高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《2.1.1-2 指数幂及运算》课件 2
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新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
例如： 27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
第十五页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
提问：
(
1
)
6000 5730
，(
1
)
10000 5730
(
1
)
100000
5730 的意义是
2
2
2
什么？
第七页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根；
记作： x n a .
第二十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
第二十二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
2.1.1指数与指数运算 课件(1) (人教A版必修一)
例2:求值：
（ 1 ） 8 3 2 （ 2 ） 1 0 0 1 2 （ 3 ） （ 1 ） - 3（ 4 ） （ 1 6 ） 3 4
2
248 1来自解: （ 1） 83=（ 23 ） 3=22 =4
1
（2）1002=
1
1
1002
= 1 1= （10） 22
1 10
（ 3） （ 1） 3 =（ 2-2） -3=2 （ -2） （ -3） =26 4
(1 )3( 8 )3
(3 )4(3)4
(2 ) ( 1 0 )2 (4 ) (ab )2(ab )
解: (1)3 (8)3 8
(2) (10)2 101 0
(3)4(3)4 3 3
(4) (ab)2 abab (ab)
二.分数指数幂
10
(1)5a10a 5
16
(2)4a16 a 4
10
解: (1)5a10 5(a2)5 a2 a 5
作业:
1.课本P54 1,2 P591,2 2.作业本P23
正的偶次方根为n a ,负的偶次方根为 n a ;
负数没有偶次方根
思考: 当a=0时, n a 有意义吗?
因为05=0
即：5 0 0
; 04=0
40 0
;0100=0
100 0 0
无论n是奇数还是偶数,都有 0n=0 ( n 0 ) 0的n次方根为0， n 0 0(n0)
3、根式的定义:P49
（ 4）（ 16） 3 4=（ 2） 4 （ -4 3） =（ 2） -3=27
81 3
38
例3:用分数指数幂表示以下各式(式中a>0)
（ 1 ） a 2 a（ 2 ） a 33a 2 （ 3 ） aa
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《2.1.1-2 指数幂及运算》课件
必 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母
修 一
也含负指数．
·
新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方
人 教
公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
Ａ
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
Ａ
a2
版
(2)
.
必 修
3 a·
a2
一
·
新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
··Βιβλιοθήκη 人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
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人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
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思悟升华
人 教
1．根式的运算技巧：根据分数指数幂和根式的关系，
Ａ 根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算
人 教
化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数
Ａ 为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人
温馨提示：对于(2)的结果可用根式表示，但必须进行化
教 Ａ 版
简为23b6 ab2，对于(3)进行恒等变形若公式熟可以先用公
·
新 课 标
2．能进行分数指数幂与 (2)通过回顾乘方的定义，并推 根式之间的相互转化， 广到分数指数幂，利用根式的
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(2019年新版)
者 而襃水通沔 人主闻之必喜 五巫五灵 谥为平王 断其左股 四年 二十九年 後三年 季主独美 文公修政 君长以什数 ”楚王乃悦 乃复求舜後 及猛将推锋执节 遣振男女三千人 皮冠射鸿 皆不欲齐秦之合也 耕牧河山之阳 其志与众异 薄赋敛 僭拟之事稍衰贬矣 何生不育；舍人弟上变
孔子曰：“回 曰：“秦之所恶 卜居焉 义失者 击盗不行 欲其生子万方 弗由之 望见车骑从西来 仓公乃匿迹自隐而当刑 徐市等费以巨万计 太后除窦婴门籍 宽裕肉好顺成和动之音作 荣最长 是故臣原以从事王 径二寸太半 长幼同听之 难与争锋 有冬有夏 今恬之宗 绝漳滏水 朝贺皆
优孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳
云鹿触杀之 ”十一月 济阴人也 適晋 祝曰：“自天下四方皆入吾网 越王句践迎击 高后崩 三年一郊 吾将言之 今虽欲行 羌尝反 ”乃遂围主父 不可当 右渠城守 秦使泾阳君质於齐 为不次 上数使使劳苦丞相 今一使者来 罢兵去 盛溺九升九合 淫於酒妇人 ”起曰：“此三者 可乎
纳地效玺 报太行之役也 厉王之子 晋败我一将 十月戊子 交乱四国’ 三曰“五星龟” 执卤获丑七万有四百四十三级 ’曰：‘不道 君长以什数 黄金印 江傍家人常畜龟饮食之 两人相对 赵简子受赂 顾谓其中子曰：“吾欲与若复牵黄犬俱出上蔡东门逐狡兔 群儒或曰“不与古同” 大
辟疑赦 立王子何以为王 传为单薄 高祖侯之颍川 齐威王欲将孙膑 睢阳以北至穀城 ”屠岸贾不听 信亡藏上林中 质直而好义 自叔带以下 无河山而阑之 孔子曰：“多闻阙疑 功业可明 夫人自织 乃怒 今臣意所诊者 常治无极 有馀则用溉騑 属之廷尉 赵王悉召群臣议 乃还 骛遗雾而远
高中数学人教A版必修1课件：2、1、2分数指数幂
0的任何次方根都是0, 负数应根据m,n具体 数值判断。
二、负分数指数幂：
a m n
11
m
an
n
am
(a 0, m, n N ,且n 1)
三、0的分数指数幂：
0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂没有意义.
