8.1齐次方程的分离变数法
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8.1齐次方程的分离变数法
例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放， 试求管内空气柱的本征振动。 2 utt a u xx 0 定解问题： u ( x, t ) x 0 0, u x ( x, t ) x l 0
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
第八分离变数法
比较系数得 A1 E0,
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族
第八章分离变数法
方程及边界条件必须为齐次的，才能分离变数！
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
数学物理方法课件：8-分离变数法
因此，只能： X (0) 0, X (l) 0
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：
齐次式常见处理方法
齐次式常见处理方法齐次式是指一个多项式方程中，所有非零项次数相同，且系数都为0的方程。
对于一个齐次方程，我们可以通过一些特定的处理方法来求解它的通解。
一、分离变量法当一个齐次方程可以化为分离变量的形式时，我们可以通过分离变量来求解。
分离变量的方法是将方程转化为dy/dx=f(x)/g(y)，然后对等式两边进行积分，从而求得y关于x的通解。
二、特征根法（线性齐次方程）对于一个线性齐次方程，我们可以通过特征根法来求解它的通解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为特征方程，即将齐次方程化为n阶常系数线性常微分方程。
2. 求解特征方程的特征根，得到n个特征根。
3. 根据特征根的重数来确定对应的n个基本解，这些基本解构成了齐次方程的通解。
4. 根据初始条件来确定特定的解，并求得齐次方程的特解。
三、常数变易法（非齐次方程）对于一个非齐次方程，我们可以通过常数变易法来求其通解。
具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程的通解。
2. 假设非齐次方程的特解为通解乘以一个待定常数C，并代入方程。
3. 求解待定常数C。
4. 将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解。
四、待定系数法（非齐次方程）对于一个非齐次方程，我们可以使用待定系数法来求解。
具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程的通解。
2. 假设非齐次方程的特解为一个多项式形式。
根据非齐次方程的形式确定多项式的次数以及各个系数。
3. 将特解代入非齐次方程，并求解各个系数。
4. 将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解。
以上是常见的几种处理齐次方程的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的方程形式以及已知的条件选择适合的求解方法。
同时，对于复杂的方程，我们也可以将其转化为标准形式，然后再进行求解。
最后，需要注意的是，在求解过程中，我们要注意分析特定条件下的解，以满足给定的初值或边界条件。
山东大学工科研究生数学物理方法class7第8.1节(齐次方程的分离变量法引入)
7
驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。
在 x kl / n(k 0,1,2...n) 共计n＋1个点上，
sin(nx / l ) sin k 0 则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点
相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n
本征振动的角频率为 na / l 则频率为: f / 2 na / 2l 当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在 所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波. N>1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l 是基波的n倍.
nx 而此时 X ( x) C2 sin x l
l
l n (n Z ) 即： n 2 2 ＝ 2 n 1,2,3.......
C2为任意常数
注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！
6 由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数 不能 为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能
使原方程有有意义的解。常数
的这种特殊数值叫做本征值，
X X 0 X (0) 0, X (l ) 0
相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。 而此时T的方程应该写成：
T a T 0
2
此方程的解为：
l nat nat T (t ) A cos B sin l l
T a 2
n 2 2
2
T 0
其中，A，B为积分常数 把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：
nat nat nx un ( x, t ) ( A cos B sin ) sin (n 1,2,3...) l l l
8-1齐次方程的分离变量法
un
x, t
Cn
cos
n at l
Dn
sin
n at l
sin
n l
x
,
n
1,
2,
3
这样的特解的线性叠加即为方程①的一般解
u x,t
n 1
Cn
cos
n at l
Dn
sin
n at l
sin
n l
x,n
1, 2,3
③
评述：关于特解和一般解，是一个概念性的问题. 实际上，从上面的解题步骤来看，我们得
（2）λ>0 ，则方程（a）通解为 X x Asin x B cos x 代入边界（b）可得：
B=0， Asin l 0 因为 A 0 （若 A=0，又得到零解），
l n , n 1, 2,3
即
n
n l
2
,n
1, 2,3
相应的本征函数为
X
n
x
sin
n l
x
物理上，n=1 对应的是第一谐波（基波），n=2 叫第二谐波，n=3 叫第三谐波……
数学物理方法
齐次方程的解法
丁成祥
§8.1 齐次方程的分离变量法
授课要点：分离变量法的具体方法，本征函数的正交性 “先求微分方程的通解，再由定解条件定出具体问题的解”，这样的思路，在大多数情况
是行不通的. 本节课的目的就是要通过两端固定的弦的自由振动”问题的求解来阐述分离变 量法的基本技巧.
