平移变换
平移变换的概念
平移变换的概念
平移变换（translation transformation）是欧氏几何中的一种重要变换，也被称为平移或直移。
它描述了在欧氏平面（欧氏空间）上，每一点按照已知向量A 的方向移动一定的距离，使P = A，这样的变换被称为平面上（空间中）沿向量A 的平移变换。
平移变换的性质包括：
1. 平移前后图形全等。
2. 对应点连线平行或在同一直线上且相等。
在平移的作图步骤和方法中，首先需要分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离。
然后分析所作的图形，找出构成图形的关键点。
接着沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点。
连接所作的各个关键点，并标上相应的字母。
最后写出结论。
此外，平移变换的概念可以推广到n维欧氏空间，其代数表达式为x’=x+a，其中x’、x和a均为nXl矩阵。
认识简单的几何变换平移旋转和翻转的基本变换
认识简单的几何变换平移旋转和翻转的基本变换认识简单的几何变换-平移、旋转和翻转的基本变换几何变换是指对图形的位置、形状或方向进行改变的操作。
在几何学中，平移、旋转和翻转是最基本且常用的几何变换。
它们有着广泛的应用，能够帮助我们理解和描述图像的变化。
在本文中，我们将探讨这三种基本变换的概念和特点。
一、平移变换平移变换是指将图形整体沿着一个方向移动一定的距离，而图形的形状、大小和方向保持不变。
平移变换可以用矩阵、向量或坐标的形式表示。
对于平面上的点(x, y)，其平移变换可以表示为：(x', y') = (x + a, y + b)其中(a, b)表示平移的距离，(x', y')表示变换后的点。
通过平移变换，图形在平面上的位置发生了移动，但其他属性保持不变。
例如，考虑一个正方形，其四个顶点坐标分别为(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(0, 1)。
如果将这个正方形沿x轴正方向平移2个单位，y轴正方向平移3个单位，那么变换后的正方形顶点坐标为(2, 3)，(3, 3)，(3, 4)，(2, 4)。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个点旋转一定的角度，而图形的大小和形状保持不变。
旋转变换可以使用旋转矩阵或旋转公式来表示。
对于平面上的点(x, y)，其旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(θ)表示旋转的角度。
通过旋转变换，图形在平面上绕着某个点进行旋转，但其他属性保持不变。
例如，考虑一个直角三角形，其三个顶点坐标分别为(0, 0)，(1, 0)，(0, 1)。
如果将这个直角三角形绕着原点逆时针旋转90度，那么变换后的三角形顶点坐标为(0, 0)，(0, 1)，(-1, 0)。
三、翻转变换翻转变换是指将图形沿着一个轴对称翻转，而图形的大小和形状保持不变。
翻转变换可以沿着x轴、y轴或者某条对角线进行。
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
平移变换
平移变换1．平移的概念对于正弦函数x y sin =，我们可以将其图象平移。
比如，向右平移两个单位，则函数式变为()2sin -=x y 。
同样地，我们可将它的图象向上或向下平移，比如，将x y sin =的图象向上平移两个单位，则函数变为x y sin 2=-。
可见，要对函数图象进行平移，我们只需对其函数值和自变量实施变换。
一般地，对函数()x f y =实施一个变换，使其变为()a x f b y -=-表示函数图象向右平移a 个单位，同时向上平移b 个单位。
为了更严格和科学的叙述，我们给图象的平移下一个定义。
定义1：图象上各点朝相同的方向移动相同的距离称为图象的平移。
例1．试判断函数图象522++=x x y 是2x y =经过怎样的平移变换得到的。
[解]：522++=x x y()412++=x 即()214+=-x y 这说明，522++=x x y 是2x y =向左平移1个单位，同时向上平移4个单位得到的。
例2．将x x y 23+=向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的解析式是什么？[解]：平移后有， ()()22233-+-=+x x y 化简后有，1526623-+-=x x x y2．平移和参数方程将函数()x f y =的图像进行平移，本质上相当于使函数图像上的所有点同时向相同的方向移动相同的距离。
为此，我们只需建立一个参数方程，使它的横坐标加上一个数a 向右平移a 个单位；使它的纵坐标加上一个数b 向上平移b 个单位。
建立的参数方程如下：⎩⎨⎧+=+=by y a x x '' 即()⎩⎨⎧+=+=bx f y a x x '' 消去参数x 有：()a x f b y -=-''由于函数只表示变量间的对应关系，与它们的采用的符号无关。
所以我们可以将'y 写回y ，将'x 写回x 。
这时有：()a x f b y -=-这就证明了第1节中提到的平移的方法。
平移的认识与平移变换
平移的认识与平移变换在几何学中，平移是一种基本的几何变换，它是指将一个图形沿着直线方向保持大小和形状不变地移动。
