边同乘以3（3x﹣1），得：2（3x﹣1）+3x=1，解得x=．检验：当x=时，3（3x﹣1）=0，即x=不是原方程的解，则原分式方程无解．19．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．20．如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=；（1）求双曲线和直线的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据B在双曲线y=上，B点的坐标是（2，﹣3），求出k值，根据AC垂直y轴于点C，AC=，确定点A的横坐标，求出纵坐标，用待定系数法求出一次函数解析式；（2）求出直线AB与x轴的交点，根据面积公式求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵B在双曲线y=上，B点的坐标是（2，﹣3），∴k=﹣6，∴双曲线的解析式为：y=﹣．∵AC垂直y轴于点C，AC=，∴点C的横坐标为﹣，则纵坐标为4，设直线AB的解析式为y=kx+b，解得∴直线AB的解析式为y=﹣2x+1；（2）直线y=﹣2x+1与x轴的交点坐标为（，0），△AOB的面积=××4+××3=．四、实践应用：（本大题共4个小题，其中21题6分，其它小题各8分，共30分）21．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后利用树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是=．22．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．【解答】解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：，解得：．答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑台，由题意得：，解得：99≤a≤101，∵a为正整数，∴a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．因此该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；（3）解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．解法二：设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，则W=4000z+15000=﹣11000z+5940000，∵k=﹣11000＜0，∴W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．23．如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，进而得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，∵∠CAD=45°，AC=10海里，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD===5（海里），在Rt△ABD中，∵∠DAB=60°，∴BD=AD•tan60°=5×=5（海里），∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，∴海监船到达C点所用的时间t===（小时）；某国军舰到达C点所用的时间i==≈=0.4（小时），∵＜0.4，∴中国海监船能及时赶到．24．现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．【考点】图形的剪拼．【分析】根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和．【解答】解：∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，∴等腰三角形的腰长为10cm，底为12cm，底边上的高为8cm．拼成的各种四边形如下：①∵BD=10，∴四边形的两条对角线长的和是10×2=20（cm）；②∵AC===4，∴四边形的两条对角线长的和是AC+BD=4+8（cm）；③∵BD===2；∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+2（cm）；④∵BO=AB•BC÷AC=8×（12÷2）÷10=4.8，∴BD=2BO=2×4.8=9.6，∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6（cm）．五、推理论证题25．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°∴2∠BCP+2∠BCA=180°，∴∠BCP+∠BCA=90°，又C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线．（2）如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC∵BC=2，sin∠BCP=，∴sin∠BCP=sin∠DBC===，解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4．（3）如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠ANC=90°，∴Rt△ACN中，AC==5，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．∵BD∥CP，∴，∴CP=．在Rt△ACP中，AP==，AC+CP+AP=5++=20，∴△ACP的周长为20．六、拓展探索题26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】方法一：（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．方法二：（1）利用三角函数分别求出B、、三点坐标，并求出抛物线表达式．（2）利用三角形面积公式，水平底与铅垂高的乘积的一半得出面积函数，并求出P点坐标．（3）利用等积法可求出Q点坐标．【解答】方法一：解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x﹣4上的一点，如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m2+m﹣4．于是PC=|n|=﹣n=﹣m2﹣m+4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×[（﹣m2﹣m+4）+4]×（﹣m）﹣×4×4=m2﹣m=（m+2）2+当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）．（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为．如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，在Rt△OBB1中，BB1===×BB1×QD=××=2，∵S△QBB1∴（x0+2）2+=2，解得x0=﹣1或x0=﹣3当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．方法二：（1）略．（2）连接BB1，过点P作x轴垂线交BB1于H．l BB1：y=﹣x﹣4，设H（t，﹣t﹣4），则P（t，），===﹣，∴S△PBB1∴当t=﹣2时，S有最大值，△PBB1∴P（﹣2，﹣）．（3）若抛物线上存在点Q，则过点Q作BB1的垂线，垂足为点D，=BB1×QD=，则S△PBB1即=，∴t2+4t+3=0，∴t1=﹣1，t2=﹣3，∴Q1（﹣1，﹣4），Q2（﹣3，﹣2）．2017年3月19日。