2019华东师大初中数学八年级上册勾股定理全章复习与巩固(提高)巩固练习

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华师版数学八年级上册同步练习课件-第14章-勾股定理复习与巩固14

第14章勾股定理复习与巩固
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▪ 考点1 勾股定理及其逆定理 ▪ 【典例1】在一个直角三角形中，已知两边长分别是6和8，求第
三边长及周长． ▪ 分析：在直角三角形中，已知两边长，求第三条边长时，需用勾
股定理．条件中未指明哪条边是斜边，所以有两种可能：长为8 的边是斜边或所求边是斜边． ▪ 解答：①当所求边是斜边时，设其长为x. ▪ 根据勾股定理，得x2＝62＋82＝100，解得x＝10， ▪ ∴6＋8＋10＝24. ▪ 即第三边长是10，周长是24.
▪ (1)海港C会受台风影响吗？为什么？
▪ (2)若台风的速度为20 km/h，台风影响海港C17
解：(1)海港C会受台风影响．理由：如图，过点C作
CD⊥AB于点D.∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500
km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△
ABC＝
1 2
AC·BC＝
140(km)．∵台风的速度为20 km/h，∴140÷20＝7(h)．即台风影响海港C持续的时间
为7 h.
18
公D．路(260C2E－段80) m的长度为
(
)
14
3．【2018·山东东营中考】如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是 ( C )
A．3 1＋π
B．3 2
C．3
4＋π2 2
D．3 1＋π2
15
▪ 4．一幢高层住宅楼发生火灾，消பைடு நூலகம்车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起云梯搭在火灾窗口(如图)，1已4 知云梯长AB＝15米，云梯底部距地面BE＝2米，发生火灾的住户窗口A离地面有______米．

(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴ 又544a HF CH CF a a =+=+= ∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形2．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．（2015春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1：2：3B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5D ．三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m5．直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h +=D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A ．25B ．325C ．2197D ．4057．已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（） A ．()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B ．()()222221,4,1a m b m c m =-==+C ．()()222221,2,1a m b m c m =-==+D ．()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（）A ．86B ．64C ．54D ．48二．填空题9．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．（2014春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．三．解答题17．（2016春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉20．如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=， 222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2．【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．3．【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．故选D ．4．【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5．【答案】D ；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：ab c h =．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325．7．【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+．8．【答案】C ；【解析】解：如图1，S 1=AC 2，S 2=AB 2，S 3=BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选C ．二．填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．11．【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5．14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15．【答案】96；【解析】连接AC ，在Rt △ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC 2=100，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=102+242=262=AB 2，∴△ABC 为直角三角形； ∴图形面积为：S △ABC ﹣S △ACD =×10×24﹣×6×8=96．16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三．解答题17．【解析】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18．【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．19．【解析】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20．【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。

华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》章节测试含答案(4套).doc

第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。

备战中考数学(华师大版)巩固复习第十四章勾股定理(含解析)

2019备战中考数学〔华师大版〕稳固复习-第十四章勾股定理〔含解析〕一、单项选择题1.以下四组线段中 ,可以构成直角三角形的是〔〕A. 4 ,5 ,6B. 1.5 ,2 ,2.5C. 2 ,3 ,4D. 1 , ,32.以以下各组数为边长能构成直角三角形的是( )A. 1 ,1 ,B. 2 ,3 ,4C. 4 ,5 ,6D. 6 ,8 ,113.如图 ,一棵大树被台风刮断 ,假设树在离地面6m处折断 ,树顶端落在离树底部8m处 ,那么树折断之前高〔〕A. 15mB. 17mC. 18mD. 16m4.用反证法证明“垂直于同一直线的两直线平行〞第一步先假设〔〕A. 相交B. 两条直线不垂直C. 两条直线不同时垂直同一条直线D. 垂直于同一条直线的两条直线相交5.直角三角形的斜边长是|x-3| ,一条直角边的长是|4-3x| ,那么当另一条直角边到达最大时 ,这个直角三角形的周长的范围大致在〔 )A. 3与4之间B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间6.要证明命题“假设a＞b ,那么a2＞b2〞是假命题 ,以下a ,b的值不能作为反例的是〔〕A. a=1 ,b=﹣2B. a=0 ,b=﹣1 C. a=﹣1 ,b=﹣2 D. a=2 ,b=﹣17.在一块平地上 ,张大爷家屋前9米远处有一颗大树 ,在一次强风中 ,这课大树从离地面6米处折断倒下 ,量得倒下局部的长是10米 ,大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？〔〕A. 一定不会B. 可能会 C. 一定会 D. 以上答案都不对8.以下数据中 ,哪一组能构成直角三角形〔〕A. 1 ,2 ,3B. 5 ,8 ,5C. 3 ,4 ,5D. 6 ,8 ,12二、填空题9.用反证法证明命题“：如图 ,L1与L2不平行 ,求证：∠1≠∠2〞．证明时应假设________ ．10.直角三角形两直角边的平方和等于________;反之,有两边的平方和等于________平方的三角形是直角三角形.11.在每个小正方形的边长为1的网格图形中 ,每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边 ,向内作四个全等的直角三角形 ,使四个直角顶点E ,F ,G ,H都是格点 ,且四边形EFGH为正方形 ,我们把这样的图形称为格点弦图．例如 ,在如图1所示的格点弦图中 ,正方形ABCD的边长为 ,此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时 ,正方形EFGH的面积的所有可能值是________〔不包括5〕．12.如图是一段楼梯 ,高BC是3米 ,斜边AC是5米 ,如果在楼梯上铺地毯 ,那么至少需要地毯________ 米．13.如图 ,为修通铁路凿通隧道AC ,量出∠A=40°∠B=50° ,AB=5公里 ,BC=4公里 ,假设每天凿隧道0.3公里 ,那么 ________天才能把隧道AC凿通。

