函数四大性质综合应用设计思路-秦爽
函数的性质应用知识点总结
函数的性质应用知识点总结1. 函数的定义及性质函数是将一个自变量的取值对应到一个因变量的取值的规则。
函数的性质包括定义域、值域，单调性，奇偶性，周期性等。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能的取值范围，而值域则是因变量可能的取值范围。
在应用中，定义域和值域的确定对于建立函数模型、分析函数图像等都有重要作用。
1.2 单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性。
分为严格单调增、非严格单调增、严格单调减、非严格单调减等四种情况。
函数的单调性在优化问题、曲线的切线斜率、函数的极值等问题中有重要应用。
1.3 奇偶性函数的奇偶性指的是函数图像关于原点、y轴对称的性质。
奇函数满足f(x)=-f(-x)，即关于原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，即关于y轴对称。
奇偶函数在函数的积分、对称性、解方程等问题中有应用。
1.4 周期性函数的周期性是指存在正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，即在区间[T,∞)上有函数值相同。
周期函数在周期性信号、振动问题、波动问题等方面有重要应用。
2. 函数的导数及应用函数的导数是函数在某一点的切线斜率，表示函数的变化速率。
导数的应用包括函数的极值、函数的凹凸性、函数的图像等方面。
2.1 函数的极值函数的极值包括极大值和极小值，是函数的局部最值。
通过导数的符号和次序可以判断函数的极值，从而在优化问题、生产实践、资源配置等方面有重要应用。
2.2 函数的凹凸性函数的凹凸性描述的是函数图像的曲率，通过导数的次序和符号可以判断函数的凹凸性。
凹凸函数在优化问题、物理问题、经济问题等方面有应用。
2.3 函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的特征，包括拐点、切线、凹凸性等。
函数的图像在科学研究、工程设计、数学建模等方面有重要作用。
3. 函数的积分及应用函数的积分是函数的反导数，表示函数的面积、体积等。
积分的应用包括求面积、求体积、求物理量等方面。
3.1 函数的不定积分函数的不定积分是原函数的一种形式，通过不定积分可以求解函数的积分。
鲁教版数学七年级上册6.1《函数》教学设计
鲁教版数学七年级上册6.1《函数》教学设计一. 教材分析鲁教版数学七年级上册6.1《函数》是学生在初中阶段首次接触函数概念。
本节内容通过具体的实例让学生理解函数的定义，以及函数的性质。
教材以生活中的实际问题引入函数概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
本节课的教学内容为学生后续学习一次函数、二次函数等函数类型奠定基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于函数这一概念，由于生活中的实例较多，学生可能存在一定的误解。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解函数的概念，并能够区分函数与其他数学概念。
三. 教学目标1.了解函数的定义，理解函数的概念。
2.能够识别生活中的函数实例，并运用函数知识解决问题。
3.培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.函数的定义及其内涵。
2.函数与其他数学概念的区别。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入函数概念，让学生感受数学与生活的联系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，从而理解函数的定义。
3.小组合作学习：分组讨论函数实例，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的课件，帮助学生直观地理解函数概念。
2.实例材料：收集生活中的函数实例，用于引导学生学习。
3.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示生活中的函数实例，如温度随时间的变化、物体运动的速度等，引导学生关注函数现象。
提问：这些实例中有哪些共同特点？让学生思考并回答，从而引出函数的概念。
2.呈现（15分钟）讲解函数的定义，让学生理解函数的概念。
通过具体实例，解释函数的三个要素：自变量、因变量和对应关系。
强调函数是一种数学模型，用于描述两个变量之间的关系。
3.操练（15分钟）分组讨论给出的函数实例，让学生识别函数实例，并分析其特点。
每组选取一个实例，进行汇报，其他组进行评价。
函数性质的综合运用
函数性质的综合运用函数性质的综合运用，是指在明了所有函数性质的基础上，能够根据题目中所给的已知条件，以及挖掘题目中的隐含条件，综合分析，从而判断该用何性质来进行解题的一种思维策略。
函数性质一般来说是指函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性，图像等，在具体的解题中，往往是几个性质同时在一道题中出现，此时需要考虑哪一个性质是主要性质。
一般说来，涉及到不等式，比值大小的内容主要考虑单调性；涉及到奇偶性问题可考虑图像示意，对称性；涉及求值类可考虑周期性，奇偶性；涉及恒成立问题可考虑值域，最值；涉及图像问题重点考虑奇偶性，对称性，特殊点的函数值等 ，在解题过程中，若碰到卡壳而不能解决时，一定要冷静分析，看是否已经理解题意，隐含条件是否挖掘清楚，是否每个条件都得到运用，能否运用特殊代替一般。
1.已知.函数()sin 5,(1,1),f x x x x =+∈-如果2(1)(1)0,f a f a -+-<则a 的取值范围是2若x y y x a a b b ---≥-成立，且1,01a b ><<，则A 0x y +>B 0x y +<C 0x y +≥D 0x y +≤3若X 的方程1423xx a +--=在区间[]3,3-上有解，则a 的取值范围是4.设a ＞1，若仅有一个常数C 使得对于任意的[],2,x a a ∈都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程log log a a x y C +=，这时a 的取值集合是5已知函数()2x f x -=的图像与()lg g x x =的图像的两个交点为A ()1,1x y ，B ()22,x y ，则有A 120x x <B 121x x =C 120x x >D 1201x x <<6.若奇函数()f x 对任意实数X 满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f =7.对于函数2()lg(f x x x =++有下列四个结论⑴()f x 的定义域为R ⑵()f x 在()0,+∞上为增函数⑶()f x 是偶函数⑷若已知,a m R ∈且(),f a m =则2()2f a a m -=-，其中正确的命题序号是8.设函数()f x =214x x +--，若关于X 的不等式()f x ≥237a a --在[]0,5上恒成立，求a 的取值范围是9函数2log x a y +=在()2,0-上是单调递增的，则此函数在(,2)-∞-上的单调性是10.对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题⑴若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点（1，0）对称。
全国青年教师素养大赛一等奖指数函数及其性质说课课件
y2
x
y 3
x
1 y 2
x
1 y 3
x
3.观察所作出的图象,总结特征. 活动方式：分组活动，合作学习
设计意图： 通过自主探索、合作学习不仅体现了学生的主体地 位，而且可以让学生在探索过程中体会到利用数形结 合这一思想方法，借助图象分析问题，同时感受到从 具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.
