21.2.2二次函数的图像和性质2
21.2.2 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
呢?本节课我们就来研究有关问题．
讲授新课
的图象和性质 一 二次函数 y=a(x+h)²
问题引导
1 问题：利用描点法画出二次函数 y ( x 1) 2 2 1 , y ( x 1) 2 的 2
图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
1 x 12 2 1 2 y x 1 2 y
2
1 2
1 2
1 2
y
o
－4
1 2 y x 1 2
1 2 y x 2
－2 －2 －4 －6
2
4
x
1 2 y x 1 2
归纳
二次函数y=a(x+h)2的图象的平移: 当向右平移 ︱h︱ 时 y=a(x-h)
2
y=ax2 当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)
2
y=a(x+h)2与y=ax2的形状、开口大小和开口方向相同. 抛物线y=a(x+h)2 可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移︱h︱个 单位得到，当h＞0时，向左平移；当h＜0时，向右平移.
1 1 2 画出函数 y x 2 和 y x 2 的图象，说明这两个图 3 3
象之间的区别和联系.
当堂练习: 见《学霸》第一关练速度
抛物线y＝a(x+h)2的性质:
课堂 小结
-h （1）对称轴是直线x＝____; (-h,0) （2）顶点坐标是___________. 减小 ； (3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而______ 增大 在对称轴的右侧y随x的增大而________. （4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而
沪科版九年级上册数学21.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质2教案
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
上街区七中九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质2第4课时二次函数y
2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第4课时 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a)是教学的难点。
教学过程： 一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 －212 －4 －612…(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
21.2.2二次函数y=ax^2+k的图像与性质
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5Oຫໍສະໝຸດ -2x10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
做一做 1、画出函数y=2x2 的图象
X ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 Y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2
与抛物线 关于x轴对称，求a、b的值.
y 3x 1
2
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是中学数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。
本文将围绕二次函数的图像与性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x = -b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特点（1）开口方向：根据a的正负值可以判断二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
（2）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条特殊直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分。
（3）顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入计算得到。
（4）零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即函数值为0的点。
零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
3. 二次函数的平移通过对二次函数进行平移，可以改变其图像的位置。
平移的方式有两种：平移横坐标和平移纵坐标。
（1）平移横坐标：将二次函数的横坐标都加上一个常数h，可以使得图像向左平移h个单位；将横坐标都减去一个常数h，可以使得图像向右平移h个单位。
（2）平移纵坐标：将二次函数的纵坐标都加上一个常数k，可以使得图像向上平移k个单位；将纵坐标都减去一个常数k，可以使得图像向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，最大值对应开口向下的二次函数，最小值对应开口向上的二次函数。
最值可以通过求解二次函数的顶点坐标得到。
5. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，因此可以应用于物体的抛射运动问题；二次函数也可以用于建模和预测，如根据历史数据拟合二次函数，预测未来的趋势。
2020九年级数学上册21.2.2第2课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质同步练习沪科版
21.2.2 第2课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象和性质知识点 1 抛物线y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的关系1．抛物线y ＝12(x ＋5)2与抛物线y ＝12x 2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线y ＝12(x＋5)2可由抛物线y ＝12x 2向________平移________个单位得到．2．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得抛物线的表达式是( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)23．［教材练习第4题变式］将抛物线y ＝4(x －1)2平移得到抛物线y ＝4x 2，下列平移方法正确的是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位4．已知抛物线y ＝a (x －h )2向右平移3个单位后得到的抛物线是y ＝2(x ＋1)2，则a ＝________，h ＝________．5．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2与函数y ＝(x ＋3)2，y ＝(x －3)2的图象； (2)比较(1)中的三个图象之间的位置关系．