第七讲 数列 1
高中数学课件-数列
数列的性质
1 有界性
数列有界指该数列中的数都在一定的范围内，有上界和下界。
2 单调性
数列单调指数列中的数是严格递增或递减的。
3 极限概念
极限是数列研究的重要概念，代表了数列在某一点趋近于的值。
数列的应用
1
求和公式
数列的求和公式是数列应用中的重要内容，可以帮助我们计算数列前n项的和。
2
推广应用
数列的应用远不止学科知识，还广泛应用于物理、经济、生物、天文等领域。
发展前景
人类文明的快速发展注定了数列在未来的地位，新的发现在繁杂的社会系统和自然界规律中 释放出无尽的创造力。
3
经典题型解析
数列也是高考数学中的重要考点，深入学习数列能够帮助我们更好地应对考试。
数列与未来
科学研究
物理、生物等领域正广泛应用数列算法，探索新的领域和发现。数列将会在未来的科学研究 中发挥更加重要的作用。
计算机编程
数列可以用于算法设计，图像处理和最优解问题等。计算机科学中对数列的研究成果已经逐 步应用于计算机程序设计中。
高中数学课件-数列
数列是高中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学学习中的重要内容之一。本课件以深入浅出的方式，引导学 生了解数列的基本概念，性质和应用，为学生提供系统的学习体验。
数列初步
数列的定义
数列是按照一定规律排列成的数 的集合。
数列的分类
包括等差数列、等比数列等。这 些数列都具有一定的规律性。
数列的通项公式
通项公式可以帮助我们计算数列 中任意一项的值，也是数列研究 的重要工具。
[数学]数列_教案_课件
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数学_数列_教案_课件PPT第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生了解数列的定义，理解数列是一种特殊的函数。
举例说明数列的常见形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质探讨数列的项、公差、公比等基本概念。
引导学生理解数列的递推关系，如通项公式、前n项和等。
第二章：等差数列2.1 等差数列的定义与性质引导学生了解等差数列的定义，理解等差数列的特点。
探讨等差数列的通项公式、前n项和公式等。
2.2 等差数列的求和引导学生掌握等差数列的求和公式，理解求和公式的推导过程。
举例说明等差数列求和的运用。
第三章：等比数列3.1 等比数列的定义与性质引导学生了解等比数列的定义，理解等比数列的特点。
探讨等比数列的通项公式、前n项和公式等。
3.2 等比数列的求和引导学生掌握等比数列的求和公式，理解求和公式的推导过程。
举例说明等比数列求和的运用。
4.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的定义，理解数列极限的意义。
探讨数列极限的性质，如保号性、夹逼性等。
4.2 数列极限的计算引导学生掌握数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
举例说明数列极限的计算运用。
第五章：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用引导学生了解数列在数学分析中的重要性，如函数的泰勒展开等。
探讨数列在数学分析中的应用实例。
5.2 数列在其他学科中的应用引导学生了解数列在其他学科中的应用，如物理学中的振动问题等。
探讨数列在其他学科中的应用实例。
数学_数列_教案_课件PPT第六章：数列的分类6.1 数列的分类介绍引导学生了解数列的分类，包括整数数列、有理数数列、实数数列等。
探讨不同类型数列的特点和应用。
6.2 数列的子序列引导学生了解数列的子序列的概念，理解子序列与原序列的关系。
探讨子序列的性质和应用，如子序列的极限与原序列的极限的关系。
7.1 多级数列的定义与性质引导学生了解多级数列的定义，理解多级数列的特点。
探讨多级数列的通项公式、前n项和公式等。
总结数列第一节知识点归纳
总结数列第一节知识点归纳数列是高中数学中重要的一个概念，它是指按一定规律排列的一组数。
数列的学习是数学学习的基础，而数列的第一节知识点是我们对于数列的认识和基本概念的初步了解。
本文将对数列的第一节知识点进行归纳总结。
1. 什么是数列数列是按照一定规律排列的一组数。
数列的构成元素有两个要素，即首项和公差。
首项是数列中的第一个数，而公差是数列中相邻两项之间的差值。
数列的一般形式可以表示为：{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，其中a₁表示首项，aₙ表示第n项。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。
初学等差数列，重要的是掌握如何计算任意一项和前n项的和。
3. 等差数列的性质（1）等差数列的项数无限。
（2）等差数列的相邻两项之间的差值是相等的。
（3）等差数列的平均数等于中间项。
4. 等差中项等差中项是指等差数列中两个已知项的中间项。
计算等差中项的方法是将已知项相加除以2。
若已知项为a和b，那么等差中项为(a+b)/2。
5. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。
对于初学等比数列的学生，要掌握如何计算任意一项和前n项的和。
6. 等比数列的性质（1）等比数列的项数无限。
（2）等比数列的相邻两项之间的比值是相等的。
（3）等比数列的前n项和等于首项与公比的幂次和减一的商。
7. 递推公式递推公式是指通过已知的一项或多项来推导出后面的项的公式。
对于等差数列，递推公式为：aₙ = aₙ₋₁ + d；对于等比数列，递推公式为：aₙ = aₙ₋₁ * q。
8. 数列的应用数列的应用非常广泛，涉及到很多实际问题。
例如金融领域中的利息计算、生物学中的生长规律、物理学中的运动规律等。
数列ppt课件
数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
