江苏省2019年高三三校第三次调研数学
2019届江苏省七市高三下学期三调考试数学试卷及解析
2019届江苏省七市高三下学期三调考试数学试卷★祝考试顺利★一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，，则____．【答案】【解析】【分析】直接由补集运算得解。
【详解】因为，所以2.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___．【答案】-3【解析】【分析】整理为，利用它是纯虚数列方程，问题得解。
【详解】因为因为复数是纯虚数，所以解得：3.下图是一个算法流程图．若输出的值为4，则输入x的值为____．【答案】-1【解析】【分析】对的范围分类，利用流程图列方程即可得解。
【详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意。
当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意。
故输入的值为：4.已知一组数据6，6，9，，的平均数是，且，则该组数据的方差为____．【答案】【解析】【分析】由这组数据6，6，9，，的平均数是可求得，结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。
【详解】因为数据6，6，9，，的平均数是所以，整理得：又，解得：或此时都等于所以该组数据的方差为5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为____．【答案】【解析】【分析】计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。
【详解】由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为6.已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】由题可得：函数为奇函数，即可将不等式转化为：，对分类解不等式即可。
【详解】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为7.已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．【答案】14【解析】【分析】由及列方程组，即可求得，再利用等比数列前项和公式计算即可得解。
江苏省南通、泰州、扬州等七市2019届高三第三次调研考试数学试题及答案
南通市2019届高三第三次调研测试1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()2ππ，上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为 ▲ ．11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AEλμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．（第3题）（第11题）（第12题）14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC B A B C C A C B ⋅+⋅=⋅， 则12CB CD+的最小值为 ▲ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(0A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积； （2）当风筝面AEA F '2时，求点A '到AB 距离的最大值．（第16题）（第17题）（图1）C（图2）（E ）C19．已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n nb n a =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．① 求数列{}n a 的通项公式；② 证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．20．已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数． （1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．22．现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．设202(1)i nn i i n P C =-=∑，212(1)j nn jj njQ C =-⋅=∑． （1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．表1表2南通市2019届高三第三次调研测参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞，，7、14 8、2 9、73π 10、 11、43 1213、13- 1415、（1）π3C =．（2）sin B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）若1l 的斜率为0，则PQ ，2MN =， 所以△PQN 的面，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x，2x所以PQ12x -=直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以．MN == 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅132==，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==， 所以22tan 341tan θθ=-， 解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==． 所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． 因为四边形AEA F '所以ab =，所以033y a a=+． 因为02a <≤，302b <≤，2a ≤． 设33()f a a a =+2a ≤．49()1f a a '=-= 令()0f a '=，得a =a =（舍去）． 列表如下：当a ()f a所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD上，a =1b =． 答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面AE AF ⋅2tan a θ=tan θ．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则s i n 2s i n 2s i n2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅=A 'ABCDFET2224322sincos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a aθθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，2a ≤． （下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=， 所以21121222n n n n b b b b ---====，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1ka ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->． 设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12l n x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，． 由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->， 因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． （2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意； 当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<， 所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减． 因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e -+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． 若12x ∀≥，1()2e bf x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤． 设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ． （3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值， 当0a <时，()f x 在()10e -，和()112ee--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12ex -=处取极大值， 所以122(e)2ea f -==-，即e a =-． 设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln x x F x x=-+， 当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >； 当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+， 由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<， 即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即212210101a c ad a c b d b d b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩，由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<； 当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=， 所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。
2019徐州市高三第三次调研数学试卷及答案
徐州市2019年高三第三次质量检测数学试卷徐州市2019年高三第三次质量检测数学附加题徐州市2019年高三年级第三次调研考试数学Ⅰ答案及评分标准一、填空题：1． 1i - 2．(4,3,7)-- 3．0 4．50 5．16 6．137．502 8．23 910．10 11．32π12．4y =或4091640x y --= 13.3π 14. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦二、解答题:15. (1)1cos(2)1cos(2)133()sin 2222x x f x x π2π--+-=++………………………………2分 11(sin 2cos2)2x x =+-)14x π-+，………………………………4分当2242x k ππ-=π+，即3,8x k k π=π+∈Z 时，……………………………………6分()f x1.………………………………………………………………8分 (2)由222242k x k ππππ--π+≤≤，即3,88k x k k πππ-π+∈Z ≤≤，又因为0x π≤≤，所以所求()f x 的增区间为3[0,],[,π]88π7π.……………………14分16.（1）连接EC ，交BF 于点O ，取AC 中点P ，连接,PO PD ，可得PO ∥AE ，且12PO AE =，而DF ∥AE ，且12DF AE =，所以DF ∥PO ， 且DF PO =，所以四边形DPOF 为平行四边形，所以FO ∥PD ，即BF ∥PD ，又PD ⊂平面ACD ，BF ⊄平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .……………………………………………8分(2)二面角A EF C --为直二面角，且AE EF ⊥，所以AE ⊥平面BCFE ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以AE BC ⊥，又BC BE ⊥，BE AE E =，所以BC ⊥平面AEB ，所以BC 是三棱锥C ABE -的高，同理可证CF 是四棱锥C AEFD -的高，……………………………………………10分B C F D E A OP所以多面体ADFCBE 的体积111110222(12)2232323C ABE C AEFD V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=.………………14分17. (1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………………2分由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=.……………………………………4分(2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ， 则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，………………………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，…8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，……………………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-， 所以222022********(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.……14分 18.（1）因为29y x=，所以229y x '=-，所以过点P 的切线方程为222()99y x t t t -=--，即22499y x t t=-+，…………2分令0x =，得49y t=，令0y =，得2x t =.所以切线与x 轴交点(2,0)E t ，切线与y 轴交点4(0,)9F t .………………………4分①当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤即4192t ≤≤时，切线左下方的区域为一直角三角形， 所以144()2299f t t t =⨯⨯=.…………………………………………………………6分②当21,41,912,33t tt ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤ 即1223t <≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 22144241()()12999t t f t t t t --=+⋅=，……………………………………………………8分 ③当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤即1439t <≤时,切线左下方的区域为一直角梯形, 所以221499()(2)12224t t f t t t t -=+⋅=-.