高三数学 周测(答案)
河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)
邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。
高三模拟周测二考试数学试题及答案
1 高2011级3班高三下期数学周测试题（二）（2011年9月21日）一、选择题：每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，仅有一项．．．．是符合题目要求的。
1.设集合{}{}1212,,,,,,,n mB a a a J b b b=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，定义集合B J⊕=()12{,a b a a a=++⋅⋅⋅12,}n ma b b b b+=++⋅⋅⋅+，已知{}51,21,28,B={}89,70,52J=,则B J⊕的子集为（）A. ()100,211 B.{}(100,211) C. ,∅{}100,211 D.,∅{}(100,211)2. 若110a b<<，则下列结论不正确的是（）22.A a b<2.B ab b<.2a bCb a+>.||||||D a b a b+>+3.下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3xπ=对称的一个函数是（）A．sin(6y xπ=-B．sin()6y xπ=+C．sin(3y xπ=+D．sin(2)3y xπ=-4.公差不为0的等差数列{}na中，23711220a a a-+=，数列{}n b是等比数列，且77b a=，则68b b=（）.A 2 .B4 .C8 .D165. 欢欢和迎迎等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.则欢欢和迎迎不在同一岗位服务的概率为（）A.110B.910C.14D.486256．函数()2cosf x x x=+在0,2π⎡⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A．2πB．２C．6πD．13π+7．若关于x的方程|21|x m-=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）.(0,)A+∞.(0,1)B.(1,)C+∞.[0,1]D8.下列命题不正确．．．的是（）A．,,,P A PB Bααα∉∈⊥为垂足，且A与B不重合，则PAB∠为P A与平面α所成的角B．,,,,l O l O A O Bαβαβ⋂=∈⊂⊂,,O A l O B l⊥⊥则AOB∠为二面角lαβ--的平面角C．,,A l AB Bα∈⊥为垂足，则A B为直线l到平面α的距离D．//,,,A B ABαβαβα∈∈⊥，则A B为平面α与平面β的距离9.设正三棱锥P－ABC的内切球半径为r，高为h，则条件h＝4r是正三棱锥P－ABC成为正四面体的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件10.在菱形ABCD中，若2AC=,则C A AB⋅=（）A.2B.2- C.cosAB AD.与菱形的边长有关11.已知)(xf是R上的偶函数，若将)(xf的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若(2)1,(1)(2)(3)(2009)f f f f f=-++++=则（）A．0B．1 C．－1 D．－1004.512.已知方程()f x=22x ax b++的两个根分别在(0,1),(1,2)内，则22(4)a b+-的取值范围为（）A. B. C.(17,20) D.(,20)815二、填空题：每小题4分，共16分。
高中高三数学上学期周测试卷 理(1.22,含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。
2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。
高三模拟周测四考试数学试题及答案
高2011级3班高三下数学（四）姓名 成绩一、选择题（每小题5分，共50分）1．若集合2{|,}M y x y x R ==∈，集合{|0,}N y x y x R =+=∈，则M N 等于（ ） A ．{|}y y R ∈ B ．{(1,1),(0,0)}- C ．{(0,0)} D ．{|0}x x ≥ 2．已知命题:00p xy x =⇒=；命题:q a b >是22ac bc >的充分不必要条件。
则（ ） A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p 或q ”为假 D ．“p 且q ”为真 3．方程lg ||xy x =的曲线只能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖5．点()00,y x M 是圆222r y x =+外一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（ ） A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、相交或相切 6．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ）A ．4B ．6C ．12D ．167． 设a >0, b >0,则以下不等式中不恒成立的是 （ ）A. 2a b b a+≥ B. b a -≥a -b C. a 2+b 2+2≥2a +2b D. a 3+b 3≥2ab 2 8、方程2121x x +=-的根的范围为（ ） 1(0,)2A 1(,1)2B 3(1,)2C 3(,2)2D 9、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是 （ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π） 10、已知椭圆22198x y +=，焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上任意一点（但P 点不在x 轴上），12PF F ∆的内心为I ，过I 作平行于x 轴的直线交12,PF PF 于,A B .则12PABPF F S S ∆∆=（ ）A ．21 B ．916C ．32D ．43二、填空题（每小题5分，共25分）11．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是___________12．已知集合{|121}N x a x a =+≤<-是集合{|25}M x x =-≤≤子集，则a 的取值范围为___ 13．将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的序号是________14、已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若(1)2g -=，则(2008)f 的值为15．已知点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，又点A 的坐标是 (5,4)， 则4|MF|－5|MA|的最大值为 .三、解答题（共75分）16、(本题满分12分) 在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，23ππ<<C 且.2sin sin 2sin CA Cb a b -=- （1）判断△ABC 的形状； （2）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅ 的取值范围17．（本题满分12分）已知点()1, 0F -和直线l ：2x =-，动点M 到点F 的距离与到直线l（I ）求动点M 的轨迹方程；（II ）设过点F 的直线交动点M 的轨迹于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线0x y +=上，求直线AB 的方程．18、（本小题满分12分） 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， AC =AD=CD=DE=2a ，AB =a ，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ；（2）求异面直线AC ，BE 所成角的余弦值； （3）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小.所满足的函数关系式以及日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式．（2）用y 表示该股票日交易额（万元），写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？20、(本题满分13分) 已知函数2()f x x a =-①求函数在区间[－1，1]内的最大值()M a (7分) ②求()M a 的最小值 (6分)21、 (本题满分13分) 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋．（1）问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a ；（3）求证：22221231124n S S S S n+++⋅⋅⋅+<-．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．若集合2{|,}M y x y x R ==∈，集合{|0,}N y x y x R =+=∈，则M N 等于（ ） D A ．{|}y y R ∈ B ．{(1,1),(0,0)}- C ．{(0,0)} D ．{|0}x x ≥2．已知命题:00p xy x =⇒=；命题:q a b >是22ac bc >的充分不必要条件。
2024-2025学年上海中学高三上学期数学周测1及答案(2024.09)