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公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和
第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n 项和【命题角度聚焦 】(1)以客观题考查对基本概念、性质、通项及前n 项和公式的掌握情况，主要是低档题，有时也命制有一定深度的中档题，与其他知识交汇命题也是这一部分的一个显著特征． (2)以大题形式考查综合运用数列知识解决问题的能力． 【核心知识整合】 1．等差数列(1)定义式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)； (2)通项公式：an ＝a1＋(n －1)d ；(3)前n 项和公式：Sn ＝n a1＋an 2＝na1＋n n －1 d2； (4)性质：①an ＝am ＋(n －m)d(n 、m ∈N*)；②若m ＋n ＝p ＋q(m 、n 、p 、q ∈N*)，则am ＋an ＝ap ＋aq. 2．等比数列(1)定义式：an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)； (2)通项公式：an ＝a1qn －1；(3)前n 项和公式：Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1 q ＝1，a1 1－qn1－q q≠1. (4)性质：①an ＝amqn －m(n ，m ∈N*)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则aman ＝apaq(p 、q 、m 、n ∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0 【命题热点突破】考点1：等差数列、等比数列的基本运算、判定或证明 例1、(2014·乌鲁木齐地区诊断)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝18，等差数列{b n }中，b 1＝2，且a 1＋a 2＋a 3＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4>20.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .变式1、(理)(2013·全国大纲理，17)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．变式2、(理)(2013·湖北七市联考)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n 项和为Sn ；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n 项和Tn ＝nλ·bn ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值； (2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn 与12Sn 的大小．考点2：等差、等比数列的性质例2、(2013·合肥市质检)以Sn 表示等差数列{an}的前n 项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是( )A.2a3>3a4 B ．5a5>a1＋6a6 C.a5＋a4－a3<0D ．a3＋a6＋a12<2a7变式3、(2014·全国大纲理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6 B ．5 C ．4 D ．3[方法规律总结]条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别． 考点3：递推关系与求和例3、已知数列{an}的前n 项和是Sn ，且2Sn ＝2－an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn ＝an ＋n ，求数列{bn}的前n 项和Tn.变式4、(理)(2013·东北三省四市联考)数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝32(an －1)，数列{bn}满足11344n n b b -=- (n ≥2)，且b1＝3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足()2log 1n n n c a b =+，其前n 项和为Tn ，求Tn.变式5、(理)(2014·江西理，17)已知首项都是1的两个数列{a n }、{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .[方法规律总结]1.形如an ＋1＝an ＋f(n)的递推关系用累加法可求出通项；2.形如an ＋1＝anf(n)的递推关系可考虑用累乘法求通项an ；3.形如an ＋1＝kan ＋b(k 、b 为常数)可通过变形，设bn ＝an ＋bk －1构造等比数列求通项an ；4.给出an 与Sn 的关系式时，用an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)求解． 【命题角度1】由定理、公式、法则引起的分类讨论例4、已知f(x)＝x 3x ＋1，数列{an}满足a1＝13，an ＋1＝f(an)(n ∈N*)，(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等差数列；(2)记Sn(x)＝x a1＋x2a2＋ (x)an (x>0)，求Sn(x)．