知识点 2 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质 6．抛物线y ＝12(x ＋2)2的顶点坐标是( )A ．(2，1)B ．(2，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1) 7．对称轴是直线x ＝3的抛物线是( )A ．y ＝－3x 2－3B ．y ＝3x 2－3 C ．y ＝－12(x ＋3)2 D ．y ＝3(x －3)28．关于二次函数y ＝2(x ＋1)2的说法正确的是( )A ．抛物线y ＝2(x ＋1)2的开口向下 B ．当x ＝－1时，函数有最大值C ．当x >1时，函数值y 随x 的增大而减小D ．当x <－1时，函数值y 随x 的增大而减小9．已知抛物线y ＝a (x ＋h )2与抛物线y ＝2x 2的开口方向相反，形状相同，且抛物线y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标为(3，0)．(1)求抛物线y ＝a (x ＋h )2的函数表达式；(2)求抛物线y ＝a (x ＋h )2与y 轴的交点坐标．10．已知抛物线y ＝a (x ＋b )2的对称轴为直线x ＝－2，形状与y ＝5x 2相同，但开口方向相反． (1)求抛物线对应的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标、函数的最大值或最小值； (3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？11．如图21－2－11是二次函数y ＝a (x －h )2的图象，则直线y ＝ax ＋h 不经过的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图21－2－1112．若A (－134，y 1)，B (－54，y 2)，C (14，y 3)为二次函数y ＝(x －2)2的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________．13．如图21－2－12，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在抛物线y ＝ax 2上，C ，D 在x 轴上，AB 的中点E 在y 轴上，AB ＝4AD .已知矩形ABCD 的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C ，则点E ________(填“在”或“不在”)抛物线上．图21－2－1214．已知二次函数y＝3(x－m2)2(m为常数)，当x>2时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．15．在平面直角坐标系中画出函数y＝(x－2)2的图象，观察图象回答下列问题：(1)当3＜x≤5时，写出y的取值范围；(2)当y＜4时，写出x的取值范围．16．将抛物线y＝－2(x＋3)2分别按下列方式进行变换，直接写出变换后抛物线的函数表达式．(1)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿x轴翻折；(2)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿y轴翻折.17．如图21－2－13，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(3，4)，点B在y轴上．(1)求m的值及此二次函数的表达式；(2)P为线段AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，过点P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．图21－2－13教师详答1．左 52．C [解析] 将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位所得抛物线的表达式是y ＝(x －1)2.故选C . 3．C4． 2 －4 [解析] 平移不改变抛物线的开口大小与方向，所以a ＝2.抛物线y ＝a(x －h)2的顶点坐标是(h ，0)，向右平移3个单位后，顶点坐标是(h ＋3，0)，而抛物线y ＝2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)，所以h ＋3＝－1，即h ＝－4.5．解：(1)略．(2)三条抛物线的形状、开口方向和开口大小都相同．抛物线y ＝(x ＋3)2是由抛物线y ＝x 2向左平移3个单位得到的；抛物线y ＝(x －3)2是由抛物线y ＝x 2向右平移3个单位得到的．6．C 7. D 8. D9．[解析] 两条抛物线的形状相同，则对应函数表达式的二次项系数的绝对值相等．解：(1)根据题意，可知抛物线y ＝a(x ＋h)2中 a ＝－2，h ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －3)2. (2)由x ＝0，得y ＝－18，∴抛物线y ＝－2(x －3)2与y 轴的交点坐标为(0，－18)．10．解：(1)∵抛物线y ＝a(x ＋b)2的对称轴为直线x ＝－2，∴b ＝2.∵抛物线y ＝a(x ＋b)2与抛物线y ＝5x2的形状相同，开口方向相反，∴a ＝－5，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－5(x ＋2)2.(2)抛物线y ＝－5(x ＋2)2的顶点坐标为(－2，0)，顶点为抛物线的最高点，故函数有最大值0. (3)当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大． 11． B[解析] 由题图可知a>0，h<0，所以直线y ＝ax ＋h 不经过第二象限． 12．y 1＞y 2＞y 3[解析] ∵二次函数y ＝(x －2)2的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．又∵－134＜－54＜14＜2，∴y 1＞y 2＞y 3.13．在 [解析] 根据矩形ABCD 的周长为10，得AB ＋AD ＝5.又∵AB＝4AD ，∴AB ＝4，AD ＝1.故点A(2，－1)，点C(－2，0)，点E(0，－1)．把点A 的坐标(2，－1)代入y ＝ax 2，得－1＝22·a ，解得a ＝－14，则平移后的抛物线的表达式为y ＝－14(x ＋2)2.当x ＝0时，y ＝－1，∴点E 在抛物线上．14．解：∵二次函数y ＝3(x －m 2)2的图象的对称轴为直线x ＝m2，且开口向上，∴当x>m2时，y 随x 的增大而增大，∴m2≤2，即m≤4. 15．解：画函数图象略，观察图象可得： (1)1＜y≤9. (2)0＜x ＜4.16．[解析] 确定关于对称轴对称的抛物线的函数表达式时，可以分两步走： (1)确定抛物线的开口方向及开口大小：沿x 轴翻折，抛物线开口相反；沿y 轴翻折，抛物线开口方向不变．抛物线的开口大小没有发生改变．(2)确定抛物线的顶点坐标：根据原抛物线的顶点坐标，写出其关于x 轴或y 轴对称的坐标．解：(1)两条抛物线关于x 轴对称，开口方向相反，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即y＝2(x＋3)2.(2)两条抛物线关于y轴对称，开口方向相同，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即y＝－2(x－3)2.17．解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x＋m上，∴4＝3＋m，∴m＝1.设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.∵点A(3，4)在二次函数y＝a(x－1)2的图象上，∴4＝a×(3－1)2，∴a＝1，∴所求二次函数的表达式为y＝(x－1)2，即y＝x2－2x＋1.(2)设P，E两点的纵坐标分别为y P和y E.则PE＝h＝y P－y E＝(x＋1)－(x2－2x＋1)＝－x2＋3x，即h＝－x2＋3x(0＜x＜3)．。
