2016-2017年江苏苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)联考高三上学期数学期末试卷与解析

2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B={﹣2，0，3} ．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为14．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为20．【分析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，输出S=20，故答案为：205．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为1．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，∴母线长为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=．故答案为：．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为﹣．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为2．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，∴q2﹣2q=0，q≠0．则公比q=2．故答案为：2．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为（﹣∞，﹣3] ．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为8．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=OB=OC=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODB即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于1的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为[7，13] ．【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=．∴的取值范围为[7，13]，故答案为[7，13]．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为{﹣20，﹣16} ．【分析】因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a （x≥1）与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=3（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有2个交点即可，∵g（4）=16+a，g（1）=16+a∴只需g（1）=16+a=0，g（2）=20+a=0，∴a=﹣20或a=﹣16．故答案为{﹣20，﹣16}二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B﹣C）=sin（2B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，…（4分）又A∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，B∈（0，π），所以，…（8分）所以，，…（10分）所以=…（12分）==．…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：θf'（θ）﹣0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．【分析】（1）由题意可知：离心率e==，则a=c，右焦点F到左准线的距离c+=6，即可求得c和a的值，则b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i）设直线方程为：y=（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9；（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF 方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程，求得M 点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S===≤=10．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由离心率e==，则a=c，由右焦点F到左准线的距离c+=6，解得：c=2，则a=4，由b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（﹣4，0），F（2，0），设直线方程为：y=（x+4），即y=x+2，则M（0，2），k MF==﹣，则k NF=，直线NF：y=（x﹣2）=x﹣4，则N（0，﹣4），丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9，（ii）设直线方程为：y=k（x+4），∴，整理得：（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=，则P（，），∴k MF==﹣k，由M（0，4k），F（2，0），∴k NF=，则NF：y=（x﹣2），则N（0，﹣），则直线AN：y=﹣x﹣，代入椭圆方程：整理得：（1+）x2+x+﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=﹣，则Q（，﹣），直线PQ的斜率k PQ=，则直线PQ方程y﹣=（x﹣），点A（﹣4，0）到直线PQ的距离d=，由两点之间的距离公式丨PQ丨=，则△PAQ的面积S，S=丨PQ丨•d=ו==≤=8，当且仅当2丨k丨=，即k=时，取最大值，△PAQ的面积的最大值8．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f（x）≤0的解集为{0}；当a≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：xh'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），因此a n+1﹣a n﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由S n ≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+...+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+ (4)﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得k n 是正整数，因此以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），所以（a n+1）（a n+1+1）﹣（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n+n）﹣6（S n﹣1+n﹣1），即（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），又a n＞0，所以a n+1﹣a n﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（5分）（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．【分析】证明△ABD∽△BDE，即可证明结论．【解答】证明：因为D为弧BC的中点，所以∠DBC=∠DAB，DC=DB，因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=90°，又E为BC的中点，所以EC=EB，所以DE⊥BC，所以△ABD∽△BDE，所以，所以AB•BC=2AD•BD．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．【分析】由条件知，Aα=2α，从而，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，∴由条件知，Aα=2α，即，即，…（6分）∴，解得∴a，b的值分别为2，4．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+m=0，圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C到直线l的距离，解得m=﹣1或m=﹣5．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．【解答】解：因为a，b，c＞0，所以=，当且仅当时，取“=”，所以m=18．…（6分）所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18，所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得，所以原不等式的解集为．…（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是．则．答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的概率分布为X0123PX的数学期望．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．【分析】（1）（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n ﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．即可证明．（2）当k∈N*时，=．即可证明．【解答】（1）解：（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．所以．（2）证明：当k∈N*时，=．所以=．由（1）知，即，所以．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：lo glo g (0,1)logbab N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。