【数学】重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高二上学期期末联考(文)
重庆市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等差数列中，若，，则（ ） {}n a 16a =1110a =39a a +=A ．14 B ．15 C ．16 D ．8【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，若则，即可计算出结果. ,m n p q +=+m n p q a a a a +=+【详解】由题意可知，在等差数列中，{}n a 由等差数列性质可知，若则； ,m n p q +=+m n p q a a a a +=+所以 3911116a a a a +=+=故选：C.2．过两点和的直线的倾斜角为（ ） ()1,2-()2,1-A ． B ．C ．D ．ππ2π3π4【答案】D【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案. 【详解】斜率，又倾斜角，，．()1211211k --===----[)0,πα∈tan 1α=π4α=故选：D ．3．抛物线的准线方程是（ ） 216x y =A ． B ． 116x =116y =-C ．D ．4x =-4y =-【答案】D【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，， 216x y =8p =所以抛物线的准线方程是：． 4y =-故选：．D 4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面l ()2,2,4v =--- α()1,1,2n =l 的位置关系是（ ）αA ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α故选：A.5．已知圆关于直线对称，则的最大值为222440x y x y +-++=()2200,0ax by a b --=>>ab （ ） A ．2 B ．1C ．D ．1214【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大ab 值.【详解】解：由题意在圆中，222440x y x y +-++=()()22121x y -++=∴圆心为，半径为1()1,2A -在直线中， ()2200,0ax by a b --=>>圆关于该直线对称 ∴直线过圆心， ()1,2A -∴，即： 2220a b +-=1a b +=∵ 1a b +=≥解得： 14ab ≤当且仅当时等号成立 12a b ==∴的最大值为. ab 14故选：D.6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则P ABCD -PA ABCD 2EC PE = AB a =AC b = AP c = （ ）DE =A ．B ．122333a b c -+ 122333a b c ++C ．D ．2233a b c -+ 2233a b c +- 【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示. 【详解】，1121()3333AE AP PE AP PC AP AC AP AP AC =+=+=+-=+，AD BC AC AB ==- 所以．22223333DE AE AD AB AC AP a b c =-=-+=-+ 故选：C7．如图，在直三棱柱中，已知，D 为的中点，，则111ABC A B C -AB AC ⊥1CC 1AB AC AA ==1AB ，所成角的余弦值是（ ）1A DA B C D 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角公式计算得()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-到答案.【详解】以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直ABAC 1AA 角坐标系，设，则，，，，2AB =()0,0,0A ()12,0,2B ()10,0,2A ()0,2,1D 所以，，设，所成的角为，()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-1AB 1A D θ则cos θ=故选：C8．双曲线C ：的左，右焦点分别为，，过的直线与C 交于A ，B 两()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 2F 点，且，，点M 为线段的中点，则（ ） 222AF F B = 160ABF ∠=︒2AF 112F MF F =A ．B C ．D 4353【答案】B【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 2BF t =22AF t =12BF t a =+122AF t a =+在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得12BF F △1BF A 121cos cos 0AMF F MF +=，进而得解 【详解】设，因为，所以， 2BF t =222AF F B =22AF t =由双曲线定义知，则 122B F B F a -=12BF t a =+由双曲线定义知，则122AF AF a -=122AF t a =+设，，因为， 122FF c =222c a b =+160ABF ∠=︒在中，①； 12BF F △22222212(2)(2)1cos 24402(2)2++-∠==⇒++-=⨯+⨯t a t c F BF t at a c t a t 在中， 1BF A 22221(2)(3)(22)1cos 31002(2)32++-+∠==⇒-=⨯+⨯t a t t a F BA t at t a t 解得：，代入①式，得．103t a =73c a =点M 为线段的中点，所以， 2AF 2103A a M MF ==因为，所以121cos cos 0AMF F MF +=，2222221111102610143333010102233a F M a a F M a a F M a F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯又因为12143F F a =故选：B二、多选题9．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）{}n a n n S 25n S n n =-A ．为等差数列 B ．{}n a 0n a >C ．最小值为 D ．为单调递增数列n S 254-{}n a 【答案】BC【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求n S n a {}n a n 解.【详解】对于A ，当时，， 2n ≥()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-时满足上式，所以,1n =114a S ==-26,N n a n n *=-∈所以， ()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故A 正确；{}n a 对于B ，由上述过程可知，26,N n a n n *=-∈，故B 错误；12340,20,0a a a =-<=-<=对于C ，因为，对称轴为， 25n S n n =-52.52=又因为，所以当或3时，最小值为，故C 错误； N n *∈2n =n S 6-对于D ，由上述过程可知的公差等于2， {}n a 所以为单调递增数列，故D 正确. {}n a 故选:BC.10．已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是（ ）C 221mx ny +=m nA ．曲线可能表示两条直线C B ．若，则是椭圆，长轴长为 0m n >>C C ．若，则0m n =>C D ．若，则是双曲线，渐近线方程为 0m n ⋅<C y =【答案】BD【分析】根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可． C 【详解】当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A 正确； 0m =0n >C 221mx ny +=y =当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上0m n >>C 221mx ny +=22111x y m n +=110m n<<C y B 错误； 若，曲线：可化为C 正确； 0m n =>C 221mx ny +=221x y m +=若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D 错误． 0m n ⋅<C y =故选：BD ．11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的为（ ）A ．三棱锥体积为定值1P A BD-43B ．异面直线成角为 111,A D B D 45C ．直线与面1AA 1A BD D ．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 P 11B D 1P A BD -11π【答案】ACD【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三11//B D 1A BD 1P A BD -11//B D BD 1A BD 角形，故B 错误；由向量法可判断C 正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理1A P ⊥BDP 求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D 项. BDP △【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，11//DD BB 11BDD B 11//B D BD 又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 11//B D 1A BD P 11B D 以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，P 1A BD 1P A BD -P 1D ，故A 正确；1111111142223323P A BD B A DD A DD V V S AB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直11//B D BD 1A D 11B D 1A D BD 1A BD 线成角为，故B 项错误；111,A D B D 60 以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，DA x DC y 1DD z 则，，，()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,2,0,2D A B A ()10,0,2AA = ()()12,0,2,2,2,0DA DB ==设平面的法向量为，则，即，令，得，故1A BD (),,n x y z = 100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x z x y +=⎧⎨+=⎩1x =1y z ==-，设直线与面所成角为， ()1,1,1n =--1AA 1A BD θ则，故C 项正确；1sin cosAA θ==当点为中点时，，易得，平面，又平面P 11B D 11P A B D D A B P V V --=111A P B D ⊥1BB ⊥1111D C B A 1A P ⊂，所以，，平面，所以平面，即1111D C B A 11A P B B ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂11BB D D 1A P ⊥11BB D D 平面，1A P ⊥BDP 1A P =BD CP DP ==所以，的外接圆半径为2221281cos 2263BP DP BD BPD BP DP +--∠===⋅⨯sin BPD ∠=BDP △，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为32sin 2BDr BDP=∠32r =1h A P =的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥1P A BD -R 22291112424h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭的外接球表面积为，故D 项正确. 1P A BD -2114π4π11π4S R ==⨯=故选：ACD12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的A B 距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗(1)λλ≠尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点xOy (2,2)A (4,2)B -P ||1||2PA PB =所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）P C A ．的方程为 C 228440x y x y +--+=B ．在上存在点到点的距离为4 C M (3,2)--C ．上的点到直线的最大距离为6C 3460x y -+=D ．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为B l C l 【答案】ACD【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. P 【详解】设，则， (,)P x y 12PA PB==化简得，，则选项正确；228440x y x y +--+=A 将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， C 22(4)(2)16x y -+-=(4,2)则圆上的点到点，(3,2)--444=>则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B 错误；C M (3,2)--上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，C 3460x y -+=3460x y -+=，则选项C 正确；46=显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， l l 2(4)y k x -=+420kx y k -++=由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2， C C l 只需圆心到该直线的距离为2，2=解得D 正确． k =故选：ACD ．三、填空题13．已知直线，，若，则的值为______. ()1:1210l a x y -++=2:10l x ay -+=R a ∈12l l ⊥a 【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得. 12l l ⊥()()1120a a -⨯+⨯-=1a =-故答案为：-1.14．已知数列的前项和为，，则_______{}n a n n S 221n S n n =++n a =【答案】 4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】直接利用即可求的通项公式.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】由已知条件，知当时，；1n =114a S ==当时，；2n ≥22121[2(1)(1)1]41n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=-当时不满足上式，1n =∴，4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为：. 4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩15．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，P ABCD -AC BD O = ABCD 60ABC ∠=︒平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线PO ⊥ABCD BP CD E OC E BP的距离为______ .【答案】3【分析】以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直O OB OC OPx y z 角坐标系，由空间向量法求点线距．【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建BE O OB OC OPx y z 立如图所示的空间直角坐标系，，是等边三角形，点在直线上的射影在边上（靠近的四等分60ABC ∠=︒ABC O AB F AB A 点），由平面，平面，得， PO ⊥ABCD AB ⊂ABCD PO AB ⊥又，，平面，OF AB ⊥OF PO O ⋂=,OF PO ⊂POF 所以平面，而平面，所以，∴为锐角，AB ⊥POF PF ⊂POF AB PF ⊥PBA ∠，为异面直线与所成角，即.//AB CD Q PBA ∴∠PB CD 60PBA ∠= 在菱形中，，， ，，则，ABCD 4AB =60ABC ∠= 2OA ∴=OB =PO a =()0,0,P a ()()(),0,2,00,1,0∴-B A E()2,0)BP a AB =-=cos<,12AB BP PB AB AB BP ⋅>===⋅，a ∴=，，，，()BE ∴=- (BP =- 12BE BP ⋅=6BP =点到直线的距离为.∴E BP 3d =故答案为：3.16．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______． 916-【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出、点的坐标，得到直线与的方程，分别与内A B AC BD 椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率Δ0=1k 2k 12916k k =-的值.【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭22221x y a b +=()0a b >>圆方程为.()()22221x y ma mb +=()1m >所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方A (),0ma -B ()0,mb AC ()1y k x ma =+BD 程为，2y k x mb =+联立直线的方程与内层椭圆方程得，AC ()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222322242211120k a b x ma k x m k a a b +++-=，因为直线与椭圆相切，AC 所以，()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =-+-=整理可得，. 2212211b k a m =⋅-同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出， BD 222221x y a by k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222221b k m a =-所以.()224222122224111b b b k k m a m a a =⋅⨯-=-因为，所以，则，12916k k =-22916b a =222222ca b e a a -==227116b a =-=所以e =.四、解答题17．已知圆，直线． 22:4690C x y x y +--+=:20l kx y +-=(1)求圆的圆心坐标和半径；C (2)若直线与圆相切，求实数的值． l C k 【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2． C ()2,3(2) 34k =【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径； （2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可. 【详解】（1）圆，22:4690C x y x y +--+=圆的标准方程为． ∴C 22(2)(3)4-+-=x y 圆的圆心的坐标为，半径为2．∴C C ()2,3（2）直线与圆相切，l C圆心到直线的距离，解得． ∴C l 2d 34k =实数的值为．∴k 3418．已知为等差数列，前项和为，是首项为3且公比大于0的等比数列，{}n a n n S ()*n ∈N {}n b q ，，. 3229b b -=343b a =9211S b =(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前项和.{}n n a b n n T ()*n ∈N 【答案】(1)，；21n a n =+3nn b =(2).13n n T n +=⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式及其性q 质和求和公式，即可解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；1a d {}n a {}n b （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． {}n n a b ×n n T 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． {}n a d {}n b q 0q >则由可得，，解得或（舍去），3229b b -=2369q q -=3q =1q =-所以，则，.111333n n nn b b q --==⨯=29b =327b =由可得，由可得，， 343b a =49a =9211S b =999S =又，所以. ()1995992a a S a +==511a =所以，，所以， 542d a a =-=411369a a d a =+=+=13a =所以.()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，，21n a n =+3nn b =所以.()321nn n a b n ⋅=⋅+所以，，211223353(21)3n n n n T a b a b a b n =++⋯+=⨯+⨯+⋯++⋅，21333353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⋯++⋅两式作差得，2133(21233232)332n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⋅+⨯-L，()111121(223191)3(21)393923133n n n n n n n n +++-+=+-=+--=+-⋅--⋅⨯⨯+⋅所以，.13n n T n +=⋅19．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =(1)求证： 直线 平面；BD ⊥PAC (2)求直线 与平面所成的角的正弦值. PC PBD 【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】（1） 证明和，利用直线与平面垂直的判定定理可得证. PA BD ⊥AC BD ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 . PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥在正方形 中，. ABCD AC BD ⊥而, 平面， PA AC A = ,PA AC ⊂PAC 故 平面.BD ⊥PAC （2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.A ,,AB AD AP x y z ，，设 ，则，1AB =()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C 从而.