1上海中学2024学年第一学期高三年级数学周测一2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，{}|10B x x =−<，则AB =________．2．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为45，则a 的值为________．3．已知函数()221f x x =+，则()()22Δx f Δx f limΔx→−−=________．4．已知()()3993log log log log x x =，则x 的值为________． 5．已知()35P A =，()15P A B =，()1|2P A B =，则()P B =________．6．已知1tan 3x =，则sin sin cos 3cos 2cos 2cos x x x x x x +=________．7．已知等差数列{}n a 的公差为3π，且集合{}|,*n M x x sina n N ==∈中有且只有4个元素，则M 中的所有元素之积为________． 8．已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +平行，则b c +的最小值 为________．9．已知实数x ，y 满足491x y +=，则1123x y +++的取值范围是________．10．向量集合(){}|,,,S a a x y x y R ⊂=∈，对于任意a ，b S ∈以及任意[]0,1t ∈，都有()1ta t b S +−∈，则称集合S 是“凸集”．现有4个命题：①集合(){}2|,,M a a x y y x ==≥是“凸集”；②若S 是“凸集”，则集合{}2|T a a S =∈也是“凸集”； ③若1A ，2A 都是“凸集”，则12A A 也是“凸集”；④若1A ，2A 都是“凸集”，且交集非空，则12A A 也是“凸集”其中所有正确命题的序号是________．211．已知双曲线22:145x y C −=的左右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与C 的左、右支分别交于P Q 、（P ,Q 均在x 轴上方）．若直线1PF ，2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F的面积为k 的值为________．12．设函数()11xf x e =+图像上任意—点处的切线为1l ，总存在函数()sin g x a x =+(0)x a >图像上一点处的切线2l ，使得12∥l l ，则实数a 的最小值是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M 为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的事件是（ ）．A ．第一次朝上的数字是偶数B ．第一次朝上的数字是1C ．两次朝上的数字之和是8D ．两次朝上的数字之和是714．如图所示，曲线C 是由半椭圆221:1(0)43x y C y +=<，半圆()222:(1)10C x y y −+=≥和半圆()223:(1)10C x y y ++=≥组成，过1C 的左焦点1F 作直线1l 与曲线C 仅交于A ，B 两点，过1C 的右焦点2F 作直线2l 与曲线C 仅交于M ，N 两点，且12∥l l ，则AB MN +的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．615．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D．2024202412A B −<316．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且)cos a bC C =+．（1）求角B 的大小；（2）已知BC =，D 为边AB 上一点，若1BD =，2πACD ∠=，求AC 的长．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =． （1）求证：11BC A C ⊥；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)五月初某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文篮选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过则征文通过筛选；若均审核不通过则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为34，45，37，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布和期望．4520.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)设直线()0y kx b k =+≠与抛物线2:4C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12(0)y y a a −=>．M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ，导到ABD ；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点E 、F ，得到ADE 和BDF ；按此方法继续下去． （1）用k ，b 表示a ；（2）用a 表示三角形ABD 的面积ABDS；（3）根据以上结果，求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形的面积S ．621.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围．参考答案一、填空题1.(],2−∞;2.;3.-8;4.81;5.45; 6.109; 7.14;8.;9.(; 10.①②④；11.12.5411．已知双曲线22:145x yC−=的左右焦点分别是1F，2F，直线l与C的左、右支分别交于P Q、（P,Q均在x轴上方）．若直线1PF，2QF的斜率均为k，且四边形21PQF F的面积为k的值为________．【答案】【解析】由题意绘制示意图如图所示：由双曲线方程可得:2,3a c==,因为直线1PF、2QF的斜率均为k,所以直线12//PF QF, 在三角形12QF F中, 设2QF x=，则124QF a x x=+=+，设2QF的倾斜角为θ, 则由余弦定理得2236426x xcosx+−+π−θ=⨯解得2523QF xcos==−θ,同理可得：1523PFcos=+θ所以四边形21PQF F的面积:12121152223S PF QF F F sincos=+⨯⨯θ=⨯++θ5623sincos⨯⨯θ=−θ解得sinθ=sinθ=(舍去),故k tan=θ=故答案为:.12．设函数()11xf xe=+图像上任意—点处的切线为1l，总存在函数()sing x a x=+ (0)x a>图像上一点处的切线2l，使得12∥l l，则实数a的最小值是________．【答案】54【解析】()1,1xf xe=+()()21',112xx xxef xe ee∴=−=−+++78[)()112,'0.4x x e ,f x ,e ⎡⎫+∈+∞∴∈−⎪⎢⎣⎭而()(),'1[1g x asinx x g x acosx a =+=+∈−,1]a +,要使题意成立，则有114a −≤−且10…a +,解得54a ≥,∴实数 a 的最小值为54 故答案为:54二、选择题13.D 14.C 15.C 16.D15．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D ．2024202412A B −<【答案】C【解析】由2112,1n n n a a a a +==−+, 可得24213,a =−+=由()111n n n a a a +−=−, 可得111111n n na a a +=−−−即有111111n n n a a a +=−−−,则122311111111n A a a a a =−+−+⋯+−−−−111111111111n n n a a a a ++−=−=−−−−−111n a +− 由1111n n n a a a +−=−, 可得121231111111111111n n n n n a a a a B a a a a a +++−−−−=⋅⋅⋯⋅==−−−−−可得1n n A B +=, 故AB 错误;121,1n n n A B a +−=−−由()2110n n n a a a +−=−>, 即1n n a a +>, 可得数列{}n a 为递增数列,又320259317,,5,a a =−+=⋯>由202521111122a −>−=−, 可得2024202412A B −>，故选：C .16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 【答案】D【解析】设直线l的方程为0Ax By C++=,=所以22A C A C−+−+=当()()220…A C A C−++,即224…C A时,4A=化简可得22A B=,所以|,2CA B≥=如图,则正方形12AF BF上及外部的点均在直线l上;当()()220A C A C−++<,即224C A<时,2C=22222C A B=+设直线l的方程为0Ax By C++=上任意一点(0x,0y), 则000Ax By C++=,由()()()2222220000A B x y Ax By C++≥+=可知22002x y+≥,又2222224C A B A=+<,则221AB>,所以，与圆222x y+=相切的直线所扫过的点均在直线l上;综上, 平面上不在任何一条直线I上的点组成的图形面积是21244⎤⨯π=+π⎥⎦,故选：D.三．解答题17.（1）6π（218.（1）证明略（219.（1）15P=（2）PQ=20．（1）2216(1)kba=k−（2）332ABDSa=（3）324Sa=91021.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围． 【答案】（1）-2（2）见解析（3）23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由0220xx x ⎧⎪⎨⎪>−≠⎩−, 解得02x <<，所以函数()f x 的定义域为()02,,当0b =时,()2xf x lnax x=+−,所以()11'02f x a x x =++≥−, 对02x ∀<<恒成立， 又()112222a a a x x x x ++=+≥+−−, 当且仅当1x =时取"'"=, 所以只需20…a +, 即2…a −,所以a 的最小值为-2 . (2)证明:()02x ,∈， ()()()222(1x f x f x lna xb x x−−+=+−+−()33)122x lnax b x a x +++−=− 所以()f x 关于点()1,a 中心对称.(3) 因为()2f x >−当且仅当12x <<,所以1x =为()2f x =−的一个解， 所以()12f =−, 即2a =−,先分析12x <<时,()2f x >−恒成立,此时()2f x >−, 即为()321(1)02xlnx b x x+−+−>−在()12,上恒成立, 设()1,01t x t ,=−∈, 则31201t lnt bt t+−+>−在()01,上恒成立, 设()()312,011t g t ln t bt t ,t +=−+∈−,则()()222223232'2311t bt b g t bt t t −++=−+=−− 当0…b 时,232332220bt b b b −++>−++=>,所以()'0g t >恒成立,11 所以()g t 在()01,上为增函数,所以()()00g t g >=, 即()2f x >−在()12,上恒成立, 当203…b −<时,2323230…bt b b −++>+所以()'0g t >恒成立,故()g t 在()01,上为增函数, 故()()00g t g >=,即()2f x >−在()12,上恒成立, 当23b <−,即当01t <<时,()'0g t <,所以在0⎛ ⎝上()g t 为减函数, 所以()()00g t g <=, 不合题意, 舍去,综上所述,()2f x >−在()12,上恒成立时,23…b −, 而23…b −时, 由上述过程可得()g t 在()01,单调递增,所以()0g t >的解为()01,,即()2f x >−的解为()12,,综上所述,23…b −,所以b 的取值范围为23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭.。
高三第一次周测试数学题