八年级上册数学勾股定理复习题

八年级上册数学勾股定理复习题(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除勾股定理的复习一、全章要点1、勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4、勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等例1．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的。

例2、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？cb aHG F EDCBA a bc cbaE D CBA ba cbac cabcab ECB例3、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长例4、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米例5、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, 求这块草地的面积。

华东师大版八年级上册数学试题：第14章勾股定理复习题

第14章勾股定理一、选择题1、设、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 2、直角三角形的周长为12,斜边长为5,则面积为( ).A.12B. 10C. 8D. 63、将直角三角形三边长的长度都扩大相同的倍数后,得到的三角形( ).A. 仍是直角三角形B. 不可能是直角三角形C. 可能是锐角三角形D. 可能是钝角三角形4、若直角三角形两条直角边长分别为5㎝,12㎝,则斜边上的高为( ).A.6㎝B.1380㎝ C. 8㎝ D. 1360㎝ 5、如图以△ABC 的三边为直径向外作三个半圆,若S 1+S 2=S 3,则△ABC 的形状是_____.A ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不能确定6、一人在A 处放马,他的家在B 处, A 、B 两处相距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ．且C 、D 两地相距500m, 天黑前，此人从A 点将马牵到河边饮水,再赶回家,最少要走_____.A ．1000mB ．1200mC ．500mD ．1300m7、在△ABC 中,AB=13, AC=20, 高AD=12, 则△ABC 的周长是_____ A ．49 Ｂ．30 Ｃ．44或54 Ｄ．378、把直角三角形的两边同时扩大为原来的两倍, 则斜边扩大为原来的_____ A ．２倍Ｂ３倍Ｃ．４倍Ｄ．６倍9、下列各组数据中，能构成Rt △的三边长的是（）（A ） 8、15、16 （B ） 3、4 2 、5 2 （C ） 6、3 2 、2 3 （D ）8、210 、2 6AS1 BS2CS3D BAC10、三角形的三个内角之比是1：1：3，则这个三角形必是（）（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形11、在锐角△ABC 中，已知其两边1=a ，3=b ，那么第三边的变化范围是（）（A ）42<<c （B ）32<<c （C ）102<<c （D ）1022<<c 12、如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（）（A ）14cm 2 （B ）42 cm 2 （C ）64 cm 2 （D ）49 cm 213、如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过的路程最短为（）（A ）a 3 （B ）a )21(+ （C ）a 3 （D ）a 514、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

八年级数学勾股定理全章复习与巩固

《勾股定理》全章复习与巩固要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．222BD AB BC =+类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。

勾股定理复习与提升

01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光的传播路径、折射率和反射率等参数，以确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁波的传播方向、幅度和相位等参数，以确保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相等。