()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=-设平面 的法向量为， PBD ()n x y z =，，，令 ， 则. 00PB n x z PD n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设直线 与平面所成的角为，则， PC PBD θ1sin cos ,3PC n PC n PC n θ⋅===⋅故直线 与平面的所成角的正弦值为.PC PBD 1320．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的标准方程；C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程．BM BN ⊥l 【答案】(1)2214x y +=(2)35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数. 0BM BN ⋅=m 【详解】（1）由题意得，，， c =2ab=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为．∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即，()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，．1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅=， ()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-=，()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）．35m =-1m =直线的方程为．∴l 35y x =-21．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形1,A D 11A BCD 1222AB AA AD ===12DC DD =沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体11A ADD AD ABCD 21A B 1D C ．11ABA DCD -(1)当点在棱上移动时，证明：；E AB 11D E A D ⊥(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存AB E 1D EC D --π6AE 在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，2AE =【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角1,,DA DC DD 坐标系，求得，由此可证得；11,A D D E11D E A D ⊥（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标DCE 1D CE 公式得到关于的方程，解之即可.0y 【详解】（1）由图1易知图2中，有，1,AD CD AD DD ⊥⊥又因为面面，面面，面， 11A ADD ⊥ABCD 11 A ADD ABCD AD =CD ⊂ABCD 所以面，又面，故，CD ⊥11A ADD 1DD ⊂11A ADD 1CD DD ⊥故以为原点，边所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， D 1,,DA DC DD x y z 则11(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,2,0),D D A C不妨设，，则，故，0AE y =002y ≤≤()01,,0E y ()110(1,0,1),1,,1A D D E y =--=-所以，故.110D E A D ⋅=11D E A D⊥ .（2）假设存在使二面角的平面角为，其中， ()01,,0E y 1D EC D --π6002y ≤≤因为平面，所以可作为平面的一个法向量， 1DD ⊥DCE 1(0,0,1)DD =DCE 因为， ()110(0,2,1),1,,1CD D E y =-=- 设平面的一条法向量为，则，即，1D CE (,,)r x y z = 1100r D E r CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0020x y y z y z +-=⎧⎨-+=⎩令，则，故， 1y =02,2x y z =-=()02,1,2r y =-因为二面角的平面角为， 1D EC D --π6所以1πcos ,cos 6DD r ==整理得，解得或（舍去），200312110y y -+=02y =02y =所以， 02AE y ==故在棱上存在点，使二面角的平面角为，且AB E 1D EC D --π62AE =22．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离C ()222210,0x y a b a b -=>>0x =为1.(1)求双曲线的标准方程.C (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A ，两点，为坐标原点，直线，12-l C x B O OA OB的斜率之积为，求的面积.18-OAB 【答案】(1)2212x y -=(2)【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，求出c =223a b +=a =，得到双曲线方程；1b =（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线l ()102y x t t =-+>，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.OA OB 18-1t =OAB 【详解】（1）由题意知焦点到渐近线，则(),0c0x =1=c =因为一条渐近线方程为，所以 0x=b a =又，解得：，223a b +=a =1b =所以双曲线的标准方程为；C 2212x y -=（2）设直线：，，，l ()102y x t t =-+>()11,A x y ()22,B x y 联立， ()22221,2441012y x t x tx t x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+=⎨⎪-=⎪⎩则，()22Δ161610t t =++>所以，，124x x t +=-()21241x x t ⋅=-+由121212121122OA OB x t x t y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=⋅=，()()()221221241112244841t tx x t t t x x t -++--+=+=+=--+解得或（舍去），1t =1-所以，，124x x +=-128x x ⋅=-：，令，得，l 112y x =-+0x =1y =1x -==所以的面积为OAB 1212111()1222S OD x x OD x x =+=-=⨯⨯=。
重庆一中高2013级高二(上)期末试题——数学理(WORD) 2
B 1A 1CBA C 1DF秘密★启用前2012年重庆一中高2013级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2012.1数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3450x y +-= B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=2．已知21,F F 为平面内两定点,|21F F |=6,动点M 满足12||||||6MF MF -=,则M 的轨迹是( )A ．两条射线B ．椭圆C ．双曲线D ． 抛物线3．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且AC AB DF βα+=，则( )A ．1,21-==βα B ．1,21=-=βαC ．21,1-==βαD ．21,1=-=βα4.有关命题的说法错误．．的是 ( ) A.命题“若0232=+-x x , 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”. B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件. C.若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.D 11B5．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，若b a <，则( ) A ．ϕθ> B ．ϕθ<C ．ϕθ=D ．θ与ϕ大小不确定6.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A. n=0 B. n=1 C.n=2 D. n=47.已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 22K ⎡∈-⎢⎣⎦D. ,K ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误．．的是 ( ) A.AC BE ⊥ B.//EF ABCD 平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.异面直线,AE BF 所成的角为定值9．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为12e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能10．对于直角坐标系内任意两点P 1(11,y x )、P 2(22,y x ) , 定义运算“⊗”如下：P 1⊗P 2=(11,y x )⊗(22,y x )=).,(12212121y x y x y y x x +-若点M 是与坐标原点O 相异的点，且M ⊗(1,1)=N ，则∠MON 的大小为（ ）.A ． 90ºB ． 60ºC ．45ºD ． 30ºABa blαβ二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = .12．l 过抛物线24y x =的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB|= . 13．空间四点O （0,0,0）,A （0,0,3）,B （0,3,0）,C （3,0,0）,O 点到平面ABC 的距离为 . 14．已知结论:“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM= ”.15．曲线C 由)0(159)0(1592222≥=-≥=+y y x y y x 和两部分组成，若过点（0，2）作直线l 与曲线C 有且仅有两个公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分13分）数列{}n a 满足)2(12,2111≥+==-n a a a n n 。
重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题_Word版含答案
2012—2013学年度高2015级上期过程性调研抽测数 学 试 题第I 卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回．一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．21log 2=（ ） A ．1- B ．12-C ．1D ．2 2．在下列函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A ．2y = B ．y = C ．2x y x= D ．y =3．设角2α=-弧度，则α所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设,a b是两个非零向量，下列能推出a b = 的是（ ）A ．//a bB ．22a b =C ．a c b c ⋅=⋅D ．a b = 且,a b 的夹角为05．若2log 13a<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．2(0,)(1,)3+∞ D ．22(0,)(,1)336．已知3tan 2,(,)2πααπ=∈，则cos α=（ ）A ．5B ．5-C ．5D ．5-7．函数0)y x x =≥的值域为（ ）A ．1[,)4-+∞B ．1[,)2+∞C ．[0,)+∞D ．1[,)4+∞8．要得到函数sin 2x y π=的图象，只需将函数cos 2xy π=的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 9．设函数21()(0)f x x a x x=+-≠，a 为常数且2a >，则()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 410．已知ABC 内一点P 满足AP AB AC λμ=+，若PAB 的面积与ABC 的面积之比为1：3，PAC 的面积与ABC 的面积之比为1：4，则实数,λμ的值为（ ）A ．11,43λμ==B ．11,34λμ==C ．21,33λμ==D ．31,44λμ==第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．设集合{}1,2A =，{}2,,B a b =，若{}1,2,3,4A B = ，则a b += ．12．设向量a ，b 满足(1,1)a =-，b a = ，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为 ．13．已知sin ,cos θθ是关于x 的方程22210x mx -+=的两个实根，(0,)2πθ∈，则实数m的值为 ．14．函数2()1sin ()1xf x x x R x =++∈+的最大值与最小值之和等于 ． 15．已知函数()()x x f x e e x R -=-∈，不等式(2)()0te f t mf t ⋅-<对于(0,1)t ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．16．（本小题满分13分，第（1）小问8分，第（2）小问5分）设函数y =的定义域为A ，函数2log ()y a x =-的定义域为B ． （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）设全集为R ，若非空集合()R B A ð的元素中有且只有一个是整数，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分13分，第（1）小问8分，第（2）小问5分）已知O 点为坐标原点，向量OA =(3,4),-OB =(6,3)-,OC=(5,3)m m ---． （1）若点,,A B C 共线，求实数m 的值；（2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值．18．（本小题满分13分，第（1）小问5分，第（2）小问8分）设函数()cos 2tan()4f x x x π=⋅-，且cos 0,cos sin 0x x x ≠+≠．（1）计算()f π的值；（2）若()cos 1f αα=-，[0,]απ∈，求α的值． 19．（本小题满分12分，第（1）小问5分，第（2）小问7分）在平面直角坐标系xoy 中， o 为坐标原点，(sin ,cos ),(cos,sin ),066A x xB ππωωω>．（1）求证：向量OA OB + 与OA OB -互相垂直；（2）设函数()(,f x OA OB x R λλ=∈为正实数)，函数()f x 的图象上的最高点和相邻且()f x 的最大值为1，求函数()f x 的单调递增区间．20．（本小题满分12分，第（1）小问2分，第（2）小问4分，第（3）小问6分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （百元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1(kP x k x=+为正常数)，日销售量()Q x （件）与时间x （天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121（百元）．（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，③()xQ x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）求该服装的日销售收入()(130,)f x x x N ≤≤∈的最小值．21．（本小题满分12分，第（1）小问3分，第（2）小问4分，第（3）小问5分）已知函数()2(0)f x ax bx c a =++>，且()12af =-． (1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设12,x x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围； (3)求证：函数()f x 在区间（0,2）内至少有一个零点．高2015级数学试题参考答案一、选择题：1—5：ADCDC ；6—10：BADCA二、填空题：11．7； 12．(1,1)-； 13；14．2；15．)21,e ⎡++∞⎣．三、解答题：16．解：（1）由201210x x x -≥⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，[1,2]A ∴=-． ………3分 由0a x ->得x a <，(,)B a ∴=-∞． ………5分,2A B a ⊆∴> ． ………8分（2）(,)B a =-∞ ，[,)R B a ∴=+∞ð． ………10分()R B A ð的元素中有且只有一个是整数，12a ∴<≤． ………13分17.解：（1）由已知，得AB =OB-OA =(6,3)(3,4)(3,1)---=， ………2分AC =OC OA -(5,3)(3,4)(2,1)m m m m =-----=--. ………4分,,A B C 共线，3(1)2,m m ∴-=- ………6分1.2m ∴=………8分 （2）由题意知：AB AC ⊥， ………9分 3(2)(1)0,m m ∴-+-= ………11分7.4m ∴=………13分18．解：（1）()cos 2tan()14f ππππ=⋅-=-. ………5分（2）cos 0,cos sin 0,x x x ≠+≠22sin 1tan 1cos ()cos 2(cos sin )sin tan 11cos xx xf x x x x x x x--∴=⋅=-++ 2(c o s s i n )2s i n c o s 1x x x x =--=-． ………10分 由()2sin cos 1cos 1f αααα=-=-，得cos (2sin 1)0αα-=．[0,]απ∈ ，且cos 0α≠， 2s i n 10α∴-=，即1sin 2α=， ………11分 6πα∴=或56π. ………13分19．解：（1）(sin ,cos ),(cos ,sin )66OA x x OB ππωω== ，1,1OA OB ∴==． ………2分()OA OB ∴+ ） ()OA OB - =2222110OA OB OA OB -=-=-= ．…4分OA OB ∴+ 与OA OB -互相垂直. ………5分（2）()(sin cos cos sin )sin()666f x OA OB x x x πππλλωωλω==+=+………7分 ()f x 的最大值为1，1λ∴=. ………8分设()f x 的最小正周期为T ，由条件有21,2,2T T Tπωπ=====， ………10分 ()sin()6f x x ππ∴=+.令22262k x k ππππππ-≤+≤+，则2122()33k x k k Z -≤≤+∈． 故()f x 的单调递增区间为212,2()33k k k z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ………12分20．解：（1）依题意有：(10)(10)(10)f P Q =⋅，即(1)11012110k+⨯=，所以1k =． ………2分 （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②()25Q x a x b =-+. ………4分 从表中任意取两组值代入可求得：()2512512525Q x x x =--+=--． ………6分（3）100,(125)()12525150.(2530)x x Q x x x x +≤<⎧=--=⎨-≤≤⎩，100101,(125)()150149.(2530)x x xf x x x x⎧++≤<⎪⎪∴=⎨⎪-+≤≤⎪⎩． ………8分①当125x ≤<时，100x x+在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数， 所以，当10x =时，min ()121f x =（百元）． ………10分②当2530x ≤≤时，150x x-为减函数， 所以，当30x =时，min ()124f x =（百元）． ………11分 综上所述：当10x =时，min ()121f x =（百元）． ………12分21．解：（1）证明：()1,2af a b c =++=-3.2c a b ∴=--()23.2f x ax bx a b ∴=+-- ……1分对于方程()0,f x =判别式()22222346422,2b a a b b a ab a b a ⎛⎫∆=---=++=++ ⎪⎝⎭……2分又0,a >0∴∆>恒成立．故函数()f x 有两个不同的零点． ……3分（2）由12,x x 是函数()f x 的两个不同的零点， 则12,x x 是方程()0f x =的两个根．12,b x x a ∴+=-123.2b x x a =-- ……5分12x x ∴-===故12x x -的取值范围是).+∞ ……7分（3）证明：()0,f c = ()242,f a b c =++ 由（1）知：3220,a b c ++=()2.f a c ∴=- ……9分（i ）当c>0时，有()00,f >又0,a >()10,2af ∴=-< ∴函数()f x 在区间（0, 1）内至少有一个零点． ……10分 （ii ）当0c ≤时，()20,f a c =->()10,f <∴函数()f x 在区间（1,2）内至少有一个零点． ……11分 综上所述，函数()f x 在区间（0,2）内至少有一个零点． ……12分。
2013-2014学年重庆市区县联考高二(上)期末数学试卷(文科) - 副本
