2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第十一节
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习第二章 函数、导数及其应用 章末高频考点
章末高频考点高频考点1 函数的定义域与值域1．(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，1)C ．[－4，0)∪(0，1]D ．[－4，0)∪(0，1)D [要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.]2．(2013·南昌二中月考)若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2D [本题主要考查定义域与值域相同的函数问题，难度中等．f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0，1]， ∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2.当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0，1]矛盾．综上，a ＝2.]3．(2013·山东青岛调研)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域是________．解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案 [－1，2] 高频考点2 分段函数4．(2013·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1f （x －1），x ≥1，则f (log 27)＝( )A.716B.78C.74D.725．(2013·济南名校四诊)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2，6)B ．(－1，4)C ．(1，4)D ．(－3，5)B [本题以分段函数为载体，考查了函数的单调性以及不等式等知识，考查了数形结合的思想．解题时首先作函数f (x )的图象，根据图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集．作出函数f (x )的图象，如图所示， 则函数f (x )在R 上是单调递减的． 由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0， 即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4. 所以不等式的解集为(－1，4)．] 高频考点3 函数的图象6．(2013·泉州五中质检)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1xD [由函数的图象知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；对于函数y ＝ln 1×1x ， 当x >0时，y ＝ln xx ，∴y ′＝1－ln x x 2，∴当x >e 时y ′<0，是减函数，排除A ，故选D.]7．(2013·潍坊二模)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值，则在直角坐标系中，函数g (x )＝(1a )|x ＋1|的大致图象为( )B [本题主要考查基本不等式、指数函数的图象、函数的性质等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时取等号．此时g (x )＝(1a )|x ＋1|＝(12)|x ＋1|，该函数图象由偶函数y ＝(12)|x |的图象向左平移一个单位得到，故选B.]8．(2013·福建质检)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )9．(2013·石家庄二中月考)若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数f (4－x )的图象一定经过点________．解析 本题主要考查函数图象变换之间的关系．由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位得到，点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位可推出函数 y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1)． 答案 (3，1)10．(2013·临川一中二模)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b b ，a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R )的最大值为________．解析 y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1. 答案 1高频考点4 函数的性质11．(2013·哈尔滨三中月考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x＝13对称，则f(－23)＝()A．0 B．1C．－1 D．2A[本题主要考查函数基本性质中的奇偶性，对称性，属于基础题，难度较小．由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f(－23)＝－f(23)．又y＝f(x)的图象关于x＝13对称，所以f(0)＝f(23)，因此f(－23)＝0.故选A.]12．(2013·太原五中质检)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为() A．－x＋1 B．－x－1C．x＋1 D．x－1B[本题主要考查函数的奇偶性，考查考生的运算能力和逻辑推理能力．∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，设x<0，则－x>0，故f(x)＝－f(－x)＝－(x＋1)＝－x－1，选B.]13．(2013·沙市中学月考)函数log13(x2－4x＋3)的单调递增区间为() A．(3，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)B[令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝log13(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．]14．(2013·重庆巴蜀中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x >1）（4－a2）x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)B [本题主要考查分段函数及函数的单调性．解决本题的关键是对函数单调性的理解．函数f (x )＝a x (x >1)要单调递增必须a >1，而f (x )＝(4－a2)x ＋2(x ≤1)要单调递增必须4－a 2>0，即a <8，要使函数f (x )在R 上单调递增，必有a ≥6－a2，即a ≥4，故实数a 的取值范围是[4，8)．]15．(2013·海南中学月考)定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数A [本题主要考查新定义，意在考查考生的逻辑推理能力．∵函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2＝log 2（22－x 2）（x －2）2－2＝log 2（4－x 2）2－x －2＝log 2（4－x 2）－x(－2<x <2)，∴f (－x )＝－f (x )，函数f (x )为奇函数．]16．(2013·广元适应性统考)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数D [本题主要考查奇函数的定义与性质，意在考查考生的推理论证能力．由f(x＋1)是奇函数得，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)①；由f(x－1)是奇函数得，f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)②.由①②得f(x＋2)＝f(x－2)，于是有f(x＋3)＝f(x－1)，又f(x－1)是奇函数，所以函数f(x＋3)是奇函数，选D.]17．(2013·江西师中附中、鹰潭一中联考)下列函数中既是偶函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是() A．y＝cos x B．y＝－|x－1|C．y＝ln 2－x2＋xD．y＝e x＋e－xD[本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断方法．对于选项A：函数y＝cos x是偶函数，但在区间(－1，0)上是增函数，所以A不符合条件；对于选项B：函数y＝－|x－1|，有f(－x)＝－|x＋1|≠f(x)，所以B不符合条件；对于选项C：函数y＝ln 2－x2＋x ，有f(－x)＝ln2＋x2－x＝－f(x)，所以C不符合条件；对于选项D：函数y＝e x＋e－x，有f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，而在区间(－1，0)上y′＝e x－e－x<0，即y＝e x＋e－x是区间(－1，0)上的减函数．故选D.] 18．(2013·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－1)＝2，则f(2 013)等于() A．2 012 B．2C．2 013 D．－2D[本题主要考查函数的奇偶性、周期性等知识，考查函数与方程的数学思想方法，以及推理推证能力、运算求解能力．∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.∴f(2 013)＝f(1)，又f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－2，即f(2 013)＝－2.]19．(2013·江西教学质量监测)已知x 13－(log130.5)x<(－y)13－(log130.5)－y，则实数x，y的关系是( )A ．x －y >0B ．x －y <0C ．x ＋y >0D ．x ＋y <0D [本题主要考查函数的单调性． 设f (x )＝x 13－(log 130.5)x ，log 131<log 130.5<log 1313＝1，即0<log 130.5<1.又f ′(x )＝13x－(log 130.5)x ln(log 130.5)>0，所以函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，故由不等式f (x )<f (－y )得x <－y ，即x ＋y <0，选D.] 高频考点5 简单的指数、对数不等式20．(2013·河南鹤壁一模)若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝________．