四、学习目标
课程标准对本节课的教学要求是： 理解并掌握指数函数的概念； 能借助计算器或计算机画出具体指数 函数图象，探索并理解指数函数的单调性 与特殊点.
从认知层次的三个维度对课标进行分解
知识分类：指数函数概念、图象和性质
认知层次
学科内涵：通过实例 建立模型
认知水平：理解、掌握 行为动词:探索、猜想、归纳、类比、体验、运用
三、设计思想
1.为了突出重点，突破难点，本节课 采用列表法、图象法、解析法及图形计算 器的实际操作让学生从不同的角度去研究 指数函数，对其有一个全方位的认识，从 而达到知识的迁移运用. 2.在教学过程中通过自主探究、生生 对话、师生对话，培养学生“体会－总结 －反思”的数学思维习惯 ，提高数学素养y2
x
xN
1 y 2
x
xN
……
…………………
设计意图： 通过小组间相互PK的教 学活动，激发学生探求新知 的主动性，培养学生的观察 能力、表达能力和归纳能力.
（二）发现问题，探求新知
1.请回顾研究初等函数性质的基本方法和步骤. 2.画出下面四个指数函数的图象.
1.通过具体实例，经合作交流活动得到指数 的函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数 函数的概念进行分析. 2.借助计算器画出具体指数函数的图象，探 索、归纳、猜想指数函数的单调性与特殊点.
函数的四大性质总结
2 x 1,则f log 1 24 的值等于（ 2
2
（D） y 2 x 1
4、设函数 f x log2 x ,2 a b 1,c 2则下列各式成立的是
（A） f a f b f c（B） f c f b f a （C） f c f a f b （D） f b f a f c
5、不等式 x 12 x 1 的解集为
A、 ,2 B、 0,2
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（D）
Ａ．①③
Ｂ．①②
Ｃ．③
Ｄ．②
10、下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（B）
（A） y x3 (B) y x 1 （C） y x2 1 (D) y 2 x
11 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是(C)
（D）－15
8、已知函数 f x ax2 b cos x sin x 1 ，满足，则 （f / 6） 5 则 （f - / 6）
A、 5 3
B、 3 5
C、4
D、－4
9、设偶函数 f x loga x b 在 ,0上递增，则 f a 1与f b 1 的大小关系是（
）
A f a 1 f b 2
）
（A）6
（B）－18
（C）－10
（D）10
4、函数 f x
x 1 a 是奇函数，则实数 a 的值为（
）
1 x2
（A）－1
（B）0
（C）1
（D）2
5、
Fx
1
2
2x
1
f
x(x
0)
是偶函数，且
f
x 不恒等于零，则
高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1
高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1 江苏响水中学数学第二章“函数性质的综合应用”指导案例苏教育版必修11。
归纳函数的单调性、奇偶性和判断方法。
2。
利用函数的单调性和奇偶性解决综合问题。
3年，我们通过结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性，总结了一些特殊函数的性质。
在之前，我们学习了函数的单调性、奇偶性和最大值。
对于单调性，我们主要需要掌握增函数和减函数的定义和证明，图像特征，以及单调性的综合应用。
对于奇偶性，应掌握奇偶性的定义、判断方法和图像特征。
寻找最大值的方法是这一部分的重点之一。
应该注意通过一些典型的话题来掌握一些常用的方法。
在学习性质上的综合应用是本部分的重点和热点。
这堂课将讨论性质的综合应用。
问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:(1)定义(差分法)；→号码固定；(2)直接使用已知函数的单调性(如，，反比例函数等。
)；(3)如果f(x)是区间D上的增(减)函数，那么f(x)也是任何非空区间D上的增(减)函数；(4)图像法:根据图像的上升或下降趋势判断函数的单调性；(5)对称单调性区间中奇数函数的单调性和对称单调性区间中偶数函数的单调性。
问题2:判断函数的奇偶性:(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称；如果域关于原点不对称，函数f(x)；(2)在定义域关于原点对称的前提下，研究了f(x)与f(-x)或-f(x)之间的关系。
如果是这样，函数f(x)是一个偶数函数；如果是这样，函数f(x)就是奇数函数。
问题3:求函数f(x)的值域或最大值的常用方法有:、、单调性判断法等。
问题4:两个重要函数的性质:(1)y=ax+(a>0，b>0的性质):这个函数的定义域是，满足f(-x)=-f(x)，所以这个函数是，当x>0时，函数可以变形为y=(-)2+2≥2，并且当且仅当x=且定义域为时，才获得最小值如果f(m)+f(m-1)>0，则现实数的取值范围m.已知函数f(x)=取值范围。
人教版七年级数学上册教案《函数的性质》
人教版七年级数学上册教案《函数的性质》
教学目标
1. 了解函数的性质
2. 掌握函数单调性的概念和判定方法
3. 掌握函数奇偶性的概念和判定方法
4. 掌握函数周期性的概念和判定方法
教学重点
1. 函数单调性、奇偶性、周期性的概念
2. 函数单调性、奇偶性、周期性的判定方法
教学难点
1. 函数单调性、奇偶性、周期性的应用
教学过程
1. 引入（5分钟）
* 以具体例子引入函数的概念
2. 概念讲解（20分钟）
* 函数的定义和符号表示
* 函数单调性的概念和判定方法
* 函数奇偶性的概念和判定方法
* 函数周期性的概念和判定方法
3. 设计练题（15分钟）
* 混合练题，要求学生应用函数的性质进行解答
4. 答疑解惑（10分钟）
* 结合实例，解答学生提出的问题
5. 课堂小结（5分钟）
* 总结本节课的重点内容，巩固学生的研究成果
总结
通过本节课的学习，学生对函数的性质有了更深刻的了解，能
够熟练地应用函数单调性、奇偶性和周期性进行练习和解题。
同时，课堂练习和答疑解惑环节也能够帮助学生夯实知识点，更好地掌握
函数的基本概念和应用方法。
高中数学必修第一册人教A版 高一 函数的性质应用 教学设计
因此 2x2 4x 3，x＜0，
f(x)= 0，x=0，
x2 4x+3，x＞0.
