千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第2炼 充分条件与必要条件xs

第2炼 充分条件与必要条件
一、基础知识
1、定义：
（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，
（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件
2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。

所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假
3、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件
（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件
（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价
（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件
4、如何判断两个条件的充分必要关系
（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。

例如2
:1;:10p x q x =-=，构造命题：
“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件
（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系
① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。

在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。

以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2
:10
q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”
② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必
要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。

仍以上题为例：如果2:10q x -=不成立，那么x 必然不为1，但是仅靠2:10q x -=想得到:1p x =也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”
（3）运用集合作为工具
先看一个问题：已知P Q ,那么条件“x P ∈”是“x Q ∈”的什么条件？
由P Q 可得到：x P x Q ∈⇒∈，且x Q ∈推不出x P ∈，所以“x P ∈”是“x Q ∈”充分不必要条件。

通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。

在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。

相关结论如下：
① P Q ：p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件
② P Q ⊆：p 是q 的充分条件
③ P Q =：p 是q 的充要条件
此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。

例如在
2:1;:10p x q x =-=中，
满足p 的x 取值集合为{}1P =，而满足q 的x 取值集合为{}1,1- 所以P Q ，进而判断出p 是q 的充分不必要条件
5、关于“,p q ⌝⌝”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。

例如：p 是q 的充分不必要条件，则命题“若p ，则q ”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”也为真命题。

所以q ⌝是p ⌝的充分不必要条件
二、典型例题：
例1：已知2:31,:60p x q x x -<+->，则p 是q 的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
例2：已知,a b R ∈，那么1122log log a b >是33a b
<的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
例3：已知3:,:11
p x k q x ≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是_____ 例4：下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）
A. 1a b >+
B. 1a b >-
C. 22a b >
D. 33a b > 例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合{}1|
0,|11x A x B x x a x -⎧⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 例6：对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 例7：已知,a b R ∈，则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<<；条件q ：实数x 满足2280x x +->且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________
例9：数列{}n a 满足()
111,,0n n a a r a r n N r *+==⋅+∈≠，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 例10：设02x π
<<，则2sin 1x x <是sin 1x x <的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
三、近年模拟题题目精选
1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若,a b R ∈，则“a b a b -=+”是“0ab <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2、（2014南昌一模，3）设,a b 为向量，则“||=||||a b a b ⋅ ”是“//a b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4、（2014，北京）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5、（2014上海13校联考，15）集合{}20,()()01x A x B x x a x b x ⎧-⎫=<=--<⎨⎬+⎩⎭
，若
“2a =-”是“A B ≠∅I ”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）
A. 1b <-
B. 1b >-
C. 1b ≥-
D. 12b -<<
6、（2015，福建）“对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7、（2014北京朝阳一模，5）在ABC △中，π4A =，BC =则“AC =”是“π3B =”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8、（2014 湖北黄冈月考，4）已知条件3:4
p k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件9、(2014陕西五校二模，1）命题:p x R ∈且满足sin 21x =.命题:q x R ∈且满足tan 1x =.则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10、（2015北京理科）设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．
则“m β∥”是“αβ∥”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意0,,sin cos 2x k x x x π⎛⎫∈< ⎪⎝⎭”是“1k <”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件。