定解问题
x 0
n 0,
Xn Xn
x 0(5.1) l 0(5.2)
，
X m" Xm
x 0
m X m 0, X m
8.1齐次方程分离变数法(白底)
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波腹
T (t )
波节
X ( x)
波腹
波节
L=n
λ
2
y1 = A cos(ω t − kx ) y2 = A cos(ω t + kx )
y = y1 + y2 = 2 A cos( kx ) ⋅ cos ω t = A '( x ) ⋅ cos ω t
(2)λ = 0：X ''( x ) = 0 ⇒ X ( x ) = C1 x + C 2
⎧ C1 0 + C 2 = 0 ⎨ ⎩ C1 l + C 2 = 0 ⎧C 2 = 0 ⇒⎨ ⎩ C1 = 0
⇒ X ( x) ≡ 0
⇒ u( x , t ) ≡ 0
∴λ = 0
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∞
Bn =
l nπ a
ψn =
nπ a ∫0
2
l
ψ ( x )sin
nπ x dx l
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×
∑
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⎧ utt − a 2 uxx = 0 (1) ⎪ (2) (0 < x < l ) ⎨ u( x , t ) x = 0 = 0, u( x , t ) x = l = 0 ⎪ ⎩ u( x , t ) t = 0 = ϕ ( x ), ut ( x , t ) t = 0 = ψ ( x ) (3)
江西师大理电学院
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第三次更新 第8章 分离变数法
T ' (t ) X " ( x) 2 a T (t ) X ( x)
与x 和 t 无关
和 令
X " X 0 X (0) 0 X ' (l ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
2
以下求X
（1）、 < 0， = 0 可以证明，方程仅得无意义的解 （2）、 > 0
An 和 Bn由初始条件确定
初始条件
u( x, t )
t 0
( x)
(0 x l ) (0 x l )
ut ( x, t ) t 0 ( x)
n 1 An sin l x ( x) n
n a n 1 Bn l sin l x ( x) n
l n
n 2 l
2 2
有
n X C2 sin x l
由T满足的方程
n 2 l
2
2
称为本征值 是Furier级数的基本函数族
2
T " (t ) a T (t ) 0 2 2 2 n a T " (t ) T (t ) 0 2 l n at n at T A cos B sin l l n at n at n Bn sin ) sin x 分离变数的解 un ( x, t ) ( An cos l l l
C1 0
C2 0
u ( x, t ) 0
故 =0 也是不可能的
（3）、 > 0
X " X 0
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin l 0
与x 和 t 无关
和 令
X " X 0 X (0) 0 X ' (l ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
2
以下求X
（1）、 < 0， = 0 可以证明，方程仅得无意义的解 （2）、 > 0
An 和 Bn由初始条件确定
初始条件
u( x, t )
t 0
( x)
(0 x l ) (0 x l )
ut ( x, t ) t 0 ( x)
n 1 An sin l x ( x) n
n a n 1 Bn l sin l x ( x) n
l n
n 2 l
2 2
有
n X C2 sin x l
由T满足的方程
n 2 l
2
2
称为本征值 是Furier级数的基本函数族
2
T " (t ) a T (t ) 0 2 2 2 n a T " (t ) T (t ) 0 2 l n at n at T A cos B sin l l n at n at n Bn sin ) sin x 分离变数的解 un ( x, t ) ( An cos l l l
C1 0
C2 0
u ( x, t ) 0
故 =0 也是不可能的
（3）、 > 0
X " X 0
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin l 0
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+ 解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即 ()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3， 1+解：代数式即：1z =+2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