综上229142,,439441(),,9924112,.923t t t f t t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪<⎪⎩≤≤≤≤……………………………………………………10分(2)当1439t <≤时, 29()24f t t t =- 29444()4999t =--+<，……………………………12分当1223t <≤时, 241()9t f t t -=21144(2)999t =--+<，………………………………14分所以max 49S =．…………………………………………………………………………16分19．（1）由2()ln f x x a x =-，得22()x a f x x-'=，………………………………………2分由1()g x x a ='()g x =(1)(1)f g ''=，即222aa a --=，故2a =，或12a =．………………………………………………4分 所以当2a =时，2()2ln f x x x =-,1()2g x x =当12a =时，21()ln 2f x x x =-，()2g x x =-6分（2）当1a >时，21()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=--212(1)(1)'()22x xh x xx x-+=--+=1)=-⎣⎦，………………………………………8分由0x>，得4(1)2xx+>，故当(0,1)x∈时，()0h x'<,()h x递减，当(1,)x∈+∞时，()0h x'>,()h x递增,所以函数()h x的最小值为13(1)12ln1122h=--+=．…………………10分（3）12a=，21()ln2f x x x=-,()2g x x=当11[,)42x∈时,21()ln2f x x x=-,2141'()2022xf x xx x-=-=<，()f x在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，111()()ln20242f x f=+>≥，………………………12分当11[,)42x∈时，()2g x x=-'()20g x=>，()g x在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，1()()12g x g=≤，且1()()04g x g=≥．……14分要使不等式()()f x mg x⋅≥在11,42x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当14x=时，m为任意实数；当11(,]42x∈时，()()f xmg x≤，而min1()()21()()2ff xg x g⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以(2ln(4e)4m≤.……………………………………………………………16分20.⑴由条件知：11-=nnqaa，12q<<，01>a，所以数列{}n a是递减数列，若有k a，m a，n a()k m n<<成等差数列，则中项不可能是ka（最大），也不可能是na（最小），………………………………2分若 k n k m n k m q q a a a --+=⇔+=122，（*）由221m k q q -<≤, 11>+-k h q ，知(* )式不成立，故k a ，m a ，n a 不可能成等差数列. ………………………………………………4分⑵(i)方法一： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--=----++45)21()1(21121121q q a q q qa a a a k k k k k ，……6分 由)1,41(45)21(2∈++-q 知， 121k k k k k a a a a a ++---<<<， 且>>>--++++3221k k k k k a a a a a … ，………………………………………………8分所以121+++=--k k k k a a a a ，即0122=-+q q ，所以12-=q ，………………………………………………………………………10分方法二：设12k k k m a a a a ++--=，则21m k q q q ---=，…………………………………6分 由211,14q q ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭知1m k -=，即1m k =+， ……………………………………8分 以下同方法一. …………………………………………………………………………10分 (ii) nb n 1=，………………………………………………………………………………12分 方法一：nS n 131211++++= ， )131211()31211()211(1nT n +++++++++++= nn n n n n )1(3221--++-+-+= )1433221()131211(nn n n -++++-++++= )]11()411()311()211[(nnS n -++-+-+--= )]13121()1[(nn nS n +++---= )]131211([nn nS n ++++--= n n S n nS +-=(1)n n S n =+-，所以2011201120122011T S =-.…………………………………………………16分 方法二：11111312111++=++++++=+n S n n S n n 所以 1(1)(1)1n n n S n S ++-+=，所以1(1)1n n n n S nS S ++-=+，12112+=-S S S ，123223+=-S S S ，… …1)1(1+=-++n n n S nS S n ，累加得n T S S n n n +=-++11)1(，所以1(1)1(1)(1)()1n n n n n T n S n n S n n S b n +=+--=+-=++--1(1)()11n n S n n =++--+ (1)n n S n =+-， 所以2011201120122011T S =-. ……………………………………………………16分徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅱ（附加题）答案及评分标准21．【选做题】A ．选修4－1：几何证明选讲(1)因为EF ∥CB ，所以BCE FED ∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠，又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EFA ．……………………………………6分（2）由（1）得，EF FD FA EF=，2EF FA FD =⋅． 因为FG 是切线，所以2FG FD FA =⋅，所以1EF FG ==．…………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（1）1005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．………………………………………………………………………2分 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩所以,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，421x y ''-=， 所以所求曲线的方程为124=-y x ．……………………………………………4分（2）矩阵M 的特征多项式10()(1)(5)005f λλλλλ-==--=-， 所以M 的特征值为5,121==λλ．………………………………………………6分当11=λ时，由111λ=M αα，得特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α； 当52=λ时，由222λ=M αα，得特征向量201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．………………………10分 C ．选修4－4：坐标系与参数方程（1）228150x y y +-+=．…………………………………………………………4分（2）当34απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C， 所以PQ1．………………………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲 由2()a b a bf x a+--≥，对任意的,a b ∈R ，且0a ≠恒成立， 而223a b a ba b a b a a +--++-=≤，()3f x ≥，即113x x -++≥， 解得32x -≤，或32x ≥，所以x 的范围为33,22x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． …………10分 22．(1)以1,,CA CB CC 分别为x y z ,,因为3AC =,4BC =，14AA =，所以(300)A ，，， (0,4,0)B ，(000)C ，，，1(0,0,4)C =，所以1(3,0,4)AC =-，因为AD AB λ=，所以点(33,4,0)D λλ-+，所以(33,4,0)CD λλ=-+，因为异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，所以19|cos ,|25AC CD <>==，解得12λ=．……………4分 (2)由（1）得1(044)B ，，，因为 D 是AB 的中点，所以3(20)2D ，，， 所以3(20)2CD =，，，1(044)CB =，，，平面11CBB C 的法向量 1n (1,0,0)=， 设平面1DB C 的一个法向量2000(,,)x y z =n ，则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小, 由2210,0,CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0000320,2440,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令04x =，则03y =-，03z =，所以2n (4,3,3)=-，121212cos ||||⋅<>===⋅，n n n n n n 所以二面角1D B C B --…………………………………10分 23.（1）要想组成的三位数能被3整除，把0,1,2,3，…，9这十个自然数中分为三组：0,3,6,9；1,4,7；2,5,8．若每组中各取一个数，含0，共有1112332236=C C C A 种；若每组中各取一个数不含0，共有11133333=162C C C A 种；若从每组中各取三个数，共有322233223=30A +C A A 种.所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种.………………………6分（2）随机变量ξ的取值为0,1,2，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………………10分。
江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试(5月)试题
江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试(5月)试题（满分160分，考试时间120分钟）2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。
已知集合U ＝{x|1〈x 〈6，x ∈N },A ＝｛2，3｝，则∁U A ＝________．2。
若复数z 满足z （1＋i)＝1,其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第________象限．3。
已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．4。
一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S 的值为________．5. 若实数x ，y 满足错误!则x ＋3y 的最小值为________．6. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．7。
若函数f(x)＝错误!则f （log 23)＝________．8。
已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N ＊。
若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值为________．9。
已知函数f(x ）＝2sin (ωx＋错误!)，其中ω>0。
若x 1，x 2是方程f （x ）＝2的两个不同的实数根，且｜x 1－x 2|的最小值为π，则当x∈[0，错误!］时，f （x ）的最小值为________．10。
在平面直角坐标系xOy 中,过双曲线x 2a 2－错误!＝1（a>0，b>0）的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a,b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12。
已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量,其中a ,b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c·(a ＋2b )＝－5,则|c ｜的最小值为________．13。