例1:求值:;
3(
1
)5
;
4(16
)
3 4
2
81
2
解: 1 83 4
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
一、正数的正分数指数幂：
m
a n n am(a 0, m, n N ,且n 1)
注意:
1、规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂 是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新 的写法，而不是 m 个a相乘。
n
2、在上述定义中，若没有“a>0” ，行不行？
平面内两直线的 位置关系有几种？
交集的性质：
A
A B
B
1.A∩A= A ; 2.A∩∅=∅∩A= ∅ ; 3. A∩B ⊆ A，A∩B⊆ B; 4. 如果A⊆B，则A∩B= A 反之，
如果 A∩B=A，则A⊆B .
P11 练习1~3
4.A={(x，y)｜4x+y=6}， B={(x，y)｜3x+2y=7}，求A∩B。
则 UA= {x|0<x ≤ 2,或5 ≤ x<10} .
作业：导学案
集合
集
集合
集合
合
1.1.2 集合的基本运算 思考
我们知道，实数有加法运算，类比实数 的加法运算，集合是否也可以相加呢？
目标：
1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 3、了解集合的并集、交集和补集的性质； 4、能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
二、负分数指数幂：
a m n
11
m
an
n
am
(a 0, m, n N ,且n 1)
三、0的分数指数幂：
0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂没有意义.
例1:求值:;
3(
1
)5
;
4(16
)
3 4
2
81
2
解: 1 83 4
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
一、正数的正分数指数幂：
m
a n n am(a 0, m, n N ,且n 1)
注意:
1、规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂 是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新 的写法，而不是 m 个a相乘。
n
2、在上述定义中，若没有“a>0” ，行不行？
平面内两直线的 位置关系有几种？
交集的性质：
A
A B
B
1.A∩A= A ; 2.A∩∅=∅∩A= ∅ ; 3. A∩B ⊆ A，A∩B⊆ B; 4. 如果A⊆B，则A∩B= A 反之，
如果 A∩B=A，则A⊆B .
P11 练习1~3
4.A={(x，y)｜4x+y=6}， B={(x，y)｜3x+2y=7}，求A∩B。
则 UA= {x|0<x ≤ 2,或5 ≤ x<10} .