【命题角度2】抽象问题具体化、复杂问题简单化例5、已知等差数列{an}的公差d ≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．变式6、在等比数列{a n}中，a1＝a，前n项和为S n，若数列{a n＋1}成等差数列，则S n等于( ) A．a n＋1－a B．n(a＋1)C．na D．(a＋1)n－1【命题角度3】存在性问题例6、(2014·湖北理，18)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[方法规律总结]存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．变式7、(2014·新课标Ⅰ理，17)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【命题角度4】数列综合问题解题策略(2013·武汉模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n 项和课堂检测一、选择题1． (2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( )A ．21B ．24C ．28D ．72、(理)(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．63．(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．644．(理)(2013·新课标Ⅱ理，3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19D ．－195．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．06．(2014·哈三中二模)等比数列{a n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 21＋a 22＋a 32＋a 24＋a 25＝15，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5的值是( )A ．3 B. 5 C ．－ 5 D ．57．(2013·镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S 3＝－21，a 7是a 1与a 5的等比中项，那么在数列{na n }中，数值最小的项是( )A ．第4项B ．第3项C ．第2项D ．第1项二、填空题8．(2014·中原名校二次联考)若{b n }为等差数列，b 2＝4，b 4＝8.数列{a n }满足a 1＝1，b n ＝ a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 8＝________.9．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝________. 三、解答题10．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 2＋S 2＝31，a n ＋1＝3a n －2n (n ∈N *)(1)求证：{a n －2n }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .一、选择题11．(理)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．60012．(理)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( )A ．1－14n B.23(1－14n ) C ．1－12nD.23(1－12n ) 13．(2014·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1二、填空题14．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n 群，…，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．三、解答题15．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.16.(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .17．(文)(2014·吉林市质检)已知数列{a n }满足首项为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，(n ∈N *)．设b n ＝3log 2a n －2(n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }成等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .18、(理)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n (n ∈N *)．(1)求p 的值及a n ；(2)若b n ＝2(2n －1)a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >910成立的最小正整数n 的值．。
小学二年级奥数下册第七讲 数字游戏问题(一)练习+答案