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江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________． 2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6， 9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________． 9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝4 3CA→·CB→，则CB＋12CD的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A－sin B)＝(c －b)(sin B＋sin C)．(1) 求角C的值；(2) 若a＝4b，求sin B的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：(1) BE⊥CD；(2) EF∥平面PAB.(本小题满分14分)17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N.若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF 沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2) 当风筝面AEA′F的面积为 3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．已知数列{an }满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝1an－n(n∈N*)．(1) 若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；(2) 若存在k∈N*，使得1ak，1ak＋1，1ak＋2成等差数列．①求数列{an}的通项公式；②求证：ln n＋12an＞ln(n＋1)－12an＋1.已知函数f(x)＝ax21＋ln x(a≠0)，e是自然对数的底数．(1) 当a＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x≥12，f(x)≥2e b－1(b∈R)，求ba的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x＜0的解集.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)． (1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P2－Q2的值；(2) 化简nPn －Qn.2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455.126. (－2，0)∪(2，＋∞)7.14 8. 2 9. 7π310. －15811. 4312. 6 13. －1314.26215. 解：(1) 在△ABC中，因为a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，所以a(a－b)＝(b＋c)(c－b)，(3分) 即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得cos C＝12.(5分)因为0<C<π，所以C＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a＝4b及a2＋b2－c2＝ab，得c2＝16b2＋b2－4b2＝13b2，即c＝13b.(10分)由正弦定理csin C＝bsin B，得13b32＝bsin B，所以sin B＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝4sin B.由A＋B＋C＝π，得sin(B＋C)＝4sin B.因为C＝π3，所以12sin B＋32cos B＝4sin B，即7sin B＝3cos B．(11分)因为sin2B＋cos2B＝1，解得sin2B＝3 52 .在△ABC中，因为sin B>0，所以sin B＝3926.(14分)16. 证明：(1) 在△PBC中，因为BP＝BC，点E是PC的中点，所以BE⊥PC.(2分)因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC＝PC，BE?平面BPC，所以BE⊥平面PCD.(5分)因为CD平面DPC，所以BE⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB的中点H，连结EH，AH.在△PBC中，因为点E是PC的中点，所以HE∥BC，HE＝12BC.(9分)又底面ABCD是平行四边形，点F是AD的中点，所以AF∥BC，AF＝12 BC.所以HE∥AF，HE＝AF，所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA.(12分)因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB.(14分) 17. 解：(1) 因为椭圆C的上顶点为A(0，3)，所以b＝ 3.又圆O：x2＋y2＝14a2经过点M(0，1)，所以a＝2.(2分)所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2， 所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分) 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2，所以PQ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.(8分)由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k2.(11分) 所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k 2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系， 则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分)设F(0，b)(b>0)，因为点F到AB与BD的距离相等，所以b＝|4b－6|5，解得b＝23或b＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF的面积为12×2×23＝23m2，所以四边形ABA′F的面积为43m2.答：风筝面ABA′F的面积为43m2.(6分)(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.在直角三角形ABD中，tan 2θ＝ADAB＝34，(2分)所以2tan θ1－tan2θ＝34，解得tan θ＝13或tan θ＝－3(舍去)．所以AF＝ABtan θ＝23.(4分)所以△ABF的面积为12×2×23＝23m2，所以四边形ABA′F的面积为43m2.答：风筝面ABA′F的面积为43m2.(6分)(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系．设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y)，则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0. 因为点A，A′关于直线EF对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＝a b ，bx 02＋ay 02－ab ＝0，解得y 0＝2a 2ba 2＋b2.(10分)因为四边形AEA ′F 的面积为3，所以ab ＝3，所以y 0＝23a 3a 4＋3＝23a ＋3a 3.因为0<a ≤2，0<b ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)设f(a)＝a ＋3a 3，233≤a ≤2，则f ′(a)＝1－9a4＝（a 2＋3）（a ＋3）（a －3）a 4.令f ′(a)＝0，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 列表如下：当a 所以y 0的最大值为32，此时点A ′在CD 上，a ＝3，b ＝1.答：点A ′到AB 距离的最大值为32m ．(16分)(解法2)设AE＝a，∠AEF＝θ，则AF＝atan θ.因为四边形AEA′F的面积为3，所以AE·AF＝3，即a2tan θ＝3，所以tan θ＝3 a2.过点A′作AB的垂线A′T，垂足为T，则A′T＝A′E·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分)＝a·2sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝a·2tan θtan2θ＋1＝a·2×3a23a4＋1＝23a＋3a3.因为0<AE≤2，0<AF≤32，所以233≤a≤2.(12分)(下同解法1)19. (1) 证明：由(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1，得1an＝2an－1＋2－n，得1an－n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1an－1－（n－1），即bn＝2bn－1.因为a1＝3，所以b1＝1a1－1＝－23≠0，所以bnbn－1＝2(n≥2)，所以数列{bn }是以b1为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) ①解：设1a1－1＝λ，由(1)知bn＝2bn－1，所以bn ＝2bn－1＝22bn－2＝…＝2n－1b1，即1an－n＝λ·2n－1，所以1ak＝λ·2k－1＋k.(6分)因为1ak，1ak＋1，1ak＋2成等差数列，则(λ·2k－1＋k)＋(λ·2k＋1＋k＋2)＝2(λ·2k＋k＋1)，所以λ·2k－1＝0，所以λ＝0，所以1an＝n，即an＝1n.(10分)②证明：要证ln n＋12an>ln(n＋1)－12an＋1，即证12(an＋an＋1)>lnn＋1n，即证1n＋1n＋1>2lnn＋1n.设t＝n＋1n，则1n＋1n＋1＝t－1＋t－1t＝t－1t，且t>1，从而只需证：当t>1时，t－1t>2ln t．(12分)设f(x)＝x－1x－2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋1x2－2x＝(1x－1)2>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－1x>2ln x.因为t>1，所以t－1t>2ln t，所以原不等式得证．(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)．由f′(x)＝2ax（1＋ln x）－ax2·1x（1＋ln x）2＝2ax（12＋ln x）（1＋ln x）2，(2分)令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－1 2 .因为e－12>e－1，所以f(x)的单调增区间是(e－12，＋∞)．(4分)(2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2e b－1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<e－1或e－1<x<e－1 2，所以f(x)在区间(0，e－1)和(e－1，e－12)上单调递减．因为12∈(e－1，e－12)，且f(x)在区间(e－12，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－12处取极小值2ae，即最小值为2ae.(6分)若?x≥12，f(x)≥2e b－1，则2ae≥2e b－1，即a≥e b.不妨设b>0，则ba≤be b.(8分)设g(b)＝be b(b>0)，则g′(b)＝1－be b.当0<b<1时，g′(b)>0；当b>1时，g′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(b)≤g(1)，即be b≤1e，所以ba的最大值为1e.(10分)(3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e－1)和(e－1，e－12)上单调递增，在(e－12，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝e－12处取极大值，所以f(e－12)＝2ae＝－2，即a＝－e.(12分)设F(x)＝f(x)＋e x，即F(x)＝e x－ex21＋ln x，当x∈(0，e－1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0；当x∈(e－1，＋∞)，F′(x)＝e x－ex（1＋2ln x）（1＋ln x）2，由(2)知ex≤e x，又1＋2ln x≤(1＋ln x)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e－1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋e x<0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e－1<x<1，即不等式的解集为(e －1，1)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 由题意，得AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bdb ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1.(5分)设P(x ，y)为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y.(8分) 由已知条件可知P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分)B. 解：(1) 分别将A(4，π2)，B(22，5π4)转化为直角坐标，即A(0，4)，B(－2，－2)，所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(4分)(2) 曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB 的距离为432＋12＝2105，即r 的值为2105.(10分) C. 解：因为关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根， 所以Δ＝16－4(|a －1|＋|a|)≥0，即|a －1|＋|a|≤4.(4分) 当a ≥1时，2a －1≤4，得1≤a ≤52；当0<a<1时，1≤4，恒成立，即0<a<1；当a≤0时，1－2a≤4，得－32≤a≤0.综上，所求a的取值范围是－32≤a≤52.(10分)22. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于9分的情形有所以概率P＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59，所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分)(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59，则P(ξ＝0)＝(49)3＝64729；P(ξ＝1)＝C13(59)(49)2＝240729；P(ξ＝2)＝C23(59)2(49)＝300729；P(ξ＝3)＝(59)3＝125729.所以随机变量ξ的概率分布列为(8分)所以E(ξ)＝0×64729＋1×240729＋2×300729＋3×125729＝53.5 3.(10分)所以随机变量ξ的数学期望为。
徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案
