2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．2．过点（0，1）且与直线2x﹣y+1＝0垂直的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．x+2y﹣2＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 3．设，则＝（）A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（﹣4，1）D．（﹣4，﹣1）4．圆锥的底面直径为2，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（）A．B．2C．D．45．已知向量，满足||＝1，•＝﹣1，则•（2﹣）＝（）A．0B．2C．3D．46．已知x，y＞0且x+4y＝1，则的最小值为（）A．8B．9C．10D．117．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．458．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小为120°，则异面直线A1F与CE 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．在正项等比数列{a n}中，a22+a42＝900﹣2a1a5，a6＝9a4，则a2022的个位数字是（）A．1B．3C．7D．911．刘徽注《九章算术•商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC﹣A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．M为△ABC内部的一点，且a+b+c＝，若＝λ+μ，则的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．直线x﹣y+a＝0的倾斜角为．14．已知{a n}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}前n项和，则S10的值为．15．圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若+＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为O，点M是AB的中点，点P是球O上任意一点，下列四个结论：①线段PM的长度最大值是9；②存在过点M的平面，截球O的截面面积是7π；③过点M的平面截球O所得截面面积最小时，B1C1平行该截面；④过点M的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直该截面．其中正确的结论序号是．（写出所有正确的结论序号）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求关于x的不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1M；（Ⅱ）设AB＝2，AA1＝，求点A1到平面BC1M的距离．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝﹣a n+，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为T n，求证：．21．四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，AB＝2．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°？若存在，求AM 的长度；若不存在，说明理由．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝3S2+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足b n＝（n∈N*），求数列b n的前n项和T n；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式2λnT n﹣﹣2nλ+b n＜0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．【分析】由a＞b，根据不等式的基本性质即可得出结论．解：由a＞b，可得ac与bc大小关系不确定，ac2≥bc2，a+c2＞b+c2，与的大小关系不确定．因此只有C确定．故选：C．2．过点（0，1）且与直线2x﹣y+1＝0垂直的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．x+2y﹣2＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】由已知直线的斜率可得所求直线的斜率，再由直线方程的斜截式得答案．解：∵所求直线与直线2x﹣y+1＝0垂直，而直线2x﹣y+1＝7的斜率为2，∴所求直线的斜率为﹣，由所求直线过点（0，1），故选：B．3．设，则＝（）A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（﹣4，1）D．（﹣4，﹣1）【分析】可以得出，然后带人的坐标，进行向量坐标的减法和数乘运算即可．解：＝．故选：D．4．圆锥的底面直径为2，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（）A．B．2C．D．4【分析】若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，求出圆锥的母线长为l＝2，由此能求出圆锥的高．解：若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，∴圆锥的母线长为l＝2，故选：A．5．已知向量，满足||＝1，•＝﹣1，则•（2﹣）＝（）A．0B．2C．3D．4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．解：•（2﹣）＝2﹣•＝2×1﹣（﹣5）＝3．故选：C．6．已知x，y＞0且x+4y＝1，则的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】由＝（）（x+4y），展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．解：∵x，y＞0且x+4y＝1，∴＝（）（x+4y）＝1+4+．∴的最小值为8．故选：B．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【分析】由题意利用等差数列的性质，求出S6的值．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S6）＝S3+S9﹣S6 ，故选：B．8．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小为120°，则异面直线A1F与CE 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以E为原点，在平面A1EB中，过E作EB的垂线为x轴，EB为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1F与CE所成角的余弦值．解：矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A5﹣EF﹣B的大小为120°，A1（，﹣，0），F（5，0，1），C（0，1，1），E（3，0，0），设异面直线A1F与CE所成角为θ，∴异面直线A1F与CE所成角的余弦值为．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：根据三角形的面积公式：S表＝S四边形ABCD+S△SAB+S△SBC+S△SDC+S△SAD，＝．故选：D．10．在正项等比数列{a n}中，a22+a42＝900﹣2a1a5，a6＝9a4，则a2022的个位数字是（）A．1B．3C．7D．9【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求q及a2，进而可求a2022，然后根据个位数周期性出现即可求解．解：∵正项等比数列{a n}中，∵+＝900﹣7a1a5＝900﹣2a2a4，∴＝900，故a2+a8＝30．再根据a2•（1+q2）＝30，求得，a2＝3．a2022＝a2•q2020＝32021＝3505×4+3，故a2022的尾数即为3的尾数，故选：B．11．刘徽注《九章算术•商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC﹣A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】设正方体的棱长为a，分别计算出三种情况下四面体的各边长，结合线面垂直的性质以及勾股定理可判断每种情况下各个三角形是否为直角三角形，即可选出正确答案．解：设正方体的棱长为a，则由题意知，∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°，，又BC＝a，当P为A1B的中点时，因为BC⊥面ABB1A1，那么△PAB是直角三角形，则又BC＝a，由勾股定理可知，△PBC不是直角三角形，则此时当P为A1C的中点时，此时，又△PAC不是直角三角形，则此时P﹣ABC不是鳖臑；故选：B．