(lg 2≈0.301 0) 解析 不等式10m －1<2512<10m同时取以10为底的对数，则⎩⎨⎧m －1<512lg 2，m >512lg 2，∴154.112<m <155.112，∴m ＝155. 答案 15521．(2013·深圳中学月考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________． 解析 当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >00，x ＝0－log 2（－x ），x <0由f (x )<－1，得⎩⎨⎧x >0log 2x <－1或⎩⎨⎧x ＝00<－1或⎩⎨⎧x <0－log 2（－x ）<－1，解得0<x <12或x <－2. 答案 {x |0<x <12或x <－2}22．(2013·成都七中二诊)已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间[12，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 本题主要考查指数、对数函数的图象及复合函数的单调性，难度较大． 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x .当a >1时，y ＝log a x 在[12，2]上是增函数，且log a x ∈[log a 12，log a 2]， 若g (x ) 在[12，2]上是增函数， 则必有log a 12≥－12log a 2a ， 解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在[12，2]上是减函数，且log a x ∈[log a 2，log a 12]， 若g (x )在[12，2]上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 答案 [0，12] 高频考点6 函数的零点23．(2013·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校二联)若{x }＝x －[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，则方程12 013－2 012x ＝{x }的实数解的个数是( )A ．1B ．0C ．2D ．4C [本题以新定义为载体，考查函数的性质和方程的根，结合数形结合思想和转化思想考查方程的根的个数，关键是方程的转化．由已知可得，原方程可转化为12 013＋[x ]＝2 013x ，可构造两个函数：y ＝12013＋[x ]，y ＝2 013x ，可知两函数的图象有两个交点，故选C.]24．(3013·广州一测)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )A [本题主要考查函数与方程、导数的应用等知识，考查函数与方程、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力．由e x ＋x －2＝0得e x ＝2－x ，令y 1＝e x ，y 3＝2－x .由ln x ＋x －2＝0得ln x ＝2－x ，令y 2＝ln x ．在同一坐标系下画出y 1，y 2，y 3的图象，可得a <1<b . 又f ′(x )＝e x ＋1>0，∴f (x )单调递增，∴f (a )<f (1)<f (b )．]25．(2013·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示，发现当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点． 答案 (0，1)高频考点7 导数的几何意义26．(2013·安庆二模)曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1，0)或(－1，－4)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，－4)A [本题主要考查导数的几何意义及导数的基本公式．令f ′(x )＝3x 2＋1＝4，解得x ＝±1 ，由此可得切点P 0的横坐标为±1，则点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，故选A.]27．(2013·深圳中学实战考试)函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π4D [本题主要考查导数的运算及其几何意义的应用，难度较小．由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得 －1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4.]28．(2013·哈尔滨三中联考)设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5B [∵函数f (x )是R 上以5为周期的函数，∴曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线与在x ＝0处的切线相同， 又函数f (x )是偶函数，其函数图象关于y 轴对称， ∴x ＝0是函数f (x )的一个极值点，即f ′(0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0及x ＝5处的切线的斜率均为0，故选B.] 29．(2013·安庆一中4月监测)经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的方程是 ( )A ．x ＋y ＝0或x25＋y ＝0 B ．x －y ＝0或x25＋y ＝0 C ．x ＋y ＝0或x25－y ＝0 D ．x －y ＝0或x25－y ＝0A [本题主要考查分式函数的曲线的切线方程的求解．设切点(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y 0x 0，另一方面，y ′＝(x ＋9x ＋5)′＝－4（x ＋5）2，故y ′(x 0)＝k ，即－4（x 0＋5）2＝y 0x 0＝x 0＋9x 0（x 0＋5）⇒x 20＋18x 0＋45＝0，得x 0(1)＝－3，x 0(2)＝－15，对应有y 0(1)＝3，y 0(2)＝－15＋9－15＋5＝35，因此得两个切点A (－3，3)或B (－15，35)，从而得y ′A ＝－1，y ′B ＝－125.由于切线过原点，故得切线l A ：y ＝－x 或l B ：y ＝－x25.] 30．(2013·昆明一中月考)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7A [设过点(1，0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564； 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.] 31．(2013·广州二测)已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )A [本题主要考查导数在函数中的应用等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力．如图，y ＝f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，i∴当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0， 当x ∈(x 2，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0.从而选A.] 高频考点8 导数的应用32．(文)(2013·山东胶东示范二模)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，1]上的最大值是－1，求a 的值．解析 本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查函数与方程、分类整合等数学思想方法． (1)f ′(x )＝ax 2＋1x ，x ∈(0，＋∞)． 当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x ) 在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－1a 或x ＝－－1a (舍去)．此时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(0，－1a )，单调减区间是(－1a ，＋∞)．(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a 2.令a2＝－1，得a＝－2，这与a≥0矛盾，不合题意．②当－1≤a<0时，－1a≥1，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a 2.令a2＝－1，得a＝－2，这与－1≤a<0矛盾，不合题意．③当a<－1时，0< －1a<1，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f( －1 a)．令f( －1a)＝－1，解得a＝－e，符合a<－1.综上，当f(x)在(0，1]上的最大值是－1时，a＝－e.32．(理)(2013·山东胶东示范校二模)已知函数f(x)＝x－12ax2－ln(1＋x)，其中a∈R.(1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值范围．解析本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查函数与方程、分类整合等数学思想方法．(1)根据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零，得出关于a 的方程即可求出a，再根据极点值两则导数值异号进行检验；(2)讨论导数的符号，就参数a的取值情况进行分类讨论即可；(3)根据函数的单调性和极值点，以及函数最大值的概念分情况解决．(1)f′(x)＝x（1－a－ax）x＋1，x∈(－1，＋∞)．依题意，得f′(2)＝0，解得a＝1 3.经检验，a＝13时，符合题意．(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)． 故f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a －1. 当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(0，1a －1)，单调减区间是(－1，0)和(1a －1，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)． 当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(1a －1，0)，单调减区间是(－1，1a －1)和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)； 当0<a <1时，f (x )的单调增区间是(0，1a －1)，单调减区间是(－1，0)和 (1a－1，＋∞)； 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调增区间是(1a －1，0)，单调减区间是(－1，1a －1)和 (0，＋∞)．