市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 2018.05.02数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ．12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值围是▲ ．（第3题图）14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．CE .求证：BCEF ⊥平面ACE DF 平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；（第17题甲图） （第17题乙图）（第15题图）⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域是单调增函数，求a 的取值围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．（第18题图）市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.EA B C D （第21—A 题图）⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n rn n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1； 8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12.13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分（第22题图） A B C A 1B 1C 1 M N代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分 由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分 ⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sinB AC =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△ (4)分 2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e，即c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x -+'=-， 若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分若108a -<<，当1(2,)4x a ∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．FA BC DA ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+， 所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分 所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)=0a >，所以2a . ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，(1,2,0)N -，M ，1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-.所以111111cos ,102AM A C AM AC AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C .⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ，所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+ 0+-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+ 0-++()f x极大值极小值无极值把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2n n n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=， 进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分。
2019届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合 M ＝ {0 ， 2 ， 4} ， N ＝ {x|x ＝，a ∈ M} ，则集合M∩N＝___________ ．2. 已知 0 ＜ a ＜ 2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1 ，则 |z| 的取值范围是___________ ．3. 若直线 l 1 ： x ＋ 2y － 4 ＝ 0 与 l 2 ： mx ＋ (2 － m)y － 3 ＝ 0 平行，则实数 m 的值为___________ ．4. 某学校有 A ， B 两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为___________ ．5. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是___________ ．6. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则月收入在 [2500 ，3000) 范围内的应抽出___________ 人 .二、选择题7. 已知 l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是___________ ． ( 填所有真命题的序号 )①若l ∥ α，l ∥ β，则α ∥ β_________ ② 若α ⊥β，l ∥ α，则l ⊥ β③若l ∥ α，α ∥ β，则l ∥ β_________ ④ 若l ⊥ α， l//β，则α ⊥ β三、填空题8. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 4 米时，测得拱桥内水面宽为 16 米；当水面升高 3 米后，拱桥内水面的宽度为___________ 米．9. 已知正数 a ， b ， c 满足 3a － b ＋ 2c ＝ 0 ，则的最大值为___________ ．10. 在ΔABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a ＝， b＝ 3 ， sinC ＝ 2sinA ，则ΔABC 的面积为___________ ．11. 已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项的和，若S 2 ≥ 4 ，S 4 ≤ 16 ，则a 5 的最大值是___________ ．12. 将函数 f(x) ＝ sin(2x ＋θ) 的图象向右平移φ(0 ＜φ＜π) 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 f(x) ， g(x) 的图象都经过点，则φ的值为___________ ．13. 在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠ AOB ＝ 60 o ， C 为弧上的动点， AB 与 OC交于点 P ，则的最小值是___________ ．14. 用 min{m ， n} 表示 m ， n 中的最小值．已知函数 f(x) ＝ x 3 ＋ ax ＋，g(x) ＝－ lnx ，设函数 h(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(x ＞ 0) ，若 h(x) 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是___________ ．四、解答题15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(cosθ， sinθ) ， B(sinθ， 0) ，其中θ ∈ R ．（ 1 ）当θ＝时，求向量的坐标；（2）当θ ∈ [0 ， ] 时，求的最大值．16. 如图，在四棱锥 E － ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O ，EC ⊥ 底面 ABCD ， F 为 BE 的中点 .（ 1 ）求证： DE// 平面 ACF ；（ 2 ）若 AB ＝ CE ，在线段 EO 上是否存在点 G ，使得CG ⊥ 平面 BDE ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由 .17. 如图，某水域的两直线型岸边 l 1 ， l 2 成定角 120 o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC （ B ， C 分别在 l 1 和 l 2 上），围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里．设 AB ＝ x 公里， AC ＝ y 公里．（ 1 ）将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；（ 2 ）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18. 已知点 P 是椭圆 C 上的任一点， P 到直线 l 1 ： x ＝－ 2 的距离为 d 1 ，到点 F( － 1 ， 0) 的距离为 d 2 ，且．（ 1 ）求椭圆 C 的方程；（ 2 ）如图，直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B(A ， B 都在 x 轴上方 ) ，且∠ OFA ＋∠ OFB ＝180º ．（ⅰ）当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l 的方程；（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠ OFA 如何变化，直线 l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19. 已知函数 g(x) ＝ 2alnx ＋ x 2 － 2x ，a ∈ R ．（ 1 ）若函数 g(x) 在定义域上为单调增函数，求 a 的取值范围；（ 2 ）设 A ， B 是函数 g(x) 图象上的不同的两点， P(x 0 ， y 0 ) 为线段 AB 的中点．（ⅰ）当 a ＝ 0 时， g(x) 在点 Q(x 0 ， g(x 0 )) 处的切线与直线 AB 是否平行？说明理由；（ⅱ）当a ≠ 0 时，是否存在这样的 A ， B ，使得 g(x) 在点 Q(x 0 ， g(x 0 ))处的切线与直线 AB 平行？说明理由．20. 已知数列 {a n } ， {b n } 满足： b n ＝ a n ＋ 1 － a n （n ∈ N * ）．（ 1 ）若 a 1 ＝ 1 ， b n ＝ n ，求数列 {a n } 的通项公式；（ 2 ）若 b n ＋ 1 b n － 1 ＝ b n （n ≥ 2 ），且 b 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ 2 ．（ⅰ）记 c n ＝ a 6n － 1 （n ≥ 1 ），求证：数列 {c n } 为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 a 1 应满足的条件．21. 如图，△ ABC 内接于圆 O ， D 为弦 BC 上一点，过 D 作直线 DP // AC ，交 AB 于点 E ，交圆 O 在 A 点处的切线于点 P ．求证：△ PAE ∽△ BDE ．22. 变换 T 1 是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是 M 1 ；变换 T 2对应的变换矩阵是 M 2 ＝．（ 1 ）点 P(2 ， 1) 经过变换 T 1 得到点 P' ，求 P' 的坐标；（ 2 ）求曲线 y ＝ x 2 先经过变换 T 1 ，再经过变换 T 2 所得曲线的方程 .23. 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点 A ， B 分别在曲线 C 1 ：（θ为参数）和曲线 C 2 ：ρ＝ 1 上，求 AB 的最大值．24. 已知：a ≥ 2 ，x ∈ R ．求证： |x － 1 ＋ a| ＋ |x －a| ≥ 3 ．25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2 ＝ 2px （ p ＞ 0 ）的准线 l 与x 轴交于点 M ，过 M 的直线与抛物线交于 A ， B 两点．设 A （ x 1 ， y 1 ）到准线 l 的距离为 d ，且 d ＝λp （λ＞ 0 ）．（ 1 ）若 y 1 ＝ d ＝ 1 ，求抛物线的标准方程；（ 2 ）若＝ 0 ，求证：直线 AB 的斜率为定值26. 设 f(n) ＝ (a ＋ b) n （n ∈ N * ，n≥2 ），若 f(n) 的展开式中，存在某连续 3 项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f(n) 具有性质 P ．（ 1 ）求证： f(7) 具有性质 P ；（ 2 ）若存在n ≤ 2016 ，使 f(n) 具有性质 P ，求 n 的最大值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
江苏省徐州市20192019学年度高三年级第三次调研考试word版含答案
徐州市2019/2019学年度高三年级第三次调研考试数 学 试 题正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若复数21(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a . 1- 2．已知函数y =的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数为 . 33．若函数()sin()(f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则ω4．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 . 12π5．已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = . 12-6．已知变量,x y 满足236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则2z x y =+的最大值是 .97．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .28．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 . 82第7题图 第8题图9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．11210．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .29912．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是3过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为 .13-13．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 2tan 2R α14．设函数2()21f x x x =+-，若1,a b <<-且()(),f a f b =则ab a b ++的取值范围为 .()1,1-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．在三角形ABC 中，已知2AB AC AB AC ⋅=⋅，设CAB α∠=， （1）求角α的值；（2）若cos(-βα5(,)36βππ∈，求cos β的值.图一第13题图图二解：（1）由2AB AC AB AC ⋅=⋅，得2cos AB AC AB AC α⋅=⋅ 所以1cos 2α=，又因为0α<<π为三角形ABC 的内角，所以3απ=， …………………………………………6分（2）由（1）知：sin α=，且(0,)2βαπ-∈，所以1sin()7βα-= …………………………………………8分故cos cos()cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---＝11727214-⨯=. …………………………………………14分 16．如图，平面ABCD ⊥平面PAD ,△APD 是直角三角形，090APD ∠=，四边形ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,90BAD ∠=,BC AD 2=,的中点是AD O (1)求证：//CD PBO 平面；(2)求证:PAB PCD ⊥平面平面.16．