备战高考数学(精讲+精练+精析)选做02 矩阵试题(江苏版

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高考数学总复习选做02 矩阵试题(含解析)

专题2 矩阵【三年高考全收录】1．【2017年高考江苏】已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩．因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x xc d y y'⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y在矩阵a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y''．2.【2016年高考江苏】已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A矩阵B的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B，求矩阵AB.【答案】5 14 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：11412⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B，再根据矩阵运算求矩阵AB.试题解析：解：设a bc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，则1110120102a bc d-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B，即11102201 22a cb dc d⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故112122021a cb dcd⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得11412abcd=⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以11412⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B.因此，15112144021012⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB.【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.3．【2015江苏高考，21】已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 4．【2014江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】72．【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得124x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴72x y +=. 5．【2013江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .【答案】 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．【2012江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113 44=11 22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦－A ，求矩阵A 的特征值．【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．【解析】解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为113 4411 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，所以()11 2 32 1--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A，于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝ 2 32 1λλ----＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.【2018年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算．备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.【2018年高考考点定位】高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵的运算．【考点1】矩阵的运算与矩阵变换【备考知识梳理】 1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－1－1 0分别表示关于x 轴、直线y＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001表示的是y 轴上的投影变换．【规律方法技巧】1．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．6．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 8．注意两个易错点：（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )．（2）易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换．【考点针对训练】1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.2，已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.；（2）(1,0)．【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．【考点2】矩阵的特征值与特征向量【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理：如果关于变量x ，y的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn2ξ2. 【规律方法技巧】 1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．3．注意3个易错点：（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. （2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．（3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．【考点针对训练】1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．【答案】（1）l ′的方程为4x ＋y －7＝0；（2）A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27.2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3α.【答案】（1）特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【解析】(1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【两年模拟详解析】1．【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分10分）已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值.【解析】解：由题意得112427a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即2287a b -=⎧⎨-=-⎩,解得41a b =⎧⎨=⎩, 所以4114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,--------------------5分所以矩阵A 的特征多项式为241()81514f λλλλλ--==-+--，令()0f λ=，解得5λ=或3λ=，即矩阵A 的特征值为5和3. ---------------------10分2. 【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若，求矩阵的特征值.【答案】，．4. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦uu r 的一个特征值11λ=-及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r .求矩阵M uu r的逆矩阵.【答案】【解析】解：由题知，，，.，.5. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值. 【答案】0m =，4λ=-.6. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵212M x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为4，求1.M - 【解析】由2102xλλ-=-得(2)()20x λλ---=的一个解为4，代入得3x = ，因为 2123M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以13144.1122M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………10分 7. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵21414331M N --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，，求满足方程MX N = 的二阶矩阵.X 【解析】设a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由MX N =得21414331a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2421433431a cb d ac bd -=⎧⎪-=-⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得92151a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=-⎪⎩，所以91.251X ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦……………10分 8. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知点(,)P a b ，先对它作矩阵M 1212⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8,，求实数,a b 的值．9. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(4,16)，求矩阵M ．【答案】B ．2356M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及14316a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中，得8834316a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得5326a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴5326M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ·······10分 10．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】由逆矩阵公式得110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A '．则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得14x y =-⎧⎨=⎩，所以点B '的坐标为()1,4-．12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B 【解析】（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5．（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P '(-1,2).（2）y －x ＝y 2.【解析】(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000x y x x y -=⎧⎨=⎩ 即00y y x x y =-⎧⎨=⎩所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2.14．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝2【解析】设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则1210x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝2x y ''-．代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′2x y ''-·＋2(2x y ''-)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．15．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．【答案】113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 【解析】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． 16．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A a .【答案】371307⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值. 【答案】4a b +=【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=-，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=18．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求2βM .【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则由111222M M αλααλα=⎧⎨=⎩可解得：120,2,1m n λλ====，又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2222121122104(2)242012M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【一年原创真预测】1．已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，所以1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题.2．已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则 66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ，解得3234a cb d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【入选理由】本题考查矩阵的特征值与特征向量，本题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A ，然后再求得逆矩阵，意在考查最基本的运算求解能力，意在考查学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题的要求，故选此题. 3．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．【答案】2y x y -=【入选理由】本题考查矩阵的运算与平面变换之间的关系，考查用矩阵运算表示平面变换，意在考查学生分析问题与解决问题的能力，考查推理想象能力，考查运算求解能力，本题型考查知识基础，方法简单，是高考出题方向，故选此题.。

矩阵与变换(江苏高考题)

《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）1、（2014年江苏）已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求,x y 的值。

2、（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

3、（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 4、（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 5、（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值6、（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 7、（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）解答（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011ΛK A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001ΛK ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--3021ΛK（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．解析：（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=．解析：设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得： 321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。

高考数学总复习选做矩阵试题含解析

由xy′ ′＝10 21xy＝x＋y2y，得xy′′＝＝xy＋ . 2y，又点 M′(x′，y′)在 l′上，所以 x′＋by′＝1，即 x＋(b＋2)y＝1，
依题意得ab＝＋12，＝1，解得ab＝＝1－，1.
(2)由 Ayx00＝xy00，得xy00＝＝xy00＋，2y0，
解得 y0＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵 A＝ac bd，如果存在数 λ 以及非零向量 ξ，使得 Aξ＝λξ，则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
4．特征向量的性质设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2 为实数)，则对任意的正整数 n，有 Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2.
【解析】由题意得
2 2y 2 xy 4
2
y
y
，解得
x y
4
1 2
.∴
x
y
7 2
.
5．【2013
江苏，理
21B】[选修
4－2：矩阵与变换](本小题满分
10
分)已知矩阵
A＝
1 0
0 2
，
B＝
1 0
2 6
，求矩阵
A－1B.
【答案】
1 0
2 3
．
【解析】解：设矩阵
A
的逆矩阵为
a c
b
专题 2 矩阵
【三年高考全收录】
1．【2017
年高考江苏】已知矩阵
A
0 1
1 0
,