高三第一次周测试数学题集合函数测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．设集合{}3,2,1=A ，A B A = ，则集合B 的个数是 （ ）A.1B.6C.7D.82．已知实数集为R ，集合{}3<=x x M ，{}1<=x x N ，则=N C M R （ ）A.φB.{}31<<x xC. {}31<≤x xD. {}31≤≤x x3．下列每组函数是同一函数的是 （ ）A. 2)1()(,1)(-=-=x x g x x fB.2)3()(,3)(-=-=x x g x x fC.2)(,24)(2+=--=x x g x x x f D.31)(,)3)(1()(-⋅-=--=x x x g x x x f 4．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是 （ ） A.322+-=x x y B.x y )(31= C. 2x y = D.x y 21log =5．下列函数中是偶函数的是 ( ) A.3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=xy6．下列函数中，值域是（0，+∞）的是 （ ）A.xy -=131)( B. 12-=x y C. xy -=215D. x y 21-=7．函数)1(log 221-=x y 的定义域为（A ）]2,1()1,2[ -- （B ）)2,1()1,2( -- （C ）]2,1()1,2[ -- （D ）)2,1()1,2( -- 8．若函数2)1(2)(2+++=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是A. 5-<aB. 5-≤aC. 5->aD. 5-≥a （ ） 9．已知函数],0[,1)(232∈++-=x x x x f 的最值情况为 （ ） A . 有最小值41，有最大值1 B. 有最小值41，有最大值45 C. 有最小值1，有最大值45 D . 有最小值，无最大值 10．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞11.幂函数51x y =的大致图象是 ( )12．设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则)2(-f 与)64(2+-a a f )(R a ∈的大小关系是 ( ) A.)64()2(2+-<-a a f fB.)64()2(2+-≥-a a f fC.)64()2(2+->-a a f fD.)64()2(2+-≤-a a f f一、选择题答案：二．填空题 （每小题3分，共18分） 13．设函数1()2f x x =-，则)(x f 的定义域为 ． 14．命题“0322>+-ax ax 恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 ..15．设)(x f 在R 上是偶函数，若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ，则=-)7(f ．16．已知函数⎩⎨⎧>≤-=0,30,1)(2x x x x x f ， 若15)(=x f ，则=x ．17．已知关于x 的不等式11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞ .则a = .18．设奇函数)(x f 的定义域为[−5，5]．若当[]5,0∈x 时，)(x f 的图象如右图，则不等式0)(<x xf 的解是 ．三．解答题19．（10分）已知函数2421x x y --=的定义域为A ，函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B ，（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围．20．求下列函数的值域： (每小题4分，共24分)（1）242(14)y x x x =-+-≤≤； （2）4y =； （3）xxy sin 2sin 2+-=；（4）y x = （5）221223x x y x x -+=-+； （6）y21．（12分）已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．。
23届高三周测卷必考 数学 Y(LGK)学生用卷1-10
23届高三周测卷必考数学 Y(LGK)学生用卷1-10一、选择题1.已知an+1=an-3，则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析：∵an+1-an=-30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.答案：B2.设an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN)，则()A.an+1anB.an+1=anC.an+1解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.∵nN，an+1-an0.故选C.答案：C3.1,0,1,0，的通项公式为()A.2n-1B.1+-1n2C.1--1n2D.n+-1n2解析：解法1：代入验证法.解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.答案：C4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(nN)，则a20等于()A.0B.-3C.3D.32解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此数列的最小正周期为3，a20=a36+2=a2=-3，故选B.答案：B5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98()A.是这个数列的项，且n=6B.不是这个数列的项C.是这个数列的项，且n=7D.是这个数列的项，且n=7解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故选C.答案：C6.若数列{an}的通项公式为an=7(34)2n-2-3(34)n-1，则数列{an}的()A.最大项为a5，最小项为a6B.最大项为a6，最小项为a7C.最大项为a1，最小项为a6D.最大项为a7，最小项为a6解析：令t=(34)n-1，nN+，则t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.答案：C7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为()A.an=23n-1B.an=32nC.an=3n+3D.an=23n解析：①-②得anan-1=3.∵a1=S1=32a1-3，a1=6，an=23n.故选D.答案：D8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于()A.-85B.85C.-65D.65解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，S11=1-5+9-13++33-37+41=21，S22-S11=-65.或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故选C.答案：C9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于()A.-4B.-5C.4D.5解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.答案：C10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是()A.最大项为a1，最小项为a3B.最大项为a1，最小项不存在C.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，且t(0,1]时，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.故最大项为a1=0.当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;又a3答案：A二、填空题11.已知数列{an}的通项公式an=则它的前8项依次为________.解析：将n=1,2,3，，8依次代入通项公式求出即可.答案：1,3，13，7，15，11，17，1512.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.解析：an=-2(n-294)2+8658.当n=7时，an最大.答案：713.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.答案：log36514.给出下列公式：①an=sinn②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;③an=(-1)n+1.1+-1n+12;④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)解析：用列举法可得.答案：①三、解答题15.求出数列1,1,2,2,3,3，的一个通项公式.解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，.an=n+1--1n22，即an=14[2n+1-(-1)n](nN).也可用分段式表示为16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.解析：分别用3、10、2n-1去替换通项公式中的n，得a3=(-1)3123+1=-17，a10=(-1)101210+1=121，a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.(1)求此数列的通项公式;(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.{an}的通项公式为an=2n+1.(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，{bn}的通项公式为bn=4n+1.18.已知an=9nn+110n(nN)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，当n7时，an+1-an当n=8时，an+1-an=0;当n9时，an+1-an0.a1故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.。
高三模拟周测三考试数学试题及答案
高2011级3班高三下数学周测（三）姓名 成绩一、选择题：(本题只有1 2个题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一个正确，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上。
1、设全集U=R ，集合{}|2A x x =≥-，集合{}|3B x x =<，则()U C A B =( ) (A){x|-2≤x<3} (B){x|x ≤-2} (C){x{x<3} (D){x |x<-2}2、若a<b<0，则下列不等式不成立的是( ) (A)11a b> (B)111a a>- (C) a b > (D) 22a b >。
3.(（A)0 (B)12(C)1 (D)2 4、已知1sin()43πα-=。