2013-2014学年重庆市区县联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题有10个小题，每小题5分，共50分）1．双曲线1322=-y x 的右焦点坐标为（ ） A ． （2，0） B ．（0，2） C ．（，0）D ．（0，，）2．（2011•重庆）曲线233x x y +-=在点（1，2）处的切线方程为（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=﹣3x+5C ． y=3x+5D ．y=2x3．方程为01=--aax y 的直线可能是（ ） A ．B ．C．D．4．（2008•广东）经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是（ ）A ． x+y+1=0B ． x+y ﹣1=0C ． x ﹣y+1=0D ．x ﹣y ﹣1=05．下列有关命题的说法正确的是（ ）A.”，则”的否命题为“若则命题“若111,122≠===x x x x B.”的必要不充分条件”是““06512=---=x x xC.”均有”的否定是“使得命题“01,01,22<++∈∀<++∈∃x x R x x x R x D.”的逆否命题为真命题，则命题“若y x y x cos cos ==6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为（ ）A ． 32B ．16 C ． 316D ．407．如图，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列结论：①三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线12222=-y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ． ﹣2B ． 2C ． ﹣4D ．49．下列命题：①成立；不等式342,2->+∈∀x x x R x ②;1,22log log 2>≥+x x x 则若③;00”的逆否命题，则且命题“若bca c cb a ><>> ④.,012,:,11,:22是真命题则命题命题若命题q p x x R x q x R x p ⌝∧≤--∈∃≥+∈∀ 其中真命题只有（ ）A ． ①②③B ． ①②④C ． ①③④ D ．②③④10．（2009•浙江）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若=2，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C． D ．二、填空题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分）11．已知点A （1，﹣2），B （m ，2），且线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y ﹣2=0，则实数m 的值是 _________ ． 12．命题：∃x ∈R ，x 2﹣x+1=0的否定是 _________ ．13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 _________ ． 14．（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B ，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 _________ ．15．有以下三个关于圆锥曲线的命题： ①设A 、B 是两定点，k 为非零常数，||﹣||=k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③双曲线﹣=1与椭圆+y 2=1有相同的焦点．其中是真命题的序号为 _________ ．三、计算题（本大题有6个小题，16、17、18题每小题13分，19、20、21题每小题13分，共75分）16．（13分）已知直线l ：y=2x+1和圆C ：x 2+y 2=4， （1）试判断直线和圆的位置关系．（2）求过点P （﹣1，2）且与圆C 相切的直线的方程．17．（13分）已知a 为实数，函数()()R x ax x x f ∈-=23．（1）若()51'=f ，求a 的值及曲线()x f y =在()()1,1f 处的切线方程； （2）求()x f 在区间[0，2]上的最大值．18．（13分）如图三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，每个侧面都是正方形，D 为底边AB 中点，E 为侧棱CC 1中点，AB 1与A 1B 交于点O ． （Ⅰ）求证：CD ∥平面A 1EB ； （Ⅱ）求证：平面AB 1C ⊥平面A 1EB ．19．（12分）设0132:2≤+-x x p 命题，()()0112:2≤+++-a a x a x q 命题，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．（12分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为2，椭圆与双曲线﹣y 2=1有共同的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过点A （3，0）的直线与椭圆相交于不同的P 、Q 两点，求该直线斜率k 的取值范围．21．（12分）（2012•怀柔区二模）已知：椭圆（a ＞b ＞0），过点A （﹣a ，0），B （0，b ）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过D （﹣1，0）与椭圆交于E ，F 两点，若，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线y=kx+2交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （﹣1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2013-2014学年重庆市区县联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题: AAACD BCDAD二、填空题： 11．3 12． ∀x ∈R ，x 2﹣x+1≠0 13．14．15． ②③三、计算题()()()()010342,340,043212,02,12,210-1-,12,2551210021220,01.162222=+-====-=++=++-+=-≠=-==<=++-⨯=+==y x y k k k k k k k y kx x k y k x r d x y r 或则切线为或解得化简得由即则直线为斜率为当直线斜率存在时，设，不符题意圆心到直线距离为直线为当直线斜率不存在时，所以直线与圆相交的距离为，圆心到直线，半径圆的圆心为解答：()()()()()()()035,15252,1,21,1,523,51',23'1.17232=---=-=∴+=-=∴=-∴=-=y x x y f xx x f a a f ax x x f 即则切线为，斜率为即切点为此时解答：()()()()()[]()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()⎩⎨⎧>≤===<<<<-==<<≥≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡>⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<<==∴<≥≥-==∴>≤≤===-=2,02,4-80032,04-8,02;48220,04-8,02232320,0'232,0'32030,2320;002,0,0'2,03,232;4822,0,0'2,00032,32,0023'2max max max max 212a a a x f f x f a a f f a f x f a a f f a a x f x f a x f a a a f x f x f x f a aa f x f x f x f a aa x x ax x x f 综上所述，；时，即即当时，即即故当上为增函数，，上为减函数，在，在故上，在上，时，在即当上为减函数，在上时，在即当上为增函数，在上时，在，即当解得令()EBA CD EB A EO EB A CD EO CD DCEO ECOD BB EC CC E BB OD B A AB O AB D ABC AA A AB AC AB AA AC AA OD 11111111111//,////21//21//,,1.18平面平面平面又为平行四边形，，中点为又交点为对角线中点，为三棱柱为正棱柱平面形棱柱的每个侧面为正方连结证明：∴⊂⊄∴∴∴∴⊥∴=⊥⊥∴()()CAB EB A C AB AB EB A AB EB A B A EO O B A EO AB B A AB EO EO CD AB CD A ABB CD ABC A ABB ABCD CBAC AB 11111111111111111//1,2平面平面平面又平面平面、正方形中又得由平面底面直棱柱侧面又⊥∴⊂⊥∴⊂=⊥⊥∴⊥⊥∴⊥⊥∴=={}⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤∴≤≥+∴⊆∴⌝⌝+≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=210210,2111,1:,121:.19，的取值范围是故实数且的充分不必要条件，即是的必要不充分条件是命题解答：由题意得，命题a a a a B A q p q p a x a x B q x x A p()()1262,6,2224131-32121.202222222222=+∴==⎩⎨⎧==-==+==>=+y x c a c c a c c y x a y a x 椭圆的方程为解得由已知得，即可得由双曲线程为由题意，可设椭圆的方解答：()()()()()()3636-62713432406271813,126330,32222222222<<>-+-=∆=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=k k k k k x k x k y x x k y x k y PQ A 得依题意即联立的方程为，设直线由题意得 ()13,1,3232121,336tan 1.212222=+==+∙∙=∙==y xb a b a b a a b 所以椭圆方程为得由解答：π()()()()()()011:1,1,32322322,322202231301,,,,22222222122212122222211=+--=-==∴+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=-=+=-=+-===--+=+>-=y x y x EF m m m m m m y y y m m y y y y y DF ED m y y m y x m m y x EF y x F y x E 即的方程为直线舍去得由得由得代入所在直线为：设()()()()()()()()()()()()()()满足题设条件存在方程此时解得得又即，则为直径的圆过记得代入将67,6704121,2,2011,1,10,1-,,,091213,13232121222112121221122112222=∴>∆*==++++++=+==+++=+∙+⊥*=+++=++=k k x x k x x k kx y kx y y y x x y x y x QDPD D PQ y x Q y x P kx x k y x kx y。
重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高二上学期期末联考试题(政治)
B文 化 既是通俗 的 ,又 是高雅 的 C。 世 界各 国文化具有趋 同性 D.文 化 既是 民族 的 ,又 是世界 的 16.一 个小儿醒 目地站立在象征宗祠的屋顼下 ,这 便是汉字中的“ ” “ ” 字 。 字 的造字意图可 以理解为,把 新生命领到天地、祖先面前 ,通 过某种命名仪式 ,希 望他承担起沟通的 使命 。下列关于汉字的认识 ,正 确的是
A① ②
18.“
B② ④
C③ ④
D① ③
风情渐老见春羞 ,到 处销魂感 旧游 。多谢长条似 相识 ,强 垂烟态拂人 头 ” 南唐后主李 。
煜 的这首诗至今 仍为很 多人动容 。从 《 、《 诗经 》 离骚 》到元 代散 曲 ,中 国很多古诗词 都散发着独特 的韵味 。这表 明中华文化 中的文学艺术具有
思维和表达方式 。这表明 ①人民面临着文化消费的多重选择 ③大众传媒的商业性影响越来越大
A~① ②
②人们在实践中创造和发展文化 ④大众文化对社会发展产生影响
B③ ④
C① ③
D② ④
8⒛ 12年
9月 29日 ,第 四届中英互联网圆桌会议在北京举行 。参会人员围绕网络安全 、 移动互联网、数字媒体创新、数字知识产权保护等议题进行对话交流。互联网作为一 个新兴媒体形式 ,它 ①是现代社会文化传播的主要手段 ②使信息的传递能够最大程度地超越时间和空问的局限 ③具有选择 、传递 、创造文化的特定功能 ④具有很奸的开放性以及很高的信息共享度
①辉煌悠久的历史 ③鲜明独特的风格
②丰富绚丽的内涵 ④与时俱进的特点
A① ②③
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题 理(扫描版)新人教A版
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题理（扫描版）新人教A版重庆市2012年秋高二(上)期末测试卷数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1～5 BBADC 6～10 CCDAC9．提示：(1,0)F ，设00(,)P x y ，∵||4PF =，∴014x +=即03x =， 由焦半径公式，0||4PF a ex =-=，解得2a =∴P到右准线的距离为208a x c-=+10．提示：如图，各棱长均相等的三棱锥11ACB D 在面1111A B C D 上投 影为边长为的正方形，所求三棱锥体积为正方体体积减去 四个三棱锥的体积，即111463V =-⋅=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上. 11．x R ∀∈,+0ax b ≤12．3213．214．15三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）圆22:(2)(1)5C x y a -++=-∵圆C 与x 轴相切，∴51a -=即4a =.……………5分 （Ⅱ）圆22:(2)(1)1C x y -++=，∵过点(3,2)当切线斜率k 存在时，设切线方程：32y kx k =-+……………8分1=1=，解得43k =，4:23l y x =- 当切线斜率不存在时，显然3x =是圆C 的切线， ∴切线的方程为423y x =-或3x =.……………13分 17．（本小题满分13分）解：2:80p a a -<⇔-<<，:1q a >因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p 、q 一真一假……………5分D CBAD 1C 1B 1A 1若p 真q假则(a ∈-……………8分 若p 假q真则)a ∈+∞……………11分 所以a的范围为([22,)-+∞……………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证：连接DB ，由长方体知1DD ⊥面ABCD 所以1DD DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 所以AC ⊥面1DD B ，所以1BD AC ⊥……………6分 （Ⅱ）设点1C 到面1AB C 的距离为h . 由1111C AB CA B C C V V --=得1111133AB C B C C S h S AB ∆∆⋅=⋅，所以1111B C C AB C S AB h S ∆∆⋅===……13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题得c a =22231a b +=，又222a b c =+，解得228,4a b == ∴椭圆方程为：22184x y +=……………5分（Ⅱ）设直线的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 12121212()2()0y y x x y y x x -+++⋅=-……………8分∵P 是AB 中点，∴124x x +=，122y y +=，1212y y k x x -=-代入上式得：440k +=，解得1k =-， ∴直线:30l x y +-=.………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在矩形ABEF 中，N 是AE 中点，∴N 是FB 中点， 又M 是FC 中点，∴//MN CB∵//CB AD ，∴//MN AD ，∴//MN 平面ADF ……………5分ADCBA 1D 1C 1B 1（Ⅱ）∵AD AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ADCB ，平面ABEF 平面ADCB AB =∴AD ⊥平面ABEF ，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CFB ∠为直线CF 与平面ABEF 所成角， 由题cos CFB ∠=，∵2CB =，∴cos FBCFB FC∠===，解得FB =∴1AF =，……………7分以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AF 为z 轴正方向建立坐标系，则(0,0,1)F ，(2,2,0)C ，(0,2,1)E 设平面ACE 的法向量1(,,)n x y z =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =由1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得1(1,1,2)n =-同理可得平面ACF 的法向量2(1,1,0)n =-121212cos ,||||n n n n n n⋅<>==-⋅设二面角F AC E --的大小为θ 显然θ为锐角，∴cos θ=12分21．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设M（-1,0)，圆M 的半径r =，由题意知||||PN PM r +=， 所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为的椭圆，于是由1a c ==得1b =，所以点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=.……………4分（Ⅱ）因为点N 恰为ABE ∆的垂心，所以EN AB ⊥，EB AN ⊥.由EN AB ⊥得1EN k k ⋅=-，而1EN k =-，所以1k =，故方程为y x m =+.由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2234220xmx m ++-=， 由22480m ∆=->得m <<，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=，……………7分11(1,)NA x y =-，22(,1)EB x y =-，由EB AN ⊥，得0NA EB ⋅=，又211212212(1)(1)()(1)x x y y x x x x m x m -+-=-+++-12122(1)()(1)x x m x x m m =+-++-2444(1)(1)33m m m m m --=-+-2343m m +-=……………10分 所以2340m m +-=，解得43m =-或1m =（舍去），43m =-满足0∆>， 所以所求直线为43y x =-……………12分。
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期中考试 理
秘密★启用前2012年重庆一中高2014级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（理科） 2012.11一、选择题（每小题5分，共50分）1.抛物线22x y =的焦点到准线的距离为 （ ） A.1 B.12 C. 14 D. 182.双曲线2212x y -=的渐近线方程为 （ ） A. 2y x =±B. y =C. y x =D. 12y x =±3. 直线0x y a -+=与圆222x y +=相切,则a 的值为 ( )A. 2±B. ± D. 4± 4. 三角形ABC 中， 90,3,1B AB BC ∠===，以边AB 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. π B. 2πC. 3π .D.3π 5. 已知直线,m n 和平面βα,满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥,则 ( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n .//C n α或α⊂n .D n α⊥6. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7. 已知点(,)P x y 在椭圆2214x y +=上，则22324x x y +-的最大值为（ ） A. 2- B. -1 C. 2 D.78.)2210x y +-=所表示的曲线的图形是（ ）9. 记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( )A. (0,1)B. 1(,1)3C. 1(0,)3D. (1,3)10. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0,(c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．5 B.25C.15+D.215+二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知向量(1,2,3)a =，(1,,0)b x =，且a b ⊥，则x = 。
【全国名校】2013-2014学年重庆市重庆一中高二上学期期末考试理科数学试卷
【全国名校】2013-2014学年重庆市重庆一中高二上学期期末考试理科数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线与直线垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.2.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则（）A. B. C. D.3.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，则圆的方程是（）A. B.C. D.4.棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A.B. C. D.5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A. B. C. D.6.已知、是不重合的平面，、、是不重合的直线，给出下列命题：①；②；③．其中正确命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 07.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（）A.B.C.D.8.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.9.若函数函数,则的最小值为( )A. B.C. D.10.（原创）若对定义在上的可导函数，恒有，（其中表示函数的导函数在的值），则（）A. 恒大于等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D. 和0的大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.如图，直三棱柱中，，，，则该三棱柱的侧面积为．12.如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是______________．13.已知函数在上是单调减函数,则实数的取值范围是___________．14.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．15.已知抛物线的焦点为，顶点为，准线为，过该抛物线上异于顶点的任意一点作于点，以线段为邻边作平行四边形，连接直线交于点，延长交抛物线于另一点．若的面积为，的面积为，则的最大值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16.已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1．（1）求曲线的方程；（2）设直线交曲线于两点，线段的中点为，求直线的一般式方程．17.如图，是正方形所在平面外一点，且，，若、分别是、的中点．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．18.已知三次函数，为实常数。
重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高二上学期期末联考数学理试题含答案
.