江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：矩阵与变换、不等式选讲(含答案)

江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：矩阵与变换、不等式选讲一、矩阵与变换1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB . （1）求a ，b 的值；（2）求A 的逆矩阵1-A .2、（南京市2019届高三第三次模拟）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知矩阵若直线l 依次经过变换T A ，T B 后得到直线l '：2x ＋y －2＝0，求直线l 的方程。

4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值．9、（盐城市2019届高三第三次模拟）直线032:=--y x l 在矩阵⎢⎣⎡-=41M ⎥⎦⎤10所对应的变换M T 下得到直线'l ，求'l 的方程.10、（江苏省2019年百校大联考）已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量．二、不等式选讲1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）解不等式：|21|2x x --≥.2、（南京市2019届高三第三次模拟）若x ，y ，z 为实数，且x 2＋4y 2＋9z 2＝6，求x ＋2y ＋6z 的最大值．3、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．6、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．。

高考江苏数学大一轮精准复习课件矩阵与变换

旋转变换
利用三维旋转矩阵，可将空间图形绕某一轴旋转一定角度。
缩放变换
通过三维缩放矩阵，可将空间图形沿某一方向进行缩放。
利用矩阵求解几何问题举例
点线距离问题
01
通过构造点线距离的矩阵表达式，可快速求解点到直线的距离
。
点面距离问题
02
利用点面距离的矩阵表达式，可便捷地求解点到平面的距离。
直线与直线、直线与平面的位置关系问题
克拉默法则应用条件
系数矩阵A的行列式D≠0，即A满秩。若D=0，则克拉默法则不适用，需采用其他方法求解。
03
特征值与特征向量
特征值与特征向量定义及性质
特征值定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。
VS
特征向量性质
矩阵数乘与乘法运算
矩阵数乘
一个数与矩阵中的每一个元素相乘，得到的结果按照原矩阵的形状排列，即为该数与该矩阵的数乘。
矩阵乘法
设A为$m times p$的矩阵，B为$p times n$的矩阵，那么称$m times n$的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB。其中，矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积之和。需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵表示方法：矩阵通常用大写的英文字母表示，如A、B 、C等。矩阵的维度用“行×列”表示，如$3 times 3$矩阵表示该矩阵有3行3列。
矩阵相等与加减法运算
矩阵相等
两个矩阵的行数相等、列数相等且对应位置上的元素相等，则称这两个矩阵相等。

江苏高考数学理一轮复习训练15.2矩阵与变换

第2讲矩阵与变换分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z y w ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 故⎩⎨⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎨⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1.∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎨⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)，由⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x . 4．(2012·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩⎨⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，sin α＝1. ∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10. 5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎨⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎨⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．分层训练B 级创新能力提升1．(2013·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－1 1 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4. 所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎨⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012－1 0. 3．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.4．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 1，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.5．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。

(江苏版)高考数学二轮复习专题八第1讲矩阵与变换理

专题八选考系列第1讲矩阵与变换1. 计算:(1)112011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; (2)01210-1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 若直线y=kx在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线过点P(4,1),求实数k的值.3. (2013·连云港模拟)已知矩阵M=1ab⎡⎤⎢⎥⎣⎦,点A(1,0)在矩阵M对应变换作用下变为A'(1,2),求矩阵M的逆矩阵M-1.4. 设A=2153⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=411⎡⎤⎢⎥⎣⎦,X=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦,试解方程AX=B.5. 设数列{}na,{}nb满足a n+1=3a n+2b n,b n+1=2b n,且满足66nnab++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Mnnab⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求二阶矩阵M.6. (2012·高淳模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.7. (2013·海安模拟)已知矩阵A=12-14⎡⎤⎢⎥⎣⎦,向量α=74⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1) 求A的逆矩阵;(2) 计算A5α的值.8. (2013·扬州期末)若矩阵A有特征值λ1=3,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=1⎡⎤⎢⎥⎣⎦和e2=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵A.9. 已知矩阵M=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦,N=0-113⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1) 求矩阵MN;(2) 若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到点Q(0,1),求点P的坐标.10. (2013·苏、锡、常、镇四市调研)已知点A(0,0),B(2,0),C(2,2)在矩阵M=a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的对应点分别为A'(0,0),B'(3,1),C'(0,2),求矩阵M. 【高考押题】11. 已知矩阵M=11ab⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C',求:(1) 实数a,b的值;(2) 曲线C'的方程.专题八选考系列第1讲矩阵与变换1. (1) 原式=12110211⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⎣⎦=31⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2) 原式=021(-1)120(-1)⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⎣⎦=-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2. 设变换T:xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0110xy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=yx⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即',',x yy x=⎧⎨=⎩代入直线y=kx,得x'=ky',将点P(4,1)代入得k=4.3. 因为1100ab⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以a=1,b=2,所以M=1120⎡⎤⎢⎥⎣⎦　,所以M-1=1211-2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.4. 由已知可得A -1=3-1-52⎡⎤⎢⎥⎣⎦,X=A -1B=3-14-5211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即1,2.x y =⎧⎨=⎩ 5. 由题知11n n a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3202n n a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以66n n a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=63202n n a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ,所以M=63202⎡⎤⎢⎥⎣⎦ =7291?330064⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6. 设P(x 0,y 0)是椭圆上任意一点,点P(x 0,y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P'(x'0,y'0),则有00'?'?x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=002001x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ,即0000'?2,'?,x x y y =⎧⎨=⎩所以0000'?,2y'?.x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上,故420x +20y =1,从而(x'0)2+(y'0)2=1,所以曲线F 的方程是x 2+y 2=1.7. (1) 因为|A|=12-14=6≠0,故A -1=42-661166⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=21-331166⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 矩阵A 的特征多项式为f (λ)=-1-21-4λλ=λ2-5λ+6,由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.当λ1=2时,解得a 1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦;当λ2=3时,解得a 2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,设α=ma 1+na 2,得27,4,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得m=3,n=1.则A 5α=A 5(3a 1+a 2)=3(A 5a 1)+A 5a 2=3(51λa 1)+52λa 2=3×2521⎡⎤⎢⎥⎣⎦+3511⎡⎤⎢⎥⎣⎦=435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8. 设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由111222λ,e λ,Ae e A e =⎧⎨=⎩ 得1133,00011-1-1,22-2ab c d a b cd ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩即3,0,2-1,2-2,a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得3,0,-2,-1,a c b d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩所以A=3-20-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9. (1) MN=120-13413⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =2549⎡⎤⎢⎥⎣⎦ . (2) 方法一:设点P(x,y),则2549x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即250,491,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得5,2-1,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩即点P5,-12⎛⎫⎪⎝⎭.方法二:设点P(x,y),因为-12549⎡⎤⎢⎥⎣⎦=95-222-1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=95-2212-1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=52-1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即点P5,-12⎛⎫ ⎪⎝⎭.10. 由题意得2a bc d⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=31⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以23,21,ac⎧=⎪⎨=⎪⎩则a=32,c=12.又22a bc d⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以220,222,a bc d+=⎧⎨+=⎩则b=-32,d=12,所以矩阵M=33-221122⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.11. (1) 由题意知1111a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =02⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即10,12,a b +=⎧⎨+=⎩ 解得-1,1.a b =⎧⎨=⎩(2) 设P'(x,y)是曲线C'上任意一点,则由题意得001-111x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即0000-x,y,x y x y =⎧⎨+=⎩ 解得00,2-.2y xx y x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为x 0y 0=1,所以2y x +·-2y x=1,即24y -24x =1, 故曲线C'的方程为24y -24x =1.。