则cos()4πα+的值等于( )（A）3（B ）-3（C ）13(D)- 135、函数()|sin |(,)g x x x a b a b R =++∈是奇函数的充要条件是( ) (A) 0ab = (B) 0a b += (C) a b = (D) 220a b +=6、设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，且110a =，39a =，那么下列不等式中成立的是 (A) 10110a a -< (B) 20220a a +<(C) 20210s s +< (D)S 40+S 41>07.定义区间[]1212,()x x x x <的长度为21x x -，已知函数2()log f x x =在区间[],a b 上的值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值和最小值的差为（A ） 1 (B)2 (C)3 (D)48.据报道，SAS 疫苗现已研制成功，“非典”过后，某医学研所能成功研制出SARS疫苗的概率为13，为使研制成功的概率达到90100，则至少．．需要这种研究所的个数是( ) （提示：lg 30.4771=，lg 20.3010=）（A ）5 (B) 6 (C) 7 (D) 89.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4,沿对角线BD 将 △ ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边 上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ 的值等( )(A)7(B)4(C)34(D)4510.若m ，n 均为非负整数，在做m+n 的加法时各位均不进位（例如，134+3802=3936）则称（m,n ）为“简单的”有序数对，而m+n 称为有序数对（m,n ）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（A ）20 (B)16 (C)150 （D ）30011、单位向量O A 与OB的夹角为θ，若A B d =，且222d ⎡∈-+⎣，则θ的取值范围是 （A ）[5,66ππ] （B ），[2,43ππ] （C ），[3,44ππ] (D) [5,46ππ]12.定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,()(1)1,(5)f f x x f x f x =+-==，且当1201x x ≤≤≤时，12()()f x f x ≤，则34f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）(A )12( B )14( C )18( D)116二、填空题(本大题共4小题，共16分)把答案填在题中横线上。
四川省绵阳2024-2025学年高三上学期数学周练一含答案
绵阳高2022级数学周练一（答案在最后）时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设函数y =M ,集合{}2|,N y y x x R ==∈,则M N ⋂等于()A.∅B.NC.[)1,+∞ D.M2．已知数列{}n a 满足11a =，12,3,n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，若21n n b a -=，则4b =()A.18B.16C.11D.63．下列说法错误的是()A.命题:p x ∃∈R ，210x x ++<，则:p x ⌝∀∈R ，210x x ++≥B.已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分不必要条件C.“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件D.若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件4．在某病毒疫苗的研发过程中,需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验,得到如下22⨯列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知,根据小概率值α=________的独立性检验,分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”()附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.0.001B.0.05C.0.01D.0.0055．存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有()A.()1f x x x=+B.()21f x x +=C.()21f x x =+ D.()221f x x x +=+6．函数()ln f x x x =，正确的命题是()A.值域为RB.在(1,+)∞上是增函数C.()f x 有两个不同零点D.过(1,0)点的切线有两条7.已知三次函数无极值点,则的取值范围是()A.m<2或m>4B.m ≥2或m ≤4C.[2,4]D.（2,4)8．已知0a >，设函数()21,0e ,0x x ax xf x ax x ⎧++≤=⎨->⎩，若存在0x ，使得()0f x a <，则a 的取值范围是()A.()0,222- B.()()0,2221,-+∞ C.()1,+∞ D.()22,-+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省南京重点中学2022-2023学年高三下学期4月8日周测数学试题及参考答案
2022—2023学年度第二学期高三周测试数 学 试 卷注意事项： 2023.04.08 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数11iz =-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.函数()1sin 2f x x x =-的图象可能是 A ．B ．C ．D ．3.已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( ) A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π4.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >5.2a =-是直线230ax y a ++=和5(3)70x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC上的动点，则的最小值是（ ）A. 45-B. 0C. 95-D. 17.已知圆柱的高和底面半径均为4，AB 为上底面圆周的直径，点P 是上底面圆周上的一点且，AP BP =，PC 是圆柱的一条母线，则点P 到平面ABC 的距离为（ ） A ．4B ．23C ．3D ．228.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点B 为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若2ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．152+ 二、多选题9.已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10.将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 图像的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()g x 的图像与函数sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像重合 11.下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则实数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦12.已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数 C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭三、填空题 13.已知均为单位向量，且夹角为3π，若向量c 满足，则||c 的最大值为_________．14.命题“x ∃∈R ，()()224210a x a x -++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.15.设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1:3:6．2022年3月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11．其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________ 四、解答题17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．已知222cos ()2sin sin 12A B A B --= （1）求角C 的大小； （2）若1c =，求ABC S ∆的最大值．18.已知()|1||21|f x ax x =++-.（1）当1a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）证明：当()0,1a ∈，()0,x ∈+∞时，()1f x >恒成立.19.已知等差数列{}n a 满足12a =，248,,a a a 成等比数列，且公差0d >，数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求n S ；(2)若数列{}n b 满足12b =，且()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥，求λ的取值范围.20.如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，30BAD ∠=，以对角线BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且7PC =. (1)求证：PD BC ⊥；(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积.21.已知椭圆2222:1x y E a b +=（a ＞b＞0）的离心率22e =，四个顶点组成的菱形面积为82，O为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)过228:3O x y +=上任意点P 做O 的切线l 与椭圆E 交于点M ，N ，求证为定值．参考答案1-5 AACBA 6-8 CDD 9 ABD 10. ABC 11.AC 12. BC13. 14. 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ 15.14⎫⎪⎣⎭ 16. 2 29.917.解：（1）因为22cos ()2sin sin 12A B A B --=所以1cos()2sin sin 1A B A B +--=-，即1(cos cos sin sin )2sin sin 1A B A B A B ++-=，整理得：1cos()12A B ++=-，即cos()2A B +=-，即cos()cos C C π-=-=，所以cos C =，因为(0,)C π∈，故4C π=． （2）由（1）可知，4C π=，由余弦定理和基本不等式可得，22222c a b ab =+-， 即1(22)ab -，即12222ab =-，当且仅当a b== 所以121sin 244ABC S abC ∆+==， 即()ABC max S ∆=18.1a =时,()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩或11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩或1212121x x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-<+⎩ 1132x ⇔<<或111123x x ≤<⇔<<所以,原不等式的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：1(2)2,02()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>⎪⎩()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数.min 1()122af x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,min ()()112a f x f x ≥=+>成立19.