15．如图，在长方形 ABCD 中 , AB 3 , BC 1, E 为线段 DC 上一动点，现将 AED 沿 AE 折起，使
点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C 时，则 K 所形成轨迹的长度
为
.
15 题
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤或推理过程，并答
长为 2 2 . （Ⅰ）求点 A 的坐标；
（Ⅱ）求圆 C 的标准方程．
19．（本大题满分 13 分）
已知命题 p :" x [1,2], x2 a 0",命题 q :" x0 R, x02 2ax0 2 a 0"若命题 “p 且 q ”为假命 题， “p 或 q ”是真命题，求实数 a 的取值范围 .
分
G
法二：（向量法）
解：（Ⅰ）以 C 为原点， CD 所在的直线为
立空间直角坐标系，
x 轴， CB 所在的直线为
y 轴， CE 所在的直线为
角 ..............................................10
分
分
E M F
C
B
P
D
A
FA 平面 ABCD 且 PG AD 易证 DG GF
设 AG x ，则 PG x, FG 1 x 2
FPG 60
FG tan FPG
PG
1 x2 x
3 解得 x 2 2
P 应为 AC 的中点 ................... ..12
（Ⅱ）证明： F2M
F2Q ；
（Ⅲ） 若 2,3 ，求 PQ 得取值范围 .
重庆市高二数学上学期期末测试试题 文(扫描版)新人教A版
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题文（扫描版）新人教A版重庆市2012年秋高二(上)期末测试卷数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1～5 BBADC 6～10 DACCA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。
11．5212．3213．2 14． 15．4三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）圆22:(2)(1)5C x y a -++=-∵圆C 与x 轴相切，∴51a -=即4a =.……………5分 （Ⅱ）圆22:(2)(1)1C x y -++=，∵过点(3,2)当切线斜率k 存在时，设切线方程：32y kx k =-+……………8分 ∴1=1=，解得43k =，4:23l y x =- 当切线斜率不存在时，显然3x =是圆C 的切线， ∴切线的方程为423y x =-或3x =.……………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）)13()(2+++='a x x e x f x，由题意，得00=')(f ，即01=+a ，1-=a ；……………6分（Ⅱ）)1()(2-+=x x e x f x，)3()(+='x x e x f x，∵30)(-<⇔>'x x f 或0>x ，030)(<<-⇔<'x x f ，∴函数)(x f 的单调增区间为)3,(--∞，),(+∞0，单调减区间为)0,3(-．……………13分18．（本小题满分13分）解：2:80p a a -<⇔-<<，:1q a >因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p 、q 一真一假……………5分若p 真q 假则(a ∈-……………8分若p 假q 真则)a ∈+∞……………11分所以a 的范围为()-+∞U ……………13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证：连接DB ，由长方体知1DD ⊥面ABCD所以1DD DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 所以AC ⊥面1DD B ，所以1BD AC ⊥……………6分（Ⅱ）设点1C 到面1AB C 的距离为h .由1111C AB C A B C C V V --=得1111133AB C B C C S h S AB ∆∆⋅=⋅， 所以1111B CC AB CS AB h S ∆∆⋅===……12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题得c a =22231a b+=，又222a b c =+，解得228,4a b ==∴椭圆方程为：22184x y +=……4分（Ⅱ）记(1,0)为点Q ∵以(1,0)Q 为圆心的圆C 与12,PF PF 相切，∴PQ是12PF F ∆的角平分线，由角平分线定理，112231PF F Q PF F Q ==∵122PF PF a +==，∴1PF =，2PF =……………7分设00(,)P x y，由焦半径公式100PF aex x =+=+=解得02x =∴P ，直线1PF 方程为：2)y x =+40y -+= ∴圆C 半径即为点Q 到直线1PF 的距离1r ==∴圆C 方程22:(1)1x y -+=……………12分21．（本小题满分12分） 解:（Ⅰ）1()f x a x '=-，21()a g x x -'= ∵12//l l ，∴01a x -201a x -=，其中00x >， ∴200(1)0ax x a ---=，解得01x =和010a x a-=-<（舍去）……………4分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，()()f x g x ≥在[1,)+∞恒成立等价于()0h x ≥在[1,)+∞恒成立.()h x '=1a x -221[(1)](1)a ax a x x x -+---=令()0h x '=，解得1x =或1aa -……………7分A DCBA 1 D 1C 1B 1当11a a -≤即12a ≥时，()0h x '≥在[1,)+∞恒成立，()h x 上在[1,)+∞单调递增，()h x 的最小值为(1)0h =，∴()0h x ≥在[1,)+∞恒成立，满足题意； (9)分当11a a ->即102a <<时，∵1(1,)a x a -∈时，()0h x '<，∴()h x 上在1(1,)aa-单调递减，又(1)0h =，()0h x ≥在[1,)+∞不可能恒成立.……………11分 综上，1[,)2a ∈+∞……………12分。
重庆重点高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 255,2S S ==7S =A ．7 B ．C ．D ．107-10-【答案】B【分析】根据等差数列的前项和为公式解决即可. {}n a n n S 【详解】因为，，25S =52S =所以，解得， 52345433S S a a a a -=++==-41a =-所以. ()17747772a a S a +===-故选：B.2．在等差数列中，已知，则（ ） {}n a 4816a a +=2610a a a ++=A ． B ．C ．D ．12162024【答案】D【分析】利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值. 6a 2610a a a ++【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，. 486216a a a +==68a =26106324a a a a ++==故选：D.3．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） 3430x y +-=810mx y ++=A ．4 B ． C ．D ．757101710【答案】C【分析】先根据直线平行求得，再根据平行线间的距离公式求解即可.m 【详解】因为直线与平行，故，解得. 3430x y +-=810mx y ++=3840m ⨯-=6m =故直线与. 6860+-=x y 810mx y ++=710故选：C4．已知数列满足，若，则（ ） {}n a 111n n a a ++=502a =1a =A ． B ．C ．D ．21-1232【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由得 50111,2n n a a a ++==，494847505049481111111,1121,111222a a a a a a a =-=-==-=-=-=-=+==所以数列的周期为3，所以． {}n a 14912a a ==故选：B5．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 30︒()2224x y +-=A ． BCD ．21【答案】A【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据求解出弦长的一半，乘以2得到结果2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】直线的倾斜角为，则其斜率 30︒tan 30k =︒= y =由圆可得:圆心坐标为，半径为2 ()2224x y +-=()02，则圆心到直线()02，y x==故所截得的弦长为22=故选A 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础．6．在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则()1,6A -()2,6B -x 折叠后，两点间的距离为（ ） A B A ．BC D ．【答案】D【分析】平面直角坐标系中已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，通()1,6A -()2,6B -x 过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知，，沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，()1,6A -()2,6B -x作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则，的夹角为120° 6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ,AC DB ∴，AB AC CD DB =++222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯=AB ∴=即折叠后，两点间的距离为. A B 故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．7．三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝，用，，OA a OB b OC c a b表示，则等于（ ）cNM NMA ．B ．()12a b c -++ ()12a b c +- C ．）D ．()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】()1122OM ON O NM A OB OC =-=+-. ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B8．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且，线段22221(0)x y a b a b +=>>122F PF π∠=PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若与四边形的面积之比为1: 2，则该椭圆的1F OQ △2OF PQ 离心率等于（） A ． B ．CD ．2314-【答案】C【分析】设，由题可得，进而可得，，然后可得(0,)(0),(,)(0)Q m m P x y y >>23m y =2x c =2234y c =，即得222341e e e +=-【详解】由题意设(0,)(0),(,)(0)Q m m P x y y >>与四边形的面积之比为1F OQ A 2OF PQ 1:2,所以与的面积之比为，即，1F OQ △12PF F △1:311213F OQ PF F S S =A A ， 111222323c m c y m y ∴⨯⨯=⨯⨯⨯∴=，因为即，所以 11PF QF k k =y m x c c +＝2cx =，因为所以即122F PF π∠＝，121PF PF k k ⋅=-1y yx c x c ⨯-+-＝即， 223131422y y y c c c ＝，⨯-∴=-将和代入椭圆方程得即 2x c =2234y c =22223241c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+＝2222234c c a a c+-＝整理得 即， 222341e e e+=-，42840e e -+=解得或24e =-24e =+所以 1e ==-故选：C二、多选题9．过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ） (1,1)A -(1,1)B -A ． B ． 22(3)(1)4x y -++=22(1)(1)4x y -+-=C ． D ．22(1)(1)4x y +++=22(3)(1)4x y ++-=【答案】BC【分析】先根据圆过点与，得出圆心在线段AB 的垂直平分线上，求出圆心所在的(1,1)A -(1,1)B -直线方程，设出圆心坐标，再代入或，求出圆心坐标，进而求出圆的方程. (1,1)A -(1,1)B -【详解】因为圆过点与，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，其中(1,1)A -(1,1)B -，设圆心所在的直线为l ，则，解得：，又因为()11111AB k --==---1AB l k k ⋅=-1l k =与的中点坐标为，所以直线l 为，设圆心坐标为，因为半径为2，(1,1)A -(1,1)B -()0,0y x =(),m m 所以圆的方程为：，代入得：，解得：，22()()4x m y m -+-=(1,1)A -22(1)(1)4m m -+--=1m =±综上圆的方程为或. 22(1)(1)4x y -+-=22(1)(1)4x y +++=故选：BC10．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） n S {}n a n 17a =-315S =-A ．B ．为递减数列 29n a n =-{}n aC ．是和的等比中项D ．的最小值为6a 4a 9a n S 16-【答案】AD【分析】先由题干中条件得到公差，从而求出通项公式，判断出AB 选项；计算出，，2d =4a 6a 发现，故判断C 选项的正误；D 选项为递增数列，且，，从9a 2649a a a ⋅≠{}n a 410a =-<510a =>而得到最小，计算出结果即可判断.4S 【详解】由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：313315S a d =+=-17a =-2d ={}n a ，A 选项正确；由于，所以为递增数列，B 选项错误；通过()72129n a n n =-+-=-20d =>{}n a 计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C 选项错41a =-63a =99a =2649a a a ⋅≠6a 4a 9a 误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，{}n a 410a =-<510a =>n S 4n =，D 选项正确 4146281216S a d =+=-+=-故选：AD11．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列命题正确的是（ ） A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为4πB ．点C 到平面ABC 1D 1C ．异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1- BB 1C1【答案】ABD【分析】对选项A ，首先连接，交于点，易证平面，从而得到为直1B C 1BC O CO ⊥11ABC D CBO ∠线与平面所成的角，再根据即可判断选项A 正确.对选项B ，根据平面BC 11ABC D 4CBO π∠=CO ⊥，得到为点到面的距离，再计算即可判断选项B 正确.对选项C ，首先连11ABC D CO C 11ABC D CO 接，，，根据，得到为异面直线和所成的角，再计算1D C 1A B 11A C 11//D C A B 11A BC ∠1D C 1BC 即可判断选项C 错误.对选项D ，根据三棱柱的外接球与正方体11A BC ∠1111AA D BB C -的外接球相同，计算正方体的外接球的半径即可判断选项D 正确.1111ABCD A BC D -【详解】对选项A ，如图所示：连接，交于点.1B C 1BC O 因为正方体，所以四边形为正方形，. 1111ABCD A B C D -11BCC B 1CO BC ⊥又因为平面，平面，所以.AB ⊥11BCC B CO ⊂11BCC B AB CO ⊥平面. 11AB CO CO BC AB BC B⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⋂=⎩CO ⊥11ABC D 所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A 正确.CBO ∠BC 11ABC D 4CBO π∠=对选项B ，由上知：平面，所以为点到面的距离. CO ⊥11ABC D CO C 11ABC D又因为正方体边长为，所以B 正确. 1CO 对选项C ，如图所示：连接，，.1D C 1A B 11A C 因为，所以为异面直线和所成的角.11//D C A B 11A BC ∠1D C 1BC又因为，故选项C 错误.1111A B BC AC ===113A BC π∠=对选项D ，因为三棱柱的外接球与正方体1111AA D BB C -1111ABCD A B C D -的外接球相同，设外接球半径为，D 正确. R R ==故选：ABD12．