高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章选修系列 23.2 矩阵与变换

2 2 y 2 y 2 2 y 2 y, = .故 2 xy 4 y 2 xy 4 y. 2 2 2 y 12 2 2 y 11
1 2 1 x
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
1 12 -1 1 2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 0 2 ,矩阵B的逆矩阵B = 2 ,求矩阵AB. 2 0
解析设B= ,
1 1 a b 1 0 = , 则B B= 2 c d 0 1 2 0 1 1 a 2 c b 2 d 1 0 即 , = 0 2 c 2 d 1
(1)因为A= ,B= ,
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
x0 y, 2 y0 x, 0 2 x0 x 则 = , 即所以 x y0 . 1 0 y0 y x0 y, 2 2 2 x0 + y0 =1, 因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 8 2 2 2 y + x =1,即x2+y2=8. 从而 8 8
0
x0 x0
0

解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').
高考数学
(江苏省专用)
§23.2 矩阵与变换
五年高考
A组自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换] 已知矩阵A= ,B= . (1)求AB;

备战高考数学(精讲+精练+精析)专题13.1几何证明选讲试题文(含解析)

专题1 几何证明选讲（文科）【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【解析】（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．3．【2016高考新课标2】如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ) 证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．4．【2016高考新课标3】如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【解析】（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．5.【2015高考新课标2，】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．6．【2015高考陕西，】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I ）证明：；（II ）若，，求的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E.（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（Ⅱ）若，求∠ACB的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线. （Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，由射影定理可得，，∴，解得=，∴∠ACB=60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：（1）；（2）【解析】（1）如图所示，∵，分别是弦，的中点，∴，，即，，，又四边形的内角和等于，故；（2）由（I）知，，，，四点共圆，故由割线定理即得9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=2【解析】（Ⅰ）连结AB，AC，由题意知PA=PD，故，因为，，，所以，从而，因此BE=EC. （Ⅱ）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：===，所以等式成立.11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙和⊙相交于两点，为⊙的直径，直线交⊙于点，点为弧中点，连结分别交⊙、于点，连结.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.【解析】（Ⅰ）连结，∵为⊙的直径，∴，∵为⊙的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴.【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.（1）求证：；（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆与相交于两点，过点作圆的切线交圆于点，过点作两圆的割线，分别交圆、圆于点、，与相交于点. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若是圆的切线，且，求的长.【解析】（Ⅰ）连接．∵是圆的切线，∴.又∵，∴，∴.（Ⅱ）证明：设，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，联立上述方程得到，∴.∵是圆的切线，∴.∴.【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形中，，以为直径的圆与边另外的交点分别为，且于．（Ⅰ）求证：是的切线；（Ⅱ）若，，求的长．【解析】（Ⅰ）连结则又，∴为的中点，而为中点，∴，又，∴，而是半径，∴是的切线.（Ⅱ）连，则，则，∴，设，则，由切割线定理得：，即，解得：（舍），∴EFDOC BA3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．（I ）求证：是圆的切线；（II ）若,求的值．【解析】（Ⅰ）如图,连接.因为是的中点,是的中点,所以//.因为,所以,所以是⊙的切线. （Ⅱ）因为是⊙的直径,点在⊙上,所以. 又是的中点,所以. 故.因为,所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,. 于是.4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求证：．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．（1）求证：；（2）若，且，求．【解析】（1）连结，因为，又因为，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以．（2）因为，所以，则，所以，又因为，所以，所以，所以．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M与圆N交于A， B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的长；（II）求.【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知，，∴△∽△，则，故.（Ⅱ）根据切割线定理，知，，两式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得．