12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．M为△ABC内部的一点，且a+b+c＝，若＝λ+μ，则的最小值为（）A．B．C．D．1【分析】由a+b+c＝，可得＝+，然后用含a、b、c的式子分别表示出λ和μ，得到＝+1，再在△ABC中，结合余弦定理和基本不等式的性质，得到≥，进一步求出的最小值．解：∵a+b+c＝，∴a＝b+c＝b（﹣）+c（﹣），∵＝λ+μ，∴λ＝，μ＝，在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣5bc•cos A＝b2+c2+bc＝，∴a2≥（b+c）2﹣×＝（b+c）2，∴＝+1≥+1＝．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．直线x﹣y+a＝0的倾斜角为60°．【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．解：设直线x﹣y+a＝0的倾斜角是α，则直线的方程可化为y＝x+a，∵2°≤α＜180°，故答案为60°．14．已知{a n}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}前n项和，则S10的值为﹣110．【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：{a n}为等差数列，其公差为2，由a7是a3与a9的等比中项，可得a74＝a3a9，即（a1+12）2＝（a1+7）（a1+16），则S10＝10×（﹣20）+×10×8×2＝﹣110．故答案为：﹣110．15．圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若+＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为3．【分析】由△ABC外接圆圆心O满足，可得点O在BC上．由于．可得△OAC是等边三角形．可得，进而得到向量在方向上的投影＝．解：△ABC外接圆半径等于2，其圆心O满足，∴点O在BC上，∴∠BAC＝90°．∴△OAC是等边三角形．∴＝2．故答案为：3．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为O，点M是AB的中点，点P是球O上任意一点，下列四个结论：①线段PM的长度最大值是9；②存在过点M的平面，截球O的截面面积是7π；③过点M的平面截球O所得截面面积最小时，B1C1平行该截面；④过点M的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直该截面．其中正确的结论序号是②．（写出所有正确的结论序号）．【分析】球心O在体对角线的中点，求出球的半径，然后求OM的长+半径，即可判断①；过点M的平面截球O所得截面面积最小时，即OM垂直于截面，此时该截面圆的面积恰好为7π，由图可判断可判断OM与B1C1异面且不垂直，可得此时B1C1不平行该截面，可判断②③；过点M的平面截球O所得截面面积最大时，即为过球心的大圆面，可为截面ABC1D1，显然B1C与BC1不垂直，即可判断④．解：对于①，由题意可知球心O在体对角线的中点，直径为＝8，即球半径是4，故①错误；面积为5π，由图可得OM与B1C1异面且不垂直，所以此时B1C1不平行该截面，故②正确，③错误；显然B1C与BC4不垂直，故④错误．故答案为：②．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为3x+4y+c＝0，把A（1，0）代入，能求出直线l的方程．（Ⅱ）由点B（a，1）到直线l：3x+4y﹣3＝0的距离小于2，利用点到直线的距离公式列出不等式，能求出实数a的取值范围．解：（Ⅰ）∵直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝6平行．∴设直线l的方程为3x+4y+c＝0，∴直线l的方程为2x+4y﹣3＝0．∴d＝＜2，∴实数a的取值范围是（﹣，3）．18．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求关于x的不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）＜4，利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝3，然后根据条件可知，只需a＞f（x）min即可．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝．∵f（x）＜4，∴或﹣1≤x≤2或，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝3．∴a＞f（x）min＝3，∴a的取值范围为（8，+∞）．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1M；（Ⅱ）设AB＝2，AA1＝，求点A1到平面BC1M的距离．【分析】（Ⅰ）连结B1C，交BC1于点N，连结MN，则MN∥AB1，由此能证明AB1∥平面BC1M．（Ⅱ）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面BC1M的距离．解：（Ⅰ）证明：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AC的中点．由正三棱柱的性质得四边形BCC1B2是矩形，连结MN，则MN∥AB1，∴AB1∥平面BC1M．AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，＝（，0，0），＝（0，1，），＝（0，﹣1，），则，取y＝，得＝（3，，﹣1），∴点A1到平面BC1M的距离d＝＝＝．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝﹣a n+，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为T n，求证：．【分析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用裂项相消法和放缩法的应用求出结果．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝﹣a n+，①当n＝5时，，解得a1＝1．①﹣②得，所以＝．所以＝，则＝．21．四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，AB＝2．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°？若存在，求AM 的长度；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知可得AE⊥PB，再由底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，利用平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面PAB，进一步得到BC⊥AE，然后由直线与平面垂直的判定可得AE⊥平面PBC，从而得到平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）取PA中点G，连接BG，同（Ⅰ）可证BG⊥平面PAD，假设棱AD上存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°，连接BM，GM，得到GM＝BG＝，求解直角三角形可得AM．解：（Ⅰ）证明：∵△PAB为等边三角形，E为PB的中点，∴AE⊥PB．∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面AEF，（Ⅱ）取PA中点G，连接BG，同（Ⅰ）可证BG⊥平面PAD．则∠BGM为BM与平面PAD所成角为45°，则GM＝BG，在Rt△GAM中，由GM＝，GA＝1，得AM＝．故棱AD上存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°，AM的长度为．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝3S2+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足b n＝（n∈N*），求数列b n的前n项和T n；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式2λnT n﹣﹣2nλ+b n＜0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）设公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）由题意可得，，由数列求和的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；（Ⅲ）由题意得恒成立，设，再利用作差法求数列{c n}的单调性，进而求出数列c n的最大值即可．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝3S2+1，又因为a1＝1，所以q5﹣2q﹣3＝0，当q＝8时，；当q＝﹣1时，．，两式相减，化简得到，（Ⅲ）∵，设，那么当n＝1时c n+8＞c n；当n≥2时c n+1＜c n，∴，故λ的取值范围为．。