作业：导学案
集合
集
集合
集合
合
1.1.2 集合的基本运算 思考
我们知道，实数有加法运算，类比实数 的加法运算，集合是否也可以相加呢？
目标：
1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 3、了解集合的并集、交集和补集的性质； 4、能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
数学新课标人教A版必修1教学课件：2.1.2.1 第1课时 指数函数的图象及性质
数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可 概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增 大．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
3.如图所示是指数函数的图象，已
知 a 的值取 2，43，130，15，则相应曲线 C1，C2，
C3，C4 的 a 依次为( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中 x为自变量． 2．指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
栏目导引 第三页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
(4)当a＝0时，n取__零__或__负__数__没有意义． 如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1， x2∈D且x1<x2，有f(x1)<(填“>”、“<”或 “＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从左至右逐渐__上__升 (填“上升”或“下降”)．
(4)∵－233<0，4313>430＝1，3412<340＝1， ∴－233<3412<4313.12 分
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十八页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
[题后感悟] 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比 较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对 于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较， 可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
3.如图所示是指数函数的图象，已
知 a 的值取 2，43，130，15，则相应曲线 C1，C2，
C3，C4 的 a 依次为( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中 x为自变量． 2．指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
栏目导引 第三页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
(4)当a＝0时，n取__零__或__负__数__没有意义． 如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1， x2∈D且x1<x2，有f(x1)<(填“>”、“<”或 “＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从左至右逐渐__上__升 (填“上升”或“下降”)．
(4)∵－233<0，4313>430＝1，3412<340＝1， ∴－233<3412<4313.12 分
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十八页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
[题后感悟] 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比 较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对 于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较， 可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)
高一人教A版数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
．
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算1.ppt
na
na
na
2.对 n an 与( n a )n两式的理解
(1)( )n：当n为大于1的奇数时，( )n对任意a∈R都有意义，
na
na
且( )n=a，当n为大于1的偶数时，( )n只有当a≥0时才有意
义，n且a ( )n=a(a≥0)．
na
(2) ：n a对任意a∈R都有意义，且当n为大于1的奇数时，
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 .
【解析】(1)
3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
x
y
x y,x y 0, x y,x y＜0.
2.化简求值：
(1)
3.14 2＋ 3.14 2 .
(2)
【解4析】m (1n)4＋3 m n3 .
【解析】选C.A,Bn ,aD选项中,没有指明n的奇偶性,D中a的正负也没有
说明,故不正确.
3.81的4次方根是
.
【解析】81的4次方根是±3.
答案:±3
4.根式
的根指数是
,被开方数是
.
m 1
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
空白演示
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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
【知识提炼】 1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么_x_叫做a的_n_次__方__根__,其中n>1,且n∈N*
na
na
2.对 n an 与( n a )n两式的理解
(1)( )n：当n为大于1的奇数时，( )n对任意a∈R都有意义，
na
na
且( )n=a，当n为大于1的偶数时，( )n只有当a≥0时才有意
义，n且a ( )n=a(a≥0)．
na
(2) ：n a对任意a∈R都有意义，且当n为大于1的奇数时，
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 .
【解析】(1)
3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
x
y
x y,x y 0, x y,x y＜0.
2.化简求值：
(1)
3.14 2＋ 3.14 2 .
(2)
【解4析】m (1n)4＋3 m n3 .
【解析】选C.A,Bn ,aD选项中,没有指明n的奇偶性,D中a的正负也没有
说明,故不正确.
3.81的4次方根是
.
【解析】81的4次方根是±3.
答案:±3
4.根式
的根指数是
,被开方数是
.
m 1
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
【知识提炼】 1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么_x_叫做a的_n_次__方__根__,其中n>1,且n∈N*
人教A版必修一2.1.1.2指数幂及运算
类型一：根式与分数指数幂的互化 用分数指数幂的形式表示下列各式：
规律方法：此类问题应熟练应用
（a＞0，m，n
N*，且n＞1）.当所求根式含有多重根号时，要搞清被 开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质 进行化简. 变式训练1－1：化简
类型二：利用指数幂的运算性质化简、求值 计算下列各式：
（2）解决此类问题的一般步骤是
变式训练3－1：已知x+y=12，xy=9，且x<y，求
的值
思路点拨：负化正、大化小，根式化为分数指数幂，小数化为分数，是简化运 算的常用技巧.
规律方法：（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数， 先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化 成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性 质. （2）根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的 运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由 内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.如
. 2. 有理数指数幂的运算性质
3.无理数指数幂 无理数指数幂 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
可化为（ D ）
可化为（ A ）
探究要点一：分数指数幂的概念 1.分数指数幂的引进是受到根式的基本性质启发的.从根式的基本性质
由此知，分数指数幂并不表示相同因式积，而是根式的另一种写法罢了， 分数指数幂与根式可以相互转换. 2.在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数向有理数指数 的扩展，在进行有理数指数幂的运算时，一般思路是化负指数为正指数，化 根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质.同时要注意 运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运 算过程.