第七讲数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律.一、找规律填写数列里面的数例1在□中填入适当的数.1 92 83 74 □分析题中共有8个数，前7个已经知道.最后一个需要填写.8个数中1+9=10，2+8=10，3+7=10，所以最后两个数是4+□=10.这样，□里应填6.解：1 9 2 8 3 7 4例2在□中填入适当的数.15 14 12 11 9 8 □□分析题中的数是按照从大到小的规律排列的.每两个数为一组，每两这道题也可以这样分析：15-1=14，14-2=12，12-1=11，11-2=9，9-1=8，8-2=6，6-1=5.解：例3在（）里填数.2 0 2 2 4 6 10（）分析观察发现 2+0=2，0+2=2，2+2=4，2+4=6，4+6=10.即前两个数相加的和是后面的数.这样最后一个数应是6+10=16.（）里应填16.解：2 0 2 2 4 6 10 （16）二、找规律填写表格中的数例4 在空格中填入合适的数.分析表格中的数分上下两排，每一排的数各有自己的规律.上排的数这样最后一个数应是13+5=18.下排的数是从5开始依次加4，加6，加8得这样下排最后一个数应是23+10=33.解：例5 在空格中填入合格的数.分析数字分成三组，前二组中的三个数字的和是20∶7+12+1=20，8+9+3=20，所以第三组中应是□+2+5=20，空格中的数是13.解：例6 在空格中填入合适的数.分析1 九个数分成三组，第一组中有8+18=2×13，即第一个数与第三个数的和是中间那个数的二倍，同样第三组中16+30=2×23.所以中间一组2×□=12+24，□中应填18.分析2将这九个数横的作一排，第一排中有8+4=12，12+4=16.即后面的数比前面的数大4.第三排中有18+6= 24，24+6=30，后面的数比前面的数大6.再看第二排应是13+5=18，18+5=23，所以空格中应填18.解：图表中的填数一般来说，既要注意横排，也要注意竖排.大部分问题是横竖结合寻找规律.三、找规律填写图形中的数例7 在空白处填入合适的数.分析每个图中都有三个圈，每个圈中填有数字.这三个数字之间有某种关系.分析第一个图发现6-5=1，1×2=2，分析第二个图同样有7-4=3，3×2=6，所以第三个图应该是8-3=5，5×2=10.第三个图中空白处应填10.解：从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律的过程.在找规律中一是要注意数字排列的顺序，看清它们所在的位置.二是把已经知道的数字进行简单变形，如相加，相减，乘2，乘3，除2等.三是发现规律之后按这个规律进行运算求出所需要的结果.习题七找规律填数：1.1，2，3，3，2，1，4，5，6，6，5，□.2.4，6，10，16，26，42，□.3.4，6，10，16，24，34，□.4.5.6.7.8.9.习题七解答1.解：.每三个数一组，前后两组数是对称排列的.2.解：.从第3个数开始，后面的数是它前面两个数的和.4+6=10，6+10=16，10+16=26，16+26=42，∴26+42=68.3.解：.从第2个数开始，后面的数是它前面的数依次加2，4，6，8，10，12得到的，即4+2=6 6+4=1010+6=16，16+8=24，24+10=34∴34+12=46.4.解：，每一竖排中的三个数按上、下、中的顺序依次排列，所以第3列中最下面一个数是8，第4列中间的数为10·5.解：14.每个图中，圈左边的数减去圈右边的数再加上圈上边的数得到圈里的数.6.解：.把横线下面图中的两个数相加减去三角形中的数就得到正方形里的数.7.解：在上排圆中，从第2个数开始是把它前面的数依次加上2，3，4，5得到.在下排圆中，从第2个数开始是依次把它前面的数依次加上4，6，8，10得到.8.解：16.从右上方开始，顺时针方向旋转，依次加上1，2，3，4，5得到后面的数.9.解：21.从左上方开始.逆时针方向旋转，依次加上1，3，5，7，9得到后面的数.。
第七讲 等差数列
计算 0.1+0.2+0.3+….+7.7+7.8
计算 200-0.3-0.6-0.9-….-5.1-5.4
计算 （0.2+0.4+0.6+…+9.8+10）（0.1+0.3+0.5+…+9.7+99）
• （1）这个数列的第13项 是多少？
•（2）这个数列的第130项是多少？ •（3）4.7是其中的第几项？
练习 一只小虫沿着笔直的树干往上 跳。它每条一次都能升高0.04米， 它从离地面0.1米处开始跳，如果把 这一处称为小虫的第一落脚点，那 么它的第101个落脚点正好是树梢， 这颗树高多少米？
例2 如果一个等差数列的第4项为2.1， 第6项为3.3，求它的第8项。
• （2）492.1是它的第几项。
练习 有一数列0.01，0.06, 0.11, 0.16…….
• （1）它的第20项的数是多少？
• （2）1.41是它的第几项。
• 通项公式 第n项=首项+（n-1）*公差
项数公式 项数=（末项-首项）÷公差+1
•求和公式
和=（已知等差数列0.2， 0.5 ，0.8 ，1.1 ，1.4……
练习 如果一个等差数列的第5项是 11.9，第8项是16.1，求它的第11项 是多少？
练习 如果一个等差数列的第1项是 0.7，第9项是5.5，求它的第4项是 多少？
练习 在12.4和24.5之间插入10个数 以后，使它们称为一个等差数列， 插入的第10个数中，最小的是几？ 最大的是几？
例3 0.3+0.7+1.1+……+9.9
概述：等差数列 1+2+3+……+99+100=
最新语文版中职数学基础模块下册7.1数列的概念1课件PPT.pptx
项数无限的数列叫做无穷数列
二、 数列的分类
从第2项起，每一项都大于它的前一项 的数列叫做递增数列.例如
1，2，3，4，5，···n， ···.（1）
从第2项起，每一项都小于它的前一项 的数列叫做递减数列.例如
1，1 ，1 ，1 ，1 ，···1 ，···. （2）
2 34 5 n 各项相等的数列叫做常数列.例如
(3).若数列有通项公式,形式未必唯一.
例如-1, 1, -1, 1, -1,……
an
1n
(1)(n2)
1, n (2k 1, n 2k.
1), k
N*.
五、数列的通项公式的应用 例2 写出数列的一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9；
2 5,5,5,5, ; 3 1, 0,1, 2,3, ; 4 1 , 1 , 1, 1 , .
2 4 8 16
2 an 5;
3 an n 2;
4
an
1 2
n
.