平移变换在日常生活和数学研究中起着重要的作用。
本文将介绍平移的概念、性质以及平移变换的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将物体沿着某一方向按照一定距离移动，而不改变其形状、大小和方向。
平移可以用一个向量来表示，这个向量称为平移向量。
在平面几何中，平移变换有以下几个性质：1. 平移变换前后图形的大小和形状保持不变；2. 平移变换前后图形的方向保持不变；3. 平移变换前后，图形上各点之间的距离保持不变；4. 平移变换是可逆的，即可以通过逆向平移变换将图形还原。
平移变换有着广泛的应用，包括数学、物理学、计算机图形学和工程等领域。
在数学中，平移变换是最基本的几何变换之一，它被广泛地运用在数学证明和问题求解中。
在计算机图形学中，平移变换是实现图像移动和动画效果的重要手段。
在工程领域中，平移变换被用于设计和模拟机械装置、移动机器人等。
二、平移变换的应用1. 图像处理平移变换在图像处理中被广泛应用。
通过对图像进行平移变换，可以实现图像的移动和定位。
例如，在数字摄影中，通过对图像进行平移变换，可以调整图像的位置和角度，使图像更加美观和合适。
此外，平移变换还可以用于图像的拼接、融合和修复等操作，提高图像处理的效果和质量。
2. 数学建模在数学建模中，平移变换是一种常用的手段。
通过平移变换，可以将数学问题转化为更简单和易解的形式。
例如，在平面几何中，通过对图形进行平移变换，可以简化图形的形状，便于研究和推导几何性质。
在数学模型中，通过平移变换可以改变坐标系的原点，使模型更加简洁和易于理解。
3. 机械设计与控制在机械设计和控制领域，平移变换被用于描述物体的运动和变换。
通过平移变换，可以确定机械装置的位置、速度和加速度等关键参数，便于设计和控制机器人和自动化装置的运动方式。
此外，平移变换还可以用于机器人视觉导航和路径规划，实现智能化和自主化的机器人系统。
平移旋转与翻折的变换
平移旋转与翻折的变换平移、旋转和翻折是几种常见的图形变换方式，它们在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而得到全新的图形。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定的方向平行地移动一定的距离。
在平移变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是位置发生了改变。
平移变换可以用矢量表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点沿着向量(vx,vy)平移，则新的坐标点B的坐标为B(x+vx, y+vy)。
通常，平移变换可以通过将图形上的每个点都同时加上平移矢量的方式来实现。
平移变换的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，可以通过平移变换来实现图像的拖拽效果，或者对物体进行移动操作。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个中心点按照一定的角度进行旋转。
在旋转变换中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生改变。
旋转变换可以通过旋转矩阵来表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点绕某个中心点O逆时针旋转θ角度，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (cosθ, -sinθ;sinθ, cosθ) * (x-xo, y-yo) + (xo, yo)其中(xo, yo)为旋转中心的坐标。
通过这个公式，可以计算出旋转变换后的新坐标点。
旋转变换的应用非常广泛，例如在计算机动画中，可以通过旋转变换来实现物体的旋转效果，或者在地图导航中，可以通过旋转地图来改变视角。
三、翻折变换翻折变换是指将图形按照某个轴进行对称翻转。
在翻折变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是镜像对称的。
翻折变换可以通过坐标轴的变换来实现，假设有一个图形上的点A(x, y)，要将该点按照某个轴进行对称翻转，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (x, -y) 或者 (x', y') = (-x, y)通过这个公式，可以计算出翻折变换后的新坐标点。
平移变换
平移变换的性质:
B A C A’ C’ B’
1、平移变换不改变图形的形状、大小和方向； 2、连结对应点的线段平行且相等.
问：平移变换不改变图形的形状、 大小，这意味着平移前后两图形具有 怎样的图形关系？
全等
下面的六幅图案中，（2）（3）（4） （5）（6）中的哪个图案可以通过平 移图案（1）得到？
小结与回顾
1、本节课所学习的内容是什么？ 2、平移有什么性质？
1、平移变换不改变图形的形状、 大小和方向； 2、连结对应点的线段平行且相等。
(1)轴对称变换.理由:原图形和它的 像能关于它们之间的一条竖向的直 线对称. (2)平移变换.理由:所有的点都沿同 一方向运动了相等的距离.