7，1i1i-+ 解：21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin 22z i ππ=+；指数式：322i k i z e e ππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2解：将被开方的i 用指数式表示：22e i k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈。
2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++解：因为，cos Re (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos Re Re Re Re (1)Re Re 1cos cos(1)sin sin(1)Re 1cos sin 222sin sin cos 222Re 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e e e e e e e e e e e n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭=222(1)2sin 2Re sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222Re sinsin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法 8 分离变数法
k 2 2 2 l
u x | x l 0,
X " X 0 ' ' X | x 0 X | x l 0
k cos x l
14 k=0,1,2,3… k=0,1,2…
(二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子
• 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必
（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征 值问题 （3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出 一般解 （4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
12
分 离 变 量 流 程 图 输 运 方 程
u |t 0 ( x ) u |t 0 ( x )
ut a 2uxx
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
1 ( k ) 2 X " X 0 l ' X | x 0 X | x l 0
2
u | x l 0,
u x | x 0 0,
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
X x | x 0 0, X x |x l 0
7
2、求解本征值问题 X " X 0
常微分方程通解：
X " X X |x 0 X | x l 0 X |x 0 X |x l 0
X ( x ) C1e
在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元 分别为 dS x dydz, dSy dxdz, dSz dxdy 体积元为
dV =dxdydz
在直角坐标系中，梯度定义为
u u u u ex ey ez x y z
u x | x l 0,
X " X 0 ' ' X | x 0 X | x l 0
k cos x l
14 k=0,1,2,3… k=0,1,2…
(二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子
• 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必
（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征 值问题 （3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出 一般解 （4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
12
分 离 变 量 流 程 图 输 运 方 程
u |t 0 ( x ) u |t 0 ( x )
ut a 2uxx
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
1 ( k ) 2 X " X 0 l ' X | x 0 X | x l 0
2
u | x l 0,
u x | x 0 0,
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
X x | x 0 0, X x |x l 0
7