思考： an 与 an 有什么不同？
an 表示数列a1, a2 , a3, an , 而不是集合；
an
n
12 1
n 1
nn 2
n 1
五、数列的通项公式的应用
例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（3）
1 , 1 , 1 , 1 . 12 23 34 45
解：此数列的前4项的绝对值都等于
序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为 负，偶数项为正，所以通项公式是：
解：此数列的前四项3，5，7，9都是序 号的2倍加上1，所以通项公式是：
数列的概念和应用
数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。
2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。
3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。
4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。
5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。
6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。
(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。
(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。
4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。
(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。
(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。
(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。
第7讲 等差数列一带解析答案
第七讲等差数列（一）1、1，3，5，7……，第100个数是几？公差：3-1=21+（100-1）×2=1992、204，201，198……，第20个数是几？公差：204-201=3204-（20-1）×3=1473、第3个数是10，相邻的两个数之间的差都是3，第99个数是多少？10+（99-3）×3=2984、1，5，9，13……401，405，这个等差数列一共有多少个数？（405-1）÷4+1=1025、相邻两个数间的差是2，从9到77之间共有多少个数？（77-9）÷2+1=356、4个连续整数的和是94，求这4个数。
中间两个数的和为94÷4×2=47中间两个数为别为23、244个数：22、23、24、257、5个连续整数的和是180，求这5个数。
中间数：180÷5=3634、35、36、37、388、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？中间数（第8个数）：1995÷15=133公差：2第15个数：133+（15-8）×2=1479、6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？中间两个数的和为：7878÷2=39中间两个数为38、406个连续偶数为：34、36、38、40、42、4410、有60个数，第一个数是7，第二个数开始，后一个数总比前一个数多4，求这60个数的和。
7+（60-1）×4=243（243+7）×60÷2=750011、计算：409+399+389+379+……+19项数：（409-19）÷10+1=40（19+409）×40÷2=856012、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。
小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？小王第10秒跑：1+（10-1）×0.1=1.9（米）（1+1.9）×10÷2=14.5（米）小胡：1.5×10=15（米）14.5米＜15米所以小胡获胜。
第一章第七讲-等比数列(第2课时)
2．等比数列中的设项方法与技巧
a 2 ， a， aq a ， aq ， aq ___________或________ ． q
(1) 若三个数成等比数列，可设三个数为 (2) 若 四 个 数 成 等 比 数 列 ， 可 设
a，aq，aq2，aq3 ； 若 四 个 数 均 为 正 ( 负 ) ________________
2 a ＝16 q 2a －a· aq＝－128 q
，
a＝8 a＝－8 解得 或 .因此所求的四个数为－4,2,8,32 或 q＝4 q＝4
4，－2，－8，－32.
[小结] (1)根据四个数中前 3 个成等差、后三个成等比列方程 时，可以据后三个成等比用 a、q 表示四个数，也可以据前三个 成等差，用 a、d 表示四个数，由于中间两数之积为 16，将中间 a 两个数设为 ，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方 q 便． (2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为 x，则第二 16 32 x3 个数为 ，则第一个数为 －x，最后一个数为 ，再利用首尾 16 x x 两数之和为－128 可列出关于 x 得 x＝± 8，则更简捷．
不 为 0) 组 成 一 个 新 数 列 ， 仍 是 等 比 数 列 ， 其 公 比 为
________ qm ．
(8){an}是等比数列，c是正数，则数列{can}是________ 等比 数列． (9){an} 是等比数列，且 an>0 ，则 {logaan}(a>0 ， a≠1) 是 ________ 等差 数列．
a＋d2 a－d＋ ＝16， a 由条件得 a＋a＋d＝12， a＝4 解得 d＝4 a＝9. 或 d＝－6.
所以，当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16.
数列的概念ppt课件
对于D,a3=9+5=14≠12,故D错误.
)
2.在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的(
A.第16项
B.第24项
C.第26项
D.第28项
)
【解析】选C.设题中数列为{an},则a1=1= 1,a2=2= 4,a3= 7,a4= 10,a5= 13,…,
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
题号
1
2,3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列5,2,0与2,0,5是同一个数列.( × )
提示:(1) 两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;
(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( √ )
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × )
微点拨 (1)并不是所有的数列都有通项公式;
(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.
3.数列的分类
递增数列
an+1>an
∀n∈N*,________
单
递减数列
an+1<an
∀n∈N*,_______
调
常数列
∀n∈N*,an+1=an
性
摆动数列
周期性
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一
【解析】(2)符号可通过(-1)n或(-1)n+1调节,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的
绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
7.1数列的概念.