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中22:148x y C +=()1,2M l C A B M AB 点，则下列结论正确的是（ ）A ．的焦点坐标为，B ．的长轴长为C ()2,0()2,0-CC ．直线的方程为D l 30x y +-=【答案】CD【分析】由题意可求得判断AB ，利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C ，联立直,a c 线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则22:148x y C +=y 228,4a b ==，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB 2,2a b c ====(0,2),(0,2)-2a =错误，设，则，， 1122(,),(,)A x y B x y 2211148x y +=2222148x y +=两式作差得，12121212()()()()48x x x x y y y y -+-+=-因为为线段的中点，所以，，()1,2M AB 122x x +=124y y +=所以，121212122()2214y y x x x x y y -+⨯=-=-=--+所以直线的方程为，即，所以C 正确， l 2(1)y x -=--30x y +-=由和，得，则， 22148x y +=30x y +-=23610xx -+=121212,3x x xx +==所以D 正确， AB ==故选：CD三、填空题13．设等比数列的公比，前项和为，则______.{}n a 2q =n n S 42Sa=【答案】152【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值. 42S a 【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得.()4142112151222a S a a --==故答案为：. 15214．已知数列{}的前n 项和 ，则=________．21n s n n =++89101112a a a a a ++++【答案】100【详解】试题分析：．()()228910111212712121771100a a a a a S S ++++=-=++-++=【解析】数列求和．15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A ，两点，若为等边()220x py p =>F 22133y x -=B ABF △三角形，则___________. p =【答案】6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据为等边三角形，得到关于p 的ABF △方程，即可求得答案.【详解】抛物线的焦点为，其准线为，()220x py p =>(0,)2p F 2p y =-将与联立，得，解得 2py =-22133y x -=221312x p -=x =则， ||AB =由于， ABF △|AB p =，解得 ，p =6p =故答案为：6四、双空题16．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于P ，Q 两点（点P 在第一2:2(0)C y px p =>F l C 象限），，则直线的斜率为______若，点为抛物线上的动点，且点在直3PF FQ =l 1FQ =A C A 线的左上方，则面积的最大值为______. l APQ △【答案】【分析】空1：设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系l 2px my -=得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长，若面积最大，则高最大，则点到直线的距离最大，则转化为PQ A l 直线与抛物线相切的问题. 【详解】设直线的方程为，，， l 2px my -=()11,P x y ()22,Q x y 联立抛物线方程得，()220y px p =>2220y pmy p --=故①，②，，122y y pm +=212y y p =-||3||PF FQ =则，代入②式得，解得， 123y y =-2223y p -=-2y p =在第一象限，故在第四象限，故，P Q 120,0y y ><故，，则， 2y p =1y =122y y p pm +==解得的斜率 m =l k =，即，则，2222y px = 22123p px =216x p =若，则，则， ||1FQ =1||162pFQ p =+=32p =故抛物线方程为，此时，，23y x =1y 194x =21164x p ==而， 121934442PQ x xp =++=++=若要的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切， APQ△此时切点位置即为点位置， A 故设切线方程为：，x t y -=t <将切线方程与抛物线方程联立得，230y t-=则，解得，此时切线方程为：，3120t ∆=+=14t =-104x y +=直线的方程为，则两直线的距离l 304x y -=d此时面积最大值为APQ △142⨯=【点睛】结论点睛：设抛物线方程为，若倾斜角为直线经过焦点交抛物线于()220y px p =>αl F ，则有以下结论：()()1122,,,P x y Q x y （1） ；（2）；（3）. 2124p x x =212y y p =-1222sin p PQ x x p α==++五、解答题17．已知数列，，求： {}n a 22n S n n =+(1)，，的值 1a 2a 3a (2)通项公式．n a 【答案】(1)，， 13a =25a =37a =(2) 21n a n =+【分析】（1）直接计算即可.（2）根据并验证的情况，计算得到答案.1n n n a S S -=-1n =【详解】（1），则，，. 22n S n n =+113a S ==221835a S S =-=-=3321587a S S =-=-=（2）当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+当时，满足.1n =13a =21n a n =+故21n a n =+18．如图：ABCD 是正方形，O 为正方形的中心，底面ABCD ，点E 是PC 的中点.求证： PO ⊥(1)平面BDE ；//PA (2)平面平面BDE .PAC ⊥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接OE ，则由三角形中位线定理可得OE //PA ，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，由线面垂直的判定定理可证得BD ⊥面PAC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论【详解】（1）证明：连接OE ，∵ABCD 为正方形，∴O 为AC 中点，又∵E 为PC 中点，∴OE //PA ，OE 面BDE ，⊂PA 面BDE ，⊄∴PA //面BDE ，（2）证明：∵ABCD 为正方形，BD ⊥AC ，又∵PO ⊥面ABCD ，BD 面ABCD ，⊂∴BD ⊥PO ，∵PO AC =O ，PO 面PAC ，⊂AC 面PAC ，⊂∴BD ⊥面PAC ，∵BD 面BDE ，⊂∴面BDE ⊥面PAC ，19．已知数列满足，，．{}n a 11a =123n n a a +=+n *∈N （Ⅰ）求证：数列是等比数列；{}3n a +（Ⅱ）求数列的前项和．{}n a n n S 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.2234n n S n +=--【分析】（Ⅰ）由题意转化条件得，结合即可得证；()1323n n a a ++=+1340a +=≠（Ⅱ）由题意可得，进而可得，由分组求和法即可得解.132n n a ++=123n n a +=-【详解】（Ⅰ）证明：，，123n n a a +=+∴()132623n n n a a a ++=+=+又，数列是首项为4，公比为2的等比数列；1340a +=≠∴{}3n a +（Ⅱ）由（Ⅰ）得数列是首项为4，公比为2的等比数列，{}3n a +，，∴113422n n n a -++=⨯=∴123n n a +=-∴()231231122323232223n n n n a a S a n ++=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-. ()2412323412nn n n +⋅-=-=---【点睛】本题考查了等比数列的判定及通项公式的求解，考查了构造新数列与分组求和法的应用，属于中档题.20．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，，AN BM ∥，，2AN AB BC ===4BM =CN =(1)证明：平面；BM ⊥ABCD(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角若存在，求E BN M --出的值；若不存在，请说明理由. CE EM【答案】(1)见解析(2)存在，12CE EM =【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；BC BM ⊥BM AB ⊥（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得CE CM λ= BEN BMN λ出.【详解】（1）证明：正方形中，，ABCD BC AB ⊥平面平面，平面平面，平面， ABCD ⊥ABMN ABCD ⋂ABMN AB =BC ⊂ABCD 平面，又平面，BC ∴⊥ABMN BM ⊂ABMN，且，又BC ∴⊥B M BC BN ⊥2,BC CN ==，，BN ∴==2AB AN == 222BN AB AN ∴=+，又，，AN AB ∴⊥//AN BM BM AB ∴⊥又平面，,,BC BA B BA BC =⊂ ABCD 平面；∴BM ⊥ABCD （2）解：如图，以B 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，,,BA BM BC ,,x y z则，，()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M 设点，，， (),,E a b c ()01CE CM λλ=<< ()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==- 设平面的法向量为，BEN (),,m x y z = ， ()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩令， 221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ 显然，平面的法向量为，BMN ()0,0,2BC = ，cos ,BC m BC m BC m ⋅∴====即，解得或（舍）， 23210λλ+-=13λ=1-所以存在一点，且. E 12CE EM =21．已知数列{an }满足，，数列{bn }的前n 项和为Sn ，且．11a =12n n a a +=+2n n S b =-(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)设，求数列{cn }的前n 项和Tn ．n n n c a b =+【答案】(1)，21n a n =-112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2)12122n n T n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an ；再由与的关12n n a a +-=n S n b 系得出{bn }的通项公式；（2）由（1）得，利用分组求和求和即可.12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++【详解】（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列 11a =12n n a a +-={}n a 所以．()11221n a n n =+-⨯=-又当时，，所以，1n =1112b S b ==-11b =当时， ①2n ≥2n n S b =- ②112n n S b --=-由得，即（）， -①②1n n n b b b -=-+112n n b b -=2n ≥所以是首项为1，公比为的等比数列，故． {}n b 12112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=（2）由（1）得， 12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++所以． ()121112112212212n n n n n T n -⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎝⎭-22．已知椭圆：过点，离心率为. C 22221(0)x y a b a b+=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12（1）求椭圆的方程；C （2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并1F 2F C O 12||F F l y kx m =+O 与椭圆交于不同的两点，，若，求的值. C A B 32OA OB ⋅=- k 【答案】（1）；（2）22143x y +=k =【分析】（1）由题意得a =2c ，，再结合，可求出，从而可得椭圆方程， 221914a b+=222a b c =+,a b （2）由题意可得圆的方程为，再由直线与圆相切可得，设221x y +=y kx m =+221m k =+11(,)A x y ，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再表示出，而22(,)B x y y 12y y 由可得，再将前面得到的式子代入化简计算即可 32OA OB ⋅=- 121232x x y y +=-【详解】（1）由椭圆的离心率为，得a =2c ， 12又椭圆过点，则，解得 ， ，所以椭圆的方程：. 3(1,)2221914a b +=2a =23b =C 22143x y +=（2）由题意，，圆是以为直径的圆，则方程为 1(1,0)F -2(1,0)F O 12||FF 221x y +=直线：与圆，即l y kx m =+O 1=221m k =+设，，则由 ，有 11(,)A x y 22(,)B x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(34)84120k x kmx m +++-=所以 21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222224128312()343434m km m k k km m k k k ---=⨯+⨯+=+++ 1222222221224123127121234343324m OA OB x x y m k m k k k k y ----+⋅=++=++=-= 又，所以，解得，即. 221m k =+212122553342k x x y y k --+==-+212k =k =。
2024学年重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学高二上学期12月联考数学及答案
