高考数学优化方案第2章§2.2

(2)基本初等函数的值域
思考感悟 1．函数为整式、分式、根式、指数或对数 函数时，定义域有什么特点？ 提示：(1)整式的定义域是实数集R；分式的 分母不为零； (2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次 方没有意义； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且 不等于1.
求下列函数的值域： x2－x (1)y＝ 2 ； x －x＋1 (2)y＝x－ 1－2x； x e －1 (3)y＝ x . e ＋1
例3
【思路分析】
(1)是分式型可考虑分离常数
法，配方法或者判别式法．(2)是无理函数型 ，可考虑换元法或者单调性法法) 1 ∵y＝1－ 2 ， x －x＋1 1 3 3 2 2 而 x －x＋1＝x－2 ＋ ≥ ， 4 4 1 4 ∴0＜ 2 ≤ ， x －x＋1 3 1 1 ∴－ ≤y＜1.∴值域为－3，1. 3
4．函数的值域与最值有密切关系，某些连 续函数可借助函数的最值求值域，利用配方 法、判别式法、基本不等式求值域时，一定 注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的 条件．如例3的(1)．
失误防范
1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函 数的值域， 并且它是研究函数性质的基础． 因 此， 我们一定要树立函数定义域优先意识． 如 1 例 3 的(2)中，不可忽略 x≤ 的取值． 2 2．求解有关函数定义域、值域问题时，易忽 略函数定义要求的定义域， 值域为非空数集． 3．求复合函数定义域问题时，忽视中间变量 的取值，如例 4.
若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元 ．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消 耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小 ，并求最小值．
(2)若原函数的值域不易直接求解，可以 考虑求其反函数的定义域，根据互为反 函数的两个函数定义域与值域互换的特 cx＋d 点，确定原函数的值域，如 y ＝ ax＋b (a≠0)型函数的值域，可采用反函数法， 也可用分离常数法．
互动探究 2 在例 3 中，对于(1)变为函 x2－x＋1 数 y＝ 2 ，对于(2)变为 y＝ 2x－ x －x 2x－1.如何求它们的值域．
答案：C
lgx－2 2．函数 y＝ 的定义域为( x A．{x|x≠0} C．{x|x≥2}
答案：B
)
B．{x|x≥3} D．{x|x>2}
3．函数 f(x)＝ 1－2 的定义域为 A，值域为 B，则 A∩B＝( A．(－∞，0] C．{0}
答案：C
x
) B．[0，＋∞) D．∅
1 4 ． 函 数 f(x) ＝ 2 (x ∈ R) 的 值 域 为 1＋x ________．
(2)法一：(单调性法) 1 定义域 xx≤2 ，函数 y ＝ x ， y ＝－ 1 1 1－2x均在－∞，2上递增， 故 y≤ － 2 1 1 1－2× ＝ . 2 2 1 ∴y∈(－∞， ]． 2
法二：(换元法) 1－ t 令 1－2x＝t，则 t≥0，且 x＝ . 2 1 1 2 ∴y＝－ (t＋1) ＋1≤ (t≥0)， 2 2 1 ∴y∈－∞，2 .
【误区警示】 本题转化为二次方程后，易 丢掉u－m＝0的讨论．
方法感悟 方法技巧 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式组； (3)写出函数定义域(注意用区间或集合的形 式写出)．如例1
2．对于复合函数求定义域问题，若已知f(x) 的定义域[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出． 若已知f[g(x)]的定义域为[m，n]，f(x)的定义 域是当x∈[m，n]求g(x)的值域，如例2. 3．函数值域的几何意义是对应函数图象上 点的纵坐标的变化范围，利用函数几何意义 ，数形结合可求某些函数的值域．
(2)y＝ 2x－ 2x－1＝
1 2x＋ 2x－1
1 ∵定义域为[ ，＋∞)，u＝ 2x＋ 2x－1在 2 1 x∈[ ，＋∞)上为增函数， 2 ∴u＝ 2x＋ 2x－1≥1，∴0<y≤1. ∴y 的值域为(0,1]．
定义域、值域的综合应用 给出函数的定义域或值域求其中字母参数的 取值范围，其关键是从定义域、值域入手， 做好转化．
2
得(u－m)x －8x＋(u－n)＝0. ∵x∈R，且设 u－m≠0， ∴Δ＝(－8)2－4(u－m)(u－n)≥0， 即 u2－(m＋n)u＋(mn－16)≤0.
由 1≤u≤9 知，u 的一元二次方程 u2－ (m＋n)· u＋(mn－16)＝0 的两根为 1 和 9， 由韦达定理得， m＋n＝1＋9， 解得 m＝n＝5. mn－16＝1×9. 若 u－m＝0，即 u＝m＝5 时，对应 x＝ 0，符合条件， ∴m＝n＝5 为所求．
mx2＋8x＋n 例4 已知函数 f(x) ＝ log3 的定义域为 2 x ＋1 (－∞，＋∞)，值域为[0,2]，求实数 m、n 的值．
【思路分析】
mx2＋8x＋n 设中间变量 u＝ ， 2 x ＋1
根据 u>0 的解集为 R，且 1≤u≤32，求 m，n.