7. 【2016年河南八市高三三模】已知，内接于圆，延长到点，使得交圆于点.（1）求证：；（2）若，求证：.【解析】(1）如图，连结．．又（2）8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，内接于⊙，，弦交线段于，为的中点，在点处作圆的切线与线段的延长线交于，连接.（I）求证：；（II）若，⊙的半径为，求切线的长.【解析】（I）证明：在中，弦相交于E，，又E为AC的中点，所以，又因为,，根据射影定理可得,;（II）因为为直径，所以，又因为，所以为等腰直角三角形．，根据勾股定理得，解得，所以，由（I）得所以，所以．9.【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于.连结交于点.（1）求证：；（2）若圆的半径为,求的长.【解析】（1）证明：连接,由弦切角定理知，又,即.由切割线定理得,所以.（2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形是圆的内接四边形，对角线交于点，直线是圆的切线，切点为，.（1）若，求的长；（2）在上取一点，若，求的大小.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，和相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）由与相切于，得，同理，所以从而，即（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论，12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,（Ⅰ）求的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度【解析】（Ⅰ）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长等于弧长可得,又,,从而,故∽,∴, 由割线定理知,故．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，设圆的半径为，因为即，所以是圆的直径，且过点圆的切线为，则，即.13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，，以为直径的⊙O 交于，过点作⊙O 的切线交于，交⊙O 于点．（Ⅰ）证明：是的中点；（Ⅱ）证明：.【解析】（Ⅰ）证明：连接，因为为⊙O 的直径，所以，又，所以CB切⊙O于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此，，所以，得，因此，即是的中点（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是△ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有，即，同理可证，所以.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．（1）求证：;（2）若四点共圆，且弧与弧相等，求【解析】（1）因为与圆相切，，平方，所以，，所以（2）弧与弧相等，设，，，.15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．EDCA B（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当，时，求的长．【解析】（Ⅰ）连接，因为是圆内接四边形，所以又∽，即有，又因为，可得因为是的平分线，所以，从而（Ⅱ）由条件知，设，则，根据割线定理得，即即，解得或（舍去），则．EDCA B拓展试题以及解析 1. 如图，内接于⊙，弦AE 交BC 于点D ，已知，，OD =1,. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求中BC 边上的高．【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等进行证明计算．以圆为背景是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆外一点作圆的切线，切点为，割线、割线分别交圆于与、与．已知的垂直平分线与圆相切．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解析】（1）证明：连结，∵与圆相切，∴．又为的垂直平分线，∴，∴，∴．（2）由（1）知且为的中点，∴为的中点，且，∴．∵为圆的切线，∴，∴，∴，∴．【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【证明】（Ⅰ）连接，是直径，，．切圆于，．．（Ⅱ）连接，切圆于，．又∽．．【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.4.如图，是⊙的直径，是圆上两点，交于点，若，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求线段的长度．【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.5.如图，圆内接四边形满足∥，在的延长线上，且. 若，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的长.【解析】（Ⅰ）由知是圆的切线. ∴由弦切线角定理得，又，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴∽，∴，又，，∴，∵，∴. 【入选理由】本题考查圆的切线的性质，圆內接四边形的性质，三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，难度不大，故选此题.6.如图，点P是△ABC的外接圆O在C点的切线与直线AB的交点．（Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC；（Ⅱ）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的长．【证明】（Ⅰ）由弦切角定理知，∠ABC=∠ACP，∵∠ACB＝∠APC，∴△ACB∽△APC，∴∠BAC=∠CAP，∵∠BAC+∠CAP=，∴∠BAC=∠CAP=90°，∴BC是圆O的直径，又PC是圆O的切线，∴BC⊥PC. （Ⅱ）由切割线定理知，，即，即，解得（负值舍去），由弦切角定理及同弧所对的圆周角相等知，∠ACP=∠ABC=∠CDA，∵∠BPC=∠DAC，∴△CAD∽△APC，∴，∴=.【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合弦切角定理及同弧所对的圆周角相等，得三角形相似，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.7.如图所示，在四边形中，交于点，.（Ⅰ）求证：、、、四点共圆;（Ⅱ）过作四边形外接圆的切线交的延长线于，,求证：平分.【证明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=,=,∴=+++=+++==,∴、、、四点共圆；（Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=，∵，∴=,∴=,∴=,∴=,∴=∠,∴平分.。