八年级数学上册 14章勾股定理专题复习与训练华师大版

勾股定理专题我国古代把直角三角形较短的直角边称为__________，较长的直角边称为______，斜边称为____________。

一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBAbacbac cabcab方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）222,2,m n m nm n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB C题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD ED CBA题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC = 练习题1、有一块对角线长为1米的长方形木板，测得木板的长为8.0米，则木板的宽为（）A 、 4.0B 、 5.0C 、 6.0D 、 7.0 2、若一个三角形的三边长分别是3，22，17，则这个三角形为（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、不确定3、CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高，如果1=AB ，1:4:=BC AC ，则CD 长（）A 、174 B 、 173 C 、 172 D 、 171 4、如果c b a ,,能组成一个直角三角形，那么222::c b a 可以是（）A 、 4:2:1B 、 5:3:1C 、 7:4:3D 、 13:12:55、如图，一架梯子长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地8米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（）A 、 1米B 、 2米C 、 3米D 、 4米二、填空题：6、在ABC Rt ∆中，90=∠B ，6=a ，10=b ，则c =_________.7、已知一个正方体的体积是512立方米，则正方体底面的对角线长是___________.8、若一个直角三角形的三边长为连续偶数，则三边长分别是________、_________、________，其斜边上的高是__________.9、如果ABC ∆的三边长c b a ,,满足关系式()030186022=-+-+-+c b b a ，则a =________，b =________，c =________，ABC∆的形状是______________.10、现有两根木棒的长度分别是40 cm 和50 cm ，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需的木棒长度为_____________ 三、解答题：11、如图，在ABC ∆中，90=∠C ，13=AB ，12=BC ， BC BD 21= （1）AD 的长. （2）ABD ∆的面积.14、有一只小鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？13、一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了600千米，然后向正南方向航行了250千米，这时它离出发点有多远？。

八年级数学勾股定理全章复习与巩固(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3．在下列说法中是错误的（）￥A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形．B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形． C ．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形． D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ． ?2900mB ． 1200mC ． 1300mD ． 1700m5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（） %A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h += D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )7. 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（） A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+ C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+|D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A ． 90B ． 100!C ．110 D ． 121二.填空题9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．/10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm ，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP 的最小值是 cm ．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC2=AE2+BC2．:15. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD，求：△ABC的面积．》18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm，BC ＝8cm, ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合, 则CD ＝_________.图1 图2】②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC 上，则2AM、2BN与2MN之间有怎样的数量关系并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．）ABHMNAC B(D【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C ；？【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°. 3.【答案】D ；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4.【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.【答案】D ； (【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+.8.【答案】C ；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．—二.填空题 9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形． 10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 11.【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4. 12．【答案】5 }【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5.13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5.14．【答案】4916【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916. 15.【答案】3，2， 8； :【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三.解答题 17.【解析】解：∵32BD CD =，设BD ＝3x ，则CD ＝2x ，由AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ， ^即AF ＝3－2x ，AE ＝4－3x ，PHNMCBA ∴ 3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴ BC ＝3x ＋2x ＝5 又∵ 222345+=，即222AC AB BC += ∴ △ABC 是直角三角形，∠A ＝90°． ∴ 1143622ABC S AB AC ==⨯⨯=△ 18．【解析】解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ， ∵BC=8cm ，《∴BD=CD=BC=4cm ， ∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时， ∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=， ∴BP=4﹣==， ∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=， ~∴BP=4+==， ∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19. 【解析】解：①3；② 2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，连接NP ， .∴∠A ＝∠PBH在△AMH 和△BPH 中 ∠A ＝∠PBH AH ＝BH∠AHM ＝∠BHP ∴△AMH ≌△BPH ∴AM ＝BP ，MH ＝PH 又∵NH ⊥MP 。

华师大八年级数学上第14章勾股定理单元复习(含答案)

D C B A 第十四章勾股定理（1）应知勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）应会1. 判定直角三角形：如果三角形的三边长a 。

b 。

c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 应用勾股定理解实际问题。

（3）例题1。

如果线段a 。

b 。

c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（）。

A 。

1：2：4B 。

1：3：5C 。

3：4：7D 。

5：12：132. 如图, △ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°,BD =3,则AB =_________。

3。

如图，已知DE 是AC 的垂直平分线，10cm AB =，11cm BC =，则ABD △的周长为_________。

4。

甲船以15海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶2小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？5。

求如图所示(单位:mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离(精确到0。

1mm)。

6。

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？（4）参考答案1. D2. 123. 21cm4. 50海里5. 43。