【解】
mx2＋8x＋n 由 u＝ ， 2 x ＋1
x2－x＋1 1 1 解：(1)y＝ 2 ＝1＋ 2 ＝1＋ 12 1 x －x x －x x－ － 2 4 12 1 1 若设 t＝(x－ ) － ；则 t∈[－ ，0)∪(0，＋∞)， 2 4 4 1 ∴ ∈(－∞，－4]∪(0，＋∞) t 1 ∴1＋ ∈(－∞，－3]∪(1，＋∞) t ∴y 的值域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)．
1 ∴y∈(－∞， ]． 2 1 ∴y∈(－∞， ]． 2 法二：(判别式法) x2－x 由 y＝ 2 ，得 x －x＋1 (y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.
∵y＝1 时，x∈∅， ∴y≠1.又∵x∈R， ∴必须 Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0. 1 ∴－ ≤y≤1. 3 1 ∵y≠1，∴函数的值域为－ ，1 . 3
考向瞭望·把脉高考
考情分析
在高考中本节内容是考查的重点，或者直接 考查，或者以本节内容为背景结合其他知识 点进行考查，例如定义域与反函数结合，定 义域与根式函数，对数、指数函数及集合的 运算相结合，解析式与求函数值结合，值域 与求最值结合．
2010年的高考中，单独考查函数定义域的省 份不多，以广东省为代表，单独考查值域的 也不多，有天津和四川等省份，大多数都与 函数性质，结合起来考查． 预测2012年的高考中主要是(1)与不等式的考 查相结合，以选择、填空题的形式考查定义 域的求法；(2)与函数的单调性相结合，考查 函数的值域或最值的求法，一般出现在解答 题中．
(1) 由
得
∴函数的定义域为 (－∞，－2)∪ (－ 2，－ 1] ∪[1,2)∪(2，＋∞)．
4x＋3>0， (2)由4x＋3≠1， 5x－4≠0
3 x>－ ， 4 1 得x≠－2， 4 x≠ . 5
∴函数的定义域为 3 1 1 4 4 (－ ，－ )∪(－ ， )∪( ，＋∞)． 4 2 2 5 5 (3)由 1－ex>0，得 ex<1，即 ex<e0，∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}．
(2)∵f(x＋5)的定义域为[0,4]， 即 0≤ x≤ 4， ∴5≤x＋5≤9，∴f(x)的定义域为[5,9]． 【领悟归纳】 本例中的题目有本质的区别 (1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域． (2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域． 两个题目中都要视g(x)为一整体，g(x)是复 合函数的中间变量．
2
e －1 1＋y x (3)由 y＝ x 得，e ＝ . e ＋1 1－y 1＋y x ∵e >0，即 >0，解得－1<y<1. 1－y ∴函数的值域为{y|－1<y<1}．
x
【领悟归纳】 (1)判别式法：若函数为分式 结构，且分母中含有未知项x2，则常用此法 ．通常去掉分母转化为一元二次方程，再由 判别式Δ≥0，确定y的范围，即为原函数的 值域．要注意自变量x是否属于R.
数y＝f(2x)＋f(5－x)的定义域． (2)已知函数f(x＋5)的定义域为[0,4]，求函数 y＝f(x)的定义域． 【思路分析】 (1)中视“2x”与“5－x”为一整 体适合f(x)的定义域． (2)中x＋5的取值与g(x)的定义域是相同的．
【解】
(1)∵f(x)的定义域为[1,5]， 1 5 1≤2x≤5 ≤x≤ 2 ， ∴ 得2 1≤5－x≤5 0≤x≤4 1 5 ∴ ≤x≤ ， 2 2 ∴y＝f(2x)＋f(5－x)的定义域为 1 5 {x| ≤x≤ }． 2 2
规范解答
例
(2010 年高考湖北卷)(本题满分 12 分)为了在夏
季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层 k 厚度 x(单位： cm)满足关系： C(x)＝ (0≤x≤10)， 3x＋5
【领悟归纳】 务必使解析式有意义的不等式 1 列完备，如(2)中易丢掉 x≠－ ，(3)中易错写 2 为 1－ex≥0.
抽象函数的定义域
f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范 围为[a，b]，而不是g(x)的取值范围为[a，b] ．
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,5]，求函
§2.2 函数的定义域、值域
2.2 函 数 的 定 义 域 、 值 域 双基研习·面对高考 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．函数的定义域 自变量的 函数的定义域是指使函数有意义的______ 取值范围． 2．函数的值域 (1)定义 在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的 函数值，函数值的____ 集合叫函数的值域． 值叫______