2、求解本征值问题 X " X 0
常微分方程通解：
X " X X |x 0 X | x l 0 X |x 0 X |x l 0
X ( x ) C1e
在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元 分别为 dS x dydz, dSy dxdz, dSz dxdy 体积元为
dV =dxdydz
在直角坐标系中，梯度定义为
u u u u ex ey ez x y z
24讲1-2 齐次方程的分离变量法
第八章 分离变量法(傅氏级数法)
研究思路：方程的自变量可以相互分开，从而把偏微分方程分 解为若干个常微分方程，其中某些常微分方程可以和附加条件构 成本征值问题。 本章主要讨论本征函数为三角函数的本征值问题。 §8.1 齐次方程的分离变量法 本节主要内容： 1、本征值和本征函数 2、波动和输运问题在9种边界条件下的变量分离 3、二维稳定场问题的变量分离及线性叠加方法 4、自然周期条件和自然边界条件
从而可得到波动方程通解u(x,t)的表达式。 同理，也可用直接展开法求通解。 说明：波动问题的第二类齐次边界表明两界面处的相对伸长量 为0，即两个端面是自由，因此受力振动时，介质还有水平位 移 u0=A0+B0t。
②Ⅰ+Ⅱ类齐次边界条件，如 u x0 0 ux 该讨论见下面的输运问题。 二、输运问题 ①Ⅰ+Ⅱ类齐次边界问题：
l 比较系数得： An an 2 ( ) sin n d , l 0 l l 2 l n Bn bn 0 ( ) sin l d . n a n a
从而可得到通解的表达式。
5、直接展开法 通常，任何连续函数都可延展为傅里叶级数，因此可以把波动 方程的解令为满足边界条件的傅里叶级数形式。该题可令为 n u ( x, t ) Tn (t ) sin x. l n 1 n 2 2 将此解代入波动方程化简得：Tn a 2 2 Tn 0. l 解之得： Tn (t ) An cos n a t Bn sin n a t. l l n a n a n 故u ( x, t ) An cos t Bn sin t sin x. l l l n 1
X 0 ( x) C0 (常数)；
故波动方程通解为：
研究思路：方程的自变量可以相互分开，从而把偏微分方程分 解为若干个常微分方程，其中某些常微分方程可以和附加条件构 成本征值问题。 本章主要讨论本征函数为三角函数的本征值问题。 §8.1 齐次方程的分离变量法 本节主要内容： 1、本征值和本征函数 2、波动和输运问题在9种边界条件下的变量分离 3、二维稳定场问题的变量分离及线性叠加方法 4、自然周期条件和自然边界条件
从而可得到波动方程通解u(x,t)的表达式。 同理，也可用直接展开法求通解。 说明：波动问题的第二类齐次边界表明两界面处的相对伸长量 为0，即两个端面是自由，因此受力振动时，介质还有水平位 移 u0=A0+B0t。
②Ⅰ+Ⅱ类齐次边界条件，如 u x0 0 ux 该讨论见下面的输运问题。 二、输运问题 ①Ⅰ+Ⅱ类齐次边界问题：
l 比较系数得： An an 2 ( ) sin n d , l 0 l l 2 l n Bn bn 0 ( ) sin l d . n a n a
从而可得到通解的表达式。
5、直接展开法 通常，任何连续函数都可延展为傅里叶级数，因此可以把波动 方程的解令为满足边界条件的傅里叶级数形式。该题可令为 n u ( x, t ) Tn (t ) sin x. l n 1 n 2 2 将此解代入波动方程化简得：Tn a 2 2 Tn 0. l 解之得： Tn (t ) An cos n a t Bn sin n a t. l l n a n a n 故u ( x, t ) An cos t Bn sin t sin x. l l l n 1
X 0 ( x) C0 (常数)；
故波动方程通解为：
数学物理方法 第8章 分离变数法
X ( x) X ( x) 0
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
齐次方程分离变量法举例
04
分离变量法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是一种非常重 要的数学工具。
未来研究方向
01 02 03 04
进一步研究分离变量法的理论和应用，包括如何选择合适的变量分离 方式、如何处理非齐次方程等问题。
探讨分离变量法与其他数学方法的结合，以解决更复杂的偏微分方程 问题。
将分离变量法应用于实际问题中，如流体动力学、电磁学等领域，以 促进数学与实际应用的结合。
02
齐次方程分离变量法的基本概念
定义与性质
定义
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将方程中的变量分离，将 其转化为多个常微分方程，从而简化 求解过程。
性质
分离变量法适用于具有某种对称性的 偏微分方程，如圆对称或轴对称等， 能够将复杂的偏微分方程转化为多个 常微分方程，从而简化求解过程。
分离变量法的步骤
04
结论
方法总结
01
分离变量法是一种求解偏微分方程的重要方法，通过将方程中的变量 分离，将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。