证明：（1）因为2AD BC =,且O 是AD 中点， 所以OD BC =，又//AD BC ， 所以//OD BC ， 所以四边形BCDO 为平行四边形， …………………………………………2分 所以//,CD BO CD ⊄平面PBO , 且BO ⊂平面PBO ,故//CD 平面PBO , …………………………………………6分 (2)因为90BAD ∠=，所以BA AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =,AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥平面PAD , …………………………………………8分 PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥,,AP PD ABAP A ⊥=，所以PD ⊥平面PAB , …………………………………………12分 PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . …………………………………………14分ADCBPO第16题图ADCBPO第16题图17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =求直线CD的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5m m == 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ． …………………………………………4分 （2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为2，所以2=， …………………………………………6分 解得，1k =-或17k =-， 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………8分 （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分18．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n的值；若不存在，请说明理由.17．解：（1）因为{}n a 是等差数列，由212121()(21)(21)2n n n n a a n a S n a --+-===-，又因为0n a ≠，所以21n a n =-， ……2分 由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++． ……6分 (2)由(1)知，21n n T n =+， 所以11,,32121m n m nT T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分 解法一：由2244163m n m m n =+++， 可得223241m m n m-++=， 所以22410m m -++>， ……12分 从而：11m <<+m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列。
2019届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学试题(解析版)
2019届高三第三次全国大联考（江苏卷）数学试题一、填空题1．若复数，其中是虚数单位，则______________.【答案】【解析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【详解】，则．故答案为.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2．已知集合，，那么=______________.【答案】【解析】先化简集合A,再根据交集的运算求解即可．【详解】由题意可知，，又，故．故答案为.【点睛】本题考查列举法,描述法及交集的定义，考查简单二次函数的值域，是基础题．3．在学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.【答案】2.1【解析】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列，由中位数的定义即可求解【详解】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列为，故这5位学生立定跳远成绩的中位数为2.1米，【点睛】本题考查中位数的定义，考查基本概念，是基础题4．运行下面的程序框图，如果输入，则输出的的值为______________.【答案】【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【详解】第1次循环，;第2次循环，;第3次循环，,输出．故答案为13.【点睛】本题考查程序框图，执行框图认真计算找到循环规律是关键，是基础题5．不等式的解集为______________.（用区间形式表示）【答案】【解析】由对数函数的单调性去掉对数符号得x的不等式求解即可【详解】原不等式等价于，解得，【点睛】本题考查对数函数的性质，解二次不等式，考查计算能力，注意定义域，是易错题6．已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到线段，则的概率为______________.【答案】【解析】列举在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到15条线段，由古典概型求解即可【详解】由已知得，，，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到以下15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A 5A6，其中满足的有以下6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A 3A5，A4A6，根据古典概型的计算公式得，的概率为．故答案为.【点睛】本题考查古典概型，考查线段长度及正六边形的简单性质，是基础题7．现有橡皮泥制作成的圆柱和圆锥各一个，已知它们的底面半径都为r，高都为2，现在把它们重新捏成一个实心球体，其半径也为r（不计捏合过程中的损耗），则这个实心球体的表面积为______________.【答案】【解析】先求圆柱和圆锥的体积之和，利用球与其等体积即可求解【详解】由已知得圆柱和圆锥的体积之和为，把它们重新捏成一个半径也为r的实心球体的体积为，所以，所以，故这个实心球体的表面积为．故答案为.【点睛】本题考查柱，锥，球的表面积和体积公式，熟记体积公式准确计算是关键，是基础题8．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】由题得利用基本不等式求解即可【详解】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为. 故答案为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查计算能力，是基础题，注意等号成立9．已知双曲线的方程为(a＞0，b＞0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆弧被双曲线四等分，则双曲线离心率的平方为______________.【答案】【解析】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，由结合点在双曲线上求得a，c的关系式求解即可【详解】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，则（其中为双曲线的半焦距），所以，由，整理得，即，解得或，又 所以双曲线的离心率的平方为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与双曲线的交点，考查计算能力，是基础题10．已知曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，直线1l 与曲线Γ交于),,(11y x M 22(,)N x y 两点，点3344(,),(,)P x y Q x y 在曲线Γ上，若1234,,,x x x x 均不相等，且MP NQ k k =-，则MN NP PQ QM k k k k +++=______________. 【答案】0 【解析】先求曲线Γ的方程，再求MN 及NP,NQ ，PQ,QM,MP 的斜率，由MP NQ k k =-得12340y y y y +++=，进而得QM NP k k =-，同理得MN PQ k k =-则可求 【详解】因为曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，所以曲线Γ上的点到(2,0)的距离与到直线2x =-的距离相等，故曲线2:8y x Γ=，则21212221122181188MN y y y y k x x y y y y --===-+-，同理可得238NP k y y =+，348PQ k y y =+，418QM k y y =+，138MP k y y =+，248NQ k y y =+，由于MP NQ k k =-，则132488y y y y =-++，可得12340y y y y +++=，由此可得412388y y y y =-++，即QM NP k k =-，同理有123488y y y y =-++，即MN PQ k k =-，故0MN NP PQ QM k k k k +++=，故答案为0. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率及抛物线的应用，考查计算能力，是中档题11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数在上的值域为______________.【答案】【解析】化简整理得g(x)进而得f （x ）的解析式，利用三角函数图像和性质求值域即可 【详解】 依题意，，则，当时，，，则，故答案为.【点睛】本题考查二倍角公式，三角平移变换，三角函数的值域，熟记公式，准确化简是关键，是中档题12．如图，0,||2,||2OA OB OA OB ⋅===，点C 是线段AB 上的一个动点，D 为OB 的中点，则DC OC ⋅的最小值为______________.【答案】12【解析】选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-得1=[()][(1)]2DC OC OA OB OA OB λλλλ⋅+-⋅+-，利用数量积运算结合二次函数求最值即可选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-，其中10≤≤λ，因为D 为OB 的中点，所以2OBOD =，所以1()2DC DO OC OA OB λλ=+=+-，所以21=[()][(1)]6622DC OC OA OB OA OB λλλλλλ⋅+-⋅+-=-+=2116()22λ-+，因为10≤≤λ，所以当1=2λ时，DC OC ⋅取得最小值，为12，故答案为12．【点睛】本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题 13．在锐角三角形中，内角，，的对边分别是，，，且满足，则的取值范围为______________.【答案】【解析】由二倍角公式结合正弦定理得，求得，利用锐角三角形得，利用三角函数性质求范围即可【详解】 由题中条件可得，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，所以，在锐角三角形中，由，得，所以，所以．故答案为．本题考查正弦定理，三角函数恒等变换化简，三角函数的图像及性质应用，考查计算能力，是中档题，注意锐角三角形的应用是易错点14．若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】化简，讨论a的取值，转化为函数与直线有3个不同的交点，求h（x）的最值列a的不等式求解即可【详解】令，若，显然不合题意；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以.综上所述，，故答案为.【点睛】本题考查分段函数的图像及性质，考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题二、解答题15．如图，在三棱锥ABC P -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 分别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC Ë平面AMN ，∴BC ∥平面AMN . （2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC .∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC .【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16．在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题17．某型号汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时间t (单位：秒)的关系为32510(0)s t k t t t =-⋅++>，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k 的取值范围． 【答案】（1）应紧急避让；（2）61[8,]4. 【解析】（1）求汽车的瞬时速度215161v s't t ==-+，由'0s =，得115t =，计算s 即可判断；（2）汽车的瞬时速度为v s'=，得 21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，分离k 求导求最值即可 【详解】（1）当8=k 时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为215161v s't t ==-+， 令'0s =，解得1t =（舍）或115t =， 当115t =时，106752210>=s ， 故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为v s'=，所以21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 故问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，即21511215t k t t t+==+在[1,2]t ∈内有解，记1()15f t t t =+，21()15f 't t =-，[1,2]t ∈∵，∴21()150f 't t=->，∴()f t 单调递增，∴()f t 在区间]2,1[上的取值范围为61[16,]2， ∴611622k ≤≤，即6184k ≤≤， 故k 的取值范围为61[8,]4.【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题18．已知椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，点是椭圆上的一点，轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点作直线交椭圆于两个不同的点,,若点是椭圆上一点,三角形是以为顶角的等腰三角形，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由离心率为，得，设方程为，由距离和最小转化为，，三点共线，得T 坐标，代入方程求c 即可求方程；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，进而得，设直线的方程为.