(3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由f (0)＝0知不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a －1)，由1a －1>0，f (x )在区间(0，1a －1)上递增可知，f (1a －1)>f (0)＝0知不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0符合题意．∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)． (理)高频考点9 定积分33．(2013·长春外国语学校月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]1x ，x ∈（1，e ）(其中e 为自然对数的底数)，则∫e0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76A [本题主要考查分段函数定积分的求解．∫e 0f (x )d x ＝∫10f (x )d x ＋∫e1f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫e 11x d x＝13＋ln e ＝43， 故选A.]34．(2013·济南一中四校联考)从如图所示的圆O ：x 2＋y 2＝2内任取一点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析 本题是用概率“包装”的定积分题，既为概率输送了新鲜的血液，又为定积分找到了坚实的着陆点．所求的概率模型为几何概型，利用定积分求出阴影部分的面积，再求出圆的面积，阴影部分面积除以圆的面积即为所求的概率．在求不规则平面图形的面积时，常用定积分来求解． 由题意可得圆的面积为S 圆 ＝2π.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，y ＝x 2，得交点坐标为(－1，1)，(1，1)， 所以阴影部分的面积为S 阴影＝2[π4＋∫10(x －x 2)d x]＝π2＋13，所以点M 取自阴影部分的概率为P ＝S 阴影S 圆＝π2＋132π＝3π＋212π. 答案 3π＋212π。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业第二章函数、导数及其应用第十二节
二、填空题 7．已知函数 f(x)＝x3＋ mx2＋(m＋ 6)x＋ 1 既存在极大值又存在极小值， 则实数 m 的
取值范围是 ________． 解析 f′x（)＝3x2＋2mx＋ m＋ 6＝ 0 有两个不等实根， 即Δ＝ 4m2－12×(m＋6)>0.
所以 m>6 或 m<－3.
答案 (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ ) 8． (2014 ·济宁模拟 )若函数 f(x)＝x3－ 6bx＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数 b 的取
4 即 a≥3即可．
故正实数 a 的取值范围为 43，＋∞ .
是
A ．(－∞， 0)
1 B. 0，2
()
C．(0，1)
D． (0，＋∞ )
B [f′x（)＝ ln x－ax＋ x 1x－ a ＝ln x－2ax＋ 1，函数 f(x)有两个极值点，即
ln
x－2ax＋1＝0 有两个不同的根
(在正实数集上
)，即函数
ln g(x)＝
x＋ x
1 与函数
y
－ln x ＝2a 在(0，＋∞ )上有两个不同交点．因为 g′x（)＝ x2 ，所以 g(x)在
当 x∈(2， e]时， f′x（)>0，故 f(x)在(2，e]上单调递增，
故 f(x)min＝f(2)＝ln 2－1. 2－ e
又∵ f(1)＝ 0， f(e)＝ e <0.
∴f(x)在区间 [1，e]上的最大值 f(x)max＝ f(1)＝0. 综上可知，函数 f(x)在[1， e]上的最大值是 0，最小值是 ln 2－ 1.
x＞－ 2，f′x（)＞0，那么 y＝xf′x（)过点 (0， 0)及(－2，0)．
当 x＜－ 2 时， x＜0，f′x（)＜0，则 y＞0;
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第2章 第3节 函数的单调性与最值
课时作业一、选择题1．(2013·宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝1xD [y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数； y ＝x 在(0，＋∞)上是增函数； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数， y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数， 故y ＝1x 在(0，1)上是减函数．故选D.]2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．25D [依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.]3．(2014·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0， ∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在 [a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．]5．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13)C [由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数， 因为|12－1|<|13－1|<|2－1|，所以f (12)<f (13)<f (2)．故选C.]6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 C [∵f (x )是定义在R 上的函数，且 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数． 设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0. ∴f (x )在R 上是减函数． ∴f (x )在[a ，b ]有最小值f (b )．]7．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C [由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)．] 8．(2014·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为( )A.14B.12C.22D.32C [显然函数的定义域是[－3，1]且y ≥0， 故y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3）＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－（x ＋1）2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8， 故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.] 二、填空题9．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3210．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1（x 1＋2）（x 2＋2）＝（x 1－x 2）（2a －1）（x 1＋2）（x 2＋2）>0，则2a －1>0.得a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解析(1)证明：设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a（x2－x1）（x1－a）（x2－a）.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1]．12．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有f（a）＋f（b）a＋b＞0成立．(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f(x＋12)＜f(1x－1)；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）·(x1－x2)，由已知得f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[－1，1]上单调递增．(2)∵f (x )在[－1，1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.解得－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增． ∴在[－1，1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1，1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第五节