下图中的变换属于平移的有哪些？
A×
B × D√ F×
C× E×
把ΔABC向右平移6格,画出所得到的ΔA’B’C’.
B A A’ C’ B’
C
（2）ΔABC与ΔA’B’C’的边、角 （1）请连结各对对应点得出线段，这 的大小，你发现了什么？ 些线段之间有什么关系呢？ AB=A’B’，且 BC=B’C’ ， AC=A’C’ AA’=BB’=CC’ AA’//BB’//CC’ 连接对应点的线段平行且相等。 ∠A= ∠A’，∠B= ∠B’ ，∠C= ∠C’
√
A
C、
试一试：
1、将面积为30cm2的等腰直角三角形 ABC向下平移20cm，得到△MNP，则 △MNP是 三角形，它的面积是 cm2. 等腰直角 30 2、“小小竹排水中游，巍巍青山两岸 平移 变 走”，所蕴涵的图形变换是______ 换?
3、 如图，∠DEF是∠ABC经过平移得 到的，∠ABC=33˚，求∠DEF的度数.
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
数学中的平移与旋转变换
数学中的平移与旋转变换平移变换和旋转变换是数学中常见的两种几何变换方式。
它们在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍平移变换和旋转变换的基本概念、数学表示和实际应用。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。
平移变换是一种刚体变换，即变换之后的图形与原始图形相似但不重合。
平移变换的数学表示是一个二维向量，表示平移的横向和纵向的距离。
如果一个平面上的点P(x, y)进行平移变换，假设平移向量为v，则变换后的点P'的坐标为P'(x + v1, y + v2)。
其中，v1和v2分别表示平移向量在x轴和y轴上的分量。
平移变换可以用来描述物体的位移、运动和位置变化。
在计算机图形学中，平移变换被广泛应用于图像处理、动画制作等领域。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定角度，保持图形的形状和大小不变。
旋转变换同样是一种刚体变换，变换后的图形与原始图形相似但不重合。
旋转变换的数学表示是一个旋转矩阵，通过矩阵相乘的方式实现旋转。
设点P(x, y)绕一个点O旋转θ角度，变换后的点P'的坐标可表示为：```P' = |cosθ -sinθ | * P|sinθ cosθ |```其中，cosθ和sinθ分别表示角度θ的余弦和正弦值。
旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中有着广泛的应用。
它可以用来描述物体的旋转、变形和方向的变化。
三、平移与旋转的组合变换平移变换和旋转变换可以通过组合运算，实现更加复杂的图形变换。
在组合变换中，先进行平移变换，然后再进行旋转变换。
设点P(x, y)先进行平移变换，假设平移向量为v，则平移后的点为P'(x + v1, y + v2)。
再将平移后的点P'绕一个点O旋转θ角度，变换后的点为P''。
组合变换的数学表示为：```P'' = R * P'= R * (P + v)```其中，R表示旋转矩阵，P表示原始点的坐标，v表示平移向量。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
函数图象的平移变换
在函数图象上，每一个点$(x, y)$在平 移后变为$(x + a, y)$，即横坐标增加 $a$，纵坐标不变。
右平移变换的性质
1
函数值不变：对于任意$x$，有$f(x - a) = f(x)$， 即函数值在平移前后保持不变。
2
平移不改变函数的单调性、奇偶性等性质。
3
平移不改变函数的值域和定义域。
平移变换用于验证数学模型
通过平移变换，我们可以验证数学模型的正确性和可靠性，从而更 好地应用于实际问题。
平移变换用于优化数学模型
通过平移变换，我们可以优化数学模型的参数和结构，从而提高模 型的预测精度和可靠性。
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感谢您的观看
平移变换可用于研究函数的 极值
通过平移函数图像，可以更直观地观察函数的极值 点，从而确定极值的位置和大小。
平移变换有助于研究函数 的单调性
通过平移函数图像，可以观察函数在不同区 间内的单调性，从而分析函数的单调性。
平移变换在解决实际问题中的应用
01
平移变换用于解决 物理问题
在物理问题中，平移变换常用于 描述物体在空间中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动规律， 如位移、速度和加速度等。
左平移变换的数学表达式
$y = f(x + a)$，其中$a$为正数。
左平移变换的性质
01
平移不改变函数的值域和定义域。
02
平移不改变函数的单调性、奇偶性和周期性。
平移不改变函数的对称性。
03
左平移变换的应用
解决函数图象问题