二次函数的基本性质和图像
二次函数的基本性质和图像二次函数是高中数学中的一种重要函数，它的图像形状为抛物线。
在学习二次函数之前，我们需要了解一些基本性质和图像特征。
本文将介绍二次函数的基本性质和图像特点，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 最值点当二次函数的开口方向向上时，函数的最值点为抛物线的顶点，记作（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
当二次函数的开口方向向下时，函数的最值点为抛物线的谷点。
3. 对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线的最值点和对称轴的直角中点所得直线。
对称轴与x轴垂直，并且通过抛物线的顶点。
4. 零点二次函数的零点即函数的根，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
二次函数的零点可以有0个、1个或2个零点，取决于二次方程的判别式b²-4ac 的值。
三、二次函数的图像画法和变换1. 平移变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当x平移h个单位和y平移k 个单位时，变换后的函数表达式为f(x-h)+k。
2. 垂直方向的伸缩变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当a变为ka(k≠0)时，函数的图像在y轴方向上发生伸缩。
当a>1时，抛物线变瘦高；当0<a<1时，抛物线变粗矮；当a<0时，抛物线变为开口向下。
3. 水平方向的伸缩变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当b变为kb(k≠0)时，函数的图像在x轴方向上发生伸缩。
当b>1时，抛物线朝y轴正方向平移；当0<b<1时，抛物线朝y轴负方向平移；当b<0时，抛物线左右翻转。
二次函数的图像与性质 (2)
二次函数y= ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象
上正下负 当k > 0 时 向上平移k个单位得到.
当k < 0 时 向下平移-k个单位得到.
函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y=2
a>0时,向上 a<0时,向下
y轴
（0,0）
y=ax2+k a>0时,向上 a<0时,向下
y轴
（0,k）
二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,
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自学检测 ：
1. 函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向 上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 下平移 1个1 单位得到。
2. 将函数y=-3x2+4的图象向 平下移 个单4 位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平上移 个7
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
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1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大
致图象是（ ） B y
A.
y
B.
0
y C.
x
D.
0
x
y
0
x
0
x
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2. 函数y=ax2+a与y=
的大致图象是（ ）
y A.
（xa a≠0)在同一坐标系中
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基础练习
：
7. 函数y=ax2-a与y=
a (a 0) x
在同一直角坐标系中的图象可能是 （
）A
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2.2二次函数的图像与性质2
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有 什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
y=2x2+1 y=2x2
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
二次项系数均为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
在同一坐标系中作二次 函数y=-2x2+1和y=-2x2 的图象,会是什么样?
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象 有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
y轴
图像位置
当c>0时,在x轴的上方 当c<0时,与x轴相交.
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
开口方向
向上
向下
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
课件2：2.2.2 二次函数的性质与图象
（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数， 在[－4, + ∞)上是增函数.
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2， 记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
对于任意一个特殊的二次函数y=ax2， 当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的 绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象 就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。
在同一坐标系中，对于函数y=ax2图像的 开口程度是怎样变化的？
当a的绝对值逐渐变大时，抛物线的开口逐渐 变小.
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图像
函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它 的定义域是R.
特别地，当b=c=0时，则二次函数变为 y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。
A.-6
B.11
C.