由图象可以看出f(x)的单调递减区间是
（ .
（注意为什么不能写成 或者
∪（ ）呢，请你思考）
追问：当x＜0时，点（ 1， 1）是图象的一个最高点，能否说此函数存在最大值 1呢？很显然最大（小）值是定义在全体定义域上的一个性质，此函数无最大值也无最小值.
分析：函数的定义域是x≠0的全体实数，值域是（0,+ ），因此函数图
7分钟
6分钟
3分钟
（二）函数奇偶性的应用
（三）函数单调性的应用
（四）归纳总结，布置作业
象位于第一二象限.再由f(-x)= f(x)我们可以得到它是偶函数，即它的图象关于y轴对称，那么我们就可以通过只作出第一象限（x＞0）时的函数图象，再利用对称性得到完整的函数图象了.
分析：由于函数单调性的定义是一个充要条件，因此对于在某个区间上已知单调性的函数，我们还可以通过该区间内函数值的大小关系得到其对应自变量大小关系.即由f(x)是定义域为R的单调增函数，已知f(a2)＞f(a+6)，可以确定a2＞a+6，利用一元二次不等式的解法，可得a＞3或a＜ 2.
设计意图：通过本例题的学习，学生对于函数的单调性的定义有更加深刻的认识，对于单调函数的自变量对函数值的大小关系的影响理解更加透彻，并且综合了一元二次不等式的解法，温故知新.
2.体会函数性质对于函数自变量、函数值以及区间的影响和联系；
3.发展学生的数形结合思想，培养学生数学抽象与直观想象等数学素养.
教学重点：掌握利用性质解决对陌生函数的研究方法，更加透彻的理解函数的单调性和奇偶性的应用规则.
教学设计 选修4-5-《函数的基本性质》教学设计
教学设计选修4-5-《函数的基本性质》
教学设计
教学目标
1. 理解函数的定义和基本性质；
2. 掌握函数的图像表示和性质；
3. 能够应用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容
1. 函数的定义和符号表示；
2. 函数的图像表示和性质；
3. 函数的奇偶性和周期性；
4. 函数的单调性和极值；
5. 函数的增减性和凹凸性。
教学步骤
1. 导入：介绍函数的基本概念，引发学生对函数的兴趣；
2. 理论讲解：详细讲解函数的定义和符号表示，引导学生理解函数的本质；
3. 图像展示：通过展示不同函数的图像，让学生熟悉函数的图
像表示；
4. 探究活动：设计一系列问题，让学生观察函数图像并发现函
数的性质；
5. 总结归纳：学生分享观察结果，总结函数的奇偶性、周期性、单调性、极值、增减性和凹凸性的特点；
6. 练巩固：进行一些基本性质的题目练，巩固所学内容；
7. 应用拓展：通过实际问题的应用，让学生理解函数的基本性
质在解决实际问题中的作用；
8. 总结回顾：对本节课所学内容进行总结，并鼓励学生发表自
己的见解和疑惑；
9. 布置作业：布置相关的作业，提供参考答案以供学生自查。
教学资源
1. 动态演示软件：用于展示不同函数的图像和性质；
2. 实际问题：用于应用拓展环节的案例分析；
3. 课堂练题：用于帮助学生巩固所学内容。
教学评估
1. 观察学生的参与情况和表现；
2. 检查学生对函数基本性质的理解程度；
3. 评估学生在应用拓展环节的表现；
4. 收集学生的作业并进行评分。
参考文献
- 高中数学课程标准
- 高中数学教材。
如何应用函数像解决函数性质问题
如何应用函数像解决函数性质问题在数学领域中，函数是研究和描述数值之间关系的一种重要工具。
函数性质问题是指我们需要了解函数的某些特征或规律，以便进行更深入的研究和分析。
在解决函数性质问题时，应用函数的相关性质和特点可以起到很大的帮助作用。
本文将介绍一些常见的函数性质问题，并讨论如何应用函数来解决这些问题。
I. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域中关于原点的对称性。
具体来说，若对于任意x∈定义域，有f(-x) = f(x)，则函数f是偶函数；若对于任意x∈定义域，有f(-x) = -f(x)，则函数f是奇函数。
根据函数的奇偶性质，可以得到一些重要的结论。
1. 若函数f是偶函数，则f的图像关于y轴对称。
2. 若函数f是奇函数，则f的图像关于原点对称。
通过检查函数的奇偶性，我们可以迅速分析函数的图像特点，从而更好地理解函数的性质。
II. 函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域中增减的趋势。
具体来说，若对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f是递增函数；若对于任意x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f是递减函数。
函数的单调性和导数密切相关。
1. 若函数f在[a,b]上可导且导函数f'(x)>0，则函数f在[a,b]上递增。
2. 若函数f在[a,b]上可导且导函数f'(x)<0，则函数f在[a,b]上递减。
通过研究函数的单调性，我们可以确定函数的拐点和极值点，进而对函数的整体走势有更深入的了解。
III. 函数的周期性周期函数是指函数在一定的区间内具有重复的规律性。
具体来说，若存在正数T，对于任意x∈定义域，有f(x+T) = f(x)，则函数f是周期函数。
周期函数的性质有助于我们研究函数的周期性变化。
1. 若函数f是周期函数且T是f的最小正周期，则有f(x) = f(x + nT)，其中n为整数。
2. 若函数f是周期函数且T是f的最小正周期，则函数f在[0,T]上的图像可以代表整个函数的周期性变化。
第01讲函数性质综合应用
7.(2016·哈尔滨联考)已知函数 f(x)恒满足 f (x) f (2 x) ，且当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝
【解析】由题意可得 f ( 5) f (1) f ( 3) f ( 5) ( 5 2)2 1 ，故选 B.