江苏省2022届最新高三数学（精选模拟押题26套）分类汇编19 矩阵与变换

江苏省2022届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编19：矩阵与变换一、解答题1 ．（江苏省2022届高三高考压轴数学试题）矩阵与变换设矩阵mn⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦,属于特征值2的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数的值【答案】由题意得01110000002011 mnmn⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩,,化简得100002mnmn=⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,,,,所以12mn=⎧⎨=⎩,.2 ．（江苏省常州市西夏墅中学2022年高考冲刺模拟试卷）已知矩阵A=错误!,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=错误!,属于特征值1的一个特征向量为α2=错误!求矩阵A,并写出A的逆矩阵【答案】解:由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=错误!可得,错误!错误!=6错误!,即cd=6;由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=错误!,可得错误!错误!=错误!,即3c-2d=-2,解得错误!即A=错误!, A的逆矩阵是错误!3 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2022年高考数学冲刺模拟试卷）B选修4—2:矩阵与变换已知点A在变换T:2x x x yy y y'+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后,再绕原点逆时针旋转90o,的坐标为—3,4,求点A的坐标【答案】4 ．（江苏省扬州市2022届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,向量102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦b 求向量,使得2=A a b 【答案】B 解:2212143010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 设x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a ,由2=A a b 得4301⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,即43102x y y +=⎧⎨=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,所以12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a5 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2022年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-2矩阵与变换将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程【答案】选修4-2矩阵与变换将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程解:由题意,得旋转变换矩阵2cos 45sin 452[]sin 45cos 452⎡⎢-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎦M , 设1xy =上的任意点(,)P x y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y ,x x y y'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦,∴,.x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩得22122y x -=将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,所得曲线的方程为22122y x -=6 ．（江苏省常州市金坛四中2022年高考数学冲刺模拟试卷doc ）给定矩阵A=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,B=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦1求A 的特征值1λ,2λ及对应特征向量12,αα,2求4A B 【答案】7 ．（江苏省扬州中学2022届高三最后一次模拟考试数学试题）B 选修4—2:矩阵与变换已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ,若矩阵对应的变换把直线:20x y +-=变为直线,求直线的方程【答案】B 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 在直线上任取一点(,)P x y '',经矩阵变换为点(,)Q x y ,则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦,∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩,即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线的方程为480x y +-= 8 ．（江苏省2022届高三高考模拟卷（二）（数学））选修4—2:矩阵与变换已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A 0, 2,B 1,1,C 1,3若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1,其中B 1,1 在变换T 作用下变为点B 11,-1 1求切变变换T 所对应的矩阵M ;2将△A 1B 1C 1绕原点O 按顺时针方向旋转30︒后得到△A 2B 2C 2求△A 2B 2C 2的面积【答案】选修4—2:矩阵与变换解:1由题意知M =错误!2因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1,三个顶点的坐标分别是0, 2,1,-1和1,1,其面积为1而旋转变换不改变图形的形状,所以其面积不变,依然为1所以,△A 2B 2C 2的面积为19 ．（江苏省常州市横山桥中学2022年高考数学冲刺模拟试卷doc ）矩阵与变换选做题已知M =错误!,N =错误!,设曲线=in 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ,求F 的方程【答案】解:由题设得1110022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设所求曲线F 上任意一点的坐标为,,x y sin =上任意一点的坐标为),(y x '',则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212 把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ,化简得x y 2sin 2= 所以,曲线F 的方程为x y 2sin 2=10．（江苏省常州高级中学2022年高考数学模拟试卷）B 矩阵与变换将曲线:绕坐标原点逆时针旋转后,得到的曲线,求曲线的方程【答案】B 命题立意:本题主要考查矩阵的变换,考查运算求解能力解:设1xy =上的任意点(,)P x y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y , 则cos45sin 45sin 45cos45x x y y '⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即 x y y y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=⎪⎩，，代入1x'y'=得22122y x -=11．（江苏省西亭高级中学2022届高三数学终考卷）B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1223B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵A -1；（Ⅱ）求直线-1=0在矩阵A -1B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程【答案】解：（1）13121A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ……4分 211301A B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……7分所得曲线的方程为-2-1=0……10分12．（江苏省徐州市2022届高三考前模拟数学试题）B[选修4-2:矩阵与变换]设1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦N ,试求曲线sin y x =在矩阵变换下的曲线方程【答案】B 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN ,设是曲线sin y x =上的任意一点,在矩阵变换下对应的点为(),x y ''则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 代入sin y x =,得1sin 22y x ''=,即2sin 2y x ''= 即曲线sin y x =在矩阵变换下的曲线方程为2sin 2y x =13．（江苏省常州市金坛市第一中学2022年高考冲刺模拟试卷）[选修4—2 :矩阵与变换]若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆求矩阵A 的逆矩阵1-A【答案】设点(,)P x y 为圆C :221x y +=上任意一点,经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y ''',则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．因为点(,)P x y '''在椭圆E :22143x y =+上,所以2222143a xb y =+, 又圆方程为221x y +=,故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,又0a >,0b >,所以2a =,b所以200⎡⎤=⎢⎣A ,所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A 14．（2022年江苏省高考数学押题试卷）选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系O 中,设曲线C : =1在矩阵错误!0≤θ0, 求θ和a 的值【答案】解设．（南京师大附中2022届高三模拟考试5月卷）B 、矩阵与变换选做题在平面直角坐标系O 中,设圆22=1在矩阵A =错误! 对应的变换作用下得到曲线F ,求曲线F 的方程【答案】B 、矩阵与变换选做题解设P 0,0是圆上任意一点,点P 0,0在矩阵A 对应的变换下变为点P′′0,′0则有错误!=错误!错误!,即错误!,所以错误!又因为点P在圆22=1上,故0202=1,从而′0错误!错误!′0错误!=1所以,曲线F的方程是2错误!=1。

高考数学一轮复习第15章选考部分选修4－2矩阵与变换练习（含解析）苏教版

课时作业68 矩阵与变换
1．202X江苏南京高三模拟已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，若矩阵AB对应的变换把直线：＋－2＝0变为直线′，求直线′的方程．
2．已知矩阵A＝错误!，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2
3．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝3及其对应的一个特征向量α1＝错误!，特征值λ2＝－1及其对应的一个特征向量α2＝错误!，求矩阵A的逆矩阵A－1
4．202X苏北四市二模已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝错误!，并且M对应的变换将点－1,2变换成9,15，求矩阵M
5．设矩阵M＝错误!，点错误!在平面直角坐标系中，设直线：2＋－7＝0在矩阵A对应的变换作用下得到另一直线′：9＋－91＝0，求实数m，n的值．
参考答案
1．解：AB＝错误!错误!＝错误!，
在直线上任取一点错误!＝错误!，
所以错误!
因为点′，′在直线′：9＋－91＝0上，
所以9′＋′－91＝0，
将错误!代入上式，得9m0＋－0＋n0－91＝0
即9m－10＋n0－91＝0
因为点0，0在直线：2＋－7＝0上，
所以20＋0－7＝0
所以9m－1＋n－91＝0和2＋－7＝0表示同一条直线．所以错误!＝错误!＝错误!＝13，解得m＝3，n＝13。

备战2017高考数学(精讲+精练+精析)选做02 矩阵试题(江苏版)(含解析)