4mm6。

设水深为x 尺，芦苇长为(x +1)尺。

由题意：222)1(x 5x +=+ 解得：x =12 答：水深12尺，芦苇长13尺。

八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习

八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习1. 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形222.a b c ∴+=CAB cba DC B AGFEH新知学习3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一勾股定理【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______．【练一练】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例3】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，c bacba ED CBA 基础演练（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =_______；（4）如果1520a b ==，，则c =_______。

(优选)2019八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

勾股定理本章总结提升问题1 勾股定理直角三角形三边的长有什么特殊的关系？例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．问题2 用拼图证明勾股定理勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：① ②图14－T －1将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2. 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab ，S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a (b －a )，∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )． ∴a 2＋b 2＝c 2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.【归纳总结】把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．问题3 勾股定理的应用勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？图14－T－2问题4 勾股定理与方程思想的综合运用已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？图14－T－3【归纳总结】利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.图14－T－4【归纳总结】将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．图14－T－5【归纳总结】确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．图14－T－6详解详析【整合提升】例1 12或194例2 证明：证法一：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a.∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △AED ＝12ab ＋12b 2＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12ab ＋12b 2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)， ∴a 2＋b 2＝c 2.证法二：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACBE ＋S △AED ＝12b(a ＋b)＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12b(a ＋b)＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)． ∴a 2＋b 2＝c 2.例3 [解析] 如图，AB ＝CD ＝2.5米，BO ＝0.7米，由勾股定理求得AO ＝2.4米．因此，OC ＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD 的长度，则可求出BD 的长度，即梯脚外移的距离．解：如图，在Rt △OAB 中，AO＝AB2－OB2＝ 2.52－0.72＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△COD中，OD＝CD2－OC2＝ 2.52－22＝1.5(米)，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．即梯脚将外移0.8米．例4解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.即树的高度是10＋5＝15(米)．例5[答案] 13[解析] 将台阶上表面展开，如图，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2＋BC2＝169，所以AB＝13dm，所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.例6[解析] 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝152＋202＝625＝25，即路线长l1＝25.(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝（20＋5）2＋102＝725，即路线长l2＝725.(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝52＋302＝925，即路线长l3＝925.因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.例7解：如图，连结AC.在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝BC，所以∠BAC＝45°.由AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.因为∠B＝90°，所以AC2＝AB2＋BC2＝8x2，所以AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，故∠DAC＝90°，所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.。

完整版北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固提高

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1•了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2•理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3•能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1•勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方•（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1•勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证：2 a 2 2b与c是否具有相等关系：若c 2 若ab2c2，则A ABC是以/ C为90。