课时作业一、选择题1．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )B [当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]2．为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 A [本题考查图象的平移和伸缩．将y ＝log 2x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y ＝12log 2x 的图象，再将y ＝12log 2x 的图象向右平移1个单位长度即可．]3．(2014·天津河西模拟)设方程3x ＝|lg(－x )|的两个根为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1D [函数y ＝3x 与函数y ＝|lg(－x )|的图象如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0， 则0＜3x 1＜3x 2＜1， 且⎩⎨⎧3x 1＝lg （－x 1），3x 2＝－lg （－x 2），可得3x 1－3x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg x 1x 2， ∵3x 1－3x 2＜0， ∴0＜x 1x 2＜1，故应选D.]4．(2014·广州模拟)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1，1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图象关于点(－1，0)对称B [选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x 轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确，故选B.]5．(2013·新课标全国Ⅰ高考)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )C [首先将函数f (x )＝(1－cos x )sin x 变形成f (x )＝2sin 2x2·sin x ，可知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x ∈[0，π]的情形，又当x ∈[0，π]时， f (x )≥0，于是排除A.最后举特例，分别取x ＝π2，π3，可知C 对．] 6．(2014·桂林模拟)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )C [由题意知f (x )为奇函数，故排除A ，B ；当x →π2时，f (x )→－∞.故选C.]7．(2014·北京东城模拟)如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S ＝f (x )，那么f (x )的图象大致是( )D [依题意得，当0≤x ≤π时， f (x )＝2x －2sin x ；当π＜x ≤2π时，f (x )＝2x ＋2sin(2π－x )＝2x －2sin x . 故f (x )＝2x －2sin x ，0≤x ≤2π. 该函数不是分段的， 可以排除选项A 、B ； 再根据函数f (x )在x ＝π2时， f (x )＝π－2＜π2， 排除选项C.故选D.]8．(2014·石家庄模拟)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )A ．[0，2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－1，1] D ．[－2，0]B [当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2＝⎩⎨⎧－x ，0≤x ≤a 2，x －2a 2，x ＞a 2.因为函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称，如图所示．因为f (x ＋1)的图象可以看作由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，需将函数f (x )的图象至少向左平移4a 2个单位才能满足不等式f (x ＋1)≥f (x )恒成立，所以 4a 2≤1，故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.]二、填空题9．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝logf (x )的定义域是________． 解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2，8]． 答案 (2，8]10．函数f (x )＝x ＋1x 图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图象．由y ＝1x 的对称中心为(0，0)， 可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0，1)． 答案 (0，1)11．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0。
创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件3.1任意角解读
DISANZHANG三角函数、解三角形-+4-•第“ /•参任意角和弧度制及任意角的三角函数回自主预习夯实耳础•［主干知识梳理］•—、任意角• 1.角的分类：•(1)按旋转加方负尚种同分为________ 、______ 限角舸线角•(2)按终边位置不同分为和____________ ■2.终边相同的角：终边与角«相同的角可写成_____________________ ・3.弧度制：(1)1弧度的角：把长度等于________ 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)规定：正角的弧度数为_______ ,负角的弧度数为________ ,零角的弧度数为，lal= , /是以角a作为圆心角时所对圆回自主预习夯实耳础弧的长，厂为半径.⑶用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制•比值;与所取的厂的大小__________ ,仅与_____________ 有关.(4)弧度与角度的换算：360° = _______ 弧度；180° = ______ 弧度.(5)弧长公式：______ ,扇形面积公式：S扇形= = ・二、任意角的三角函数1.任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，角a的终边与单位圆交于点P(x, y),那么角a的正弦、余弦、正切分别是：sin a = , cos a = , tan a =,它们都是以角为，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为_________ 的函数.2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.•三、三角函数线 •设角CT 的顶点在坐标原点，始边与X 轴非 负半轴重合，终边与单位圆相交于点P 过 P 作PM 垂直干x 轴于M （由丘角廊D 数的定义 矢Pf co 点尸的鏗标为 ——QM -------- ，协卩______________________,单位圆与x 轴的正半萍交于点 彎£孕毎力点^勺切苓樣矗製终边惑蔘反 「丿川“亠^ e •八八二:•八I 我向线段OM 、MP 、 &7■叫做crsin a=A 9向延长线相交于点厂PHJtan Ja=•［基础自测自评］• 1. -870°的终边在第几象限()• A. 一 B.二 C.三D.四 •C ［因 一 870。
《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A配套课件第2章第2讲函数的单调性与最值
第2讲函数的单调性与最值〔夯基释疑］（乞课堂小结〕—（考点三〕（例3］（训练3 ］夯基释疑判断正误(在括号内打“ V ”或“ X ”)⑴函数y=k 的单调递减区间是(一8, 0)U(0, +8). (X)⑵对于函数沧)，x£D,若 f(x 2)］＞0,则函数/(兀)在D 上是增函数.&) ⑶函数j = lxl 是R 上的增函数.(X) ⑷函数丿=血)在［1，+8)上是增函数，则函数的单调递增 区间是［1, +°°). (X)xi, xi^D 且街―兀2）・|/（兀1）— 1=解设一1<X 1<X 2<19°(兀2—兀1)(X1 —1)(X2—1)?由于一1<T]V A ^VI,所以兀2—兀i>0，Xj — ICO, x 2—1V0, 故当a>0时，/(xj)—/(x 2)>0, §P/(x 1)>/>(x 2), 函数心)在(一1, 1)上递减;当“vO 时，/(xj —/(x 2)<0, BP/(X 1)</*(X 2),【例1】试讨论函数/*3）=笃 @H0）在（一1, 1）上的单调性.可用定 义法或 导数法X — 1f(xi)—f(X2)=a(lf(x)=a1+函数/⑴在(一1, 1)上递增.规律方法判断函数单调性的常用方法：(1)定义法.注意证明函数单调性只能用定义法和导数法.(2)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用"U ”连接.=（X1—x 2） + f E+二…FLQ ）（1 云）. 当&$兀1>兀2>0时，XI —兀2>0, 1—" 有 /（X1）—/*（X 2）<0,即 /（X1）</（X 2）, 此时，函数f （x ）=x+^（a>0）在（0,也］上为减函数;X2”2<0,x厂、【训练1】⑴已知«>0,函数/(x)=x+^(x>0),证明：函数/(兀)•/V在(0,也］上是减函数，在［&, +8)上是增函数; ⑵求函数J=log 1(x 2—4x+3)的单调区间.3有金1)—冷2)>0,即金 1)>/(*2), 此时，函数/(x)=x+%a>0)在[&, +°°)_t综上可知，函数/(x)=x+;(a>0)4(0,也］上当 x\>xi^y[a 时，Xi —X2>0,;为减函数;法二几r ）=l 一刍，令/（x ）>0, Ml 一令>0， 解得x>\［a 或x< —&（舍）•令f （x ）V0,则1—务V0,解得一&V 兀<也・ Vx>0,/.0<x<V^.深度思考 解决函数的单 调性问题一般 有两种解法： 定义法和导数 法，你不妨都 I试一试•在［&, +8).•••冷）在（0,也）上为减函数；在（也，+8）也称为/（兀）在（0，S ］上为减函数；在［&, +8）上为增函数.⑵解令 w=x 2—4x+3, 原函数可以看作丿=10护与w=x 2—4x+3的复合函数.3令w=x 2-4x+3>0.贝JUV1 或x>3・・：函数j=log1(x2—4x4-3)的定义域为(一8, 1)U(3, +°°).3又“=以_4兀+3的图象的对称轴为兀=2,且开口向上，/.w=x2—4x+3在(一8, 1)上是减函数，在(3, +8)上是增函数.厂、【训练1】⑴已知«>0,函数/(x)=x+^(x>0),证明：函数/(兀)•/V在(0,也］上是减函数，在［&, +8)上是增函数;⑵求函数J=log1(x2—4x+3)的单调区间.3［接上一页扭=/—4兀+3在(一8, 1)上是减函数，在(3, +8)上是增函数.而函数y=log］U在(0, +8)上是减函数，考点突破考点一确定函数的单调性或单调区间3Aj=log1(x2—4x+3)的单调递减区间为(3, +°°),3单调递增区间为(一8 , 1).考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范冃解析⑴当a=0时，/(x)=2x —3, 在定义域R 上是单调递增的，故在(一co, 4)上单调递增； 当好0时，二次函数/(兀)的对称轴为兀=一£ 因为心)在(一00, 4)上单调递增，所以aVO,且一解得一#W“VO ・ 综合上述得一* Wa W 0・【例2】⑴如果函数f(x)=ax 2+2x —3 p 区间4)±是单调 递增的，则实数a 的 — 一一审 +°° 借助二次函数的对称轴和区间关系 -扌，+°° (2)见下一页A.C. D1- 4O1 -4J=1考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范冃f 【例2] (2) (2015•奉化模拟)已知f(x)=' (3a —l)x+4«, x<l,是Jog«x, X>1,1考点突破考点二利用函数的单调性求参数范围规律方法已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间⑷勿上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.丿考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范冃丿【训练2] （1）（2014-北京西城区模拟）设函数/（兀）= （—兀2-|~4兀 兀^^4 \ 〔，’若函数y=f （x ）在区间«+1）上单调递增，贝！） [logiv, x > 4.实数0的取值范围是（）B. [1, 4]D. (—8, 1]U[4, +°°)解析 作出函数fd ）的图象如图所示， 由图象可知/仗）在（a, «+1）上单调递增, 需满足或a + lW2,E3A ・(—8, 1]C. [4, +oo )即aWl 或故选D. 答案D y= -x 2+4 兀 代4)考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范冃【训练2】⑵若函数沧）=ax —1兀+100,一1）上是减函数，贝仏的取值范围是 、亠ax —1⑵法—则 f(Xl)—f(X2)= 。