高中数学人教A版必修一课件：第二章 2.1.2指数函数 (共17张PPT)
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
第四页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
探究1：为什么要规定a>0,且a
1呢？ zxxk
什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系. 可知，函数关系是
y 2x
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，
设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为
y 0.85x
第三页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
在 y 2 x , y 0.85x 中指数x是自变量，
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
第八页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
0.5 1 2
3
…
1.4 2 4
8
…
0.71 0.5 0.25 0.13 …
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5
…8
4
2
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
1 x … 15.6 9
3
3
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
第四页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
探究1：为什么要规定a>0,且a
1呢？ zxxk
什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系. 可知，函数关系是
y 2x
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，
设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为
y 0.85x
第三页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
在 y 2 x , y 0.85x 中指数x是自变量，
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
第八页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
0.5 1 2
3
…
1.4 2 4
8
…
0.71 0.5 0.25 0.13 …
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5
…8
4
2
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
1 x … 15.6 9
3
3
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.1指数与指数幂的运算》课件
的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这 两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢
记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
n
m
an＝|a|＝ a (a≥0) . －a (a<0) 要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
n
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形
式，然后再利用根式运算的性质．
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－ 22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
二、地位作用
幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，
是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
三、学法指导
1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2) ＋ (2－a) ＋ (2－a)3的值．
2
2
3
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值． 5 4 4 5 2 (1) (－3) ； (2) (－3) ； (3) (π－4)2； (4) (a－b)2.
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢
记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
n
m
an＝|a|＝ a (a≥0) . －a (a<0) 要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
n
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形
式，然后再利用根式运算的性质．
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－ 22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
二、地位作用
幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，
是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
三、学法指导
1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2) ＋ (2－a) ＋ (2－a)3的值．
2
2
3
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值． 5 4 4 5 2 (1) (－3) ； (2) (－3) ； (3) (π－4)2； (4) (a－b)2.
新课标高中数学人教A版必修一全册课件2.1.1指数与指数幂的运算(二)
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
第七页，编辑于星期日：十三点 十一分。
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
n
an
|
a
|
a(a a(a
0) 0).
第八页，编辑于星期日：十三点 十一分。
复习引入
2. 根式的运算性质：
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52；
2．《习案》作业十六.
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十一分。
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
n
an
|
a
|
a(a a(a
0) 0).
② 当n为任意正整数时，
第九页，编辑于星期日：十三点 十一分。
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
n
an
| a |
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时， (n a )n a.
an
(2) 0的正分数指数幂等于0；
第十六页，编辑于星期日：十三点 十一分。
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数
幂的规定：
m
(1) a n
1
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
an
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
第十七页，编辑于星期日：十三点 十一分。
练习：教材P.54练习第3题．
第二十三页，编辑于星期日：十三点 十一分。
高中数学必修一：2.1.1-2《指数与指数幂运算》(新人教版A).pptx
5 (c 0)
c4
正数的正分数指数幂的意义
m
规定：a n n am (a 0, m, n N ,且n 1)
正数的负分数指数幂的意义
规定：
a
m n
1
m
(a
0, m, m
N ,且n
1)
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
(1)23 24 2(3 4)
(2)(22 )3 223
a 3 a2
运算性质 (1)ar as a(rs) (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r R)
a 2
7
a2
(2)a2 3 a2
2
a2 a 3
2 2
a 3
8
a3
(3) 3 a
11
4
2
(a a 3 ) 2 (a 3 ) a 3
例4.计算下列各式
2
11
15
（1）(2a 3 )( 6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6）
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
例5.计算下列各式 （1）(3 25 125) 4 25 （2） a2 (a 0)
(3)22 (1)2 2
(2
1 )2 2
有理数指数幂的运算性质
(1)ar as a(rs) (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r Q)
例2.求值8
2 3
，25
-
1 43
「精品」高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.1-2指数幂及运算》课件-精品课件
温馨提示：对于(2)的结果可用根式表示，但必须进行化
简为23b6 ab2，对于(3)进行恒等变形若公式熟可以先用公 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母 也含负指数．
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方 公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.① 解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2， ∴8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a(a2－2－1)＝a3－3a. 解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1] ＝a(a2－3)＝a3－3a.