通过左平移变换，可以将函数图象进行平移，从而更直观地观察函 数的性质和变化规律。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理中的振动和波动问题，可以通过左 平移变换来描述时间的推移和物理量的变化。
小学数学知识归纳认识平移旋转和翻折的变换
小学数学知识归纳认识平移旋转和翻折的变换一、平移变换平移是指将一个图形在平面上沿着某个方向进行移动，新的图形与原来的图形相等，只是位置改变了。
平移变换可用向量来表示。
例如，我们有一个三角形ABC，要将它向右平移3个单位长度，我们可以使用向量加法的方式来进行表示。
假设向右为正方向，则平移向量为3i（i表示单位向量，指向x轴正方向），则新的三角形A'B'C'可表示为A'B'C'=ABC+3i。
平移变换有以下几个特点：1. 平移后的图形与原图形形状相同。
2. 平移后图形的顶点与原图形的对应顶点连线平行且长度相等。
3. 平移后的图形与原图形之间的距离保持不变。
4. 平移变换是可逆的，即可以通过相反方向移动同样的距离回到原来的位置。
二、旋转变换旋转是指将一个图形绕某一点进行旋转，旋转变换也是以向量为基础的。
例如，我们有一个矩形ABCD，要将它绕点O逆时针旋转90°，我们可以使用向量旋转公式进行计算。
设原矩形的四个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4)，绕点O逆时针旋转90°后的新坐标分别为A'(x1', y1'), B'(x2', y2'), C'(x3', y3'), D'(x4', y4')，则有以下关系式：x1' = y1-y1' + x1y1' = x1'-x1 + y1x2' = y2-y1' + x1y2' = x2'-x1 + y1x3' = y3-y1' + x1y3' = x3'-x1 + y1x4' = y4-y1' + x1y4' = x4'-x1 + y1旋转变换有以下几个特点：1. 旋转后的图形与原图形形状相同。
几何变换中的平移
几何变换中的平移几何变换是指在平面或者空间中对图形进行变换的过程，其中平移是一种基本的几何变换方式。
它通过沿着指定的方向和距离，将图形整体移动到一个新的位置上。
平移是保持图形形状、大小和方向不变的变换，可以应用于各种几何图形，包括点、线段、多边形和曲线等。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形的每一个点都沿着同一方向和同一距离移动的操作。
在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生了变化。
也就是说，平移是一种向量运算，通过给定的平移向量来确定移动的方向和距离。
平移的性质如下：1. 平移对图形的大小和形状没有影响，只改变了图形的位置。
2. 平移保持图形上所有点的相对位置关系不变，即图形内部的线段和角度不变。
3. 平移是一种刚体变换，即保持图形的长度、角度和面积不变。
二、平移的表示方法平移可以通过向量运算来表示。
给定平移向量u=(a, b)，对于二维平面上的点P(x, y)，其平移后的新位置P'可以表示为P'=(x+a, y+b)。
其中，向量u表示了平移的方向和距离，向量a=(a, b)的起点为原点，终点为平移前的点P，即a为向右移动的距离，b为向上移动的距离。
三、平移的应用1. 图像处理平移在图像处理中经常被应用，例如，将图像整体向左/右/上/下平移可以改变图像的位置，让图像在不同的位置上显示。
这在图像编辑和合成中是一种常见的操作。
2. 几何证明平移在几何证明中也经常被使用，例如，通过平移两个相等的线段，可以证明它们的长度相等。
又如，通过平移一个角，可以证明两个角相等或者互补。
3. 几何建模在计算机图形学中，平移可以用于几何建模，通过对二维或者三维图形进行平移，可以构建出更复杂的图形模型。
例如，在三维建模中，通过向量运算将一个物体沿着指定的方向平移，可以创建出多个相同的物体并排放置在场景中。
四、平移的实例1. 平移一个点假设有一个点P(3, 5)，要将其沿x轴正方向平移7个单位，沿y轴负方向平移4个单位，可以使用平移向量u=(7, -4)来进行平移。
基本几何变换了解平移旋转和翻转等基本几何变换
基本几何变换了解平移旋转和翻转等基本几何变换基本几何变换了解平移、旋转和翻转等基本几何变换基本几何变换是几何学中非常重要的概念，它们可以帮助我们理解和描述物体在平面上的位置和形状的变化。
在本文中，我们将介绍基本几何变换中的平移、旋转和翻转，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平移变换平移变换是指将一个物体沿着直线路径移动一段距离的变换操作。
在平移变换中，物体上的每个点都沿着相同的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。
平移变换可以用矩阵来表示，其矩阵形式为：[1, 0, dx][0, 1, dy][0, 0, 1]其中dx和dy分别表示在x轴和y轴方向上的平移距离。