高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1l ：230ax y -+=与直线2l ：()120x a y +--=互相垂直，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．3π4D ．5π63．若圆E ：224x y +=与圆F ：()221x y a +-=仅有一条公切线，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．1±C ．3±D ．14．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，12a =，则2023a =（ ）A ．2B ．12C ．-1D ．20235．已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，若()1,2A ，则PA PF +的最大值为（ ）A ．6-B ．6+C ．6-D ．66．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于A ，B 两点，且60AFB ∠=︒，则AB =（ ）A ．2B ．C ．D ．47．已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，点,2a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在其上，直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABC 的重心是坐标原点，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D 8．已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点，过点2F 倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B ，若11AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当14t <<时，曲线C 是椭圆B ．当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >10．已知直线l ：0kx y k --=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过点()1,0B ．4D =，2E =C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为D ．当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称11．已知斜率为2的直线交抛物线2y x =于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A ．12x x 为定值B ．线段AB 的中点在一条定直线上C ．11OA OBk k +为定值（O 为坐标原点，OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D ．AFBF为定值（F 为抛物线的焦点）12．已知椭圆C ：22163x y +=，1F ，2F 是其左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，下列结论正确的是（ ）A ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有四个B ．直线l 为椭圆C 在P 点处的切线，过1F 作1F H l ⊥于H ，则2HF 可能为4C ．过点()2,1P 作圆M ：222x y +=的一条切线，交椭圆C 于另一点Q ，（O 为坐标原点）则OP OQ⊥D ．过点()2,1P 作圆M ：()(22210x y rr -+=<<的两条切线，分别交椭圆C 于E ，H 两点，则直线EH过定点()6,3-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C ：214x y =，则抛物线C 的焦点坐标为________．14．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()00,M x y 在椭圆C 上，且1260F MF ∠=︒，则0y =________．15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为________．16．若0m >，则2m +的最小值是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 是等差数列()*n N ∈，若12a=，514a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明{}1n n a a ++是等差数列．18．（12分）设a 为实数，已知双曲线C ：2213x y a -=与椭圆22215x y a+=有相同的焦点1F ，2F ．（1）求a 的值；（2）若点P 在双曲线C 上，且12PF PF ⊥，求12F PF △的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ．①点P 到1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比P 到y 轴的距离大12；②过点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．（1）选择条件：________，求曲线C 的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与曲线C 相交于M ，N两点，若MN =，求实数k 的值．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>点1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，点A 是椭圆上任意一点，O 为坐标原点，且OA 的最小值为1，124AF AF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()3,0H -作直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q ，点M 是线段PQ 的中点，过点M 作直线l 的垂线交x 轴于点N ．求MN 的取值范围．21．（12分）已知圆C与直线20x -+=相切于点(，且圆心C 在x 轴的正半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0A 作直线交圆C 于M ，N 两点，且M ，N 两点均不在x 轴上，点()4,0B ，直线BN 和直线OM 交于点G ．证明：点G 在一条定直线上，并求此直线的方程．22．（12分）设()2,0F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，离心率2e =，过F 的直线l交双曲线C 的右支于P 、Q 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点P 作PA x ⊥轴于A ，过点Q 作QB x ⊥轴于B ，直线AQ 交直线12x =于M ，记△MAB 的面积为1s ，△MPQ 的面积为2s ．求12s s 的值．高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题参考答案1—5 CBBAB 6—8 DBD 9．BC 10．ACD 11．BC12．BCD13．()1,01415．22124x y -=16．2-17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，12a =，514a =-，5144a a d -==-所以()()11446n a a n n =+--=-+，*n N∈（2）因为()()21128n n n n n n a a a a a a +++++-+=-=-所以{}1n n a a ++是公差为-8的等差数列18．解：（1）根据题意，显然0a >，且双曲线C 的焦点在x 轴上，故235a a +=-，即220a a +-=，()()210a a +-=，解得2a =-或1a =，又0a >，故1a =；（2）由（1）可得双曲线C 方程为：2213y x -=，设其左右焦点分别为1F ，2F ，故可得()12,0F -，()22,0F ；不妨设点P 在双曲线C 的左支上，由双曲线定义可得：212PF PF -=，又三角形12PF F 为直角三角形，则22212121242PF PF PF PF F F +=+=，即126PF PF =故12PF F △的面积12132S PF PF ==．19．解：（1）选①：即点P 到F 的距离等于点P 到12x =-的距离，由抛物线定义可得22y x =．选②：过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线12x =-于点P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得122PH r =-，所以112222PP r r '=-+=，又2PF r =，所以PP PF '=，由抛物线的定义知，点P 是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，所以曲线C 的方程为：22y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将()2y k x =-代入22y x =，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=．当()2222421440k k k ∆=+-⋅>时，()22122222142k kx x kk+++==，124x x =．2MN x =-=MN ==，化简得：()()224116440kkk ++=，解得21k =，经检验，此时0∆>，故1k =±．20．解：（1）由题即OA的最小值为1，故1b =，又24a =，2a =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）①设直线l 的方程为：3x ty =-，()11,P x y ，()22,Q x y 联立223,1,4x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224650t y ty +-+=，由()22362040t t ∆=-+>得25t >，12264t y y t +=+，12254y y t =+∴234M t y t =+，21234M M x ty t -=-=+，22123,44t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭直线MN 的方程：2212344ty t x t t ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭令0y =，294N x t -=+，∴294N MN x t =-==+令m =>∴23333m MN m m m==++，3y m m =+在)+∞单调递增∴3y m m ⎫=+∈+∞⎪⎪⎭，∴MN ⎛∈ ⎝②若直线l 倾斜角为0时，则直线l 方程为0y =，此时M ，N 重合，0MN =综上：MN ⎡∈⎢⎣21．解：（1）设圆心()(),00C a a >，点C在与切线垂直且过切点的直线：y =+上∴()2,0C ，半径2r ==∴圆C 的方程为：()2224x y -+=（2）设()11,M x y ，()22,N x y 直线MN 方程为：1x my =+联立()22241x y x my ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩得()221230m y my +--=，0∆>，12221m y y m +=+，12231y y m -=+直线OM 方程为：11y y x x =，直线BN 方程为：()2244y y x x =--联立()112244y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩可得()2222121221221112122223344411422343321m my y x y my y y m m x m x y x y y y y y y y y m --+++++=====--+++-+∴点G 在直线2x =-上22．解：（1）由题226b a=，2c =得1a =，b =故双曲线的标准方程为2213y x -=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知PQ 斜率不为0，故设直线PQ 的方程为2x my =+联立22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()22311290m y my -++=，2310m -≠，()2214436310m m ∆=-->，1221231m y y m -+=-，122931y y m =-由PQ直线与双曲线右支交于两点得m ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 直线AQ 的方程为()2121y y x x x x =--所以()()2121121,22y x M x x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭法一：下证明P ，B ，M 三点共线112PB y k x x =-，()()()()()2121212122122121122MBy x x x y x k x x x x ---==---即证()()12212112y x y x -=-，也即证()121234y y my y +=-由韦达定理显然成立。
2012年3月重庆市渝东片区部分重点中学高三联考文科数学
5 , 令20 r 0，得r 8 2
展开式中常数项是第 9 项，故选 B 4. 【 答 案 】 D
【解析】解：a7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为-2，所以 a7 =a3•a9，所以 a7 =（a7+8） （a7-4），所以 a7=8， 所以 a1=20， 所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D 5. 答案：D 解析：由题意可得 r>0,m<0，n<0，又因为 0 a b 1 所以 y log a x 的图像比 y log b x 更靠近 x 轴，故 m<n. 6. 答案：D 解析：由余弦定理可得
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学(文科)
参考答案
本套试卷整体难度与 2011 年重庆高考卷文科试题难度大致相当，在考查基础知识的同时，注重能力测 试，有一定量的创新题型，知识点覆盖较全面，考点设置合理，区分度较好. 易出现的问题： （1）基础知识掌握不牢，不能准确进行知识迁移造成错误.如选择第 10 题，填空题第 15 题 （2）计算能力薄弱，如选择 8.9，21 题，部分同学就在计算上出现问题，因此要加强计算的准确性与 速度的训练； （3）对概念的理解有误，不能准确把握概念； （4）解答题审题粗糙，不能准确把握题目实质，解答过程不规范，不能有效地得到步骤分等.
DE DA 2 AF 2 . （1）求证： AC // 平面 BEF ； （2）求点 D 到平面 BEF 的距离.
重庆八中高二数学上学期期末考试试题 文 湘教版
重庆八中2013—2014学年度（上）期末考试高二年级数学试题（文科）命题：曹华荣 税长江 审核：曾昌涛 打印：税长江 校对：税长江本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆22110036x y +=的焦点坐标为（ ） A.(10,0)± B.(8,0)± C.(0,8)± D.(6,0)±2.命题“对x R ∀∈，有20x ≥”的否定形式是（ ） A.对x R ∀∈，有20x <B.x R ∃∈，使得20x <C.x R ∃∈，使得20x ≥D.不存在x R ∈，使得20x < 3.已知直线l 经过两个点(0,4),(3,0)A B ，则直线l 的方程为（ ） A.43120x y ++=B.34120x y +-=C.43120x y +-=D.34120x y ++=4.已知直线1:310l ax y +-=与直线2:210l x y ++=垂直，则实数a 等于（ ）A.32-B.23- C.6 D.6- 5.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ）A.若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数B.若,x y 都是偶数，则x y +不是偶数C.若x y +是偶数，则,x y 都是偶数D.若x y +不是偶数，则,x y 不都是偶数 6.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题不．正确．．的是（ ） A ．若//,l ααβ⊥，则//l β B ．若//,//l ααβ，则//l β或l β⊆C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β或l β⊆ 7.直线2y kx =+与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A.0B.1或3C.0或3D.1或08.双曲线中心在原点，且一个焦点为1(F ，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点M 坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是（ ）A.2214x y -= B.2214y x -= C.22123x y -= D.22132x y -=9.过点(2,2)P 的直线l 被圆2240x y x +-=所截得的弦长为则直线l 的方程为（ ） A.220x y --=或0x y -= B.260x y +-=或220x y --= C.0x y -=或40x y +-= D.260x y +-=或40x y +-=10.已知双曲线22221,0,0x y a b a b-=>>的离心率2e =，左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，则12||||PF PF 的最大值为（ ） A.3 B.52 C.2 D.32第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应题号的横线上）11.已知双曲线2221,04x y b b -=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = 。
重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高二上学期联考数学试卷
重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高二上学期联考数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．32
y x =±B ．y =±C ．4
3
y x =±
D ．y =±二、多选题
A ．存在点H ，使得EH BD ∥C ．存在点H ，使得//EH 平面BDG
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对
三、填空题
五、双空题（新）
六、问答题
17．在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C，点P到()
F的距离比P到y
1,0
轴的距离大1（其中点P的横坐标不小于0）.
(1)求曲线C的方程；
(2)F是曲线C的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中
七、计算题
18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点.
(1)求直线1A E 与平面BDF 所成角的正弦值；(2)求点1A 到平面BDF 的距离.
(1)求证：DO OC ⊥；
(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成角的余弦值为不存在，说明理由；若存在，求出AH 的长度.