同理得，由得k 值则直线方程可求 【详解】（1）设椭圆的焦距为，∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆C的方程为，设椭圆C的下顶点为，∵轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点，∴，，三点共线，∴，故，又为椭圆C上的一点，∴，解得，故，所以椭圆的标准方程为．（2）设过原点且与直线垂直的直线为，∵三角形是以为顶角的等腰三角形，∴点为直线与椭圆的交点.当直线的斜率不存在时，点为椭圆的左顶点或右顶点，此时，,,，∴直线的斜率存在，设直线的方程为，当时，点为椭圆的上顶点或下顶点，此时,,，故，故可得直线的方程为.设，由消去得，，根据根与系数的关系得，∴，故，同理由得,∵,∴，解得，故直线的斜率为或．所以直线l的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系及弦长公式，考查转化化归能力，准确计算是关键，是中档题19．设函数，其中为自然对数的底数.（1）求的极小值；（2）当时，求证：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）判断其正负确定单调性得极小值；（2），构造函数，求导求其最小值大于1即可【详解】（1）易知函数的定义域为，令得所以当时，，当时，，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为；（2），令，则，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查函数极值，函数的最值，构造函数，准确计算是关键，是基础题20．设数列的前项积为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“R数列”．（1）若数列的前n项积()，证明:是“R数列”；（2）设是等比数列,其首项,公比为．若是“R数列”,求的值；（3）证明：对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得（）成立．【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）详见解析.【解析】（1）由，求，，满足即可证明；（2）由，得，进而，讨论①当时和②当，分别求得q；（3）设，令，得，再利用定义证明，为“R”数列．【详解】（1）因为数列的前n项积，所以，当时，，所以,对任意正整数，令，满足，所以是“R数列”；（2）因为是等比数列,其首项,公比为，所以，所以，因为是“R数列”，所以对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，即，①当时，得，且．②当（显然）时，得，且．所以公比或；（3）对任意的等比数列，设公比为，则，令，则，下面证明：为“R”数列．因为所以，取正整数，得，所以为“R”数列，同理可以证明为“R”数列．所以对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得()成立．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列求和，利用新定义证明有关命题，熟练运用定义是关键，是中档题21．已知矩阵，若矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．【答案】【解析】由题列a,b,c,d的方程组求解即可得【详解】因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为，所以，得，①因为矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，所以，得②①②联立，解得，所以．【点睛】本题考查矩阵的有关计算，考查特征向量及特征向量，熟记公式准确计算是关键，是基础题22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（θ为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与曲线相交于不同的两点A,B，且，求的值．【答案】【解析】化曲线C为普通方程，直线l为参数方程，联立利用t的几何意义求解即可【详解】因为，所以直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，过点，所以直线的参数方程为（为参数），即（为参数）．曲线的参数方程（θ为参数）化为普通方程为，将代入曲线的方程，整理得，，设点，对应的参数分别为，则，所以．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义，准确计算是关键，是基础题 23．函数．若关于x 的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】【解析】化简，求得f （x ）的最小值，转化求解t 即可 【详解】 易得，由-5＜-4x+3＜5，得，因为关于x 的不等式有解，所以，即，解得或．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的化简与最值，考查不等式有解问题，准确转化是关键，是基础题24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，H 是线段1DD 上的动点，若G 为正方形11B BCC 的中心． （1）当113DH DD =时，求1B H 与DG 所成角的余弦值； （2）当1DH D H =时，求直线DG 与平面11AC H 所成角的正弦值.【答案】（16；（2）16.【解析】（1）建立空间直角坐标系，设1B H 与DG 所成的角为α，求向量1,B H DG ，利用异面直线所成角公式求解即可；（2）求平面11AC H 的一个法向量11(,,1)22n =--及11(,1,)22DG =，由线面角公式求解即可； 【详解】以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图所示）．（1）由已知得，1(1,1,1)B ，1(0,0,)3H ，11(,1,)22G ，所以12(1,1,)3B H =---，11(,1,)22DG =，设1B H 与DG 所成的角为α，所以1111|1|||cos ||||B H DG B H DG α---⋅=== （2）由已知得，11(1,0,1),(0,0,)2A H ，1(0,1,1)C ，11(,1,)22G ， 所以11(,1,)22DG =，11(1,0,)2A H =--，.B 设平面11AC H 的法向量是(,,)n a b c =，则1110,0n A H n AC ⋅=⋅=，所以0,20,c a a b ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩取1c =，得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则11(,,1)22n =--为平面11AC H 的一个法向量. 设直线DG 与平面11AC H 所成的角为β， 所以1||||1sin 6||||3DG n DG n β-⋅===． 故直线DG 与平面11AC H 所成的角的正弦值为16. 【点睛】 本题考查空间角的向量求法，熟记公式，熟练计算是关键，是基础题25．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中白球的个数；（2）用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值，求随机变量的概率分布列及数学期望E ．【答案】（1）3；（2）x 的概率分布列为：.【解析】试题分析：（1）这属于古典概型问题，从7个球中任取两个，共有种取法，而如果其中有个白球，则任取两个白球的取法为，由题意有，解之得；（2）首先要知道随机变量的所有可能取值，由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球，甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x 可能的取值是0,2,4.，再利用公式计算可得分布列和期望.试题解析：（1）设袋中原有n个白球，由题意,知，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；(2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球。
2019届高三第三次调研考试数学(文科)附答案
2019届高三第三次调研考试数学（文科）附答案全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合}{022≤--=x x x A ，}{1<=x x B ，则)(B C A R = （ ） (A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{12x x ≤≤ 2．设1i z i =-（i 为虚数单位），则1z =（ ）(A) (B) (C) 12(D) 2 3．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 644. 已知向量a b ⊥r r ，2,a b ==r r 则2a b -=r r （ ）(A) (B) 2 (C) (D)5．下列说法中正确的是（ ）(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B) 若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< (C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题(D) “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 517．将函数()()1cos 24f x x θ=+（2πθ<）的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9x π=对称，则θ=（ ） (A) 718π (B) 18π (C) 18π- (D) 718π- 8．已知x ,y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )(A) 3(B) 3(C) (D)10．已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象是（ ）(A) (B) (C) (D)11．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，则点P 到 点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）(A)1- (B)2 (C) 2 (D)12. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()12f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x'>，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是（ ）(A) ()()()22018201642017f f f << (B) ()()()22018201642017f f f >>(C) ()()()42017220182016f f f << (D) ()()()42017220182016f f f >>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
江苏省南通市2019届高三第三次调研测试 数学
南通市2019届高三第三次调研测试1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()2ππ，上交点的横坐标为α，则s i n 2α的值为 ▲ ．11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AEλμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()f xg x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．（第3题）（第11题）（第12题）14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅， 则12CB CD +的最小值为 ▲ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(0A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积； （2）当风筝面AEA F '2m 时，求点A '到AB 距离的最大值．（第16题）（第17题）（图1）（图2）（E ）C19．已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n nb n a =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．① 求数列{}n a 的通项公式；② 证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．20．已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．22．现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．设202(1)i nn i i n P C =-=∑，212(1)j nn jj njQ C =-⋅=∑． （1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．表1表2南通市2019届高三第三次调研测参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞，，7、14 8、2 9、73π 10、 11、43 1213、13- 1415、（1）π3C =．（2）sin B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）若1l 的斜率为0，则PQ ，2MN =， 所以△PQN，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x =，2x所以PQ12x -=直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以．MN = 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅132==，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==， 所以22tan 341tan θθ=-， 解得1t a n 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2t a n 3A F AB θ==． 所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． 因为四边形AEA F '所以ab =，所以033y a a==+． 因为02a <≤，302b <≤，以2a ≤． 设33()f a a a =+，2a ≤．49()1f a a '=-=， 令()0f a '=，得a =a =（舍去）． 列表如下：当a ()f a所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD上，a =1b =． 答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面AE AF ⋅2tan a θ=tan θ．