平移变换在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，平移变换可以用来移动和定位图形对象，实现图像的平移操作。
在实际应用中，我们常常需要将物体从一个位置移动到另一个位置，而平移变换正是实现这种功能的关键。
二、旋转变换旋转变换是指将物体绕着某一中心点旋转一定角度的变换操作。
在旋转变换中，物体上的每个点都围绕着旋转中心点进行旋转，而保持其形状不变。
旋转变换可以用矩阵来表示，其矩阵形式为：[cosθ, -sinθ, 0][sinθ, cosθ, 0][0, 0, 1]其中θ表示旋转的角度。
旋转变换在几何学中也有着广泛的应用。
例如，在航空航天领域，旋转变换可以被用来描述飞机、火箭等飞行器在空间中的转动姿态。
此外，旋转变换还被广泛应用于计算机图形学中，通过旋转变换，可以实现图形对象的旋转和变形。
三、翻转变换翻转变换是指将物体沿着某一轴线对称翻转的变换操作。
在翻转变换中，物体上的每个点都绕着轴线进行对称翻转，而保持其形状和大小不变。
翻转变换可以用矩阵来表示，其矩阵形式为：[-1, 0, 0][0, -1, 0][0, 0, 1]翻转变换在几何学中常常被用来描述镜像和对称现象。
例如，在镜面对称的物体中，可以通过翻转变换来描述物体在镜子中的倒影。
此外，在计算机图形学和图像处理领域，翻转变换可以用来进行图像的翻转和镜像操作，实现图像的处理和修改。
平移变换与对称变换
平移变换与对称变换平移变换和对称变换是几何学中常见的两种变换方式，它们在图形的位置和形状改变方面起着重要作用。
本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及实际应用，并对它们进行比较和分析。
一、平移变换1.1 概念平移变换是指在二维或三维平面上，将一幅图形向某一方向移动一定距离的变换方式。
平移变换并不改变图形的形状和大小，只是改变了它的位置。
在平移变换中，所有的点都按照相同的方式进行移动，即移动前后的所有点之间的距离和相对位置保持不变。
1.2 性质平移变换具有以下性质：（1）平移变换可以将一条直线映射为平行于它的另一条直线。
（2）平移变换保持图形的面积、周长和内角度不变。
（3）平移变换是可逆的，即对一个图形进行平移变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。
1.3 应用平移变换在日常生活中广泛应用，比如：（1）导航地图中的位置标记，通过平移变换可以将标记移动到准确的位置。
（2）计算机图形学中的图像平移，可以实现图像的拼接和移动效果。
（3）工程设计中的布局规划，通过平移变换可以调整建筑物或设备的位置。
二、对称变换2.1 概念对称变换是指通过某一中心或某一轴进行图形的位置改变的变换方式。
在对称变换中，图形经过变换后，仍然保持相同的形状和大小，只是相对于中心或轴的位置发生了改变。
对称变换有三种常见的形式，即轴对称、中心对称和点对称。
2.2 性质对称变换具有以下性质：（1）轴对称：轴对称变换将图形映射为关于某一直线对称的图形。
（2）中心对称：中心对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。
（3）点对称：点对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。
（4）对称变换保持图形的面积、周长和内角度不变。
（5）对称变换是可逆的，即对一个图形进行对称变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。
2.3 应用对称变换在许多领域中得到广泛应用，比如：（1）建筑设计中的立面对称，通过对称变换可以保持建筑的整体美感。
（2）艺术创作中的图案设计，对称变换可以创造出美观的对称效果。
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方式一，平移变换。
（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
空间几何中的平移
空间几何中的平移在空间几何学中，平移是一种基本的几何变换，它是指将一个图形沿着一个方向移动一定的距离，而保持其形状和大小不变。
平移在日常生活中随处可见，比如我们手中的手机可以在桌面上平移，汽车可以在道路上平移等等。
本文将介绍空间几何中的平移的特征和性质，以及其在实际应用中的重要性。
一、平移的定义和特征平移是指将一个图形每个点沿着一个固定的方向移动相同的距离，得到一个新的图形。
平移变换可以表示为一个矢量，即平移矢量，它包括了平移的方向和距离。
平移的性质如下：1. 形状和大小不变：平移变换不改变图形的形状和大小，只是改变其位置。
2. 平行性：平移后的图形与原始图形之间的对应点是平行的。
3. 保角性：平移不改变图形中的角度大小，即保持图形的角度不变。
4. 保持距离：平移过程中，图形中的任意两点之间的距离保持不变。
二、平移的操作步骤平移的操作步骤可以分为以下几个步骤：1. 选择一个平移矢量，确定平移的方向和距离。
2. 以平移矢量为基准，将原始图形的每个点沿着平移矢量的方向移动相同的距离。