22．已知椭圆22
:1(0)x y C a b ()
0,22A B 、
C。
重庆市重点中学高二、上期期末数学测试题及答案
重庆市重点中学05-06年度高二、上期期末数学测试题及答案（满分150分，120钟完成）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若a ，b 为实数，则a>b>0是22a b >的( ) A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.(2005全国卷II 文第6题)双曲线22149x y -=的渐近线方程是( )(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =±(D) 94y x =±3.．以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( )A ．225x y +=B 22x y +=25C ．22x y +=4D ．22x y +=164..（2005江苏卷第6题）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A ) 1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 05.． 设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c ＝0与bx-sinB ·y+sinC ＝0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直6.(2005全国卷III 理第10题，文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 7．设函数f(x)＝ax 2+bx+c(a>0)，满足f(1-x)＝f(1+x)，则f(2x )与f(3x )的大小关系是( )A.f(3x )>f(2x )B.f(3x )<f(2x )C.f(3x )≥f(2x )D.f(3x )≤f(2x ) 8．已知集合{}(,)(1)1,,M x y y k x x y R ==-+∈，集合{}22(,)20,,N x y x y y x y R =+-=∈那么M N I 中（ ）A ．不可能有两个元素B ．至多有一个元素C ．不可能只有一个元素D ．必含无数个元素9.（2005江苏卷第11题）点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2110．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-．若方程1(2)kx ⊗-=有解，则k 的取值范围是（ ）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ﹒[]0,1C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ﹒14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分．)11.（2005上海理第5题）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。
2024学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷及答案解析
2024学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知直线1l过点()2,5A 且与直线2:240l x y +-=平行，则直线1l的一般式方程为（）A.290x y ++=B.290x y +-=C.290x y ++= D.290x y +-=2.已知空间向量(2,2,1)a =- ，()4,0,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.59（4，0，3） B.15（4，0，3} C.59（2，2，-1） D.13（2，2，-1）3.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则BM等于（）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c-++ 4.已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A.8B.4C. D.5.已知()2,3A -，()3,2B --，()1,1P ，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.4k ≤-或34k ≥B.1354k -≤≤C .34k ≤-或4k ≥ D.15k ≤-或34k ≥6.在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A.2B.C.D.7.如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交D.与a 值有关8.已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则MN 最小值为（）A.5B.5C.5D.5二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.直线:10l x ++=，则（）A.点(-在l 上B.l 的倾斜角为5π6C.l 的图象不过第一象限D.l 的方向向量为)10.下列结论正确的是（）A.两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥B.直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量()1,0,2u =，则//l αC.若()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--，则点P 在平面ABC 内D.若,,a b b c c a +++ 是空间的一组基底，则向量,,a b c也是空间一组基底11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥SA ，22,,SA AB DE M N ===分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，二面角N MQ A --的平面角先变小后变大三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知点)()3,1,33,3AB ，则直线AB 的倾斜角是______．13.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，,⊥=PC PD PC PD ，点O 是CD 的中点，点E 为线段PB 上靠近B 的三等分点，则点E 到直线AO 的距离为______．14.如图，在ABC V 中，π22,6,4AC BC C ===，过AC 的中点M 的动直线l 与线段AB 交于点N ，将AMN 沿直线l 向上翻折至1A MN ，使得点1A 在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则斜线1A M 与平面BCMN 所成角的正弦值的最大值为________．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知直线l 过点(2,2)P .（1）若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.16.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -．（1）若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；（2）若AB，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且AB AD ⊥，2AD BC =uuu r uu u r，已知侧棱AP ⊥平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．（1）证明：//CE 平面ABP ；（2）若2AB AP AD ===，求点P 到平面BCE 的距离．18.如图1，在MBC △中，BM BC ⊥，A ，D 分别为边MB ，MC 的中点，且2BC AM ==，将△MAD 沿AD 折起到PAD △的位置，使PA AB ⊥，如图2，连接PB ，PC .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）线段PC 上一动点G 满足(01)PGPCλλ=≤≤，判断是否存在λ，使二面角G AD P --的正弦值为10，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(,)D A B =；曼哈顿距离1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉（O 为坐标原点）．（1）若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；（2）若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；（3）已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得min min (,)(,)d O P D O Q =，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．2024学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知直线1l过点()2,5A 且与直线2:240l x y +-=平行，则直线1l的一般式方程为（）A.290x y ++=B.290x y +-=C .290x y ++= D.290x y +-=【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到12l k =-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】直线2l 的斜截式方程为24y x =-+，则其斜率为2-，因为直线1l 过点()2,5A，且与直线2l 平行，所以12l k=-，则直线1l 的点斜式方程为()522y x -=--，即为290x y +-=．故选：B.2.已知空间向量(2,2,1)a =- ，()4,0,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.59（4，0，3） B.15（4，0，3} C.59（2，2，-1） D.13（2，2，-1）【答案】C 【解析】【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量b 在向量a 上的投影向量为22224035(2,2,1)22(1)9||||b a a a a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-，故选：C3.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则BM等于（）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c-++ 【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-111112222AB AD A c A =-++=-++.故选：D.4.已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A.8B.4C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB △的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (1，2)，B-1，2)，所以OA ==，OB ==1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB-+⨯= ，所以sin ,2OA OB =，以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为12222ABC S =⨯⨯= 故选：D .5.已知()2,3A -，()3,2B --，()1,1P ，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.4k ≤-或34k ≥ B.1354k -≤≤C.34k ≤-或4k ≥ D.15k ≤-或34k ≥【答案】B 【解析】【分析】画出图形，数形结合得到BP BA k k k ≥≥，求出,BP BA k k ，得到答案.【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足BP BA k k k ≥≥，即231325k -+≥=---且123134k+≤=+，所以1354k -≤≤．故选：B ．6.在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A.2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】将MN 用AB 、AC、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==.故选：B.7.如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交D.与a 值有关【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出''0D E B F ⋅=，即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则'(0,0,1)D ，(1,1,0)E a -，'(1,1,1)B ，(0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- ，'(1,,1)B F a =---''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=，''D E B F∴⊥ 故选：B【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8.已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则MN 最小值为（）A.335B.355C.35D.455【答案】D 【解析】【分析】将二面角C AB D --放到长方体中，根据二面角的定义得到120CAF ∠=︒，根据几何知识得到MN 最小值为异面直线BC ，AD 的距离，然后将异面直线BC ，AD 的距离转化为直线BC 到平面ADE的距离，即点C 到平面ADE 的距离，最后利用等体积求点C 到平面ADE 的距离即可.【详解】如图，将二面角C AB D --放到长方体中，取4CE BD ==，过点E 作⊥EF 面ABD 交面ABD 于点F ，由题意可知AB AF ⊥，CA AB ⊥，所以CAF ∠为二面角C AB D --的平面角，即120CAF ∠=︒，因为M ，N 分别为直线BC ，AD 上的两个动点，所以MN 最小值为异面直线BC ，AD 的距离，由题意知CE BD ∥，CE BD =，所以四边形CBDE 为平行四边形，CB DE ∥，因为DE ⊂平面ADE ，CB ⊄平面ADE ，所以CB ∥平面ADE ，则异面直线BC ，AD 的距离可转化为直线BC 到平面ADE 的距离，即点C 到平面ADE 的距离，设点C 到平面ADE 的距离为d ，则C ADE D CAE V V --=，1133ADE CAE S d S AB ⋅⋅=⋅⋅ ，在直角三角形CAH 中，18012060CAH ∠=︒-︒=︒，2CA =，所以1HA =，CH EF ==3AF =，AE ==直角梯形ABDF中，FD ==AD ==DE =，因为222AC AE CE +=，222AE DE AD +=，所以CA AE ⊥，AE DE ⊥，122CAE S =⨯⨯=，12ADE S =⨯=，5CAE ADE S AB d S ⋅== .故选：D.【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.直线:10l x ++=，则（）A.点(-在l 上B.l 的倾斜角为5π6C.l 的图象不过第一象限D.l 的方向向量为)【答案】BC 【解析】【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，2210-++≠，所以，点(-不在l 上，A 错；对于B选项，直线l 的斜率为3k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点0,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.10.下列结论正确的是（）A.两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥B.直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量()1,0,2u =，则//l αC.若()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--，则点P 在平面ABC 内D.若,,a b b c c a +++ 是空间的一组基底，则向量,,a b c也是空间一组基底【答案】ACD 【解析】【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=，所以αβ⊥，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量()1,0,2u =，不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC →→=--=---=-，所以AP ，AB ，AC共面，即点P 在平面ABC 内，故C 正确；若,,a b b c c a +++是空间的一组基底，则对空间任意一个向量d →，存在唯一的实数组(,,)x y z ，使得()()()d x a b y b c z c a =+++++，于是()()()d x z a x y b y z c =+++++ ，所以,,a b c也是空间一组基底，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥SA ，22,,SA AB DE M N ===分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，二面角N MQ A --的平面角先变小后变大【答案】ACD 【解析】【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由Q AMN N AMQ V V --=，求体积最大值判断C 选项；向量法求二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，以A 为坐标原点，,,AB AD AS正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，由22SA AB DE ===，()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴；对于A ，假设存在点()(),2,002Q m m ≤≤，使得NQ SB ⊥，则()1,2,1NQ m =-- ，又()2,0,2SB =-，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=，解得：0m =，即点Q 与D 重合时，NQ SB ⊥，A 选项正确；对于B ，假设存在点()(),2,002Q m m ≤≤，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o ，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴==⋅ ，方程无解；∴不存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o ，B 选项错误；对于C ，连接,,AQ AM AN；设()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-，∴当0m =，即点Q 与点D 重合时，AMQ S △取得最大值2；又点N 到平面AMQ 的距离112d SA ==，()()max max 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯=，C 选项正确；对于D ，由上分析知：()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-，若(),,m x y z = 是面NMQ 的法向量，则()120m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则()1,2,3m m m =-- ，而面AMQ 的法向量()0,0,1n =，所以cos ,m nm n m n ⋅==，令[]31,3t m =-∈，则cos ,m n =，而11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由Q 从D 到C 的过程，m 由小变大，则t 由大变小，即1t由小变大，所以cos ,m n先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知点)(),A B ，则直线AB 的倾斜角是______．【答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线AB 的斜率，即可求得答案.【详解】由于)(),AB ，故直线AB的斜率为33k ==，因为直线的倾斜角范围为[0,π)，故直线AB 的倾斜角是π6，故答案为：π613.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，,⊥=PC PD PC PD ，点O 是CD 的中点，点E 为线段PB 上靠近B 的三等分点，则点E 到直线AO 的距离为______．【答案】3【分析】说明,,OO OC OP '两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取AB 的中点为O '，连接,,PO OO AE '，因为,PC PD O =为CD 的中点，所以PO CD ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，OO '⊂平面ABCD ，所以PO OO '⊥，又底面ABCD 是矩形，点O 是CD 的中点，AB 的中点为O '，所以OO CD '⊥，以点O 为原点，,,OO OC OP '所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示，由,,6PC PD PC PD CD ⊥==，得132PO CD ==，所以()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -，点E 为线段PB 上靠近B 的三等分点，则22(3,3,3)33PE PB ==- ，则()2,2,1E ，所以()1,5,1AE =- ，()3,3,0AO =-，则||AE = ，AO AE AO⋅==因此点E 到直线AO 的距离3d ==，故答案为：314.如图，在ABC V 中，π6,4AC BC C ===，过AC 的中点M 的动直线l 与线段AB 交于点N ，将AMN 沿直线l 向上翻折至1A MN ，使得点1A 在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则斜线1A M 与平面BCMN 所成角的正弦值的最大值为________．225【解析】【分析】首先求出ABC V 中边AB ，B 角的正弦与余弦值，以底面点B 为空间原点建系（如图1），设点(),,A x y z '，由(),0,0H x ，得(,0,)A x z '，求出,,A C M 坐标，由MC AM A M '==得出,x z 满足的关系式，从而可得z 的范围也即A H '的范围，翻折过程中可得MN AA '⊥，设1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭，[)0,4a ∈，由向量的数量积为0从而得出x 关于a 的表达式，求得x 的范围，再由线面角的正弦值得出结论．【详解】π,4C ABC =△中，根据余弦定理，222cos 5AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=定理sin sin AC AB B C =，得5sin B =，由AC AB <知B C <，则25cos 5B =，如图1，以底面点B 为空间原点建系，根据底面几何关系，得点()()4,2,0,6,0,0AC ，设点(),,A x y z '，点A '的投影(),0,0H x 在x 轴上，即()(),0,,5,1,0A x z M '，由MC AM A M '==，根据两点间距离公式，22222(65)(01)(5)(01)x z -+-=-+-+22(5)1x z -+=．