专题2 矩阵【三年高考】1．【2016年高考江苏】已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB . 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，再根据矩阵运算求矩阵AB . 试题解析：解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则1110120102a b c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B ，即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a cb dcd ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d =⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B . 因此，151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB .【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2．【2015江苏高考，21】已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 3．【2014江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】72．【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得124x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴72x y +=.4．【2013江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B . 【答案】 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．【2012江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113 44=11 22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦－A ，求矩阵A的特征值．【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．【解析】解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为113 4411 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，所以()11 2 32 1--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A，于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝2 32 1λλ----＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 6．【2011江苏，理21B 】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α．【解析】解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121112112A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423,设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，由βα=2A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡213423y x ，从而⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得2,1=-=y x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α.【2017年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算．备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.【2017年高考考点定位】高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵的运算．【考点1】矩阵的运算与矩阵变换【备考知识梳理】 1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1. (6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001表示的是y 轴上的投影变换．【规律方法技巧】1．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．6．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 8．注意两个易错点：（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )．（2）易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换．【考点针对训练】1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.2，已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.；（2）(1,0)．【考点2】矩阵的特征值与特征向量【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn 2ξ2.【规律方法技巧】 1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2； (2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．3．注意3个易错点：（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |.（2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d＝0有解．（3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．【考点针对训练】1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．【答案】（1）l ′的方程为4x ＋y －7＝0；（2）A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 【解析】(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －y7y 0＝x ＋2y7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0，即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3α.【答案】（1）特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【解析】(1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【两年模拟详解析】1．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】由逆矩阵公式得110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A '．则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得14x y =-⎧⎨=⎩，所以点B '的坐标为()1,4-．3．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B4．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P '(-1,2).（2）y －x ＝y 2.【解析】(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000x y x x y -=⎧⎨=⎩ 即00y y x x y =-⎧⎨=⎩所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2.5．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝26．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换T把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T对应的矩阵M．【答案】113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M【解析】设a bc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，由题意，得35214012a bc d-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴342513415 2.a bac dc-=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，解得1,513,202,51120abcd⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M．7．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵1214A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A a.【答案】371 307⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.【答案】4a b +=【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=-，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=9．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求2βM .【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则由111222M M αλααλα=⎧⎨=⎩可解得：120,2,1m n λλ====，又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2222121122104(2)242012MM βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.10．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1．【答案】2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得，21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝111⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a +2b ＝12，解得23a b =⎧⎨=⎩.即A ＝2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 逆矩阵A -1是11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12．12．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.【答案】1,4-【解析】由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩，则3,2a b ==．矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=----，令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．13．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ．【答案】 4 3.4 2-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 【解析】设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B 14．【泰州市2015届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （2，0），C （1，2），矩阵01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ，点A ，B ，C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''的面积．【答案】1【解析】因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，即1(00)(01)(2)2A B C '''--，，，，，．故1212S A B ''=⨯⨯=．15．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应的一个特征向量112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点()1,1变换成()0,3-．（1）求矩阵M ；（2）已知向量28⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求5M α的值．【答案】（1）1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）246480-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）设a b M cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1122a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2122a b c d +=-⎧⎨+=-⎩. 1013ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故03a b c d +=⎧⎨+=-⎩. 联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由（1）知 1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则矩阵M 的特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3. 设矩阵M 的另一个特征向量是2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，则2343x yx M x y y -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦e ，解得20x y +=,故212-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e .由12m n =+αe e ，得24m n m n -=⎧⎨+=⎩，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e .拓展试题以及解析1．已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题.2．已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则 66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ，解得3234a cb d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【入选理由】本题考查矩阵的特征值与特征向量，本题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A ，然后再求得逆矩阵，意在考查最基本的运算求解能力，意在考查学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题的要求，故选此题.3．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．【答案】2y x y -=【入选理由】本题考查矩阵的运算与平面变换之间的关系，考查用矩阵运算表示平面变换，意在考查学生分析问题与解决问题的能力，考查推理想象能力，考查运算求解能力，本题型考查知识基础，方法简单，是高考出题方向，故选此题.。

高考数学压轴专题玉林备战高考《矩阵与变换》基础测试题及答案解析

数学《矩阵与变换》知识点一、151．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析【解析】【分析】先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】由题意，关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，所以221111,(1),12x a a D a D a a a a a aa+==-==-=-2121(21)(1)12y a a D a a a a a+==--=+-，（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解；（3）当1a =时，0x yD D D ===，方程组有无穷多解，,()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.2．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x yD D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解.(2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可．【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== ,所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.3．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解.【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.4．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解．【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组2342x y x y =⎧⎨-=⎩－【答案】17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果. 【详解】2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦－所以1121123377741241210777x y -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.6．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换，（1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v；（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r .又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.7．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．8．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题．【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：矩阵与变换

江苏省 2020 届高三数学一轮复习典型题专题训练矩阵与变换1、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）设二阶矩阵A＝ 1 2 ．（ 1）求A－1；3 4（ 2）若曲线 C 在矩阵A对应的变换作用下获得曲线 C ： 6x2－ y2＝ 1，求曲线 C 的方程．2、（南京市六校结合体2019 届高三上学期a -1R ，若12 月联考）已知矩阵 A ，此中 a,bb 1点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下获得的点P1 (1,4) （1）务实数a, b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵 .3、（南师附中2019 届高三年级1 1 1 0 5 月模拟）已知矩阵A＝－ 1，二阶矩阵 B 知足 AB＝.0 0 1(1)求矩阵 B；(2)求矩阵 B 的特点值．1 04、（南京市 13校2019届高三 12月结合调研）求曲线| x | | y | 1 在矩阵M 1 对应的变换作用下0 3获得的曲线所围成图形的面积.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019 届高三第四次模拟）已知直线l ：x＋ y＝ 1m n在矩阵 A ＝对应的变换作用下变成直线l'： x﹣ y＝ 1，求矩阵A ．0 16、（苏州市2019 届高三上学期期中调研）已知可逆矩阵 A= a 2 的逆矩阵为 A 1b2 ，求7 3 7 aA 1的特点值．2 07、（徐州市 2019 届高三上学期期中质量抽测）已知矩阵M ＝，且属于特点值 2 的一个特点0 a0 向量为 a，在平面直角坐标系 xoy 中，眯 A （ 0,0 ）， B （ 1,0 ）， C （ 2,3 ）在矩阵 M 对应的变换1作用下获得的点分别为A', B',C '，求△ A' B'C ' 的面积。

1 28、（苏州市 2018 高三上期初调研）在平面直角坐标系xOy 中，设点 P x,5在矩阵 M对应的3 4y 2, y ，求 M 1x变换下获得点 Q .y9、（扬州市 2019 届高三上学期期末调研） a 1 ，知足 A1 6 已知矩阵 A ＝2 ＝，求矩阵 A 的b38特点值．1 x 10、（常州市 2019 届高三上学期期末考试）已知点(1,2) 在矩阵 A对应的变换作用下获得的2 y点 (7,6) ，求：（ 1）矩阵 A ；（ 2）矩阵 A 的特点值及对应的特点向量 .11、（海安县 2019 届高三上学期期末）设点（ x ， y ）在矩阵 M 对应变换作用下获得点（3x ， 3y ）。