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2
【解析】因为函数 f (x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，所以 f (3) f (4) f (2) f (1) f (1) f(2) 1. 故选 A.
6.函数 f(x)＝lg|sin x|是( ) A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 D．最小正周期为 2π 的偶函数
【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题 f (x) 在[7, 3] 上递增，故在[7, 3] 上，
f (x)min f (7) f (7) 5 ，故选 A.
5.若函数 f (x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f (1) 1, f (2) 2 ，则 f (3) f (4) ( )
.
6
【解析】由题 f (x 2 ) f (x ) sin(x ) f (x) sin x sin(x ) f (x) ，故
f ( 23 ) f ( 23 4 ) f ( ) f (5 ) sin( ) 0 1 1 .
6
6
6
6
6
22
11.二次函数 y f (x) 的图象与函数 y x2 1的图象关于点 (1, 0) 成中心对称.
2.1如何灵活应用函数的四大性质
2017届高三数学跨越一本线精品问题一 如何灵活应用函数的四大性质 函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识都可与函数成立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题,也有难度较大的试题..本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性及四大性质的综合应用四方面别离加以论述.一、函数单调性的灵活应用在概念域的一个子集I 里,有两个任意自变量12,x x ,当12x x < 时,均有()()12f x f x < ,那么()f x 在区间I 12x x <时,()()12f x f x >则()f x 在区间I 内单调减. 函数的单调性也可表示为：1212()()0f x f x x x ->-时单调递增；1212()()0f x f x x x -<-时单调递减.①概念法（作差比较；步骤：1.取值 2,作差 3,定号 4,结论）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判定法那么；⑤导数法；设()[]x g f y =是概念在M 上的函数,假设()f x 与()g x 的单调性相反,那么()[]x g f y =在M 上是减函数；假设()f x 与()g x 的单调性相同,那么()[]x g f y =在M 上是增函数,简称同增异减.4. 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．现在应专门注意函数的概念域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性概念,确信函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；②需注意假设函数在区间a ,b ]上是单调的,那么该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．【例1】若是对概念在R 上的函数()f x ,对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,那么称函数()f x 为“H 函数”.给出以下函数①e x y x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩. 以上函数是“H 函数”的所有序号为 .【分析】此题的重点和难点均为对“H 函数”本质的熟悉和明白得,即如何处置和转化题中所给不等式：11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,采纳归并重组的方式进行处置,得()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦ ,由单调性概念的本质,能够看出“H 函数”本质上确实是个单调递增函数.【解析】因为对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,即总有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,即为函数()f x 是概念在R 上的增函数,关于①,由于e x y =与y x =均为R 上增函数,那么函数e x y x =+在R 为增函数；关于②,明显先减后增,不符合；关于③,因为'3cos 0y x =->在R 上恒成立,那么3sin y x x =-在R 为增函数；关于④,如图：当x<0时为减函数,当x>0为增函数,不符合,应选①③.【点评】此题要紧考查了单调函数的概念和函数单调性的判定（概念法,图像法,导数法）,学生在初步明白得时可能有一种无从入手的感觉,若是对函数单调性概念的本质不能领会的话,那么将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去明白得和领会知识的本质.【小试牛刀】【2017河南安阳期中】已知函数(3),2()log (1)3,2x aa x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩是概念域上的单调增函数,那么a 的取值范围是（ ）A ．(33,2)-B ．(51,3)-C ．(1,3)D ．(1,33)-【答案】A【点评】函数在概念域R 上单调递增,即在(]2,∞-和()+∞,2上别离递增,且在端点2=x 处,左侧的函数值小于等于右边的函数值,依照函数的性质,指数函数和对数函数单调递增,只需底数1>a ,因此列出三个不等式取交集,解出a 的范围即为所求.二、函数奇偶性的灵活应用假设函数知足()f x 关于概念域的任意x ,都有()()f x f x -=-,那么函数()f x 为奇函数；假设函数知足()f x 关于概念域的任意x ,都有()()f x f x -=,那么函数()f x 为偶函数.①看概念域是不是关于原点对称；②看()f x -与()f x 的关系.函数的奇偶性也能够通过下面方式证明：()()()0f x f x f x +-=⇔ 是奇函数；()()()0f x f x f x --=⇔ 是偶函数①y =f (x )是偶函数⇔y =f (x )的图象关于y 轴对称, y =f (x )是奇函数⇔y =f (x )的图象关于原点对称；②假设奇函数f (x )在0x =处成心义,那么f (0)=0；③奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇（设两函数的概念域别离为12,D D ,12D D 要关于原点对称）；④若()f x 是偶函数,那么()()f x f x =.【例2】【2017届重庆市第八中学高三上学期二调】已知函数22(1)sin ()31x a x f x x ++=++（a R ∈）,2(ln(log 5))5f =,那么5(ln(log 2))f =（ ）A ．5-B ．1-C ．D ．【分析】先把()f x 分离常数,得()22sin 41x a x f x x +=++,依照奇函数性质可得()()8f x f x +-=【答案】C【解析】()()41sin 231sin 1231sin 122222+++=+++++=++++=x x a x x x a x x x x a x x f , 令()()1sin 242++=-=x x a x x f x g ,那么()x g 为奇函数,()()()()145log ln 5log ln 22=-=f g , ()()()()12log ln 5log 1ln 2log ln 525-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=g g g ,()()()()342log ln 2log ln 55=+=g f ,应选C.【点评】此题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过度离常数,才能看出()f x 是一个常数函数与一个奇函数的和,故此题对能力要求较高.【小试牛刀】【2017安徽六安一中】已知函数()211log e x f x x e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,那么使得()()121f x f x +<-的的范围是（ ）A ．()0,2B ．(),0-∞C ．