3. 连接平移前后对应点，得到平移后的图形。
三、平移的实际应用平移在空间几何中广泛应用于实际问题的解决和工程设计中。
以下是一些常见的应用示例：1. 建筑设计中的平移：在建筑设计中，平移常用于平面布局和空间布局的调整。
比如在一个办公楼平面布局中，可以通过平移来调整不同部门的位置，以便于人员流动和相邻办公室的联系。
2. 机器人运动中的平移：在机器人运动中，平移是指机器人沿着指定轨迹移动一定的距离。
平移变换可以用来控制机器人的位置和姿态，实现复杂的机器人操作和路径规划。
3. 地图上的平移：在地图上进行平移变换可以使地图上的各个地点沿着指定方向移动一定的距离。
这一应用可以用于地理信息系统（GIS）中的地图显示和地图更新。
4. 航空航天中的平移：在航空航天工程中，平移常用于飞行器的轨道修正和航线规划。
平移变换可以使飞行器沿着指定的轨道平行移动，以实现轨道控制和飞行路径的调整。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
平移变换与几何关系解析
平移变换与几何关系解析平移变换是几何学中常见的一种变换方式，它通过沿着特定的方向将对象整体移动一定距离，而保持对象的形状和大小不变。
本文将从几何的角度分析平移变换与几何关系的解析。
一、平移变换的定义平移变换是指将平面或空间中的点沿着某个方向进行移动，移动的距离是一个固定的量。
平移变换可以用向量来表示，称为平移向量，它包含平移的方向和距离两个要素。
二、平移变换的性质1. 形状不变性：平移变换保持对象的形状不变，只是位置发生了改变。
比如如果平移一个矩形，它仍然是一个矩形，只是位置移动了。
2. 大小不变性：平移变换不改变对象的大小。
无论平移多少次，对象的大小都保持不变。
3. 平行性：平移变换之后，对象的平行关系得到保持。
如果两个直线在平移之前是平行的，那么它们在平移之后仍然是平行的。
4. 方向性：平移变换的方向可以是任意的，可以向左、向右、向上、向下等。
三、平移变换与几何关系的解析1. 点的平移：对于一个给定的点P(x, y)，进行平移变换时，可以通过向量法来表示。
假设平移向量为v，那么平移之后的点P'的坐标为P'(x+v, y+v)。
这表示在x轴和y轴上都加上平移向量的大小。
2. 直线的平移：对于直线上的任意一点P(x, y)，进行平移变换后，直线上的点P'的坐标为P'(x+v, y+v)。
通过对直线上的多个点进行平移变换，可以得到平移后的直线。
3. 图形的平移：对于一个图形，可以通过平移变换改变图形的位置。
通过将图形上的所有点进行相同的平移变换，可以得到平移后的图形。
4. 几何关系的解析：通过平移变换，我们可以研究平移前后图形之间的几何关系。
例如，平移一个三角形ABC到A'B'C'，我们可以发现原始的三角形和平移后的三角形的形状和大小是相同的，只是位置不同。
另外，平移前后的三角形的各边之间的关系，如相互垂直、平行关系等，也得以保持。
结论平移变换是一种重要的几何变换方式，通过沿着特定方向将对象整体移动一定距离，从而保持对象的形状和大小不变。
平移变换和对称变换
平移变换和对称变换平移变换和对称变换是数学中常见的两种几何变换方式。
它们在图形的移动和对称性研究中扮演着重要角色。
本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及在实际应用中的意义。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着同一方向移动一定的距离，移动前后保持图形的大小、形状和相对位置不变。
平移变换可以用向量来表示，即将所有点的坐标都加上一个相同的位移向量。
设图形上任一点的坐标为(x, y)，位移向量为(a, b)，则平移变换后该点的新坐标为(x+a, y+b)。
平移变换具有以下性质：1. 保持图形的大小和形状不变；2. 保持图形内部的点仍然属于图形本身；3. 保持图形上任意两点之间的距离和夹角不变。
平移变换在几何学中的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，平移变换用于移动、平移图形对象；在地理学中，平移变换用于研究地壳板块的相对运动等。
二、对称变换对称变换是指将一个图形围绕着某个中心轴进行镜像反转，使得图形的左右两侧完全对称。
对称变换可以分为对称轴为直线的对称变换和对称轴为点的对称变换两种形式。
1. 对称轴为直线的对称变换：对称轴为直线的对称变换就是常见的镜像变换。
其图形在对称轴两侧完全一致，对称轴上的点不发生变化。
例如，以x轴为对称轴进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(x, -y)。
2. 对称轴为点的对称变换：对称轴为点的对称变换是将图形围绕着某个点进行反转，使得图形的每个点与该点的连线关于该点对称。
例如，以原点(0, 0)为对称中心进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(-x, -y)。