无穷数列
常数列
数
列 递增数列
的
递减数列
分
类 常数列
按增减性分类
() , , , , ⋯ ⋯
() , , , , ⋯ ,
递增数列
递增数列
() , , , , , , ⋯ ⋯
;
() = (−)+ .
+
例2.写出数列{ }的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.
(), , , ; () , , , ; () −
,
,−
,
× × × ×
例3.设数列{ }的通项公式是 = + ,问是否为该数列的项？
.
3.根据下列通项公式,写出数列的前5项.
() = ;
() = ( + ).
4.设数列的一个通项公式是 = − ,试写出这个数列的前5项,
并求出相邻两项中后一项与前一项的差.
.
()数列, , 与数列, , 是相同的数列;
( x )
()数列, , 与数列, , 是相同的数列.
( √)
2.填空题.
()数列 , , ,104, ⋯的一个通项公式为 = 10n
()数列, , , 16 ,,,⋯的一个通项公式为 =
() , , , , , , , , , , ⋯ ⋯
递减数列
常数列
数列的通项公式
一般地,当一个数列的第项与项数之间的关系可以用
一个式子来表示,这个式子称为这个数列的通项公式.
注意：不是所有的数列都有通项公式.
例1.根据通项公式,写出下列数列{ }的前5项.
课件7：2.1.1 数列
数列
集合
示例
数列中的项是有序
如数列 1,3,4 与
区 别
的，两组相同的数 字，按照不同的顺序 排列得到不同的数
列
数列中的项可以重 复出现
集合中的元素是 无序的
集合的元素满足 互异性，集合中的 元素不能重复出
[类题通法] 按项的变化趋势对数列分类的步骤： (1)当给出数列的全部项时，按递增数列、减递数列、常数 列、摆动数列的定义来确定． (2)当给出数列的通项公式时，常常用作差的方法，通过判 断差的符号来确定．对 n∈N+，
当 an＋1－an>0 时，{an}为递增数列； 当 an＋1－an<0 时，{an}为递减数列； 当 an＋1－an＝0 时，{an}为常数列； 当 an＋1－an 的符号不确定时，{an}为摆动数列．
变式训练 3 已知数列{an}中，通项公式 an＝n2＋kn(n∈N+)，若 数列{an}是单调递增数列，求实数 k 的取值范围． 解：方法一：由通项公式 an＝n2＋kn(n∈N+)，知 an 是 n 的二次 函数，其对称轴方程 n＝－2k.
由于数列{an}是单调递增数列， 即 a1<a2<a3<…，所以－2k<32，即 k>－3.
(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公 式．如 2精确到 1,0.1,0.01，…的不足近似值排成的数列就不能 用通项公式表示．
(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的．如摆动 数列：－1,1，－1,1，－1,1，…，通项公式可以写成 an＝(－1)n， 也可以写成 an＝－ 1，1， n为n为 偶奇 数.数，
数列的概念 课件
2.数列是特殊的函数:数列的项是函数值,序号是自变量,自变量只能取正整数.
数列与函数
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
0
●
●
●
●
●
●
数列 8，4，2，1, 0.5 , …的图象
数列的图象表示
数列的图象是一群孤立的点
如果数列 {an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
6
12
8
64
1
36
256
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
思考2:数列项与项数是何关系？
1. 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列 项 4 5 6 7 8 9 10 项数 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列。
1、
2、
解：1、注意分母是 22，23，24，25，… ，分子比分母少1，故
2、由奇数项特征及偶数项特征得
写出下列数列的一个通项公式.