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则s i n 2s i n 2s i n2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅=A 'ABCDFET2224322sin cos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，2a ≤． （下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=， 所以21121222n n n n b b b b ---====，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->． 设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，． 由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->， 因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． （2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意； 当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<， 所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减． 因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． 若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤． 设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ． （3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值， 当0a <时，()f x 在()10e -，和()112ee--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值， 所以122(e )2ea f -==-，即e a =-． 设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1l n xx F xx=-+， 当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >； 当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+， 由（2）知，e e x x ≤，又212l n (1l n )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<， 即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即212210101a c a da cb d b d b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩，由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<； 当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=， 所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。
2019届高三第三次调研考试数学试题含答案
cm 3．
10．在平面直角坐标系
xOy 中，若曲线 y
sin 2x 与 y
1 8
tan
x
在
2 ， 上交点的横坐标为
，则 sin2 的值
为
．
11．如图， 正六边形 ABCDEFEຫໍສະໝຸດ DA 中，若
AD AC AE
（ ， R ），则
F 的值
C C
为
．
2
A
B
（第 11 题）
B 6
3.5
（第 12 题）
12． 如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6 m，最低点 B 处离地面 3.5 m．若从离地高 2 m 的 C 处观赏它， 则
M
0 ，1 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 作直线 l1 交椭圆 C 于 P ，Q 两点， 过点 M 作直线 l1 的垂线 l2 交圆 P
y
AQ M
O
N
x
O 于另一点 N ．若△ PQN 的面积为 3，求直线 l1 的斜率．
（第 17 题）
18． 南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长
y2 b 2 1（ a
0 ，b
0 ）的右准线与两条渐近线分别交于
△AOB 的面积为 ab ，则该双曲线的离心率为
．
4
A，B 两点．若
9． 已知直角梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AB⊥ BC， AB=3 cm， BC=1 cm ， CD=2 cm ．将此直角梯形绕 AB 边所
在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为
（ 2）当风筝面 AEA F 的面积为 3 m2 时，求点 A 到 AB 距离的最大值．
D
A
2019届高三第三次调研测试数学试题
2019届高三下学期第三次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上．1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值 是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 ▲ ．6．在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则→BD ·→BE 的值为 ▲ ．7.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 8.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ．9.若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:xC y e =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10.已知矩形ABCD 的边4,3AB BC ==，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D-ABC 的体积为 ▲ ．甲 乙8 9 7 8 9 3 10 6 97 8 9 （第5题图）（第4题图）11．若将函数f (x )＝∣sin(ωx －π6)∣(ω＞0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数ω的最小值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)2C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是 ▲ ． 13．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x+==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲14. 若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二．解答题15.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知31sin ,tan()42A AB =-=- (1) 求tan B 的值； (2) 若5b =，求c 。
精选-江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试题
江苏省七市届高三数学第三次调研考试试题(满分分，考试时间分钟)．一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．. 已知集合＝{－，，，}，＝{，}，则∁＝．. 已知复数＝(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为．. 右图是一个算法流程图．若输出的值为时，则输入的值为．. 已知一组数据，，，，的平均数是，且＝，则该组数据的方差为．. 一只口袋装有形状、大小都相同的只小球，其中有只白球，只红球．从中次随机摸出只球，则只球都是白色的概率为．. 已知函数()＝则不等式()＞(－)的解集为．. 已知数列{}是等比数列，其前项和为.若－＝，＝，则的值为．. 在平面直角坐标系中，双曲线－＝(＞，＞)的右准线与两条渐近线分别交于，两点．若△的面积为，则该双曲线的离心率为．. 在直角梯形中，∥，⊥，＝，＝，＝ .将此直角梯形绕边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为. . 在平面直角坐标系中，若曲线＝与＝在(，π)上交点的横坐标为α，则α的值为．. 如图，在正六边形中，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λ＋μ的值为．(第题)(第题). 如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点处离地面．若从离地高的处观赏它，则离墙时，视角θ最大．. 已知函数()＝－＋，()＝.若对任意∈[，]，总存在∈[，]，使得()≤()成立，则实数的值为．. 在平面四边形中，∠＝°，＝，＝.若·＋·＝·，则＋的最小值为．二、解答题：本大题共小题，共分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．. (本小题满分分)在△中，，，分别为角，，所对边的长，( － )＝(－)( ＋ )．() 求角的值；() 若＝，求的值．.(本小题满分分)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面⊥平面，＝，点，分别是，的中点．求证：() ⊥；() ∥平面.(本小题满分分).如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：＋＝(＞＞)的上顶点为(，)，圆：＋＝经过点(，)．() 求椭圆的方程；() 过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点.若△的面积为，求直线的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长，宽的长方形牛皮纸裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边，上取点，，将三角形沿直线翻折到′处，点′落在牛皮纸上，沿′，′裁剪并展开，得到风筝面′，如图.() 若点恰好与点重合，且点′在上，如图，求风筝面′的面积；() 当风筝面′的面积为时，求点′到距离的最大值．已知数列{}满足(－－)＝(－)－(≥)，＝－(∈*)．() 若＝，求证：数列{}是等比数列；() 若存在∈*，使得，，成等差数列．①求数列{}的通项公式；②求证：＋＞(＋)－＋.已知函数()＝)(≠)，是自然对数的底数．() 当＞时，求()的单调增区间；() 若对任意的≥，()≥－(∈)，求的最大值；() 若()的极大值为－，求不等式()＋＜的解集.届高三模拟考试试卷数学附加题(满分分，考试时间分钟). 【选做题】在，，三小题中只能选做两题，每小题分，共分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．. (选修：矩阵与变换)已知，，，∈，矩阵＝)))的逆矩阵－＝.若曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线＝＋，求曲线的方程．. (选修：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点，的极坐标分别为(，)，(，)，曲线的方程为ρ＝(>)．() 求直线的直角坐标方程；() 若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值．.(选修：不等式选讲)已知∈，若关于的方程＋＋－＋＝有实根，求的取值范围．【必做题】第，题，每小题分，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．. 现有一款智能学习，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该积分规则如下：每阅读一篇文章积分，每日上限积分；观看视频累计分钟积分，每日上限积分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表所示，视频学习积分的概率分布表如表所示．表() 现随机抽取人了解学习情况，求其每日学习积分不低于分的概率；() 现随机抽取人了解学习情况，设积分不低于分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．() 求－的值；() 化简－.届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准. {－，}. －. －. . . (－，)∪(，＋∞). . . . －. . . －.. 解：() 在△中，因为( － )＝(－)( ＋ )，由正弦定理)＝)＝)，所以(－)＝(＋)(－)，(分)即＋－＝.由余弦定理＝＋－，得＝.(分)因为<<π，所以＝.(分)() (解法)因为＝及＋－＝，得＝＋－＝，即＝.(分)由正弦定理)＝)，得＝)，所以＝.(分)(解法)由正弦定理)＝)，得＝ .由＋＋＝π，得(＋)＝ .因为＝，所以＋＝，即＝．(分)因为＋＝，解得＝.在△中，因为 >，所以＝.(分) . 证明：() 在△中，因为＝，点是的中点，所以⊥.(分)因为平面⊥平面，平面∩平面＝，?平面，所以⊥平面.(分)因为平面，所以⊥.(分)() 如图，取的中点，连结，.在△中，因为点是的中点，所以∥，＝.(分)又底面是平行四边形，点是的中点，所以∥，＝.所以∥，＝，所以四边形是平行四边形，所以∥.(分)因为平面，平面，所以∥平面.(分). 解：() 因为椭圆的上顶点为(，)，所以＝.又圆：＋＝经过点(，)，所以＝.(分)所以椭圆的方程为＋＝.(分)() 若直线的斜率为，则＝，＝，所以△的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为.(分)设直线的方程为＝＋，由消，得(＋)＋－＝.设(，)，(，)，则＝，＝，所以＝＝＝.(分)由题可知，直线的方程为＝－＋，即＋－＝，所以＝＝.(分)所以△的面积＝·＝×·＝，解得＝±，即直线的斜率为±.(分). 解：() (解法)建立如图所示的直角坐标系，则(，)，(，)，直线的方程为＋－＝.(分)设(，)(>)，因为点到与的距离相等，所以＝，解得＝或＝－(舍去)．(分)所以△的面积为××＝，所以四边形′的面积为 .答：风筝面′的面积为 .(分)(解法)设∠＝θ，则∠′＝θ.在直角三角形中，θ＝＝，(分)所以θ－θ)＝，解得θ＝或θ＝－(舍去)．所以＝θ＝.(分)所以△的面积为××＝，所以四边形′的面积为 .答：风筝面′的面积为 .(分)() (解法)建立如图所示的直角坐标系．设＝，＝，′(，)，则直线的方程为＋－＝.因为点，′关于直线对称，所以解得＝.(分)因为四边形′的面积为，所以＝，所以＝＝.因为<≤，<≤，所以≤≤.(分)设()＝＋，≤≤，则′()＝－＝.令′()＝，得＝或＝－(舍去)．列表如下：所以的最大值为，此时点′在上，＝，＝.