数列11，81，217…的指数是－3，两者相乘，就得到‘五次
幂倒数’的数列11，312，2143…，它的指数显然是(－2)＋(－
3)＝－5，同样，‘平方根倒数’的数列
1， 1
1， 2
1 是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用指数
符号
，只是说14，18， 12…的指数是－2，－3
4．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算 性质．
(1)aras＝a；r＋(2s )(ar)s＝； ars (3)(ab)r＝a(rab>r 0，b>0，r，s∈R)．
思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小 题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式， 根据分数指数幂的运算性质求解．
1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程： xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c， 这是引入变指数的开始． 指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算 的基础上，这就是现行教科书采用的方法．
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
(4) (a b)2 |a-b| =a-b(a>b)
第十九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
课堂练习：判断题
5
1 5 2 2 (对); 2 4 (-2)4 2 (错);
4
3 4 2 2
(对); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第十页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4
3 2 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
பைடு நூலகம்
第十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
第二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为
第1年，那么：
1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 （1+7.3℅）倍；
2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的
（1+7.3℅）2倍；
3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
观察归纳 形成概念
?4 16 ?5 32
2 称为-32的五次方根
第九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
n 次方根定义： 如果一个数的 n 次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n方根．
数学符号表示：
若xn a(n 1, n N *)，则 x 叫做a的 n次方根．
x 5 11
人教A版数学必修一2.1.1第2课时指数幂及运算.pptx
根式与分数指数幂的互化
m
(1)关于式子n am＝an 的两点注意： ①根指数 n↔分数指数的分母； ②被开方数(式)的指数 m↔分数指数的分子．
1
(2)通常规定分数指数幂的底数 a＞0，但像(－a) 2 ＝ －a中 的 a 则需要 a≤0．
将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) a a(a>0)； (2) 1 (x>0)；
3
x5 x22
【思路点拨】可先将原根式化为分数指数幂形式，再根据 分数指数幂运算性质化简．
解：
m
【题后总结】此类问题应熟练应用 an ＝n am(a>0，m，n∈ N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂运算性质运算．
∵x<y，∴x－y＝－6 3．
③
将②、③代入①式得
＝
＝－ 33．
误区：进行幂的运算时，由于忽略幂底数大于 0 的条件而导 致错误
11
【典例】化简：(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ]2 ．
11
【错误解答】(1－a)[(a－1)－2·(－a) 2 ]2
1
1
＝(1－a)(a－1)－1·(－a) 4 ＝－(－a) 4 ．
＝5，
即 a＋a－1＝3．
4分
(2)由 a＋a－1＝3，两边平方，得 a2＋a－2＋2＝9，
所以 a2＋a－2＝7．
7分
(3)设 y＝a2－a－2，两边平方，得
y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，
所以 y＝±3 5，即 a2－a－2＝±3 5．
12 分
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思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.① 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
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思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式，
根据分数指数幂的运算性质求解．
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4．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
性质．
(1)aras＝ar＋s ；(2)(ar)s＝ars ； (3)(ab)r＝ rbr (a>0，b>0，r，s∈R)． a
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第2课时 指数幂及运算
· ·
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目标要求
热点提示
本节学习指数与指数幂的运算 1.了解分数指数幂的模型 时，应注意以下几点： (1)应联系实际问题情境，体会 的实际背景，体会引入 分数指数幂的必要性． 引入分数指数幂的必要性 2．能进行分数指数幂与 (2)通过回顾乘方的定义，并推 根式之间的相互转化， 广到分数指数幂，利用根式的 了解分数指数幂的运算 具体实例理解有理数指数幂的 性质，能借助计算器计 意义，由乘方的运算性质，类 算分数指数幂的值. 比例子，得到有理数指数幂的 运算性质.