()(),02,-∞+∞ D ．()2,+∞ 【答案】A【解析】由于()()f x f x -=,因此函数为偶函数,且在()0,+∞()()121f x f x +<-,那么需121x x +>-,解得()0,2x ∈.三、函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性是相关于函数概念域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的转变趋势；函数的奇偶性是相关于函数的概念域来讲的“整体”性质,要紧讨论的是函数的对称性．函数的这两个大体性质应用灵活、普遍.【例3】设)(x f 是概念在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,假设对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,那么实数t 的取值范围是 ．【分析】此题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,现在画出它的图象,就能够发觉它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式)(2)(x f t x f ≥+中,2()f x 的系数2如何处置？再次认真观看所求函数的解析式的结构特点,发觉知足：)2()(2x f x f =,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方式求出t 的范围.【解析】∵)(x f 是概念在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f =∴当x ＜0,有-x ＞0,2)()(x x f -=-,∴2)(x x f =-,即2)(x x f -=,∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ,∴)(x f 在R 上是单调递增函数, 且知足)2()(2x f x f =, ∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在t,t+2]恒成立,∴x +t 2x 在t ,t +2]恒成立,解得t x )21(+≤在t ,t +2]恒成立,∴t t )21(2+≤+解得：2≥t ,那么实数t 的取值范围是：+∞,2）．【点评】此题要紧考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发觉它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,此题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方式求解的,这正说明函数性质的应用是十分普遍的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】【2021新课标卷2】设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,那么使得()(21)f x f x >-成立的的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 四、函数性质的综合运用若是存在一个数a ,使得f （x +a ）=f （x ）经历方式：括号里面相减等于一个定值a ],那么f （x ）为周期函数,T =a .说明：(),0nT n n ∈≠Z 也是)(x f 的周期若)()(b x f a x f +=+,那么)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；那么)(x f 周期是2若是存在一个数a ,使得f （x +a ）=f （a -x ）经历方式：括号里面相加等于一个定值2a ],那么f （x ）为对称函数,对称轴为x =a .①若()()f a x f b x +=-,那么()f x 图像关于直线2a b x +=对称； ②()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=（即a x b x +=- ）对称.①f (x )图像关于点（a ,0）和(b ,0)（a b ≠ ）对称,那么f （x ）是周期函数,一个周期为T =2a b -；②f (x )图像关于直线x =a 和x =b （a b ≠ ）对称,那么f （x ）是周期函数,一个周期为T =2a b -；③f (x )图像关于点（a ,0）和直线x =b （a b ≠ ）对称,那么f （x ）是周期函数,一个周期为T =4a b -.【例4】已知概念在R 上的函数)(x f 知足)2(x f -为奇函数,函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,那么以下式子必然成立的是（ ）A. )()2(x f x f =-B. )6()2(+=-x f x fC. 1)2()2(=+⋅-x f x fD.0)1()(=++-x f x f【分析】由题中函数)(x f 知足)2(x f -为奇函数,结合奇函数的概念转化可得：()(4)f x f x =--,再由条件：函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,结合对称性的规律可得：(4)(4)f x f x -=+,最后由周期性的概念可转化为：()(4)(8)f x f x f x =-+=+,可见函数的周期为8,即可求解.【解析】因为(2)f x -为奇函数,因此(2)(2)f x f x -=-+,那么()(4)f x f x =--．又因为(3)f x +关于直线1x =对称,因此()f x 关于4x =对称,因此(4)(4)f x f x -=+,那么()(4)(8)f x f x f x =-+=+,于是8为函数()f x 的周期,因此(2)(6)f x f x -=+,应选B ．【点评】此题要紧考查了学生对抽象函数的处置能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完本钱题有一个难点：)2(x f -为奇函数的处置,这要对奇函数概念本质有充分的明白得,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一路,这也正是此类题目一样较难的缘故,在咱们温习备考中必然要增强对所学概念本质的明白得,这并非一日之功了,须注意平常的积存和磨炼.【小试牛刀】已知实数0,0a b >>,关于概念在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”；②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”；③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】A在解决函数性质有关的问题中,若是结合函数的性质画出函数的简图,依照简图进一步研究函数的性质,就能够够把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有专门大的帮忙.(1)一样的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判定大小；(2)画函数草图的步骤：由已知条件确信特殊点的位置,然后利用单调性确信一段区间的图象,再利用奇偶性确信对称区间的图象,最后利用周期性确信整个概念域内的图象.【迁移运用】1.【2017湖北省襄阳市四校期中联考】设函数()()()ln 2ln 2f x x x =++-,那么()x f 是（ ）A. 奇函数,且在()0,2上是增函数B. 奇函数,且在()0,2上是减函数C. 偶函数,且在()0,2上是增函数D. 偶函数,且在()0,2上是减函数【答案】D【解析】因为()ln(2)ln(2)()f x x x f x -=-++=,因此函数()f x 是偶函数,又()ln(2)f x x =+＋ln(2)x -＝2ln[(2)(2)]ln(4)x x x +-=-在()0,2上是减函数,应选D ．2.【2017山西大学附中模拟】以下函数中,与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）A．(ln y x = B ．2y x = C ．tan y x =D ．x y e =【答案】A【解析】()()f x f x -=-因此函数为奇函数,且为增函数.B 为偶函数,C 概念域与()f x 不相同,D 为非奇非偶函数,应选A. 3.【2017河南新乡市2017届高三上学期调研】已知函数()()1,1010lg 2,10xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,假设()()282f m f m -<,那么实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞【解析】当1m =时,()()72f f <3m =时,()()61110610f f ⎛⎫-=>= ⎪⎝⎭不符合题意,排除C,应选A. 4. 