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第四节
课时作业一、选择题1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④D [由奇函数的定义验证可知②④正确．]2．(2014·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14 C.14D.12A [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.] 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．]4．(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数D [f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数． 画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0， 则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )， 当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )． x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．]5．(2014·杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.] 6．若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1A [∵f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1（－2＋1）（－1－a ）＝－1（2＋1）（1－a ），∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.]7．(2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2]C [因为log 12a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数， 所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1， 即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.]8．(2014·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12 B ．－13 C ．－14D ．－15C [由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2.又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0， 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.]二、填空题9．定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在(0，2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析 依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象， 如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 10．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________． 解析 ∵y ＝f (x )为偶函数， 且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， ∴1－a ＝0.∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案 －1 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第四节
课时作业一、选择题1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④D [由奇函数的定义验证可知②④正确．]2．(2014·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14 C.14D.12A [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.] 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．]4．(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数D [f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数． 画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0， 则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )， 当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )． x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．]5．(2014·杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.] 6．若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1A [∵f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1（－2＋1）（－1－a ）＝－1（2＋1）（1－a ），∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.]7．(2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2]C [因为log 12a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数， 所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1， 即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.]8．(2014·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12 B ．－13 C ．－14D ．－15C [由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2.又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0， 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.]二、填空题9．定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在(0，2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析 依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象， 如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 10．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________． 解析 ∵y ＝f (x )为偶函数， 且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， ∴1－a ＝0.∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案 －1 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．。
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第14节 定积分与微积分基本定理
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
【创新探究】 定积分与概率求法的创新问题 (2012· 福建高考 ) 如图所示，在边长为 1 的正方 形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率 为 ( )
b
第二章 函数、导数及其应用
三、微积分基本定理 一般地， 如果 f(x)是在区间[a， b]上的连续函数， 且 F′(x)＝f(x)， 那么∫af(x)dx＝ F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理， 又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作 ＝F(b)－F(a)． ，即∫af(x)dx＝
第二章 函数、导数及其应用
第十四节
定积分与微积分基本定 理(理)
第二章 函数、导数及其应用
[主干知识梳理] 一、定积分的性质
b b 1.∫akf(x)dx＝ k∫af(x)dx (k 为常数)； b b b ∫ ∫ ∫ 2. a[f1(x)± f2(x)]dx＝ af1(x)dx± af2(x)dx ； b c b ∫ ∫ ∫ 3. af(x)dx＝ af(x)dx＋ c f(x)dx (其中 a<c<b)．
非负，而定积分的结果可以为负．
第二章 函数、导数及其应用
定积分的计算
[典题导入] 求下列函数的定积分．
2 (1)∫1(x2＋2x＋1)dx；
(2)∫0 (sin x－cos x)dx；
2 (3)∫1|3－2x|dx.