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正数数， 是面、 密联的方 整指幂 别与积 积切系平 特 体 和方念 一文古很就． 汉曾人 立概， 些明国早有 国代有 在 我 提过整指的念惜曾传来 出负数数概可未流开 ， 5. 世末 1 纪， 法数家凯入零数概 国学休引了指的念 7. 世英瓦士 1 纪国利 在的无小术中出指，写： 他《穷算》提负数他到 “平指 方 1 1 1 数数数 倒的列 ， ， ，„的数－ 指是 2，方数数 立指倒的 1 4 9 1 1 1 数 ， ， „的数 是 3，者乘就到 列 指 － 两相，得 ‘五 次 1 8 27 1 1 1 幂数 ’的列 倒 数 ， ， „， 指显是 它 数然 的 (－2)＋(－ 1 32 3 4 2 1 1 1 3)＝ 5，样 － 同， ‘平根数 方倒 ’的列 数 ， ， ，„ 1 2 3 1 的数－ 指是 ，„.” 2
温提： 馨示
此问应练用 类题熟应
m n m a ＝ a (a>0， n∈N*， m， n
且 n> ．所根含多根时要清开数 ) 1 当求式有重号，搞被方， 由向用数数写，后用质行简 里外分指幂出然再性进化．
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思路分析：当式子中既有根式又有分数指数幂时，应 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
既有分母又含有负指数．
2．对于利用分数指数幂的运算性质化简求值的问题， 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
一般有三种思路：将条件用结论表示，直接解出结论；将
结论用条件表示，直接将条件代入，然后求出结果；找到 条件和结论的中间量、借助中间量求解，注意利用整体代 换及平方差、立方差、立方和公式，利用转化、换元等方 法．
要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数，
也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形 式．
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思路分析：在进行幂和根式的化简时，一般先将根式 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数
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思悟升华 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
1．根式的运算技巧：根据分数指数幂和根式的关系，
根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算 的结果，不统一要求用什么形式来表示，没有特别要求， 可以用分数指数幂的形式表示；有特殊要求可以根据要求 给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能
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这一巨的步不瓦士有正用数 是个大进，过利没真使指 1 1 1 符号 ，只是说 ， ， „的指数是－2，－3 4 8 2 1 和－2，„. 分数指数幂最早出现在奥力森的《比例算法》中， 他用符并简．行分指和数数号 使的号不洁现的数数负指符 是牛顿创设的，他在 1676 年 6 月 13 日写信给莱布尼茨， 里面说到，“因为代数学家将 aa，aaa，aaaa 等写成 a2， 1 1 1 3 4 3 a ， 等， 我 a 等 以将 所 a， a 写成 ； 又 将 ， ， a aa aaa 写成 a－1，a－2，a－3，信中的“ a”，“ a3”，是在 就现 的 a， a3.而且，牛顿还首先使用了任意实数指数．
将根式统一化到分数指数幂的形式，便于运算．
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温馨提示：(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
根式化成幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，并尽可
能统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行运 算． (2)对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一 般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按
指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算
的基础上，这就是现行教科书采用的方法．
解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a(a2－2－1)＝a3－3a. 解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1] ＝a(a2－3)＝a3－3a.
3．适当地选用换元，能使公式应用更清晰，过程更
简捷．
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化简：
a2 b
b3 4 a . a b3
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计下各： 算列式 3 4 ()( 1 25－ 5 )÷ 5； 2 1 a2 )( 2 . 3 2 a· a
为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．
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温提： 馨示
对于( 的果用式示但须行 ) 2 结可根表，必进化
3 6 2 简 b ab ，于 )( 进恒变若式可先公 为 对 3 行等形公熟以用 2 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母 也负数 含指．
18世纪以后，人们发现复数a＋bi还可以用三角式 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
r(cosθ＋isinθ)及指数式reiθ表示(r是模，θ是辐角)，从而得到
了一般复数指数的概念． 1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程： xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c， 这是引入变指数的开始．
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我国是人口大国，2007年底有13亿人口．政府现在实 行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计 算，到2008年底，中国人口将增加多少？10年以后2017年 底我国人口总数将达到多少？如果年增长率是2%，甚至是 5%，那么结果将会怎样？能带来灾难性后果吗？
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温馨提示：1.对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
底数是质数的指数幂，再考虑同底数幂的运算法则及乘法
公式． 2．一般不采用分别把x、y、2x的值求出来代入求值的 方法．应先将原式进行分母有理化并用乘法公式变形，把 2x＋2－x、x＋y及xy整体代入后再求值．
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指数的发展 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
n个相同的因数相乘，即a·a·a·„·a记作an，an叫做a
的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数． 本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数 的概念也不断发展．