【2016浙江宁波效实中学高三上期中考试】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,那么实数的取值范围是（ ）A ．104a -≤<B ．14a ≤-C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 【答案】D【解析】∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩,应选D ． 5. 概念在R 上的奇函数()f x 和概念在{}0x x ≠上的偶函数()g x 别离知足21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩,()g x =2log (0)x x >,假设存在实数,使得()()f a g b =成立,那么实数的取值范围是( )A. []2,2-B. 11[2,][,2]22--⋃ C. 11[,0)(0,]22-⋃ D. (][),22,-∞-⋃+∞【答案】B6. 【2016山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知)(x f 是概念在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 2)(2+=,假设)()2(2a f a f >-,那么实数的取值范围是A ．),2()1,(+∞--∞B ．),1()2,(+∞--∞C ．)2,1(-D ．)1,2(-【解析】因为当0≥x 时,x x x f 2)(2+=,因此由二次函数的性质知,它在(0,)+∞上是增函数,又因为函数()f x 是概念在R 上的奇函数,因此函数()f x 概念在R 上的增函数,假设)()2(2a f a f >-,那么22a a ->,解之得21a -<<,即实数的取值范围为)1,2(-,故应选D ．7.【2016安徽合肥市八中高三上学期第一次段考】已知概念在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称,(1)1,f -=则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知条件知,函数()f x 在概念域R 上关于点（0,0）对称,同时关于直线x=1对称,因此函数()f x 的周期为T=4．又(1)1,f -=因此1)1(-=f ．易知,0)0(=f ,因此0)0()4(,1)1()3(,0)0()2(===-===f f f f f f ．因此(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=)2016()4()3()2()1(504f f f f f -+++）（0)0(0504=-⨯=f应选B ．8. 已知概念在R 上的函数)(x f 是奇函数且知足)()23(x f x f =-,3)2(-=-f ,数列{}n a 知足11-=a ,且21n n S a n n=⨯+,（其中n S 为{}n a 的前项和）,那么=+)()(65a f a f ( )． A ．3- B ．2- C ． D ．【答案】C9.【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知函数x x x f 411212)(+++= 知足条件1))12((log =+a f ,其中1>a ,那么=-))12((log a f （ ）A ．B ．2C ．D ．4 【答案】B【解析】x x x f 411212)(+++=xx x f --411212)(+++=-∴ 3411212411212)()(=+++++++=-+∴--xx x x x f x f )12(log )12(log --=+a a 3)]12([log )]12([log =-++∴a a f f 2)]12([log =-∴a f 故答案选B10．【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练】概念区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >）,函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的概念域与值域都是[,]()m n n m >,那么区间[,]m n 取最大长度时实数的值为（ ）A B ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】设[]n m ,是已知函数概念域的子集．0≠x ,[]()0,,∞-⊆n m 或[]()∞+⊆，0,n m ,故函数()x a a a x f 211-+=在[]n m ,上单调递增,那么()()⎩⎨⎧==nn f m m f ,故n m ,是方程x x a a a =-+211的同号的相异实数根,即()01222=++-x a a x a 的同号的相异实数根,∵21amn =,∴n m ,同号,只需()()0132>-+=∆a a a ,∴1>a 或3-<a ,()343113422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-a m n n m m n ,m n -取最大值为332．现在3=a ,应选：D ．11．【2016届河北省衡水中学高三下学期二调】概念在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-,且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称,假设,s t 知足不等式()()2222f s s f t t -≤--,那么当14s ≤≤时,2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】设12x x <,那么120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-,知12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,因此函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称,因此()y f x =为奇函数,因此222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-,因此2222s s t t -≥-,即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++,而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下,易求得1[,1]2ts∈-,因此11[,2]2t s +∈,因此33[,6]21t s ∈+,因此311[5,]21t s-∈--+,即21[5,]2t s s t -∈--+,应选D ． 12.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知函数()()()()2200x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数,那么()1g -= __________. 【答案】3-【解析】2()()2(1)3g x f x x x g =--=-+⇒-=-．13. 【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】设函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩,且f （x ）为奇函数,那么g （14-）= 【答案】2 【解析】试题解析：由于)41()41(-=-g f ,而f （x ）为奇函数,241log )41()41(2=-=-=-f f ,那么 2)41(=-g14. 已知()f x ,()g x 别离是概念在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,那么(1)(1)f g += ．【答案】.【解析】∵32()()1f x g x x x -=++,∴(1)(1)1111f g ---=-++=,又∵()f x ,()g x 别离是概念在R 上的偶函数和奇函数,∴(1)(1)f f =-,(1)(1)g g =--,∴(1)(1)(1)(1)f g f g ---=+,∴(1)(1)1f g +=. 15. 