对称变换的性质如下：1. 保持图形上的任意两点与对称轴的距离相等；2. 保持图形上的任意两点与对称轴的夹角不变。
对称变换在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。
例如，在建筑设计中，对称变换可以用于设计具有对称美感的建筑物；在密码学中，对称加密算法利用对称变换实现数据加密和解密等。
三、平移变换与对称变换的关系平移变换和对称变换都是几何变换的重要内容，它们有一定的联系和区别。
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第十八章图形变换专题
掌握图形的平移、翻折和旋转变换的性质——全等变换，会利用以静制动的技巧解决初等变换问题. 平移变换
一、选择题
1. (2014·呼和浩特)已知线段CD是由线段AB 平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为()
A. (1，2)
B. (2，9)
C. (5，3)
D. (－9，－4)
2. (2014·台州)如图，菱形ABCD的对角线AC ＝4 cm，把它沿对角线AC方向平移1 cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为(
)
A. 4∶3
B. 3∶2
C. 14∶9
D. 17∶9
3. (2014·滨州)如图，若将△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达点A′，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是(
)
A. 垂直
B. 相等
C. 平分
D. 平分且垂直
4. (2014·天水)将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()
A. y＝(x－1)2＋2
B. y＝(x＋1)2＋2
C. y＝(x－1)2－2
D. y＝(x＋1)2－2
二、填空题
5. (2014·广安)将直线y＝3x＋2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为________．
6. (2014·荆州)将抛物线y＝x2－6x＋5先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是________________．
7. (2014·钦州)如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P 的坐标为(a，2)，那么变换后它的对应点Q的坐标为__________．
8. (2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图①)；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③……在第100个图形中等边三角形的个数是________．
9. (2014·三明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A(－2，0)，与y轴的交点为C，对称轴是直线x＝3，对称轴与x轴交于点B.将经过B、C的直线l平移后，与抛物线交于点M，与x轴交于点N，若以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为__________________．
三、 解答题
10. (2014·珠海)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，线段AB 为半圆O 的直径，将 Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得△DEF ，DF 与BC 交于点H.求：
(1) BE 的长；
(2) Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积．
11. (2014·成都)如图，一次函数y ＝kx ＋5(k
为常数，且 k ≠0)的图象与反比例函数y ＝－x 8
的图象交于 A(－2，b)、B 两点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若将直线AB 向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值．
12. (2014·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上，且BC ⊥OC 于点C ，点A 的坐标为(2，2)，AB ＝4，∠B ＝60°，点D 是线段OC 上一点，且OD ＝4，连接AD.
(1) 求证：△AOD 是等边三角形； (2) 求点B 的坐标；
(3) 平行于AD 的直线l 从原点O 出发，沿x 轴正方向平移．设直线l 被四边形OABC 截得的线段长为m ，直线l 与x 轴交点的横坐标为t.