π
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第2章 第9节 函数与方程
课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12， 又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0.]2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根C [由f (x )在[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1，1]上有唯一实数根．] 3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：( )A ．区间[1，2]和[2，3]B ．区间[2，3]和[3，4]C ．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]D ．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]C [因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0， 所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．]4．(2014·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10C [依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]内的零点个数是8.]5．(2014·广东韶兴一模)已知函数满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈[1，3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，函数g (x )＝f (x )－ax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e A [当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，则1＜1x ≤3，∴f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln 1x ＝－2ln x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，ln x ，x ∈[1，3].g (x )＝f (x )－ax 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内有三个不同零点，即函数 y ＝f （x ）x 与y ＝a 的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上有三个不同的交点．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，y ＝－2ln x x ，y ′＝2（ln x －1）x 2＜0，∴y ＝－2ln x x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1上递减，∴y ∈(0，6ln 3]．当x ∈[1，3]时，y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2， y ＝ln xx 在[1，e]上递增，在[e ，3]上递减． 结合图象，所以y ＝f （x ）x 与y ＝a 的图象有三个交点时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e .]二、填空题6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析 因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0，0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案(0，0.5)f(0.25)7．(2014·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2<k<3.答案(2，3)8．(2014·太原模拟)若函数f(x)＝|x|＋a－x2－2(a>0)没有零点，则实数a的取值范围为__________．解析在平面直角坐标系中画出函数y＝a－x2(a＞0)的图象(其图象是以原点为圆心、a为半径的圆，且不在x轴下方的部分)与y＝2－|x|的图象．观察图形可知，要使这两个函数的图象没有公共点，则原点到直线y＝2－x的距离大于a，或a> 2.又原点到直线y＝2－x的距离等于1，所以有0<a<1，或a＞2，由此解得0<a<1或a>2.所以，实数a的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．答案(0，1)∪(2，＋∞)三、解答题9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－1 4.综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解析设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32. ②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f （2）≥0，∴⎩⎨⎧（m －1）2－4≥0，－3<m <1，4＋（m －1）×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x (x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析 (1)g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，所以m ≥2e. (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根， 则g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， 其图象对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2，又由(1)知g (x )在x ＝e 处取得最小值2e ，故当m－1＋e2>2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第十三节
课时作业一、选择题1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )A [∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2≤－2f （x ）x 2≤0.则函数f （x ）x在(0，＋∞)上是单调递减的， 由于0<a <b ，则f （a ）a ≥f （b ）b .即af (b )≤bf (a )．]2．(2014·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C [依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.] 3．(2014·浙江省名校联考)设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( )A ．5 B. 5 C ．3D.7D [∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立， ∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max . 记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D.]4．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2aC [如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·VπR 2＝ 2πaR 2＋2bVR ， ∴y ′＝4πaR －2bVR 2. 令y ′＝0，得2R h ＝ba .]5．(2014·东北三省三校联考)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的图象大致是( )B [利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质． 由f (x )＝0且a ＞0得函数有两个零点0，2a ，排除A 和C ；又因为f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，有Δ＝(2－2a )2＋8a ＞0恒成立，所以f ′(x )＝0有两个不等根，即原函数有两个极值点，排除D ，故选B.]6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3＋3x 2＋1（x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12ln 2 C ．(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 D [当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是 x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x 在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.] 二、填空题7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析 在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1. 答案 (－∞，－1)∪(0，1)8．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案 (－2，2)9．(2014·广州模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________．解析 (构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1x 3. g (x )在区间[－1，0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 4 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x . ∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x ＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝（1－x ）（2x 2＋x ＋1）x.∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方．11．(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解析 (1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2.∴u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6，9)时，y ′>0； 当x ∈(9，11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6，9)上是递增的，在(9，11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12．(2014·济南模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解． 解析 (1)∵当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx .当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.(2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意． ②若a <－1e ，则由f ′(x )>0得a ＋1x >0， 即0<x <－1a ，由f ′(x )<0得a ＋1x <0，即－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a ＝e －2，即a ＝－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求． (3)由(1)知，当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e)上单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在(e ，＋∞)上单调递减． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1.∴g (x )<1. ∴|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12.∴当a ＝－1时，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解．。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第13节 导数的应用(二)(课时讲课)
所以[f(x)]min＝f1a＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件；
第二章 函数、导数及其应用
当1a≥e 时，f(x)在(0，e]上单调递减， [f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3， a＝4e(舍去)，所以，此时 a 不存在． 综上，存在实数 a＝e2，使得当 x∈(0，e]时 f(x)有最小值 3.
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录] (1)∵f(x)＝x－ln x， f′(x)＝1－1x＝x－x 1， ∴当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减； 当 1<x<e 时，f′(x) >0，此时 f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为 f(1)＝1.