的直角三角形；若c 2 若a b22> C时，A ABC是锐角三角形；若a2 b2v c2时，△ABC是钝角三角形.其主要2•勾股数一一2 2 2满足不定方程x y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③ 8 15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.如果（a、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形•观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1•较小的直角边为连续奇数；2•较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为a b c，且a b c，那么存在a2 b c成立•（例如④中存在2 27 = 24 + 25、9 = 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关•【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC中，/ ACB = 90° E、F为AB上两点（E左F右），且 / ECF = 45° 求证：AE2BF2EF2【思路点拨】由于/ ACB = 90° / ECF= 45°所以/ ACE + Z BCF = 45°若将/ ACE和 / BCF 合在一起则为一特殊角45°于是想到将A ACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到A ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.【答案与解析】解：⑴AE2BF2EF2，理由如下:将ABCF绕点C旋转得△ACF，,使^BCF的BC与AC边重合,即△ACF'BA BCF,•/ 在△ABC 中，/ ACB = 90 ° AC = BC,/ CAF'=/ B = 45 °•••/ EAF' = 90 °/ ECF = 45 °•/ ACE +Z BCF = 45 °/ ACF'=/ BCF , •/ ECF' = 45 °在AECF和AECF'中CE CEoECF ECF 45CF CF△ECF◎△ECF' (SAS,/• EF = EF'.在Rt △AEF'中，AE2FA2F E2,AE2BF2EF2.【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，（如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角），则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，/ ABC = 30° / ADC = 60° AD = DC ,求证：BD2 AB2 BC【答案】解：将MBD绕点D顺时针旋转60°.由于DC = AD，故点A转至点C.点B转至点E，连结BE.•/ BD = DE，/ BDE = 60°••• ABDE为等边三角形，BE = BD易证ADAB ◎△ DCE，/ A = Z 2, CE= AB•/ 四边形ADCB 中/ ADC = 60° / ABC = 30°•/ A + Z 1 = 360°—60°- 30°= 270°•/ 1 + Z 2 =Z 1 + Z A = 270°•/ 3= 360°—(/ 1 + Z 2) = 90°•BC2 CE2 BE22 2 2BC AB BDL2、如图，在A ABC 中，Z ACB=90°, AC=BC , P 是△ABC 内的一点，且PB=1 , PC=2,PA=3，求Z BPC的度数.【答案与解析】解：如图，做/ ECB= / PCA，且使CE=CP，连结EP, EB 在△APC和ABEC中AC BCPCA ECBPC EC•••/ BPC=135【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将AAPC绕点C旋转，使CA与CB重合即AAPC BEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，/ B=90 ° AB=3 , BC=4 , CD=12 ,【思路点拨】连接AC,在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积. 【答案与解析】解：连接AC,如图所示:•••/ B=90 °•△ ABC为直角三角形，又••• AB=3，BC=4，•根据勾股定理得：AC2=25，又••• CD=12，AD=13，•AD 2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，2 2 2•CD2+AC2=AD2，• △ ACD为直角三角形，/ ACD=90 °:丄AB?BC+亍AC?CD=故四边形ABCD的面积是36.【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键.X 3X 4* X 5x 12=36.则S 四边形ABCD =S^ABC +S A ACD =则/ BPE=90AD=13，求四边形ABCD的面积.【答案与解析】证明：取BC 中点G ,连结AG 并延长交DC延长线于H•/ / ABG= / HCG , BG=CG ，/ AGB= / HGCAF 2 AD 2 DF 2 a 2 (3a)2 25a 2 4165 --AF a4a 5又 HF CH CF a — —a 4 4••• AF=HF ••• / FAH= / H ••• / FAH= / DAE • / BAF=2 / DAE【总结升华】要证/ BAF=2 / EAD ，一般方法是在/ BAF 中取一个角使之等于/ EAD ，再证明另一个角也等于/ EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角 •举一反三：【变式】（2014春？防城区期末）如图所示，在 △ABC 中，AB : BC : CA=3 : 4: 5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点 Q 从点B 沿BC 边向点 C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3秒时，ABPQ 的面积为多少？C -!/T-/ [TJ3—>Q I4、如图：正方形F 是 EC 中点•求证：/ BAF=2 / EAD.在Rt^ ADF 中，设AD a ，由勾股定理得:【答案】解：设 AB 为 3xcm , BC 为 4xcm , AC 为 5xcm , •••周长为36cm ,AB+BC+AC=36cm , /•3x+4x+5x=36 , 得 x=3 , /• AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2T AB +BC =AC ,•••△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 - 3X1=6 (cm ), BQ=农 3=6 (cm ).-X (9- 3) X 6=18 (cm 2).2△3PQ 的面积为18cm 2.类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为 AC = 400 米，BD = 200米，CD = 800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？C A【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决. 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短•说明如下：在直线CD 上任意取一异于点 E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE .点G 、A 关于直线CD 对称，• AI = GI ，AE = GE .由两点之间线段最短”或三角形中两边之和大于第三边 ”可得GI + BI >GB = AE + BE ，于是得证.最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点 G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，GH = CD = 800, BH = BD + DH = BD + GC = BD + AC = 200+ 400= 600,故过3秒时, D T n _lT rzli由勾股定理得GB2 GH 2 BH 2800260021000000 .••• GB = 1000，即最短路程为1000米.【总结升华】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑两点之间线段最短”另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个最大”最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点•本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E, AE = 3, EB = 1，在AC上有一点P, 使EP+ BP最短.求EP+ BP的最小值.【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP = DP,连接DE，交AC于P, ED = EP+ DP = EP+ BP, 即最短距离EP+ BP也就是ED .AE = 3, EB = 1,.・. AB = AE + EB = 4,2 2 2 2 2• AD = 4,根据勾股定理得：ED AE AD 3 4 25 .•/ ED>0,二ED= 5, • 最短距离EP+ BP= 5.6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响•试问：(1 )该城市是否会受到台风影响？请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响.理由：如图，过点 A 作AD 丄BC 于D 点, 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离. 在 Rt A ABD 中，因为/ B=30 , AB=240 .1 1二 AD = - AB = — X240 = 120 （千米）.2 2由题可知，距台风中心在（12-4） >25=200 （千米）以内时，则会受到台风影响.因为120V 200,因此该城市将会受到影响.（2）依题（1）可知，当点 A 距台风中心不超过 200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200 ;台风中心从点 E 移动到点F 处时, 图）由勾股定理得， DE 2 AE 2 AD 2 2002 1202 DE = 160 （千米）.所以 EF=2X 160=320 （千米）. 又知台风中心以20千米/时的速度移动. 所以台风影响该城市 320+20=16 （小时）. （3） v AD 距台风中心最近，•••该城市受到这次台风最大风力为： 12- （120+25） =7.2 （级）答：该城市受台风影响最大风力7.2级.【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题, 三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决. 【巩固练习】一•选择题2 2n 1, b 2n,c n 1，则 /△KBC 是(2.如图，每个小正方形的边长为 1 , A 、B 、C 是小正方形的顶点，则/ABC 的度数为（）3.（ 2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A .三内角之比为 1 : 2:3B .三边长的平方之比为 1 :2: 3 C .三边长之比为3: 4: 5D .三内角之比为 3: 4： 54. 如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A 、B 处距河岸的距离 AC 、BD 的长分别为 500m和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮可通过作辅助线构造直角1.在△ ABC 中，若a A .锐角三角形B .钝角三角形C .等腰三角形D . 直角三角形A . 90 °B . 60 °C . 45D . 30 °C水后，再赶回家，那么牧童至少要走（)AuD c BA B . 1200m C . 1300m D . 1700m A . 2900m 5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（） 1 1 则（AC + BC ）2等于 2 A . ab=h B . a 2+b 2=h 2 6.如图，Rt △ABC 中，/ C = 90° ( ) C 1 1 1 C . — — — a b h CD 丄 AB 于点 D , AB = 13,1 D .— aCD = 6, 7.已知三角形的三边长为 325 a 、b 、 C . 2197 2,b 24m 2, c 22,b 2 4m, c 22,b 22m, c 22,b 22 2 2m , c D . 由下列条件能构成直角三角形的是（405)& （ 2016?连云港） S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等 S 4、S 5、S 6.其中 S 1 = 16 , S 2=45, S 5=11 , S 6=14，则 S 3+S 4=（）如图1 , 分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S 1、54 D . 489.如图，AB = 5, AC = 3, BC 边上的中线 AD = 2，则△ABC 的面积为 __________A10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB = 6, BC = 8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD = _________ .11. 已知：△ABC 中，AB = 15, AC = 13, BC 边上的高AD = 12 , BC = _________ .12. 如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm , P为对角线BD 上的任意一点，贝U AP+EP的最小值是_______________ c m.113. 如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP= - BC .如4 果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P,那么所用细线最短需要 _14. （2014春?监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm , 40cm, 50cm的木箱中，他能放进去吗？答：____________ （选填能”或不能”.15. （2016 春？浠水县期末）如图，AD=8 , CD=6，/ ADC=90 ° AB=26 , BC=24，该图形的面积等于______ .C行等量代换，得却=穹.两边同除以皆得a b h .16. ___________________________________________________________________________ 如图所示，在△ABC 中，AB = 5, AC = 13, BC 边上的中线 AD = 6，/BAD = ___________________三•解答题17. （2016春？召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a, b ，c ， a v b v c .（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b , c 的值.3, 4, 532+42=52 5, 12, 13, 52+122=132 7, 24, 25 72+242=252 9, 40, 41 92+402=412 17, b , c172+b 2=c 218. 如图等腰 A ABC 的底边长为8cm,腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.19. （2015?永州）如图，有两条公路 OM 、ON 相交成30。