02
在齐次方程中，分离变量法可以有效地将方程转化为多个常微分方程， 这些方程的解可以通过积分得到。
03
在应用分离变量法时，需要注意选择合适的变量分离方式，以确保得 到的常微分方程是可解的。
一维齐次方程是分离变量法的最简单形式， 通过将方程转化为常微分方程来求解。
详细描述
一维齐次方程的一般形式为 (y' = f(x)y' = f(x)y′=f(x))，其中 (f(x)) 是已知函数。为了求
解该方程，我们首先尝试分离变量，即找到 一个函数 (u(x)) 使得 (yu' = f(x))。然后，将 这个函数代入原方程，得到一个常微分方程 (u' = frac{f(x)}{y})。最后，解这个常微分方
分离变量法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是一种非常重 要的数学工具。
未来研究方向
01 02 03 04
进一步研究分离变量法的理论和应用，包括如何选择合适的变量分离 方式、如何处理非齐次方程等问题。
探讨分离变量法与其他数学方法的结合，以解决更复杂的偏微分方程 问题。
将分离变量法应用于实际问题中，如流体动力学、电磁学等领域，以 促进数学与实际应用的结合。
02
齐次方程分离变量法的基本概念
定义与性质
定义
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将方程中的变量分离，将 其转化为多个常微分方程，从而简化 求解过程。
性质
分离变量法适用于具有某种对称性的 偏微分方程，如圆对称或轴对称等， 能够将复杂的偏微分方程转化为多个 常微分方程，从而简化求解过程。
分离变量法的步骤
04
结论
方法总结
01
分离变量法是一种求解偏微分方程的重要方法，通过将方程中的变量 分离，将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。
02
在齐次方程中，分离变量法可以有效地将方程转化为多个常微分方程， 这些方程的解可以通过积分得到。
03
在应用分离变量法时，需要注意选择合适的变量分离方式，以确保得 到的常微分方程是可解的。
一维齐次方程是分离变量法的最简单形式， 通过将方程转化为常微分方程来求解。
详细描述
一维齐次方程的一般形式为 (y' = f(x)y' = f(x)y′=f(x))，其中 (f(x)) 是已知函数。为了求
解该方程，我们首先尝试分离变量，即找到 一个函数 (u(x)) 使得 (yu' = f(x))。然后，将 这个函数代入原方程，得到一个常微分方程 (u' = frac{f(x)}{y})。最后，解这个常微分方
齐次方程的分离变数法
令
u(x,t)=X(x)T(t)
X X 0 X (0) X (l ) 0
①
T a 2T 0
②
(1)λ ≤0，只能得X(x)≡0。 (2)λ >0，解得
X ( x) C1 cos x C2 sin x 由边界条件
C1 0 C2 cos l 0
(2k 1)a (2k 1)a (2k 1) uk ( x，t ) Ak cos t Bk sin t sin x 2l 2l 2l
单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音， 从而构成它特有的音色。 对本例的定解条件，由 ux 0 ，可将区间(0,l)延 x l 拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0，X (l ) 0
C1 0 C2 sin l 0
显然C2≠0，必须 sin l 0 ，则
本征值
l n n 2 2
l
2
(n为正整数) ⑤ ⑥
(n 1 ， 2， ...)
例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端 开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始 条件)。 解： utt a 2u xx 0 令 u(x,t)=X(x)T(t)
u x 0 0 u x x l 0
得 T a 2T 0
X X 0 X (0) X (l ) 0
(0 x l )
(第二类齐次边界条件) 解：根据边界条件的特点，尝试解
n u( x，t ) Tn (t ) cos x l n 0 2 2 n 2 T a T 0 2 l
第六章 分离变数法 一、齐次方程和齐次边界条件的分离变数
给定了ϕ ( x) 和ψ ( x) 的具体形式，则 An 、 Bn 可具体算出，然后代入 u ( x,t ) 的
式子中，就可求得定解问题的解。
2.有界杆的热传导
设长为 l 的均匀细杆的初始温度分布为 hx ，h 为常数，杆的一端（ x = 0 ）
保持温度为 0 ，而杆的另一端( x = l )绝热。求杆内温度随时间的变化，即求
1 2
⎞2 ⎟⎠ l2
π
2
a
2
t
，
x=0
n=0
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
π
流密度的方向完全由 h 的正负号决定。当 h > 0 时，qK x=0 沿 −eKx 方向（沿 x 轴的
负方向），热量从
x
=
0
一端流出。当
h
<
0
时，
qK