第二章 函数、导数及其应用
[互动探究] 在本例条件下，是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．
第二章 函数、导数及其应用
解析 假设存在正实数 a，使 f(＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值
3.因为 f′(x)＝a－1x＝ax－x 1，
当
1 0<a<e
时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，e上单调递增，
第二章 函数、导数及其应用
解析 (1)g(x)＝ln x＋kx， ∴令 g′(x)＝x－x2 k＝0 得 x＝k. ∵x>0，∴当 k≤0 时，g′(x)>0. ∴函数 g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当 k>0 时 g′(x)>0 得 x>k；g′(x)<0 得 0<x<k， ∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．
第二章 函数、导数及其应用
(2)由(1)知，f(x)在[－2，2]上单调递减． 故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2， ∴m<2－e2时， 不等式f(x)>m恒成立． 故m的取值范围为(－∞，2－e2)．
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第七节
课时作业一、选择题1．(2014·江苏无锡一模)化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的结果为( ) A ．2x 2y B ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2yD [416x 8y 4＝424·（x 2）4y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .故选D.]2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7C ．9D ．11B [由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.]3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )B [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．]4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域( ) A ．[9，81] B ．[3，9]C ．[1，9]D ．[1，＋∞)C [由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，可知C 正确．]5．(2014·福建泉州一模)设函数f (x )定义在R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 B [由已知条件知f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43. 又当x ≥1时，f (x )＝3x －1在(1，＋∞)上递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.故选B.] 6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 D [因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12； 解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2.综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2.]二、填空题7．⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________． 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案 28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案 m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________． 解析 由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．答案 (－∞，2]三、解答题10．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值． 解析 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1，2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1，2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解析 由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x＋2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．12．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解析∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.(1)∵f(1)>0，∴a－1a>0，又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝a x－a－x，∵f′(x)＝a x ln a＋a－x ln a＝(a x＋a－x)ln a>0，∴f(x)在R上为增函数．原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，∴x>1或x<－4，∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．(2)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－12(舍去)，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝32，∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的表示法课时作业 理
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————第2讲 函数的表示法1．若f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则( )A ．f (x )·f (－x )＝1B ．f (－x )＋f (x )＝0C ．f (x )·f (－x )＝－1D ．f (－x )＋f (x )＝13．(2017年安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －14．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x5．如图X221(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图X221(2)，则△ABC 的面积为( )(1) (2)图X221A ．10B ．32C ．18D ．166．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)7．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.8．(2016年浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.9．根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f a b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个“均值点”．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数．若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第2讲 函数的表示法 1．B 2.A3．A 解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x＋kb ＋b ＝x ＋2.∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.4．C 解析：将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )．故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )．故选C.5．D 解析：由y ＝f (x )的图象，得当x ＝4和x ＝9时，△ABP 的面积相等，∴BC ＝4，BC ＋CD ＝9，即CD ＝5.易知AD ＝14－9＝5.如图D90，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵∠B ＝90°，∴DE ＝BC ＝4.在Rt △AED 中，AE ＝AD 2－DE 2＝3.∴AB ＝AE ＋EB ＝3＋5＝8.∴S △ABC ＝12AB ×BC ＝12×8×4＝16.图D906．D 解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x ，f －x －g －x ＝e －x，即⎩⎪⎨⎪⎧f x－g x ＝e x，－f x －g x ＝e －x ，解得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝e x＋e －x－2.所以f (2)＝e 2－e －22，f (3)＝e 3－e－32，g (0)＝－1.显然g (0)<f (2)<f (3)．故选D.7．5 解析： ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.8．－2 1 解析：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )·x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2.解得a ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.9．解：(1) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，得f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1.∴a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)令t ＝1－x 1＋x ，由此，得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)．∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2.从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x.∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．10．解：(1)由定义知，关于x 的方程－x 2＋4x ＝f－f9－0在(0,9)上有实数根时，函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数．而－x 2＋4x ＝f －f 9－0⇒x 2－4x －5＝0，可解得x 1＝5，x 2＝－1.又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1∉(0,9)，故舍去]，∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点．(2)∵f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f －f －1－－在(－1,1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f －f －1－－，得x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1，x 2＝1. 又x 2＝1∉(－1,1)，∴x 1＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1. ∴所求实数m 的取值范围是0<m <2.。
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第2章 第6节 二次函数与幂函数
课时作业一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2( )A ．{x |0<x ≤2}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}D [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x ，故f (|x |)≤2⇒|x | ≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．]2．(2014·陕西榆林期末)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52B [由b ＞0，排除图象①②；若a ＞0， 则－b2a ＜0，排除图象④；由图象③得⎩⎨⎧a ＜0，a 2－1＝0，即a ＝－1.故选B.]3．已知f (x )＝x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )C [因为函数f (x )＝x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a ， 故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .]4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)D [由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c .]5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0，2]D [二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减， 则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0，1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.]6．(2014·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 C [令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1，5]上有交点， 则⎩⎨⎧f （1）≤0，f （5）≥0. 解得－235≤a ≤1.] 二、填空题7．(2014·太原模拟)当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是__________．解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案 h (x )＞g (x )＞f (x )8．(2014·临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝__________．解析 由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3<0， 由m 2－2m －3<0得－1<m <3， 又m ∈N *，故m ＝1，2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3. ∴m ＝2. 答案 29．(2014·郑州第一次质量预测)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2x )⊗(x －3)(x ∈R )．若函数y ＝f (x )－k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是__________． 解析 因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1b ，a －b ＞1，所以f (x )＝(x 2－2x )⊗(x －3)＝⎩⎨⎧x 2－2x ，（x 2－2x ）－（x －3）≤1x －3，（x 2－2x ）－（x －3）＞1 ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，1≤x ≤2x －3，x ＜1或x ＞2. y ＝f (x )－k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象恰有两个公共点．由图知当且仅当－1＜k ≤0时，y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象恰有两个公共点，故所求k 的取值范围是(－1，0]． 答案 (－1，0] 三、解答题10．(2014·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实数) (1)若a ＝1，作出函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解析 (1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋1，x ＜0，x 2－x ＋1，x ≥0，作图如右： (2)当x ∈[1，2]时， f (x )＝ax 2－x ＋2a －1，若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1，2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a ≠0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a －1， f (x )的图象的对称轴是直线x ＝12a .当a ＜0时，f (x )在区间[1，2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0＜12a ＜1，即a ＞12时，f (x )在区间[1，2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2. 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1. 当2＜12a ，即0＜a ＜14时，f (x )在区间[1，2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a ＜14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a ＞12.11．(2014·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解析 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 故－2≤b ≤0.。
创新方案高考人教版数学理总复习课件第二章 函数导数及其应用
B
)
A．2
B．－1 或 2
C．±1 或 2
D．1 或 2
解析：因为
??2x－2， x≥0，
y(km)与时间 x(min) 的关系．则
?