答案：(1)(1)n S n n =+. (2)1λ≤.解析：(1)因为数列{}n a 为等差数列，12a =，248,,a a a 成等比数列， 所以2(2)(27)(23)d d d ++=+， 因为0d >，所以2d =， 所以(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+. (2)因为()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+， 所以()()()122312(1)3(2)26n n n b b b b n b b n -+++++-+=-⋅+，两式相减得()132n n n n b b n ++=⋅，所以132n n n b b ++=⋅. 所以()()11122(1)20n n n n n b b b ++-=--==--=，所以2n n b =，所以()12122212n n n T +-==--.因为对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥， 所以122(1)n n n λ+-≥+，所以122(1)n n n λ+-≥+.令()1*22()(1)n f n n n n +-=∈+N ， 则2112222(2)24(1)()(1)(2)(1)(1)(2)n n n n f n f n n n n n n n n +++---⋅++-=-=+++++，所以当2n ≥时，122()(1)n f n n n +-=+递增，而(1)(2)1f f ==，所以min ()1f n =， 所以1λ≤. 20（1）证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠ 34322312=+-⨯⨯⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，在PCD 中，7PC =，3PD =，2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥， 因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ， BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥.（2）解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，、、的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B 、()3,0,0C 、()0,1,0D 、()0,1,3P ，设，其中01λ≤≤，，设平面BDE 的法向量为，，则，取1x λ=-，可得，易知平面BCD 的一个法向量为，由已知可得，因为01λ≤≤，解得12λ=，所以，E 为PC 的中点，因此，111111133223624E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△.21.（1）由题意得282ab =，22c e a ==，222a b c =+ 可得22a =，b ＝2， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程为263x =±， 当263x =时，将263x =代入椭圆方程22184x y +=得263y =±， ∴2626,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2626,33N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，26,03P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 当263x =-时，同理可得， 当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 因为l 与O 相切，所以22631k m =+，所以22388m k =+ 由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+ ()()()2224412280km k m ∆=-+->，∴ 22840k m -+>，∴ 2m >或2m <- ∴()()2212121k x x km x x m =++++()2222222228438810121212m km m k k km m k k k ---⎛⎫=++-+== ⎪+++⎝⎭∴综上，PM PN 为定值83-．。
高三9.14模拟周测一考试数学试题及答案
高2011级3班数学周测试题（2011年9月14日）姓名 成绩一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数21(1)1iz i i+=+--，则7(1)z +展开式的第五项是（ ） A ．-2iB ．-21iC ．35D ．-35i2．已知函数()xf x x a=+的反函数图象过点（2，4），则1()y f x -=的单调递减区间是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,)-∞+∞C ．(,2)-∞和(2,)+∞D ．(,1)()-∞+∞和1，3．若O 是△ABC 所在的平面内的一点，且满足（BO + OC ）·（OC 一OA ），则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．斜三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形4．已知直线l 与平面α成045角，直线m α⊂，若直线l 在α内的射影与直线m 也成045角，则l 与m 所成的角是（ ）A ．030B ．045C ．060D ．0905．如图，已知单位圆O 与y 轴相交于A ．B 两点，角θ的顶点为坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线OM 上。
过点A 做直线AC 垂直于y 轴且与角θ的终边OM 交于点C ， 则有向线段AC 表示的函数值是（ ） A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．θtan 1 6．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知38S =，67S =,则789a a a ++=（ ）A ．18-B ．18C ．578D ．5587．已知x 1是方程x lg x =2008的根，x 2是方程x ·10x =2008的根，则x 1·x 2= （ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098．连续掷骰子两次分别得点数m,n ，则向量),(n m =与向量)1,1(-=的夹角为︒>90θ的 概率是（ ）A ．21 B ．31 C ．127 D ．125 9．已知点P （x ，y ）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA ．PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A ．B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3B C ． D ．210．设1a >，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义―区间[],m n 的长度等于n m -‖，若区间[],m n 长度的最小值为56，则实数a 的（ ）A ．11B ．6C ． 116D ．32二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知1sin lim 0=→x x x ．则=+→xx x 3)22cos(lim 0π12．已知函数2|1|(0)()1(0)x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩．那么()0f x <的解为13．已知点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，又点A 的坐标是 (5,4)，则4|MF|－5|MA|的最大值为14．已知实数0>c ，命题:p 关于x 的不等式12>-+c x x 对R x ∈恒成立；命题:q 函数=)(x f )12l g (2++x cx 的定义域为R ，若―p 且q ‖为假命题，―p 或q ‖为真命题，则实数c 的取值范围是OCBAMyx15．数列{a n }满足：a 1=1，且对任意的m ．*n ∈N 都有：m n m n a a a mn +=++，则12320081111a a a a ++++=三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c,且8a =7b ，c=0120，AB 边上的高CM（1） 求:b c 的值（2） 求△ABC 的面积17．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CB =1，6,31==AA CA ，M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1．（1）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （2）求二面角B – AM – C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．18．已知暗箱中开始有3个红球，2个白裘。
高三一轮复习第七次数学周练习