图1图2如图2，在翻折过程中AMN A MN '△≌△，作AE MN ⊥于点E ，则A E MN '⊥，并且,,AE A E E AE A E ='⊂' 平面A AE '，所以MN ⊥平面,A AE AA ''⊂平面A AE '，所以MN AA '⊥，即0MN AA '⋅=，其中()4,2,AA x z '=-- ．又动点N 在线段AB 上，设1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且[)0,4a ∈．由0MN AA '⋅=，得()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦，又因为22(5)1x z -+=，对应的z 的取值为40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦，即40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦，由已知斜线1A M 与平面BCMN 所成角是A MH '∠，所以sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''．故斜线1A M 与平面BCMN故答案为：5．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知直线l 过点(2,2)P .（1）若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）380x y +-=；（2）y x =或40x y +-=【解析】【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线l 的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为0x y m ++=，代入点P ，即可求得参数m 【小问1详解】直线360x y -+=的斜率为3，则直线l 的斜率为13-，则直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=；【小问2详解】当截距为0时，直线l 的方程为y x =；当截距不为0时，直线l 设为0x y m ++=，代入(2,2)P 解得4m =-，故直线l 的方程为40x y +-=.综上，直线l 的方程为y x =或40x y +-=16.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -．（1）若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；（2）若AB，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【答案】（1）1-；（2）13m n +<且10m n =-⎧⎨=⎩不同时成立.【解析】【分析】（1）由向量的坐标表示确定AB、CB ，再由三点共线，存在R λ∈使ABCB λ=，进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求cos ,AB BC <>，再根据钝角可得2(3)2(1)180m n -+--<，讨论,AB BC π<>=的情况，即可求m n +范围.【小问1详解】由题设(3,2,6)AB m =-- ，(2,1,3)CB n =--，又A ，B ，C 三点共线，所以存在R λ∈使AB CB λ= ，即322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，可得210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以1m n +=-.【小问2详解】由(2,1,3)BC n =--，由（1）知：当,AB BC π<>=时，有1m n +=-；而cos ,||||AB BCAB BC AB BC ⋅<>==AB，BC的夹角是钝角，所以2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<，可得m n +13<；综上，13m n +<且10m n =-⎧⎨=⎩不同时成立.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且AB AD ⊥，2AD BC =uuu r uu u r，已知侧棱AP ⊥平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．（1）证明：//CE 平面ABP ；（2）若2AB AP AD ===，求点P 到平面BCE 的距离．【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）设F 为PA 的中点,连接BF ,EF ，利用中位线的性质证明四边形EFBC 是平行四边形，则可得//CE 平面ABP .（2）点A 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量(0,1,2)n =，利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设F 为PA 的中点，连接BF ,EF ，E 是PD 的中点，1//,2EF AD EF AD ∴=，2,//AD BC AD BC =∴ ,且12BC AD =，//,EF BC EF BC ∴=，∴四边形EFBC 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂ 平面,ABP CE ⊂/平面ABP,//CE ∴平面ABP .【小问2详解】由于侧棱AP ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，,AP AB AP AD ∴⊥⊥，AB AD ⊥ ，则以点A 为坐标原点,以AD ,AB ,AP 所在的直线为x 轴,y 轴,z轴建立如图空间直角坐标系,2AD = ，112BC AD ∴==，(0,0,2)P ∴，(0,2,0)B ，(1,2,0)C ，(1,0,1)E ，(1,0,0)BC ∴= ，(0,2,1)CE =- ，(0,2,2)PB =-，设平面BCE 的法向量(,,)n x y z =,则有0n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =,则(0,1,2)n =，∴点P 到平面BCE的距离||||25||||5||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅==⋅.18.如图1，在MBC △中，BM BC ⊥，A ，D 分别为边MB ，MC 的中点，且2BC AM ==，将△MAD 沿AD 折起到PAD △的位置，使PA AB ⊥，如图2，连接PB ，PC.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）线段PC 上一动点G 满足(01)PG PCλλ=≤≤，判断是否存在λ，使二面角G AD P --的正弦值为10，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）存在，14λ=【解析】【分析】（1）由中位线和垂直关系得到PA AD ⊥，PA AB ⊥，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出14λ=，得到答案.【小问1详解】因为A ，D 分别为MB ，MC 的中点，所以AD BC ∥.因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.又PA AB ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90DAB ∠=︒，所以AP ，AB ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意有0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，0,1,0，()0,0,2P ，()1,1,1E ，则(2,2,2)PC =- ，(1,0,1)DE = ，(2,1,0)BD =- ，(2,0,2)BP =- .设平面PBD 的法向量()111,,n x y z = ，则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z xy BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ 令12y =，得11x =，11z =，所以()1,2,1n = 是平面PBD 的一个法向量.因为(1,0,1)1,2,1cos ,3DE n DE n DE n ⋅⋅〈〉==⋅，所以直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值为3.【小问3详解】假设存在λ，使二面角G AD P --的正弦值为10，即使二面角G AD P --的余弦值为10.由（2）得，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤ ，所以(2,2,22)G λλλ-，(0,1,0)AD = ，(2,2,22)AG λλλ=- .易得平面PAD 的一个法向量为()11,0,0n = .设平面ADG 的法向量()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩，解得20y =，令2z λ=，得21x λ=-，则()21,0,n λλ=-是平面ADG的一个法向量.由图形可以看出二面角G AD P --的夹角为锐角，且正弦值为10，故二面角G AD P --的余弦值为10，则有121212310cos ,10n n n n n n ⋅==⋅，31010=，解得112λ=-，214λ=.又因为01λ≤≤，所以14λ=.故存在14λ=，使二面角G AD P--的正弦值为1019.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y，()22,B x y，则欧几里得距离20.(,)D A B=；曼哈顿距离1212(,)d A B x x y y=-+-，余弦距离21.(,)1cos(,)e A B A B=-，其中cos(,)cos,A B OA OB=〈〉（O为坐标原点）．（1）若(1,2)A-，34,55B⎛⎫⎪⎝⎭，求A，B之间的曼哈顿距离(,)d A B和余弦距离(,)e A B；（2）若点(2,1)M，(,)1d M N=，求(,)e M N的最大值；（3）已知点P，Q是直线:1(1)l y k x-=-上的两动点，问是否存在直线l使得min min(,)(,)d O P D O Q=，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）145，555（2）15-（3）存在，1y=和y x=【解析】【分析】（1）代入(,)d A B和(,)e A B的公式，即可求解；（2）首先设(),N x y，代入(,)1d M N=，求得点N的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),e A B，结合余弦值，即可求解；（3）首先求(),D O P的最小值，分0k=和0k≠两种情况求(),d O P的最小值，对比后，即可判断直线方程.【小问1详解】348614(,)125555d A B +=--+-==，38555cos(,)cos ,5OA OB A B OA OB OA OB-+⋅=〈〉=== ，()()5,1cos ,155e A B A B =-=-=；【小问2详解】设(,)N x y ，由题意得：(,)|2||1|1d M N x y =-+-=，即|2||1|1x y -+-=，而|2||1|1x y -+-=表示的图形是正方形ABCD，其中()2,0A 、()3,1B 、()2,2C 、()1,1D ．即点N 在正方形ABCD 的边上运动，(2,1)OM = ，(,)ON x y = ，可知：当cos(,)cos ,M N OM ON =<> 取到最小值时，,OM ON <> 最大，相应的(,)e M N 有最大值．因此，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则(2,0)ON =，可得25cos(,)cos ,5M N OM ON =<>== ；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与(1,1)DC = 同向，取(1,1)ON = ，则310cos(,)cos ,10M N OM ON =<>== ．因为105>，所以(,)e M N的最大值为15-．【小问3详解】易知min (,)D O P =(,1)P x kx k -+，则(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当0k =时，(,)()|||1|d O P h x x ==+，则min (,)1d O P =，min (,)1D O P =，满足题意；当0k ≠时，1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k-==+-+=+⋅-，由分段函数性质可知min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又(0)|1|h k =-≥且11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =时等号成立．综上，满足条件的直线有且只有两条，:1l y =和y x =．【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解min min (,)(,)d O P D O Q =，同样是转化为代数与几何相结合的问题.。
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重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高二上学期期末联考（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共50分）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
参考公式：球的表面积公式：24S R π= 柱体的体积公式：V Sh =球的体积公式：343V R π=锥体的体积公式 ：13V Sh =棱台的体积公式 121()3V h S S =+一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知圆22O:(x 2)(y 3)1-+-=，则圆心坐标是（ ）A.(2,3)B.(2,3)--C.(2,3)-D.(2,3)-2.抛物线2x 4y =的准线方程是( )A.y 1=B.y 1=-C.x 1=-D.x 1= 3. 曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A. -9 B. -3 C.15 D. 9 4．已知直线l:3x 2y 10,+-=则过点P(0,3)且与直线l 平行的直线方程是（ ）A.3x 2y 60--=B.3x 2y 60++=C.2x y 50-+=D.3x 2y 60+-=5．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件.A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要6．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或 称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图 （或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形， 则该几何体的体积为（ ）A.48B.64C.96D.1927．若直线ax by 10++=与圆22O:x y 1+=相离，则点P(a,b)与圆O 的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能 8． 已知函数y f (x)=，其导函数'y f (x)=的图象如图所示，则y f (x)=( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在x 0=处取极小值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在x 2=处取极大值9．设a b 、是空间不同的直线，αβγ，，是空间不同的平面 ①a ,b ,⊥α⊥α则a //b ; ②a ,b ,a ⊥α⊥β//b ，则α//β; ③,,γ⊥αγ⊥β则α//β; ④a ,,⊥αα⊥β则a //β.以上结论正确的是（ ）A.①②B.①④C.③④D.②③ 10．一个圆形纸片，圆心为O,F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 点与F 点重合，然后抹平纸片，折痕为CD ,设CD 与OM 交与P 点，则P 点的轨迹是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线22y x 14-=，则它的渐近线方程是 . 12．已知椭圆22x y 195+=，则它的离心率为 . 13．已知f (x)cos x,2π=+则'f ()2π= .14． 如右图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形，则这个几何体的 表面积为 .15．已知直线x y a +=与圆22x y 4+=交于A,B 两点，且|OA+OB||OA OB|=-（其中O 为坐标原点），则实数a 等于 .三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上． 16（本大题满分13分）已知直线l 过两直线x 2y 40-+=和x y 20+-=的交点P ．求解下列问题. (1)直线l 经过点Q (2,1)，求直线l 的方程；(2)直线l 与直线3x 4y 50-+=垂直，求直线l 的方程． 17．（本大题满分13分）已知命题2p :"x [1,2],x a 0",∀∈-≥命题2000q :"x R,x 2ax 2a 0"∃∈++-=若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围. 18．（本大题满分13分）已知函数32f (x)x 3x 9x a =-+++. （1）求f (x)的单调递减区间.（2）若f (x)在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.第19题图C 1B 1A 1CBA19．（本大题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC BB AB ====， （Ⅰ）求证：平面11AB C B CB ⊥平面； （Ⅱ）求三棱锥1B ABC -的体积．20．（本大题满分12分）已知22xf (x)(x ax 2a 3a)e (x R,a R)=+-+∈∈.(1)a 0=时，求曲线y f (x)=在(1,f (1))处的切线的斜率. (2)当2a 3≠时，求函数f (x)的极值. 21．（本大题满分12分）若12F F 、分别是椭圆22x y 14+=的左、右焦点. （1）设点P 是第一象限内椭圆上的点，且125PF PF ,4=-求点P 的坐标. （2）设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的点A B,、且OA OB 0>，（其中O 为原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.数学参考答案及评分意见一、选择题：1—5 A B D D C ： 6—10 B C C A B二、填空题：11．y 2x =±； 12．23； 13．1-； 14． 368+； 15．2± 三、解答题： 16．解：（1）由x 2y 40x 0P(0,2)x y 20y 2-+==⎧⎧⇒∴⎨⎨+-==⎩⎩···········3分 ∴所求直线方程为：x 2y 40+-=···············7分 （2）设所求直线方程为：4x 3y C 0++=············8分 又过P(0,2) C 6∴=-······················10分∴直线方程为：4x 3y 60+-=················13分 17．解：由命题p 可知：2x a ≥ x [1,2]∈ a 1∴≤···········5分由命题q 可知：224a 4(2a)4(a a 2)0=--=+-≥····9分 a 1a 2∴≥≤-或···································11分 又p q 且是真命题a 2a 1∴≤-=或··································13分 18．解：（1）'22f (x)3x 6x 93(x 2x 3)3(x 3)(x 1)=-++=---=--+······3分 ∴'f (x)0x 3x 1<⇒><-或························5分 ∴减区间为(,1]-∞-和[3,)+∞························7分 （2）由（1）知，f (x)在[2,1]--上单调递减 [1,2]-上单调递增f (2)2a ∴-=+ f (2)22a =+ f (1)5a -=-+·········10分max f (x)f (2)22a 20∴==+= a 2∴=-···············12分 min f (x)f (1)7∴=-=-····································13分 19．解：（Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥平面， 又可知1BB AC ⊥，………………………2分由于11AC BC BB ===，AB =， 则由222AC BC AB +=可知，AC BC ⊥，…………………… 4分 则1AC B CB ⊥平面所以有平面11AB C B CB ⊥平面 ……………………………………………6分 （Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥平面，…………………….8分 因为AC BC ⊥，1AC BC ==，所以∆ABC 面积为12................10分111AA BB ==， ∴11111326B ABC V -=⋅⋅=.............12分20．解：（1）a 0=时，2x '2x 'f (x)x e ,f (x)(x 2x)e ,f (1)3e ==+= y f (x)∴=在(1,f (1))处的切线斜率为3e ················3分(2)'22x f (x)[x (a 2)x 2a 4a]e =++-+ 令'f (x)0=得x 2a a 2=--或2a 3≠2a a 2∴-≠-················4分 ①当2a 3>时，2a a 2-<-得：f(x)在,2a],[a 2,)-∞--+∞（为增函数 在[2a,a 2]--为减函数··········6分f (x)∴极大值2a f (2a)3ae -=-=f(x)极小值a 2f (a 2)(43a)e -=-=-············8分 ②当2a 3<时，2a a 2->-得 f (x)在(,a 2],[2a,)-∞--+∞上为增函数，在[a 2,2a]--上为减函数········10分 f (x)∴极大值a 2f (a 2)(43a)e -=-=-f (x)∴极小值2a f (2a)3ae -=-=··············12分21．解：(1)易知12a 2,b 1,c F (===∴设P(x,y)(x 0,y 0).>>则22125PF PF (x,x,y)x y 34=---=+-=-，又22x y 1,4+=········3分联立得22227x y 4x y 14⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得x 1y 2=⎧⎪⎨=⎪⎩，P(1,2·················5分 （2）显然x 0=不满足题设条件，可设l 的方程为y kx 2,=+设1122A(x ,y ),B(x ,y ),联立得22x y 14y kx 2⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22(14k )x 16kx 120⇒+++=··················7分 1212221216kx x ,x x 14k 14k ∴=+=-++··················8分 由△222(16k)412(14k )04k 30,=-⋅⋅+>⇒->得23k 4>··············9分又1212OA OB>0OA OB x x y y 0∴=+>，·················10分 212121212y y (kx 2)(kx 2)k x x 2k(x x )4=++=+++2222121211222212(1k )2k 16k 4(4k )x x y y (1k )x x 2k(x x )440,14k 14k 14k+-∴+=++++=-+=>+++ 21k 44∴-<< 综上可得23k 4,k 4<<∴的取值范围是3(2,(,2).-·····12分。