答：点′到距离的最大值为．(分)(解法)设＝，∠＝θ，则＝θ.因为四边形′的面积为，所以·＝，即θ＝，所以θ＝.过点′作的垂线′，垂足为，则′＝′· θ＝· θ＝θ(分)＝·θθθ＋θ)＝·θθ＋)＝·＝.因为<≤，<≤，所以≤≤.(分)(下同解法). () 证明：由(－－)＝(－)－，得＝＋－，得－＝，即＝－.因为＝，所以＝－＝－≠，所以＝(≥)，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列．(分)() ①解：设－＝λ，由()知＝－，所以＝－＝－＝…＝－，即－＝λ·－，所以＝λ·－＋.(分)因为，，成等差数列，则(λ·－＋)＋(λ·＋＋＋)＝(λ·＋＋)，所以λ·－＝，所以λ＝，所以＝，即＝.(分)②证明：要证＋>(＋)－＋，即证(＋＋)>，即证＋>.设＝，则＋＝－＋＝－，且>，从而只需证：当>时，－> ．(分)设()＝－－ (>)，则′()＝＋－＝(－)>，所以()在(，＋∞)上单调递增，所以()>()＝，即－> .因为>，所以－> ，所以原不等式得证．(分). 解：() ()的定义域为(，－)∪(－，＋∞)．由′()＝）－·(),（＋）)＝）,（＋）)，(分)令′()>，因为>，得>－.因为－>－，所以()的单调增区间是(－，＋∞)．(分)() 当<时，()＝<<－，不合题意；当>时，令′()<，得<<－或－<<－，所以()在区间(，－)和(－，－)上单调递减．因为∈(－，－)，且()在区间(－，＋∞)上单调递增，所以()在＝－处取极小值，即最小值为.(分)若≥，()≥－，则≥－，即≥.不妨设>，则≤.(分)设()＝(>)，则′()＝.当<<时，′()>；当>时，′()<，所以()在(，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以()≤()，即≤，所以的最大值为.(分)() 由()知，当>时，()无极大值．当<时，()在(，－)和(－，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，所以()在＝－处取极大值，所以(－)＝＝－，即＝－.(分)设()＝()＋，即()＝－)，当∈(，－)，＋ <，所以()>；当∈(－，＋∞)，′()＝－）,（＋）)，由()知≤，又＋≤(＋ )，所以′()≥，且()不恒为零，所以()在(－，＋∞)上单调递增．不等式()＋<，即为()<＝()，所以－<<，即不等式的解集为(－，)．(分)届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准. . 解：由题意，得－＝，即)))＝＝，所以＝，＝，＝，＝，即矩阵＝))).(分)设(，)为曲线上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下变为点′(′，′)，则＝)))，即(分)由已知条件可知′(′，′)满足＝＋，整理得－＋＝，所以曲线的方程为－＋＝.(分) . 解：() 分别将(，)，(，)转化为直角坐标，即(，)，(－，－)，所以直线的直角坐标方程为－＋＝.(分)() 曲线的方程为ρ＝(>)，其直角坐标方程为＋＝.又直线和曲线有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为＝，即的值为.(分). 解：因为关于的方程＋＋－＋＝有实根，所以Δ＝－(－＋)≥，即－＋≤.(分)当≥时，－≤，得≤≤；当<<时，≤，恒成立，即<<；当≤时，－≤，得－≤≤.综上，所求的取值范围是－≤≤.(分). 解：() 由题意，获得的积分不低于分的情形有因为两类学习互不影响，所以概率＝×＋×＋×＋×＝，所以每日学习积分不低于分的概率为.(分) () 随机变量ξ的所有可能取值为，，，. 由()知每个人积分不低于分的概率为，则(ξ＝)＝()＝；(ξ＝)＝()()＝；(ξ＝)＝()()＝；(ξ＝)＝()＝.所以随机变量ξ的概率分布列为(分)所以(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.所以随机变量ξ的数学期望为.(分)。
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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学2019届高三第三次调研测试必试部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案写在答题卡对应的位置上） 1．已知集合},2{}.|{},2|{=≥=≤=B A a x x B x x A 若集合则实数a = 。
2．命题：“x x ≤∈∀sin ),2,0(π”的否定是 。
3．已知i 是虚数单位，计算：22)12()121(ii i i +---+= 。
4．在△ABC 中，AB=2，D 是AC 的中点，若BD AB AC AB ⋅=⋅则,4= 。
5．某公司招聘员工，面试人数y 拟照公式x x x x x x x y 其中确定,1005.1,10010,102,1001,4⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=表示拟录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为 人。
6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒△BCD 内的频率稳定在94附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 。
7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为54，则判断框中应填入的条 件是：a< 。
8．已知定义在R 上的函数,3)0(,)2||,0)(sin(2)(=<>+=f x x f 且最小正周期是的ππϕωϕω则ϕ= 。
9．设数列)(log 1log }{*212N n x x x n n n ∈+=+满足，且,}{,101021n n S n x x x x 项和为的前记=+++ 则S 20= 。
10．椭圆131222=+y x 的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴的正半轴上，那么点P 的坐标是 。
11．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 。
12．若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对任意的正整数n 都成立，则a 的取值范围是 。
13．已知函数,),4()0,(),,,()(23时当为常数+∞-∞∈+++= k d c b d cx bx x x f 方程0)(,)4,0(,0)(=-∈=-k x f k k x f 方程时当有且仅有一个实根有3个相异实根。
给出下列4个命题：①方程0)(4)(='=x f x f 和有且仅有一个相同的实根； ②方程0)(0)(='=x f x f 和有且仅有一个相同的实根；③方程01)(03)(=-=+x f x f 的任一实根都大于的任一实根； ④方程02)(05)(=-=+x f x f 的任一实根都小于的任一实根。
其中正确命题的序号是 。
14．定义区间(](]b a c d c d d c d c d c d c ,.,],[),,(,,,,若其中的长度均为>-是实数，且x bx a x b a 的则满足不等式111,≥++->构成的区间的长度之和为 。
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。
请将解答写在答题卡对应的位置上。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.2c o ss i n s i n ,32222C B A bc a c b =+=+（1）求角A ，B ，C 的大小；（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积。
16．（本小题14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，经过两点).55,2(),552,1(-B A 圆C 以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径。
（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若点P 是圆C 上的一个动点，求⋅的取值范围。
17．（本小题14分）在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AB 的中点（如图1）。
将四边形ABCD 沿FG 折成空间图形（如图2）后， （1）求证：DE ⊥FG ；（2）线段BG 上是否存在一点M ，使得AM//平面BDF ？若存在，试指出点M 的位置，并证明之 ；若不存在，试说明理由。
18．（本小题16分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm 3。
设圆柱的底面直径为4x(cm)，工艺品的表面积为S(cm 2)。
（1）试写出S 关于x 的函数关系式；（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？19．（本小题16分）对于数列},{n a（1）已知}{n a 是一个公差不为零的等差数列，a 5=6。
①当,5,,,,,221213 <<<<<=t t n n n n n n a 满足若自然数时且 t nt n n n t a a a a a 表示试用是等比数列,,,,,,,2153 ；②若存在自然数 ,,,,,,,5,,,,21532121nt n n t t a a a a a n n n n n n 且满足<<<<< 构成一个等比数列。
求证：当a 3是整数时，a 3必为12的正约数。
（2）若数列}{,043}{200911n n n n n n a a a a a a a 小于数列且满足=+++++中的其他任何一项，求a 1的取值范围。
20．（本小题16分）设函数],[,22log )(n m x x x x f a ∈+-=是单调减函数，值域为)].1(log 1),1(log 1[-+-+m n a a（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：n m <<<42；（3）若函数],[,22log )1(log 1)(n m x x x x x g aa ∈+---+=的最大值为A ，求证：.10<<A加试部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。
21．[选做题]A ．选修4—1：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC=PD ，求证： （1）l 是⊙O 的切线； （2）PB 平分∠ABD 。
B ．选修4—2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 的四个顶点A （0，1），B （2，1），C （2，3），D （0，2），经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k M 表示的变换作用后，四边形ABCD 变为四边 A 1B 1C 1D 1，问：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的面积是否相等？试证明你的结论。
C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为).,(1,3,2sin 3cos 2222R ∈⎩⎨⎧+=-==+t t ty t x l 为参数的参数方程为直线θρθρ试在曲线C上求一点M ，使它到直线l 的距离最大。
D ．选修4—5：不等式选讲 已知.9)11)(1(:.0,022≥++++>>ab a a b a b a 求证[必做题]22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球。
依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球。
记取球的次数为X 。
若307)2(==X P ，求： （1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望。
23．（本小题10分）已知F 为抛物线),(),,(,:22112y x B y x A x y C 的焦点=是抛物线C 上的两点，且.21x x <（1）若λλλ则),(R ∈=FB FA 为何值时，直线AB 与抛物线C 所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？（2）若直线AB 与抛物线C 所围成的面积为34，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
参考答案1．2 2．x x x >∈∃sin ),2,0(π3．0 4．—2 5．25 6．947．5 8．3π9．10250 10．)23,3( 11．]21,42[ 12．),1()21,0(+∞⋃ 13．①②④ 14．215．解：（1）在bc a c b bc a c b ABC 3,3,222222=-++=+∆得由中，所以.232cos 222=-+=bc a c b A .6,0,ππ=<<∆A A A B C 所以因为中在 ………………2分又因为,2cos 1sin 21,2cossin sin 2CB C B A +==所以 即.cos 1sin C B += ① ……………………4分 .65,,C B C B A A B C -==++∆ππ所以因为中在 代入①得,cos 1)65sin(C C +=-π,1c o s 21s i n 23,c o s 1s i n 23c o s 21=-+=+C C C C C 即即 .1)6s i n (=-πC 即 ② ………………6分,6566,0ππππ<-<-<<C C 所以因为 所以，由②得.32,26πππ==-C C 即所以.63265πππ=-=B综上，.32,6,6πππ===C B A ………………8分（2）在△ABC 中，由于BC 边上中线AM 的长为7，故在△ABM 中，由余弦定理得6c o s 224222π⋅⋅-+=a c a c AM ， 即.234722ac a c -+= ③ ………………10分在△ABC 中，由正弦定理得,32s i n6s i n 6s i n πππcb a ==即.3c b a == ④ ………………12分由③④解得.32,2,2===c b a故.3232221sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 的面积 ………………14分 16．解：（1）设椭圆E 的标准方程为).,0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且 …………2分因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,1514,154,)55,2(),552,1(n m n m E B A 所以上在椭圆 …………4分解得1,51==n m ，满足条件 所以所求椭圆E 的标准方程为.1522=+y x ………………6分 （2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1， 故圆C 的方程为.1)2(22=+-y x ………………8分 设),(),,2(),,(y x y x y x P =-=则，所以.322)2(222-=-+=+-=⋅x x y x y x x ………………10分 因为.31,121,1)2(,1)2(222≤≤≤-≤-≤-=+-x x x y x 得即所以 所以,3321≤-≤-x即OP CP ⋅的取值范围为[—1，3]。