已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称,设关于的不等式()()f x m f x +<的解集为A ,假设(5,2)A --⊆,那么实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(-2,0)中心对称,那么(4)(0)f f -=-,由此求得4a =,因此232()(2)(45)6310f x x x x x x x =++-=++-,()()()()0f x m f x f x m f x +<⇔+-<,22()()[33(4)63]f x m f x m x m x m m +-=+++++,显然0m =不舍题意,当0m >时,()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++<,由题意22223(5)15(4)6303(2)6(4)630m m m m m m ⎧⋅--++++≤⎪⎨⋅--++++≤⎪⎩3633m m ≤≤⎧⇒⎨-≤≤⎩3m ⇒=, 当0m <时,()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++>, 因为422m +->-,因此由题意223(2)6(4)630m m m ⋅--++++≥3m ⇒≤-或3m ≥（舍去）,3m ⇒≤-,综上,m 的取值范围是3m ≤-或3m =．16. 已知函数()y f x =为奇函数,且对概念域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时,2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k,k+1)( kZ)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③【解析】由题设()y f x =为奇函数,其图象关于原点中心对称,又对概念域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--,因此其图象还关于点()1,0,据此可判定函数()f x 为周期函数,最小正周期2T =,又当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-,因此可画出函数()f x 的图象大致如以下图一所示,函数|()|y f x =的图象如以下图二所示,函数(||)y f x =的图象如以下图三所示,由图象可知①②正确,④不正确；另外,当()1,0x ∈-时,()22,3x -∈因此,()()()222log 21log 1f x x x -=--=-,又因为()f x 是以2这周期的奇函数 因此,()()()2f x f x f x -=-=-,因此,()()2log 1f x x -=-,因此,()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-,因此③也正确,故答案应填：①②③17. 设()f x R 是上的奇函数,且对任意的实数,a b 当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+(1)假设a b >,试比较(),()f a f b 的大小；(2)假设存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式2()()0f x c f x c -+->成立,试求实数的取值范围．【答案】(1)()()f a f b >；(2)(．【解析】(1)由已知得()()()()0()f a f b f a f b a b a b -+-=>-+-,又a b >,∴0a b ->()()0f a f b ∴->,即()()f a f b >(2))(x f 为奇函数,∴2()()0f x c f x c -+->等价于2()()f x c f c x ->-又由（1）知()f x 单调递增,∴不等式等价于2x c c x ->-即22c c x +<由于存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式22c c x +<成立,∴23c c +<∴的取值范围为11(,)22+- f (x )的概念域为D ＝{x |x ≠0},且知足关于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判定f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)若是f (4)＝1,f (x －1)<2,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围． 【答案】(1)0；(2)观点析；(3) {x |－15<x <17且x ≠1}． 【解析】(1)∵关于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2), ∴令x 1＝x 2＝1,得f (1)＝2f (1),∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1,有f (1)＝f (－1)＋f (－1),∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1,x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x ),∴f (－x )＝f (x ),∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2,由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0,＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16,解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．f (x )＝lg(x ＋ax －2),其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的概念域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在2,＋∞)上的最小值； (3)假设对任意x ∈2,＋∞)恒有f (x )>0,试确信a 的取值范围．【答案】(1) 当a >1时概念域为(0,＋∞),当a ＝1时概念域为{x |x >0且x ≠1},当0<a <1时概念域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }；(2) lg a2；(3) a >2.(3)对任意x ∈2,＋∞)恒有f (x )>0,即x ＋ax －2>1对x ∈2,＋∞)恒成立．因此a >3x －x 2,令h (x )＝3x －x 2,而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋94在x ∈2,＋∞)上是减函数, 因此h (x )max ＝h (2)＝2,因此a >2.20. 已知函数（其中且）,是的反函数.(1)已知关于的方程在区间上有实数解,求实数的取值范围；(2)当时,讨论函数的奇偶性和增减性；(3)设,其中.记,数列的前项的和为（）,求证：.【答案】(1)[5,9]；(2)奇函数,减函数；(3)证明观点析．【解析】(1)转化为求函数在上的值域,该函数在上递增、在上递减,因此的取值范围为.(2)的概念域为,概念域关于原点对称,又, ,因此函数为奇函数.下面讨论在上函数的增减性.任取、,设,令,那么,,因此因为,,,因此.又当时,是减函数,因此.由概念知在上函数是减函数.又因为函数是奇函数,因此在上函数也是减函数.(3)；因为,,因此,.设,时,那么 , 且,由二项式定理, 因此,从而.。
北师大版高中数学必修一函数的基本性质运用教案
2.4.4函数的基本性质运用一、课 型：练习课二、教学目标：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
三、教学重点：掌握函数的基本性质。
教学难点：应用性质解决问题。
四、教学方法：观察、思考、探究. 五、教学过程： (一)、复习准备：1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？ (二)、教学典型习例: 1.函数性质综合题型：①出示例1：作出函数y ＝x 2－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y 轴右边的，再对称作。
→学生作 →口答→ 思考：y ＝|x 2－2x －3|的图像的图像如何作？→②讨论推广：如何由()f x 的图象，得到(||)f x 、|()|f x 的图象？③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数分析证法 → 教师板演 → 变式训练④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）2. 教学函数性质的应用： ①出示例 ：求函数f(x)＝x ＋x1(x>0)的值域。