① 当直线l 与x 轴的交点在线段CD 上(交点不与点C 、D 重合)时，请直接写出m 与t 的函数解析式(不必写出自变量t 的取值范围)；
② 若m ＝2，请直接写出此时直线l 与x 轴的交点坐标．
平移变换
一、 1. A 2. C 3. D 4. A
二、 5. (0，－3) 6. y ＝(x －4)2－2 7. (a ＋5，－2) 8. 400 9. (6，4)或(3－41，－4)或(3＋41，－4)
三、 10. (1) 如图，连接OG .∵ ∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，∴ BC ＝AB 2＋AC 2
＝5.∵ Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得△DEF ，∴ AD ＝BE ，DF ＝AC ＝3，EF ＝BC ＝5，∠EDF ＝∠BAC ＝90°. ∵ EF 与半圆O 相切于点G ，∴ OG ⊥EF. ∵ AB ＝4，线段AB 为半圆O 的直径，∴ OB ＝OG ＝2.∵ ∠GEO ＝∠DEF ，∴ Rt △EOG ∽Rt △EFD.∴
OE EF ＝OG DF ，即OE 5＝23，解得OE ＝103.∴ BE ＝OE －OB ＝103－2＝43
(2) BD ＝DE －BE ＝4－43＝83.∵ DF ∥AC ，∴ △BDH ∽△BAC.∴ DH AC ＝BD AB ，即DH 3＝83
4，解
得DH ＝2.∴ S 阴影＝S △BDH ＝12BD ·DH ＝12×83×2＝8
3，即Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部
分的面积为8
3
第10题
11. (1) 把A(－2，b)代入y ＝－8x ，得b ＝－8
－2＝4，∴ 点A 的坐标为(－2，4)．把
A(－2，4)代入y ＝kx ＋5得－2k ＋5＝4，解得k ＝12，∴ 一次函数的解析式为y ＝1
2x ＋5 (2)
将直线AB 向下平移m(m>0)个单位长度得直线的解析式为y ＝1
2
x ＋5－m ，根据题意，方程
组⎩⎨⎧y ＝－8x
，
y ＝1
2
x ＋5－m 只有一组解，消去y 得－8x ＝12x ＋5－m ，整理，得x 2
＋(10－2m)x ＋16＝0，
Δ＝(10－2m)2－4×1×16＝0，解得m ＝9或m ＝1，∴ m 的值为1或9 12. (1) 如图①，过点A 作AM ⊥x 轴于点M. ∵ 点A 的坐标为(2，23)，∴ OM ＝2，AM ＝2 3.∴ 在Rt △AOM 中，tan ∠AOM ＝
AM OM ＝23
2
＝ 3.∴ ∠AOM ＝60°.由勾股定理得，OA ＝OM 2＋AM 2＝22＋（23）2＝4.∵ OD ＝4，∴ OA ＝OD.∴ △AOD 是等边三角形 (2) 如图①，过点A 作AN ⊥BC 于点N.∵ BC ⊥OC ，AM ⊥x 轴，∴ ∠BCM ＝∠CMA ＝∠ANC ＝90°.∴ 四边形ANCM 为矩形．∴ AN ＝MC ，AM ＝NC.∵ ∠B ＝60°，AB ＝43，∴ 在Rt △ABN 中，AN ＝AB·sin B ＝43×
32＝6，BN ＝AB·cos B ＝43×1
2
＝2 3.∴ AN ＝MC ＝6，CN ＝AM ＝2 3.∴ OC ＝OM ＋MC ＝2＋6＝8, BC ＝BN ＋CN ＝23＋23＝4 3.∴
点B 的坐标为(8，43) (3) ① m ＝1
2
t ＋2 ② (2，0)或⎝⎛⎭⎫323，0 提示：① 如图②，∵ ∠B
＝60°，BC ＝43，∴ PC ＝12，ED ＝
32m.∵ OC ＝8，∴ PO ＝4，OF ＝t ，OD ＝t －1
2
m.∴ PD ＝4＋⎝⎛⎭⎫t －12m .根据△PDE ∽△PCB 即可求得m ＝1
2t ＋2；② 如图③，由△OEF 是等边三角形得OF ＝EF ＝m ＝2，在Rt △PCF′中，∠CF ′P ＝60°，∠BPE ′＝∠CPF′＝30°，∴ BP ＝PE′÷sin ∠B ＝2÷32＝433，PC ＝43－433＝83 3.根据勾股定理求得CF′＝8
3，∴ OF ′
＝8＋83＝32
3
.
第12题。