华东师大初中数学八年级上册勾股定理(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．（2016?荆门）如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC 的长为（）A．5 B．6C．8D．103. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则222AB AC BC的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )2A.4B.6C.8D.106．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A.1502cmcm B.2002C.2252cm D.无法计算二.填空题7．（2016?黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD= ．8.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是_________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542.2．【答案】C ；【解析】勾股定理．3.【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则22215x x，解得12x 米.4.【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC＋＋.5.【答案】B ；【解析】AD ＝8，BD ＝221086.6.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB.二.填空题7．【答案】125；8.【答案】；【解析】解：由勾股定理可知，∵OB===，∴这个点表示的实数是；，故答案为：．9.【答案】2；【解析】走捷径是22345米，少走了7－5＝2米.10.【答案】10；【解析】飞行距离为2288210.11．【答案】5；【解析】可证两个三角形全等，正方形边长为22125.12.【答案】4；【解析】90AB E ABE ，又因为AE＝CE ，所以BE 为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .三.解答题13.【解析】解：∵AD ⊥BC ，∠C=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∵AD=CD ．∵AC=2，∴2AD 2=AC 2，即2AD 2=8，解得AD=CD=2．∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，∴BD===2，∴BC=BD+CD=2+2，∴Ｓ△ABC =BC ?AD=（2+2）×2=2+2．14.【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x∵222AB ACBC∴22248x x 解得6x，∴AC ＝6.15．【解析】解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，222AB AE BE ＋＝，∴22239xx ．解得5x．。