高三下学期第七周数学周测试题一．选择题（共8小题，每小题5分）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0 5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈Z D．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|三．填空题（共4小题，每小题5分）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z ＝．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．高三下学期第七周数学周测试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）【分析】可求出A＝{x|﹣2≤x≤2}，然后根据A∩B＝∅可得出a的范围．【解答】解：A＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a+1}，且A∩B＝∅，∴a＞2或a+1＜﹣2，∴a＜﹣3或a＞2，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（3+i）+m（2﹣i）＝3+2m+（1﹣m）i，∵1＜m＜2，∴3+2m＞0，1﹣m＜0，∴复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点（3+2m，1﹣m）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】建立平面直角坐标系，可得双曲线的渐近线方程，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得a，b的关系，即可求得离心率．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，依题意，可得双曲线的渐近线方程为，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得﹣11＝•（−13）即可得，则双曲线C的离心率为＝．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于中档题．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0【分析】由已知求出s+t取得最小值时m，n满足的条件，再结合m+n＝4求出m，n，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【解答】解：∵，当且仅当，即取等号，∴，又m+n＝4，又m，n为正数，∴可解得，设弦两端点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减得，∵x1+x2＝4，y1+y2＝4，∴，∴直线方程为，即x﹣4y+6＝0．故选：A．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab 【分析】化简得a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，从而可得ab＜0，化简＝+，从而比较大小．【解答】解：∵0.5a＝5b＝3，∴a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，∴ab＜0，＝+＝log35+log30.5＝log32.5，又∴0＜log32.5＜1，∴0＜＜1，∴ab＜a+b＜0，故选：B．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及对数的运算，属于基础题．6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式可求得BC，再根据AD为BC边上的高，求出BD，从而可得出点D的位置，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理求出λ，μ，即可得解．【解答】解：，所以BC＝3，因为AD为BC边上的高，所以，因为M为AD的中点，所以＝，又因为，所以，所以．故选：C．【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．【分析】由题意首先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可．【解答】解：如图为单位正四面体A﹣BCD．过点A作面BCD的垂线交面于点E，F为外接球球心，则E为△BCD的中心，，∴．不妨设AF＝R．在Rt△BEF中，由勾股定理，得．即，解得．∴最大正三角形的边长为．故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解．【解答】解：，因为x∈（0，1），所以，又f（x）在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，所以，解得，所以实数ω的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了根据函数的零点和极值点求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增【分析】化简函数f（x），根据函数的单调性与对称性和周期性，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈ZD．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心【分析】对A选项，根据平面向量数量积的定义与性质，函数思想即可求解；对B选项，根据三角形外心的性质，向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解；对C选项，根据正切函数的图象性质即可求解；对D选项，根据向量数量积的性质，三角形垂心的概念即可求解．【解答】解：对A选项，∵，∴＝＝＝＝≤＝5，∴的最大值是5，∴A选项正确；对B选项，∵在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，∴＝＝＝＝4，∴B选项正确；对C选项，令，可得x＝，k∈Z，∴f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为（，0），k∈Z，∴C选项错误；对D选项，∵，∴，∴，∴PB⊥CA，同理P A⊥BC，PC⊥AB，∴点P为△ABC的垂心，∴D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，函数思想，三角形外心的性质，正切函数的图象性质，三角形垂心的概念，属中档题．（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1【分析】由a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1可得，，可判断A，B的正误，再求出a n，可判断C的正误，利用裂项相消法求T n，可判断D的正误．【解答】解：因为S n+1＝S n+2a n+1，所以a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1，a n+1+1＝2a n+2，即，且a1+1＝2，所以数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查了等比数列的判断和裂项相消求和，属于中档题．（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|【分析】选项A，联列方程，整理成y的一元二次方程，用判别式判定是否恒为零即可；选项B，由•＝4m2≥0知，选项B正确；选项C，计算得|F1F||MN|＝8m2+8，|F1M||F1N|＝4m2+8，两式不恒等，故C不正确；选项D，先计算•，从而得⊥，由等面积法知选项D正确．【解答】解：由已知F（1，0），F1（﹣1，0），设过点F的直线方程为：x＝my+1，设点M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），则M1（﹣1，y1），N1（﹣1，y2），F1（﹣1，0），由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，选项A：直线F1N的方程为y＝（x+1），联立方程组得：，所以y2﹣4[（m+）y﹣1]＝0，Δ＝16（m+）2﹣16不恒为零，故选项A不正确；选项B：由题得＝（my1+2，y1），＝（my2+2，y2），而•＝m2y1y2+2m（y1+y2）+4+y1y2＝4m2≥0，所以cos＜•＞＝≥0，所以∠MF1N≤，故B正确；选项C：|F1F|＝2，|MN|＝|x1+x2+2|＝|m（y1+y2）+4|＝4m2+4，所以|F1F||MN|＝8m2+8；|F1M|2＝（my1+2）2+y12，|F1N|2＝（my2+2）2+y22，所以|F1M|2•|F1N|2＝[（my1+2）（my2+2）]2+y22（my1+2）2+y12（my2+2）2+y12y22＝（4m2+4）2﹣32m2+64m2+48＝16（m2+2）2，所以|F1M||F1N|＝4（m2+2）＝4m2+8，所以选项C不正确；选项D：∵＝（﹣2，y1），＝（﹣2．y2），∴•＝4+y1y2＝4﹣4＝0，∴⊥，在△M1FN1中，S＝|M1N1|•|F1F|＝|FM1||FN1|，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查抛物线的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为8．【分析】由题意，分类讨论，求出数列的前5项，从而得出结论．【解答】解：已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项分别为0，﹣2，0，﹣2，0；或0，﹣2，﹣4，﹣2，0；或0，2，0，2，0；或0，2，4，2，0；故当{a n}前5项分别为0，2，4，2，0 时，前5项的和最大，为0+2+4+2+0＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查等差数列的定义，数列求和，属于基础题．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z＝．【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【解答】解：由图可知：，又因为，所以，所以，所以，所以，．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是（，1）．【分析】求函数f（x）的导数，利用f′（x）＝0求出极值点，再结合题意列出不等式求解集即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，x＞0，所以f′（x）＝﹣，令f′（x）＝0，解得x＝1，当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1，函数单调递减，所以1是函数的极值点，又因为函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，所以a＜1＜a+，解得＜a＜1，所以实数a的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．【分析】过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，由AB＝3FB，丨AC丨＝2丨BD丨，求得丨BE丨，可得直线AB的方程，与抛物线联立方程，表示|AB|的长，进而可表示三角形的面积，根据面积求得p的值【解答】解：不妨设直线AB的斜率k＞0，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，过B作BE⊥AC于E，由AB＝3FB，∴＝2，丨丨＝2丨丨，即丨AC丨＝2丨BD丨，∴E为AC的中点，即丨AE丨＝丨AB丨，∴丨BE丨＝＝丨AB丨，由S△OAB＝S OAF+S OBF＝丨BE丨•丨OF丨＝p丨AB丨，S△OAB＝丨AB丨，∴由丨AE丨＝丨AB丨，则直线AB斜率为k AB＝±2，直线AB的方程y＝2（x ﹣1），，整理得：8x2﹣10px﹣8p2＝0，则x1+x2＝，则丨AB丨＝x1+x2+p＝+p，∴S△OAB＝（+p），∴（+p）＝，解得p＝2．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属中档题．。