思考题
（5）0，1，0，1，0，1，…
找数列的通项公式解题规律为: 1.观察数列中每个数与项数的关系,这些关系包括:平方(立方)关系,乘积关系,倒数关系,幂的关系,根式关系等. 2.善于引入符号因式(-1)n或(-1)n-1解决正负关系等; 3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项可统一写成 ; 4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归纳为一公式:
数列极限性质
第七讲 数列极限的性质定理7.1 （有界性）收敛的数列必定有界。
证明：lim ,n n x a →∞=设 由定义6.2，1,ε=取0,1,n N n N x a ∃>>−<则使得当时恒有1 1.n a x a −<<+即有 1max{,,,1,1},N M x x a a =−+ 记,,n n x M ≤则对所有正整数皆有{}n x 故有界。
推论7.1 无界数列必定发散.定理7.2 （唯一性）每个收敛的数列只有一个极限.证明一：lim ,lim ,n n n n x a x b →∞→∞==设又 由定义6.2， 120,,.N N ε∀>∃使得1;n n N x a ε>−<当时恒有 2;n n N x b ε>−<当时恒有{}12max ,,N N N =取n N >则当时有 ()()n n a b x b x a −=−−−n n x b x a ≤−+−2.εεε<+=因为ε可以取任意小的正数，故.a b =上式仅当时才能成立 从而得到收敛的数列，它的极限是唯一确定的。
证明二：lim ,lim ,n n n n x a x b →∞→∞==设又 并且假设a b <。
取正数2b aε−<，则区间(,)a a εε−+与区间(,)b b εε−+互不相交。
但由极限的几何描述可知，lim n n x a →∞=意味着数列{}n x 只有有限多项落在(,)a a εε−+之外。
另一方面，lim n n x b →∞=意味着数列{}n x 只有有限多项落在(,)b b εε−+之外。
这是不可能发生的，故必然有a b =。
从而得到收敛的数列，它的极限是唯一确定的。
定理7.3. 若lim n n x a →∞=， lim n n y b →∞=且a b <。
则N +∃∈ ，当n N >时，有n nx y <。
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第七讲 数列 1
性质：（1）若a ，b ，c 成等差数列得2b a c =+
若a ，b ，c 成等比数列得2b ac =
（2）若数列为等差数列则此数列的通项公式为n a An B =+
求和公式2n S An B =+。
（3）若数列为等比数列则此数列的通项公式为n n a Aq =
求和公式n n S A Aq =-
例6已知等比数列的求和公式为n S ，对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数x y b r =+上求r 的值。
解：由题意的
因为n n S b r =+，等比数列的求和公式n
n S A Aq =-
得r=-1。
练习：化简下列各式
（1）122n
n n n n -=
（2）111()()22n n --1111
11()()()2222n n n
--=-=-
（3）1
2log n b -2(1)log b n =-
（4）23...n x x x x (1)
2n n x +=
例7已知等比数列的公比2q =，2117n n
n n S S T a +-
=，求n T 的最大值。
解：211211(1)(1)
171711n
n n n
n n n a q a q S S q q
T a a q +------=
=
21
1716
116
(17)11n n n n n q q q q q q q -+=⋅=+---
（利用不等式的均值定理或时对勾函数的特殊性质） 得9
9(21)1n T q ≤=+-（由2q =）
(当且仅当16
n n q q =时，此不等式取最大值，则n=4)
n T 的最大值为9(21)+
例8已知等比数列{}n a ，25252n n a a -⋅=求1121
222log log ...log a
a
a n -++的值
思路分析：若求出1121
222log log ...log a
a
a n -++的值，只需找出其通项公式
212log n a
-，即求出等比数列{}n a 的通项公式即可，而由已知25252n
n a a -⋅=
可以利用等比数列的等比中项的性质求出n a 的表达式再将n a 转换成21n a -的表达式，进而利用对数式运算解出此题。
解：25252n n a a -⋅=
21
2121112
52522212
21222222
222log log 21
log log ...log 13 5 (21)
(121)
2n n n n n
n
n
n n a
n n a
a
a
a a a a a a n n n n n ------⋅=⇒=⇒==⇒==-⇒++=+++-+-==
等差数列与等比数列的综合
例1，已知等差数列{}n a 中，410a =，3610,,a a a 组成等比数列，求此数列的前20项的和20S 。
解：由题意得
方法一（通法）
因为等差数列{}n a ，2
6310a a a =
2111(5)(2)(9)a d a d a d ⇒+=++
2170a d d ⇒-=
又由41310a a d =+=
两式联立得110,0a d ==或17,1a d ==
则当110,0a d ==时，20200S =
当17,1a d ==时，20330S =。
注意(等差数列的公差是可以为零的，而等比数列的公比是不能为零的)
方法二（巧法）
因为等差数列{}n a ，
2
6310
2444(2)()(6)a a a a d a d a d =⇒+=-+
24100a d d ⇒-=
又有410a =
解得110,0a d ==或17,1a d ==
则当110,0a d ==时，20200S =
当17,1a d ==时，20330S =。