备战高考数学(精讲+精练+精析)必做02排列与组合试题(江苏版)(含解析)

专题2 排列与组合【三年高考】1. 【2016高考江苏】（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C mm ++n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）3467654765474740.321C C 4321⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(1)(1)]C !C m m k k k k k k m m k m m n m k m m k m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112C C C ,m m m k k k +++++++=所以2221C C C (1)(1)(),1,+2,.m m m k k k k m k m m n +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(1)(1)[(2)(3)(1)](1)(1)[()(C C C C C C C C CCCC C)(CCC )](1).m m m m m m m nm m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m m m n m m m n m m m ++++++++++++++++++++++++++++=++++++++=+++-+-++-=+【考点】组合数及其性质【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的111C C C m m m k k k ++++=、C =C m k m k k -，更有11C C k k n n k n --=，现在又有11(1)C (1)C ,,1,,m m k k k m k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.2．【2016高考新课标2理数改编】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为．【答案】18 【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条．考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为．【答案】72 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =．考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.4.【2016高考新课标3理数改编】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有个．【答案】14 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：0 1 1 1 110 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1 10 1 1 0 10 1 1 0 10 1 1 10 1 1 0 10 1 1考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 5．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________________个【答案】120【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.6.【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 7.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．4015608.【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 【答案】60【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种9.【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为_________. 【答案】72【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由433A =24.10.【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是______________. 【答案】120【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A =⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A =⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.11.【2014高考广东卷理第8题】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为__________. 【答案】130【2017年高考命题预测】纵观近几年高考，我们可以发现，排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查可能出现在理科附加题，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主，考查排列组合的综合应用．题目有一定的难度，有时难度还较大，重点考查分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.排列、组合是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分.在2017年高考中，应该注重基本概念，基础知识和基本运算的考查.排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列.以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力.将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视.排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；考察形式：单独的考题会出现在理科附加22或23题，属于中等难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2017年高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．复习建议：⑴使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用计数原理，排列组合，排列数、组合数计算公式与组合数性质, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点. 【考点1】计数原理【备考知识梳理】1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=1m +2m +……+n m 种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=12n m m m ⨯⨯⨯…种不同的方法. 3. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【规律方法技巧】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7. 应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【考点针对训练】1.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的数？（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？【答案】（1）120；（2）216；（3）90．【解析】试题分析：（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法；再填十位，有5种方法；最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得；（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得；6C种方法，剩下的一位数字的填法有5中，根据分步（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有23计数原理可求得结果．2.某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【答案】185种. 【解析】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有4744C C 种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有461234C C C 种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，452224C C C 即可.试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有4744C C 种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有461234C C C 种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有452224C C C 种.所以共有1854522244612344744=++C C C C C C C C （种）.【考点2】排列组合综合【备考知识梳理】1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示． (3)排列数公式：()()()121mn A n n n n m =---+这里,n m N∈并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!nn A n n n n =--⋅⋅=(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!m n n A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!mmnnm m n n n n m A n C A m m n m ---+===-，由于0!1=，所以01n C =.(4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11r r n n rC nC --=.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【规律方法技巧】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法．【考点针对训练】1.现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．．．【答案】（Ⅰ）661A 3602=；（Ⅱ）421424A A C 192⋅⋅=；（Ⅲ）22113111446421632144223223C C C C C C C C A A 1560A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅；（Ⅳ）2324322525A A A 3A A 5P ⋅⋅==⋅ 【解析】试题分析：（Ⅰ）6个人全排列共有66A 种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为661A 3602=；（Ⅱ）甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有2244A A 种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424A A C 192⋅⋅=种不同排法；（Ⅲ）6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有443311121336A A C C C C ⨯，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有44222211122426A A A C C C C ⨯⨯,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为22113111446421632144223223C C C C C C C C A A 1560A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅；（Ⅳ）记A ：甲乙相邻共有5522A A ⋅种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有242322A A A ⋅⋅种不同排法，根据条件概率的计算公式==)()()|(A n AB n A B P 2324322525A A A 3A A 5P ⋅⋅==⋅ 试题解析：（Ⅰ）661A 3602= （Ⅱ）421424A A C 192⋅⋅=（Ⅲ）22113111446421632144223223C C C C C C C C A A 1560A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅ （Ⅳ）2324322525A A A 3A A 5P ⋅⋅==⋅ 2. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）平均分成三堆.【答案】（1）60；（2）60; (3)90; (4)15【解析】（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有16C 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有25C 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法60332516=C C C 种．（2）由（1）知．分成三堆的方法有332516C C C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为60332516=C C C 种．（4）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33A x ⋅种，由（3）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有224426C C C 种．所以22442633C C C A x =⋅,则1533224426==A C C C x （种）.【两年模拟详解析】1.将甲、乙等5名学生分配到三个不的班级，每个班级至少1．用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程0ax by +=中的,a b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？【答案】（1）174；（2）20 【解析】试题分析：（1）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类,a b 均不为零，,a b 的取值，第二类,a b 中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．（2）,a b 中有一个取0时，有2条； ,a b 都不取0时，有2520A =（条）； 1,2a b ==与2,4a b ==重复； 2,1a b ==，与4,2a b ==重复．故共有220220+-=（条）．2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．【答案】（1）480；（2）240；（3）480；（4）360；（5）48．【解析】试题分析：本题主要考查排列组合等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，甲除去两端的位置外，还有四个位置可供选择，排好后再其余的5人；第二问，用捆绑法把甲乙看成1个人，甲乙进行全排列，5个人进行全排列；第三问，用插空法，先排其余4人，将甲乙插在5个空中；第四问，先排甲乙以外的4人，排好后剩下的2个位置直接放甲和乙；第五问，先排甲乙两端的位置，再排中间4个人．试题解析：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14A 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55A 种站法，根据分步计数原理，共有站14A 55A =480（种）．方法二：由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有25A 种站法，然后中间4人有44A 种⋅。