1 4
1
D. 4
3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),
那么a的取值范围是（ ）
C
A.a ≥ 0
B.a≤0
C. 0≤ a ≤4
D.a ≤0或 a ≥4
4、函数y=ax2+bx+c(a<0)的最大值小于0，则b2-4ac是( B )
3
[－ 1 ,+∞)上是增函数。 3
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y
1 3
x2
-1
上有两点(x1
，y1
)
和(x2, y2 )，若x1＜ x2，请比较 y1 与 yy2大小。
O
x
3、已知一个二次函数图像的顶点在y轴上， 且图像经过点(–1,0)、 (2,3)，求该二次函 数解析式。
解：设解析式为y＝ax2+k
4、(1)二次函数 y 1 x2 和 y 1 x2的图象
y=2x2+2 y=2x2
a＞0
y=2x2-2
1)开口方向、顶点坐标、
y 1
对称轴、增减性.
8
2)当x分别取何值时, 这三个
6
函数取得最小值？最小值分
4
别是多少？ 2
3)对于同一个x,这三个函数 -3 -2 -1 o
对应的y之间有啥关系？
-2
1 2 3x
4)这三个函数图象在位置上有啥关系？
在同一直角坐标系中画出函数
(8)函数y= πx2–1的图像与x轴有 2 个交点。
y=ax2+k
a>0
a<0
图像
开口方向 顶点坐标
对称轴
k>0
向上
k<0
(0 ,k)
y轴
k>0 k<0
向下
增减性
当x<0时，y随着x的增大而减小。当x<0时,y随着x的增大而增大。 当x>0时，y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。
做事要有远见、有规划。
y=ax2 (a≠0)
图 象
a>0 y
Ox
a<0
y
O
x
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0 ,0)
(0 ,0)
对称轴
y轴
y轴
增减性
最值
当x<0时，y随着x的增大而减小。当x<0时,y随着x的增大而增大。
当x>0时，y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
(3)抛物线y=-36x2+52的开口 向下 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是 (0,52，) 在对称轴的左侧，
y随x的增大而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的 增大而 减小，当x= 0 时，取得最 大 值，这个 值等于 52 。
(4)函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
最值
x=0时,y最小=k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上
下平移得到.
y
1、已知抛物线 y 1 x2，
2
把它向下平移，得到的 抛物线与x轴交于A、B A
x
OB
两点，与y轴交于C点，
C
若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线
应向下平移几个单位？
2、已知抛物线
有什么关系?
2
2
(2)二次函数 y 1 x2 2 的图像通过怎
2
样的变换可以得到 y 1 x2 - 2的图像。 2
5、(1)物体从某一高度落下，已知下落的高
度h(m)和下落的时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是
t的二___次_函数，它的图象是_抛__物__线__在__第__一__，
顶点坐标为（__0_，__0_）_.
y 1 x2 3
y2
1 3
x2
2
1）开口方向 2）对称轴
y1
1 x2
32
y 2
的图像。
1
3）顶点坐标 4）位置
x
5）增减性 6）最值
y2
向上平移
1 3
x2
2个单位
y
向下平移
1 3
x
2
2个单位
y1
1 3
x2
–4
2
2
–3 –2 –1O 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4
–5 a＜0
顶点坐标、对称轴呢？
象限的部分
(2它离地面的高度h(m)与下落时间t(s)的关系 为h=100-4.9t2,则h是t的_二__次__函数，图象是 _抛__物__线__在__第__一__，顶点坐标是（__0，__1_0_0_）_. 象限的部分
如果今天你不活在未来, 那么明天你将活在过去。
(1)函数y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象 向 下 平移11个单位得到;将函数y=-3x2-4的 图象向 上 平移 4 个单位可得y=-3x2的图象. (2)将抛物线y=4x2 -2向上平移3个单位，所得 的抛物线的函数式是 y=4x2+1 ; 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛 物线的函数式是 y=-5x2-4 。
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一平面直角坐标系中画出函数 y＝2x2 、y＝2x2＋2、 y＝2x2－2的图像。
列表：
x y=2x2 y=2x2+2 y=2x2-2
-2
-1
0
8
2
0
10 5
2
6
0
-2
1
2
2
8
4
10
0
6
仔细观察表格，你能否在不画图像的情况 下得出函数y＝2x2 、y＝2x2＋2、 y＝2x2－2的 图像之间的关系。
(5)已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )
且x1＜x2＜0，则y1 ＞ y2(填“＜”或“＞”)
(6)已知抛物线y=-x2–1上有两点
则y1 ＞ y2(填“＜”或“＞”)
(-1，y1
)
,(2，y2
)
(则7)x已1 不知能抛确物定线yx=2(5填x2“+1＜上”有或两“点＞(x”1，或7)"不,(x能2，确2定) ”)