高中高三数学上学期周测试卷 文(1.28,含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．4005．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，476．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．48．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．211．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10=．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值X围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值X围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．400【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．5．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行判断即可．【解答】解：要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，则样本间隔为50÷5=10，则只有7，17，27，37，47满足条件．，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．4【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．21【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z=x2+y2=9+9=18，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）【分析】由图象可以判断出f（x）的单调性情况，由f（﹣3）与f（5）的取值，即可得出答案．【解答】解：由f′（x）的图象可得，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又由题意可得，f（﹣3）=f（5）=1，∴f（x）＜1的解集是（﹣3，5），故选：B．【点评】本题考查导函数图象与函数单调性的关系，考查学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，是解题的关键．12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2+4，0≤b≤2，求出X围即可．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴的取值X围为[4，6]故选B．【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10= 96 ．【分析】由已知求出等比数列的公比的平方，再代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a4=，a6=6，∴，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50 ．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：50【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．【分析】由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．【解答】解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为： R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=ACBCsinC=×2×2×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【分析】（Ⅰ）求出该小区80岁以下的老龄人数，即可求解老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．写出5人中抽取3人的基本事件总数，被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的个数，即可求解健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N 为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，利用函数的最小值证明a a=e a﹣1；（Ⅱ）利用（Ⅰ）函数的最小值，结合f（x）≥0对任意x∈R恒成立，构造函数，求出新函数的最小值利用恒成立，某某数a的取值集合．【解答】（Ⅰ）证明：由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f'（x）=e x﹣a．…（1分）由f'（x）＞0，即e x﹣a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，于是f（x）在x=lna取得最小值．又∵函数f（x）恰有一个零点，则f（x）min=f（lna）=0，…（4分）即e lna﹣alna﹣1=0．…（5分）化简得：a﹣alna﹣1=0，即alna=a﹣1，于是lna a=a﹣1，∴a a=e a﹣1．…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），由题意得f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，…（8分）令h（a）=a﹣alna﹣1，则h'（a）=﹣lna，由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．∴h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（a）max=h（1）=0，∴当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，∴要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a=1．∴a的取值集合为{1}…（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查逻辑推理能力，构造新函数是解题本题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．【分析】（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨三十二中2024学年高三下学期第十二周周测(1)数学试题
黑龙江省哈尔滨三十二中2024学年高三下学期第十二周周测（1）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π2．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-23．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．184．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．25．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．526．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．153C ．163D ．37．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭9．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能10．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④11．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 12．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三每周一测试卷数学答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3C. -5D. 0.25答案：A2. 函数f(x) = 2x - 1在定义域内的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10等于（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B4. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 0答案：A5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A6. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则cosA的值为（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5答案：A7. 下列各对数式中，正确的是（）A. log2(8) = 3B. log2(16) = 2C. log2(4) = 3D. log2(2) = 1答案：A8. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 4D. 9答案：B9. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √36答案：C10. 已知函数f(x) = |x - 1|，则f(0)的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第n项an = ________。
答案：an = 3n - 112. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4在x=2时取得最大值，最大值为 ________。
答案：最大值为013. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项a5 = ________。
答案：a5 = 3214. 在△ABC中，a=5，b=6，c=7，则sinA的值为 ________。
数学周周测试卷高三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，不是基本初等函数的是（）A. y = x^2B. y = log2xC. y = sinxD. y = 1/x2. 函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，则a、b、c的值分别为（）A. a = 1, b = -2, c = 2B. a = 1, b = 2, c = -2C. a = -1, b = -2, c = 2D. a = -1, b = 2, c = -23. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10为（）A. 285B. 286C. 287D. 2884. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10为（）A. 90B. 100C. 110D. 1206. 函数y = e^x在区间(0, +∞)上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 已知复数z = 2 + 3i，其共轭复数为（）A. 2 - 3iB. -2 + 3iC. -2 - 3iD. 2 + 3i8. 若不等式x^2 - 5x + 6 < 0的解集为{x | 2 < x < 3}，则不等式x^2 - 5x + 6 > 0的解集为（）A. {x | x < 2 或 x > 3}B. {x | x > 2 或 x < 3}C. {x | x < 2 且 x > 3}D. {x | x > 2 且 x < 3}9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 110. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角C的度数为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数y = (x - 1)^2 + 2的对称轴为__________。