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。
→ 探究：计算机作图与结论推广②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。
市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件，写出销售金额y(万元)与x 的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。
3.基本练习题：（1）、判别下列函数的奇偶性：y ＝1+x ＋1-x、 y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+-)0()0(22x x x x x x（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=? ） 解析： y ＝1+x ＋1-x 的定义域为[1,1]x ∈-，∴定义域关于原点对称。
函数的性质的应用教学设计
§1.3函数的基本性质的应用教学设计一、课标分析1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。
这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。
另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。
2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。
3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。
4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。
5．渗透转化等数学思想方法。
从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。
二、教材分析函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。
在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。
其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。
而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。
三、学生分析从学生的知识上看，学生已经学过函数的基本性质，接下来的任务是对函数性质的应用如何加强.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
高中数学必修第一册人教A版 高一 函数的性质综合 教学设计
象与直观想象等数学素养，对“如何研究函数性质”有所感悟.追问4：当0=b 时，函数()1+=2-bx x x f 是奇函数还是偶函数？在()+∞0,上单调递增还是单调递减？()x f 在()0∞，—上单调递增还是单调递减？追问5：若已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞0,上单调递减，判断()x f 在()0∞，—上单调递增还是单调递减？追问6：（1）若f (x )为偶函数，则f (x )在[]b a ,和[]a b --,上具有 单调性；（2）若f (x )为奇函数，则f (x )在[]b a ,和[]a b --,上具有 单调性.师生活动：教师提出问题，学生经过思考、讨论后回答问题，教师板书解答过程，师生共同分析解题思路，归纳解此类数学问题的方法。
设计意图：函数单调性可以从三个方面理解：（1）图形刻画：函数图象在给定区间自左向右连续上升（下降）则函数是增（减）函数；（2）定性刻画：函数在给定区间y 随x 的增大而增大（减小），则函数是增（减）函数；（3）定量刻画：利用定义证明.用定义证明函数单调性难度较高，这节课先不做要求. 主要利用数形结合思想，借助图象，并将形象、直观的图形语言转化为抽象的符号语言解决问题，使学生通过“角度”改变观念，针对“题型”选择方法.例2：已知y =f (x )是定义在[-3,3]上的奇函数，部分图象如图所示，请补全函数图象，并写出单调区间，最大值和最小值.师生活动：学生独立思考，讨论交流.教师引导学生观察函数图象，共同总结： 从函数图象来看，1. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称；2. 如果图象在给定区间自左向右连续上升，则函数是增函数；如果图象在给定区间自左向右连续下降，则函数是减函数；3. 如果函数有最大值，那么函数图象中一定有位置最高的点. 如果一个函数的图象是一条连续不断的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某。
函数的概念”设计思路及反思——DJP模式下的一堂赛课
“函数的概念”设计思路及反思——DJP模式下的一堂赛课摘要：我校实践DJP教学模式已四年有余，在我校面对自己的学生，上如此的课，那固然是游刃有余的，但这次賽课，面对的是不同的学生，关于我来讲是一次全新的尝试。
DJP教学模式适应了新课标要求，在一堂课中，教师不可能完全明白得学生的思维，乃至，也不可能颠覆他们的知识面，那么，那个时候请把机遇交给学生，相信您的学生，他们的潜力是无穷的。
关键词：DJP 函数概念教师导学生讲师生互评2020年10月，我被推荐参加了龙泉驿区第十届课堂大赛，抽到的课题是“函数的概念”，抽到的班级是外实初八年级11班。
“函数的概念”是北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第六章第1节P177—P181的内容，是在七年级下册学习了“变量之间的关系”的基础上来学习本课时，“函数的概念”是典型的代数概念课。
本次賽课不同于以往的是，必需采纳DJP教学模式，DJP教学的全称是“导学讲评式教学”，“导学讲评式教学”的核心概念是“导学”、“讲解”与“评判”。
本次賽课重点关注的是：在教师的引导下，学生的讲解对话交流等等表现，充分表现学生的主体地位。
由于学生第一次接触函数的概念，比较抽象，明白得概念中“唯一对应”的准确含义有必然难度．对这些问题的探讨和研究思路都是比较陌生的，加上经了解，外实初八年级11班的数学基础不是专门好，学习数学的爱好不浓，教师用的是传统的教育模式，学生的讲解交流对话能力未取得有效训练。
基于以上的学情分析，我对学案进行了整改，并提早将学案发给学生预习，同时分派了讲解任务，令我十分快乐的是，大部份组都主动要求讲解任务，不管他讲的如何，只要勇于讲，那任务就完成了一大半，数学的课堂确实是思维的课堂，只有师生交流、生生交流才能碰撞出思维的火花，才能真真的让学生明白得知识、把握知识。
一、设计思路（一）个别的看：堆木材中的变量之间的关系------表格法完成178页中的“做一做”：先填表后回答下列问题。
〖2021年整理〗《导数在研究函数中的应用秦霞》优秀教案4
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2单调性江苏省南通中学秦霞【教学内容解析】1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。
起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；3．通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和感悟数学自身发展的一般规律．【学生学情分析】1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单调性的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论，再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
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函数四大性质综合应用的课程设计思路
针对学段：高三复习难度较高
1.复习导读：分析历年高考考查的形式及难度。
2.教学目标
①函数四大性质的定义及总结。
②函数四大性质的综合应用题型分析及总结
3.内容讲解
①复习函数四大性质所涉及的知识点总结。
②分析四大性质之间结合考查题型，总结该题型的解题思路及应该注意的细节问题，然后配有一道及时巩固习题，帮助学生真正彻底理解并掌握每一种题型。
4.课堂总结：总结这节课学习的内容，易错点，强调这节课内容在高考中的重要性。
5.诊断反馈：委婉指出孩子问题，并给出适合孩子学习程度的教学建议。