? ?
115x，x∈
[0
，30]
，
f(x)＝? 2， x∈?30，40?，
函数 y＝f(x)的解析式为
?1 ?? 10
x－2
，x
∈
[40
，60]
.
大一轮(yī lú·n高)复三习数学(shùxu·é创)理新科方案
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第二章 · 第1节
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(4)由 f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得 f(x)＋2f(－ x)＝2－x，②
①×2－②，得 3f(x)＝2x＋ 1－ 2－x.
2 x＋ 1－2－ x 即 f(x)＝ 3 .
故
f(x)的解析式是
f(x
)＝
2x＋
1－ 3
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第二章
函数、导数(dǎo shù)及其应用
第二章 函数、导数(dǎo shù)及其应用
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第1节 函数及其表示
大一轮(yī lún·)复高习三数学(shùxué·)理创科新方案
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第二章 · 第1节
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大一轮(yī lún·)高复三习数学(shùxu·é创)理新科方案
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课时作业
一、选择题
1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为
( )
A ．2(x 2－a 2)
B ．2(x 2＋a 2)
C ．3(x 2－a 2)
D ．3(x 2＋a 2)
C [f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．]
2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3
t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的
速度为
( )
A.194
B.174
C.154
D.134
D [∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝13
4.]
3．(2014·海口模拟)曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为
( )
A ．y ＝1
2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1
D ．y ＝2x ＋1 D [∵y ′＝(e 2x )′＝2e 2x ，k ＝y ′|x ＝0＝2·e 2×0＝2， ∴切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.]
4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a
等于
( )
A ．－1 B.1
2 C ．－2
D ．2
A [∵y ′＝－sin 2x －（1＋cos x ）cos x sin 2x ＝－1－cos x
sin 2x ，
∴
＝－1.
由条件知1
a ＝－1，∴a ＝－1.]
5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为
( )
A ．1 B. 2 C.22
D. 3
B [设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，
得x 0＝1或x 0＝－1
2(舍)． ∴P 点坐标(1，1)．
∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|
1＋1
＝ 2.]
6．(2014·衡阳模拟)已知函数f (x )＝e x ，则当x 1＜x 2时，下列结论正确的是
( )
A ．e x 1＞f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
B ．e x 1＜
f （x 1）＋f （x 2）
x 1＋x 2
C ．e x 2＞
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
D ．e x 2＜
f （x 1）＋f （x 2）
x 1＋x 2
C [设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，
则e x 2表示曲线f (x )＝e x 在B 点处的切线的斜率， 而
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
表示直线AB 的斜率，
由数形结合可知：e x 2＞f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
，故选C.]
二、填空题
7．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 解析 ∵f ′(x )＝1
x －2f ′(－1)x ＋3，
f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，
∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案8
8．(理)(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝__________．
解析y′＝k＋1 x.
因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，
由导数的几何意义得y′|x
＝1
＝0，故k＋1＝0，即k＝－1.
答案－1
8．(文)(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________．
解析由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，
由y′＝2ax－1
x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，
解得a＝1 2.
答案1 2
9．(2014·太原四校联考)已知M是曲线y＝ln x＋1
2x
2＋(1－a)x上的一点，若曲线在
M处的切线的倾斜角是均不小于π
4的锐角，则实数a的取值范围是__________．
解析依题意得y′＝1
x＋x＋(1－a)，其中x＞0.
由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π
4的锐角得，对于任意正数x，均有
1
x＋x＋(1－a)≥1，即a≤1
x＋x.
当x＞0时，1
x＋x≥2
1
x·x＝2，当且仅当
1
x＝x，
即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是(－∞，2]．答案(－∞，2]
三、解答题
10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．
解析 f ′(x )＝3x 2
＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 32
－9－a 23，
即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 2
3， 因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 2
3＝－12， 即a 2＝9，即a ＝±3.
11．设函数f (x )＝ax －b
x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为
7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4x －3， 当x ＝2时，y ＝1
2. 又f ′(x )＝a ＋b
x 2，
则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3
x .
(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，
由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋3x 20·(x －x 0)，
即y －⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．
令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－6x 0.
令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪
－6x 0|2x 0|
＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
12．(2014·九江模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x ＋x (其中e 为自然对数的底数)．
(1)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；
(2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由． 解析 (1)∵f (x )＝a
x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a
x 2.
①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；
②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减， 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增； ③若a ≥e ，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减． (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x )′＋1 ＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋ln x －1e x ＋1，
由(1)易知，当a ＝1时，f (x )＝1
x ＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值 f (x )min ＝f (1)＝0，
即x 0∈(0，＋∞)时，1
x 0
＋ln x 0－1≥0.
又e x 0＞0，∴g ′(x 0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1＞0.
曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解． 而g ′(x 0)＞0，
即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在．。