高三数学试卷限时周测
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 2x + 12. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的取值范围是（）A. 实轴上，且x=0B. 实轴上，且x≠0C. 平面上，且|z|=1D. 平面上，且|z|≠13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S15 = 105，则该等差数列的首项a1和公差d分别为（）A. a1=5，d=2B. a1=5，d=3C. a1=3，d=2D. a1=3，d=34. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 2x + 1 < 0B. x^2 - 4x + 3 > 0C. x^2 - 2x + 1 > 0D. x^2 + 4x + 3 > 05. 在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，若BC=5，则AC的长度为（）A. 5√2B. 5√3C. 5√6D. 106. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(2) = 5，则f(x)的图象与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S4 = 8，S5 = 12，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2nB. an = 2n - 1C. an = 3n - 1D. an = 3n8. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则sinB + sinC的值是（）A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 19. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(3)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若等比数列{an}的公比q≠1，且a1=2，a2+a3=8，则该数列的通项公式是（）A. an = 2^nB. an = 2^(n-1)C. an = 2^n - 1D. an = 2^(n-2)二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部是______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
周测（－）时量：120分 总分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式0412>--x x 的解集是AA ． ),2()1,2(+∞-B ． (2,∞+)C ． )1,2(-D ． ),1()2,(+∞--∞ 2．函数121cos-=x y π的最小正周期为C A ．π4 B ．π2 C ．4 D ．23．“1sin 2A =”是“A =30º”的B A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则2z x y =+的最小值为A A ．3-B ．3C ．5-D ．55．函数y =log|x +1|的图象是.CC. D.6．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则DA ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且f (a )•f (b )<0，则方程f (x )=0在区间 [a ，b ]内（ D ）.A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有惟一实根 8．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '+'＞0.且g (3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 D A (-3,0)∪(3,+∞) B (-3,0)∪(0, 3) C (-∞,- 3)∪(3,+∞) D (-∞,- 3)∪(0, 3) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．已知3cos 5α=，则cos 2α= 257-10. 函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最小值是 －17 11．把函数y = sin (2x +4π)的图象向右平移8π个单位, 再将横坐标缩小为原来的21,则其解析式为 y=sin4x .12．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则与的夹角的大小为4π. 13.与曲线21y x e=相切于P (,)e e 处的切线方程是2x-y-e=0 14. 若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a =22±三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值．解：∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,221.b a +=⎪⎨⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+，即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 16.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，且8a ＝7b ，C ∠＝0120，AB 边上的高CM 长为1337 （1）求b 、c 的值（2）求ABC ∆的面积 解：（1）设t b t a 8,7==（0>t ）则20222169120cos 8726449t t t t t c =⋅⋅-+= t c 13=∴CM c A ab S ABC ⋅==∆21sin 21 即 13371323562⋅=⋅t t 解得 41=t ∴413,2==c b（2）=⋅=∆CM c S ABC 21837 17.（本小题满分14分） 已知函数3432)(2++-=kx kx x x f（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围 （2）若)(x f 的定义域为（－6，2），求实数k 的范围 解：（1） )(x f 的定义域为R∴0342>++kx kx 解集为R若k ＝0，3>0成立：若0≠k ，则有⎩⎨⎧<∆>∴00k 解得，430<<k 因此⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈43,0kMBCA（2） )(x f 的定义域为（－6，2）∴0342>++kx kx 解集为（－6，2）∴0342=++kx kx 两根分别为－6，2，且0≠kk326426=⋅-=+-∴， 解，得 k ＝－418.（本小题满分14分）某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输出结果p 元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．（1）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； （2）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：（Ⅰ）由流程图可知： 1.2p =．依题意，得[1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+28006002000x x =-++（01x <<）；（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当(1.21)1000001y x >-⨯⎧⎨<<⎩，即2800600001x x x ⎧-+>⎨<<⎩． 解之得304x <<．19．（本小题满分14分）已知二次函数)(x f 22-=x ，过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P 作曲线的切线l ，O 为坐标原点。
（1）当0x ＝1时，求切线l 的方程（2）求O 到切线l 的距离的最小值，并求出此时切点的坐标。
《学海导航 同步训练》第257页，第10题20.（本小题满分14分）设函数()()2()2ln 11f x x x =---． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，…………………………………………………1分∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，………………………………………2分 ∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2， 故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分（2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---， ∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，……………………9分故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩……12分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln 352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．………………………………14分方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---， ∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分即()2ln 11a x x =---， 令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111x h x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．……………………9分∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-， 又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．……………………………………12分即2ln 352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………14分。