x
=0
沿
K ex
方向（沿
x
轴的正方
向），热量从 x = 0 一端流进。
91
2
⇒ c1 = 0, c2 = 0 ,∴ X ( x) = 0 ⇒ u = 0 这是平凡解，没有意义，λ < 0 的可能性可以排
除。
ⅱ） λ = 0 ,（4）中方程的通解为： X ( x) = c1x + c2 ，
由边界条件得：
⎧⎨⎩cc12l
= +
0 c2
=
0
⇒
c1
=
c2
=
0
⇒
X
(
x)
=
0
⇒
u
=
0
由 sin
λl = 0 ⇒
λl
齐次方程分离变量法举例
带入条件得
C1 = 0
λx + C2 sin λx
λl = (k +1/ 2)π
C2 cos λl = 0
cos λl = 0
所以，本征值和本征函数分别为 (k + 1 )π (k + 1 )2π 2 2 x 2 X (x) = C2 sin λ= l l2
二阶常系数齐次线性微分方程
X (0) = 0
ut − a uxx = 0
2
( 0<x<l )
u x=0 = 0 ux x=l = 0
u t=0 = u0x / l
提示
泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。
ut − a2uxx = 0
解 第一步：分离变量
u x=0 = 0
ux x=l = 0
u t=0 = u0 x / l
u(x,t)=X(x)T(t)
2 l nπ Bn = ∫0ψ(ξ))dξ 0 l 0 1 l B0 = ∫ ψ (ξ )dξ l 0
注
解u(x,t)正是傅氏余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次 边界条件决定的.
区间两端为混合齐次边界条件的例题. 区间两端为混合齐次边界条件的例题 例2 研究细杆导热问题, 其定解问题：
X (x) = C0 为任意常数
二阶常系数齐次线性微分方程
X ′(0) = 0
X ′(l) = 0
特征方程为 2 + λ = 0； ∆ = −4λ k 其
（1） （2） （3）
提示 方程的解是 X (x) = C cos λx + C2 sin λx 1
得到无意义的解 X(x)≡0. 被排除 本征函数 X (x) = C0
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回顾整个求解过程： 常微分方程1 解1 分离 本征解 偏微分方程 变数 常微分方程2 （解1 解2） 解（本征函数） 2 分离 齐次边界条件 条件 变数
所求解=
本征值
本征解
分离变数法
初始条件，确定叠加系数
(二)傅里叶级数法 2 (1) 定解问题：utt a uxx 0 (2) (0 x l ) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) (3)
(3) 0：X ''( x) X ( x) 0 r 0
2
r1,2 i,
e x (C1 cos x C2 sin x)
X ( x) C1 cos x C2 sin x
代入本征条件：X (0) C1 0 X (l ) C1 cos l C2 sin l 0 C1 0 u ( x, t ) 0无意义 C 0 2
n x n x 代入初始条件：u(x, 0) An sin ( x) n sin l l n 1 n 1
utt a 2uxx 0 边界条件 u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件
X ''( x) X ( x) 0 特性方程/本征方程 合成本征值问题 其中 X (0) 0, X ( l ) 0 本征条件 称为特征值或本征值 下面分别就 0, 0, 0三种情况下来求解：
(1) 0：X ''( x) X ( x) 0二阶线性常系数微分方程 x C2e x r 2 0 r1,2 X ( x) C1e
n x l
代入(1)式得:
以上方 法称为 傅里叶 级数法
磁致伸缩换能器的核心 是两端自由的均匀杆， 它作纵振动。
鱼群探测换能器的核心 是两端自由的均匀杆，它作纵振动。
(三)例题：下面给出分离变数法(傅里叶级数法)的例题 例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆 它作纵振动，研究两端自由棒的纵振动。
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动
An n
2 l n x ( x ) sin dx 0 l l
n a n x n x ut(x, 0) Bn sin ( x) n sin l l l n 1 n 1 l 2 l n x Bn n ( x ) sin dx 0 n a n a l
只是t的函数，只是x的函数，而x、t是相互独立的变量 只有两边都等于一个常数时，等式才成立，设为-。 T ''(t ) X ''( x) X ''( x) X ( x) 0 2 a 2T (t ) X ( x) T ''( t ) a T (t ) 0
解：参照边界条件(2)式，将u(x,t )展为傅里叶余弦级数 试探解：u(x,t ) Tn (t ) cos
n 0
பைடு நூலகம்