华东师大初中数学八年级上册勾股定理全章复习与巩固(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )A.212B.310C.56 D.583.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4.（2016春?枣阳市期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min ，甲客轮用15min 到达点A ，乙客轮用20min 到达点B ，若A ，B 两点的直线距离为1000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A ．北偏西30°B ．南偏西30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°5．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b cB.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元7.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABDE 、ACFG 、BCIH ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1+S 2+S 3+S 4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A.32cm B.42cmC.62cmD.122cm二.填空题9．（2016春?西和县校级月考）三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式（a+b ）2﹣c 2=2ab ，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c 、、满足222ab c ，那么这个三角形是直角三角形．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm ．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B为CD边上的点，CB＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B处，点A的对应点为A，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】树高为22334358.2.【答案】A；【解析】距离为22444282122.3.【答案】B；4．【答案】C；【解析】解：甲的路程：40×15=600m，乙的路程：20×40=800m，∵6002+8002=10002，∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，∵甲客轮沿着北偏东30°，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，故选：C．5.【答案】D；6.【答案】C；【解析】作高，求得高为15 m，所以面积为1201515022m.7.【答案】A；【解析】解：过D作BM的垂线交BM于N，∵图中S2=S Rt△DOI，S△BOC=S△MND，∴S2+S4=S Rt△ABC．可证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×３=12×5÷2×３=90．故选：A．8.【答案】C；【解析】设AE＝x，则DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，.二.填空题9．【答案】直角；【解析】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．10．【答案】3；【解析】面积为1233 2.11.【答案】30；12.【答案】①④；【解析】①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c、、满足222a b c”也是正确的，这是勾股定理的内容.13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′Ｂ交EC于F，则A′Ｂ即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B===130（cm）．故答案是：130．14．【答案】132cm ；【解析】由题意222111nn ，解得60n ，所以周长为11＋60＋61＝132.15.【答案】10；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.16.【答案】81；三.解答题17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：2223420xx化简得：216x∴直角三角形的面积为：21346962x x x.18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002，∴∠BAC=90°，∵Ｃ岛在A 北偏东35°方向，∴Ｂ岛在A 北偏西55°方向．∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出222(30)1020x x ，解得x ＝5．所以BD ＝5. 20. 【解析】解：点A 与点A ，点B 与点B 分别关于直线MN 对称，∴AM A M ，BN B N ．设BNB Nx ，则9CNx ．∵正方形ABCD ，∴o90C．∴222CN B C B N ．∵C B ＝3，∴222(9)3x x ．解得5x．∴5BN.。

华东师大初中数学八年级上册勾股定理(提高)巩固练习[精品]