高考数学压轴专题徐州备战高考《矩阵与变换》经典测试题含解析

【最新】数学《矩阵与变换》专题解析一、151．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b .（1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=，由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.2．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.3．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解；当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【解析】【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解；当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.4．解关于x ，y 的方程组2122ax y a ax ay a +=+⎧⎨-=-⎩.【答案】见解析【解析】【分析】根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可【详解】由题可得：()122a D a a a a==-+-，()2211=212x a D a aa+=-+--，221522y a a D a aa+==--.所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩；当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解【点睛】本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题5．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明．【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x xx x x x x x x xx x =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．6．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-, ()()11233323x D a a a a a a-==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想7．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解. (2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可．【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.8．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解．【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解； ② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.11．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r.【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可；（2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---，令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=.将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r .再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12．已知函数cos 2()sin 2m x f x nx=的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数()y g x =图象的对称中心.【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24k k Z ππ+∈. 【解析】【分析】（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．【详解】（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得 1.m n ==-故()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6πϕ=故()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=. 由22x k =+ππ，得().24k x k Z ππ=+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24k k Z ππ+∈. 【点睛】本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．13．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩.得0x y +=，令1x =，则1y =-，所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦；当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.14．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可;(2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.15．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.16．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.【答案】22221x xy y -+= 【解析】【分析】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得到00x y y y x=⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩，代入22001x y +=，得22()1y y x +-=，所以所求曲线的方程是22221x xy y -+= 【点睛】本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；（2）求2A . 【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

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专题2 矩阵【三年高考】1．【2016年高考江苏】已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB . 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，再根据矩阵运算求矩阵AB . 试题解析：解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则1110120102a b c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B ，即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a cb dcd ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d =⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B . 因此，151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB .【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bgaf bh c d g h ce dg cf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2．【2015江苏高考，21】已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 3．【2014江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求x y +的值. 【答案】72．【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得124x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴72x y +=.4．【2013江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B . 【答案】 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．【2012江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113 44=11 22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦－A ，求矩阵A的特征值．【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．【解析】解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为113 4411 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，所以()11 2 32 1--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A，于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝2 32 1λλ----＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 6．【2011江苏，理21B 】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α．【解析】解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121112112A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423,设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，由βα=2A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡213423y x ，从而⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得2,1=-=y x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α.【2017年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算．备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.【2017年高考考点定位】高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵的运算．【考点1】矩阵的运算与矩阵变换【备考知识梳理】 1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是y 轴上的投影变换．【规律方法技巧】1．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．6．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 8．注意两个易错点：（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )．（2）易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换．【考点针对训练】1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.2，已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.；（2）(1,0)．【考点2】矩阵的特征值与特征向量【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn 2ξ2.【规律方法技巧】 1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2； (2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．3．注意3个易错点：（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |.（2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d＝0有解．（3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．【考点针对训练】1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．【答案】（1）l ′的方程为4x ＋y －7＝0；（2）A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 【解析】(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －y7y 0＝x ＋2y7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0，即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3α.【答案】（1）特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【解析】(1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【两年模拟详解析】1．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】由逆矩阵公式得110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o得到点B '，求点B '的坐标．【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A '．则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--u u u v u u u u v．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得14x y =-⎧⎨=⎩，所以点B '的坐标为()1,4-．3．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B4．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P '(-1,2).（2）y －x ＝y 2.【解析】(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000x y x x y -=⎧⎨=⎩ 即00y y x x y =-⎧⎨=⎩所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2.5．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝26．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换T把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T对应的矩阵M．【答案】113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M【解析】设a bc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，由题意，得35214012a bc d-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴342513415 2.a bac dc-=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，解得1,513,202,51120abcd⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M．7．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵1214A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r，计算5A ar.【答案】371 307⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.【答案】4a b +=【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=-，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=9．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求2βM .【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则由111222M M αλααλα=⎧⎨=⎩可解得：120,2,1m n λλ====，又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2222121122104(2)242012MM βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.10．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1．【答案】2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得， 21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝111⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a +2b ＝12，解得23a b =⎧⎨=⎩.即A ＝2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 逆矩阵A -1是11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12．12．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.【答案】1,4-【解析】由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩，则3,2a b ==．矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=----，令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．13．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ．【答案】 4 3.4 2-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 【解析】设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B 14．【泰州市2015届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （2，0），C （1，2），矩阵01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ，点A ，B ，C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''的面积．【答案】1【解析】因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，即1(00)(01)(2)2A B C '''--，，，，，．故1212S A B ''=⨯⨯=．15．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应的一个特征向量112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点()1,1变换成()0,3-．（1）求矩阵M ；（2）已知向量28⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求5M α的值．【答案】（1）1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）246480-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）设a b M cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1122a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2122a b c d +=-⎧⎨+=-⎩. 1013ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故03a b c d +=⎧⎨+=-⎩. 联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由（1）知 1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则矩阵M 的特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3. 设矩阵M 的另一个特征向量是2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，则2343x yx M x y y -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦e ，解得20x y +=,故212-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e .由12m n =+αe e ，得24m n m n -=⎧⎨+=⎩，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e .拓展试题以及解析1．已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题.2．已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则66323322a bc da bc d+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得3234acbd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.【入选理由】本题考查矩阵的特征值与特征向量，本题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A，然后再求得逆矩阵，意在考查最基本的运算求解能力，意在考查学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题的要求，故选此题.3．变换1T是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M；变换2T对应用的变换矩阵是21101M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x=的图象依次在1T，2T变换的作用下所得曲线的方程．【答案】2y x y-=【入选理由】本题考查矩阵的运算与平面变换之间的关系，考查用矩阵运算表示平面变换，意在考查学生分析问题与解决问题的能力，考查推理想象能力，考查运算求解能力，本题型考查知识基础，方法简单，是高考出题方向，故选此题.。

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