n x , 代入(1)式 l
n2 2 a 2 n2 2 a 2 n x Tn (t ) 0 得[Tn ''(t ) Tn (t )]cos 0 Tn ''(t ) 2 2 l l l n 0 n at n at Bn sin (n 0) An cos 方程的解为：Tn (t ) l l (n 0) A0 B0t
第八章 分离变数法
8.1 齐次方程的分离变数法
教学重点：介绍用分离变数法求解数学物理定解问题，在此基础上 介绍傅里叶级数法。如何根据边界条件直接设定试探解以简化求解 过程是一个关键点。 (一)分离变数法介绍 基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有些常微分方程 带上附加条件构成本征值问题。 利用分离变数法求解齐次弦振动方程的混合问题 既有初始又有边界条件 问题：长为l均匀有弹性的弦两端固定而自由振动 泛定方程： utt a2uxx 0 定解条件： 边界条件 u ( x, t ) 0, u ( x, t ) 0
utt a 2uxx 0 (1) (2) (0 x l ) 定解问题： ux ( x, t ) x 0 0, ux ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) (3)
解：参照边界条件(2)式，将u(x,t )展为傅里叶正弦级数 u(x,t ) Tn (t )sin
n 1 2 2
n2 2 a 2 n a2 n x Tn (t ) 0 [Tn ''(t ) Tn (t )]sin 0 Tn ''(t ) 2 2 l l l n 1 n a n a 方程的解为：Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n at n at n x u(x,t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1 n x 2 l n x 由u(x, 0) An sin ( x) An n ( x)sin dx 0 l l l n 1 n a n x 2 l n x 由ut(x, 0) Bn sin ( x) Bn ( x )sin dx 0 l l n a l n 1
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
代入初始条件u( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x)
u(x, 0) A0 An cos n x ( x) l n 1 n a n x ut ( x, 0) B0 Bn cos ( x) l l n 1
X ''( x) X ( x) 0 其中 构成本征问题 X (0) 0, X (t ) 0
X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) 0 X ''( x) X ( x) 0 2 X (0) 0, X (l ) 0 T ''(t ) a T (t ) 0
x 0 x l
u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件 根据达朗贝尔法求解振动问题，可知问题的解是由初始位移和初始速度引起
的向相反方向传播的行波。现在端点被固定，那么波遇到端点会反射，同频率 的前进波与反射波叠加形成驻波。
u(x,t ) A0 B0t ( An cos
n 1
n at n at n x Bn sin ) cos l l l
u(x,t ) A0 B0t ( An cos
n 1
n at n at n x Bn sin ) cos l l l
utt a 2uxx 0 边界条件 u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x), ut ( x, t ) t 0 ( x) 初始条件
u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos n a n a n x t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1 2 l n x l 2 l n x An n ( x) sin dx Bn n ( x ) sin dx 0 0 l l n a n a l
波腹
驻波特点：具有波腹(振幅最大的
点)和波节(振幅最小的点)。
从外形上看，没有波形的传播，各点 的振动位相没有滞后现象，它们是按 波节 同一方式随时间t振动，记做T(t)，各 点的振幅随坐标而异，记做X(x)。 驻波的一般表达式为：u( x, t ) X ( x)T (t ), 代入定解问题中 2 2 X ( x ) T ''( t ) a X ''( x ) T ( t ) 0 X ( x ) T ''( t ) a X ''( x)T (t ) T ''(t ) X ''( x) X (0) X (0) T (t ) 0,0, XX (l ) (l )T 0(t ) 0 a 2T (t ) X ( x)
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1