【巩固练习】一.选择题1．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A 1B ．1C 1 D2．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（）A ．25B ．31C ．32D ．403. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（）cm ．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，长方形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（）A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（）A ．172B ．52C ．24D ．76.（2016•漳州）如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个 B．4个C．3个D．2个二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm，宽4cm的长方形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.9.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是_________ ．11. 已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13.如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动多少m ？14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点．（1）当点P 在∠ABC 的平分线上时，求DP 的长；（2）当点PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A ；【解析】－1所表示的点到点A OA 1.2.【答案】B ；【解析】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13，AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31，故选B ．3.【答案】A ；【解析】设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝=6cm ．∴ FC ＝10－6＝4(cm )．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EC 的长为3cm ．4.【答案】A ；【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=. 5.【答案】A ；【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD,BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得AC ＝.6. 【答案】C【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.所以3≤AD ＜5，AD=3或4，共有3个符合条件的点.二.填空题7. 【答案】13【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】【解析】设AE ＝EC ＝x ，EB ＝8x -，则()22284x x -+=，解得5x =，过E 点作EH ⊥DC于H ，EH ＝4，FH ＝5－3＝2，EF =9. 【答案】126或66；【解析】解：当∠B 为锐角时（如图1），在Rt△ABD 中， BD===5cm ，在Rt△ADC 中， CD===16cm ，∴BC=21，∴S △ABC ==×21×12=126cm 2；当∠B 为钝角时（如图2），在Rt△ABD 中， BD===5cm ，在Rt△ADC 中， CD===16cm ，∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm ，∴S △ABC ==×11×12=66cm 2，故答案为：126或66．10．【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1， ∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25．11.【答案】78cm ；【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =. 12．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=.三.解答题13.【解析】解：由题意可得：AB=2.5m ，AO=0.7m ，故BO==2.4（m ）， ∵梯子顶端沿墙下滑0.4m ，∴DO=2m，CD=2.5m ，∴由勾股定理得CO=1.5m ，∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m ）．答：梯子底端将向左滑动0.8m ．14.【解析】解：如图所示：15.【解析】解：（1）连接DP ，作DH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠CAB ＝30°，∴BC ＝１，AC ∵BP 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBP ＝30°，CP .在Rt △ADC 中，DH ＝AH ＝HC ＝12AC ＝2，∴HP ＝236-=，DP ==. （2）当PD ＝BC ＝1时，P 点的位置可能有两处，分别为1P ，2P ，在Rt △1DHP 中，112HP ==，所以∠1HDP ＝30°，∠1P DA ＝30°＋45°＝75°；同理，∠2P DA ＝45°－30°＝15°.所以∠PDA 的度数为15°或75°.。

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【巩固练习】一.选择题1. 在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：54．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( ) A.7 B.7或41 C.24 D.24或75. 2，则此三角形的面积为（）6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )A.5B.135C.1313D.597.（2016•零陵区校级模拟）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x ﹣y=2，③2xy +4=49，④x +y=9．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④8. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝DC ＝5，点P 在BC 上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）B. C. D.3二.填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm,如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm.14．小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD，求：△ABC的面积．18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．19.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．20. 如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB ＝6cm ，CD ＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD （在A 、B 、C 、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置. 位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C ＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=， 222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC ＝BC ＝ ,AB ＝,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°.3.【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．故选D ．4.【答案】D ；【解析】底边可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底边上的高为24或7.5.【答案】B ；【解析】因为2222+=，所以此三角形为直角三角形，面积为122⨯=6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.【答案】B ；【解析】解：由题意，①﹣②得2xy=45③，∴2xy +4=49，①+③得x 2+2xy +y 2=94，∴（x +y ）2=，∴①②③正确，④错误．故选B8.【答案】C ；【解析】如图，过D 点作DE ⊥BC 于E,则DE ＝AB ，AD ＝BE ，EC ＝BC －BE ＝3，在Rt △CDE中，DE ＝,延长AB 至F ，使AB ＝BF ，连接DF ，交BC 于P 点，连接AP ，这时候PA ＋PD 取最小值，∵AD ∥BC ，B 是AF 中点，∴BP ＝.在Rt △ABP 中，AP ＝. ∵∴＝二.填空题9．【答案】100；【解析】依题知AC ＝60cm ，BC ＝80cm ，∴ AB =100cm .10．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形．11.【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．12．【答案】26或【解析】当△ABC 为锐角三角形时，BC ===；当△ABC 为钝角三角形时，BC =13．【答案】10；10cm =，绕n =14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15.【答案】(3，4)；(2，4)；(8，4) 【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以()134p ，，同理，以D 为以O 为等腰三角形的顶点，可求出()()232,4,8,4P P =.如图所示.16．【答案】【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12 在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴ ∠AMC ＝90°在Rt △DCM 中CD ===∴ BC ＝2CD ＝．三.解答题17.【解析】解：∵ 32BD CD =，设BD ＝3x ，则CD ＝2x ，由AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ，即AF ＝3－2x ，AE ＝4－3x ，∴ 3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴ BC ＝3x ＋2x ＝5又∵ 222345+=，即222AC AB BC +=∴ △ABC 是直角三角形，∠A ＝90°．∴ 1143622ABC S AB AC ==⨯⨯=△ 18．【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3 由勾股定理得：325=x ，得△ABD 的周长为803m 19.【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM=30°，AO=80m ，∴AD=40m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD=CD=BC ，OA=80m ，∵在Rt △AOD 中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt △ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m ，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20.【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ，∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC＝30．∴ AD＝39．。